Aleph
Miren un momento el símbolo que encabeza este artículo. Se trata de la primera letra del alfabeto hebreo; aleph . Detrás de este símbolo está el concepto más abismal de toda la matemática: el infinito, y un hombre: Georg Cantor.Los números grandes nos abruman: el número de estrellas en el universo, la cantidad de granos de arena de todas las playas, el número de mentiras que nos cuentan los políticos, el número de partículas elementales del universo... sin embargo todos estos números son finitos.
Alexander Grothendieck decía que muchas de sus grandes ideas eran en realidad cosas muy sencillas; ramplonas incluso. Esas, cuando funcionan, son las grandes ideas que abren nuevos caminos. Georg Cantor tuvo una idea de este estilo, idea que he visto con mis propios ojos emplear a un niño de menos de un año.
Si un niño que no sabe contar tiene que elegir entre dos conjuntos de caramelos o de pequeños juguetes, es muy probable que comience a emparejarlos hasta que sobren los de una clase cuando están ocupados todos los de la otra. De esta forma, sabe qué conjunto es el mayor, y se lo queda. Cantor tuvo la idea de hacer lo mismo para comparar el tamaño (la potencia) de conjuntos infinitos. Si se podían poner relación uno-uno, es que eran del mismo tamaño. La cosa no parece muy revolucionaria, pero debéis pensar que a priori, parecería que dos conjuntos, por el hecho de ser infinitos, van a ser igual de grandes . Plantear siquiera el método de Cantor supone no aceptar esta intuición.
Uno de los primeros resultados de este método de conteo es que un conjunto infinito puede ponerse en relación uno-uno (biunívoca) con una parte de sí mismo. En efecto, tomemos el conjunto N de los naturales, y el conjunto M de los múltiplos de un millón. Es del todo evidente que a cada natural le corresponde un número de millones igual al valor de dicho natural, luego ambos son de mismo tamaño. De hecho, esta será a partir de ahora la caracterización de un conjunto infinito: un conjunto es infinito si y solo si puede establecerse una aplicación biunívoca entre él y un subconjunto de sí mismo.
Si esto les parece extraño, agárrense, porque lo peor está por llegar.
El resultado anterior en el fondo nos tranquiliza. Si N es del mismo tamaño que M, parece apoyar la idea de que dos conjuntos, siendo infinitos ambos, son del mismo tamaño, aunque M tenga un elemento por cada millón de elementos de N. Pero Cantor demostró que hay infinitos más insondables que el conjunto de todos los infinitos números enteros. Demostró que el conjunto de los números reales R es tan grande que su potencia es incomparable con la de N. No se puede numerar el conjunto R. De hecho, un minúsculo intervalo de R [0,e], donde e es positivo tan pequeño como queramos tiene un número insondablemente mayor de elementos que el infinito, inacabable, abrumador, inmenso conjunto N.
La demostración por el método diagonal original de Cantor la podeis encontrar sin dificultad en la red; por ejemplo aquí. pero una bonita demostración alternativa la teneis aquí.
La intuición se nos rompe cuando nos enteramos con Cantor de que el conjunto de los racionales, a pesar de ser tan denso, es de igual tamaño que N , y por lo tanto numerable; al igual que el conjunto de los números algebraicos de los que hemos hablado en otro post. El monstruoso tamaño de R se debe pues a los irracionales trascendentes ( no algebraicos). El infinito de toda la vida es una mierdecilla al lado de este nuevo infinito, como podéis ver.
Cantor había demostrado que hay infinitos e infinitos. Puesto que unos eran mayores que otros, se podían ordenar. Llamó Aleph-cero a la potencia de N y Aleph-uno a la potencia de R . Conjeturó además que entre ambos no había ningún numero transinfinito.(Hipótesis del continuo).
Si no han notado aún un escalofrío en la espalda al enfrentarse con Aleph-uno lean lo que sigue.
