Blogia
Tio Petros

Maraña de rectángulos

Maraña de rectángulos Les propongo un problema que acabo de encontrar:

Tenemos un cierto número de rectángulos distribuidos sobre una superficie plana. Existe total libertad en la forma de los mismos, y en la disposición en el plano. Se pueden superponer, intersectar y todo lo que ustedes quieran. Una vez colocados, dividen el plano en una serie de regiones finitas. Denominaremos "región" en este contexto a cada una de las menores divisiones del plano, es decir: a las áreas finitas que no están a su vez subdivididas .

Si sabemos que una de tales disposiciones de rectángulos tiene 18.769 de tales regiones, ¿cuál es el mínimo número de rectángulos utilizados?
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres

19 comentarios

Jesús -

Pues la serie es:
n: 1 2 3 4 ....
Recintos: 2 6 14 26 ....

y es un desarrollo combinato
rio seguro.

BitFarmer -

Lo de que cada rectangulo nuevo pudiese cortar a los existentes en 2 zonas era solo una suposicion optimista, y no conte con poderlos girar.

Lo curioso es que intentando buscar un caso lo mejor posible con rectangulos sin girar, encontre un sistema simple que nos da justo 18769 regiones (sin contar la exterior) con 137 rectangulos.

Por eso me huelo que quizas el problema original se referia a sin girar, y la solucion que encontre debia ser la buscada en el problem "sin girar".

Mi solucion es esta: Inicialmente empezamos con un cuadrado, entonces le añadimos un rectangulo un poco mas estrecho y mas alto, centrado respeto al inicial, y luego le añadimos otro igual pero en vertical, quedando una cruz con sus 4 puntas saliendose del cuadrado original. Luego se repite con otra cruz un poco mas estrecha y mas alta, y asi indefinidamente.

Lo curioso es que, cada nuevo rectangulo, añde exactamente 2 regiones mas que el anterior (el primero una region, el segundo añadio 3, el siguiente 5, etc.).

Si sumamos esta serie, resulta que la suma de los primeros 137 termnos vale exactamente 18769 como os comente.

Alguien tiene una solucion mejor con rectangulos sin girar, o una demostracion de que no la hay? Yo no.

Jesús -

Par mí que son las combinaciones de n sobre cuatro el similar en rectas es n sobre dos ....

Jorge Alonso -

¡Ciertamente!

Yo había dibujado series de rectángulos formando una estrella, todos concéntricos y girados una fracción de vuelta del total; obtenía la fórmula 1+2n(n-1).

Al pasarlos a cuadrados, entonces la fórmula cambia a 1+4n(n-1).

TioPetros -

Pues mañana lo vemos. Exactamente esa es mi solución: rectángulos (cuadrados en el dibujo que tengo preparado) concéntricos que se cortan dos a dos en ocho puntos, cada uno girando el ángulo necesario para repartir pa circunferencia entre los n cuadrados.
Por cierto, none: a mi me sale que el número mínimo es una unidad menor que los 69 que propones. Y es una lástima; el 69 es mucho más bonito que el 68. No tiene ni comparación...

mewt -

Tienes razón, Tio Petros. Basta tomar dos cuadrados concentricos, uno girado 45º respecto del otro...
Asi que mi ecuacion se modifica a
R = 2 + 4N(N-1)
La disposicion donde todos los rectangulos se cortan dos a dos en 8 puntos tambien es posible, tomando rectangulos congruentes con centro fijo y haciendolos girar multiplos fijos de un angulo lo bastante pequenyo...
Ardo en deseos de ver tu solucion :-)

none -

Miren aqui http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=317.0

none -

La solucion es 69.

Tio Petros -

Pues mi solución es completamente diferente. En una cosa sí estoy de acuerdo con Mewt:
el numero de regiones sera maximo cuando lo sea el numero de intersecciones entre los rectangulos
Sin embargo, el máximo número de intersecciones entre dos rectángulos no es cuatro, sino ocho...
Mañana pongo mi solución.

mewt -

Maldicion! se me corto el final del comentario por poner un "menor o igual". Bueno, sigo...

El numero maximo de intersecciones es entonces menor o igual a 2N(N-1) (4 veces el numero de parejas de rectangulos). Ademas, podemos alcanzar la igualdad con facilidad, incluso usando rectangulos paralelos, que vamos haciendo cada vez mas estrecos y mas altos (si Tio Petros se anima, que ponga un dibujo). Tambien puede garantizarse la existencia de esa disposicion maxima usando algunos teoremas de geometria diferencial, pero en este caso no es necesario... Total, que nuestro numero maximo de regiones es

R = 2 + 2N(N-1)

Ahora, basta sustituir R por el valor de regiones que queramos (las 18000 y pico) y despejar N en la ecuacion de segundo grado resultante, quedandonos con el N entero inmediatamente posterior a la solucion positiva. La determinacion del numero preciso queda como ejercicio al lector ;-)

mewt -

Bueno, como parece que nadie mas se arranca, alla va.

