Blogia
Tio Petros

Rigor matemático y rigor mortis

Ninguna otra disciplina de conocimiento humano se distingue por el rigor de forma tan absoluta como la matemática. Esto debe entenderse en sentido no excluyente por supuesto: nadie duda de que todas las disciplinas científicas deben estar dominadas por el rigor. Sin embargo, esta es, por así decirlo, la “marca de la casa” de la matemática.

No siempre ha sido así. El mismo Euler daba saltos en el vacío más de cuatro veces en sus demostraciones, (cayendo siempre de pie, como un gato, por cierto). En gran parte fue Nicolás Bourbaki el culpable. Este matemático ficticio de nombre extraño y obra enorme concibió la idea de dotar a la matemática toda de un rigor absoluto. En sus publicaciones, aboga por ello de forma vehemente. Tal rigor, sin embargo se convirtió en rigor mortis cuando fue trasladado a la educación de la matemática.

Hoy muchos piensan que generaciones enteras de posibles amantes de la matemáticas la aborrecieron por un enorme y global error educacional. Se enseñó una matemática fría y rígida, ausente de pasión y de encanto a unos sufridos adolescentes que se convirtieron automáticamente en “gente de letras” por huir del tema.

Realmente es fácil ver la necesidad de un rigor absoluto en la producción matemática de un matemático profesional; sin embargo muchos piensan que parte del desastre educativo en matemáticas en las últimas décadas del siglo XX ha sido debido a la absurda idea de aplicar el rigor bourbakiano a la enseñanza secundaria.

Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés Castro , matemáticos cubanos que estudiaron con el gran Kolmogorov (el riguroso y espléndido maestro Kolmogorov) escriben:

Comenzar la enseñanza de la matemática con todo rigor no puede, con la perspectiva que nos da el paso del tiempo, sino ser considerado como una aberración hoy felizmente superada.

Por su parte, Heaviside exclamaba: No es fácil levantar entusiasmo alguno, después que ha sido enfriado artificialmente por los aguafiestas de los rigoristas

No voy a afirmar aquí que el pobre Heaviside tenía razón, pero en parte, algo de esto hay...

A mi me gusta esta reflexión sobre el rigor como una idea de llegada y no de partida. Me gusta contar historias matemáticas y que me las cuenten. Historias de esas que hacen afición. Por eso tengo un blog sobre historias matemáticas. Contando la matemática de esta forma, se puede intentar convencer al lector de que el rigor es una absoluta necesidad en la matemática no meramente divulgativa; pero ésta es una idea de llegada, no de partida.

Y mientras tanto, se puede disfrutar. Como me gustaría que hicieran cada vez que se asoman por aquí...
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres

21 comentarios

leon -

Quiero dejar mi opinión sobre este tema que me preocupa hace tiempo (ya que estamos, ¡me encanta todo el blog!).

Este post me parece muy bueno.

También cuando se hace matemática en serio es necesario dejar un poco de lado la rigurosidad, al menos en un primer momento. La cuestión es que para tanto para encontrar una pregunta interesante, como para fabricarse estrategias de demostración la mente necesita otro estado que el del rigor absoluto... y eso _debe_ enseñarse en la facultad. Es importante aprender qué es una demostración y qué no lo es (rigor es eso) pero... eso se aprende con relativa facilidad -con un poquito de práctica.

Lo difícil es lo otro.

Es importante entender que si se castiga demasiado duramente la falta de rigurosidad en la gente que empieza a formarse, sólo se consigue traumar a unos cuantos. La enseñanza tiene que tener en cuenta que la rigurosidad matemática es algo que se adquiere naturalmente con la práctica y no obsesionarse con el asunto. Enseñar a ser riguroso por medio de la represión es un error garrafal.

Hay otras cosas igualmente importantes que enseñar y que muchas veces no se entregan para nada (por ejemplo, a fabricarse estrategias personales para evaluar la importancia de un resultado, a comunicarse eficientemente con los colegas y con el resto de los científicos -la formación de los matemáticos suele ser paupérrima en ciencias- a trabajar en comunidad, a usar formas de pensar alternativas a la escritura -la oralidad, la observación espacial, los 'isomorfismos' con situaciones extra-matemáticas- a no emperrarse por orgullo, a no ser autoritario con el conocimiento... hay muchísimas 'habilidades' que un matemático necesita y que no se tienen en cuenta en los centros de formación. Sólo se suele poner énfasis en enseñar contenidos y 'rigurosidad'. Ambas cosas son necesarias pero están muy lejos de ser lo único.

