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Tio Petros

Las raíces de la unidad (2)

Las raíces de la unidad (2) Es muy notable que con los pocos conceptos desglosados en el post anterior se esté ya posibilitado para encontrar los k números complejos que satisfacen la ecuación:

zk=1.

Más notable aún es la brevedad del desarrollo necesario para hacer tal cosa, tres renglones, como pueden ver en la ilustración que encabeza este post.

Sea z un número complejo raíz k-ésima de la unidad. Intentemos seguir paso a paso los tres renglones de la demostración:

Por su propia definición podemos poner:

zk=1 Ecuación(1)

Pongamos tanto z como el 1 (que es un número complejo al fin y al cabo) en la forma exponencial (que llamaremos a partir de ahora forma polar) que aprendimos en el post anterior. z es un complejo genérico del que a priori nada sabemos, luego su forma será completamente general:

z=r·eix donde la x sustituye a la letra griega zeta, que no puedo reproducir aquí.

1= ei·0

No tenemos más que sustituir ambos números en la ecuación (1) anterior, teniendo en cuenta que zk tiene la forma:

zk=(r·eix)k =

rk·eikx

Por tanto la igualdad (1) se convierte en:

rk·eikx = ei·0

El resto del desarrollo es pura aritmética, igualamos coeficientes y exponentes en ambos miembros y obtenemos el resultado que anunciábamos: las raíces k-ésimas de la unidad son k números complejos sobre la circunferencia unidad, y dividen a ésta en k partes iguales.

Lo vemos mejor en la ilustración siguiente, para k=7:



Cada punto es una rotación del anterior de un k-ésimo de vuelta, o sea, de 2PI/k radianes. Esta reflexión nos da un nuevo punto de vista de estos números complejos: no como números sino como operadores. Me explico.

Se tenemos un complejo en forma polar z=r·eix y lo “operamos” con eiw multiplicando ambos, obtenemos lo siguiente:

z=r·eix· eiw= z=r·ei(x+w)

Esto es: obtenemos un nuevo punto que es el primitivo, pero girado un ángulo w en sentido contrario a las agujas del reloj. Así, podemos entender un complejo unitario (de módulo igual a uno) como una operación giro alrededor del origen de coordenadas. Esto será importante en el post siguiente, en el que hablaremos de grupos cíclicos.
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5 comentarios

Celic -

¿Para qué me sirve saber qué es un número complejo?, estudio biología y no entiendo la relación de estos con mi carrera

Crystal -

Esto de los exámenes es la muerte internauta :(

Por aquí voy, para que te hagas una idea. Espero que me de tiempo a leerme el siguiente post, que de momento va mu bien ;)

samu -

siempre es buen momento para hablar de cosas interesantes.

TioPetros -

Hombre, Jorge! Al fin y al cabo en el logo hay un pentágono. Que los ocultistas se hayan apropiado de algunos polígonos para sus chorradas no quita para que sigan siendo objetos geométricos...

Por lo demás, mera apariencia.
Ví el símbolo por ahí y me gustó. Nada más.

Lo de los cuaterniones... ya veremos. Seería bastante buen momento para hablar de ellos, verdad?

Jorge -

O explicas el nuevo logotipo de la página, o pensaré que has caído en las garras de una secta... :-O

Cuando termines con los complejos, ¿hablarás de los cuaterniones, o los dejarás para más adelante?
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