Teoremas

El teorema de Pick (2)

Para que no haya confusión es importante explicar que cuando en este post nos refiramos a “los puntos de la frontera o del interior” de un polígono cualquiera nos estaremos refiriendo exclusivamente a los puntos de la malla de Pick de dichos polígonos.

Vamos a demostrar que la función V(P) = I+ B/2 – 1 definida sobre polígonos de Pick explicada en el post anterior es una función aditiva. Esto es: si el polígono P resulta de la unión de los polígonos P₁ y P₂, entonces :

V(P)=v(P₁)+v(P₂)

Sean pues dos polígonos de Pick P₁ y P₂, con I₁ e I₂ puntos de la cuadrícula en el interior de los mismos; y con B₁ y B₂ puntos de la cuadrícula en su frontera respectivamente. Llamaremos m al número de puntos del polígonos resultante P que provienen de la coincidencia de dos puntos de la frontera de ambos polígonos iniciales. Está claro que dichos puntos serán puntos internos de P salvo los dos extremos, que seguirán perteneciendo a la frontera.

Así pues, podemos pasar a comprobar que V(P) es precisamente la suma de V(P₁) y V(P₂).

Tenemos:

V(P₁) = I₁ + B₁/2 – 1

V(P₂) = I₂ + B₂/2 – 1

V(P) = I + B/2 – 1.

El número de puntos internos de P será la suma de los de los polígonos iniciales P₁ y P₂ más la cantidad de puntos frontera de éstos que se han convertido en interiores. Dicha cantidad es de (m-2), pues los dos puntos extremos de los m que coinciden siguen siendo frontera en el polígono resultante, convirtiéndose en interiores los demás. Así pues tenemos que:

I = I₁ + I₂ + m – 2.

Respecto a los puntos de la frontera de P vemos que provienen de los puntos frontera originales, excepto precisamente los m compartidos, que pasan a ser internos todos ellos menos los dos extremos. Así pues:

B= B₁ + B₂ - 2m + 2

Ahora estamos en condiciones de afrontar la prueba de aditividad:

V(P) = I + B/2 – 1 = (I₁ + I₂ + m – 2) + (B₁ + B₂ - 2m + 2)/2 – 1 =

= (I₁ + B₁/2 – 1 ) + (I₂ + B₂/2 – 1) = V(P₁) +

V(P₂), que es lo que queríamos demostrar.

Queda demostrada la aditividad de la medida propuesta. Esto no sólo es importante por ser condición necesaria para que dicha medida sea efectivamente un área, sino porque además nos habilitará para demostrar que para figuras sencillas como triángulos efectivamente ES un área. Dado que cualquier polígono de Pick puede triangularse, aplicando la aditividad quedará demostrado que la fórmula es válida para todos ellos.

La doble arma de poder demostrar lo que queremos para figuras muy sencillas de forma directa y aplicar luego aditividad para extender la veracidad de la afirmación a figuras más complicadas nos habilitará para comprender una interpretación nada evidente de la fórmula de Pick: los ángulos de visión del polígono dado desde cada uno de los puntos de la malla.

Efectivamente, vean la siguiente ilustración:



Vamos a efectuar el conteo de los ángulos de visión del polígono desde cada uno de los puntos del mismo. La unidad del conteo será la circunferencia completa. Comprenderán que un punto interior como el i de la figura contabiliza como una unidad: su "angulo de visión del polígono" es la circunferencia entera por pertenecer al interior del polígono. Un punto como b , contabilizará como media unidad, pues pertenece a la frontera sin ser un vértice, y tiene un ángulo de visión del polígono de media circunferencia. Si el polígono es un triángulo, los ángulos de visión de los vértices son precisamente los propios ángulos de los vértices, que suman siempre media circunferencia (180º), lo que hace media unidad entre los tres. O lo que es lo mismo: podemos contabilizar dichos vértices como cualquier punto de la frontera y luego restar una unidad al resultado, obteniendo la fórmula original de Pick: I+B/2 -1.

Dado que lo anterior es válido para cualquier triángulo y daddo que cualquier polígono de Pick se puede triangular, basta ver la aditividad de esta "nueva forma de ver las cosas", pero esto ahora es casi trivial: si tenemos dos polígonos que se unen, sus puntos respectivos siguen contabilizando como en los originales salvo cuando pertenecen a la frontera. Si dicha parte de la frontera no es de la zona de unión, nada ocurre. Si lo es pueden pasar dos cosas: que el punto pase a ser interior o que continúe siendo frontera del polígono suma.

Si sucede lo primero, dos puntos frontera que tenían un ángulo de visión de media circunferencia cada uno pasan a ser un punto interior con un ángulo de una circunferencia completa y se conserva la aditividad. Si sucede lo segundo, dos vértices se unen en un punto que sigue siendo un vértice, pero en este caso también se suman los ángulos de visibilidad, luego también se conserva la aditividad.

En suma: el sumatorio de los ángulos de visibilidad de todos los puntos de la malla de Pick de un polígono dado nos da el área de dicho polígono, medidos dichos ángulos en circunferencias completas.

¿No es curioso?

En el próximo post veremos que el teorema de Pick es más potente de lo que parece: todo lo aquí dicho valía para polígonos de Pick convexos o no convexos, pero sin agujeros. Una pequeña ampliación en el mismo lo habilita para todo tipo de polígonos de Pick, incluso con agujeros.

Magia euleriana

Pasamos a explicar lo prometido: cómo consiguió Euler demostrar que la serie de los inversos de los cuadrados perfectos convergía a pi cuadrado sextos



Euler empezó con el desarrollo en serie de la función seno. Hay que hacer notar que un desarrollo en serie NO es un polinomio. Un polinomio tiene un número finito términos. Una función seno es una función trascentente , y nunca podría ser expresada como un polinomio.



La audacia de Euler consistió en tratar esta serie como si de un polinomio se tratara. Llamó P(x) a la serie que expresa la función (sen x )/x,


_____________________ECUACION (1) ________________

Los valores para los cuales esta función se anula son los mismos que los valores para los cuales se anula la función seno, habida cuenta de que el límite de P(x) cuando x tiende a cero es la unidad, como es sabido.



