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Tio Petros

Independencia ( y 2)

En el post anterior no hay trampa alguna. Las variables aleatorias X1 y X2, que indicaban el sexo del primer y del segundo hijo son realmente independientes. El sexo de cualquiera de ellos no influye para nada en el sexo del otro. Lo que ocurre es que cuando decimos que “al menos uno de ambos es chica” erróneamente pensamos que estamos hablando de alguna de estas dos variables aleatorias independientes, y eso no es así. Comprender esto es básico para entender lo que sigue.

Vamos a verlo pausadamente. Definimos una variable aleatoria nueva, que llamaremos Y definida así:

Y= X1+ X2

Los valores de Y que podemos encontrar en nuestro matrimonio son 0,1 y 2. (Recordemos que cualquiera de las X valía 0 si el correspondiente hijo era varón y 1 si era hembra. Y no es más que el número de hembras que tiene la pareja.

El suceso {alguno de los hijos es chica} es exactamente el suceso {Y es mayor o igual que 1}. El suceso {la otra también es chica} es exactamente el suceso {Y=2}.Tan sólo ver la definición de Y , y comprobar que las dos variables X están presentes en dicha definición, vemos claro que no es independiente de las mismas. Repetimos una vez más: las variables X1 y X2 son independientes entre sí, pero la Y depende de ambas.

Cuando tenemos un conocimiento parcial de qué es lo que ocurre, como en nuestro caso (sabemos que al menos una es chica), las probabilidades se reajustan a dicho conocimiento, siempre que el suceso estudiado no sea independiente de esa nueva información. Hablaremos entonces de probabilidades condicionadas, porque están condicionadas a un conocimiento parcial que poseemos, o que suponemos conocido. Lo expresamos matemáticamente mediante una barra vertical que por misterios informáticos no puedo poner aquí, de forma que usaré la barra(/), que no deberemos confundir con una división.

Diremos entonces:

P( x1/ x2)= P( x1)
P( x2 / x1)= P( x2)


¿Qué quiere decir esto? Pues muy sencillo: las probabilidades de x2 conocidos los valores de x1 son las mismas que sin tener en cuenta a x1 para nada. Eso ya lo sabíamos: que el primer hijo sea chico o chica no condiciona para nada el sexo del segundo.

Diremos que dos variables aleatorias A y B son independientes si y solo si

P(A/B)=P(A)
P(B/A)=P(B)

¿Y en nuestro problema, qué es lo que ocurre? Pues ocurre que nos estamos preguntando por la probabilidad del suceso {Y=2} condicionado a que ocurre el suceso {Y es mayor o igual que 1}. Nadie podría esperar independencia de una variable respecto a un conocimiento parcial de la misma variable, ¿verdad?

Veamos cómo afecta este conocimiento:

Los valores posibles de Y (número de chicas) era 0,1, ó 2, con las siguientes probabilidades:

P(Y=0) = 0.25 (una posibilidad entre cuatro: primer hijo chico y segundo también)
P(Y=1) = 0.5 (dos posibilidades entre cuatro: primer hijo chico y segundo chica y viceversa)
P(Y=2) = 0.25 (una posibilidad entre cuatro: primer hijo chica y segundo también).

Al saber que una al menos es chica, sabemos que Y no puede valer cero, luego la probablidad total se debe redistribuir entre los dos sucesos restantes, {Y=1} y {Y=2}. Antes de dicho conocimiento, estos dos sucesos sumaban el 75% de la probabilidad total, ahora suman el 100%, pues hemos descartado la posibilidad {Y=0}. Técnicamente diremos que el conocimiento parcial del asunto nos ha disminuido el espacio muestral, y debemos reasignar probabilidades a los sucesos.

Si la suma que antes era el 75%, ahora se ha ampliado hasta el 100%, por una simple regla de tres podemos comprobar que las probabilidades para los sucesos {Y=1} y {Y=2} quedan del 66,66% y del 33,33% respectivamente.

Volvemos a obtener que es el doble de probable que el otro hermano sea chico (suceso {Y=1}) que chica (suceso {Y=2})si sabemos que uno de ellos al menos es chica. Como sabíamos por el post anterior.

