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Tio Petros

Fundamentando la matemática en el vacío.

A lo largo de los tres post anteriores hemos visto cómo los matemáticos del siglo XX intentaron buscar los fundamentos de su disciplina con la máxima economía de conceptos, hasta llegar al paroxismo: el conjunto vacío se revelaba como la piedra angular de todo el edificio numérico.

Nos quedaba definir el conjunto N. Pero eso ahora es cosa trivial: el conjunto N es el único conjunto que contiene al conjunto vacío y a todos sus sucesores; y sólo a ellos. La formulación de los enteros sobre el esquema aquí esbozado de los naturales; la de los racionales sobre los enteros y la de los números reales como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de racionales nos da un panorama completo de la construcción numérica hoy aceptada por la comunidad matemática.

Este es un buen momento para ver desde otro punto de vista la aritmética transinfinita de Cantor, tema que tocamos en los artículos sobre el Aleph y sobre las sucesiones de Goodstein.

En efecto, hemos visto que un número natural se define como el conjunto de todos sus anteriores:

n={0,1,2,3,...,(n-1)}

Nada nos impide considerar el conjunto N como un infinito actual y hacerle corresponder un número infinito (el menor número infinito) que sería:

w={0,1,2,3,...}=N

Digo que nada nos impide efectuar esta consideración porque ya tenemos perfectamente definido el conjunto N, y por lo tanto estamos legitimados para usarlo como un objeto actual, en su totalidad.

Pero ahora nada nos impide continuar:

w+1={0,1,2,3,...,w}=N U {w}

w+2={0,1,2,3,...,w,w+1}=N U {w,w+1} ...

Tenemos así las bases de los ordinales transinfinitos de Cantor, que surgen con la mayor naturalidad de la teoría de conjuntos mientras que vistos "a pelo", como los habíamos visto en los post anteriores, parecen un poco extraños.

Dejaremos por ahora este apartado tan elemental (1)de la matemática para adentrarlos en otros paisajes a partir del lunes. Con su compañía, por supuesto.

(1): En matemáticas, la palabra "elemental" y la palabra "básico" son dos palabras con acepciones diferentes a las del lenguaje ordinario. Indican que el tema tratado se refiere a las bases y/o fundamentos de la matemática, no a su poca dificultad. De hecho, los temas elementales y básicos suelen ser de gran dificultad.
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16 comentarios

cristina -

hola a todos quiciera saber sobre todo lo q relaciona los conjuntospara una pequeña exposicion espero q me ayuden y esto me salga bien si me conciquen eso les prometo publicar algo todo los dias chao los quiero mucho

cristina -

quiciera q esto fuera mas amplio y mas preciso con las actividades q buscamos

maria -

no vale esta cochinada

Anónimo -

nelson -

quisiera saber como se demuestra el teorema de funcion implicita de varias variables, gracias

Random -

Te felicito por tu esfuerzo para expresar de manera tan clara y sencilla los conceptos elemantales de la matemática. Es importante tener estos en mente por que da cierto sentimiento de tranquilidad y tienes idea de las bases de aquello en lo que estas tratando además de qué es lo que trata.
Sigue adelante.

Goyo -

Ay, Tio Petros, cuántas de esas horas pasé yo tratando de comprender la demostración del teorema de la función implícita. Tenía el "Cálculo en variedades" de Spivak y me atasqué en aquella parte que decía "es evidente que...". ¡Y resultó que sí era evidente!

Saludos de otro licenciado que no ejerce.

Shunt -

Gracias por la explicación. Acabo de comprender el axioma de la cuenta de la vieja. Un saludo.

Tio Petros -

Verás, Jose. Si yo lo explico en gran parte es por el placer que me produce hacerlo. Las reflexiones matemáticas que podeis encontrar aquí son ciertamente para personas ajenas al mundo matemático, son simplemente un intento divulgativo para personas inquietas, sin mayores pretensiones. Sin embargo, creo que en realidad un alumno debería saber enfrentarse a sus libros de texto en solitario, sin necesidad de estar tutorizado por nadie de continuo. A lo mejor un profesor hace lo correcto no dando mascado todo argumento matemático. Ningún profesor, por bueno que sea, puede suplir a unas horas de esfuerzo intentando en vano entender una expresión matemática en la soledad de una habitación. La experiencia de luchar aparentemente sin esperanza para comprender una demostración, un teorema, un concepto hasta que de repente se hace la luz en tu interior y lo comprendes; es algo que nunca te va a proporcionar ningún profesor.
Ánimo y dale duro; con dos cojones.

Tio Petros

jose -

Curioso. Tú explicas los galimatías esos de "para todo","existe","tal que", sin que nadie te lo pida. En cambio, ningún profesor de los que he conocido los explica, aunque se lo pidamos... ¿consideran que es rebajarse o qué?

Tio Petros -

Hola Willy. Tu frase "he seguido toda la serie conteniendo la respiración" es de esas cosas que animan a uno a continuar con el blog. No tengo estadísticas, y ya no sé cuánta gente me lee diariamente (al final eran unas cuatrocientas entradas diarias), mi única referencia al respecto son vuestros comentarios.
Gracias.

willy -

he seguido toda la serie conteniendo la respiración y me ha encantado esa definición de los naturales a partir del vacío, como sacar materia de la nada

Tio Petros -

Hola Shunt.
Es curiosa tu propuesta.
Si así hiciéramos, tendríamos definida una cadena de sucesores perfectamente:
Sea v el vacío, que no puedo representar aquí por dificultades tipográficas. Tendríamos:

0=v
1={v}
2={{v}}
3={{{v}}} etc.
Todos ellos son conjuntos diferentes, efectivamente, pero hay un problema: todos ellos son unitarios, y lo bueno de los naturales es que nos sirven para contar. ¿Porqué? Pues porque el tres, tal y como le hemos definido, puede ponerse en biyección con todos los conjuntos del universo que tengan tres elementos. Me parece más elegante como está, no crees?

Shunt -

Y, ¿qué pasaría si definiéramos el sucesor de un conjunto (número) no como una unión, sino simplemente como su unitario? Parece bien definido... ¿se cumplirían los axiomas de Peano? ¿Dónde estaría el fallo?

Tio Petros -

Hola Mig21.
A mi me gustó bastante, pero la realidad es que Borges en general me gusta bastante.
Uno no sabe qué tenía en la cabeza el ciego cuando escribió la novela. Pero es evidente que referencias cantorianas sí debía tener, digo yo...

mig21 -

Perfecto... me ha encantado la serie :)

Una pregunta, al hilo del Aleph...
¿Que opinión le merece a un matemático el libro de Borges?
A mi me ha encantado (lo acabo de leer...)

Saludos
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