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Tio Petros

Para pensar

Contando sudokus

Habrán pensado que este blog ha dejado de actualizarse...

En realidad ocurren dos cosas; una es la falta de pericia de su autor para seguir proponiendo paseos matemáticos, que pasados dos años de actividad regular se va resintiendo, y otra es el periodo veraniego, poco apto para estas cosas. Sabrán perdonarme por ambas cuestiones.

Para paliar un poco este silencio les propongo un reto difícil. Calcular el número de SUDOKUS lícitos.

Como supongo que sabrán, un sudoku es un cuadrado de 9x9 casillas (puede ser de otro tamaño, pero consideraremos este, por ser el más habitual. Las casillas están agrupadas en nueve subcuadrados de 3x3. Pues bien; se deben rellenar las casillas con números del 1 al 9 de manera que no se repitan ni en las filas, ni en las columnas ni en los subcuadrados de 3x3.

Aquí tienen una explicación algo más pormenorizada de lo que es un sudoku, en el hipotético y extraño caso de que no se lo hayan encontrado aún en la sección de pasatiempos de cualquier periódico.

Ya hemos dicho varias veces que la combinatoria, no siendo más (ni menos) que el arte o la técnica de contar elementos de conjuntos), puede ser una disciplina apasionante y muy complicada. Aquí tienen un ejemplo.

Les espero.
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Una construcción imposible

Demostrar que una determinada construcción es posible puede ser un reto apasionante y difícil. En este mismo blog hemos deducido la existencia de un objeto poliédrico que cumplía la propiedad tetraedal de que cada cara era adyacente a todas las demás, con un agujero interno, para luego presentarlo como el denominado Poliedro de Szilassi .

Cuando la construcción efectiva del objeto previamente definido se resiste, puede ser que la construcción sea imposible, que el objeto con las propiedades requeridas no pueda existir, o que simplemente no hemos dado con ello. Si la situación se prolonga, podemos intentar demostrar la imposibilidad de existencia del objeto de forma teórica, dando correctamente por zanjado el asunto. Esto último es lo que se hace con la duplicación del cubo, la trisección del ángulo de 60 grados o la cuadratura del círculo.

Algo así sucede con la construcción que les propongo a continuación; se trata de un problema que he encontrado en la web recientemente y que dice más o menos así:

Tenemos un cubo con una arista de treinta unidades. Queremos construirlo con 27 ladrillos, de forma que sólo utilicemos ladrillos enteros. Las dimensiones de cada ladrillo son de cinco unidades de altura por diez de anchura y por veinte de largo.

El volumen del cubo es igual al volumen de los 27 ladrillos de que dispongo, como pueden comprobar.

Para que no pierdan tiempo en intentar tal construcción, les adelanto que no es posible.

Se trata de encontrar un argumento que nos convenza de tal imposibilidad.

Feliz fin de semana.

Congreso de creacionismo científico (y 2)

Los lectores han dado rápidamente con la solución correcta: son 1221 firmantes, y por lo tanto hay 179 personas asistentes al congreso con un mínimo de conocimientos científicos, lo que hace un 12,78%.

El problemilla es bastante soso e intrascendente, pero sirve para mostrar que a veces la solución de un problema está muy vinculada al conjunto numérico en el que se desarrolla. En el dominio de los números reales, este problema no tiene solución porque los dos porcentajes que se dan se refieren al total de firmantes, no al total de asistentes. No nos podrían ayudar a calcular el porcentaje de no firmantes.

Pero sucede que en el dominio de los números naturales sí tiene solución porque tenemos dos restricciones más que nos aportan dos datos extra: el 12,1212...% y el 23,423423...% de firmantes deben ser ambos enteros. Esto no deja otra posibilidad que 1221, mínimo común multiplo de los denominadores de las respectivas fracciones para estos dos decimales periódicos puros.

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HACE UN AÑO hablábamos de un problema difícil. Posiblemente será el problema más difícil que ha salido en este blog, y sin embargo no tiene dificultad conceptual alguna, sino meramente de manipulación de posibilidades. Si les apetece recordarlo ahí tienen el enlace. Mientras tanto, que pasen un feliz fin de semana.

Congreso de creacionismo científico.

Congreso de creacionismo científico. A un congreso sobre creacionismo científico asisten 1.400 personas.

Al terminar el mismo, se pasa a firmar un documento en el que se aboga por la supresión de la teoría de la evolución en las escuelas españolas.