Ya ven, al final todo se entiende (¡espero!), pero para nosotros los humanos es mucho más fácil reconocer incluso por teléfono la voz de un amigo que no hemos oído hace años que estimar intuitivamente de forma correcta las probabilidades de un suceso tan simple como éste. Sin embargo, la correcta estimación de probabilidades, como decía en el post anterior, tiene evidentes ventajas para la supervivencia. ¿Porqué no hemos sido mejor dotados para ello?
No tengo ni idea.
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19 comentarios

Pepeluche -

Bueno, pues paso por aquí para agradecerte el paseo por ese apasionante mundo de las matemáticas, soy ingeniero en sistemas y sin duda las computadoras no entienden idioma diferente que este, lo paradójico es que yo no entendí muchas de estas historias matemáticas, cierto me falta un mundo por aprender acerca del tema. Espero continues con esta magnífica labor de compartir tu afición, me despido de este foro, y espero tener la oportunidad de leer nuevamente un post. Lo maravilloso del tiempo no es solo lo finito que es para los hombres, sino lo elástico que es para si mismo.

manuel -

Hay una cosa que no tengo clara. Antes de conocer x1=1, Y1 tenia el doble de probabilidad que Y2. Una vez conocido x1=1 no puede seguir siendo asi porque uno de los 2 casos que hacian Y=1 era que el primer hijo fuese varon, cosa que ya no es posible. No iguala esto las probabilidades de Y=1 y de Y=2 como dice el sentido comun?

ALEJANDRO -

NO SIRBE TU PAGINA

oscar a mendoza -

HOLA ESCRIBEME

SuperJoanet -

El problema del monty Hall, que en principio te crees por cuestión de fe, se comprende mucho mas intuitivamente si en vez de 3 puertas imaginas 10. Eliges una entre diez y de las nueve restantes se eliminan ocho que no tienen el premio, dejando una solo. Ahora es más facil visualizar que el premio tiene más posibilidades de encontrarse entre la que no habias elegido, y por consiguiente se debe cambiar de opción.

JuanPablo -

Quique, puse ese ejemplo como el caso extremo, donde la solución es 'no cambio nunca' contra la oficial 'cambio siempre'.

Ahora, podés obtener cualquier resultado intermedio ('conviene cambiar el x% de las veces') según el porcentaje de veces que el presentador te da la oportunidad sabiendo que te has equivocado.

[Quique] -

Sí, por eso decía yo que en ese caso la estrategia ganadora era obvia y no se plantearía ningún problema interesante. De hecho, esa estrategia del presentador sería nefasta para el programa a medio/largo plazo, obviamente. O tal vez no, a lo mejor son sucesos independientes.

Tio Petros -

Hola Quique. Me temo que no estoy de acuerdo contigo en lo de Monty Hall. No se trata de que el presentador te de la oportunidad de cambiar cuando el concursante se equivoque, sino exactamente lo contrario: sólo cuando acierte, como estrategia del concurso para dar menos premios. En ese caso, el hecho de que te dé a elegir es signo de que has acertado con tu elección primera, y no debes cambiar.

[Quique] -

Para mi la estadística es fascinante no sólo por el edificio matemático prodigioso al que se refería el Tío Petros, sino como herramienta para comrpender el mundo. Por una parte, como herramienta imprescindible para procesr y de esa forma comprender los datos, las mediciones y observaciones sistemáticas necesarias para aplicar el método científico; y por otra, porque en la base del funcionamiento de las cosas, hay una naturaleza estocástica, que sólo puede ser cabalmente comrpendida gracias a la comprensión de la probabilidad y la estadística. Los éxitos de la mecáncia estadística en la explicación de los fenómenos físicos, la interpretación más exitosa de los fenómenos cuánticos, el corazón mismo de la teoría de la información han sido construidos y/o comprendidos adecuadamente gracias al aparato matemático en torno a la estadística. Definitivamente, es extraordinariamente importante recalcar la importancia de esto.

