Vamos a intentar sacarle jugo a la fórmula de la entropía de una variable aleatoria. En todo caso hablaremos de variables aleatorias discretas, que pueden tomar un número finito o al menos numerable de valores, sin embargo la extrapolación a variables continuas es muy sencilla y no añade dificultad conceptual alguna.

Primero, volvemos a poner la ilustración del post anterior, en la que se ve además el origen del concepto de entropía a partir de la cantidad de información aportada por cada posible valor de la variable aleatoria.



Puede suceder que uno de los posibles valores x_i tenga asociada una probabilidad p_i=1. Como la suma de todas las probabilidades es la unidad, eso quiere decir que los demás "posibles sucesos" tienen probabilidad cero (no son posibles, de ahí el entrecomillado anterior).

Una variable así nos está diciendo que se va a realizar el valor x_i con seguridad. A una variable aleatoria de este tipo la denominaremos degenerada , por no aportar aleatoriedad alguna.

Qué sucede con la entropía de una variable aleatoria degenerada?

Sólo tiene un valor con probabilidad mayor que cero, por lo que dicha probabilidad es uno; y para ese valor el logaritmo de la probabilidad es cero (pues log₂1=0), por lo que la entropía de dicha variable es nula.

Una v. a. nos está ofreciendo una cierta información; es como cuando el médico nos dice que tenemos un 88% de posibilidades de vencer nuestra enfermedad. No nos da tanta información como cuando nos dice con seguridad qué nos va a pasar; pero nos da más información que si nos habla de un 50% de posibilidades. La variable aleatoria degenerada no deja aleatoriedad: da la información máxima posible, y tiene entropía nula, según acabamos de ver.

Este hecho es el primer indicio de que si pensábamos que la entropía era una medida de la información que me ofrece una variable aleatoria, estábamos equivocados.

LA ENTROPIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA NO NOS INDICA EL GRADO DE INFORMACION QUE NOS OFRECE DICHA VARIABLE

De hecho, es un muy buen indicador de lo contrario. Cuanto más baja sea la entropía de una v. a., más información nos estará dando, hasta llegar a la entropía nula en el caso de información puntual, fiel y no probabilística (en el sentido de que la ofrece con probabilidad 1)

El hecho de que hayamos dicho que la entropía era el valor esperado de la cantidad de información asociada a los valores posibles no nos debe llevar a engaño: una cosa es la información que aporta la variable aleatoria en sí, y otra es el incremento de información que nos supone el conocimiento de la materialización práctica del valor de dicha variable en un experimento. Bajo esta luz es evidente que un suceso de probabilidad uno tenga información asociada nula: ¿qué información nos va a aportar, si la variable aleatoria ya nos da toda la información posible?

Si el médico me dice que tengo una probabilidad del 100% de curarme de mi enfermedad (variable aleatoria degenerada) me aporta de principio la máxima información. Cuando me he curado (realización práctica del suceso predicho por la variable), ya no obtengo información añadida. En el extremo opuesto, si me dice que tengo un 50% de probabilidades de curación (máxima aleatoriedad) no me aporta información alguna, y mi futura curación (realización del experimento asociado a la variable aleatoria) en cambio aportará toda la información que la variable no aportaba.

La entropía de la variable es la medida esperada de la información que aportará la realización del evento asociado a la variable, no la propia variable. Por eso es que una entropía alta implica que la propia variable aporta una información pequeña. El resto de la información hasta la certeza vendrá de la materialización práctica del evento.

Vayamos a uno de los casos más sencillos de variable aleatoria: la realización de un experimento con dos posibles resultados, de probabilidad p y (1-p). El lanzamiento de una moneda (con posibles resultados 0 (cara) y 1 (cruz), o de un dado con resultados 0 (impar) ó 1 (par).

La entropía de esta variable , aplicando la fórmula de la definición es:

H[X]= -p·log₂p-(1-p)·log₂(1-p)

En el caso general tenemos infinitas distribuciones diferentes con este esquema dependiendo del valor de p, que recorre los reales en el intervalo [0,1].

Un poco de cálculo nos convencerá de que el valor máximo de la entropía es para p=0,5, y los mínimos para p=0 y p=1, para los cuales la entropía vale cero. En efecto, en ambos casos tenemos una variable degenerada; y la máxima entropía se da cuando la distribución es uniforme: todos los valores tienen la misma probabilidad de ocurrir y la variable en sí no nos aporta información alguna de cuál puede ser el que se dé en el evento.

Ahora sabemos que el máximo de entropía es para la distribución uniforme, además es muy sencillo evaluarla:

Si tenemos una v. a. X que toma valores {x₁,x₂,...,x_n} con probabilidades (p₁,p₂,...,p_n), si hay equiprobabilidad entonces p_i=1/n, para todo n, y por lo tanto:

H[X]=-(1/p)·log₂(1/p)-(1/p)·log₂(1/p)-...-(1/p)·log₂(1/p)=
log₂(p)

Esta es la mayor entropía que puede tener una variable aleatoria de n estados.

Esta fórmula:

H[X]=log₂(p)

es idéntica a la fórmula física que expresa la entropía de un sistema en función de su número de estados, salvo por la presencia de la constante de Boltzmann. Tanto en el caso físico como aquí, la elección del valor numérico de la constante depende de las unidades en las que estemos trabajando. En nuestro caso hemos elegido el asunto al dar base 2 a los logaritmos empleados y la unidad es el bit.

Así, una variable con 8 estados, si es uniformemente distribuida y por lo tanto aporta la menor información posible; tiene una entropía de H=log₂8=3 bits.

Habiendo ocho estados son precisamente 3 los bits necesarios para nombrarlos a todos (000,001,010,011,100,101,110 y 111). Esto no tiene nada de casual, sino todo lo contrario; pero es una historia que debe ser contada en otra ocasión... ocasión que deberá esperar pues este blog suspende su actividad hasta mediados-finales de Julio por motivos vacacionales.

Volveremos entonces con más energía. Que pasen un buen verano (o invierno, si nos leen desde el hemisferio sur).

Supongamos que tenemos una urna con diez bolas. Sabemos que nueve son blancas y una negra. Si sacamos una bola al azar, consideremos la variable aleatoria asociada al experimento, X. La cuantificamos dándole el valor de 0 si la bola extraída es negra, y 1 si es blanca

P_{X=1} = 9/10 = 0.9

P_{X=0} = 1/10 = 0.1

Podemos hallar la esperanza de la v.a. X:

E[X]=1 · 0.9 + 0 · 0.1 = 0.9

Esto no es ninguna sorpresa: la esperanza, o valor esperado, no es sino el promedio esperado tras una multitud de repeticiones del mismo experimento. En promedio, 9 de cada 10 veces obtendremos un 1 (bola blanca), por lo que el valor promedio de la variable es precisamente 0.9

Sólo dos son los valores posibles de X , pero la información asociada a cada uno de ellos es diferente.

Recordemos la definición de cantidad de información asociada a un suceso i:



En nuestro caso, tenemos:

I₁= - log₂(0.9)= 0.15

I₀= - log₂(0.1)= 3.32

Vemos que la información asociada a sacar una bola negra (X=0) es mucho mayor que la información asociada al suceso "sacar una bola blanca". Una forma de entender esto es comprender que obtener una bola negra reduce la indeterminación completamente: sabemos que cada una de las bolas que quedan en la urna son blancas. Si hubiéramos obtenido una bola blanca, la reducción de incertidumbre es mucho menor: seguimos sin poder decir qué pasaría si hiciéramos otra extracción sin reemplazamiento de la bola previamente extraída.

Así pues, tener una variable aleatoria implica no saber el resultado que vamos a obtener, y esto implica no saber qué cantidad de información vamos a obtener al realizar el experimento, porque cada posible resultado nos aporta una cantidad de información diferente.

Esta simple idea nos sirve para definir a partir de una variable aleatoria otra variable aleatoria derivada, que consiste precisamente en la cantidad de información a obtener en el experimento. Definamos pues:

Dada una v.a. X, que toma valores {x₁,x₂,...,x_n} con probabilidades p₁,p₂,...,p_n, que aportan cantidades de información I₁,I₂,...,I_n, llamamos variable aleatoria cantidad de información asociada a X a la variable aleatoria I[X] , que toma valores I₁,I₂,...,I_n con probabilidades p₁,p₂,...,p_n.

En nuestro ejemplo, I[X] toma el valor 0.15 con probabilidad 0.9, y el valor 3.32 con probabilidad 0.1

Una propiedad importante de esta nueva variable aleatoria es que aunque deriva de la X inicial, no tiene en cuenta para nada los valores numéricos que esta X pueda adquirir: depende exclusivamente del reparto de probabilidades entre sus respectivas posibilidades.

