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Tio Petros

Divergencias modernas.

Divergencias modernas. Hace unos día vimos cómo Johann Bernoulli demostró que las suma de los inversos de los números naturales era una suma infinita.(En lenguaje de hoy: que la serie armónica es divergente). Dijimos que la demostración hoy no se consideraría rigurosa por el tratamiento del infinito tan alegre que en ella se hace: se considera como un infinito actual, y se opera con él sin ningún respeto.

Hoy vamos a ver, si les parece, cómo se evita este problema y cómo se convierte en rigurosa la demostración.

EL argumento finitista, tan al gusto de la matemática moderna, viene definido en la ilustración. Si uno no está acostumbrado, las frases en las que intervienen los símbolos de para todo , o existe un , son un poco liosas en apariencia, pero un pequeño esfuerzo será recompensado.

Escojamos un número M, tan grande como queramos. Si sucede que sumando elementos de la serie siempre conseguimos sobrepasarlo, entonces decimos que la serie diverge. n es la cantidad de elementos de la serie que hemos tenido que sumar para alcanzar el valor M. Si consigo demostrar que, sin importar el valor de M, siempre habrá un valor de n que cumpla este requisito, habré demostrado que la serie es divergente.

La lógica del razonamiento es aplastante, y así hemos evitado toda referencia al infinito.

En el caso de nuestra serie, la demostración sería así:

Si agrupamos los sumandos de la siguiente manera:

1+[1/2+...+1/10] + [1/11+1/12+...+1/100]+[1/101+...+1/1000]+...

El primer corchete tiene 9 elementos, el segundo 90, el tercero 900 y así sucesivamente.

Para cualquiera de dichos corchetes (por ejemplo el primero) podemos razonar así:

[1/11+1/12+...+1/100] > [1/100+1/100+...+1/100], ya que hemos sustituido todos los sumandos por el último, que es el menor. Y esta última suma vale 0,9 . De la misma forma, cualquier corchete vale 0,9 (90 veces 1/100, ó 900 veces 1/1000, ó 9000 veces 1/10000 da lo mismo, verdad?

Hemos demostrado que podemos agrupar los sumandos de la serie armónica en grupos que sumen más de una cantidad fijada y mayor que cero. Dado que disponemos de tantos grupos de estos como queramos, dado un número M, por grande que sea, nos bastará tomar un cierto números de corchetes de los anteriores para sobrepasar el valor de M.

Por lo tanto, LA SERIE ARMONICA DIVERGE .

Que es lo que queríamos demostrar.

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Yo no sé qué les parecerá a ustedes esta demostración, pero aún recuerdo cuando se la expliqué a un buen amigo mío. Se llama Pedro. Le gustó tanto que me impresionó cómo a ciertas personas un buen razonamiento les puede hacer el efecto de una historia bien contada, de una película estupenda o de una música arrebatadora.
Y es que, con ciertas audiencias, da gusto. ;)

NOTA.- La definición "buena" de convergencia de una serie es un poquitín más complicada que la aquí explicada. Ello es debido a que, en la generalidad, una serie puede ser más perversa de lo que es la armónica que aquí nos ocupa. La simplificación ha sido realizada en aras de una mayopr claridad en la definición. En otro post hablaremos de ello.
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9 comentarios

Rodrigo -

con todo respeto...quiero decir que aquella demostracion es poco elgante...basta tomar algunos criterios de convergencia y aplicarlos (siendo demostrados, ya que no es bueno aplicar criterios y/o formulas sin saber de donde vienen) , pero bueno...esa es mi opinion...en todo caso, muy bien lo que haces, es genial, porque asi ayudas a muchas personas a salir de esas dudas acerca de la matematica que son demasiado engorrosas.....
bueno me despido
Soy estudiandte de ingenieria civil matematica, asi que cualquier consulta que quieran hacer, pueden escribir a mi mail f_axtell07@hotmail.com , y si puedo ayudarles, lo hare...
saludos a todos, y que esten bien
adios
Rodrigo

Carlos -

Este error es el que cometió Zenon en su famosa paradoja, y también lo cometen los físicos a menudo !

Carlos -

Jean Paul, puntos contiguos en un continuo NO TIENE SENTIDO. En R no existe el "siguiente a un número", por lo tanto, tampoco puedes definir distancia entre puntos contiguos, sino entre dos puntos cualquiera.

TioPetros -

Tienes razón, Anónimo. Era consciente de ello, pero preferí simplificar la definición para convertirla "ad hoc" para una serie cuyas sumas parciales fueran monótonas porque sé por experiencia que para quienes se enfrentan por primera vez a este tipo de definiciones, la inclusión de varias variables dificulta la comprensión. No obstante, pongo una coletilla al final del post para advertirlo. Gracias.

Anónimo -

Una pequeña puntualización, en la definición habría que poner existe n_0 tal que si n>n_0, entonces la suma es mayor que M. En el caso que nos ocupa, la serie es de términos positivos, con lo cual la sucesión de sumas parciales es monótona creciente, y en consecuencia, si la suma parcial es mayor que M para un valor de n, para los sucesivos también, pero evidentemente eso no es cierto en general, por ejemplo la sucesión de sumas parciales podría ser:
1,0,2,0,3,0,4,0,...
y esa serie no es divergente.

Jean Paul -

La distancia entre puntos contiguos (si es que tiene sentido hablar de esto) en una recta, si es que tiene sentido hablar de esto, no se supone que tiende a 0? (en referencia al 0+0+...=0? Que el punto no tenga dimensiones no quiere decir que la distancia entre dos de ellos tampoco)Muy buweno el post. Alguien conoce un blog del mismo estilo que éste, pero de física? Gracias.

Crystal -

¡Guau! esta me ha encantado, Tio Petros, gracias.

juan -

tio petro. te felicito. continua tui labor, que es admirable.
soy estudiante de matematicas y de vez en cuando una demostracion te pone los pelos de punta de tanta belleza.
podrias comentar algo sobre la serie armonica alternada, por ejemplo como podemos reordenarla para que sume lo que nosotros queramos.

Sergio Hernandez -

Cuando hice la mili intente explicarles a mis compañeros, la mayoria agricultores que casi no sabian leer, la teoria de la relatividad y cositas de cuantica... y no os imaginais como lo entendian, los ojos se les ponian brillantes al ver que entendian "eso" que salia en tantas peliculas y que, al fin y al cabo, estaba a su altura si alguien se otmaba la molestia de explicarlo llanamente.

Si, una buena demostracion hace llorar al menos pensado, porque entender las cosas hace feliz a todos.

Nunca he disfrutado tanto explicando cosas de fisica como a aquellos compañeros de mili.
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