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Tio Petros

¿Qué es un número? (3)

¿Qué es un número? (3) Continuamos con lo prometido. Tenemos definido el conjunto vacío, lo cual pueda parecernos poca cosa, pero eso es todo con lo que tenemos que trabajar si no queremos introducir axiomas adicionales.

Miren los dos teoremas de la ilustración, y no se asusten: es mucho más fácil de lo que parece a primera vista. Tenemos dos teoremas, que no es lo mismo que dos axiomas. Los teoremas se demuestran; aunque demostrar estos es una tontería, de puro fácil. El primero es el teorema del par no ordenado . Nos dice que dados dos conjuntos (¡Qué lujo!, les recuerdo que de momento sólo estamos legitimados para usar un conjunto: el vacío: el único que hemos definido), decía que dados dos conjuntos, existe un conjunto de dos elementos, que son precisamente los dos conjuntos anteriores.

Cómo podemos demostrar esto? Pues usando el axioma de formación. Dado que la descripción que utiliza el enunciado del teorema es una descripción precisa, el axioma nos asegura que existe tal conjunto; y el axioma de igualdad nos asegura que dicho conjunto es único, luego ya tenemos demostrado el teorema.

Es importante entender que el nuevo conjunto tiene a los dos iniciales como elementos, de forma que tiene DOS elementos, independientemente de los elementos de los dos conjuntos iniciales.

Lo mismo vale para el teorema de la unión: dados dos conjuntos existe un conjunto cuyos elementos son los de los dos conjuntos (los de uno, los del otro o los de los dos).

Es importante comprender que utilizando estos dos teoremas no estamos utilizando nada nuevo, que no salga de los dos axiomas iniciales.

Dado que de momento sólo tenemos el conjunto vacío, podemos utilizar el teorema 1 haciendo los dos conjuntos iniciales sean el mismo. Dada la generalidad del teorema (empieza por “para todo z , u”, verdad?), esto no supone violación alguna del teorema.

Qué obtenemos? Pues el teorema ahora nos dice que si existe un conjunto A, entonces existe un conjunto {A}, con un único elemento, que es precisamente el conjunto A. Es crucial ver que los conjuntos A y {A} son radicalmente diferentes: si A={a,b,c,d,e}, por poner un ejemplo, A tendría cinco elementos, que son a,b,c,d y e. Sin embargo {A} tiene un único elemento, que es A, o que es {a,b,c,d,e}. Este nuevo conjunto lo llamaremos unitario del conjunto A .

De modo que ahora no sólo tenemos el conjunto vacío, sino también el conjunto {vacío}, que ahora tiene un elemento.

Estamos en condiciones de definir el sucesor de un conjunto A , como la unión de dicho conjunto con su unitario: suc (A)= A U {A}. El teorema de la unión nos asegura su existencia, y el axioma de igualdad su unicidad, de modo que está bien definido.

Supongo que mis lectores habrán adivinado la estrategia a seguir:

Definimos el cero como el conjunto vacío. No hay circularidad alguna en ello, ya que hemos definido el conjunto vacío en el post anterior sin hacer para nada uso del concepto cero.
Una vez definido el cero, definimos el sucesor de un número como el sucesor del conjunto con el cual hemos identificado dicho número.
Lo vemos en la ilustración siguiente:



Hemos sido capaces de definir los números naturales sin hacer uso previo de ningún concepto numérico, y sin usar los axiomas de Peano, que ahora admiten demostración: vemos que todo número es sucesor de alguno, excepto el cero, que no lo es de nadie. Podemos demostrar que dos números diferentes tienen sucesores diferentes...

Hemos construido las bases de la matemático desde el vacío más absoluto. Cualquier adepto al zen estaría muy contento: belleza y armonía en su máxima simplicidad; minimalismo conceptual y elegancia absoluta. A partir de este momento, deberíamos decir, con permiso de Kronecker: “Dios creo el conjunto vacío; el resto es obra del hombre” .

Hemos dicho que ahora ya podemos demostrar los axiomas de Peano desde esta nueva teoría. Esto no es exactamente así: hemos definido los números naturales, pero nos falta definir correctamente el conjunto N. No obstante, la tarea está ya casi terminada.
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16 comentarios

ML -

Hay varios puntos no aclarados. Por ejemplo, ¿es lo mismo la existencia de los números que la existencia de (ciertos) conjuntos? Me temo que no. Los conjuntos son entidades abstractas sin ejemplificaciones múltiples. Los números en cambio sí pueden ser múltiplemente ejemplificados. El texto tiene que aclarar esto. ... Una vía es tomar a los números como propiedades de ciertos conjuntos, por ejemplo de conjuntos (o clases) equinumerosas ... ¿Quiere alguien seguir discutiendo esto?

cinthia -

cual es la diferencia entre axioma y teorema? me podrian decir porfavor

corazones traviezos -

cual seria la respuesta de multiplicar el vacio con un numero natural o real...

