La insoportable levedad del conjunto Q
Para Reyes, mi
paseo más hermoso
No estará de más recordar una vez más que esto es un paseo, y que no vamos a descubrir en este blog nada nuevo. Tratamos únicamente de visitar parajes hermosos, y de hacer un viaje compartido por el mundo de las ideas matemáticas. Digo esto porque muchos aspectos matemáticos, no por ser perfectamente establecidos y aclarados dejar nunca de tener su encanto.
El conjunto Q es el de los números racionales, o sea: los que se obtienen dividiendo dos enteros, positivos o negativos. Por ejemplo: 0,25 es racional por ser el cociente de 1 y de 4.
Aquellos números que no se pueden expresar mediante este sistema, son llamados en un alarde de imaginación irracionales . Tanto unos como otros son números reales, y estos últimos pueden ponerse en relación uno a uno con los puntos de una recta.
Uno de los primeros hechos interesantes es que todo irracional (pi, por ejemplo) puede ser aproximado mediante una división de enteros, tanto como se quiera; aunque nunca se obtenga dicho número exactamente. Por ejemplo 22/7 es una muy buena aproximación a pi, pues nos da su valor con un error relativo de tan sólo 0.04%. A base de numeradores y denominadores más grandes ( y menos elegantes), conseguiríamos precisiones cada vez mayores. Estamos descubriendo una característica importante del conjunto Q: es denso dentro de R.
La noción de conjunto denso es topológica, y necesita de conceptos previos (adherencia de un conjunto), pero existe una caracterización que nos viene muy bien. Un subconjunto D de un conjunto C es denso si y solo si todo abierto de C contiene algún elemento de D . En la recta real R los abiertos son los intervalos (a,b), que comprende todos los números reales mayores que a y menores que b, así como uniones de intervalos de este tipo, e intersecciones finitas de ellos.
Tomemos el punto origen (cero) de la recta. Imaginamos un entorno abierto centrado en el cero, infinitamente pequeño, pongamos de una billonésima (10 -12) de radio. Es muy fácil encontrar números racionales en el interior de este intervalo abierto, como puede verse en la figura.
Vemos que por muy pequeño que sea el intervalo, existen infinitos racionales dentro de él: en la figura hemos dibujado dos: los correspondientes a una décima y a nueve décimas de billonésima. Eso es lo que quiere decir que Q es denso en R .
Podemos percibir que el conjunto Q invade todo rincón del total R. De la misma forma, dado cualquier intervalo de R, sería igual de fácil encontrar irracionales en su interior, también en número infinito. Los irracionales invaden igualmente R. Adermás, ambos conjuntos, el Qde los racionales y el de los irracionales son disjuntos (un número o es racional y pertenece a Q, o no lo es, y pertenece al conjunto de los irracionales) y su unión hace todo R. ¿Puede darse mayor situación de empate?
Pues sí que puede, dado que ¡el empate es ficticio! De hecho, no hay empate en absoluto. A pesar de ser cierto que podemos aproximarnos cuanto queramos a cualquier irracional por medio de racionales, y viceversa, a pesar de que unos y otros están imbricados en la estructura de R a cualquier escala, por muy microscópica que la imaginemos, resulta que ambos conjuntos son muy diferentes, hasta el punto de que todo el peso de R se lo lleva el complementario de Q( el conjunto de los irracionales), no quedando NADA para Q, que como dijimos en otro post, no es sino humo fractal dentro de R.
Veamos esto con más detenimiento, porque aquí tenemos dos sorpresas:
1.- Dado que entre dos números reales cualesquiera, por muy cercanos que estén, existen infinitos racionales, parecería que no fuera comparable el número de racionales y el de naturales. No es así, pues ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos.
2.- El tamaño o potencia de los racionales e irracionales aparenta ser igual, vista la situación de empate vista más arriba. Esto tampoco es así; la potencia de los irracionales es sipuerior a la de los racionales, como se ha dicho.
Para zanjar la sorpresa 1, Cantor demostró con su método diagonal que los racionales son numerables Esto significa que se pueden poner en orden sin saltarse ninguno, de forma 1º, 2º, 3º, ...si lo conseguimos, como cada racional se corresponde con un natural (entero positivo) y viceversa, entonces los tamaños de los dos conjuntos son iguales. La demostración es una tontería... salvo por el hecho de que a nadie se le ocurrió antes. Consiste en colocar todas las fracciones posibles en una tabla rectangular, eliminar las fracciones que representan el valor de una ya considerada, y recorrer la tabla en diagonal, como se indica en la figura. De esta forma no nos dejamos ninguna fracción por numerar, y cada entero se corresponde con una y solo una fracción. Queda demostrado para toda la eternidad que hay tantas fracciones como enteros positivos.
Dejaremos para el siguiente post la increíble demostración de que a diferencia de Q , R no es numerable. Entonces podremos apreciar la insoportable levedad de Q, en contra de toda apariencia. Os espero.
44 comentarios
Jordan Flight 45 -
lasexxxy -
alkien sabe sobre algebra
el q sepa recbira alko a kambio pidan lo q kieran
dspues doy el msn y el flog
pero ustedes tienen la
siguient opcion apedir:
a) una cita konmiko romantik en la noxe en un motel
b) si no me dan la respuesta no importa no se aflijan kobro 2 lukas x la media hora de sexo en el motel "amantes" de viña del mar
c)si no tienen plata puedn gozar de mi kuerpo en el siguiente log:
www.fotolog.com/gozadora_lasexxxy
bueno esso se despid attentament de ustdes las sexxxy de 17 años bessos sueñen konmiko en la kama tniendo sexo.....
gbgb -
hbhzhb -
pato -
Eugenio -
PATTY -
pablo -
mas encima tengo una prueba
Edward -
yoselyn -
mirna yoselyn -
bebah -
nesesitosaber como xuxa se ace too eso porq tengo prueba
y tambien para un examen de admision
ayudenmeeee!!!!!!!!!!!!!!!!!!
paula -
por que no se...
daniela -
kari -
ayuda sos
nena -
muy buena la pag por q asi puedo studiar para el colegio q quiro entrar jajaja
xauu...
imbecil yo...
seba -
fannyta -
no callo nada
le vamos a pedir al profe de
mate que cambie esa
prueba por que yo no cacho nada
ustedes me pueden mandar a mi correr
algo especifico de lo que el es
conjunto q plis adios
diego -
xd -
Carlithax! -
Bruko -
bohh... -
Yariitzah*! -
tu hermana -
YOVANNI -
angelo -
feñita -
klaud -
mary -
mary -
francisco -
pasi -
pasi -
pico -
nenitHA -
iwal.. nose xD
joaquin -
Donaji -
MóNICA -
alma delia alvarez -
PAOLA -
francisco -
Crystal -
No se cómo demonios será la demostración del siguiente post pero la de este es genial de tan sencilla.
Como siempre, quiero más
Rimblow -
P.D. Gracias para deleitarnos con estas "pequeñas" joyas.