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Tio Petros



Este blog es una invitación a dar un paseo por la matemática. Intentaré comentar los aspectos más bellos y si es posible menos tópicos de la misma. En todo caso, es tan sólo un paseo que debe darse como se hace en una soleada tarde de verano: con placer.

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La insoportable levedad del conjunto Q

DiagonalQ.jpg

Para Reyes, mi
paseo más hermoso



No estará de más recordar una vez más que esto es un paseo, y que no vamos a descubrir en este blog nada nuevo. Tratamos únicamente de visitar parajes hermosos, y de hacer un viaje compartido por el mundo de las ideas matemáticas. Digo esto porque muchos aspectos matemáticos, no por ser perfectamente establecidos y aclarados dejar nunca de tener su encanto.

El conjunto Q es el de los números racionales, o sea: los que se obtienen dividiendo dos enteros, positivos o negativos. Por ejemplo: 0,25 es racional por ser el cociente de 1 y de 4.

Aquellos números que no se pueden expresar mediante este sistema, son llamados en un alarde de imaginación irracionales . Tanto unos como otros son números reales, y estos últimos pueden ponerse en relación uno a uno con los puntos de una recta.

Uno de los primeros hechos interesantes es que todo irracional (pi, por ejemplo) puede ser aproximado mediante una división de enteros, tanto como se quiera; aunque nunca se obtenga dicho número exactamente. Por ejemplo 22/7 es una muy buena aproximación a pi, pues nos da su valor con un error relativo de tan sólo 0.04%. A base de numeradores y denominadores más grandes ( y menos elegantes), conseguiríamos precisiones cada vez mayores. Estamos descubriendo una característica importante del conjunto Q: es denso dentro de R.

La noción de conjunto denso es topológica, y necesita de conceptos previos (adherencia de un conjunto), pero existe una caracterización que nos viene muy bien. Un subconjunto D de un conjunto C es denso si y solo si todo abierto de C contiene algún elemento de D . En la recta real R los abiertos son los intervalos (a,b), que comprende todos los números reales mayores que a y menores que b, así como uniones de intervalos de este tipo, e intersecciones finitas de ellos.

Tomemos el punto origen (cero) de la recta. Imaginamos un entorno abierto centrado en el cero, infinitamente pequeño, pongamos de una billonésima (10 -12) de radio. Es muy fácil encontrar números racionales en el interior de este intervalo abierto, como puede verse en la figura.



Vemos que por muy pequeño que sea el intervalo, existen infinitos racionales dentro de él: en la figura hemos dibujado dos: los correspondientes a una décima y a nueve décimas de billonésima. Eso es lo que quiere decir que Q es denso en R .

Podemos percibir que el conjunto Q “invade” todo rincón del total R. De la misma forma, dado cualquier intervalo de R, sería igual de fácil encontrar irracionales en su interior, también en número infinito. Los irracionales invaden igualmente R. Adermás, ambos conjuntos, el Qde los racionales y el de los irracionales son disjuntos (un número o es racional y pertenece a Q, o no lo es, y pertenece al conjunto de los irracionales) y su unión hace todo R. ¿Puede darse mayor situación de empate?

Pues sí que puede, dado que ¡el empate es ficticio! De hecho, no hay empate en absoluto. A pesar de ser cierto que podemos aproximarnos cuanto queramos a cualquier irracional por medio de racionales, y viceversa, a pesar de que unos y otros están imbricados en la estructura de R a cualquier escala, por muy microscópica que la imaginemos, resulta que ambos conjuntos son muy diferentes, hasta el punto de que todo el peso de R se lo lleva el complementario de Q( el conjunto de los irracionales), no quedando NADA para Q, que como dijimos en otro post, no es sino humo fractal dentro de R.

Veamos esto con más detenimiento, porque aquí tenemos dos sorpresas:

1.- Dado que entre dos números reales cualesquiera, por muy cercanos que estén, existen infinitos racionales, parecería que no fuera comparable el número de racionales y el de naturales. No es así, pues ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos.

2.- El tamaño o potencia de los racionales e irracionales aparenta ser igual, vista la “situación de empate” vista más arriba. Esto tampoco es así; la potencia de los irracionales es sipuerior a la de los racionales, como se ha dicho.

