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Tio Petros

Los Bernoulli y la serie armónica (2)

Ya hemos visto que Leibniz demostró que la serie de los inversos de los números triangulares convergía a 2:

1+1/3+1/6+1/10+1/15+...=2

La idea de Johann Bernoulli fue la siguiente; empezó llamando A a la serie armónica sin su primer término:

A=1/2+1/3+1/4+1/5+...

Seguidamente transformó las fracciones de forma que los numeradores fueran sucesivamente 1,2,3,... todos los números naturales:

A=1/2+2/6+3/12+4/20+5/30+...

Podemos comprobar que estos denominadores son el doble de los correspondientes a la serie de Leibniz de números triangulares. Bernoulli denominó C a dicha serie entre dos:

C=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+...=1

Y fue creando nuevas series a base de eliminar el primer término de cada serie anterior:

D=1/6+1/12+1/20+1/30+...=C-1/2 =1-1/2=1/2
E=......1/12+1/20+1/30+...=D-1/6 =1/2-1/6=1/3
F=..............1/20+1/30+...=E-1/12 =1/3-1/12=1/4
G=.....................1/30+...=F-1/20 =1/4-1/20=1/5

Por la propia construcción de estas series, se ve claro que la suma de todas ellas C+D+E+... es precisamente A ( sumaríamos 1 vez 1/2, dos veces 1/6, tres veces 1/12, etc,etc.

Por lo tanto:

C+D+E+F+G+...=A

Y dado que tenemos que C=1, D=1/2, E=1/3, ... también tenemos que:

C+D+E+F+G+...=1+1/2+1/3+1/4+1/5+...=1+[1/2+1/3+1/4+1/5+...]=1+A

Concluimos la suma C+D+E+F+G+... es tanto A COMO 1+A, de donde

A=A+1

qué significa esto?

El razonamiento de Bernoulli fue el siguiente: A=A+1 significa que aumentar en una unidad el valor de A no influye en el valor de A, cosa que sólo es posible si A es infinito. En efecto, dividiendo la igualdad entre A, tenemos que 1=1+1/A , lo que implica que 1/A=0, cosa que sólo ocurre cuando A es infinito.

Porqué esto no se considera riguroso hoy en día?

Bernoulli trata la serie de forma completa, asignándole un valor A cuando a priori no sabemos si se trata de un valor finito. A partir de este momento, maneja dicha A como si de un número habitual se tratara, manejando un infinito actual de forma, digamos holística (qué poco me gusta esta palabra, tan apreciada por mil charlatanes!!!).

La estrategia moderna es finitista, y la veremos en el próximo post.

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A pesar de que su hermano Jakob escribiera en uno de sus libros al explicar esta demostración: "Id primus deprehendit frater" (Mi hermano fue el primero en describir esto), lo cierto es que dos demostraciones de la divergencia de esta serie se habían logrado antes: las debidas a Nicolás Oresme (1323-1382) y a Pietro Mengoli (1625-1686).

Los hermanos Bernoulli, ebrios de gozo por la demostración conseguida, intentaron conocer los misterios de otra serie: la suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos: 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...

Sin embargo, el genio de ambos hermanos juntos era insuficiente para desentrañar el misterio. La serie era convergente,pero...hacia qué número real convergía? Fué necesario el cerebro del maestro de todos los matemáticos para desentrañar el misterio, en un alarde de magia euleriana casi sin parangón en la historia de la matemática. Pero no adelantemos acontecimientos.
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12 comentarios

Andrea -

Me gustaria resivir mas informacion acerca de los Bernoulli, de historia de la matemática, mi correo electronico es andreavmessa@hotmail.com. gracias!!!