Llegados hasta aquí, y dado que I[X] no es sino una variable aleatoria, nada nos impide preguntarnos por su valor esperado, o esperanza E[I[X]]; número que denotaremos H[X]

H[X] = E[I[X]] = 0.15 · 0.9 + 3.32 · 0.1 = 0.135 + 0.332 = 0.467

Vemos que la contribución del suceso menos probable es mayor que la del más probable, a pesar de que las cantidades de información deben estar multiplicadas por su correspondiente probabilidad.

Convenimos que un suceso de probabilidad nula no tiene ninguna relevancia en este cómputo. Es necesario este extremo porque el producto p(x)·log[P(x)] es una indeterminación cuando p(x)=0.

Qué hemos conseguido con esta definición?

Tenemos un número real, H[X], que es el valor esperado de la cantidad de información que obtendremos al obtener un resultado del experimento expresado por dicha variable aleatoria.

Este valor se denomina Entropía de Shannon de la variable dada. Y es un concepto de importancia capital en teoría de la información.

La expresión analítica de la entropía de Shannon es la siguiente:



En el siguiente post veremos qué tiene que ver esto con el desorden y porqué este concepto es importante.

Cuando nos sometemos a una situación de incertidumbre es natural preguntarse qué resultado es esperable obtener. Naturalmente, esta pregunta debe ser precisada convenientemente para que tenga operatividad.

El concepto de Esperanza matemática o valor esperado habilita la herramienta idónea para responder a dicha pregunta. Si nos jugamos a cara y cruz con nuestro oponente 1 euro a una tirada, no hace falta hacer muchas consideraciones matemáticas para comprender que la esperanza del juego es nula: por simetría no podemos asignar ventaja a ninguno de los dos jugadores, por lo que ambos están igualmente expuestos a perder un euro o a ganarlo.

Cada uno de los jugadores comprende que en ausencia de trampas hay la misma probabilidad de ganar que de perder y que en cada caso, la cantidad involucrada es 1 euro. Por lo tanto este juego tiene esperanza nula; o lo que es lo mismo; es un juego que no tiene ganancia esperada. Si jugáramos un número suficientemente grande de veces, las ganancias compensarían a las pérdidas.

Cualquier juego real de apuestas tiene esperanza negativa: lo más probable es perder dinero. El motivo por el que se juega es que en caso de ganar, los premios son de escándalo. Estamos dispuestos a perder una cantidad pequeña de dinero casi con seguridad a cambio de la posibilidad, por pequeña que sea, de hacernos ricos de la noche a la mañana. Es perfectamente comprensible, de ahí que si leen ustedes en algún sitio que la mera esperanza matemática es la mejor guía ante una situación de incertidumbre, no se lo crean demasiado por ser un razonamiento demasiado simplista.

Pues bien, armados con esta idea, definimos la Esperanza matemática de una variable aleatoria X que toma valores en un conjunto { x₁ , x₂ , ... , x_n} con probabilidades p₁, p₂, ... , p_n como el número real:

E[X]= p₁· x₁ + p₂· x₂ +...+ p_n· x_n

Esto no es sino la suma de todos los posibles “premios” ponderada por la probabilidad de obtenerlos.

En el caso del juego de cara y cruz con un euro en juego, tenemos:

E[X]=0.5 · 1 – 0,5 · 1= 0

Para variables aleatorias continuas el concepto es exactamente el mismo, sustituyendo el sumatorio por una integral, y la probabilidad de cada suceso por la densidad de probabilidad. No hay ninguna diferencia conceptual y no incidiremos en ello ahora.

Antes de continuar, es bueno advertir que no toda variable aleatoria tiene una esperanza definida. Algunas tienen esperanza infinita, por ejemplo esta: Sea un juego en el que hay una probabilidad de un medio de ganar 2 euros, un cuarto de ganar 4 , un octavo de ganar 8, etc.

X toma valores en el conjunto {2ⁿ; n€N} siendo P_{{X= 2ⁿ}} = 1/2ⁿ

Seguidamente tenéis el desarrollo que demuestra que esta v. a. no tiene esperanza finita:



Visto esto, estamos en condiciones de afrontar la definición de Entropía de una variable aleatoria .

Lo haremos utilizando dos conceptos de importancia capital: el de cantidad de información visto en el post anterior y el de esperanza matemática visto ahora. Lo haremos en el próximo post, si ustedes quieren.

“Estoy en contra de las corridas de toros, porque añaden dolor a la entropía del universo”

F. Sánchez Dragó, hace años en un programa de televisión.

Los niños que nacieron esta semana en el hospital materno-infantil de nuestra comarca tenían cada uno una cabeza, dos brazos y dos piernas. El sol salió por el este, se puso por el oeste y tras el ocaso el cielo se fue oscureciendo hasta volverse negro...

Noticiario imaginario

Hace cosa de un mes establecimos en este blog qué debe entenderse por variable aleatoria desde un punto de vista totalmente riguroso. Así, el concepto intuitivo de una función que puede tomar uno de entre una serie de valores con una cierta ley de probabilidad, quedaba explicado de forma bastante pormenorizada haciendo uso del concepto de espacios y funciones medibles.

Para los fines de este post, hablaremos de variables aleatorias (v.a.)de forma menos envarada. Tenemos la v.a. X, que supondremos, aunque no tiene porqué ser así, discreta. Esto quiere decir que puede tomar los valores de un conjunto finito {x₁, x₂,.., x_n}, con unas probabilidades definidas:

P{X= x₁}=p₁
P{X= x₂}=p₂
...
P{X= x_n}=p_n

Además, dado que los {x₁, x₂,.., x_n} son todos los casos posibles, tenemos que
p₁ + p₂ + ... + p_n = 1.

Nuestro propósito es definir dos conceptos relativos a las variables aleatorias: cantidad de información y entropía.

Si leen la noticia que encabeza este post (imaginaria evidentemente), verán que a pesar de su más que plausible veracidad, nunca periódico alguno publicará algo semejante. El motivo es claro: está enunciando unas noticias carentes e interés.

Conviene que analicemos un poco esa carencia de interés. En nuestro caso se debe a que los sucesos relatados son de tal habitualidad que no son dignos de ser reseñados. No se trata de que no sean importantes, o que dé lo mismo su cumplimiento que su incumplimiento. Se trata de que la importancia de una noticia es proporcional a su improbabilidad. Un notición es la reseña de un acontecimiento extraordinario que ocurre muy de vez en cuando. Si ocurre una única vez y es prácticamente irrepetible, se convierte en una primicia.

Esta idea intuitiva nos induce a hablar de la cantidad de información de un suceso. Cuanto mayor sea la probabilidad de que se produzca, menor será la información que aporta. Si el suceso es de probabilidad uno, la información que nos aporta su conocimiento es cero. En el caso límite contrario, un suceso de probabilidad cero nos aportaría una información infinita.

Precisamente la función logaritmo tiene unas propiedades muy buenas para cuantificar este extremo: log (x) vale cero para x=1, y va aumentando (en valor absoluto) hacia infinito conforme la x va desde la unidad hacia el cero. Definiremos por tanto la cantidad de información asociada a un suceso aleatorio de la siguiente manera:



El motivo del signo menos es que el logaritmo de todo número comprendido entre 0 y 1 es negativo.La elección de la base 2 para los logaritmos es de índole práctica e irrelevante para la explicación del concepto. Podríamos en principio poner cualquier base; simplemente es una cuestión de escala.

Mañana seguiremos por este camino, pero antes debemos definir qué cosa es la Esperanza matemática de una variable aleatoria . Con este concepto y el de cantidad de información bucearemos en la interpretación del concepto de entropía a la luz de la teoría de la probabilidad.

La Entropía tiene dos problemas:

1.- El concepto es algo difícil de pillar (no demasiado, pero requiere un cuartito de hora de atención)

2.- Es una palabra muy eufónica, suena tremendamente bien.

Ambas propiedades juntas hacen que muchos oradores la suelten, así sin más en medio de su discurso; como para dar empaque a su charla.

Este concepto de entropía es muy polifacético: aparece en matemáticas hablando de simples conjuntos (Entropía de Kolmogorov, de la que hablamos aquí), aparece en la teoría de la información con el aspecto que vamos a tratar en esta serie de post, y cómo no, aparece en física. Internamente subyace una unidad conceptual en todas estas versiones, como una medida del desorden de un sistema.

Seguiremos mañana definiendo la esperanza de una variable aleatoria; paso previo para definir la entropía. Mientras tanto, dejo como un ejercicio abierto para el lector el adivinar a qué tipo de entropía se refería el escritor Fernando Sánchez Dragó cuando dijo la frase que encabeza este post.

Quinto y penúltimo post de la serie de Lola Cárdenas sobre reglas de divisibilidad

Divisibilidad entre 4

Por tanto,

Divisibilidad entre 6

Por tanto,

Divisibilidad entre 7

Por tanto,

Notar que se repiten cíclicamente los factores por los que ir
multiplicando las cifras. Ordenando de la más baja a la más alta,
el ciclo que se da es éste: (1, 3, 2, -1, -3, -2).

Divisibilidad entre 8

Por tanto,

Divisibilidad entre 12

Por tanto,

Divisibilidad entre 13

Por tanto,

Notar que se repiten cíclicamente los factores por los que ir multiplicando las cifras. Ordenando de la más baja a la más alta, el ciclo que se da es éste: (1, -3, 9, -1, 3, -9).

Por ejemplo, 4394 es divisible entre 13. Sus cifras son: , , y . Aplicando esta regla, calculemos: , y 0 es divisible entre 13. Luego 4394 es divisible entre 13.

Cuarto post de Lola Cárdenas sobre reglas de divisibilidad.

Reglas básicas de aritmética modular

Dado m un entero positivo, y dados , , , , se verifica lo siguiente (reglas básicas de aritmética modular):

1. Si y , entonces


2. Si y , entonces

Demostrar estas reglas es muy sencillo, como podemos observar:

Regla de la suma: Si , entonces existe tal que , y si , entonces existe tal que .

Ahora bien, (a₁ + a₂) - (b₁ + b₂) = (a₁ - b₁) + (a₂ - b₂) = k₁m + k₂m = (k₁ + k₂)m. De aquí es claro pues que .

Regla del producto: Si , entonces existe tal que , y si , entonces existe tal que .

Desarrollamos:

Por tanto, también es claro que .

Dejamos indicado un teorema importante que no vamos a demostrar [1]:

Si llamamos al
conjunto cociente dado por y la relación binaria de equivalencia de congruencia módulo m (para m un entero positivo), se cumple:

1. Si , , se definen las operaciones suma y multiplicación en como sigue:
   
   
   


2. Ambas operaciones verifican las propiedades asociativa y conmutativa, y también se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. El elemento neutro para la suma es la clase del cero, [0], y el elemento neutro para el producto es la clase del 1, [1].


3. Dado , tiene elemento opuesto para la operación de suma definida, siendo este opuesto el elemento . Además, si m es primo, para todo tal que , se cumple que [a] tiene inverso multiplicativo, y además este inverso es único.

El teorema no es importante para nuestro desarrollo final, pero sí es importante para ampliar la visión de conjunto de las congruencias y los conjuntos , enteros módulo m.

Y ahora vamos a ver cómo se aplican estas reglas para obtener criterios de divisibilidad para números enteros (el principal objetivo de todo este texto).

Reglas de divisibilidad

Introducimos la siguiente notación: Sean x, y dos elementos pertenecientes a (es decir, son dos números enteros). Decimos que x divide a y, , y lo denotaremos por si existe un tal que .

Por ejemplo, decimos que 2 divide a 10 porque, en primer lugar, y, en segundo lugar, existe tal que . Así, escribiremos que .

De la misma manera, decimos que 3 divide a 24 porque, primero, y, segundo, existe tal que . Por tanto, podemos escribir que .

También vamos a adoptar la siguiente nomenclatura para las reglas de divisibilidad: dado un número entero x, escribiremos su expansión en base 10 como:

x₀, ..., x_n son las cifras de x, es decir, cuando escribimos x, escribimos lo siguiente: , y la expansión de arriba es la que le corresponde al estar trabajando en base 10.

x₀ es la cifra de las unidades, x₁ la de las decenas (por eso va mutiplicada por 10), x₂ la de las centenas (por eso va multiplicada por 100), etc. Se entiende, además, que las cifras están entre 0 y 9, es decir, , para i entre 0 y n.

Divisibilidad entre 2

Proposición (Criterio de divisibilidad)Un número entero x es divisible entre 2 si y sólo si la cifra de las unidades de dicho número (x₀) es par.

De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:


. Por
la segunda regla de operaciones con congruencias, , luego . No es difícil comprobar que, en general, para
cualquier k mayor o igual que 1.

Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:

Ahora bien, . O lo que es lo mismo, que x₀ sea un múltiplo de 2. Es decir, que la cifra de las unidades sea par.

Divisibilidad entre 3

Proposición (Criterio de divisibilidad)   Un número entero x es divisible entre 3 si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 3.

(El esquema es similar a la regla de divisibilidad entre 2)

De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:


. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, , luego . No es difícil comprobar que, en general, para cualquier k mayor o igual que 1.

Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:

Ahora bien, .
Es decir, que la suma de sus cifras sea divisible entre 3.

Divisibilidad entre 5

Proposición (Criterio de divisibilidad)   Un número entero x es divisible entre 5 si y sólo si la cifra de las unidades de dicho número (x₀) es cero o cinco.

(El esquema es similar a la regla de divisibilidad entre 2)

De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:


. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, , luego . No es difícil comprobar que, en general, para cualquier k mayor o igual que 1.

Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:

Ahora bien, . O lo que es lo mismo, que x₀ sea un múltiplo de 5. Es decir, que la cifra de las unidades sea cero o cinco.

Divisibilidad entre 9

Proposición (Criterio de divisibilidad)   Un número entero x es divisible entre 9 si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 9.

(El esquema es idéntico a la regla de divisibilidad entre 3)

De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:


. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, , luego . No es difícil comprobar que, en general, para cualquier k mayor o igual que 1.

Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:

Ahora bien, . Es decir, que la suma de sus cifras sea divisible entre 9.

Divisibilidad entre 10

Proposición (Criterio de divisibilidad)   Un número entero x es divisible entre 10 si y sólo si la cifra de las unidades de dicho número (x₀) es cero.

(El esquema es similar a las reglas de divisibilidad entre 2 y entre 5)

De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:


. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, , luego . No es difícil comprobar que, en general, para cualquier k mayor o igual que 1.

Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:

Ahora bien, . O lo que es lo mismo, que x₀ sea un múltiplo de 10. Es decir, que la cifra de las unidades sea cero.

Divisibilidad entre 11

Proposición (Criterio de divisibilidad)   Un número entero x es divisible entre 11 si y sólo si la suma de las cifras que ocupan la posición impar, menos la suma de las cifras que ocupan la posición par, es divisible entre 11.

(El esquema es semejante a las reglas de divisibilidad entre 3 y entre 9)

De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:



. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, , luego . No es difícil comprobar que, en general:

para cualquier k mayor o igual que 1.

Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:

Ahora bien, , lo que es equivalente a que, como dice el enunciado de la regla, la suma de las cifras en las posiciones pares menos la suma de las cifras en las posiciones impartes sea divisible entre 11.

Hasta aquí, las reglas usuales de divisibilidad que a todos nos enseñan en el colegio. Pero vaya, el truco del principio de este texto manejaba unas reglas que normalmente no se enseñan en el colegio: divisibilidad entre 7 y entre 13. Así que vamos a completar las reglas de divisibilidad con los números que nos faltan para completar del 2 al 13. Es decir, vamos a desarrollar las reglas de divisibilidad entre 4, 6, 7, 8, 12 y 13, repitiendo el mismo procedimiento que hemos llevado a cabo para demostrar las anteriores.

Abreviaremos un poco el procedimiento, obteniendo simplemente los resultados de las congruencias módulo m para las potencias de 10, y dejamos al lector el ejercicio de verificar los pasos que no se indican. Son prácticamente idénticos a los ya vistos, por lo que no debe suponer un problema.

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Puede verse la demostración en cualquier libro básico de
álgebra, por ejemplo, "Números, grupos y anillos", de J. Dorronsoro
y E. Hernández, editorial Addison-Wesley, página 40 en la primera
edición.

Segundo post de Lola Cárdenas para TioPetros sobre el tema de las reglas de divisibilidad.

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Introducción a los criterios de divisibilidad

Cuando éramos niños, en el colegio nos explicaban las reglas de divisibilidad. Por ejemplo, nos decían que todos los números pares son múltiplos de dos, que todos los números acabados en cero o en cinco son múltiplos cinco, o que si sumamos las cifras de un número, y esta suma es múltiplo de tres, entonces el número mismo es múltiplo de tres.

La reglas de divisiblidad por dos o por cinco parecen estar bastante claras, sin embargo la regla de divisibilidad por tres ya trae consigo un modo de operar que en principio no se sabe por qué es así ni por qué funciona. ¿De dónde ha salido esa regla? Me lo pregunté tan pronto como me hicieron aprenderla en el colegio. Y lo descubrí pocos años después, "haciendo cuentas" tras una clase de álgebra, intrigada, porque sabía que ahí estaba la clave. Esas reglas salen de lo más básico de un apartado conocido como ``aritmética modular''. Y veremos al final de toda la exposición que es mucho más sencillo de lo que el nombre y lo que los primeros
conceptos sugieren.

Preliminares

Relaciones binarias

Definición

Consideremos un conjunto A. Recordemos cómo se define el producto cartesiano de un conjunto: se trata de todos los pares de la forma (a, b), donde a y b pertenecen al conjunto A. Es decir, el producto cartesiano, A x A se define como:

Llamamos pues relación binaria a cualquier subconjunto de A x A, y diremos que los pares (a, b) de dicho subconjunto están relacionados por , es decir, que (a está relacionado con b por la relación ).

