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Tio Petros

El juego de "El cazador"

No conozco a nadie que le parezca sencillo el cálculo de probabilidades. A pesar de la enorme importancia que tiene para nuestra propia supervivencia, estamos espantosamente dotados por la naturaleza para este tipo de cálculos. Ya lo comentábamos aquí.

Menos mal que tenemos un verdadero arsenal de herramientas para poder afrontarlo. Muchas veces la forma más sencilla de resolver un problema es resolviendo el contrario. Me explico con un ejemplo:

Una persona obtiene un premio si consigue un seis tirando un dado tres veces consecutivas. ¿Qué probabilidad tiene de éxito?

Es evidente que si saca un seis a la primera, no tiene que tirar más: ya lo ha conseguido, y lo mismo a la segunda. La forma más simple de resolver este problema es pensando precisamente en la probabilidad de no acierto: con probabilidad 5/6 sacará un valor diferente de seis cada una de las tres veces; como los lanzamientos son independientes, podemos multiplicar las probabilidades para obtener la probabilidad de que no salga un seis ninguno de los tres lanzamientos, que será exactamente de (5/6)3. Como nos interesa el suceso exactamente contrario (que salga algún seis), la probabilidad pedida será la unidad menos el valor anterior, esto es:

P{ganar el premio})=1- (5/6)3=91/216

¿Es necesario el paso al suceso contrario para calcular el asunto? Obviamente no; pero es algo más elaborado. Lo que no es lícito es pensar que como para que salga al menos un seis, debe hacerlo a la primera, a la segunda o a la tercera, podemos sumar las probabilidades, con lo que obtendríamos 3/6=1/3.

Si esto fuera cierto, con seis tiradas tendríamos la seguridad de ganar, y todos sabemos que esto no es así. ¿Qué es lo que falla?

Lo que falla es que si bien la probabilidad de sacar el seis a la primera es ciertamente 1/6, no es así con la segunda. Porque para sacar un seis a la segunda hacen falta dos cosas:

1.- No haber sacado seis a la primera.
2.- Sí sacarlo a la segunda.

Una vez que la primera tirada no ha sido seis, sí que volvemos a tenemos 1/3 de probabilidad de sacarlo a la segunda, pero no a priori. Así pues, con la nomenclatura siguiente:

A=Obtener premio
Si= Obtener seis a la i-ésima tirada.
Sci=No obtener seis a la i-ésima tirada.

nuestro cálculo directo debería ser:

P(A)=P(S1)+ P(S2/ Sc1). P(Sc1)+P(S3/Sc1, Sc2). P(Sc1).P(Sc2).

El primer término es la probabilidad de obtener el premio a la primera. El segundo es la probabilidad de obtener el premio a la segunda cuando no lo hemos obtenido a la primera, multiplicado por la probabilidad de no obtenerlo a la primera, y así sucesivamente.

Ahora sí: sustituyendo por los valores numéricos correspondientes, obtenemos:

P(A)=1/6 + 1/6.5/6 + 1/6.5/6.5/6 = 91/216.

Vemos que tanto el cálculo directo de la probabilidad pedida como el contrario para luego restarle a la unidad dicho valor, son ambos posibles, pero el trabajo que cuesta uno y otro son diferentes.

Sabiendo esto, podemos abordar algo más elaborado:

¿Se acuerdan de la película “El cazador”, con Robert de Niro y Christofer Walken? Los malvados del Veitcong se divertían obligando a jugar a la ruleta rusa (una sola bala en un cargador de seis) a dos prisioneros haciendo apuestas. Si suponemos que cada vez que se dispara se vuelve a “barajar” el revólver, (cosa que en la película no pasaba), por quién apostaría usted: por el primero que lo intente, o por el segundo? Las apuestas se realizan antes de comenzar, pero ya sabiendo quién disparará primero.
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11 comentarios

lica -

rapido

Yitanu -

A ver, va, un problema: Si un gitano pasa por una campo de melones, donde hay 200, se baja de la Vanette, y roba 100 porque no le caben más en la flago...Que le queda???

SOLUCION: otro viaje

Cankamusen -

Estais tronaos d la olla...Mejor sería q dejaseis las matemáticas i sus fuerais al Pont Aeri a jalaros unas pepas

briggy -

Si no se vuelve a rular el tambor, la probabilidad de morir es la misma para ambos. Ya que el primero muere la bala está emplazada en el primer, tercer o quinto agujeros mientras que el otro muere si está en un agujero par.

De otra forma:

El primer jugador muere en el primer tiro 1/6 veces

El segundo muere si sobrevive el primero 5/6 y muere en el segundo tiro, 1/5. 5/6*1/5 es 1/6

El primero muere en la tercera tirada si sobrevive la primera 5/6, sobrevive el segundo en la segunda 4/5 y muere él en la tercera 1/4. Así pues 5/6*4/5*1/6 es 1/6

Sumando quedan 3/6 cada uno, así q tienen las mismas posibildades

Si en cambio vuelven a rular la ruleta cada vez la posibilidad de sobrevivir el segundo es algo mayor

Un saludo

briggy

astur51 -

El azar no tiene memoria. Al "barajar" el revólver el suceso anterior no tiene influencia alguna respecto a los siguientes sucesos. Al menos eso creo. Un saludo.

Goldbach -

Tengo una duda: ¿se sigue jugando hasta que uno de los dos muere o sólo se hacen dos intentos?

Por otra parte, aunque sencillo, también resulta interesante pensar quién lleva las de perder si NO se baraja el tambor tras cada intento. Y se sigue jugando hasta que muere uno de los participantes...

etxe -

En mi opinión la probabilidad depende de la posición inicial de la bala en el tambor...

manufirun -

De acuerdo con Tute. Si apostamos a ver quien muere, es más probable que muera el 1º, porque el disparo del 2º está condicionado al primero. Si se apostara por cada disparo, la probabilidad serìa la misma ¿no? Esto ya no lo tengo tan claro. En la ruleta de los casinos hay una familia española que se ha dedicado a saltar la banca en los casinos de medio mundo, lo que presupone que las tiradas no son sucesos independientes. En fin, yo me pierdo. Cuéntanos algo un día de estos, p.f.

Rimblow -

No lo tengo muy claro, pero supongo, que a medida que se va disparando la pistola sin que se dispare la bala, la probabilidad de cada uno ira disminuyendo paulatinamente, por lo tanto creo que yo apostaría por el segundo, porque siempre su probabilidad va a depender del suceso del primero, cosa que no le ocurre al primero... Bueno creo que me he liado, y he perdido mi dinero, pero le sigo dando vueltas, un saludo....

Tute -

Aviso: No se puede utilizar el símbolo de menor en los posts. Parecería que se lo interpreta como un tag.

Continuando:

5/36 es menor que 1/6.

Ahora: ¿A qué estamos apostando?

Tute -

Las probabilidades de que el primero dispare es, obviamente de 1/6. Para calcular la probabilidad de que el segundo dispare tengo que tener en cuenta que el primero no haya utilizado ya la única bala. Por lo tanto su probabilidad será de (5/6).(1/6)=5/36

(5/36)
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