La audacia está en el paso siguiente: ya que tenemos las raíces de P(x)=0, factoricemos como si estuviéramos ante un polinomio corriente:



Ahora utilizando el rollo aquel de (a+b)(a-b)=a²- b², podemos agrupar los factores de dos en dos, obteniendo lo que sigue:


_____________________ECUACION (2) __________________

Vemos que la serie que represente a P(x) la podemos expresar de dos formas: como la suma de una serie de potencias pares de x, ECUACION (1) y como el producto de una serie de factores todos ellos con x elevado al cuadradoECUACION (2) .

Según la primera de las maneras, el coeficiente de x² vale –1/3! ; y según la segunda, el coeficiente de x² proviene de multiplicar todos los primeros miembros de los factores (siempre el 1) menos uno, por el segundo miembro de cada uno de los factores, y luego sumar todas las posibilidades. Igualando los coeficientes de x² en ambas expresiones, obtenemos:



Lo que nos lleva irremisiblemente a

Euler y el problema de Basilea

Las admiraciones de la fórmula que encabeza este post no son factoriales: son simples exclamaciones que reflejan la sorpresa que produjo en el mundo matemático el descubrimiento de Euler.

Hemos contado cómo las mentes de los dos hermanos Bernoulli unidas no fueron suficiente para desentrañar el misterio de la serie de los inversos de los cuadrados 1+1/4+1/9+1/16+...

En un post anterior escribíamos:


Los hermanos Bernoulli, ebrios de gozo por la demostración conseguida (la divergencia de la serie armónica), intentaron conocer los misterios de otra serie: la suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos: 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...

Sin embargo, el genio de ambos hermanos juntos era insuficiente para desentrañar el misterio. La serie era convergente,pero...hacia qué número real convergía? Fué necesario el cerebro del maestro de todos los matemáticos para desentrañar el misterio, en un alarde de magia euleriana casi sin parangón en la historia de la matemática.

Mengoli y Leibniz se habían estrellado antes, y ahora los Bernoulli admitían la derrota:

“Grande será nuestra gratitud si alguien encuentra y nos comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros esfuerzos” , escribía Jakob Bernoulli en su Tractatus.

Como escribió en Basilea, el reto lanzado fue conocido en su tiempo como el problema de Basilea

Por desgracia para él, moría sin que nadie hubiera podido avanzar en el tema. Hacía falta no uno de los grandes, sino el más grande del momento para recoger el guante y triunfar donde los demás habían fracasado.

Cuando Euler publicó el resultado, el hermano de Jakob, Johann escribió: Utinam Frater superstes effet! (Si viviera mi hermano!). Y no era para menos. La sorpresa por ver el problema de Basilea resuelto quedaba en nada ante la perplejidad del resultado. PI CUADRADO SEXTOS !!!

La irrupción de la constante pi en un lugar tan inesperado no era normal. Según la matemática ha ido avanzando, hemos visto aparecer nuestra querida constante en muchos sitios, pero aquella vez era una de las primeras, y la sorpresa era grande. Sorpresa sí, pero no incredulidad. Se habían sumado más de mil términos de la serie, obteniendo el valor de 1.64393 . Se sabía que la convergencia era lenta, pero pi cuadrado sextos era el valor buscado, sin duda alguna (1.1.6449340...)

En 1.735, Euler escribía pletórico de felicidad: ...Sin embargo, he encontrado ahora y contra todo pronóstico una expresión elegante para la suma de la serie 1+1/4+1/9+1/16+etc., que depende de la cuadratura del círculo... He encontrado que seis veces la suma de esta serie es igual al cuadrado de la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es la unidad

¿Cómo consiguió el mago de los números obtener el resultado?

Apartándonos un poco de la tónica general del blog, en el siguiente post describiremos exactamente cómo lo hizo. Como en otras ocasiones, he intentado poner un enlace de algún lugar de la web en el que se explique; pero no lo he encontrado. Así que lo describiremos aquí. Esto no debiera intimidar a nadie: si el lector no puede o no le apetece seguirlo, que ignore el post olímpicamente, pues esto no va a ser un cambio en la tónica general del blog, sino una excepción, que además me permitirá comprobar si puedo insertar con buenos resultados fórmulas propias en medio del texto de un post.

Les espero para mostrarles el mejor Euler en acción sacándose del sombrero una perla de belleza infinita.

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Como siempre pasa en matemáticas, desentrañar un misterio sólo sirve para encontrar otros mucho más difíciles. Efectivamente, la pregunta siguiente era obvia: qué pasa si el exponente de los denominadores no es 2? Y si es cualquier valor real? Y el colmo de la perversión: y si es cualquier valor complejo?
Esta última audaz pregunta dió paso a uno de los objetos más complicados de la matemática (modernos fractales incluidos!!!); la función zeta de Riemann . Pero, como decía Michael Ende, esta es otra historia y deberá ser contada en otra ocasión.

Los Bernoulli y la serie armónica (2)

Ya hemos visto que Leibniz demostró que la serie de los inversos de los números triangulares convergía a 2:

1+1/3+1/6+1/10+1/15+...=2

La idea de Johann Bernoulli fue la siguiente; empezó llamando A a la serie armónica sin su primer término:

A=1/2+1/3+1/4+1/5+...

Seguidamente transformó las fracciones de forma que los numeradores fueran sucesivamente 1,2,3,... todos los números naturales:

A=1/2+2/6+3/12+4/20+5/30+...

Podemos comprobar que estos denominadores son el doble de los correspondientes a la serie de Leibniz de números triangulares. Bernoulli denominó C a dicha serie entre dos:

C=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+...=1

Y fue creando nuevas series a base de eliminar el primer término de cada serie anterior:

D=1/6+1/12+1/20+1/30+...=C-1/2 =1-1/2=1/2
E=......1/12+1/20+1/30+...=D-1/6 =1/2-1/6=1/3
F=..............1/20+1/30+...=E-1/12 =1/3-1/12=1/4
G=.....................1/30+...=F-1/20 =1/4-1/20=1/5

Por la propia construcción de estas series, se ve claro que la suma de todas ellas C+D+E+... es precisamente A ( sumaríamos 1 vez 1/2, dos veces 1/6, tres veces 1/12, etc,etc.

Por lo tanto:

C+D+E+F+G+...=A

Y dado que tenemos que C=1, D=1/2, E=1/3, ... también tenemos que:

C+D+E+F+G+...=1+1/2+1/3+1/4+1/5+...=1+[1/2+1/3+1/4+1/5+...]=1+A

Concluimos la suma C+D+E+F+G+... es tanto A COMO 1+A, de donde

A=A+1

qué significa esto?

El razonamiento de Bernoulli fue el siguiente: A=A+1 significa que aumentar en una unidad el valor de A no influye en el valor de A, cosa que sólo es posible si A es infinito. En efecto, dividiendo la igualdad entre A, tenemos que 1=1+1/A , lo que implica que 1/A=0, cosa que sólo ocurre cuando A es infinito.

Porqué esto no se considera riguroso hoy en día?

Bernoulli trata la serie de forma completa, asignándole un valor A cuando a priori no sabemos si se trata de un valor finito. A partir de este momento, maneja dicha A como si de un número habitual se tratara, manejando un infinito actual de forma, digamos holística (qué poco me gusta esta palabra, tan apreciada por mil charlatanes!!!).

La estrategia moderna es finitista, y la veremos en el próximo post.

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A pesar de que su hermano Jakob escribiera en uno de sus libros al explicar esta demostración: "Id primus deprehendit frater" (Mi hermano fue el primero en describir esto), lo cierto es que dos demostraciones de la divergencia de esta serie se habían logrado antes: las debidas a Nicolás Oresme (1323-1382) y a Pietro Mengoli (1625-1686).

Los hermanos Bernoulli, ebrios de gozo por la demostración conseguida, intentaron conocer los misterios de otra serie: la suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos: 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...

Sin embargo, el genio de ambos hermanos juntos era insuficiente para desentrañar el misterio. La serie era convergente,pero...hacia qué número real convergía? Fué necesario el cerebro del maestro de todos los matemáticos para desentrañar el misterio, en un alarde de magia euleriana casi sin parangón en la historia de la matemática. Pero no adelantemos acontecimientos.

El Teorema de Feuerbach

El Teorema de Feuerbach ha sido denominado como la joya de la geometría del siglo XIX . Y realmente no es para menos... Les invito a acercarse un poco al sabor de dicho teorema; como siempre, sin demostraciones y sin hacer matemáticas; tan solo paseando agradablemente.

Que tres puntos de un plano pertenezcan a una misma circunferencia no solo no es nada extraordinario, sino que es algo absolutamente obligado; de hecho tres puntos son los que definen una circunferencia. Dicho de otra manera: dados tres puntos no alineados, existe una y solo una circunferencia que pasa por los tres.

Si dados cuatro puntos existe una circunferencia que pasa por los cuatro, tenemos algo por lo menos curioso: existe alguna relación entre ellos que se refleja en la pertenencia común a la misma circunferencia. Según vamos aumentando el número de puntos, más extraordinario es que todos ellos pertenezcan a la misma circunferencia (o que todos ellos equidisten de otro punto), o más especialmente elegidos son dichos puntos. Por eso, la existencia de la circunferencia de Feuerbach es algo insólito.

Dado un triángulo ABC cualquiera, las alturas son los segmentos de recta que van desde cada vértice hasta el lado opuesto correspondiente perpendicularmente. En la figura están pintadas de verde. Las tres alturas se concurren en el mismo punto, llamado ortocentro del triángulo (punto M del dibujo). Los puntos de corte de las alturas con los lados del triángulo se denominan pies de las mismas(Puntos T_a,T_b y T_c).

Pues bien: los tres pies de las alturas de un triángulo determinan un círculo, que se llama circunferencia de Feuerbach del triángulo, y recibe también el nombre de circunferencia de los nueve puntos .

Dicha denominación de circunferencia de los nueve puntos proviene del extraordinario hecho de que además de los tres pies citados, también pertenecen siempre a dicha circunferencia los tres puntos medios de los lados del triángulo(puntos F_a,F_b y F_c en el dibujo), y los tres puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el baricentro(puntos K_a,K_b y K_c en el dibujo). Nueve puntos, todos ellos en la misma circunferencia .

En la figura tienen también dibujadas las mediatrices del triángulo (perpendiculares a cada lado por sus puntos medios), que también concurren en un punto: el circuncentro (punto Q en el dibujo). La recta que une ambos puntos, circuncentro y baricentro se denomina recta de Euler . Precisamente el punto medio del segmento QM (punto F) es el centro de la circunferencia de Feuerbach (Dibujado en gris).

Pues bien, esto no es todo: el Teorema de Feuerbach afirma que la circunferencia de nueve puntos es tangente a otras cuatro circunferencias: la inscrita al triángulo y las tres exinscritas.



El punto de tangencia de la circunferencia de Feuerbach (en rojo en la figura anterior) con la inscrita es llamado punto de Feuerbach

Aquí tienen una demostración equivalente al teorema de Feuerbach que no utiliza apenas arsenal analítico.

Belleza en estado puro, ¿no es así?

El Teorema de Wallace-Simson

Seguimos con nuestro paseo por los hermosísimos parajes de la geometría plana de los triángulos.

Supongamos que tenemos un triángulo cualquiera, definido por sus vértices A,B,C como en la figura(triángulos azules). Dado un punto cualquiera P (en gris en las figuras), que puede ser exterior o interior al triángulo, tracemos las tres perpendiculares desde dicho punto hasta los tres lados del triángulo, o hasta sus prolongaciones en su caso.

Los puntos P₁,P₂,P₃ de intersección determinan un triángulo que denominaremos Triángulo podal del triángulo ABC relativo al punto P. Lo tenemos en rojo en las figuras.

Resulta que este triángulo degenera en un segmento en determinados casos. En la figura de la derecha podemos ver que para el punto P elegido, los puntos P₁,P₂,P₃ están alineados, con lo que el triángulo podal es un segmento.

Cuando esto ocurre, la recta definida por los tres puntos alineados se denomina Recta de Wallace-Simpson del triángulo dado respecto al punto P

El Teorema de Wallace-Simson afirma que :

El lugar geométrico de todos los puntos P para los cuales los tres puntos antes citados están alineados es precisamente la circunferencia circunstrita del triángulo original.

Según el punto P va recorriendo la circunferencia circunscrita al triángulo original, la recta de Wallace-Simpson correspondiente va girando.

El Teorema de Steiner afirma que la envolvente de todas las rectas de Wallace.Simpson de un triángulo dado es una deltoide tricúspide .

Aquí tienen ustedes una generalización del teorema de Wallace-Simson debido a Don Miguel de Guzmán, recientemente fallecido como hemos comentado hace unos días. Dicha generalización consiste en no limitar la dirección de las rectas desde el punto P hasta los lados del triángulo.

El propio Miguel de Guzmán recuerda su encuentro con el teorema de Steiner tras trabajar con la envolvente de todas las rectas de Wallace-Simson de un triángulo dado.

En la imagen tienen la deltoide tricúspide de Steiner como envolvente de una familia de rectas de Wallace-Simson.



Por cierto: Una vez más parece que la historia no ha sido justa. Simson parece no tener nada que ver con el teorema citado, que es obra exclusiva de Wallace. Ambos eran matemáticos escoceses, y Wallace logró su demostración en 1856.

En esta dirección el profesor Guzmán nos propone una demostración "sencilla" del teorema de la deltoide de Steiner, demostración lograda por él mismo.

El teorema de Napoleón Bonaparte

No deja de ser curioso que un tema tan manido, tan antiguo y tan básico y elemental como la geometría de los triángulos planos tenga tantas sorpresas.

Hace unos meses comentábamos el teorema de Morley, bello teorema que concierne a triángulos y que fué demostrado anteayer, como quien dice(en pleno siglo XX).

El teorema que comentamos hoy tiene como curioso, además de su contenido matemático, la atribución de paternidad: nada menos que al gran Napoleón Bonaparte.

Supongamos un triángulo general cualquiera (dibujado en azul). Sobre cada uno de sus lados dibujamos un triángulo equilátero (dibujado en verde). Pues bien: los centros de los trres triángulos equiláteros forman a su vez un triángulo necesariamente equilátero (dibujado en rojo), con independencia del triángulo original.

Este es el denominado Teorema de Napoleón .

En esta dirección podéis ver la demostración, así como los conceptos previos necesarios para entenderla.

Respecto a la paternidad de la demostración, parece fuera de toda duda que no es de Bonaparte, sino de Lorenzo Mascheroni , quien sabiendo la pasión del general francés por la geometría, dedicó su libro Geometria del Compasso (Pavia, Pietro Galeazzi, anno V della Republica Francese, 1797) a Napoleon:

Según podemos leer en esta dirección,

El aprecio de Napoleón por la obra de Mascheroni fue grande y la hizo traducir al francés: Mascheroni Lorenzo: _Geometrie du compas_, Ouvrage traduit de l'italien par

A.M. Carette, Paris, Duprat, xxiv, 263 pp. 14 plates, 1798.


En todo caso, si por la relación entre uno y otro, el general se llevó a la posteridad el nombre del teorema de forma injusta, Mascheroni se desquitó uniéndo su nombre al del gran Euler en la que hoy en día se conoce como la constante de Euler-Mascheroni , denominación injusta según explica estupendamente Mario Bunge en su artículo publicado en el rincón matemático.

Y es que el tema de las atribuciones y los honores en los logros científicos es un tema bastante escabroso en general, tanto o más que el tema de las atribuciones de inventos. Ya hablaremos de ello en otra ocasión...


ADICION POSTERIOR:

Me escribe Mario Bunge para decirme que:

Por favor, corregí lo que pusiste sobre Mascheroni: No soy yo quien lo explica "estupendamente", porque el artículo ese no es mío: es de William Dunham. Lo único que hice yo fue tipear texto y ecuaciones, y hacer los dibujitos con el "dibujador" del Word. Todo lo demás es obra de Dunham.

Pues dicho queda. No obstante, no quería dejar pasar la oportunidad para comentar que el rincón matemático es una página de interés enorme para todo amante de la matemática.

Versión infinita del teorema de Ramsey

Comentábamos hace unos días que el Teorema de Ramsey en su versión inicial es finitista: no hace mención alguna de conjuntos infinitos. SIn elbargo existe una versión infinita del mismo, cuyo enunciado podría ser el siguiente:

Dado un conjunto infinito numerable A, si coloreamos todos sus subconjuntos de k elementos con r colores, entonces existe un subjonjunto B infinito tal que todos sus subconjuntos de k elementos llevan el mismo color.

En el lenguaje de los grafos ( lo cual, recordemos, sólo es posible cuando los subconjuntos son de tamaño k=2), tendríamos:

Si en un grafo completo infinito numerable coloreamos sus aristas con r colores, necesariamente tendremos un subgrafo monocromático de tamaño infinito.

Lo realmente extraordinario es que este teorema nos facilita una demostración inmediata del famoso Teorema de Bolzano .

Este teorema dice que Toda sucesión infinita de números reales contiene una subsucesión infinita que es monótona (creciente o decreciente)

La demostración es interesantísima por su simplicidad:

Sea A tal sucesión infinita de reales. Coloreemos todos sus subconjuntos de tres elementos {a,b,c}con cuatro colores, dependiendo de la disposición de los tres números que forman el subconjunto:

Color 1: si los tres elementos forman una secuencia creciente

Color 2: si el central es el mayor de los tres

Color 3: si el central es el menor de los tres

Color 4: si los tres elementos forman una secuencia decreciente.

No hay más posibilidades, de forma que nos bastan cuatro colores para asignar un color a cada uno de los subconjuntos de tamaño tres de la sucesión.

Pues bien: la versión infinita de Ramsey nos garantiza la existencia de un subconjunto infinito de A tal que todos sus subconjuntos de tres elementos son del mismo color. Es evidente que ese color sólo puede ser el 1 ó el 4, que corresponderían a la subsucesión creciente o decreciente del teorema de Bolzano.

Creo sinceramente que quien no se sorprenda con esta demostración, es que no ha entendido nada; o tiene la sensibilidad matemática de un celentéreo.

El teorema de Ramsey

A diferencia de la mayoría de los post de este blog, este, y quizás los que sigan exige un poco más de esfuerzo para su comprensión. No obstante, creo que vale la pena. Vamos a intentar entender un teorema difícil. Eso nunca NUNCA es gratis. Además, vamos a intentarlo sin utilizar matemáticas, o casi. Esta vez, el paseo que les propongo es más escarpado. Pero coincidirán conmigo en que el placer de alcanzar la cumbre es proporcional a la pendiente dejada a nuestras espaldas.

Naturalmente, la ilustración que encabeza este post, (que es el enunciado del Teorema de Ramsey ) es una provocación. No es esperable que nadie entienda absolutamente nada al leer una cosa así. Ni siquiera nos hemos puesto de acuerdo con la nomenclatura que vamos a utilizar para entenderlo. Sin embargo, he preferido ponerlo para incentivar al posible lector a avanzar en la comprensión de este enunciado y de sus consecuencias, cosa que haremos poco a poco.

Toda la dificultad de comprender el teorema está motivada precisamente por la gran virtud del mismo: su enorme generalidad. Vayamos viendo poco a poco qué quiere decir. De esta forma seremos capaces de ir saboreando el aroma de los resultados a lo Ramsey .

Pero antes, estableceremos algún convenio de notación:

Hablaré de conjuntos, clases, colecciones y grupos en sentido coloquial: en este contexto querrán decir exactamente lo mismo: agrupaciones de cosas.

Dado un conjunto X, definimos /X/ con el número de elementos de X. Lo habitual es representar esto último con barras verticales, no oblicuas, pero el sistema de este blog no parece permitirme tales barras .

P_R(X) es el conjunto de todos los subconjuntos de X que tienen exactamente R elementos.

En el enunciado podemos leer que descomponemos P_R(X) en una serie de trozos disjuntos. Esto quiere decir exactamente lo que parece: si tenemos un conjunto original X de , por poner un ejemplo, 20 elementos, P₂(X) será la colección de todos los subconjuntos de dos elementos de X, o el conjunto de todas las parejas posibles de elementos de X, que son exactamente (20 x 19)/2=190 posibles. El enunciado nos está diciendo que agrupemos estas 190 parejas en k grupos, no necesariamente iguales. Sin ninguna restricción. Las colecciones de parejas de nuestro ejemplo son los A₁,..., A_k del enunciado.

Hacer esto equivale a poner una etiqueta a cada agrupación de parejas. En efecto, lo mismo es decir:

”este conjunto de parejas pertenece a la colección A_j de parejas” que decir

”a este conjunto de parejas le pongo la etiqueta número j”, o aún más gráficamente :

”a este conjunto de parejas le asigno el color j”.

¿Está claro de momento? No está de más recordar que si hablo de “parejas” estoy haciendo R=2 en el enunciado de Ramsey, por simplificar la exposición; lo mismo podíamos hablar en general de tríos o n-tuplas de elementos de X.

Así pues, en el enunciado tenemos un conjunto X, tenemos la colección P_R(X) de todos sus subconjuntos de un tamaño prefijado (R) (repetimos: cuando R=2, entonces tenemos parejas), y en este último grupo tenemos coloreados todas las agrupaciones con k colores.

Ahora estamos en condiciones de entender qué es lo que afirma el teorema de Ramsey :

Afirma que si escribimos tantos números enteros (a₁,... a_k) como colores hemos usado, sean estos cualesquiera, entonces, si X es suficientemente grande , existe en el seno del conjunto X un pedazo o subconjunto que llamaremos Y que cumple alguna de estas propiedades:

1.- Y tiene tantos elementos como el primero de los k números que hemos escrito, y todos sus subconjuntos de tamaño R son del primer color.

2.- Y tiene tantos elementos como el segundo de los k números que hemos escrito, y todos sus subconjuntos de tamaño R son del segundo color.

...

k.- Y tiene tantos elementos como el último de los k números que hemos escrito, y todos sus subconjuntos de tamaño R son del último color.

El tamaño crítico para asegurar el necesario cumplimiento de una de estas k cláusulas es función exclusiva de los k números distintos que hemos escrito, y del tamaño R de los subconjuntos que hemos coloreado, y no depende de nada más. Este tamaño crítico mínimo se denomina número de Ramsey R(a₁,... a_k; r).

Cuando comenzábamos el post decíamos que no era esperable que nadie entendiera el enunciado del teorema en una primera lectura. Ahora, lo más probable es que la cosa haya mejorado tan sólo un poquito. Seguiremos hincándole el diente al tema en lo sucesivo, viendo conexiones con aspectos inesperados.

Lo más importante es que este teorema nos asegura la existencia de un reducto estructurado (monocromático en la nomenclatura que hemos empleado, pero a nadie se le escapa que el "color" puede ser cualquier cosa)de tamaño arbitrariamente grande en el seno de un conjunto, a condición de que éste sea lo suficientemente grande.

La semana que viene seguiremos comprendiendo este teorema, y sobre todo, sus implicaciones.

Feliz fin de semana para los lectores de este blog.

Siete colores sobre un toro

Hemos hablado varias veces sobre el Teorema de los cuatro colores.Decíamos que era un ejemplo clásico de dificultad de demostración matemática, aunque el enunciado era entendible por todo el mundo:

Bastan cuatro colores para colorear cualquier mapa plano o esférico de forma que dos regiones con frontera común sean de color diferente.

Nunca se podrá encontrar un mapa que necesite más colores.

¿Qué sucede si el mapa no está sobre un plano o esfera, sino sobre una superficie toroidal?

Imaginen un poliedro de Szilassi real, construido con un material elástico. Imaginen que vamos inyectando aire para hinchar el poliedro. Poco a poco sus caras planas se irán curvando por la presión del aire interno; los vértices irán perdiendo su agudeza, haciéndose cada vez más romos. Las aristas también se irán curvando y al final, suponiendo que el material aguante, tendremos un toro hinchado: como un donut o un neumático.

Si a priori teníamos cada una de las siete caras pintadas de un color, ahora tendremos un toro, como un neumático de siete colores. Cada una de las primitivas caras del poliedro se han convertido en un región del toro, con las formas cambiadas; y sin embargo mantienen sus propiedades esenciales: cara región tiene frontera común con las otras seis, pues el poliedro de Szilassi tenía esta propiedad: cada pareja de caras tenía una arista común, convertida ahora en frontera entre dos regiones.

Nos es ahora completamente evidente que con menos de siete colores es imposible colorear el toro. Eso no quiere decir que no haya (que las hay) mapeados de regiones que hagan posible el coloreado con menos colores; pero hemos hallado una división de la superficie del toro imposible de colorear con menos de siete colores.

Es sorprendente que una superficie sólo un poco más complicada que una esfera tenga un número cromático casi el doble que ésta.

He leído por ahí que esta reflexión es una demostración de que el número cromatico del toro es siete, pero no estoy de acuerdo. Es cierto que siete es el número cromático del toro, pero con nuestro ejemplo hemos dado una cota inferior para el mismo: no puede ser menor de siete.
Sabemos también que no puede existir un poliedro con un agujero que tenga más de siete caras si queremos que cada par de caras tenga frontera común con todas las demás, pero en principio pudieran existir poliedros de ocho o más caras que, sin exhibir conectividad completa entre las caras, la tengan suficientemente alta como para necesitar más de siete colores. No obstante, es mucho más fácil demostrar convenientemente el Teorema de los siete colores en un toro que el Teorema de los cuatro colores en un plano.

Es bastante misterioso, pero cierto que en topología a veces es muy fácil demostrar afirmaciones para espacios topológicos enrevesados, mientras que las demostraciones para los sencillos es endiablada, cuando no desconocida. Lo mismo sucede con el número de dimensiones de los espacios topológicos: hay afirmaciones que no ofrecen problema alguno en 20, 30 ó 500 dimensiones, mientras que en tres o cuatro son hoy por hoy imposibles. Esto hace que una de las ramas más difíciles del asunto se denomine precisamente topología de baja dimensión.

Por cierto; un toro (rumiante) es topológicamente equivalente a una esfera, y por lo tanto bastarían cuatro colores.(1)

(1) Si obviamos la existencia de tubo digestivo, porque en caso contrario es equivalente a un cilindro hueco; que a su vez es equivalente a un toro; esta vez en el sentido geométrico de la palabra...

El teorema de Lucas

Para Luis, para que no
olvide nunca que detrás
de la tormenta siempre
viene la calma.

A veces, cuando manejamos números muy grandes, o muy difíciles de obtener, podemos investigar sus propiedades sin necesidad de hallar explícitamente dichos números, lo cual es una gran ventaja. El teorema de Lucas es uno de esos atajos.

Se refiere a los coeficientes binomiales ; esos que aparecen en el triángulo de Pascal, también llamado de Tartaglia. Dado que dichos números se obtienen mediante factoriales, en número de operaciones involucradas crece enormemente cuando los números se van haciendo mayores.

En su versión general, el Teorema de Lucas nos da un algoritmo muy sencillo para encontrar el resto de dividir cualquier coeficiente binomial por un primo p . La versión que veremos del enunciado nos permitirá saber si un coeficiente binomial es par o impar, que es el caso concreto para p=2.

Si construimos un triángulo de Tartaglia módulo 2, que es exactamente dividir cada número del triángulo original por dos, y anotar únicamente el resto (que sólo podrá ser 0 ó 1), obtenemos lo indicado en la figura siguiente:


Cada cero indica que el correspondiente número del triángulo inicial era par, y cada uno indica lo contrario. Es patente que existe una estructura anidada: tenemos una plantilla principal D₁ que tiene 2¹=2 filas y tres elementos, todo unos, en la figura en rojo. Tres de dichas plantillas forman un arreglo triangular D₂ de 2²=4 filas. Entre las tres, queda un hueco que de momento es el único cero.

Tres plantillas D₂ forman la plantilla del siguiente orden, D₃, de 2³=8 filas. Ahora queda un hueco en forma de triángulo invertido en el que caben seis ceros. El proceso sigue indefinidamente, en la figura siguiente podemos ver las sucesivas plantillas generadas como se ha explicado:



Cada fila del triángulo se expresa mediante el parámetro n , que empieza con el valor cero. Dentro de una fila concreta (esto es: para un n concreto) el parámetro k va recorriendo los valores que expresan el puesto del número en la fila, desde 0 para el primer puesto hasta n para el último y (n+1)-ésimo.

EL teorema de Lucas nos dice que basta comparar los desarrollos en base dos de n y de k para saber si el coeficiente binomial es par o impar: todos los dígitos del desarrollo de k deben ser menores o iguales que los correspondientes de n para que el número sea impar, en caso contrario es par. Como estamos trabajando ahora con ceros y unos, esto es lo mismo que decir que donde haya un cero en el desarrollo de n, no puede haber un uno en el desarrollo de k.

vemos un ejemplo. Investiguemos si el quinto elemento de la fila siete (redordemos que la primera fila, la de la cúspide del triángulo es la fila cero) es par o impar:

n=7 desarrollo binario: 0 1 1 1
k=4 desarrollo binario: 0 1 0 0

como no hay ningún dígito mayor en k que el correspondiente de n, el número es impar ( de hecho es 35).

Para las filas de forma 2^m-1, por ejemplo las filas 7, 15, 31, todos los coeficientes son impares: efectivamente, el desarrollo binario de dichos números es todo unos, luego k no tiene la menor posibilidad de tener un dígito más grande que el correspondiente de n.

La potencia del teorma de Lucas es mayor de lo explicado aquí, pues no se resume en módulo 2, pero baste esta pincelada para entrever el aroma del teorema completo( que por cierto no es sino un caso parcial de un resultado más general conocido con el nombre de Teorema de Kummer).

El teorema de la bola peluda

Existe una tendencia en biología a considerar que dada una característica fenotípica (visible, corporal), hay un motivo genotípico que la causa.Se razona que si existe tal cosa es porque ha habido una ventaja selectiva para los poseedores de tal característica. Pondré un ejemplo: se encuentra un fósil de un reptil volador, el nyctosaurus ; como el relatado aquí.

La existencia de una cresta como la que exhibía el Nyctosaurus da pie a pensar en las ventajas que podía dar la posesión de tan curioso adorno. Aunque nunca se pueda saber qué gen era el responsable de esto, se supone que la característica que observamos es la expresión de las órdenes grabadas en el genoma del organismo, generadas por los procedimientos darwinianos de mutación y selección natural.

Hasta aquí, todo bien, sin ningún pero. Sin embargo la intención de este artículo es resaltar el hecho de que no toda característica observable es la expresión de un gen. Afortunadamente para los genes, no tienen la necesidad de expresarlo todo. Hay cosas que vienen dadas por motivos externos a los genes, estos motivos suelen ser fundamentalmente físicos, pero también matemáticos, y en este blog vamos a comentar, cómo no, los segundos.

Podría hablarles de la curiosa manía de los vegetales en adorar la sucesión de Fibonacci y el número de oro, pero prefiero poner otro ejemplo; el anterior está muy bien tratado en muchos sitios de la web.

Si han peinado alguna vez a un niño, sabrán que existe una zona peliaguda; un puñetero remolino que hace difícil la tarea. En mi caso es especialmente difícil, pues uno de mis hijos tiene dos de ellos. Cuando sólo hay uno, puede estar centrado en la coronilla, o descentrado, pero siempre está ahí, molestando. Lo curioso de tan intrascendente asunto es que existe una muy buena razón para la existencia del mismo, y que no es genética. No aporta ninguna ventaja evolutiva a su poseedor, ni sigue los cauces darwinianos. Es más; aunque fuera enormemente ventajoso para la supervivencia no poseerlo, jamás existiría presión selectiva capaz de producir un ser humano sin remolino (salvo en el caso trivial de seres humanos calvos, se entiende).

¿Porqué?

Pues porque lo prohíbe un teorema matemático, que a estas alturas no les extrañará que haya sido denominado jocosamente como El teorema de la bola peluda . Es curioso, pero la explicación del asunto requiere unos conocimientos previos bastante fuertes. Sin embargo, el enunciado es muy fácil de entender cualitativamente:

Todo campo de vectores de una esfera bidimensional posee algún cero

Estamos en el dominio de la topología, y como sabrán si me han leído los mensajes anteriores, una cabeza humana es topológicamente similar a una esfera bidimensional. ¿Se puede evitar tal maldición?

Bueno, un teorema es un teorema. Eso es como decir que es una verdad inmutable, eterna. Aún así, hay salidas, que pasan necesariamente situarse fuera del campo de aplicación del teorema. Se me ocurren las siguientes:

1.- Solución trivial: ser calvo. Es una solución que satisface a un número infinitesimal de aspiraciones estéticas, pero es una solución.

2.- No peinar en absoluto, entendiendo por no peinar mantener cada pelo erizado; perpendicular al cuero cabelludo. No es una opción aconsejable, si bien se ve por la calle gente que se acerca a esta solución.

3.- Confiar en que el “remolino” esté en un área que no posee pelo, como puede ser la posesión de una respetable coronilla vacía. Como solución no está mal, pero tampoco es muy satisfactoria estéticamente.

Resumiendo: nuestra vida, nuestra constitución corporal y nuestro entorno está modelado por múltiples fuerzas. Algunas son genéticas, pero otras no. Algunas de hecho son puramente matemáticas.

GRACIAS AL paleofreak POR LA CORRECCION DE ERRORES EN ESTE ARTICULO

La Alhambra y el Teorema de Fedorov

Un mosaico es una composición con losetas que reproduce un paisaje o una figura. Cuando las losetas llenan el plano basándose en simetrías, desplazamientos y rotaciones, estamos ante un mosaico geométrico. De estos últimos vamos a hablar ahora.
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Para rellenar un plano con losetas (teselar el plano)de forma periódica, existen cuatro estrategias:

1.-Traslación. Es como si la nueva loseta que añadimos fuera una anterior desplazada a una nueva posición sin giros de ningún tipo.
2.-Rotación. La nueva loseta surge por el giro de una anterior con centro en algún punto determinado y con un ángulo concreto.
3.-Reflexión. Cada loseta nueva es la imagen especular de una anterior, con un eje de simetría dado.
4.-Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en la dirección del eje de reflexión.

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Estas cuatro estrategias se denominan movimientos en el plano, y son isometrías: conservan las distancias. Los dos primeros conservan la orientación( movimientos directos), y los dos últimos la invierten (movimientos inversos). Esto es importante, porque cada loseta puede tener dibujos asimétricos que hagan variar la composición.

Estas transformaciones se combinan entre ellas dando lugar a estructuras algebraicas que se denominan grupos de simetrías, en este caso Grupos cristalográficos planos . Pues bien, Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formado mosaicos periódicos. Son los 17 grupos cristalográficos planos. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros.

Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar los en cinco apartados, según el orden máximo de los giros:

- Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías..
- Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.
- Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de simetrías
- Grupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simetrías.
- Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de simetrías.

Los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos. Dado que su religión les impedía dibujar personas o animales; su creatividad se decantó hacia la caligrafía y los dibujos geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidad difícilmente superables. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas (teselación del plano), por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes.

Efectivamente, todos ellos están representados en los variados y bellísimos mosaicos de la Alhambra. Abundan los que tienen giros de 90º mientras que algunos grupos aparecen escasamente, pero absolutamente todos están representados.

Aquí teneis una excelente oportunidad de ver con más profundidad la estructura de cada uno de los diecisiete grupos de simetrías planos.

Todo lo relatado en este artículo se refiere a telesaciones periódicas del plano. En los últimos tiempos se han descubierto novedosas maneras de telesar un plano por procedimientos no periódicos, de la mano del famoso matemático y especialista de la relatividad general Roger Penrose , autor además de algún que otro best seller como La mente del emperador . Otro día hablaremos de ello.

Por cierto, la lista completa de los grupos es la siguiente:

p1: Dos traslaciones
p2: Tres simetrías centrales (o giros de 180º)
p3: Dos giros de 120º
p4: Una simetría central (o giro de 180º) y un giro de 90º
p6: Una simetría central y un giro de 120º
pm: Dos simetrías axiales y una traslación
pmm: Cuatro simetrías axiales en los lados de un rectángulo (p.e. 2 horizontales y 2 verticales)
pmg: Una simetría axial y dos simetrías centrales
cmm: Dos simetrías axiales perpendiculares y una simetría central
p31m: Una simetría axial y un giro de 120º
p3m1: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo equilátero (ángulos 60-60-60)
p4g: Una simetría axial y un giro de 90º
p4m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 45-45-90
p6m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 30-60-90
cm: Una simetría axial y una simetría con deslizamiento perpendicular
pg: Dos simetrías con deslizamiento paralelas
pgg: Dos simetrías con deslizamiento perpendiculares

Y no hay más. Lo dice el Teorema de Fedorov de clasificación de grupos cristalográficos planos

Una joyita: el Teorema de Morley

La matemática es infinita, a diferencia del mundo real. Nunca acabaremos de descubrir todos los secretos del humilde conjunto N de números naturales, por ejemplo, dado que es infinito el número de sus enigmas. Cualquier rama de la matemática plantea infinitos enigmas, y nunca tendremos tiempo de desvelarlos todos.Por eso no debe sorprendernos que ciertos bellos teoremas que conciernen a humildes triángulos planos no hayan sido descubiertos hasta el siglo XX.

Sabemos desde antiguo que si en cualquier triángulo trazamos las bisectrices (rectas que dividen cada ángulo en dos partes iguales)de sus tres ángulos, las tres se cortan en un mismo punto, que denominamos incentro del triángulo. Ahora bien: ¿qué sucede si en vez de bisectrices trazamos por cada ángulo las dos rectas que lo dividen en tres ángulos iguales?

Pues lo que ocurre es lo que nos dice el Teorema de Morley :

Los puntos de intersección de las rectas que dividen en tres partes iguales los ángulos de cualquier triángulo son los vértices de un triángulo equilátero.

Efectivamente, sin importar cómo es el triángulo inicial, el triángulo interno resultante de unir los puntos de intersección de las "trisectrices" adyacentes es un perfecto, increíble y sorprendente triángulo equilátero.
Frank Morley (1860-1937) encontró en 1904 la demostración de bello teorema que hemos reproducido aquí, y que lleva su nombre.

La demostración completa del teorema, por si alguien quiere seguirla está aquí.

El teorema de Jordan

Un teorema es una frase que afirma algo, seguida de la demostración. Este teorema es extraordinario, único diría yo, por tres motivos: Primero: el enunciado es tan simple que lo entiende cualquiera, independientemente de su formación. Segundo: la afirmación que hace parece tan obvia que todo el mundo se asombra de que “eso” sea un teorema que necesite demostración. Tercero: la demostración es endiabladamente difícil. Si se hace por métodos elementales es larguísima y tediosa en extremo; se puede hacer una demostración mucho más corta, pero para ello hay que invocar conocimientos muy sofisticados de topología, que es una rama de la matemática de lo que hablaremos otro día.

Una curva de Jordan toda curva plana que resulte de deformar una circunferencia con la condición adicional de que no se corte a sí misma. Técnicamente diríamos que una curva J es de Jordan si es homeomorfa a S1. Esto es menos impresionante de lo que parece a primera vista. Merece la pena explicarlo. Para empezar S1 es la nomenclatura de la circunferencia, S2 de la esfera, etc. Y tras la palabra homeomorfismo se esconde la noción de transformación continua con inversa continua. Por ejemplo: si deformamos una circunferencia S1 y la convertimos en una estrella de ocho puntas, cada punto de la primera se corresponde con un punto de la segunda, no hemos roto la línea en la deformación, y podemos regresar a la situación inicial volviendo a colocar cada punto de la estrella en donde estaba antes de comenzar a deformar. Esto no ocurre si transformamos S1 en un ocho, porque hay un punto de intersección de la curva consigo mismo y por lo tanto dos puntos de S1 “van a parar” al mismo punto del ocho. Si queremos invertir el proceso, al punto de intersección del ocho le debiéramos hacer corresponder dos puntos de S1, lo que tenemos prohibido por definición.

Ya sabemos lo que es una curva de Jordan, y sabemos lo que es un homeomorfismo. Pasamos a enunciar el teorema:

Sea J una curva de Jordan sobre un plano P. P-J se divide en dos partes, una interior a la curva y otra exterior, ambas conexas. La interior es acotada, la exterior no lo es y la frontera común de ambas es precisamente J.

C. Jordan conjeturó y creyó haber demostrado el teorema que llevaría su nombre, pero dicha demostración era incorrecta y no pudo vencer esta dificultad. Murió sin haberlo demostrado rigurosamente. La primera demostración satisfactoria del Teorema de Jordan debe esperar hasta 1.905, y es debida a O. Veblen (Theory of Plane Curves in Nonmetrical Análisis Situs, Trans.AMER.Soc. 6 (1905),83-98).
Más tarde surgieron generalizaciones para n dimensiones con E.J.Brower, que fueron demostradas por J.W.Alexander en 1922.
El amplio desarrollo de las teorías topológicas de homotopía y homología trajeron de la mano potentes herramientas para demostrar este teorema en un par de renglones, pero perdiendo el sentido de inmediatez geométrica, y por último, existe una demostración clara, elemental y no muy larga efectuada por R. Maehara utilizando unos resultado previos tales como el Teorema del punto fijo de Brouwer.
Está disponible en la red esta demostración en la revista Divulgaciones matemáticas, v.6 n=1 (1998),pp 43-60. Se trata de un artículo de dificultad media muy claramente escrito que recoge perfectamente el sabor de esta parte de la matemática.
Podeis ver dicho artículo aquí.