Las sucesiones de Goodstein ( y 3)
Kurt Gödel entra en escena La demostración que hemos visto es realmente sorprendente, pero no deja (a mí al menos) una sensación de plenitud. Hemos demostrado, efectivamente que cualquier sucesión de Goodstein termina por converger a cero, pero no nos da ninguna indicación de cuándo alcanza dicho valor, ni de cómo hallarlo.
Lo primero que debemos notar es que tratándose de sucesiones de números enteros finitos todos ellos (enormes, pero finitos), hemos demostrado su convergencia a cero utilizando la noción de infinito actual (el omega w). De alguna manera; nos hemos salido del tiesto.
Esto es una constante en la matemática y no debe sorprendernos: vimos en el artículo sobre Erdös que el teorema de los números primos fue demostrado en primer lugar por De la Vallee-Poussin y Hadamard utilizando poderosas herramientas de análisis complejo que en principio nada tienen que ver con la aritmética de los enteros. Luego Erdös consiguió una demostración elemental, en el sentido de que utilizaba nada más que herramientas propias de la aritmética de los enteros, sin salirse del tiesto.
¿Ocurrirá lo mismo con las sucesiones de Goodstein? Dicho de otra forma: ¿será posible demostrar la convergencia a cero sin apelar al infinito? Al fin y al cabo, dicho infinito no se alcanza en ningún momento en el problema original...
La respuesta, rotunda como una bofetada, la dieron los matemáticos Paris y Kirby ...:NO
Estos dos matemáticos demostraron en 1.981 (Kirby, L. and Paris, J. Accessible independence results for Peano arithemtic. Bull. London. Math. Soc., 14 (1982), 285-93. ) que es imposible demostrar la convergencia a cero de nuestra sucesión sin apelar al infinito actual (la omega de los cálculos del post anterior). Ahora tenemos un teorema que demuestra la imposibilidad de demostración de otro teorema sin apelar al infinito actual.
Esto es lo mismo que afirmar que lo que afirma el teorema de Goodstein es cierto pero indemostrable dentro de la aritmética de los enteros finitos, a pesar de que no compete más que a números enteros finitos.
Es una de las poquísimas situaciones concretas en las que se ve la potencia de la maldición de Gödel.
Kurt Gödel demostró en los años 30 del siglo pasado que para todo sistema axiomático suficientemente potente como para albergar la aritmética de los enteros existen proposiciones (afirmaciones) que son ciertas pero indemostrables dentro del mismo. Esto se llama el Teorema de incompletitud de Gödel .
Dicho teorema afirma que toda teoría aritmética recursiva consistente es incompleta , y un teorema hermano dice que si una teoría aritmética es consistente, no existe en su seno demostración alguna de que efectivamente lo es . La completitud es, por tanto, la posibilidad de demostrar toda afirmación cierta. La consistencia es la ausencia de contradicción. Una teoría es contradictoria cuando se puede demostrar en su seno una afirmación y también su contraria.
Sobre el mismo se han dicho muchas cosas ciertas y muchas chorradas, y éstas últimas parece que han sido las que más éxito han tenido. El propio Roger Penrose (el gran Penrose, amigo de Stephen Hawking) hace lecturas ilícitas del mismo para arrimar el ascua a su sardina en La mente del emperador, pero este es otro tema.
Gödel demostró lo anterior de una forma demoledora: construyendo efectivamente una proposición que era a la vez verdadera e indemostrable dentro del sistema axiomático. Uno de los problemas de Hilbert quedaba zanjado de forma negativa.
Pues bien: la convergencia de nuestra serie de Goodstein es el segundo ejemplo práctico de proposiciones de Gödel en la historia de la matemática. La primera fue en 1.978, y la demostración de Kirby y Paris coloca al Teorema de Goodstein en segundo lugar.
¿Implica esto que somos impotentes para acceder a ciertas demostraciones? En principio no. De hecho, la demostración de Goodstein la tenéis en el post anterior. Sólo hacía falta añadir un axioma más a la aritmética de Peano de los enteros: el que postula la existencia de w con la aritmética ordinaria de los conocidos enteros finitos. Tenemos ahora un sistema más potente, que a su vez tendrá sus afirmaciones de Gödel ciertas e indemostrables. ¿Qué haremos entonces? Pues ampliar otra vez el sistema axiomático y vuelta a empezar. El teorema de Gödel supone una limitación a lo que podemos esperar de todo sistema axiomático, pero no impide el quehacer matemático; podemos estar tranquilos. (Bueno, supongo que muy nerviosos tampoco se habían puesto al leer esto, verdad?)
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Bibliografía:
Lo que he encontrado en la web sobre este tema es muy repetitivo, y creo que lo mejor está condensado aquí.
De todas formas, teneis también información en los siguientes lugares:
Algo introductorio se encuentra aquí.
Teorema de Goodstein de convergencia a cero:aquí; aquí y aquí.
En este sitio se explica que la sucesión de Goodstein de semilla 4 tiene los primeros términos 4,26,41,60,83,109,139, ...; y demuestra de forma muy sencilla que alcanza el cero en el término k = 3 x 2402653211 -1 , aproximadamente k= 10 121210695 .
6 comentarios
Tadalafil -
alejandro gaviria -
Kunashiri -
LauLuna -
jose -
Mi maestro de cálculo dice que no daremos las sucesiones de Goodstein en el tema de sucesiones este año. Me quedo con las ganas de llevar los estudios adelantados :/
malglam -