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Tio Petros

El discreto encanto del conjunto N

El discreto encanto del conjunto N La teoría de números es sin duda alguna uno de los apartados más enigmáticos y que mayor fascinación han despertado desde siempre. Se trata de algo tan fácil de definir como el estudio de un único conjunto: el discreto (nunca mejor dicho) conjunto N . Sabemos positivamente que jamás el ser humano será capaz de responder todas las preguntas que dicho humilde conjunto nos plantea; y lo sabemos porque es muy fácil comprender que el número de preguntas diferentes que tiene capacidad de plantearnos es sencillamente infinito.

Además, bajo la apariencia de preguntas sencillas, de conjeturas infantiles, se esconden retos inmensos contra los que se han estrellado las mentes más poderosas del planeta. No en vano Erdös decía que si se plantea un problema en términos sencillos y no obtiene respuesta satisfactoria en un par de siglos, estamos ante un problema de teoría de números.

La Conjetura de Goldbach pertenece a esta especie. Otras conjeturas son muy famosas, e incluso muy importantes, como la conjetura de Riemann o la conjetura de Poincaré ; sin embargo, para explicar estas últimas hace falta que el interlocutor tenga unos ciertos conocimientos, o al menos hace falta hacer una buen introducción. La de Goldbach en cambio es meridianamente clara para cualquier persona, independientemente de su formación matemática: todo número par es la suma de dos primos.

Es la inconcebible dificultad de la demostración de esta frase lo que atrae a los matemáticos. El origen de esta conjetura parece datarse en 1742, cuando un oscuro matemático de nombre Christian Goldbach le escribe una carta al gran Leonard Euler y le comenta, marginalmente, que, hasta donde ha podido comprobar, todo número par puede escribirse como la suma de dos números primos.

Otra de las fascinaciones del conjunto N es la distribución de los números primos. Me van a permitir que les hable hoy de una fascinación escondida del conjunto N , relacionada con esta distribución.

Todo el mundo sabe que los primos son aquellos números que sólo se pueden dividir exactamente por sí mismos y por la unidad, revelándose así como los ladrillos a partir de los que se construyen los demás. Su aparición en el seno de N es errática: existen porciones de N tan grandes como queramos dentro de las cuales no hay ningún primo. (¿Lo sabía el lector? además, esto último es extraordinariamente fácil de demostrar). Sin embargo, parecen existir una infinidad de primos gemelos, que sólo distan dos unidades de uno a otro.

Sin embargo, aunque la distribución en sí es impredecible, el acumulado de la misma, esto es: el número de primos existentes desde 1 hasta n, sí que tiene una cierta distribución “conveniente”. Se trata del famoso teorema de los números primos , que afirma que dicho número tiende asintóticamente al valor del logaritmo integral. No nos importa ahora qué es este logaritmo integral. Es simplemente una función concreta.


Donde dicho logaritmo integral toma la forma siguiente:


Pues bien: aunque el comportamiento asintótico (para n tendiendo a infinito) parece estar claro a partir de este teorema, lo que no está nada claro es si para cada n concreto el número de primos menor que n se acerca al logaritmo integral por arriba o por abajo. Basándose en extenuantes comprobaciones, se averiguó que el número de primos era siempre menor que el correspondiente logaritmo integral : se acercaba por abajo.

El propio Gauss, que no era amante de conjeturas, conjeturó que esto era así para todo n. Pues bien, Skewes demostró (ojo, he dicho demostró, no conjeturó) que la desigualdad se invierte para un número muy grande.

Esto es muy curioso. Para empezar, la demostración utiliza la conjetura de Riemann . Una demostración que utilice una conjetura, no es una demostración, sino otra conjetura, me dirán ustedes. Y sin embargo no es así: se asume que la conjetura de Riemann es cierta, y se demuestra que existe un número a partir del cual la desigualdad anterior se invierte. Luego se asume que la conjetura es falsa, y también se demuestra que existe otro número a partir del cual la desigualdad se invierte. Ambos números son cotas que pueden ser reducidas en trabajos posteriores más finos; pero en todo caso son demostraciones de que al menos a partir de dichos números, la desigualdad se invierte (siguiendo cumpliéndose el teorema de los números primos, por supuesto).De esta forma, hemos independizado nuestra afirmación de la conjetura en la cual nos apoyábamos para hacer nuestra demostración (nos apoyábamos en sentido positivo, o negativo).

Lo que añade mucho encanto al asunto es la extraordinaria, devastadora, inmensa magnitud de las cotas obtenidas, llamadas primer y segundo números de Skewes.

Sus valores son:





Apenas existen trabajos matemáticos que involucren a números enteros más grandes (1) .No son grandes: son absurdamente grandes. No hay con qué compararlos, sobrepasan todo entendimiento. El número de electrones de trillones de universos como el nuestro es prácticamente cero en comparación. Ni los indios en su obsesión habían imaginado jamás nada parecido.

Y todo esto dentro del humilde conjunto N , el que surgía del vacío como una joya zen... increíble.


Nota (1): De hecho, sí existen números mayores en la historia de la matemática, el número de Graham por ejemplo. Son tan grandes que incluso la notación exponencial se muestra impotente para expresarlos, y ha habido que inventar otra notación específica para ellos.
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4 comentarios

Anónimo -

jose -

Mi profesor de matemática discreta ha conseguido que me asquee profundamente todo lo que me suena a números enteros o naturales.

Muchas veces paseando se aprende más que dándole de comer al ego del que se supone que te tiene que transmitir algo. En verdad es como las noticias y los periódicos: una misma noticia en dos periódicos, y son irreconocibles. Aquí también pasa más o menos eso.

Crystal -

¡Madre mía! aún estoy tratando de cerrar la boca... un placer volver a disfrutar de estas gotas de sabiduría, Tío Petros ;)

adrian -

offtopic "Matemáticos acortan de forma exitosa tratamiento de la epilepsia"
http://www.elcomercioperu.com.pe/ECSalud/Html/2004-05-24/EcSaludFlaMe0142251.html
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