Ejemplo

Si tomamos como conjunto al conjunto de los números naturales, , considerando su producto cartesiano, , podemos establecer la relación tal que relaciona a cualquier n₁ con su doble, 2n₁. Es claro que el conjunto es un subconjunto de y por tanto la relación establecida es una relación binaria.

Relaciones binarias de equivalencia

Las relaciones que nos interesan en este momento no son relaciones cualesquiera, establecidas un poco al azar, sino relaciones que cumplen tres propiedades muy interesantes:

Reflexiva: Una relación se dice reflexiva si para todo a perteneciente al conjunto A, se verifica que .
Simétrica: Una relación se dice simétrica si para todos a, b pertenecientes al conjunto A, el hecho de que implica a su vez que .
Transitiva: Una relacion se dice transitiva si para todos a, b, c pertenecientes al conjunto A, que y implica que .

Vamos a ver un ejemplo de relación binaria que sí sea de equivalencia y otra que no lo sea, para tratar de aclarar el significado de estas propiedades.

Ejemplo de relación binaria de equivalencia

Dados , decimos que si se cumple que . ¿Es de equivalencia esta relación binaria? Para contestar afirmativamente tendremos que demostrar que se cumplen las tres propiedades. Para contestar negativamente, bastará con encontrar que falla una de ellas.

Empezamos verificando la propiedad reflexiva. Sea . ¿Se cumple que ?

Por definición de la relación, esto será cierto si se cumple que . Pero dado , siempre tenemos que , luego y la relación es reflexiva.

A continuación veamos si cumple la propiedad simétrica. Sean y supongamos que . ¿Se cumplirá pues que ?

Como , por la definición de la relación se tiene que . Ahora bien, se cumplirá que si y sólo si .

Pero .

Luego y la relación es simétrica.

Por último, veamos si la relación es transitiva. Sean y supongamos que y que . ¿Se cumple que ?

Como , tenemos que , y como , tenemos que .

Se cumplirá que si y sólo si . Pero:

Por tanto y la
relación es transitiva.

Finalmente, tenemos que se cumplen las tres propiedades, y por tanto la relación binaria así definida es de equivalencia.

Ejemplo de relación binaria pero NO de equivalencia

Ahora definimos la siguiente relación: dos elementos están relacionados, si .

Veamos si cumple las tres propiedades que debe verificar para ser una relación binaria de equivalencia.

Comenzamos verificando la propiedad reflexiva. Sea , ¿se cumple que ? Esto será así si . Pero esto sólo es así si .

¿Se verifica la propiedad reflexiva entonces? No, porque para que se cumpliera, tendría que ser cierto para cualquier . Y sabemos que eso no es así. Si , entonces .

Por tanto, no se cumple la propiedad reflexiva: no tenemos que seguir examinando propiedades para afirmar que esta relación binaria no es de equivalencia.

Clases de equivalencia

Cuando tenemos una relación binaria de equivalencia sobre un conjunto , dado un elemento , definimos su clase de equivalencia como el conjunto de los elementos de que están relacionados con .

Es decir:

Dado , en tenemos pues todos los elementos de que son equivalentes a .

Pongamos un ejemplo de la vida real que, sin ser en absoluto riguroso, ayudará a aclarar este concepto.

Imaginemos que hablamos de muebles, y queremos clasificarlos. Queremos distinguir sillas de mesas, de sillones, de sofás... Así que definimos las propiedades que, indiscutiblemente, definen a una silla y la distinguen del resto de objetos. Definimos las propiedades que definene a una mesa y la distinguen del resto de objetos. Igualmente con los sillones, los sofás...

Cuando la relación permita identificar sillas entre sí pero distinguirlas de los otros tipos de muebles, etc., tendremos una relación de equivalencia. Dos elementos del conjunto "muebles" serán sillas si reunen una serie de atributos básicos. Y son sillas y no sillones porque la diferencia ha quedado perfectamente establecida, e igualmente establecidos los distintos tipos de muebles que contemplamos así como todas sus características.

Es decir, una relación de equivalencia define la manera de distinguir un tipo de elemento de otro tipo de elemento, de forma que los elementos de la misma clase de equivalencia sean, esencialmente, iguales, pero completa y distinguiblemente diferentes de los elementos de las otras clases de equivalencia: estamos formalizando el concepto de clasificación.

Conjunto cociente

Una vez tenemos todas las clases de equivalencia de según , definimos el conjunto cociente como el conjunto de todas estas clases de equivalencia. Lo expresaremos formalmente como sigue:

Notar que dados , , y que .

La serie de posts que se inician con éste ha sido elaborada para TioPetros por Lola Cárdenas Luque, con quien compartimos pasión por la matemática y por el pensamiento crítico. De una manera lúdica nos irá introduciendo en los conceptos más importantes de la aritmética modular y de las reglas de divisibilidad. Les dejo con Lola, que es lo mismo que decir que les dejo en muy buenas manos.


Empecemos con el truco

Piensa un número de tres cifras. Por ejemplo, 123. Copia ese número detrás de sí mismo, para obtener con eso un número de seis cifras. A mí me queda 123123. Mi número está amañado para que me salga el truco, pero el tuyo no tiene por qué estarlo, aún no sabes qué te voy a decir que hagas con él.

Ahora divide ese número de seis cifras por 13. Yo también voy a hacerlo, y el cociente ha sido 9471. Qué curioso, la división ha salido exacta. Pues vamos a aprovecharlo. Seguro que a ti también te ha salido exacta.

Puedo verlo. Así que ahora divide ese cociente por... vamos a ver... vale, ya lo sé. Divídelo por 7.

Yo también dividiré mi 9471 por 7. Me sale 1353. Vaya, y otra vez la división exacta.

Es más, estoy convencida de que a ti también te ha salido exacta. ¿Probamos a dividir por un número más? Esta vez vamos a dividir el cociente obtenido por... hm... déjame concentrarme en tu número... Sí, ya lo veo claro. Vamos a dividir ese cociente por 11. Es más, antes de que hagas la división, te voy a decir el resultado. Te va a salir el número que has pensado al principio.

Voy a ver qué sucede con el mío. Divido 1353 entre 11 y obtengo... ¡123! ¡El número que he elegido al principio! ¿Sorprendido? Pues eso no es todo.

Ahora invierte el número de seis cifras. En mi caso quedaría 321321. Voy a decirte algo que te va a sorprender más aún: ese número que queda al invertir, también es un múltiplo exacto de 13. Y de 7. Y de 11. En este punto podría decir que he leído tu mente y he sabido, tras un rápido cálculo mental, que entre sus divisores estaban el 13, el 7 y el 11.

Es más, podría decir incluso que he intervenido en tus pensamientos para que eligieras un número de manera que, al darle la vuelta, también saliera múltiplo de 13, 7 y 11. Pero no voy a hacerlo. En lugar de eso, voy a explicarte el truco.

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Es increíble que un concepto que en la vida real sea tan simple de entender como el concepto de “tamaño” sea tan difícil de aprehender desde la matemática.

En una primera aproximación, si hablamos de conjuntos parece que entre dos de ellos es fácil decidir cuál es más grande: no hay más que establecer una correspondencia biyectiva entre ambos, o al menos intentarlo. Si lo conseguimos, habremos conseguido emparejar a cada elemento del primer conjunto con uno y sólo un elemento del segundo, por lo tanto ambos conjuntos tendrán el mismo número de elementos. Lo bueno de este método es que no hace falta construir efectivamente la biyección uno a uno , sino que basta con demostrar que existe.

No obstante, aquí se acaban las buenas noticias. La idea anterior nos da un buen criterio de igualdad de tamaño en cuanto a cardinalidad, o a número de elementos entre dos conjuntos. Dado que un conjunto no es sino eso: una colección de elementos, uno podría preguntarse qué más queremos.

Pues queremos bastante más. La cardinalidad es una buena idea para medir conjuntos finitos: un conjunto de 1000 elementos es mayor que uno de 999 elementos; pero entre dos conjuntos de infinitos elementos la cosa es más complicada: ¿dos conjuntos infinitos de la misma cardinalidad tienen el mismo tamaño?

El lector debiera darse cuenta de que estoy haciendo trampa con la pregunta anterior. Estoy preguntando por el tamaño de dos conjuntos como si el concepto estuviera aclarado, y no lo está. La existencia del concepto tamaño parece llevar consigo la existencia de una relación de orden entre conjuntos, de manera que podamos decir que uno que otro o si ambos son del mismo tamaño .

Podemos demostrar que la cardinalidad no es una buena idea para comparar tamaños por la simple existencia de conjuntos de igual cardinalidad y “tamaños” diferentes.

Consideremos los intervalos [0,1] y [0,2]. Ambos tienen la misma cardinalidad, la del continuo. En efecto, es muy sencillo emparejar cada elemento de [0,1] con uno y sólo uno de los elementos de [0,2], simplemente haciéndolo corresponder con su doble. Así de sencillo. Si no nos sorprende es por que lo sabemos desde niños, no porque no sea sorprendente.

