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Tio Petros

Números sociables

Las propiedades de un número en principio no son atributos que dicho número exhibe con independencia de las que puedan exhibir otros números: prácticamente todas las propiedades de un número lo son por la relación con otros números. Por ejemplo: la primalidad de un número está establecida por la ausencia de división entera con otros números menores que él. Por lo tanto, tenemos un mundo de relaciones entre números, relaciones entre parejas, o en general entre n-tuplas de números.

La relación binaria entre enteros más común es la de primalidad mutua: dos números son primos entre sí cuando no tienen divisores comunes, además de la unidad.

Vamos a hablar hoy de una relación entre números que trasciende la relación binaria, y que puede englobar, en principio a cualquier cantidad finita de enteros: la sociabilidad .

Para ello introduciremos en concepto la función aritmética suma de divisores .

Una función aritmética es una función que toma valores reales o complejos, cuyo campo de difinición es el conjunto N. Muchas de las funciones aritméticas dependen mucho más de la descomposición en factores primos del argumento que que valor numérico del mismo. Esto hace que su comportamiento sea muy errático y difícil de estudiar.

La función S(n) se define como la suma de los divisores de n. Como pueden ver, nada misterioso ni difícil de entender. Como los divisores de ocho son el propio ocho, el cuatro, el dos y el uno, S(8)=8+4+2+1=15.

Como un primo no tiene más divisores que el propio número y la unidad, S(p)=p+1, para p primo.

En lo que sigue, vamos a referirnos siempre a la suma de divisores propios: exceptuado el propio número. Para evitar confusiones denotaremos S (mayúscula) a la suma de todos los divisores, y s (minúscula) a la suma de los divisores propios..

Con n = 20: Los divisores propios de 20 son 1, 2, 4, 5 y 10. s(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22. Como el resultado es mayor que el número inical, se dice que 20 es un número abundante .

Si hacemos lo propio con el 22, resultado de la operación anterior, obtenemos: s(22) = 1 + 2 + 11 = 14, la suma es menor que el número escogido; se dice que 22 es un número defectivo .

Continuando, si seguimos calculando la s(n) para cada suma obtenida, tenemos:

s(14) = 1 + 2 + 7 = 10;
s(10) = 1 + 2 + 5 = 8;
s(8) = 1 + 2 + 4 = 7;
s(7) = 1 porque 7 es primo,
y s(1) = 0 porque 1 no tiene divisor propio.

Se ha obtenido así una sucesión finita: 20 , 22 , 14 , 10 ,8 , 7 , 1 , 0.

Otra sucesión es : 24 , 36 , 55 , 17 , 1 ,0.

Nada obliga a que la sucesión sea finita, pues pudiera ocurrir que fuera periódica. Si el período fuera uno( el mismo número se repite siempre), estaremos en el caso de que s(n)=n. Todo número que cumple dicha ecuación se denomina número perfecto.

Número perfecto es aquel igual a la suma de sus divisores propios

De ellos, y de la caracterización para los perfectos pares hablamos en su momento aquí.

De los números perfectos impares nada se sabe, ni siquiera su existencia o inexistencia.

Cuando el período de la sucesión anterior es igual a dos, tenemos el caso de números amigos :
Dos números son amigos cuando cada uno es igual a la suma de divisores del otro

La pareja (220, 284) es una pareja de números amigos, como podemos comprobar:

s(220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 y
s(284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Luego la sucesión que comenzara con uno de ellos sería:

220, 284, 220, 284, 220, 284, 220, 284... de período dos.

Leo por la red que “En la Edad Media, existió la creencia de que si se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos que contenían una inscripción 220 para uno y de 286 para el otro, entonces se volvían amigos por arte de magia.”

Otras parejas de números amigos son (1184; 1210), (2620; 2924), (5020; 5564) y (6232; 6368), (17296; 18416) y (9363584; 9437056).

En general, se llaman números sociables a las n-tuplas de números de una sucesión así formada de período n.
He podido encontrar por ahí los siguientes:

(12.496, 14.288 , 15.472 , 14.536 , 14.264 ) Cinco enteros, cada uno es igual a la suma de los divisores propios del anterior, y el primero respecto al primero.

En esta dirección teneis un programa en Mapple para generar secuencias de sumas de divisores propios, así como la información que he utilizado de base para elaborar este post. Por lo demás, poca información parece que hay, al menos fácil de encontrar sobre esta generalización de los números amigos.
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16 comentarios

tomasturbao -

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José -

**940**
Puedo introducir una nueva definición....

Para ello introdusco en concepto la función aritmética multiplicación de divisores .

La función m(n) se define como la multiplicación de los divisores menores de n.

y llamo números idénticos a los que "m(n)=n"

por ejemplo:

el 6 cuyos divisores menores son 1,2,3 y además 6=1*2*3

O el 8 cuyos divisores menores son 1,2,4 y además 8=1*2*4...

Asi obtuve una lista muy curiosa con estos números...
me detuve en el "83"´...