El 12,1212...% de los firmantes creen que los fósiles los ha puesto el demonio para despistar; y el 23,423423...% creen que Dios hizo el mundo en seis días.

La pregunta es:

¿Cuál es el porcentaje de asistentes que tenían un mínimo de conocimientos científicos?

NOTAS:

1.- Se supone que creer que el demonio ha puesto los fósiles para despistar y que el creador ha hecho el mundo en seis días son creencias independientes: cualquiera puede tener ambas, una sola de ellas o ninguna.

2.- Se presupone que tener unos mínimos conocimientos científicos es suficiente para no firmar el documento, y que todos los que no los tenían sí firmaron.

Triángulos sobre una cuadrícula (y 2)

Triángulos sobre una cuadrícula (y 2) Vamos a exponer una de las posibles demostraciones de que es imposible dibujar un triángulo equilátero con vertices en los puntos de una cuadrícula, como exponíamos en el post anterior. Como bien ha sido expuesto en los comentarios de ese post, la cuadrícula se supone ortogonal. Cada lado de la cuadrícula elemental se toma como unidad de medida.

En la ilustración que encabeza el presente post se demuestra que el área de un triángulo equilátero, es raíz de tres cuartos del cuadrado del lado.

El cuadrado del lado es siempre un número entero por aplicación directa del teorema de pitágoras, y en tales circunstancias, el área de un triángulo equilátero sobre la cuadrícula será siempre un número irracional por la presencia de la raiz de tres.

Ahora bien, todo triángulo con vértices sobre la cuadrícula tiene área racional. Para demostrarlo, dibujemos el menor cuadrilátero en la cuadrícula que contenga completamente a dicho triángulo. Son posibles dos casos: que el triángulo tenga sus tres vértices en la frontera del cuadrilátero mínimo que lo contiene, o que tenga sólo dos. Ver la ilustración siguiente:



En el primer caso, el area sobrante se divide en tres triángulos rectángulos; en el segundo en tres triángulos rectángulos más un cuadrilátero menor. El área de los triángulos rectángulos de en la cuadrícula es siempre racional, por ser su área base por altura entre dos, siendo tanto la base como la altura horizontales y verticales de la cuadrícula, y por lo tanto enteros. El área del subcuadrilátero será no sólo racional, sino entera, por ser el producto de dos enteros (base y altura).

Dado que el área del cuadrilátero que contiene al triángulo también es entera, restando áreas obtenemos que en todo caso un triángulo dibujado en una cuadrícula tiene área racional.

Por lo tanto nunca un triángulo equilátero podrá ser dibujado sobre la cuadrícula.

Esta no es sino una de las posibles demostraciones.

Triángulos sobre una cuadrícula

Triángulos sobre una cuadrícula Hace cierto tiempo hablábamos del teorema de Pick, y comentábamos que sobre una simple cuadrícula se pueden hacer muchas matemáticas. Hoy me encontrado con un teorema sencillo, a modo de divertimento, que les propongo.
Se trata de ver si puede existir un triángulo equilátero cuyos vértices estén sobre los puntos de una cuadrícula dada. Así de escueto.
Les espero.

La potencia sin control no sirve de nada

La potencia sin control no sirve de nada Hemos hecho hincapié varias veces en el blog de la importancia de la experimentación en la validación de las teorías científicas. Si la ciencia es el estudio de lo real, es lo real quien debe refrendar la utilidad si no la verdad de nuestra teoría.

La bajada al mundo de lo real para experimentar, para falsar las teorías y para comprobar predicciones es el freno necesario a la elucubración vana. Es necesaria una realimentación que nos dote de un control.

La metodología científica tiene bien definido el asunto, de manera que la realimentación que supone bajar a la realidad y comprobar la utilidad de las hipótesis es absolutamente imprescindible en ciencia. Hasta aquí ningún problema. La matemática se sitúa en un estatus diferente por no tener la realidad como objeto de su estudio, pero de eso ya hemos hablado innumerables veces.

Aquí hablamos de ello.

En dinámica de sistemas se ve que los sistemas realimentados exhiben o pueden exhibir comportamientos de autocontrol muy notables, cuando la realimentación funciona correctamente. Este principio es válido para ecosistemas, circuitos electrónicos, economía, meteorología y para muchas disciplinas muy alejadas unas de otras. En ausencia de ciclos realimentados no hay autocontrol.

¿Qué ocurre cuando un sistema de pensamiento, racional por lo demás en el sentido de que utiliza al menos en parte la razón para producir sus asertos, se ve privada de esta realimentación? Pues sucede que no hay control, y nos podemos ir por las ramas de la elucubración más asombrosa e inútil hasta el infinito.