Supongamos que tenemos N rectangulos en una posicion generica, y sea R el numero de regiones que determinan. El dibujo que forma esta maranya de rectangulos es un grafo plano, que tendra L aristas y V vertices, por lo que debe verificarse la formula de Euler R-L+V=2
(estamos teniendo tambien en cuenta la region exterior, si no queremos contarla, cambiamos el 2 por un 1) de donde tenemos que R=2+L-V

Sea I el numero de puntos de interseccion que se forman al dibujar los rectangulos. Cada uno de estos puntos nos divide cada uno de los dos lados que den lugar al punto de interseccion en 2. Originalmente hay 4 lados por cada rectangulo, de manera que
L = 4N + 2I
Ademas, cada rectangulo nos proporciona 4 vertices, y cada punto de interseccion otro mas, asi que
V = 4N + I
por lo que el numero de regiones es
R = 2 + 4N + 2I - 4N - I = I +2
Con lo que queda claro que el numero de regiones sera maximo cuando lo sea el numero de intersecciones entre los rectangulos. Para resolver el problema solo tenemos que contar el numero maximo de intersecciones.

Dada una pareja cualquiera de rectangulos, es facil comprobar que el numero maximo de intersecciones que se pueden producir entre ellos es de 4. Asi, el numero maximo de intersecciones se produce cuando cada rectangulo corta a todos los demas en exactamente 4 puntos, y ademas todas estas intersecciones sean diferentes. Eso significa 4 intersecciones por cada pareja de rectangulos; como hay N(N-1)/2 parejas de rectangulos, tenemos que el valor maximo de I es
I

Jorge Alonso -

Pues yo no tengo ni idea...

Sólo se me ha ocurrido colocarlos en forma de estrella. Si mis deducciones no son erróneas, con 97 rectángulos se obtendrían 18625 regiones, y 19013 para 98.

Tio Petros -

Pues yo también esperaré a mañana, a ver si nuestras dos soluciones son iguales...

mewt -

Lo tengo, voto a Euler!!!
me lo callo por ética acertijera y porque me estan esperando para tomarnos unas pintas ;-) si nadie habla en contra, o da la solución antes, mañana por la mañana posteo...
Tot ziens!

TioPetros -

No, no tienen que ser paralelos. De hecho, más vale no mirar en absoluto la ilustración que encabeza el post, porque tan sólo está para despistar.
Este problema me lo han pasado esta mañana, y tengo MI solución, que creo que es LA solución.

Dem -

¿Los rectángulos tienen que ser "paralelos" entre sí?

Es sólo por tocar un poco la moral, porque la verdad es que no sé por dónde coger este problema ;P

xhantt -

Es un número primo que termina en 7?

TioPetros -

Hola BitFarmer.
Me parece que la afirmación de que cada rectángulo puede duplicar el número de zonas es una afirmación muy fuerte para ser admitida así, sin más...podrías proponer un rectángulo que duplique el número de zonas de la ilustración de este post???

BitFarmer -

Bueno, como primera aproximacion, con 14 rectangulos es imposible (creo), asi que 15 es mi primera aproximacion, pero puede que el resultado sea finalmente mas de 15.

Mi razonamiento es demasiado simple, por eso no creo que sea el definitivo: Cuando ponemos un rectangulo, dividimos el plano en dos zonas (dentro y fuera), y a partir de aqui, cada vez que añadimos otro rectangulo, en el mejor de los casos (que la frontera pase por dentro de cada region), se duplica el numero de areas (pueden dividirse en mas de dos algunas areas, ver nota al final).

Como 2^14 es 16384, con 14 rectangulos a lo sumo tendremos 16384 regiones, es insuficiente, asi que minimo 15 rectangulos se necesitarian.

Pero mi duda es... hay alguna disposicion de los rectangulos conforme se añaden de forma que cada vez que añadimos uno este divida cada region existente en dos?

Otra aclaracion: Existen maneras de que un rectangulo nuevo divida a una region existente en mas de dos nuevas regiones, pensar en una region con forma de "peine", de forma que un nuevo rectangulo podria separar cada una de las puas y generar muchisimas regiones... pero para construir el peine, tenemos que "desperdiciar" muchos cuadrados antes, y creo que en suma no compensa respecto a duplicar el numero con cada nuevo rectangulo.

Por ejemplo, con el tema del peine, imaginar un rectangulo incial que es el peine al completo, y luego 10 rectangulos mas que "recortan" las puas, y al final, ponemos un rectangulo que corte a todas las puas en dos alturas, como si una letra E la tachamos de arriba a abajo cortandole las tres puntas. En este caso, el ultimo rectangulo crea 21 regiones a partir del peine original, PERO si os imaginais que los 10 rectangulos de las puas se ponen los ultimos, entonces cada rectangulo corto a los existentes (y no todos) en dos zona, asi que el "caso peine" es mas desfavorable que el comentado arriba.
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres