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Tio Petros

¿0+0+...=0?

- Conceptos
¿0+0+...=0? ¿Se puede obtener algo a base de sumar cantidades nulas?

La pregunta parece ridícula...

Vayamos aproximándonos a la respuesta. Para empezar, si sumamos un número muy grande de cantidades muy pequeñas, podemos obtener cualquier cosa. Si el número de cantidades que sumamos tiende a infinito y el valor de cada cosa tiende a cero, estamos en la misma situación. Es lo que en el cole repetíamos; aquellos de cero por infinito es indeterminación .

Lo que queríamos decir con aquella frase no es sino algo obvio: cantidades muy pequeñas pueden dar como resultado cualquier cosa a condición de sumar las suficientes de ellas.Nada que viole la intuición ni las buenas costumbres.
Ya saben ustedes: tacita a tacita...

No es eso de lo que quiero hablar ahora. Quiero que las cantidades no sean despreciablemente pequeñas; quiero que sean estrictamente nulas. Cero patatero.

Ahora la cosa cambia, verdad?

En una primera aproximacion admitiremos que por mucho que añadamos nada a la nada que tenemos, seguiremos teniendo nada; y sin embargo, esto no es así. Todo depende de cuántas cantidades nulas estamos sumando.

Si la cantidad es finita; no hay nada que hablar: el resultado es cero. Si la cantidad es infinita, pues también. Puedo estar eternamente añadiendo ceros, que el resultado será siempre nulo. ¿O no?

Pues siento si rompo algún esquema, pero depende.

Recordarán si leyeron el artículo anterior, que había infinitos e infinitos. Si añadimos una cantidad infinita pero numerable (aleph-cero) de ceros, nuestra intuición sigue siendo correcta: resultado nulo. Pero si la suma se extiende a una cantidad no numerable de elementos (aleph-uno), la verdad es que podemos obtener un número tan grande como queramos, aunque cada uno de ellos sea estrictamente cero.

Tal es la potencia del primer infinito no numerable. ¿Les parece mentira? Fíjense en la figura. Tenemos un segmento de recta comprendido entre los puntos 0 y 1. Existe una noción muy concreta de medida para los conjuntos de elementos, que se llama medida de Lebesgue . Para nuestros propósitos actuales esta medida es idéntica a la longitud del segmento. Estaremos todos de acuerdo en que el segmento mide 1, y en que está formado por puntos. También estaremos de acuerdo en que la longitud de cada punto es EXACTAMENTE CERO. Pues eso, que la suma de todos esos ceros da uno.

Como vimos en el artículo anterior, el número de puntos de un segmento no sólo es infinito, sino que es un infinito no numerable, y ese es el quid de la cuestión.

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PD. En una ocasión intenté convencer a un contertulio de esto que acabo de comentar, y no sólo no se lo creyó, sino que encima se enfadó conmigo. Espero que eso no me pase con ustedes...

12 comentarios

Jean Paul -

Si bien no sé mucho de teoría, diría que si bien la longitud de cada punto es 0, la distancia que los separa no es 0 sino que tiende a 0 y por eso el resultado es distinto de 0 y puede tomar cualquier valor. Es por esto que la presente analogía (la del segmento) (es una analogía o se usa como demostración?)no termina de convencerme que la suma pueda ser distinta de 0.

leidy yurani arboleda -

quiesiera saber como se elimina la indeterminacion de 1infinito???????

Tio Petros -

Pepe: tus observaciones son más agudas de lo que aprecié en un principio. Las he reflejado en el último post.

pepe -

Hola, respondo de nuevo, está claro que la medida de [0,1] es 1, y que la medida de un punto es 0, lo que a mí no me parece correcto es enunciar ese hecho de la forma: "la suma de un número no numerable de ceros puede no ser 0", porque insisto que está por definir lo que es la suma de un conjunto no numerable de ceros. A ver si logro explicarme con un ejemplo, tomemos la suma 2+3=5, eso puede interpretarse como que si yo tomo dos conjuntos disjuntos, uno con 2 elementos y otro con 3, la unión tiene 5, pero la gracia de la cuestión es que el resultado es independiente de los conjuntos elegidos, por eso tiene sentido poner 2+3=5. En el caso que nos ocupa, identificas cada 0 con la medida de un conjunto (todos ellos disjuntos como antes) de un sólo punto, haces la unión de esos conjuntos e identificas la suma con la medida de la unión, el problema es que, para que la definición tenga sentido, hace falta que el resultado sea independiente de los conjuntos elegidos como "representantes" de cada 0, lo cual no es el caso. Espero haberme explicado.