6,8,10,(14,15),(21,22),(26,27),(33,34,35),(38,39),46,51,55,(57,58),62,65,69,74,77,82

Creo que el 6 es el único número que cumple que si s(n)=m(n)=n entonces n=6 y además que el único trio seguido de estos números es (33,34,35)... hasta el 83 no encontré otra triada más..

¿Son infinitos estos números?

Un Saludo...

**12465**

a to ds s -

la respuesta

anonimo -

espero que pasen una lista de todos los numeros amigos que existen haber si muy chingones... si es que se dicen llamar matematicos.

MARIO VICTORINO -

TRENTA Y DOS:¿División exacta...?

REY UNO: SI, división exacta...pero permitanme concreto las condiciones....
El residuo ha de ser cero y el dividendo y divisor números naturales.

SEIS.

Su majestad, ya entendi. Yo "seis" debo buscar dos números naturales que me dividan en forma exacta; si los encuentro ...ire a ese mundo hermoso, maravilloso.........pues.... su majestad yo sere el primero en subirme a la nave... he encontrado, a esos dos números que me dividen.

MARIO VICTORINO -

VEINTIDOS: Su majestad, yo ya termine de construir la nave, la he probado y aguanta para viajar de aqui hasta el infinito...., ¡ESTA LISTA! ... vamonos ya.

REY UNO: No tan aprisa, veintidos, para ir a ese mundo hermoso y maravilloso se debe cumplir con unas reglas o condiciones....

TODOS: AHHHHHHHHH ¡ No!, ¿otra vez con sus condiciones.....?

REY UNO: Si otra vez, pero es necesario.



REY UNO: Unicamente viajarán a ese mundo maravilloso, lleno de lunas, soles, mares y estrellas aquellos números naturales que tengan dos divisores diferentes; y esa división debe ser exacta.

MARIO VICTORINO -

...Inmediatamente todos quedaron en silencio y como estatuas; el siete que estaba cantando quedó con la palabra en la boca, el veinte tan sola bailaba y sus piernas quedaron en el aire, el ciento trenta y tres que no hace más que reir y reir ......todos los números, con atención escucharon a su rey.

REY UNO:¡ Números! ¿ Quereis ir a un mundo hermoso, maravilloso , en donde hay siete lunas, siete soles, siete mares y rodeado de miles y miles de estrellas.....?
Todos al escuchar a su majestad....exclamaron

¡ si. si queremos ir a ese mundo hermoso y maravilloso!

MARIO VICTORINO -

\"El Mundo de Matemalandia Presenta\", es una propuesta pedagógica que busca a partir de obras de teatro o similar, en donde los protagonistas son los entes matemáticos; mejorar o aclarar ciertos conceptos matemáticos.
El Planeta de los números primos, es un escrito para ser representado en escena teatral, o simplemente para leerlos en forma entusiasta o protagonización en forma de monologo. Se narra el nacimiento de los números primos.

En el mundo de matemalandia todo era alegria y felicidad; todos los números reian, todos los números jugaban,cantaban,....Hasta que de pronto su majestad el rey \"uno\" de un solo grito dijo:...SILENCIO NUMEROS...inmediatamente todos quedaron en silencio y como estatuas; el siete que estaba cantando quedó......

MARIO VICTORINO -

Los números sociables, en verdad nos permiten disminuar la fobitis matemática. Acerca a nuestro estudiantes para que admiren más al número.
Los números primos gemelos, son un paseo recreativo.
Dos números primos son primos gemelos si están separados por una distancia de dos unidades.
Si p , q son dos números primos y cumplen con : q = p+2 entonces p, q son números primos gemelos. Los primeros números primos gemelos son:
(3,5), (5,7), (11,13).....(59,61), (71,73), (101,103)....(881,883).

Si ( 3,5) son primos gemelos y ( 5,7) también lo son...entonces ¿ qué parentezco encuentras entre tres y siete...?

Mara -

Un artículo muy curioso, entretenido y placentero.Gracias por el paseo. Un saludo matemátiko¡¡¡

reyes -

¿Tienen los números primos amigos?¿pueden ser amigos dos abundantes?¿son defectuosos los primos?

Anónimo -

Adrian -

jose parece que no..
http://ar.news.yahoo.com/040221/7/ar3n.html
http://ar.news.yahoo.com/040221/7/ar3z.html

Rimblow -

Me encanta lo de los números amigos, aunque ya sabes, yo creo que todos los números son amigos entre sí, sino no podrían exister, cosa que ocurre con muy pocos elementos del Universo...un saludito...buen finde...

jose -

Esperemos que cuelguen algunos de los dibujos en alguna web para que los podamos bajar y ver!
(aunque el día de hoy ya se acaba y no he encontrado nada)

Adrián -

off topic:
Un estudiante de ingeniería argentino presentará un metodo que permite hacer dibujos en cuatro dimensiones
http://ar.news.yahoo.com/040218/7/appa.html
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