Por otro lado, respecto al problema de Monty Hall, no se por qué hay alguna diferencia en cuando a que el presentador haga el numerito de abrir la puerta sin premio "cuando le conviene". ¿Qué significa exactamente esa expresión? Si siempre lo hace cuando el concursante ha elegido el premio, la estrategia ganadora segura es obvia. Si sólo lo hace cuando el concursante se equivocó, también ocurre igual. No se plantea entonces ningún problema. Si lo hace al azar, unas veces sí y otras no, se aplica la misma conclusión que se aplica al problema original. Para mi es obvio: en tu primera elección tenías más probabilidades de equivocarte que de acertar. Al cambiar sólo puedes mejorar. Un saludo probable para todos.

Pepe -

Hola, gracias a todos por las puntualizaciones, yo lo leí hace bastante tiempo en Investigación y Ciencia, y no sabía la historia del problema.
Referente a lo que comenta Tio Petros, tiene toda la razón, eso de que el presentador, después de haber elegido tu, te señale una puerta no elegida que no contiene el premio, debería figurar en las bases del concurso, si lo hace cuando le conviene, habría que pensar un poco más el asunto.

luia -

offtopic:
http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html
una de números

Tio Petros -

Me alegro mucho por la explicación de JuanPablo, que desconocía; sin embargo, siempre había pensado que yo seguiría sin saber qué elegir, mientras no supiera que el presentador me iba a dar la opción a cambio siempre, independientemente de mi elección primera. Si éste es el caso, doblamos las posibilidades de éxito; pero si el presentador utiliza como estrategia ofrecerme el cambio cuando a él le conviene, la cosa cambia.

JuanPablo -

Carlos, el problema original lo planteó Martin Gardner en 1959.

Cuando ella lo pone en su columna, lo modifica, aplicándolo a un problema de un show de tv real (Let's Make a Deal), y ahí es donde comete el error: en el show, no siempre abrían otra puerta, con lo cual el espíritu del problema cambia mucho.

Gran parte de la discusión terminó cuando ella aceptó que ése era un error serio, ya que no estaba claro que hubiera que cambiar siempre que el presentador abriera la puerta (podía ser que abrieran una sólo si uno había elegido la ganadora!).

Carlos -

No, ella dió la respuesta correcta en su columna del periódico. Lo que tiene que ver con ella es que creó la suficiente controversia como para que llegara el problema a oidos de Erdös .

JuanPablo -

Se la suele mencionar a Marilyn vos Savant en relación a ese problema porque dió la respuesta equivocada en una columna que tiene (o tenía?) en un periódico, pero no tiene nada que ver con él.

Carlos -

El problema de Monty Hall si no recuerdo bien , sale relatado en la biografía de Paul Erdös "el hombre que sólo amaba los números" , y según cuenta, incluso el mismo Erdös se equivocó en la respuesta al problema. También está por ahi metida Marilyn vos Savant, la persona con el mayor coeficiente intelectual de mundo, 228.

De todas formas, he de decir que la teoría de la probabilidad y la estadística , quizá sean las áreas de la matemática menos atractivas para mi.

Tio Petros -

Para Pepe: Este interesantísimo problema que mencionas se llama el problema Monty Hall, y ha hecho correr ríos de tinta. Si os apetece hablamos del mismo. No lo he mencionado porque está ya bastante manido, pero eso no le quita interés.
Para Rimblow: Respetando por supuesto tus inclinaciones (sobre gustos no hay nada escrito), estaría bien comentar que el edificio teórico construido alrededor de la teoría de la probabilidad es realmente magnífico. Independientemente de las aplicaciones prácticas del cálculo de probabilidades. Un suldo a ambos, y gracias por vuestros comentarios.

Rimblow -

Yo, la verdad, siempre he creido que la probabilidad (como la estadística), es como el futuro y el pasado, nunca son el presente, por eso a lo mejor, no me gustan tanto... (sin desmerecer a quien le gusten, por supuesto)

Pepe -

Por si alguien quiere probar con un problema un poco más difícil (tomado de Investigación y Ciencia):
Estamos en un concurso de la tele y debemos elegir una puerta entre 3, tras una de ellas hay un regalo, mientras que las otras dos no tienen nada.
Después de elegida una puerta el presentador nos señala una de las otras dos y nos dice "esa no contiene nada", y nos da la oportunidad de cambiar de elección.
La pregunta es: ¿es ventajoso cambiar nuestra elección, o debemos mantener la inicial?

Un saludo.
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