Así pues, tenemos una nueva manera de comparar “tamaños” entre conjuntos cuando la cardinalidad no es buena guía: la medida de lebesgue de los mismos.

Cuando hablábamos de variables aleatorias definimos la medida de Lebesgue: en el seno de una sigma-álgebra, y dijimos que la medida de un intervalo [a,b], ó (a,b) ó (a,b] ó [a,b) es el número real m=b-a.

Ahora se ve que desde esta perspectiva los intervalos [0,2] y [0,1] son de medida diferente, a pesar de tener la misma cardinalidad. Uno es el doble del otro más concretamente.

Como un punto p equivale al intervalo [p,p], queda claro que la medida de cualquier punto es m = p-p = 0.

Cualquier conjunto finito de puntos tendrá asimismo medida nula. Es más, cualquier conjunto numerable de puntos la tendrá nula también, pues por propiedad de las sigma-álgebras, la medida de una unión numerable es la suma de las medidas, y una suma numerable de ceros es cero.

Así pasaba con el conjunto Q, que tratamos cuando hablábamos de la insoportable levedad del conjunto Q; era denso en R , y exhibía una curiosa propiedad que parecía (falsamente) hacerlo igual de grande que todo R: entre dos puntos de Q siempre había uno de R ( en realidad infinitos). Pero también era cierto lo contrario: entre dos puntos de R siempre había infinitos de Q.

A pesar de este quid procuo , veíamos que Q no era sino polvo fractal dentro de R, y que su medida era cero. Q era ubícuo en R, pero era numerable (otra sorpresa dilucidada por Cantor y muchas veces comentada aquí), y medía excatamente cero.

Lo que no está nada claro es qué ocurre cuando el conjunto es una unión no numerable de puntos. Dado que un intervalo es precisamente eso, y que tiene medida no nula, sabemos que ciertos conjuntos infinitos (respecto a su cardinalidad) no numerables son de medida no nula. ¿Pero lo serán todos?

La intuición nos indica que así es.

Sin embargo, la intuición es tan mala consejera en matemáticas...

Seguiremos en el próximo post mostrándoles un conjunto con cardinalidad infinita no numerable que, a pesar de ello tiene medida cero, el conjunto de Cantor . Lo cual nos hará ver que la relación entre medida y cardinalidad es complicada, y que debemos abandonar para siempre la idea preconcebida de que podíamos imaginar un concepto de “tamaño” que fuera siempre satisfactorio para comparar varios conjuntos.

Se mezclarán en este nuevo paseo otros conceptos importantísimos como el de dimensión .

Pero no adelantemos acontecimientos.

Ya estamos en condiciones de definir una variable aleatoria como una función medible de un espacio probabilístico (X,A,P) en el espacio medible (R,B), donde ,B es la sigma-álgebra de Borel definida en R. Todos los conceptos están definidos en los cinco posts anteriores.

Sea f tal variable aleatoria. Para ver la importancia de que f sea medible, repetiremos la definición de función medible dada en el post anterior:

Diremos que f es una función medible cuando la antiimagen de todo subconjunto de R que sea elemento de B es un subconjunto de X que es a su vez elemento de A.

Esto significa que todo subconjunto medible de la recta real tiene un subconjunto medible del espacio probabilístico del cual es imagen. Tenemos una probabilidad definida en el espacio de partida, pero no en el de llegada. En virtud de la medibilidad de f, podemos considerar ahora una probabilidad inducida en R.

En efecto, si B es un boreliano de R, tenemos la probabilidad inducida indicada por la siguiente ígualdad, que dada su importancia conceptual me permito escribir en caracteres grandes:

P_f{B} = P{f^-1(B)}

La probabilidad original es P, y está definida en el espacio probabilístico original (X,A,P); la probabilidad inducida es P_f, definida ahora en lo que hasta ahora era simplemente un espacio de medida de con la medida de Lebesgue , y ahora es ya otro espacio probabilístico.

La variable aleatoria toma medidas en R, y para nosotros éste segundo espacio probabilístico inducido, (R,B,P_f) será lo más visible del problema en cuestión. Nuestros cálculos sobre probabilidades los haremos en muchas ocasiones sin preocuparnos del espacio de partida; y a menudo quedará totalmente a la sombra, si bien es “el que maneja las cuerdas del azar”.

Esto se verá mejor con algún ejemplo:

Partíamos en esta serie de posts sobre el azar de dos experimentos aleatorios:

Experimento A: tirar un dado no trucado una vez.

Experimento B: elegir un número con equiprobabilidad en el intervalo [0,1]

Ambos experimentos definen los espacios probabilísticos de partida. De momento no hay variable aleatoria alguna definida.Definamos ahora dos variables aleatorias sobre ellos:

Para el primer experimento, f₁ definida como un pago en miles de euros igual a la puntuación sacada en el dado. Para el segundo experimento, f₂ un valor de 100 si el numero es mayor que 0,5 y un valor de –100 si el número es menor o igual que 0,5.

Ahora, podemos abstraernos de las naturalezas de los espacios probabilísticos de partida, porque podemos hablar de probabilidades en los espacios de llegada; probabilidades inducidas por las variables aleatorias y por las probabilidades.

En efecto, en el primer caso, obtenemos 1000, 2000, 3000, 4000, 5000 ó 6000 euros con la misma probabilidad de 1/6. Esto nos basta para cortar las amarras que nos unían al espacio (X,A,P) original, en el que X={1,2,3,4,5,6}, y contemplar únicamente la distribución de premios con sus respectivas probabilidades que es lo que nos interesa. Ahora podemos responder a cuanquier pregunta del tipo:
¿Qué probabilidad tenemos de ganar más de X euros?
¿Qué probabilidad tenemos de ganar entre X e Y euros?

En la pregunta podemos incluir cualquier subconjunto de R que sea medible Borel. Parece que en este ejemplo tan sencillo estamos matando mosquitos a cañonazos. Efectivamente, el arsenal matemático empleado es desproporcionado; pero eso es tan sólo porque el ejemplo era trivial. En ejemplos más elaborados la cosa cambia.

En nuestro segundo ejemplo la variable aleatoria tan sólo puede tomar dos valores: +100 ó –100. Por tanto, el conjunto {+100,-100} de R es todo el recorrido de la variable aleatoria f₂ . Sin embargo, sigue siendo cierto que f₂ define una probabilidad condicionada en toda la sigma-álgebra de Borel de R.

Cada elemento de dicha sigma-álgebra de partida es un posible resultado del experimento de elegir con equiprobabilidad un punto en el intervalo [0,1]; así, B={0.25} es “salir elegido el 0,25; y B=[0,1/2) es “salir elegido un número menor que 1/ 2”, mientras que B= [0,1/2) U (1/2,1] es “no salir elegido el 1/ 2” . Todos ellos tienen una probabilidad asociada por el simple hecho de ser (X,A,P) un espacio probabilístico. Ahora, cada B_R (el subíndice es para recalcar que ahora estamos refieriéndonos a la sigma-álgebra del conjunto de llegada) de la sigma-álgebra de Borel de R tiene también una probabilidad inducida asociada, que es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor que esté incluido en B.

Así, B_R=[1,inf) es el suceso “la variable f₂ toma un valor mayor o igual que la unidad.

En este ejemplo tan sencillo, la probabilidad P_f2 inducida es la siguiente:

P_f2(B)= 0 , si {-100,+100} no está en B

P_f2(B)= 1, si {-100, +100} está en B

P_f2(B)= 1/ 2, si tan sólo uno de los dos valores –100, +100 está en B.

Y desde este momento, podemos olvidarnos del espacio probabilístico de partida y trabajar tan sólo con la variable aleatoria. De hecho, la propia existencia de los espacios probabilísticos y sus sigma-álgebras, tanto de salida como de llegada pueden quedar oscurecidos al trabajar con un problema concreto. Pero siempre subyacen en el problema, dado cohesión teórica a todo el entramado.

Un profesor, decía que los espacios probabilísticos son como Rebeca, la de la película de Hitchcock. Todo gira alrededor de Rebeca, aunque no se le ve por parte alguna.

Pero sin Rebeca no habría película...

A lo largo de estos tres posts repasamos hace unos meses el concepto de continuidad en espacios generales. Decíamos allí que la continuidad de una función entre dos espacios topológicos era una propiedad relativa, no absoluta de la función.

Unas topologías harían continua una determinada función y otras no. La noción de proximidad surgía de la topología sin necesidad de tener una métrica o forma de medir distancias definida, y decíamos que:

Una función continua en un punto p transforma puntos próximos a p en puntos próximos a f(p), y esa proximidad se establece en virtud de los entornos de las respectivas topologías.

Otra forma de decirlo es que la función, para ser continua debe "ser respetuosa" con las topologías de partida y de llegada.

El concepto de función continua y de función medible es radicalmente diferente, pero operativamente análogo.

