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Tio Petros

Una construcción imposible

Demostrar que una determinada construcción es posible puede ser un reto apasionante y difícil. En este mismo blog hemos deducido la existencia de un objeto poliédrico que cumplía la propiedad tetraedal de que cada cara era adyacente a todas las demás, con un agujero interno, para luego presentarlo como el denominado Poliedro de Szilassi .

Cuando la construcción efectiva del objeto previamente definido se resiste, puede ser que la construcción sea imposible, que el objeto con las propiedades requeridas no pueda existir, o que simplemente no hemos dado con ello. Si la situación se prolonga, podemos intentar demostrar la imposibilidad de existencia del objeto de forma teórica, dando correctamente por zanjado el asunto. Esto último es lo que se hace con la duplicación del cubo, la trisección del ángulo de 60 grados o la cuadratura del círculo.

Algo así sucede con la construcción que les propongo a continuación; se trata de un problema que he encontrado en la web recientemente y que dice más o menos así:

Tenemos un cubo con una arista de treinta unidades. Queremos construirlo con 27 ladrillos, de forma que sólo utilicemos ladrillos enteros. Las dimensiones de cada ladrillo son de cinco unidades de altura por diez de anchura y por veinte de largo.

El volumen del cubo es igual al volumen de los 27 ladrillos de que dispongo, como pueden comprobar.

Para que no pierdan tiempo en intentar tal construcción, les adelanto que no es posible.

Se trata de encontrar un argumento que nos convenza de tal imposibilidad.

Feliz fin de semana.
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15 comentarios

Sildenafil -

Yo pienso que lo que tu dices es un poco controversial ya que es un tema muy abierto y en donde no todos vamos a pensar igual

iup -

tengo un problemilla pa tos vosotros qe vais a flipa nen!!!

omalaled -

Samu: recuerdo que algún colega de informática hizo un programa de este tipo pero en 2D. Por supuesto, era un programa que utilizaba la fuerza bruta para intentar poner determinadas formas en un rectángulo. Imagino que las industrias textiles deben conocer cosas de este tipo para ahorrar metros de tela. La generalización a 3D no la veo trivial, pero creo que se puede hacer poniendo tiempo y ganas.

Saludos

weo -

Prueba
es que no me deja comentar post anteriores. verificando

samu -

Dado que tenemos un numero finito de ladrillos, no podriamos resolver este problema programando?

omalaled -

Ok, BitFarmer, ahora sí lo he visto. La forma del ladrillo es, por tanto, decisiva.

Gracias
Saludos

BitFarmer -

Vaya, pinte el ladrillo de ejemplo demasiado grande, deveria ser de 2x4 y no de 6x4 como lo pinte, pero la idea es la misma: 4 trocitos blancos y cuatro negros.

BitFarmer -

Pues a mi si que me convence, aunque quizas habria que puntualizar algunos "puntos oscuros".

El tema es que si construis la figura simplificada (6x6x6 con piezas de 1x2x4) y luego la "pintais" como un damero tridimensional (cubos de 2x2x2 blancos y negros alternados), resultara que cada ladrillo original, si ahora lo "extraemos" del cubo y lo ponemos "plano" sobre la mesa, estara pintado como una porcion de un tablero de ajedrez con cada posicion de tamaño 2x2, y puede ser que nuestro ladrillo haya quedado pintado de varias formas, pero SIEMPRE este dibujo "impreso" en el ladrillo nos da el mismo numero de bralcos que de negros, este es el punto importante.

Por ejemplo, un ladrillo puede quedar asi:

XOOXXO
OXXOOX
OXXOOX
XOOXXO

siendo X negro y O blanco, o puede que quede pintado de otra forma, pero siempre hay 4 negros y 4 blancos.

Y esto nos lleva a una contradiccion: Si contamos los cubos blancos y negros en la figura completa, hay mas negros que blancos, pero si los contamos despues de desmontar el cubo en los ladrillos originales, entonces sale el mismo numero de blancos que de negros.

Ñbrevu -

Insisto en que a mí tampoco me acaba de cuadrar la solución... el hecho de que los bloques sean de 2x2x2 y los ladrillos de 4x2x1, ¿no implicaría que los ladrillos están apilados de dos en dos, formando ladrillos de 4x2x2 (de forma que dos ladrillos equivalgan a dos bloques)? Repito que creo que se están añadiendo restricciones al problema, y por tanto la demostración no me convence.

Aunque supongo que lo más posible es que yo no haya entendido del todo la solución... en todo caso, explíquenla un poco más, por favor.

omalaled -

No sé si lo que voy a decir es una tontería, pero le he dado vueltas y hay algo que no me cuadra. Puede que no sea posible la construcción del cubo debido a las medidas o formas de los ladrillos, pero las argumentaciones de ICP en ningún momento hacen referencia a dichas formas.

Imaginemos el cubo hecho de 30x30x30 y lo cortamos en 27 planchas de 30x30x(10/9). Aunque nos saliera una negra de más a la hora de pintarlas, podríamos hacer el cubo superponiéndolas. Estaríamos igual que antes, un cubo con más de la mitad del volumen pintado de negro y bien hecho con 27 piezas idénticas.

Por tanto, la argumentación del color no serviría en este caso. Si estoy equivocado, ¿dónde está el esta de dicha argumentación?

Saludos

TioPetros -

La solución que explica icp es correcta, y es la que yo sabía. Enhorabuena.

Nikito Nipongo -

Glande dificultad complesión pala Nikito. Espelal algún día complendel.

Lespetuosamente,

Nikito

Ñbrevu -

Mmm... pues mi falta de luces me impide ofrecer una mejor alternatica, pero creo que la solución que ofrece icp es incorrecta. La razón es que, al no poder establecer una relación concreta en la que cada ladrillo se corresponda con un número concreto de cubitos (ya que la última dimensión es menor), lo único que se está haciendo es añadir una restricción al problema. Se están exigiendo unas condiciones de coloración que no están presentes en el problema original, es como si yo dijera "tengo ladrillos mitad blancos y mitad negros, y quiero hacer un cubo completamente negro, pero eso es imposible porque los ladrillos tienen una parte blanca".

La solución sería correcta, creo, si dividiéramos el cubo en bloques de tamaño 2x2x1 (siendo cada ladrillo equivalente a 2 bloques). Sin embargo, si lo hacemos de ese modo hay 54 bloques, con lo cual no demostramos la imposibilidad de hacer esa construcción.

icp -

Os pongo el problema en que me inspiré:
"Supongamos que tenemos un tablero de ajedrez y 31 fichas de dominó que ocupan cada una exactamente 2 casillas. ¿Podemos cubrir con ellas todo el tablero excepto las 2 esquinas blancas(62 casillas en total)?"

icp -

Bueno a mí se me ha ocurrido una forma de resolverlo, inspirándome en un problema parecido que vi una vez.

En primer lugar podemos dividir todas las magnitudes por 5 y obtener un problema equivalente: construir un cubo 6x6x6 con ladrillos de dimensiones 4x2x1.

Supongamos que fuera posible. Entonces el truco es dividir el cubo 6x6x6 en 27 cubos de dimensiones 2x2x2, y pintar cada cubo de un color blanco o negro, como si fuera un "tablero de ajedrez de 3 dimensiones". ES decir que por ejemplo empezamos pintando uno de los cubos de als esquinas de negro, luego todos los que tienen una cara en común con él, los pintamos de blanco etc.
Ahora bien si lo hacemso así nos quedan 14 cubos negros y 13 blancos. Luego más de la mitad del cubo grande será negra.
Pero la clave es la siguiente: cada ladrillo que forma ese cubo tiene la mitad de su volumen en zona blanca y la mitad en zona negra (quizás esto es lo difícil de formalizar pero pienso que es cierto). Por tanto llegamos a un absuurdo: un cubo pintado de forma que más de la mitad de su volumen es negro, pero formado por 27 ladrillos cuyo volumen es mitad negro, mitad blanco.
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