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Tio Petros

Aritmética modular (2)


Segundo post de Lola Cárdenas para TioPetros sobre el tema de las reglas de divisibilidad.

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Introducción a los criterios de divisibilidad



Cuando éramos niños, en el colegio nos explicaban las reglas de divisibilidad. Por ejemplo, nos decían que todos los números pares son múltiplos de dos, que todos los números acabados en cero o en cinco son múltiplos cinco, o que si sumamos las cifras de un número, y esta suma es múltiplo de tres, entonces el número mismo es múltiplo de tres.

La reglas de divisiblidad por dos o por cinco parecen estar bastante claras, sin embargo la regla de divisibilidad por tres ya trae consigo un modo de operar que en principio no se sabe por qué es así ni por qué funciona. ¿De dónde ha salido esa regla? Me lo pregunté tan pronto como me hicieron aprenderla en el colegio. Y lo descubrí pocos años después, "haciendo cuentas" tras una clase de álgebra, intrigada, porque sabía que ahí estaba la clave. Esas reglas salen de lo más básico de un apartado conocido como ``aritmética modular''. Y veremos al final de toda la exposición que es mucho más sencillo de lo que el nombre y lo que los primeros
conceptos sugieren.

Preliminares


Relaciones binarias


Definición



Consideremos un conjunto A. Recordemos cómo se define el producto cartesiano de un conjunto: se trata de todos los pares de la forma (a, b), donde a y b pertenecen al conjunto A. Es decir, el producto cartesiano, A x A se define como:



Llamamos pues relación binaria a cualquier subconjunto de A x A, y diremos que los pares (a, b) de dicho subconjunto están relacionados por , es decir, que (a está relacionado con b por la relación ).

Ejemplo



Si tomamos como conjunto al conjunto de los números naturales, , considerando su producto cartesiano, , podemos establecer la relación tal que relaciona a cualquier n1 con su doble, 2n1. Es claro que el conjunto es un subconjunto de y por tanto la relación establecida es una relación binaria.

Relaciones binarias de equivalencia



Las relaciones que nos interesan en este momento no son relaciones cualesquiera, establecidas un poco al azar, sino relaciones que cumplen tres propiedades muy interesantes:

Reflexiva: Una relación se dice reflexiva si para todo a perteneciente al conjunto A, se verifica que .
Simétrica: Una relación se dice simétrica si para todos a, b pertenecientes al conjunto A, el hecho de que implica a su vez que .
Transitiva: Una relacion se dice transitiva si para todos a, b, c pertenecientes al conjunto A, que y implica que .

Vamos a ver un ejemplo de relación binaria que sí sea de equivalencia y otra que no lo sea, para tratar de aclarar el significado de estas propiedades.

Ejemplo de relación binaria de equivalencia



Dados , decimos que si se cumple que . ¿Es de equivalencia esta relación binaria? Para contestar afirmativamente tendremos que demostrar que se cumplen las tres propiedades. Para contestar negativamente, bastará con encontrar que falla una de ellas.

Empezamos verificando la propiedad reflexiva. Sea . ¿Se cumple que ?

Por definición de la relación, esto será cierto si se cumple que . Pero dado , siempre tenemos que , luego y la relación es reflexiva.

A continuación veamos si cumple la propiedad simétrica. Sean y supongamos que . ¿Se cumplirá pues que ?

Como , por la definición de la relación se tiene que . Ahora bien, se cumplirá que si y sólo si .

Pero .

Luego y la relación es simétrica.

Por último, veamos si la relación es transitiva. Sean y supongamos que y que . ¿Se cumple que ?

Como , tenemos que , y como , tenemos que .

Se cumplirá que si y sólo si . Pero:



Por tanto y la
relación es transitiva.

Finalmente, tenemos que se cumplen las tres propiedades, y por tanto la relación binaria así definida es de equivalencia.

Ejemplo de relación binaria pero NO de equivalencia



Ahora definimos la siguiente relación: dos elementos están relacionados, si .

Veamos si cumple las tres propiedades que debe verificar para ser una relación binaria de equivalencia.

Comenzamos verificando la propiedad reflexiva. Sea , ¿se cumple que ? Esto será así si . Pero esto sólo es así si .

¿Se verifica la propiedad reflexiva entonces? No, porque para que se cumpliera, tendría que ser cierto para cualquier . Y sabemos que eso no es así. Si , entonces .

Por tanto, no se cumple la propiedad reflexiva: no tenemos que seguir examinando propiedades para afirmar que esta relación binaria no es de equivalencia.

Clases de equivalencia



Cuando tenemos una relación binaria de equivalencia sobre un conjunto , dado un elemento , definimos su clase de equivalencia como el conjunto de los elementos de que están relacionados con .

Es decir:



Dado , en tenemos pues todos los elementos de que son equivalentes a .

Pongamos un ejemplo de la vida real que, sin ser en absoluto riguroso, ayudará a aclarar este concepto.

Imaginemos que hablamos de muebles, y queremos clasificarlos. Queremos distinguir sillas de mesas, de sillones, de sofás... Así que definimos las propiedades que, indiscutiblemente, definen a una silla y la distinguen del resto de objetos. Definimos las propiedades que definene a una mesa y la distinguen del resto de objetos. Igualmente con los sillones, los sofás...

Cuando la relación permita identificar sillas entre sí pero distinguirlas de los otros tipos de muebles, etc., tendremos una relación de equivalencia. Dos elementos del conjunto "muebles" serán sillas si reunen una serie de atributos básicos. Y son sillas y no sillones porque la diferencia ha quedado perfectamente establecida, e igualmente establecidos los distintos tipos de muebles que contemplamos así como todas sus características.

Es decir, una relación de equivalencia define la manera de distinguir un tipo de elemento de otro tipo de elemento, de forma que los elementos de la misma clase de equivalencia sean, esencialmente, iguales, pero completa y distinguiblemente diferentes de los elementos de las otras clases de equivalencia: estamos formalizando el concepto de clasificación.

Conjunto cociente



Una vez tenemos todas las clases de equivalencia de según , definimos el conjunto cociente como el conjunto de todas estas clases de equivalencia. Lo expresaremos formalmente como sigue:



Notar que dados , , y que .
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7 comentarios

juegos mario bros -

hola

yuliet -

yo dije propiedades y no otras cosas

VonRey112358 -

Bastant bien definidas las propiedades de Reflexividad, simetría y transitividad, pero flaquea un poco en conjunto cociente y clases de equivalencia, perdiéndose mucho en la abstracción matemática

sandra perez -

escriban algo real

jesica -

no me parecio muy bien la información le flato mucho enserio les sugeriria que pusieran más información sobre los conjuntos y con varios ejemplos

Anónimo -

Brasileño -

Me parece muy interesante, pero no consigo aprovechar totalmente pues los "simbolos" (figuras) no "bacham". Intenté visitar directa e inútilmente a la http://formauri.es/personal/lola/math/2005/06/img47.png
. También pedí, por e-mail, ayuda a la autora sin éxito. Podrías ayudarme TioPetrus?

(me perdona pero no usamos a ? invertida en el inicio de la pregunta).
Saludos Brasileños
Edu
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