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Tio Petros

Las raíces de la unidad (1)

Definir funciones en el campo complejo es relativamente fácil. El cuerpo C se define como el conjunto de pares de reales (a,b) con una operación suma y otra producto:

(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
(a,b)·(c,d)=(ac-bd, bc+ad)

Aquí no hay nada arbitrario. Si bien podemos definir las operaciones queramos y luego comprobar si tenemos o no un cuerpo, la definición anterior corresponde a la idea previa de que existen números cuyo cuadrado es negativo: los números imaginarios. Es muy fácil comprobar que las definiciones de suma y producto anteriores son simplemente la expresión de que las partes reales e imaginarias se suman y multiplican algebráicamente teniendo en cuenta que i2=-1.

Ciertamente, para tener perfectamente construido el cuerpo C no hizo falta un alarde de imaginación y de genialidad como en el caso del cuerpo de los reales; hizo falta tan sólo la valentía de postular la existencia de pleno derecho de un “número” i cuyo cuadrado era –1. Todo lo demás viene dado una vez que se ha cometido esta audacia. Un número complejo es por tanto un par, en el que el primer elemento es un número real, y el segundo es un número imaginario, o sea: un real multiplicado por la i así definida. Podemos escribir dicho número en forma de par (a,b) o en forma de binomio a+bi.

Pues bien, resulta sencillo definir en C otras operaciones más complicadas, por simple extrapolación de sus definiciones en el caso real. Para ello suele ser muy conveniente utilizar las expansiones en forma de serie de potencias de las funciones elementales de R , y extrapolarlas a C .

Concretamente la función exponencial, que para un número real está definida así:



para un imaginario puro la definimos de la misma forma:



Quiero hacer hincapié en un hecho fundamental: no hemos utilizado, no vamos a utilizar ninguna propiedad desconocida para manejar, por primera vez en este blog los números complejos. A riesgo de ser repetitivo, diré una vez más que la única audacia cometida es postular la existencia del número i, cuyo cuadrado vale i2=-1.

Las sucesivas potencias de i son triviales:

i3=i· i2=-i
i4= i2· i2=(-1)·(-1)=1
i5= i4·i=i

y a partir de aquí se repite el ciclo.

Así pues, operando con los sucesivos términos de nuestra ecuación, obtenemos:



y ahora no tenemos más que dejarnos llevar por el instinto. Agrupamos los términos que llevan la i imaginaria por un lado y los que no la llevan por la otra, obteniendo:



Ahora resulta que ambos paréntesis son el desarrollo en serie de las funciones trigonométricas seno y coseno, cosa que no por no ser trivial, deja de ser cierta.

Así pues, la cosa queda así, obteniendo la archiconocida fórmula de Euler



Esto es fue una gran sorpresa. Las funciones trascendentes tales como las exponenciales y las trigonométricas eran viejas conocidas en tiempos de Euler, y todo el mundo sabía que las primeras son funciones de rápido crecimiento (crecimiento exponencial, traspasado al lenguaje cotidiano), mientras que las segundas reflejaban los vaivenes cíclicos de las oscilaciones de la naturaleza; las mareas, los péndulos... Qué quería decir esta fórmula increíble?

No tiene mucho sentido hacer cábalas sobre significados ocultos de esta bella ecuación, ni tiene sentido ver misticismos orientales en su particularización para x= pi; pero no deja de ser sorprendente esta relación, conocida como la fórmula de Euler

Nos servirá para expresar un número complejo de una tercera manera: en forma exponencial. Veamos las implicaciones de la fórmula en cuestión.

Dado que el módulo de un número complejo se obtiene por el teorema de Pitágoras, como pueden ver en la ilustración siguiente:



resulta claro que nuestro exponencial de imaginario puro es un complejo unitario, y que el valor x nos indica precisamente el ángulo que forma el eje X real con el vector que desde el origen apunta a dicho número complejo. Una vez más, nada nuevo hemos utilizado, sólo la conocida relación trigonométrica sin22(x)+ cos22(x)=1.