Cantor demostró que podía ponerse en relación biunívoca el conjunto de los puntos de una recta y el conjunto de los punto de todo el plano. Lo veo y no lo creo exclamó. Había demostrado que la potencia de R era idéntica a la de RxR , lo cual nos indicaba ciertamente que el espacio tridimensional euclídeo tenía la misma potencia. Esto es alucinante, y si no se sorprenden, es porque ya lo sabían, o porque no lo han entendido.
Dado que es muy fácil comprobar que un insignificante segmento tiene tantos puntos como la recta entera, resulta que el número de puntos de un segmentillo es igual al número de puntos del universo entero, considerado este como un espacio infinito tridimensional (o tetradimensional, no importa!!!).
¿Comprenden ahora la inmensidad de Aleph-uno ?
Parece ahora que nada pueda ser estrictamente mayor... pues bien: existe Aleph-dos; y hace que Aleph-uno palidezca como una damisela avergonzada. La jerarquía de monstruos transinfinitos es a su vez infinita.
Cantor intentó concebir el infinito de todos los infinitos, pero su mente se quebró. Yo no creo que fuera por esto, sino que el pobre andaba con muchos problemas mentales, pero la leyenda alimenta la idea de que se acercó demasiado a la verdad, como una polilla a la luz, y se quemó. Una bonita leyenda, sin más.
Cantor murió loco, escribiendo tratados religiosos y sin ser reconocido por la comunidad matemática. Hoy es uno de los pilares de la matemática moderna, hasta el punto que Hilbert exclamó en una ocasión:
Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros
pero esa es otra historia que me da para otro post. Si ustedes quieren, claro está.
17 comentarios
Gaston -
Manuel Valadez -
La forma mas facil de comprobarlo es notando que f(.2200...)=f(.129090...), de modo que f no resulta inyectiva, por lo tanto no es biyectiva, de modo que no podemos hablar de igualdad en el tamaño de ambos conjuntos (al menos no como suele definirse, es decir, mediante funciones biyectivas).
Por ultimo, decirte que me haria muy feliz que en algun momento continuaras publicando pues, repito, tus articulos me han resultado my interesantes.
Saludos.
monosabio -
Luego decir que los irracionales trascendentes son mayores que el infinito es el no va más.
Jakeukalane -
Mucha gente (como yo), aún sin conocer nada acerca de los números transfinitos ni de los ℵ, son capaces de alcanzar un acercamiento al concepto de números transfinitos.
Gracias por el artículo
Saludos
nemis -
Jhonattan -
Dario -
Rodrigo Aravena -
Que lata lo den Cantor, y la polilla que ve la luz se quema, yo creo que formo parte de esa luz y esta en ella,..
Joss -
aloha -
alejandro -
Random -
Triste historia la de Cantor en realidad una triste historia.
Tio Petros -
Me cuesta menos explicarlo que buscar bibliografía: es evidente que bastará encontrar un isomorfismo entre el segmento unidad [0,1) y el cuadrado unidad [0,1)x[0,1), pues tanto la recta como el plano se forman por uniones numerables intervalos y cuadrados similares.
El isomorfismo es el siguiente: dado un r de [0,1], tomando los decimales en puesto impar por un lado y par por otro, tenemos definidos sin ambigüedad dos coordenadas reales de [0,1), y por lo tanto un punto del cuadrado. Inversamente, dado un punto del cuadrado unidad, intercalando los decimales respectivos de las dos coordenadas en los puestos pares e impares alternativamente, tenemos definido un punto de [0,1). Luego cada punto del segmento unidad define un punto del cuadrado unidad, y viceversa. De ahí que la potencia de ambos sea la misma. CQD.
Tio Petros.
jose -
Ver cómo lo que parecen cosas locas (¿¿que esa sucesión (las de Goodstein) converge a 0??) adquiere sentido al final de cada texto (pues sí, converge, y a 0) deja con un estupendo sabor de boca :D
eMe -
Akin -
Gracias Tio Petros
Vailima -
Gracias