Para zanjar la sorpresa 1, Cantor demostró con su método diagonal que los racionales son numerables Esto significa que se pueden poner en orden sin saltarse ninguno, de forma 1º, 2º, 3º, ...si lo conseguimos, como cada racional se corresponde con un natural (entero positivo) y viceversa, entonces los tamaños de los dos conjuntos son iguales. La demostración es una tontería... salvo por el hecho de que a nadie se le ocurrió antes. Consiste en colocar todas las fracciones posibles en una tabla rectangular, eliminar las fracciones que representan el valor de una ya considerada, y recorrer la tabla en diagonal, como se indica en la figura. De esta forma no nos dejamos ninguna fracción por numerar, y cada entero se corresponde con una y solo una fracción. Queda demostrado para toda la eternidad que hay tantas fracciones como enteros positivos.

Dejaremos para el siguiente post la increíble demostración de que a diferencia de Q , R no es numerable. Entonces podremos apreciar la insoportable levedad de Q, en contra de toda apariencia. Os espero.
13/11/2003 22:21 #. Conceptos

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¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres

gravatar.comAutor: Rimblow

Muy interesante el método que uso Cantor para demostrar que los racionales son numerables, y aunque Q es un conjunto muy interesenta e de decir, que espero con impaciencia el siguiente post, me parece increible poder decir que Q es numerable, y R no, o al contrario, he decir que yo tengo un especial cariño por el conjunto de los irracionales, supongo que este conjunto no se podrá numerar,..., bueno lo dicho, espero con impaciencia, el siguiente post.

P.D. Gracias para deleitarnos con estas "pequeñas" joyas.

Fecha: 13/11/2003 15:01.


Autor: Crystal

Cantor era un tipo listo...Y me ha dejedo impresionada.

No se cómo demonios será la demostración del siguiente post pero la de este es genial de tan sencilla.

Como siempre, quiero más

Fecha: 15/11/2003 17:40.


gravatar.comAutor: francisco

con capto na'

Fecha: 07/06/2004 18:31.


Autor: PAOLA

NO SALE NADAAAAAAAAAA¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

Fecha: 04/07/2004 03:42.


gravatar.comAutor: alma delia alvarez

hola que tal...me puedes contestar...necesito un tema de ampliacion del error de fundamentos numericos

Fecha: 10/08/2004 18:45.


gravatar.comAutor: MóNICA

Nesecito demostrar si el conjunto Q es denso con la relación

Fecha: 01/09/2004 19:57.


gravatar.comAutor: Donaji

Me gustaría saber si existe alguna formula por partes para calcular la numerabilidad de los racionales a partir de la tabla de Cantor

Fecha: 14/04/2005 22:32.


Autor: joaquin

Fecha: 06/05/2005 18:34.


Autor: nenitHA

aahhH! shIt! nO caxo nah. mañana tengo prueba de esta wea :o!
iwal.. nose xD

Fecha: 12/05/2005 22:08.


gravatar.comAutor: pico

ola a todos soy pico y kiero saber como se hacen las efcuaciones de esta mierda pork manaña tengo una prueba y no caxo nada

Fecha: 07/06/2005 21:22.


gravatar.comAutor: pasi

q s el conjunto Q???

Fecha: 17/06/2005 00:35.


gravatar.comAutor: pasi

porfa ayuda q chucha es esa huea?????????? es urgente!!! plisss?!?!?!

Fecha: 17/06/2005 00:38.


gravatar.comAutor: francisco

sssss

Fecha: 28/08/2005 06:05.


gravatar.comAutor: mary

no entiendo q´es Q' irracional ok.

Fecha: 28/09/2005 22:58.


gravatar.comAutor: mary

necesito saber urgentemente como se grafica un racional en la recta númerica. ayudenme no se nada de nada sippp!!!!!!!!

Fecha: 28/09/2005 23:03.


gravatar.comAutor: klaud

como se operaaaaaa en el conjunto Q en fraccines negativas

Fecha: 13/03/2006 16:17.


gravatar.comAutor: feñita

nesesito su ayuda no entiedo en negativo

Fecha: 11/04/2006 01:59.


gravatar.comAutor: angelo

me parese fantastico estos tipos de estudios, que hacen que los no interesados descubran algo y terminen en interesarles y a los que ya estan en el tema les aumenta el deseo de seguir. buen aporte

Fecha: 27/01/2007 21:13.


gravatar.comAutor: YOVANNI

esto es una mierda la matematica la invento un mamaguevo que no tenia oficio nojoda

Fecha: 01/02/2007 21:24.


gravatar.comAutor: tu hermana

q faciles xd solo veanlo x el punto de vista simple ( estoy drogado xd)

Fecha: 07/03/2007 15:14.


gravatar.comAutor: Yariitzah*!

ni un brillo esta pagina no se entiende nada :@

Fecha: 13/03/2007 03:03.


gravatar.comAutor: bohh...

ehh... ahh!!! no caxo nna del conjunto q y la wea........bohh.. ju ju ju....