Así pues, e ix representa un número complejo que está situado a distancia uno del centro de coordenadas, y cuyo radio vector forma un ángulo x con el eje real. Es fácil comprender que si queremos representar en forma exponencial y complejo de módulo diferente de la unidad, bastará multiplicar su correspondiente unitario por el módulo, obteniendo

z= r· e ix

como expresión general de un complejo cualquiera.

Así, mientras x va recorriendo los valores reales desde 0 hasta 2·PI, z= e ix va recorriendo la circunferencia unidad centrada en el origen, girando en contra de las agujas del reloj. La fórmula mágica que surge al igualar x a 2·PI, y que ya la hemos usado alguna vez en este blog:



no representa ninguna conexión cósmico-mágica, ni tiene mística alguna en su interior,si la ponemos en forma menos críptica, así:



nos está diciendo que con un ángulo de PI radianes, estamos en el punto –1 del eje real, cosa que puede entender un niño (1).

Ahora tenemos ya las herramientas para comprender que las raíces enésimas de la unidad , las soluciones de la ecuación

x n=1

surgen como bellas particiones de la circunferencia unidad. Lo vemos en el post siguiente, y luego pasearemos por los polinomios ciclotómicos. Les deseo un agradable paseo conmigo.

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(1) Un niño bastante listo, no un niño cualquiera.
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24 comentarios

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Nice

César -

Hola Tiopetros. Tengo un problema que me ha llevado hasta este foro y quería saber si usted o alguna otra persona pme lo podría resolver.Quiero demostrar la siguiente ecuación. Si quereis podeis probarla para cualquier n y vereris que es cierto. La ecuacion se cumple para todo número natural n>1.

Esta es la ecuación:

[sen(pi/n)]*[sen(2pi/n]*...*[sen(n-1)pi/n]=n/[2^(n-1)]

Si alguíen me lo puede responder, al día siguiente cuando por fin haya conseguido dormir, se lo agradeceré mucho.

DIEGO -

hola. duda:dentro del campo complejo me ha surgido esta duda.
si el cuadrado del numero i es -1 . El cuadrado del numero (-i) es = -1??? creo

¿me podria decir el punto de corte de una circunferencia de centro (0,-i)y radio 3 con el eje x? yo obtengo un resultado de 3,algo y eso graficamente no puede ser posible.
¿me lo puede responder al correo? gracias por todo

Marco Antonio -

Seria bueno que agreguen CONCEPTOS y DEFINICIONES de lo que es POLINOMIO y todo lo que tiene que ver con este tema.

Kopito -

Hola,en clase nos han puesto un ejercicio que debe ser bastante sencillo pero no lo entiendo y he pensao que una segunda explicacion me vendria bien. Ahi va!!!,
Demostrar que la suma de las raices enesimas de la unidad es igual a cero

Gracias por adelantado

milenz -

me parese estupida la informacton que dan

Alejandra -

si tengo que representar la fase de jw en funcion de w como lo hago, ya que arc (w/0) es una indeterminacion! si alguien lo sabe me lo podriais escribir al mail!!? gracias

Carlos H. Cabrera Gen -

1) "Inserción" es generalización de "inclusión"

2) "Subobjeto" es generalización de subconjunto"

3) R es subobjeto de C

4) Ver "Categorías Abelianas" de Peter FREYD

Henry -

Gracias Tio petros, a veces nuestros maestros dejan pasar detalles que hacen que ecuaciones como las de Euler pierdan para los estudiantes toda su dimensión.

TioPetros -

Carlos, como bien sabes, en matemáticas solemos hacer abundamentemente abusos del lenguaje. Esto no es necesariamente malo, porque no da lugar a malentendidos. La mayor parte de dichos abusos del lenguaje se refieren a isomorfismos. No hará falta que te comente que el cuerpo de los complejos con parte imaginaria nula es isomorfo al cuerpo de los reales. Es vía ese isomorfismo como debe entenderse la inclusión de los reales dentro de los complejos.