En el caso que nos ocupa, no tenemos espacios topológicos, sino espacios de medida , que como hemos dicho son una tríada (X,A,M), donde X es un conjunto cualquiera, A es una sigma-álgebra subre X y M es una medida definida en A.

Supongamos que tenemos dos espacios de medida: (X,A,M_X) y (Y,B,M_Y); y una aplicación f de X a Y. Diremos que f es una función medible cuando la antiimagen de todo subconjunto de Y que sea elemento de B es un subconjunto de X que es a su vez elemento de A.

De esta forma, la función “es respetuosa” con las sigma-álgebras de partida y de llegada.

Este aparente galimatías esconde una idea extremadamente sencilla: los elementos de las respectivas sigma-álgebras son simplemente aquellos subconjuntos para los cuales tiene sentido aplicar el concepto de medida, y por ello se denominan conjuntos medibles . La propiedad pedida a las funciones medibles exige que cada medible del conjunto de llegada tenga un alter ego medible en el conjunto de partida del cual es imagen por dicha aplicación.

Es fácil comprender que este tipo de funciones son las interesantes entre espacios medibles.

Las variables aleatorias que aún estamos por definir son aplicaciones medibles entre dos espacios de medida: el origen es un espacio probabilístico (X,A,P), donde P es una medida definida en X tal que P(X)=1, y por lo tanto es una probabilidad. Y el de llegada es en conjunto de números reales R.

Lo único que nos falta es dotar a R de una sigma-álgebra para tener el panorama completo. Y eso es muy fácil de hacer: la medida en R será la extrapolación de la noción intuitiva de longitud a todos los conjuntos medibles de R. Esta medida se denomina medida de Lebesgue . Definir la medida de Lebesgue es dar una pauta para encontrar la medida de cualquier subconjunto medible de R. Como cualquiera de tales elementos debe poder ser obtenido por uniones y pasos a complementario de elementos, en virtud de la definición de sigma-álgebra, definiremos tales elementos primitivos como los intervalos [a,b], y definiremos su longitud como el número real l[a,b]=b-a.

Las propiedad sigma-aditividad de la medida junto con las propiedades generales de toda sigma-álgebra nos facilita definir la medida de cualquier subconjunto que pertenezca a esta sigma-álgebra generada por los intervalos de la recta real. Recibe el nombre de sigma-álgebra de Borel , y sus elementos se denominan borelianos .

Es mucho más fácil encontrar borelianos en la recta que no borelianos. Cualquier cosa incluida en Rque se imaginen (a no ser que sepan mucho o tengan mucha imaginación) es un boreliano. Los intervalos lo son, sean abiertos o cerrados (radical diferencia con las topologías),los puntos aislados lo son también... efectivamente, por uniones, intersecciones finitas o infinitas numerables, y con pasos a complementario (operaciones permitidas en las sigma-álgebras) lo podemos conseguir casi todo.

Es ese casi el que complica tanto la teoría de la medida: existen como anunciábamos ciertos subconjuntos de R tan endiablados que no son borelianos, y para ellos no se puede definir medida alguna. Estos elementos son los que posibilitan en R³ cosas tan inexplicables como la paradoja de Tarski-Banach , de la que hablamos en su día aquí.

Tenemos la estructura montada. En el próximo post veremos la definición rigurosa de variable aleatoria y comprenderemos mejor esa idea intuitiva de que una variable aleatoria es una variable que toma valores en función del azar. Entonces comprobaremos que no es una ocurrencia pedir que sea una función medible, sino que esta propiedad es la que nos posibilitará a inducir una probabilidad en R.

Seguiremos dentro de unos días.

Aunque los hombres se jacten de sus grandes acciones, muchas veces no son el resultado de un gran designio, sino puro efecto del azar.

François de la Rochefoucauld

No perdamos el hilo: hace dos posts anunciábamos el comienzo de una serie explicativa de las bases de la teoría de la probabilidad, bellísimo edificio construido hace menos de un siglo por varias mentes poderosas entre las que descuella la de Kolmogorov, que aparece en la foto. Allí comenzamos el tema, y aquí desarrollamos el guión que seguiríamos. El presente post es la presentación de las estructuras conjuntísticas sobre las que se van a definir probabilidades. La meta es la definición rigurosa del concepto de variable aleatoria, tal y como se entiende modernamente.

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ALGEBRAS Y SIGMA-ALGEBRAS


Hace unos meses hablábamos de topología. Decíamos allí que se pueden definir unas estructuras en el seno del conjunto de partes de un conjunto, con ciertas propiedades interesantes para lo que queremos en cada momento.

Así, definíamos una topología sobre un conjunto X, como una colección de subconjuntos de X tal que cumplían tres propiedades:

1.- El conjunto total X y el vacío pertenecen a la colección.
2.- Si dos subconjuntos pertenecen a la colección, también pertenece su intersección.
3.- Para toda familia arbitraria de subconjuntos de la colección, la unión de todos ellos pertenece a la colección.

Con estas tres propiedades obteníamos la caracterización de unos subconjuntos distinguidos en cierto aspecto, que denominábamos abiertos de la topología.

Parece un hecho mágico que estas tres propiedades consigan tanto con tan poco, pero la realidad es que nada hay arbitrario aquí, y dichas propiedades son las que históricamente se han fijado como correctas para construir una topología.

El tema que nos ocupa ahora tiene poco que ver con la topología, pero parte de una construcción análoga: una colección de subconjuntos de un conjunto genérico X que cumple ciertas propiedades.

No perdamos de vista nuestro objetivo: X es un espacio muestral ; un conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

En principio, cada subconjunto puede ser un evento. Más tarde quedará claro el inicio de la frase anterior en principio.

A lo largo de todos estos posts haremos referencia a los dos experimentos que mencionábamos al principio de la serie:

EJEMPLO A: Tirada de un dado.
EJEMPLO B: Elección de un punto en el intervalo [0,1]

Si nos fijamos en el experimento A, veremos que si tiene sentido pensar en el evento A=”sacar menos de cinco”, también será lícito preguntarse por el contrario A^c=”sacar cinco o más”.

El símbolo A^c se llama complementario de A, y supone la realización de un resultado no contemplado en A.

Así mismo, dados dos eventos posibles A y B, será lícito preguntarse por el evento unión de ambos. Estas dos propiedades que deben cumplir los eventos de un espacio muestral son suficientes para definir una estructura denominada álgebra en un conjunto

DEFINICION.

Dado un conjunto general X, un álgebra sobre X es un sistema de subconjuntos de X tal que:


1.- Si A pertenece al sistema, entonces A^c también pertenece.
2.- Si A y B pertenecen al sistema, su unión también pertenece al sistema.

Podríamos preguntarnos porqué es necesaria tanta complicación, si con el conjunto de partes de A tenemos ya a todos los subconjuntos contemplados, y por tanto a todos los posibles eventos. La respuesta no puede ser más sorprendente: en el caso más general, en el que el conjunto X de partida es infinito no numerable, como el del ejemplo B existen ciertos subconjuntos que no representan eventos. Pero este extremo lo entenderemos mejor cuando hayamos introducido el concepto de medida de un conjunto.

Las dos propiedades anteriores son mucho más potentes de lo que parece. Por ejemplo, dados dos subconjuntos A y B de un álgebra de X, no sólo la unión, sino que también la intersección pertenece al álgebra. Pero no hace falta alguna introducir una nueva propiedad; basta una aplicación trivial de las leyes de Morgan para deducirlo de las dos propiedades enunciadas. El desarrollo de la demostración lo tenéis a continuación:



Esto está pleno de sentido. Si dados dos eventos A y B, es lícito preguntarse por el evento unión de ambos, también lo es el preguntarse por el evento intersección: aquél que recoge los resultados individuales comunes a A y B, luego es necesario que en la estructura sobre la que vamos a definir probabilidades se de esta propiedad.

Cuando tenemos un espacio muestral como el del segundo ejemplo, infinito no numerable, es importante añadir una tercera propiedad :

3.- la union de colecciones infinitas numerables de subconjuntos de la colección también pertenece a la misma.

Las álgebras que cumplen esta tercera propiedad añadida se denominan sigma-álgebras .

Los espacios probabilizables que mencionábamos en el post anterior son simplemente el par (X,A) formado por el conjunto muestral; X={1,2,3,4,5,6} en el ejemplo A y X=[0,1] en el ejemplo B; y la sigma-álgebra correspondiente; el conjunto de partes de X en el ejemplo del dado A y algo más complicado en el caso B.

Ahora tenemos la casa preparada para empezar a habitarla. Las álgebras en el caso finito (sigma-álgebras trivialmente); y las sigma-álgebras en el caso general, se mostrarán como el aparato matemático idóneo para definir probabilidades en el seno de X

Parte del motivo de que esto sea así debe ser a estas alturas evidente por sí mismo: las propiedades elegidas para definirlas sigma-álgebras son las que necesitamos para los sucesos. La otra parte vendrá de la mano de la definición de medida, y de probabilidad.