TRISTAN -

la materia y la antimateria, de una particula infinitamente pequeña a la creacion de los universos, y como ven, de la nada un todo,el hombre aun no crea los numeros, no puede crearlos, los numeros no existen, solo podemos representarlos, por eso se usan como ejemplo elementos, definidos por nuestra lengua....
y a todo esto, que es el vacio?....

Eduardo -

pues creo que el razonamiento esta bien, por que, se trata de crear objetos a los cuales les apliques ciertas propiedades, al utilizar "un objeto" no se utiliza un numero natural sino una palabra en nuestro idioma, que no saben si tiene propiedades.

y el conjunto que contiene 10 conjuntos vacios es igual que el que tiene uno, pero no es igual al que tiene un elemento , por que dirias que el vacio tiene elementos

Gepeto -

Pero hombre, como se te ocurre construir numeros con el conjunto vacio. Si es que el conjunto que contiene 10 conjuntos vacios es igual al conjunto que contiene 1.

Aloya -

Tengo la sensación de que este intento de formalización no tiene fundamento. Me explico:
Lo que se pretende es definir los números naturales, es decir, los que se usan para contar, a partir de unos axiomas de la teoría de conjuntos. Por lo tanto no estamos legitimados para usar números hasta que no los tengamos definidos. Hasta aquí todo correcto, o eso creo.
Ahora bien, cuando Vd. dice “un (1)” objeto ¿no está utilizando ya “un (1)” número?. O cuando dice que tenemos “dos (2)” conjuntos, o que tenemos “dos (2)” elementos en “un (1)” conjunto, ¿no estamos utilizando lo definido en la definición?
En fin, creo que Gödel llevaba razón.

jose -

¿No es MARAVILLOSO?

raulito -

son unos pendejos

Anónimo -

estan bien pendejos

Yomismo -

Mea culpa. Llevo 10 dando vueltas por la web i no me habia dado cuenta que habia la opcion de buscar. Por cierto, muy buena , me pasare por aqui mas amenudo

Yomismo -

Una pregunta, aqui hablas de teoria de conjuntos y veo que el titulo lleva un (3), he conseguido ver la primera parte, pero no encuentro la segunda

kattalina -

sugiero no epacular con lo que no se sabe, creo que las matemáticas son el lenguaje del universo, pero no creo que el hombre las inventara, más bien creo que las ha descubierto.Las personas subestiman a dios porque lo conciben demasiado humano, por lo tanto le traspasan a El todas sus inperfecciones. Distinto seria si pudieramos concevirlo como lo que Es, el Dios.

Shunt -

¡Ah! los famosos 4 minutos y 33 segundos de silencio... Pues sigo pensando en esos dichosos números que, en el fondo, al final resulta que no tienen nada dentro. Me recuerdan a las matriuskas rusas que no tienen otra cosa que más matriuskas. ¿Será la clave de su belleza? En fin, que después de mucho pensar quise ponerme a contar ovejas para dormir esta noche y fui incapaz porque no terminaba de salir la primera. Me acerqué al corral y lo vi vacío. Luego, el maestro me dijo que era normal, que eso siempre pasa la primera vez. Que nadie lo había conseguido en el primer intento, tras conocer la verdad.

Vailima -

No, Shunt. Eso es teoría del silencio.

Shunt -

Fiuuu, ¡vaya toalla! no salgo de mi asombro. Y muy curioso porque estamos asostumbrados a escuchar lo contrario, que el hombre no ha creado nada y Dios todo... Se ve que, en el fondo lo que vamos haciendo es ir juntando nadas, una nada, otra nada más, otra,... ¿Y si alineáramos piensos? Quiero decir, ya sabes eso de "pienso, luego existo", pues sólo tomamos la primera parte, "pienso" y las vamos uniendo como dices en el post, {pienso,{pienso},{pienso,{pienso}},{pienso,{pienso... o, mejor, no pensar en nada... { ,{ },{ ,{ }},{ ,{ ... ¿es eso zen? Impresionante.
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