Pasamos a explicar lo prometido: cómo consiguió Euler demostrar que la serie de los inversos de los cuadrados perfectos convergía a pi cuadrado sextos
Euler empezó con el desarrollo en serie de la función seno. Hay que hacer notar que un desarrollo en serie NO es un polinomio. Un polinomio tiene un número finito términos. Una función seno es una
función trascentente , y nunca podría ser expresada como un polinomio.
La audacia de Euler consistió en tratar esta serie como si de un polinomio se tratara. Llamó P(x) a la serie que expresa la función (sen x )/x,
_____________________
ECUACION (1) ________________
Los valores para los cuales esta función se anula son los mismos que los valores para los cuales se anula la función seno, habida cuenta de que el límite de P(x) cuando x tiende a cero es la unidad, como es sabido.
La audacia está en el paso siguiente: ya que tenemos las raíces de P(x)=0, factoricemos como si estuviéramos ante un polinomio corriente:
Ahora utilizando el rollo aquel de (a+b)(a-b)=a
2- b
2, podemos agrupar los factores de dos en dos, obteniendo lo que sigue:
_____________________
ECUACION (2) __________________
Vemos que la serie que represente a P(x) la podemos expresar de dos formas: como la suma de una serie de potencias pares de x,
ECUACION (1) y como el producto de una serie de factores todos ellos con x elevado al cuadrado
ECUACION (2) .
Según la primera de las maneras, el coeficiente de x
2 vale
–1/3! ; y según la segunda, el coeficiente de x
2 proviene de multiplicar todos los primeros miembros de los factores (siempre el 1) menos uno, por el segundo miembro de cada uno de los factores, y luego sumar todas las posibilidades. Igualando los coeficientes de x
2 en ambas expresiones, obtenemos:
Lo que nos lleva irremisiblemente a
Autor: hmm
Yo no entiendo el último paso. Puede que sea porque soy un poco corto. Hacia donde converge la serie 1/i^2 y por qué en la última imagen no aparece -1/pi^2 y ala, irremisiblemente el resultado da el esperado 8). Creo que me interesa más la vida de los hombres que estudian las matemáticas que las propias matematicas ;). Saludos
Fecha: 17/09/2004 10:48.
Autor: BitFarmer
En dos palabras: imp prezionante.
Muchos dirian sin pensar que Einstein fue el mas listo de la historia, pocos diran que fue Euler: No hay justicia en este mundo!
Fecha: 17/09/2004 11:09.
Autor: BitFarmer
El ultimo paso, para verlo mas claro, hazlo en dos pasos:
Primero saca del parentesis -1/PI2 porque es factor comun de todos los sumandos, asi, dentro del parentesis te queda:
(1+1/4+1/9...)
Y esto es justo el sumatorio dle final, fijate 4=2 al cuadrado, etc.
Fecha: 17/09/2004 11:11.
Autor: jose
¡Por fin! Ayer me pasé la tarde en la biblioteca intentando hallar la suma xD
Fecha: 17/09/2004 17:10.
Autor: hmm
Ahora si, se saca el factor común de la serie y se despeja "la serie" (-1/3!)/(-1/pi^2).
Thx!
Fecha: 17/09/2004 19:51.
Autor: TioPetros
hmm: a que da gustito cuando, de improviso se hace la luz en la mente y uno lo ve todo claro?
Fecha: 17/09/2004 21:06.
Autor: El Gaviero
Tengo las matematicas un poco oxidadas y visito el blog porque, a pesar del oxido, son apasionantes.
Mi problema es que me pierdo con lo de la factorizacion del polinomio usando sus raices. ¿alguien me lo explica?
Fecha: 18/09/2004 01:20.
Autor: El Gaviero
Muchas gracias. Me confundia la forma de factorizar utilizando los inversos de las raices. Ahora ya lo entiendo.
Fecha: 18/09/2004 11:26.
Autor: Crystal
Euler acaba de convertirse en mi nuevo ídolo, me he quedado con la boca abierta 10 min.!! Todo parece tan sencillo ahora... :)
Fecha: 20/09/2004 00:50.
Autor: TioPetros
Crystal: Euler era, sin duda uno de los más grandes. Bajo su sombra, todo parece tener sentido...
Fecha: 20/09/2004 08:21.
Autor: Granrabo
Según la mayoría de libros que he leído, se dice que Newton fue el mayor genio científico de todos los tiempos. Y que Euler fue el mayor matemático.
A mí lo que más me fascina es lo que a todos, que el circulo esté "metido" indirectamente en una ecuación que no tiene (aparentemente) nada que ver con círculos. La verdad es que es intrigante. Supongo que el círculo estará en alguna parte de esta fórmula, escondido, aunque sea de manera muy inderecta.
Fecha: 21/09/2004 02:48.
Autor: jose
Yo venero de forma especial a Ramanujan.
Miren esto y lloren:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/07-1-b-b.gif
Fecha: 22/09/2004 02:25.
Autor: TioPetros
Eso es una de las "melodías indias" de Ramanujan. Ya hablaremos de él. Inconcebible, verdad?
Fecha: 22/09/2004 11:25.
Autor: rioduero
Soy mero aficionado, pero me ha llenado de emoción la carga 'poética' que encierra esta demostración de Euler. Ya conocía yo la seña pero vosotros me habéis enseñado el santo. ¡quién había de ser! ¡Euler! ¡Genial Euler!
Gracias, Tío Petros por esta web. José.
Fecha: 25/09/2004 18:16.
Autor: rioduero
Acabo de leer en detalle todos los comentarios al desarrollo de marras y no se ha contestado que: en una ecuación polinómica de una variable, grado 'n', la suma de los inversos de las raíces vale el coeficiente de 'x' cambiado de signo (el t. independiente vale 1). Creo que esto ayudará o otros que no recuerden tal relación, pq si no, no está nada claro.
Me enorgullezco de tener esta web en mente como la número uno. Tío Petros no nos abandones.
Fecha: 01/10/2004 22:41.
Autor: japa
Par igualar las ecuaciones 1 y 2 debmos suponer que el radio de convergencia del desarrollo en serie es infinito ya que en la factorización hay raices que tienden a infinito ¿correcto? ¿Si esto es así como comprobamos el radio de convergencia de la serie?
Fecha: 15/09/2005 16:11.
Autor: Juan Carlos Ortega
Popularizar las matemáticas me parece que es el primer paso para abandonar de una p. vez la edad del fuego. Sin embargo, suelo ocuparme de los fundamentos porque dan la seguridad y confianza en las demostraciones (por lo común) que un excéptico como yo exige. Sin duda, Euler hizo un buen trabajo; pero me quedo con la duda de si la función seno admite el desarrollo en serie del que se parte. A pesar de todo, pienso que este blog es la caña. Para quitarse el sombrero, vamos.
Fecha: 11/03/2006 13:48.
Autor: discipulodegauss
y por que lo que se factoriza de cada factor 'desaparece'.
Fecha: 08/10/2006 20:20.
Autor: Ivan Noboa
¿La función para sin(x) no es una de las llamadas series de McCalurin?, me lo podrían ratificar.
Fecha: 08/11/2006 16:10.
Autor: Miguel
necesito la suma de al serie X^N/N^2
No se calcular integral de -ln(1-x)/x
Fecha: 27/12/2006 18:29.
Autor: Jimmy
Magnifica forma de demostrar, sobre el radio de convergencia est aclaro por el polinomio de Taylor que lo asegura para R. Muy buena demostracion. Pero creo que Gauss tambien es tan brillante como Euler.
Fecha: 22/02/2008 18:00.
Autor: