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Tio Petros

El amor es una superficie de sexto grado

- Para pensar
El amor es una superficie de sexto grado La teoría de superficies es una de las partes más bellas por lo visual de la matemática.

Pero pocas veces tenemos la oportunidad de visualizar una superficie matemática, con su fórmula analítica que nos recuerde tanto a un símbolo universal como la que ahora les propongo: el corazón.

Esta superficie responde a la ecuación de sexto grado siguiente:

(x2+9/4·y2+z2-1)3 - x2+z3-9/80·y2+z3 = 0

Pueden ver en la ecuación que algunos coeficientes están ajustados a valores como "canónicos", como 9/4 ó 9/80 para conseguir el extraordinario resultado mostrado en la imagen.

En la siguiente imagen pueden ver un corte de dicha superficie con el plano y=0, que muestra un dibujo increíblemente parecido a lo que entendemos todos por el símbolo de "un corazón".



¿Cuál es el interés de dicha superficie?

Pues me temo que simplemente lo anecdótico del asunto.

Sin embargo y por encima de lo anecdótico, es interesante pensar en el hecho de que expresar la ecuación es, quizás la forma más compacta posible de dar toda la información necesaria para construir el objeto. Y es ahí donde el interés del tema aumenta:

¿Todo objeto "razonable" tiene una ecuación analítica que lo exprese?

¿Qué quiere decir "razonable" en la pregunta anterior?

¿Cuáles son las limitaciones?

¿Hasta dónde podemos disminuir la cantidad de información necesaria para expresar un objeto?

¿Aún en los casos en que es posible, sale computacionalmente demasiado caro reproducir el objeto a partir de la ecuación?

¿Tienen mis lectores alguna opinión al respecto?

10 comentarios

Isaac -

Hola, si mal no recuerdo existe un procedimiento para dibujar curvas que pase por n puntos dados, por medio de los polinomios de lagrange. Así lo que se me ocurre que se podría hacer en un figura es seleccionar puntos de la misma y luego ir encontrando las ecuaciones de las curvas que pasen por dichos puntos. Mientras más puntos se coloquen y más cercanos estén unos de los otros, más exacta será la figura. Ahora por medio de métodos computacionales (que ahorran grandes y engorrosos cálculos tal vez pueda ser mas sencillo)

Anónimo -

Mitch -

Por cierto, Herwig Hauser tiene una curiosa colección de imágenes y animaciones de singularidades de superficies. En los congresos se lleva su "merchandising" (camisetas, postales, posters...) y los vende. Todo un personaje.

http://mathematik.uibk.ac.at/project/visualization.html#Pictures
http://mathematik.uibk.ac.at/project/visualization.html#Animations

Mitch -

Alguien ha estado leyendo la biblia del Singular ultimamente.

r3D -

Un programa de 64kbytes qué intenta generar escenarios naturales.(Hay un elnace a un video 1000 veces más pesado para los que no tienen tarjetas gráficas potentes)
http://www.pouet.net/prod.php?which=12821

eseprimo -

Lo siento, TioPetros, borra todo lo que sea necesario. Esta es la curva: rho(theta) = (1+sin(theta)) (1+9cos(8theta)/10) (1+cos(24theta)/10)

eseprimo -

Quizá a la tercera vaya la vencida:

eseprimo -

Otra curiosidad parecida si trazáis la siguiente curva en polares: …

mewt -

Te metes de lleno en mi campo, Tio Petros :-)

Para no enganyarte, te dire que no me he puesto a trastear las ecuaciones, pero... despues de mucho tiempo lidiando con la Geometria Algebraica (e intentando generalizarla a cosas mas raras) asi, a ojo de buen cubero, me arriesgaria a decir que ese corazon no es una superficie (topologica) propiamente dicha. No tiene alguna singularidad (algebraica) en alguno de los picos??

En cualquier caso, es muy bonita ;-)

Respecto a las preguntas, la primera de ellas es el corazon de casi todas las geometrias que se estudian en la actualidad> Establecer una correspondencia entre un objeto geometrico (superficies, en este caso) y un objeto algebraico (a primera vista la ecuacion, en un estudio mas detallado se ver que lo que importa es el algebra cociente R[x,y,z] entre el ideal generado por la ecuacion). La respuesta a tu pregunta es, en los casos buenos, que si, que dicha correspondencia existe.
Lo que pasa es que los casos buenos no son los que parecen a primera vista. En Geometria Algebraica clasica tenemos una correspondencia biunivoca entre las variedades algebraicas afines de C^n y los ideales (que podemos ver como conjuntos finitos de ecuaciones) radicales del algebra de polinomios C[x_1,...,x_n]
El resultado (conocido como el "Nullstellensatz" de Hilbert) solo es valido para espacios afines construidos sobre cuerpos algebraicamente cerrados y de caracteristica 0, como por ejemplo los complejos, pero no es cierto para los reales. Es sencillo encontrar un contraejemplo, basta tomar la ecuacion x^2+y^2+1, y observar que no define ningun objeto en el plano R^2.

La sutileza de la pregunta es que se entiende por "objetos", pero las matematicas estan llenas de estas dualidades. Otra muy importante es el Teorema de Gelfand-Naimar, que nos garantiza que a cada espacio topologico de Hausdorff (localmente) compacto le corresponde de forma biunivoca una C*--algebra (concepto que no definire aqui) abeliana. Este teorema, junto con otros parecidos, es tambien el punto de partida de una disciplina muy en boga actualmente, conocida como Geometria No Conmutativa.

Hasta donde podemos disminuir la informacion necesaria para recontruir el objeto? esta pregunta me hace pensar inmediatamente en fractales, lo cual tambien responde a la pregunta de si a veces puede ser computacionalmente demasiado caro reconstruir el objeto a partir de las ecuaciones: que venga alguien y calcule los puntos de un sistema de funciones iteradas con perturbaciones no lineales en 3 dimensiones, si es capaz...

Lo dejo, que empiezo a emocionarme demasiado ;-)