Fecha: 14/03/2007 21:26.


gravatar.comAutor: Bruko

Muy interesante, qué agradable la forma en que está comentada, lástima que algunos quieran leer y saber todo como quien lee el diario.

Fecha: 10/04/2007 05:17.


gravatar.comAutor: Carlithax!

eeeh.!!no sale naah.!! no entien doooo..!! karajo

Fecha: 10/04/2007 23:57.


gravatar.comAutor: xd

BASURITAS

Fecha: 18/04/2007 03:24.


gravatar.comAutor: diego

eta "cosa" no sale nada ,basura

Fecha: 25/06/2007 23:58.


gravatar.comAutor: fannyta

oie que es el conjunto q
no callo nada
le vamos a pedir al profe de
mate que cambie esa
prueba por que yo no cacho nada
ustedes me pueden mandar a mi correr
algo especifico de lo que el es
conjunto q plis adios

Fecha: 28/06/2007 00:17.


gravatar.comAutor: seba

es muy interesante este sitio y espero que lo sigan modernisando ya futuros profe komo yo recopilamos todo esto ya que son muy importantes

Fecha: 20/08/2007 01:10.


gravatar.comAutor: nena

puxa no entiendo nada de eso pero

muy buena la pag por q asi puedo studiar para el colegio q quiro entrar jajaja

xauu...

imbecil yo...

Fecha: 29/08/2007 20:51.


gravatar.comAutor: kari

ayuda too pa entrar a otro col y caxo ni una¡¡¡
ayuda sos

Fecha: 23/09/2007 17:13.


gravatar.comAutor: daniela

necesito saber como se hace esta operacion para una prueba de admicion xfa ayudeme.........

Fecha: 06/10/2007 18:53.


gravatar.comAutor: paula

quiero saber como se hacen
por que no se...

Fecha: 12/10/2007 00:47.


gravatar.comAutor: bebah

u.u nu caxo una de esa wa
nesesitosaber como xuxa se ace too eso porq tengo prueba
y tambien para un examen de admision
ayudenmeeee!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Fecha: 15/10/2007 23:43.


gravatar.comAutor: mirna yoselyn

ciempre que entro a esta pajina no me sale lo que busco ¡porque¡.

Fecha: 13/11/2007 23:46.


gravatar.comAutor: yoselyn

porfabor tengo un examen de matematicas y no me dan la informacion nesesaria... no quiero reprobar¡porfabor ayudenme¡

Fecha: 13/11/2007 23:58.


gravatar.comAutor: Edward

xfa me puedes explicar: fracciones y ejemplo "Q"

Fecha: 04/03/2008 13:18.


gravatar.comAutor: pablo

no cache nada de lo que lei yo cacho que esta mal explicado
mas encima tengo una prueba

Fecha: 13/03/2008 03:46.


gravatar.comAutor: PATTY

CTM ESTA PORQUERIA DE TAREA ME ESTA DEJANDO SONSA

Fecha: 23/04/2008 23:58.


gravatar.comAutor: Eugenio

Muy buen comentario a este tema. Quisiera saber si se tiene un pseudocòdigo que ejemplifique (para un subconjunto de Q, claro) el mètodo diagonal (por ejemplo, limitado a los primeros 100 racionales).

Fecha: 06/05/2008 20:11.


gravatar.comAutor: pato

terrible chanta

Fecha: 19/05/2008 15:59.


gravatar.comAutor: hbhzhb

ESTO ES UNA PORQUERIA x q no lo dien de forma sencilla !!! en ves de ayudar confunden :s(estresada xD)

Fecha: 24/06/2008 20:58.


gravatar.comAutor: gbgb

f,szrbhkrgbdl

Fecha: 24/06/2008 20:59.


gravatar.comAutor: lasexxxy

holiiiiii

alkien sabe sobre algebra

el q sepa recbira alko a kambio pidan lo q kieran
dspues doy el msn y el flog
pero ustedes tienen la
siguient opcion apedir:

a) una cita konmiko romantik en la noxe en un motel

b) si no me dan la respuesta no importa no se aflijan kobro 2 lukas x la media hora de sexo en el motel "amantes" de viña del mar

c)si no tienen plata puedn gozar de mi kuerpo en el siguiente log:
www.fotolog.com/gozadora_lasexxxy

bueno esso se despid attentament de ustdes las sexxxy de 17 años bessos sueñen konmiko en la kama tniendo sexo.....

Fecha: 22/07/2008 01:55.


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