La rigurosidad debería usarse una herramienta de generación de ideas (creando interés en completar demostraciones, criticar fecundamente prejuicios que el matemático pueda tener sobre algún tema, etc...). Si la rigurosidad es una forma de la represión, la matemática pierde (tanto en las aulas como afuera).

Otro tema. La enseñanza elemental lastima a mucha gente en todos lados (creo yo, porque hay poca buena reflexión sobre qué es el conocimiento a nivel). No es un problema de contenidos, es un problema de actitud frente al conocimiento. No está necesariamente mal introducir a chicos de doce años a los isomorfismos algebraicos (por ejemplo). Eso es algo que puede hacerse rigurosamente o no e independientemente de forma comprensible o no, de forma autoritaria o no y sobre todo... de forma fecunda o no.

Una acotación corta: cuando un profesor dice 'se ve que' (y lo hace de forma honesta, claro) está dejando que la mente de sus alumnos completen el razonamiento. Para mi, la buena enseñanza es la que mas se parece a una guía y menos a una trasfusión de sangre.
Pero esta es una cuestión aparte, no directamente relacionada con 'enseñar una matemática rigurosa'.

Mama, que sermón me estoy mandando. Juro que es porque es un tema que me importa realmente.

canopus -

A mi siempre las matemáticas me parecieron frias y un tanto aburridas, hasta que recibi un magnífico regalo: un ejemplar del libro "El enigma de Fermat", con el cual descubrí por primera vez que todo aquello que habían querido meter en mi cabeza de crio hubiera entrado con solo mostrar su belleza y utilidad.

jose -

Fijaos en este comentario, sacado de este blog:

"es un tópico decir que la matemática es algo que aburre al personal. Lo que ocurre es que el común de los mortales tiene muy pocas oportunidades de ver el lado bello del asunto. Uno de los caminos más fértiles de encauzar hacia el pensamiento matemático al profano es a través de los enigmas, de los juegos y de los acertijos."

jose -

Yo creo que en secundaria se pueden enseñar matemáticas de una forma más interesante que algo como...

Abran el libro de Juan de Burgos por la pagina 3.948...

teorema 1. demostración. corolario1. corolario2.

teorema2. demostración. corolario.

...

Son niveles distintos, en estudios superiores veo necesario tener rigor y demostrar las cosas bien, pero en secundaria creo que es más importante que se capte la idea.

Lo de las cuentas grandes... ahora me parece que no eran para aprender matemáticas, sino para que tuviéramos habilidad en el cálculo mental simplemente.

En fin, que el que explica en general tiene un papel muy importante en el interés de los alumnos. No todo el mundo es como Carlos, que en secundaria le preguntaba al maestro si en un cubo de infinitas dimensiones cabe una recta infinita (recordemos que nadie lo entendió cuando salió a explicarlo... yo me pregunto si había alguien escuchando)

Hay que inducir interés... si además es con rigor, perfecto, claro.

TioPetros -

A mí me pasó como a Carlos: tras dos años de fracaso escolar intentando (en vano) terminar correctamente una multiplicación de seis por seis cifras, un día al empezar el nuevo curso el profesor dijo: "No os creais que las matemáticas van a ser como hasta ahora; ahora viene lo duro"; y empezó la teoría de conjuntos, los productos cartesianos, las aplicaciones...y en mi mente se hizo la luz. Fué maravilloso, pero sé perfectamente que no todos somos iguales, y cada uno va a su ritmo, como decía el otro.

Carlos -

"muchos ninos de hace veinte anos se nos ensenaban en el cole cosas tan absurdas como los isomorfismos y las aplicaciones suprayectivas"
----

¿Absurdas? A mi me parecía mucho más absurdo pasarme dos años enteros haciendo una tras otra divisiones entre cantidades de 6, 7 , 8 cifras ... Gracias a esas "matemáticas" , las odié por puro aburrimiento hasta que descubrí que eran otra cosa ; isomorfismos entre grupos, estudio de aplicaciones ... si , esas cosas tan "absurdas" pero bastante más ricas y , si se me permite decirlo (porque para mi la matemática es como un juego) divertidas.