El hombre tiene mil planes para sí mismo. El azar, sólo uno para cada uno.

Mencio

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Es este post vamos a comenzar la construcción del edificio conceptual que nos llevará a definir con cierto rigor qué cosa es una variable aleatoria.

Como dijimos en la introducción que supuso el post anterior, las variables aleatorias dan valores reales a los elementos de un espacio general que llamábamos espacio probabilístico . La misión de este post es presentar el recorrido que vamos a realizar en los próximos posts para explicar todo esto.

En la exposición de este tema, que nos ocupará varios posts, ilustraremos el discurso con dos ejemplos sobre los que posteriormente definiremos variables aleatorias:

EJEMPLO A: Tirada de un dado.
EJEMPLO B: Elección de un punto en el intervalo [0,1]

Los posibles resultados de cada experimentos forman los respectivos Espacios muestrales . En el ejemplo A, el espacio muestral es X={1,2,3,4,5,6}; y el en ejemplo B es X=[0,1]. Centrémonos en el dado por el momento.

Un suceso no es simplemente cada uno de los elementos del espacio muestral, sino cada uno de los subconjuntos del mismo. Así, el suceso Z₁={1,2,3,4,5} es el suceso “sacar menos de seis”; y el suceso Z₂={1,3,5} es el suceso “sacar impar”.

De esta manera, asociado al conjunto X tenemos el sistema de todos sus subconjuntos, o conjunto de partes que denominaremos A.

El par (X, A) así definido se denomina espacio probabilizable para un conjunto finito X. Luego con el ejemplo B veremos que en el caso contínuo las cosas no son tan fáciles.

La propia nomenclatura de espacio probabilizable indica que tenemos todo dispuesto para hacer uso de la noción de probabilidad. Una probabilidad es una función de conjunto. El hábitat de una función de conjunto es diferente al de una función habitual del cálculo: las funciones de conjunto residen en un conjunto marco X, y más específicamente en el conjunto de partes de X, o un subconjunto suyo, de forma que a cada subconjunto B de X le corresponde un número.

Pero todo esto no es más que una burda aproximación, y como no tenemos prisa alguna y los conceptos necesarios son bellos de por sí, nos pasearemos por ellos en varias etapas.

Para hacer una exposición medianamente completa de este extremo, debemos explicar más pormenorizadamente qué es una función de conjunto, qué es una medida y qué es una probabilidad.

Y para ello, comenzaremos preparando convenientemente la casa en la que dichos conceptos van a habitar. Nos preparamos pues para hablar de unas estructuras llamadas sigma-álgebras, que no son sino porciones del conjunto de partes de un conjunto que cumplen ciertas propiedades muy sencillas, aunque dichas propiedades hacen que las sigma-álgebras sean a veces objetos muy complicados.

El guión de lo que sigue será así:

1.- Sigma-álgebras sobre conjuntos generales. Sigma-álgebra de Borel en R
2.- Funciones de conjunto
3.- Medidas sobre conjuntos. Medida de Lebesgue.
4.- Probabilidad. Espacios probabilísticos
5.- Funciones medibles

y por fin, variables aleatorias.

La intención es hacer un recorrido por estos tópicos sin fórmulas o casi sin fórmulas, atendiendo a la sutileza de los conceptos con la única meta en mente de atrapar de forma rigurosa aunque cualitativa el azar entendido matemáticamente.

Seguimos mañana.

En matemáticas las cosas están claras. Me explico: no hay ninguna indefinición en los conceptos, y las definiciones son claras, precisas y exentas de ambigüedad. Lo que ocurre es que, a veces, la sutileza de los conceptos a emplear exige una aparentemente complicada terminología.

Así ocurre con la definición de variable aleatoria . En una primera aproximación, la expresión variable aleatoria parece remitir a una variable que toma valores en función del azar. Esa primera impresión es totalmente correcta; pero fijar el concepto con el rigor que se exige en matemáticas no es tarea trivial. El presente post tiene la misión de acercar al lector a una definición algo más precisa de esto último.

La primera complicación viene del mundo en el que habitan las variables aleatorias, más complicado de explicar que el mundo de las variables habituales del cálculo infinitesimal.

En el cálculo infinitesimal, una función de n variables f(x,y,z,...t) “habita” en el espacio n-dimensional formado por las variables x,y,z,..,t. Este universo por muy n-dimensional que pueda ser es muy parecido al que habitamos nosotros: se tratá de un espacio métrico en el que existen distancias entre puntos. La propia función consiste en una aplicación que a cada punto del dominio de la función le hace corresponder un número, real o complejo.

Las de variable aleatorias no habitan en espacios métricos de este tipo, y esta es una diferencia radical. Su espacio natural es un espacio probabilístico, así que empezaremos por el principio.

La primera diferencia radical entre un espacio probabilístico y un espacio habitual (un espacio métrico n-dimensional) es que el segundo está formado por “puntos”; mientras que el primero está formado un conjunto en la acepción más general de la palabra, junto con sus elementos y subconjuntos; más una probabilidad definida en su seno . La frase anterior está en cursiva para resaltar el hecho de que tenemos mucho por definir antes de poder hablar alegremente de una probabilidad definida en el seno de un conjunto.

Así pues, una variable aleatoria no hará corresponder un valor concreto a cada punto de un espacio, sino que tendremos un conjunto de partida, que llamaremos X, y la de variable aleatoria hará corresponder valores concretos elementos concretos de dicho conjunto original.

He subrayado valores concretos para hacer hincapié en el hecho de que la aleatoriedad no reside en la atribución del valor a cada subconjunto. Repito: a cada elemento en el cual la variable aleatoria esté definida, la variable aleatoria le hace corresponder un número real (o complejo) fijo.

Dónde reside entonces la aleatoriedad?

Pues en el propio espacio de definición, que por eso se denomina espacio probabilístico. Para definir qué cosa es un espacio probabilístico, es necesario tener unos conceptos previos, lo que me da pié a iniciar una serie de posts sobre el tema

Haremos una incursión cualitativa en la teoría de la medida, en los espacios medibles y por lo tanto en las álgebras de conjuntos y sigma-álgebras. Espero que les guste el paseo.

En una ocasión, hablamos de los ingenuos trisectores de ángulos.

Llamábamos así a estas personas empeñadas en demostrar lo imposible. Existe una fauna muy variada de personajes de este pelo; en cuestiones físicas se agolpan alrededor del mito de la máquina de movimiento continuo, y en matemáticas alrededor de tres problemas imposibles: la duplicación del cubo, la trisección de un ángulo cualquiera y la cuadratura del círculo .

Decíamos entonces que la imposibilidad de estas tres construcciones se debe a resultados que provienen de la teoría de Galois, y que se resumen en dos proposiciones, ambas perfectamente consolidadas, demostradas y admitidas por la comunidad matemática desde hace muchísimo tiempo:

1.- Todos los números de Q son construibles.

2.- Un número real es construible si y solo si es solución de una ecuación de grado potencia de dos en Q
La cuadratura del círculo implica al número pi, que no es solución de ningún polinomio en Q, la duplicación del cubo implica la construcción de la raíz cúbica de dos, que es solución de un polinomio de grado tres (no es potencia de dos), y la trisección del ángulo de 60º implica la construcción de otro número solución de una ecuación de grado tres, y por lo tanto las tres son imposibles. Pueden existir métodos para trisecar un ángulo concreto (el del ángulo recto es trivial), pero nunca, NUNCA el de 60º.

Sucede que existen ciertos problemas parecidos en apariencia a los tres anteriores, que sí son posibles, y vamos a ocuparnos de uno de ellos: la cuadratura de la lúnula de Hipócrates .

Una lúnula es la porción de plano comprendida entre dos arcos de circunferencia. En la figura tienen una lúnula de Hipócrates , que es una lúnuna con las proporciones dadas por las dimensiones de un cuadrado ABDC. Uno de los dos arcos es el ABC, con centro en 0 y radio r = OA. El otro es el APC, con centro en D y radio R = AD.

El área de la lúnula es la diferencia entre el semicírculo de centro en O y radio OA y el sector circular APC

Llamemos A_L al área de la lúnula; A_s al área del semicírculo y A_t al área del sector antes citados.

Tenemos A_L = A_s - A_t
Y desarrollando podemos escribir:



Así pues, el área de la lúnula es r ², y como r ²=R²/2, tenemos que el área de la lúnula es la mitad del área del cuadrado ABCD, o lo que es lo mismo: es igual al área del triángulo ABC, todo ello perfectamente construible con regla y compás a partir de la lúnula.

¿A que es sorprendente un área de una figura limitada por arcos de circunferencias en la que no aparece pi?

Y es que la resta de dos números irracionales ( o en este caso lo que es aún peor: transcendentes) bien puede ser un número racional.

En el fondo no hay misterio alguno: la explicación radica en la igualdad de dos áreas: el área A_s del semicírculo ABC, y el área del cuadrante de círculo de centro en D y radio R. Llamemos X a dicho área.