Un saludo, y gracias a tí por el blog, y por darnos la oportunidad de discutir sobre temas matemáticos.

Tio Petros. -

Hola Pepe.
Para empezar, como has concedido, las posibles reordenaciones no sirven de nada en este caso, pues el teorema de Riemann no es aplicable al ser todos los elementos a sumar no negativos, luego no hay cuestión.
Para seguir, en el ejemplo concreto que pongo no necesito demostrar que la suma no numerable es medible, pues sé de partida que el intervalo [0,1] es medible, y que está formado por puntos cada uno de los cuales tiene medida exactamente nula.
Así pues, no corro el peligro de que la unión no numerable de medibles nulos CONCRETA del ejemplo sea un no medible. Lo que nunca podré hacer es extrapolar este ejemplo a cualquier subconjunto de R cuya pertenencia a la sigma-álgebra de los medibles de R no está demostrada.
Un cordial saludo y gracias por tu participación.

pepe -

Pues yo no me voy a enfadar, pero no estoy de acuerdo.
En primer lugar cuando se trata de sumar infinitos números hay que precisar como se hace, por ejemplo es muy conocido que una serie alternada convergente en la que la suma de los términos positivos y los negativos sean ambas divergentes, puede reordenarse para que converja a cualquier valor prefijado (o para que sea divergente).
En segundo lugar, hablando de la medida de Lebesque de [0,1], hay una propiedad que dice que la medida de una unión NUMERABLE de conjuntos medibles y disjuntos es la suma de las medidas (aquí no hay problemas de "reordenación", porque todos son no negativos), pero con uniones no numerables no hay nada que hacer, entre otras cosas porque la unión de una cantidad no numerable de conjuntos medibles podría no ser medible, de modo que tampoco es aplicable al caso que lo aplicas tu.
Resumiendo, que sin tener una definición de suma, es muy difícil investigar sus propiedades, lo primero es la definición, y después vendrá saber si la suma de un conjunto no numerable de ceros puede no ser 0.

MiguelCT -

Sí, lo que me temía, entonces no entiendo ni mu, no es que llegue a enfadarme, pero este concepto se me escapa, supongo que no es fácil sin una buena base teórica. A ver la próxima historia...un saludo.

Tio Petros -

Hola MiguelCT. Efectivamente, son cosas diferentes. El tema de Aquiles y la tortuga consiste en un sumatorio de infinitos elementos, pero con suma finita (series convergentes), que hoy no tiene ningún misterio. El asunto que quería recalcar aquí es que así como es posible estar infinitamente sumando valores y obtener un total finito (caso de Aquiles y la tortuga), también es posible sumar infinitos ceros y obtener una cantidad diferente de cero, a condición de que la suma sea no numerable.
Un saludo.

MiguelCT -

Bueno, primero quiero pedir disculpas por si lo que digo es una tontería, pero esto de sumar infinitas cantidades me recuerda el cuento aquel de la carrera con la tortuga, en la que para alzanzar a la tortuga que tenía ventaja había que recuperar la mitad de la distancia, pero antes la mitad de la mitad...así hasta el infinito, por lo que no se la alcanzaba nunca...y me parece que ya lo resolvió alguien con lo del cálculo infinitesimal.¿Son conceptos diferentes? ¿Esto de 0+0 >< 0 no tiene sentido en el mundo físico? Un saludo!!!

Mankel -

Espero que no llegase a las manos ;-). Las concepciones contrarias al 'sentido común' o alimentan nuestra imaginación o son rechazadas con violencia. Gracias por tu bitácora

Crystal -

Enfadarnos?? Eso nunca, a alguien que se molesta en culturizarnos de forma amena y entretenida no hay que ponerle trabas.
Cada vez entiendo mejor tus explicaciones, algo se me debe estar pegando... :)

Amanda -

Bueno, bueno, que voy entendiendo, jeje!!
Saludos