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Tio Petros

Cardinalidad, "tamaño", medida, dimensión (1)

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Es increíble que un concepto que en la vida real sea tan simple de entender como el concepto de “tamaño” sea tan difícil de aprehender desde la matemática.

En una primera aproximación, si hablamos de conjuntos parece que entre dos de ellos es fácil decidir cuál es más grande: no hay más que establecer una correspondencia biyectiva entre ambos, o al menos intentarlo. Si lo conseguimos, habremos conseguido emparejar a cada elemento del primer conjunto con uno y sólo un elemento del segundo, por lo tanto ambos conjuntos tendrán el mismo número de elementos. Lo bueno de este método es que no hace falta construir efectivamente la biyección uno a uno , sino que basta con demostrar que existe.

No obstante, aquí se acaban las buenas noticias. La idea anterior nos da un buen criterio de igualdad de tamaño en cuanto a cardinalidad, o a número de elementos entre dos conjuntos. Dado que un conjunto no es sino eso: una colección de elementos, uno podría preguntarse qué más queremos.

Pues queremos bastante más. La cardinalidad es una buena idea para medir conjuntos finitos: un conjunto de 1000 elementos es mayor que uno de 999 elementos; pero entre dos conjuntos de infinitos elementos la cosa es más complicada: ¿dos conjuntos infinitos de la misma cardinalidad tienen el mismo tamaño?

El lector debiera darse cuenta de que estoy haciendo trampa con la pregunta anterior. Estoy preguntando por el tamaño de dos conjuntos como si el concepto estuviera aclarado, y no lo está. La existencia del concepto tamaño parece llevar consigo la existencia de una relación de orden entre conjuntos, de manera que podamos decir que uno que otro o si ambos son del mismo tamaño .

Podemos demostrar que la cardinalidad no es una buena idea para comparar tamaños por la simple existencia de conjuntos de igual cardinalidad y “tamaños” diferentes.

Consideremos los intervalos [0,1] y [0,2]. Ambos tienen la misma cardinalidad, la del continuo. En efecto, es muy sencillo emparejar cada elemento de [0,1] con uno y sólo uno de los elementos de [0,2], simplemente haciéndolo corresponder con su doble. Así de sencillo. Si no nos sorprende es por que lo sabemos desde niños, no porque no sea sorprendente.

Así pues, tenemos una nueva manera de comparar “tamaños” entre conjuntos cuando la cardinalidad no es buena guía: la medida de lebesgue de los mismos.

Cuando hablábamos de variables aleatorias definimos la medida de Lebesgue: en el seno de una sigma-álgebra, y dijimos que la medida de un intervalo [a,b], ó (a,b) ó (a,b] ó [a,b) es el número real m=b-a.

Ahora se ve que desde esta perspectiva los intervalos [0,2] y [0,1] son de medida diferente, a pesar de tener la misma cardinalidad. Uno es el doble del otro más concretamente.

Como un punto p equivale al intervalo [p,p], queda claro que la medida de cualquier punto es m = p-p = 0.

Cualquier conjunto finito de puntos tendrá asimismo medida nula. Es más, cualquier conjunto numerable de puntos la tendrá nula también, pues por propiedad de las sigma-álgebras, la medida de una unión numerable es la suma de las medidas, y una suma numerable de ceros es cero.

Así pasaba con el conjunto Q, que tratamos cuando hablábamos de la insoportable levedad del conjunto Q; era denso en R , y exhibía una curiosa propiedad que parecía (falsamente) hacerlo igual de grande que todo R: entre dos puntos de Q siempre había uno de R ( en realidad infinitos). Pero también era cierto lo contrario: entre dos puntos de R siempre había infinitos de Q.

A pesar de este quid procuo , veíamos que Q no era sino polvo fractal dentro de R, y que su medida era cero. Q era ubícuo en R, pero era numerable (otra sorpresa dilucidada por Cantor y muchas veces comentada aquí), y medía excatamente cero.

Lo que no está nada claro es qué ocurre cuando el conjunto es una unión no numerable de puntos. Dado que un intervalo es precisamente eso, y que tiene medida no nula, sabemos que ciertos conjuntos infinitos (respecto a su cardinalidad) no numerables son de medida no nula. ¿Pero lo serán todos?

La intuición nos indica que así es.

Sin embargo, la intuición es tan mala consejera en matemáticas...

Seguiremos en el próximo post mostrándoles un conjunto con cardinalidad infinita no numerable que, a pesar de ello tiene medida cero, el conjunto de Cantor . Lo cual nos hará ver que la relación entre medida y cardinalidad es complicada, y que debemos abandonar para siempre la idea preconcebida de que podíamos imaginar un concepto de “tamaño” que fuera siempre satisfactorio para comparar varios conjuntos.

Se mezclarán en este nuevo paseo otros conceptos importantísimos como el de dimensión .

Pero no adelantemos acontecimientos.
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8 comentarios

Nohelia -

Creo que falta explicar ciertos conceptos mas detalladamente.

Carlos -

ESta muy bien pero quedo con muchas dudas ya que tambien en rectas si se comparan dos rectas una grande y una pequeña los dos tienen la misma cantidad de puntos

Crystal -

La cantidad de cosas que nunca se me hubiera ocurrido cuestionarme. Acabo de aprender de golpe un montón de cosas, ahora tengo que concentrarme para no perderlas ;)

TioPetros -

Yo sabía uno enunciado del Teorema del punto gordo:

Un punto puede pertenecer a dos rectas paralelas a condición de que sea lo suficientemente gordo.

perutz -

Esto me recuerda el famoso teorema de existencia del "punto gordo". Si entre [0,1] y [0,2] hay el mismo número de puntos, y los segundos "ocupan" mas espacio, es que los segundos son "mas gordos".

TioPetros -

Omalaled: repasa el post y verás que afirmo exactamente eso que tú recuerdas: entre dos números racionales (Q) había uno real (R) y que entre dos reales había uno racional.

Comentaba que esta verdad parecía inducir a pensar que el conjunto Q no debe medir cero; pero como hemos comentado, mide exatcamente cero, a pesar de la propiedad citada.

omalaled -

Pues aquí, Tio Petros, reconozco que hay algo en mi memoria que falla. Juraría que en su día me demostraron que entre dos números racionales (Q) había uno real (R) y que entre dos reales había uno racional. Supongo que esta última la habré soñado.

Respecto Cantor, algún día me gustaría que nos hablases un poco de los Aleph.

Saludos

samu -

Supongo que tenemos facilidad para hablar del tamaño de conjuntos (normalmente refiriendonos a la cantidad) en lo referente a su cardinalidad por que en el mundo "real" los conjuntos con los que tratamos suelen ser finitos y ademas numerables.
Yo personalmente nunca he visto un conjunto de cantor de manzanas :P
Eso si habria que distinguir entre cantidad de manzanas y tamaño de las mismas.
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