Jesus Enrique -

CREO QUE ESTAN CAYENDO EN POLEMICAS INECESARIAS, EN TODO CASO PODRIA PREGUNTARSELE A UN CONSTRUCTIVISTA, O AL MISMO KANT, PARA IR AL ORIGEN. CREO QUE MUCHOS \\\"CALCULISTAS\\\", SE ESMERAN EN PRESENTAR DEMOSTRACIONES, METODOS MERAMENTE MECANICOS, UN DIA DE ESTOS ALGUIEN VA A PRESENTAR LA DEMOSTRACION DE QUE RAIZ DE DOS ES IRRACIONAL O QUE ???? CREO HAY AUN CREEN EN LA \\\"FORMALIZACION UNIVERSAL\\\" DE HILBERT DE LAS MATEMATICAS, YA MUERTA Y SEPULTADA POR KURT GODEL. QUEREMOS HABLAR DE LA DIVERGENCIA DE LA SERIE ARMONICA O COMO SE DEMOSTRO ???, O DE PROBLEMAS REALMENTE INTERESANTES, COMO POR EJEMPLO COMO LA CONSISTENCIO Y COMPLETITUD DE UN SISTEMA AXIOMATICAMENTE DEBIL COMO EL DE PRESBURGER, QUE DEMUESTRA TODAS SUS AFIRMACIONES CON NADA MAS QUE LA SUMA. CREO AL IGUAL QUE SIR ROGER PENROSE, LA INTELIGENCIA HUMANA NO ES MECANICA EN SU NATURALEZA, POR ESO EXISTE UNA DIFERENCIA ENTRE LO QUE SE PUEDE PROBAR MECANICAMENTE Y LO QUE PODEMOS VER COMO CIERTO. EL MISMO GODEL ADMITIO QUE EL CREIA QUE LOS HUMANOS TIENEN UNA FORMA INTUITIVA, NO SOLO COMPUTACIONAL DE LLEGAR A LA VERDAD, Y POR LO TANTO, SUS 2 TEOREMAS DE IMCOMPLETITUD, ODIADOS POR MUCHOS QUE AUN CREEN EN LAS MATEMATICAS COMO MADRE DE TODAS LAS CIENCIAS, NO ERA LIMITANTE EN LO QUE PUEDA LLEGAR A SER CONOCIDO COMO CIERTO POR LOS HUMANOS. A CIENCIA CIERTE, NO PODEMOS SABEMOS NINGUNA VERDAD QUE ESTE FUERA DEL SISTEMA, ES DECIR QUE ES CONCEBIBLE UNA META-MATEMATICA, UNA META CIENCIA, COMO DECIA KANT. CENTRARSE EN LA MERE FORMA DE UN SISTEMA EN MI OPINION ES DE POCA TRACENDENCIA. EXISTEN COSAS CIERTAS \\\"PREMISAS\\\" QUE NO SE PUEDEN PROBAR DESDE DENTRO DEL SISTEMA, HAY QUE SALIRSE DE EL PARA VER LA INTERPRETACION.

diedo -

por favor si tu fueras tan amable de ayudarme enviandome las demostraciones de la divergencia en coordenadas cartesianas cilindricas y esfericas, te quedare muy agradecido por favor son de urgencia
muchas gracias por tu tiempo

jose -

Ehmmm, yo decía el típico de: Si el límite de a^k * {sucesión} es un número distinto de cero, entonces si k es menor o igual a 1... y eso.

TioPetros -

Jose, aqui tienes una buena explicación del Teorema de Pringsheim. Estamos hablando de lo mismo?
La estrategia empleada para la demostración puede ser extrapolada a la serie armónica para demostrar su convergencia, pero no veo que una dependa de la otra...

http://www.rinconmatematico.com/series/pringsheim.htm

jose -

He aquí un caso de pifia de profesor universitario:

En su afán por no hacernos pensar sino meternos en la sesera métodos mecánicos, demostró la divergencia de la serie armónica mediante el criterio de Pringsheim. ¿Pero acaso la demostración de este criterio no incluye la comparación con series armónicas?

TioPetros -

Efectivamente, Brower y los intuicionistas deben estar detrás de la negación a la reducción al absurdo y no Bourbaki. Es un tema que me interesa bastante y lo desarrollaremos en un futuro próximo.

Carlos -

Más que constructivistas , intuicionistas es el nombre más conocido.

Carlos -

Dudo que fuese Bourbaki, me imagino que la cosa debe ir por Brouwer y los constructivistas. El tema de las corrientes de interpretación matemática, es de decir, de la Filosofía de la Matemática, es muy interesante, y en principio podría ser una buena sugerencia para Tio Petros.

fernand0 -

¿Quién era el que renegaba de la reducción al absurdo, Bourbaki?

TioPetros -

Goyo: estoy de acuerdo contigo. Ese pequeño matiz (reducción al absurdo tras suponer que la serie converge a un A real) convierte la demostración en rigurosa. No obstante, los Bernoulli no lo hicieron así por una razón muy sencilla: no veían ninguna mancha en una demostración, a las luces de la época, seguramente impecable. En seguida veremos la definición de divergencia de una serie según los parámetros finitistas modernos...

Goyo -

¿No se podría convertir esto en una demostración rigurosa por reducción al absurdo? Simplemente diciendo: supongamos que la serie converge a A, entonces se prueba que en esta hipótesis A=A+1.
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