(4,0) no es 4
(0,0) no es 0

Pero yo puedo abusar del lenguaje siguiendo la tradición; y considerar R como subconjunto de C por los motivos arriba expuestos.

Carlos H. Cabrera Gen -

Un conjunto A está contenido en un conjunto B sii todo elemento de A es elemento de B
_____________________________

4 no es ( 4 , 0 )
0 no es ( 0 , 0 )

x no es ( x , 0 )

¿ Por qué R es subconjunto de C ?

Un niño -

¡Pues no lo entiendo...!

Anónimo -

La frase de Groucho es genial.

Aligustre -

Pues sí, Tío Petros, muy aguda tu observación. Precisamente era ingeniería de Teleco. Pero entonces eran 6 años y no creas que en 1º se iba tan rápidamente a lo práctico. Y hasta segundo no se metía uno de lleno en la variable compleja. Para mí era todo muy misterioso, ¿por qué una corriente tenía una parte imaginaria? (Sería bueno que los calambres no fueran reales). No me daba cuenta de que era sólo un método cómodo para operar simultáneamente con dos parámetros, la intensidad y la fase, representándolos con un solo número.

Crystal -

Muy clarito, sí señor, lástima que para la lectura del siguiente post tenga que esperar a mañana. De vez en cuando tengo que dormir, pero volveré ;)

TioPetros -

Tranquilo Carl. No ha sido tu comentario, sino la relectura de mi post. ;-)

Carl Philip -

Sentiría creer que mi comentario te ha llevado a pensar así. Simplemente, al leer lo del niño recordé la escena de Groucho Marx y me pareció gracioso ponerla. Pero ni se me ha pasado por las mientes que hubiera prepotencia alguna.

TioPetros -

Por cierto, cuando decía "hasta un niño puede entenderlo" pecaba de prepotencia. Lo siento. Sé perfectamente porque lo he sufrido lo que cuesta a veces entender un concepto que una vez visto es, o parece ser, trivial.
Lo que puede comprender hasta un niño es que se damos media vuelta a la circunferencia partiendo del 1, llegamos al -1. Esto y no otra cosa es lo que nos quiere decir la famosísima ecuación ei.PI+1=0.

TioPetros -

Sí, realmente de poco sirve tener que creerse una fórmula como un acto de fe. No obstante, me alegro de que hayas visto la luz de la formulita en cuestión.
Tu asignatura de cálculo era de una carrera de ingeniería?
Te lo pregunto porque los estudiantes de ingeniería necesitan urgentemente herramientas matemáticas, sin tiempo para detenerse en los porqués de las mismas. Es comprensible...

Aligustre -

El primer día de la asignatura de Cálculo, el profesor nos puso la fórmula de Euler en la pizarra y luego sondeó a la clase para conocer las sensaciones que tal fórmula nos había causado, y en concreto, cuánto asombro nos producía. Al final nos dijo había que creérselo para seguir avanzando, sin más explicaciones.

Su método me dejó muy frustrado. Hubiera preferido saber que tal fórmula se obtenía desarrollando por Taylor la función exponencial como acabas de hacer. Supongo que así me habría parecido mucho más atractiva e interesante.

Sergi -

¡Yo también me pido un niño! A ver si puedo imprimir el post y leerlo con más calma...

samu -

Para mi esa formula es una de las mas sorprendentes y bellas de la matematica. Ahi estan todos !! como quien dice. El numero e, pi, la unidad imaginaria y la unidad natural. Es una pasada de formula.
Que no os ofusque su sencillez, por que es ahi donde reside su belleza.

Carl Philip -

Parafraseando a Groucho Marx: "Hasta un niño podría entenderlo. ¡Rápido, que alguien traiga un niño!" :-)
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