Nico -

Recuerdo un libro que lei hace bastantes anos (lo siento, estoy lejotes y mi teclado no tiene enie, no hagais chistes facilones :o), que se llamaba "El fracaso de la matematica moderna", de Morris Kline, y editado creo recordar que por Siglo XXI. Pues bien, Kline hacia referencia al fracaso que habia supuesto el exceso de rigor en la ensenanza elemental de las matematicas. A muchos ninos de hace veinte anos se nos ensenaban en el cole cosas tan absurdas como los isomorfismos y las aplicaciones suprayectivas. Por supuesto entre la incapacidad del profesor para explicar todo aquello a mocosos de 12 anios y la perplejidad que cundia entre los pupitres aquello no llevaba a ninguna parte. Estoy seguro de que a esos niveles elementales es mucho mas productivo incidir en aspectos de la matematica bastante mas intuitivos como la geometria o la simple aritmetica, o el calculo mental que esta (o estaba) tan abandonado en la ensenanza y que resulta tan util para cualquiera. Pues eso, que el rigor esta bien, pero a su debido tiempo. Saludos.

rioduero -

Dices: "...el rigor como una idea de llegada y no de partida."

Efectivamente; de total acuerdo contigo. El rigor al principio tira de espaldas y mata la ilusión de entrar en el juego de los números. Yo diría que como en casi todo hay que entrar desde abajo; o sea, de soldado a capitán, y no al contrario.

Saludos y felicidades.

Carlos -

Lo comentaba porque este tema me toca de cerca, ya que yo estudio el plan del 2000, de hecho, mi promoción (lo que queda de ella,estudiamos tercero ...) somos los últimos en cursar este plan, y los que han entrado estos dos últimos años, estan con el plan piloto de convergencia europea, que se va a aplicar en toda europa en los próximos años.

Este plan supone : Bajada de nivel, de rigor, énfasis en las aplicaciones, en la informática (y digo yo: quien quiera esto que se meta a ingenieria y nos dejen en paz). También se eliminan asignaturas y número de créditos.

Nos espera el horror ...

juan -

por dios, nadie espera que se elimine el rigorismo en la universidad. confio e que no se ha entendido eso en mis palabras. lo cierto es que las demostraciones para un matematico son la parte mas bella de sus etudio, pero es un hecho que tiran pa´tras a legos que por temor o falta de conocimiento no se atreven a atravesar el porton que lleva a las matematicas.
en mi carrera hay un alto grado de rigorismo y eso provoca que hayan pocos matriculados. considero que rebajar el nivel seria un error. sin embargo, algunas asignaturas si plantean ejemplos mas o menos clasicos como aplicaciones de los resultados e incluso otras son abiertamente divulgativas manteniendo siempre el rigor (se trata de algunoas optativas, como la topologia de superficies).
por tanto, en mi opinion, mantener un alto grado de rigor es necesario, sin llegar a la logica de primer orden de forma estrictamente necesaria en todos los planteamientos. y la divulgacion se puede añadir sin problemas para mostrar ciertas aplicaciones de los resultados obtenidos (anuque a veces los propios resultados ya son divulgacion).

Dem -

Me pasa siempre, me enrollo y me creo que la gente me conoce de toda la vida XDDD

Yo no estudio Matemáticas, siento si os he hecho creer eso. Estudio una ingeniería técnica (de informática para más inri XDDD )

TioPetros -

Espero que el post no haya inducido a nadie a pensar que yo estaba en contra del rigor en la matemática!!!!!!

TioPetros -

Suscribo todas y cada una de las palabras de Carlos. Si no hay rigor en una facultad de matemáticas, dónde coño lo va a haber? Yo tampoco veo ningún sentido en incluir aspectos divulgativos en los planes de estudio de la carrera de exactas.

Carlos -

Pues si, estoy deacuerdo con Dem. En las facultades, en vista del fracaso brutal entre los estudiantes (y es que no aprueba casi nadie) y la escasa matriculación, se han tomado medidas en el sentido de restar contenido teórico a la enseñanza. Poner énfasis en ejemplos y aplicaciones , y no demostrar muchos resultados.