El área de la lúnula es igual a la diferencia entre A_s y A_t. La primera vale X y la segunda vale (X -Q) siendo Q el área del triángulo ADC.

Por ello, el área buscada vale

A_L = X - (X -Q) = Q.

Tanto (X -Q) como X son trascendentes, no así Q, que es un número bien racional.

Seguimos con la conjetura de Borsuk, comenzada en el post anterior.

Cuando hablábamos de topología dijimos que a veces lo que está claro para dimensiones altas no lo está tanto para dimensiones bajas, cercanas incluso a nuestro mundo tridimensional.. De ahí que surja, por ejemplo, lo que se denomina topología de baja dimensión . En el caso que nos ocupa, sin embargo, pasa lo contrario.

La conjetura de Borsuk resulta ser cierta para dos y tres dimensiones. Sin embargo para dimensiones altas la cosa es muy complicada. Veamos por encima el asunto.

Para el caso tridimensional, la demostración tiene un atajo, basado en el siguiente teorema:

Todo objeto de tres dimensiones con diámetro d está contenido en un octaedro recto cuyas caras opuestas están a una distancia d unas de otras, y con tres de sus vértices truncados por planos perpendiculares s las diagonales, que distan d/2 del centro.

Puede parecer un poco complicado, pero con las siguientes figuras se ve mejor:

Aquí vemos tal octaedro con el truncado del primer vértice:



Ahora con tres de sus vértices de la misma manera:



el teorema anterior dice que todo cuerpo tridimensional de diámetro d puede meterse dentro de este octaedro truncado, y resulta que sabemos dividir dicho cuerpo en cuatro partes para que todas tengan menor diámetro que el original, véanlo en la ilustración siguiente:



Ahora queda claro que el número de Borsuk para cualquier cuerpo de tres dimensiones es menor o igual a cuatro.

Es evidente que para dimensiones mayores no podemos seguir por ese camino. Por eso es comprensible que el reto quedara en suspenso durante muchos años.

Este estado de cosas cambió con la publicación por parte de los matemáticos J. Kahn y G Kalai en el Bulletin of the American Mathematical Society de un artículo que se titulaba Un contraejemplo de la conjetura de Borsuk .⁽¹⁾

Lo que Kahn y Kalai hicieron fue demostrar que el número de Borsuk para cualquier objeto n-dimensional crecía exponencialmente con la dimensión. Más concretamente demostraron que cuando la dimensión crece hacia infinito, el número de Borsuk tiende asintóticamente a una función exponencial, que resultó ser la función siguiente:

g(n)=(1,1) ^SQR(n)

donde SQR(n) quiere decir raíz cuadrada de n.

Una de las propiedades de las funciones exponenciales es que por muy despacio que avancen al principio ( y esta lo hace muy lentamente, pues la base es cercana a la unidad, y el exponente no es n , sino su raíz cuadrada), siempre terminan por superar a cuanquier función polinómica. Concretamente la función f(n)= (n+1) que proponía la conjetura de Borsuk es polinómica de grado uno.

Para un valor de n = 9.162 la función exponencial g(n)=(1,1) ^SQR(n) comienza a ser mayor que (n+1), luego a partir de ahí la conjetura de Borsuk debe fallar necesariamente.

Este resultado zanja la cuestión de la validez universal de la conjetura, pero deja abierta una incógnita bastante incómoda.

Efectivamente, tal valor de la dimensión (n=9.162) es una simple cota máxima de cumplimiento de la conjetura: asegura que de ahí hacia arriba se deja de cumplir, pero nada dice de valores menores que 9.162. Bien pudiera ser que falle desde valore bastante menores.

Las sucesivas cotas de d han ido bajando : Nilli obtuvo el valor de 946, Raigorodsky 561 y Weissbach el de 560. Más recientemente, ya en el año 2.000, Aicke Hinrichs alcanzó el valor de 323. El artículo está disponible aquí.

EN todo caso,el tema está abierto. ¿Cuál es el valor de la dimensión para el cual la conjetura de Borsuk empieza a ser falsa?

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HACE UN AÑO comenzábamos una serie de tres post para responder la pregunta ¿Qué es un número?

Vimos que contra la opinión general el número no es un concepto primigenio en la matemática, sino que se basa en el concepto anterior de conjunto.

En este post comenzamos a ver los axiomas en los que nos íbamos a basar, aquí desarrollamos la idea y finalmente concluimos con la extraordinaria idea de que fundamentación de los números naturales y la matemática toda está basada en el conjunto vacío. A Siddharta Gautama el Buda le hubiera gustado esta idea.

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(1) J. Kahn & G. Kalai: A counterexample to Borsuk's conjecture, Bulletin Amer. Math. Soc. 29 (1993), 60-62.

Dos reflexiones pueden servir para empezar este post, y ambas han sido realizadas bastantes veces desde este blog. La primera es que las conjeturas tienen en matemáticas un valor muy exiguo como afirmaciones, y un gran valor como acicate para nuevas investigaciones. De hecho, un sinnúmero de veces resultan ser falsas. Sin embargo el reto de demostrarlo ha espoleado a investigadores para transitar por caminos poco conocidos, alumbrando de paso rincones de la matemática, cuando no descubriendo zonas totalmente nuevas, más importantes que la mera dilucidación de la verdad o falsedad de la afirmación de la conjetura.

La segunda es que en matemáticas no hay nada inocente. La propiedad más ingenua en apariencia, el teorema más tonto, la propiedad más aparentemente infantil puede dar pie a complicaciones de extraordinario calado, y generalizaciones inimaginables a priori.

Hoy pretendo hablarles de algo bastante poco conocido: la conjetura de Borsuk .

El inicio del asunto no puede ser más simple: dado un subconjunto de R ² , como el F de la figura, definimos el diámetro del mismo como el menor número real que es más grande que la distancia de dos puntos cualesquiera de F . En la figura, el diámetro de F es igual a la distancia entre los puntos A y B, los más alejados de entre todas las parejas de puntos de F .

Les muestro una partición de F en dos subconjuntos, F₁ y F₂ . Los diámetros respectivos de cada uno de ellos son menores que el diámetro del conjunto F original.

Normal , pensarán. Pues no, no es tan normal. Si nuestro conjunto de partida F es una figura tan poco rebuscada como un triángulo equilátero, entonces no podemos partirlo en dos figuras que tengan ambas menor diámetro que el original. El motivo es claro: al repartirse tres vértices entre dos, alguno se quedará con dos de ellos. Para ese, el diámetro será necesariamente igual al del objeto original. En resumen: necesitamos dividir el triángulo en tres partes para obtener diámetros menores que el original en cada una de las figuras de la partición.

Pueden ver la partición necesaria en la siguiente figura:



Así pues, las cosas no son tan sencillas. Llamemos B(F) al número entero que representa la mínima cantidad de trozos necesarios para partir la figura F de forma que todos los trozos sean de menor diámetro que el original.

¿Cuánto puede valer B(F) para una figura plana general? ¿Y para una figura tridimensional? ¿Y si F tiene 27.389 dimensiones?

Como pueden ver, la cosa se complica.

Para el caso de dos dimensiones, Borsuk demostró en 1.933 que con las tres divisiones que necesitaba el triángulo equilátero bastaba para cualquier figura. Así pues B(F) era menor o igual a 3 para cualquier figura de dos dimensiones.

Esto le dió pié a presentar su conjetura para el caso más general, que dice:

Sea F un subconjunto acotado del espacio n-dimensional. Entonces B(F) es menor o igual a (n+1).

Era una conjetura arriesgada. Conjeturar el caso general cuando sólo se conoce un caso concreto me recuerda a hablar de la posibilidad de vida extraterrestres cuando sólo conocemos el cao de nuestro planeta. Es tema harto difícil.

Sin embargo, el caso para tres dimensiones cayó en 1.955 ( veintidos años después del reto de Borsuk), cuando Eggleston demostró que para tres dimensiones hacían falta a lo sumo... ¡cuatro divisiones!. La conjetura cobraba fuerza.

La demostración de Eggleston debe ser de una complejidad inusitada, pero válida. Dos años después otro matemático, Grunbaum dió otra demostración del mismo hecho, algo más sencilla pero igualmente endiablada.

Quedaba aún el caso general... que vino a demostrar que la conjetura era falsa. Lo vemos en breve, si ustedes quieren; como siempre.

Hemos explicado en post recientes que las raíces de la unidad se distribuyen a lo largo de la circunferencia unidad en el plano complejo, dividiéndola en n partes iguales. Vimos que cada uno de los valores de la raíz n-ésima de la unidad se podía expresar mediante el número complejo e^i(2PI/n)k. Dando valores a k desde 1 hasta n obtenemos todas las raíces. No lo dijimos en su momento, pero a dichos números complejos unitarios se les denomina números de Moivre .

Estas raíces son las soluciones de la ecuación polinómic