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Tio Petros

Al principio, estaba tan sólo la proximidad

Como no tenemos prisa, lo mejor es que empecemos por el principio. Queremos aclarar de una forma suficientemente rigurosa qué es la Topología. Debiéramos decir que la propia palabra Topología tiene dos acepciones totalmente diferentes. Por un lado es una rama de la matemática, como ustedes saben. Es aquella rama de la matemática de la que estamos hablando. Cuando nos refiramos a esta acepción, intentaremos escribirla con mayúscula.

Pero también es un concepto matemático muy concreto: se trata de un concepto que habita en el interior del conjunto de partes de un conjunto dado (o mejor aún, en el conjunto de partes del conjunto de partes de un conjunto dado). Cuando hablemos de este concepto concreto, lo escribiremos en minúscula.

En todo caso, no debemos perder de vista que vamos a establecer las bases del estudio de las propiedades más escondidas de los cuerpos geométricos, aquellas que permanecen invariables ante torturas continuas. Parece claro que si podemos “torturar” un objeto geométrico estirándolo, encogiéndolo, doblando y plegando; poca importancia tendrá el concepto de distancia.

Necesitamos poder hablar de proximidad sin apelar al concepto de distancia, y para ello definiremos el importante concepto de entorno , bastante más abstracto que el de distancia.

Es más, el nivel de abstracción que exigiremos será doblemente alto, pues entenderemos por cuerpo geométrico un conjunto cualquiera. Los elementos de dicho conjunto los llamaremos puntos. Como un triángulo, por ejemplo, no es sino un subconjunto de puntos de un plano, extenderemos nuestro campo de aplicación a conjuntos generales, tengan o no visualización geométrica, aunque nos apoyaremos en figuras de contenido geométrico para visualizar los conceptos.

Nuestras herramientas de partida son las de la teoría de conjuntos. No poseemos otra cosa que las nociones de conjunto, subconjunto, elemento, pertenencia, inclusión, unión, intersección y complementario en conjuntos.

Estarán de acuerdo conmigo en que poca “geometría” podemos hacer con dichos conceptos. Dado un conjunto, por ejemplo A={a,c,b,d,e}, podemos decir si el elemento f pertenece o no al mismo, si el conjunto B={a,b,e} es subconjunto suyo...y poco más. Preguntas como ¿Cuál es el interior de A? O ¿Cuál es la frontera de B? carecen de sentido por ahora. Si habláramos de un triángulo B dentro de un plano A, parece que dichas preguntas tendrían una respuesta más clara, pero esto tan sólo es así porque poseemos nociones intuitivas previas que en el caso del triángulo funcionan y en el caso del conjunto general no.

El concepto de entorno es un concepto topológico que hace referencia a unos subconjuntos del conjunto X "marcados", llamados genéricamente abiertos. Dado que queremos empezar desde el principio y estamos a nivel "pre-topológico", definiremos lo que en los próximos post llamaremos entornos fundamentales . La nomenclatura es mía, y la palabra fundamental no hace referencia a nada en concreto. Es una manera de diferenciar este concepto nacido directamente de la teoría de conjuntos, del concepto habitual de entorno, que manejaremos más adelante. Luego se verá la identidad de ambos conceptos, pero de esto no hay que preocuparse ahora.

Definiremos a partir de la Teoría de conjuntos el concepto de entorno de un punto en un conjunto X. Este concepto será clave en todo lo que sigue. Supone la aproximación desde la teoría de conjuntos a la idea intuitiva de vecindad de un punto dado. Todo punto no es sino un elemento del conjunto ambiente X en el que estamos situados, y todo entorno es un subconjunto del mismo. Dado que estos entornos van a ser abstracciones que sustituyan la noción intuitiva de vecindad, deberán cumplir cuatro propiedades que consideramos intuitivas de algo que merezca llamarse entorno de un punto:



1.- Un punto pertenece a todos sus entornos
2.- Dados dos entornos de un punto, la intersección de ambos también es un entorno del punto dado.
3.- Si un conjunto CONTIENE a un entorno de un punto, entonces ES un entorno de dicho punto
4.- Dado un entorno U de un punto, existe otro entorno V tal que U es entorno de todos los puntos de V .

Las cuatro están ilustradas en la figura siguiente, y salvo la cuarta, que es un poco más enrevesada, son muy fáciles de entender y de aceptar.

Pues bien, si dado un conjunto general X , tenemos para cada punto x de X una familia Nx de subconjuntos de x que verifiquen las cuatro propiedades de los entornos, entonces tenemos una herramienta de poder incalculable para hacer cosas que desde la mera teoría de conjuntos nos estaba vedado. Diremos que el conjunto X dotado del sistema de entornos mencionado es un Espacio topológico .

Estos entornos definidos en torno (permítanme la gracia) a los puntos definirán lo que se denomina una topología (con minúscula) en X. De ello hablaremos en el próximo post. Estamos a punto de saber qué es un conjunto abierto, qué es uno cerrado, y de comprender que un conjunto no abierto no tiene porqué ser cerrado, que uno no cerrado puede ser no abierto, que uno abierto también puede ser cerrado y que otro puede no ser ni una cosa ni otra.

No se alarmen: de alguna forma había que llamarlos, lo mismo podría haberse impuesto la nomenclatura de conjuntos blancos y negros, o feos y guapos. Lo de menos es el nombre. Lo vemos enseguida, como siempre si ustedes quieren.
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5 comentarios

Crystal -

Vale, estoy en el primer paso hacia la comprensión... pero daré el siguiente mañana, que ponerse al día conlleva mucho esfuerzo para un sólo día ;)

La explicación ha quedado muy clarita, aunque he echado de menos alguna patata, jejeje

juan -

bufff.
coincido con lol ay y con nico. hacia ya años que no leia algo sobre el fundamento de la topologia. es fcail èrder los origener ciando se habla ya de homologia de las esferas y sucesiones de mayer-vietoris.
un placer ver nacer la topologia de nuevo. a ver si este concepto tan bello se abre por fin al mundo!!

por cierto, y off-topic: esta semana son las fiestas de san alberto en mi facultad. en el pañuelo conmemorativo anual aparece la imagen de una botella de klein... simplemente fantastica.

Nico -

Tio Petros, coincido con Lola (aunque seguro que el mio no era el mismo que el de ella). De nuevo gracias por hacerme disfrutar con cosas que tenia olvidadas, y que puedo ahora volver a aprender con mucho menos esfuerzo.

Lola -

puf, Tío Petros, me estoy acordando de mi primer profesor de topología. Ya podía haber sido usted...

Palimp -

La cosa se pone interesante. Da gusto ¡por fin! entender cosas que en teoría uno debía saber. Gracias.
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