Pues bien, opino que esto es un error gravísimo. La esencia de las matemáticas reside en la demostración y la formalización. Si eliminamos o bajamos el nivel en estos aspectos, estamos formando a malos matemáticos. Y no olvidemos que esto no es el instituto, se trata de formar profesionales. Respecto a la divulgación, es necesaria para despertar el interés entre las personas, o como "entretenimiento" en el sentido de darse un respiro sin salir necesariamente de tu actividad profesional. Pero no me parece conveniente incluir un aspecto divulgativo en los planes de estudio matemáticos, ni siquiera le veo sentido. A quien le interese aprender aspectos lúdicos o curiosidades, que las lea en los lugares pertinentes (éste por ejemplo) pero no tienen nada que ver con la matemática como lenguaje (o ciencia, para quien quiera).

Dem -

En el departamento de matemática aplicada de mi escuela se han debido plantear algo así este año.

Cuando entré en la universidad las asignaturas de cálculo infinitesimal, estadísitca, etc. se daban con mucho rigor, demostrándolo todo (tal vez por eso en mi último año de carrera tengo que enfrentarme a ellas otra vez).

El caso es que después de "demasiados" años de universitario, me he acostumbrado a ese rigor y ahora lo hecho de menos. Cada ejercicio que resuelve en clase el profesor usando términos como "se ve que" exclamo a mi compañero ¡viva el rigor matemático!¿dónde quedaron la reducción al absurdo y demás? (en tono irónico).

No se qué será peor, no lo se.

Carl Philip -

A ver si os gusta

http://www.fantasticmetropolis.com/show.html?fn,division,1

TioPetros -

Carl Philip: anda, dános la dirección del cuento...

juan -

en mi humilde opinion de estudiante universitario de la licenciatura de matematicas, me atreveria a decir que el rigor es muy importante, pero la divulgacion tambien. añadiria ademas que la divulgacion rigurosa, como hace tio petros, es la mas adecuada para un lego en matematicas e incluso es entretenida y didactica para un profesional.
veran, en mi caso mi carrera se puede decir que es bastante rigorista. estudio en la universidad de murcia, y ese rigor hace que este año solo haya 30 nuevos matriculados en toda la carrera. creo que esta falta se podria suplir con algo mas de divulgacion y aplicacion matematica.
ademas, si nos ponemos totalmente rigoristas acabariamos como bertrand russell, que necesito cerca de 3500 paginas de su "principia mathematica2 para probar que 1+1=2.

Carl Philip -

Quizá la enseñanza deba comenzar por la divulgación.

Carlos -

Bueno, aqui hace acto de presencia un estructuralista convencido. Pienso que la matemática se debería enseñar (para captar su esencia) con todo rigor y enfasis en la construcción de sus estructuras . Teoria de conjuntos -> Álgebra -> Análisis ...

Bueno, no me pongáis muy verde, pero creo que eso son matemáticas, y lo otro ... divulgación, que no es lo mismo que matemáticas per se.

Carl Philip -

Como músico, mi perspectiva es distinta: acaso de las que dan una opinión reveladora, por ver las cosas desde fuera, acaso de las que no aportan nada.

Cuando se enseña a alguien a tocar un instrumento, o componer, no se pretende (no se debe pretender) que todo sea riguroso a la primera. Hace falta enfrentarse a muchas piezas en forma incopetente como para poder aprender de cada una de ellas la máxima perfección —cuestionable siempre— para nuevas obras. E incluso así, esa "perfección" puede ser cuestionable en los aspectos de precisión, rigor histórico, capacidad expresiva…

Para mí uno de los muchos momentos hermosos de GEB: EGB de Hoffstadter es cuando cuestiona cómo se demuestra que una demostración de que el algo es una demostración de que algo esuna demostración de que algo… [ lo mismo, recursivamente, en forma indefinida] …una demostración. Ya sé que no es suyo pero ahí lo vi por primera vez.

Y ese rigor que empieza por recelar del propio rigor me parece la esencia de la honestidad, de la ciencia y de la matemática, que es para mí la expresión más señera de ambas.

No del todo off-topic: ¿queréis que os mande una dirección sobre un —en mi opinión— hermoso y triste cuento sobre una matemática que resulta víctima del teorema de Gòdel?. No puedo revelar en que forma es víctima sin destrozar el argumento. Para mí tiene mucho que ver con el rigor matemático, en cuanto a compromiso personal con la honestidad intelectual, de quiénes practican esta ciencia. Por supuesto, está en inglés, como casi todo.

Saludos y enhorabuena por el post.
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres