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Tio Petros

Dios es un ludópata (y 2)

Dios es un ludópata (y 2) Continuamos con lo prometido en el post anterior. Decíamos ayer que la omega de Chaitin (Chaitin es el de la foto)pertenecía a una clase de números reales verdaderamente “malvados”. Veamos porqué es esto así.

Una de las características más importantes de este número es que es algorítmicamente aleatorio. Esto es decir bastante más de lo que parece a simple vista. Supone que no puede comprimirse en un programa más breve que él mismo. En otro post hablábamos de la aleatoriedad de pi, y de los posibles (seguros, más bien) mensajes en su interior. Decíamos allí que dado que en pi existía todo, incluso la codificación en bantú de “Lo que el viento se llevó”, en realidad no existía casi nada. No hay información, ni sustancia especial. Y explicábamos que Kolmogorov había ideado el concepto de complejidad (cantidad de información) de un objeto como el número de bits del programa más conciso capaz de generarlo. Existen programas muy cortitos que generan pi con sus infinitos decimales, luego la complejidad interior de pi es pequeña; no es algorítmicamente aleatorio. El conjunto de Mandelbrot, con sus recovecos infinitos y volutas bellísimas es generable también por programas muy cortitos, por lo tanto posee muy poca complejidad en el sentido de Kolmogorov.

Chaitin definió un objeto es algorítmicamente aleatorio como aquel imposible de generar por un programa más corto que sí mismo en la década de los 60 del siglo pasado, prácticamente a la vez que Kolmogorov. Demostró que todo número algorítmicamente aleatorio era normal (sus dígitos aparecían con igual frecuencia en el desarrollo decimal, y en cualquier base). Decididamente, este tipo de números es bastante “peor” que un trascendente como pi.

El trabajo de Chaitin es muy técnico, y tedioso. De hecho, si repasan la definición de omega, verán que la suma de las probabilidades extendida a todo n no tiene ni porqué ser convergente, se hacía necesaria una normalización para que el propio omega fuera una probabilidad, comprendida entre 0 y 1. Este “detalle” le costó diez años de trabajo. Vemos por tanto que desde aquí no podemos sino hacernos eco de las propias declaraciones del autor referentes al asunto. Esto no es más que un paseo, recuerden...

A pesar de que este número está perfectamente definido y acotado entre cero y uno, en palabras de Chaitin, referidas a la expansión decimal binaria de omega:

“No solamente no se puede calcular este número, sino que nunca se pueden saber cuáles son sus bits, porque esa información es matemáticamente incompresible... es incompresible e incomprensible; las palabras son muy semejantes.”
“Para obtener los n primeros bits de omega necesito una teoria de n bits, de complejidad igual al fenómeno que quiero estudiar. Eso significa que no gano nada razonando.”


Nuestro omega no tiene estructura: es puro azar a pesar de estar perfectamente definido.

Queda claro que nuestro diablo encierra muchos secretos, y digo bien al decir “encierra”: nunca los desenterraremos. La única forma de seguir a delante es incorporar como axiomas los sucesivos valores de los bits de omega, pero incorporando axiomas, podemos demostrar cualquier cosa...

No obstante, el trabajo de Chaitin es bastante más preocupante de lo explicado hasta aquí. En matemáticas es posible trasladar la formulación de un problema a otro ámbito, si se es capaz de demostrar que existe un isomorfismo que posibilita tal traslado. En teoría de la complejidad es práctica habitual hacerlo, reformulando problemas complejos en términos de otros problemas complejos.

Chaitin consiguió traducir el problema del enésimo bit de omega en una ecuación diofántica (de coeficientes enteros). que ocupaba 200 páginas, tenía 20.000 variables y un parámetro. Demostró que ambos problemas eran isomorfos, y que la pregunta ¿Es cero o uno el enésimo bit de la expansión decimal binaria de omega? en el primer problema correspondía a la pregunta ¿Tiene un número finito de soluciones la ecuación cuando hago el parámetro igual a n?

Entiendan bien esto, que es importante: Tenemos dos problemas, A y B que se han demostrado isomorfos. Tenemos la demostración de que el problema A es no computable, algorítmicamente aleatorio, caótico e irresoluble. Para nada ayuda el planteamiento B a encontrar solución en el A; pero hemos demostrado que B es igualmente aleatorio, y ESO es lo terrible. El azar está incrustado en el seno mismo de la aritmética, dominio de las ecuaciones diofánticas.

Todo esto viene a ser una tercera formulación de la maldición de Gödel. La pregunta la hizo Hilbert, la contestó Gödel , la replanteó Turing y ahora la vuelve a responder Chaitin.

Aquí teneis una página personal de Chaitin con acceso a sus documentos más importantes, de los que he sacado esta información.

Y aquí teneis una entrevista en castellano a Chaitin en la que se habla del número omega.

PD. Por cierto, revisando documentación para este post me he encontrado con que Chaitin utilizó el Teorema de Lucas para desarrollar su ecuación diofántica. Este bonito teorema habla de la paridad los coeficientes del triángulo de Tartaglia. Sobre este tema será el próximo post, por poner algo fresquito y alegre :)
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6 comentarios

Tio Petros -

Efectivamente, ese es el artículo.

Saludos

mig21 -

¿Ese artículo es "Randomness in Arithmetic"?

Su enlace es http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/sciamer2.html y desde luego se acerca más a lo que tu has hablado aquí que el otro...
Muy interesante también, a ver si lo proceso con calma...

Saludos

Tio Petros -

Hola mig21.
Chaitin publicó en Investigación y Ciencia otro artículo: "Aritmética y Azar" en el Nº 144 correspondiente a Septiembre
de 1988 Págs 44-50.
Tanbién está en su página, si bien en Inglés.
Me parece que no se pueden hacer enlaces "vivos" en los comentarios (...)

mig21 -

Gracias por el "final" de la historia

He encontrado un documento en su página personal que me ha parecido muy interesante como resumen de todo esto. Es un artículo que publicó Chaitín en Investigación y Ciencia el titulo es
"Ordenadores, paradojas y fundamentos de las matemáticas " y la dirección http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/investigacion_y_ciencia.pdf

Además de un buen matemático parece un buen divulgador...

Saludos
P.D. ¿Se pueden hacer enlaces eb los comentarios? ¿como?

[Quique] -

Me ha dado un repelús importante. No conocía el numerito este y su intríngulis. Gracias Tío.

Crystal -

Bien, bien, no nos vendra nada mal un cambio de aires...tanta maldad concentrada en dos post no puede ser buena ;)

Adoro el azar y el caos en la matemática, es casi como reirse de uno mismo al descubrir que ni siquiera lo más exacto es siempre fiable.
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