Vean y disfruten con la Suma Teológica de Santo Tomás de Aquino .

Aquí encontrarán sesudas disquisiciones para responder a una trascendental pregunta:

Los ángeles, ¿difieren o no difieren en especie?

Aquí verán respondidas las tres preguntas siguientes:

Los ángeles, ¿tienen o no tienen cuerpos unidos a sí naturalmente?

¿Toman o no toman cuerpos?

En los cuerpos que asumen, ¿ejercen o no ejercen acciones vitales?


No menos inquietantes son las dudas planteadas por las tres preguntas siguientes, y respondidas aquí.

El ángel, ¿ocupa o no ocupa lugar?

El ángel, ¿puede o no puede estar en muchos lugares a la vez?

¿Pueden o no pueden muchos ángeles estar en un mismo lugar?


Para terminar, no podía faltar un estudio "serio" sobre la localidad o no localidad de los ángeles. Lo tienen ustedes aquí.

El ángel, ¿puede o no puede moverse localmente?

¿Se mueve o no se mueve de un lugar a otro pasando por el medio?

El movimiento del ángel, ¿es temporal o instantáneo?


El pensamiento crítico debe huir de simplificaciones excesivas. Quien leyendo esto saque la conclusión de que Santo Tomás de Aquino estaba simplemente loco quizás no esté yendo al origen de la cuestión. A mi no me cabe la menor duda de que era una mente poderosa. El problema es otro.

Ya lo decía el anuncio de Pirelli:

La potencia sin control no sirve de nada

Maraña de rectángulos ( y 2)

Maraña de rectángulos ( y 2) Como se ha afirmado en los comentarios del post anterior, debemos buscar la disposición de rectángulos que haga máximo el número de subdivisiones del plano, y esa disposición es la que tenga mayor número de intersecciones entre los rectángulos.

Dados dos rectángulos, el número máximo de intersacciones es de ocho, y se da cuando están girados uno respecto de otro. La situación se observa perfectamente considerando cuadrados (rectángulos al fin y al cabo) concéntricos y girados 45 grados uno respecto al otro. Definen nueve regiones. Ocho regiones que pertenecen tan sólo a un rectángulo (las puntas) y otra grande que pertenece a ambos.

Cuando tenemos tres rectángulos tenemos 4·3=12 puntas que pertenecen a un solo rectángulo, otras doce que pertenecen a dos y una que pertenece a los tres. (ver figura)

En el caso general, tenemos 4n regiones que pertenecen a un sólo rectángulo (las puntas), y el mismo número de regiones que pertenecen a dos, a tres... a (n-1) rectángulos y una sola que pertenece a todos ellos.

Compruébenlo en la ilustración siguiente, para el caso de cinco cuadrados:



Por tanto, operando un poco, si llamamos F(n) al número de regiones en que se divide el plano con n rectángulos en esta disposición, tenemos:

F(n) = 1 + 4n + 4n + ... +4n donde hay (n-1) sumandos de 4n.

Por tanto:

F(n) = 1 + 4n(n-1)=1 + 4n2 - 4n = (2n-1)2

Dado que teníamos F(n)= 18.769 regiones, el número mínimo de rectángulos corresponderá con el número de rectángulos de la disposición anterior, de máxima intersección. Tenemos:

18.769 = (2n-1)2

Osea, n = 69; como había afirmado none en un comentario anterior, y no 68 como había dicho yo...

Así pues, podemos afirmar que el número de rectángulos de la disposición del enunciado tiene en 69 su cota mínima.

PD.- Mewt planteaba en los comentarios la ecuación F(n)=2 + 4n(n-1), seguramente contando la región no acotada exterior a todos los rectángulos. En el enunciado se eliminaba la contabilización de la zona no acotada para evitar dudas.

Maraña de rectángulos

Maraña de rectángulos Les propongo un problema que acabo de encontrar:

Tenemos un cierto número de rectángulos distribuidos sobre una superficie plana. Existe total libertad en la forma de los mismos, y en la disposición en el plano. Se pueden superponer, intersectar y todo lo que ustedes quieran. Una vez colocados, dividen el plano en una serie de regiones finitas. Denominaremos "región" en este contexto a cada una de las menores divisiones del plano, es decir: a las áreas finitas que no están a su vez subdivididas .

Si sabemos que una de tales disposiciones de rectángulos tiene 18.769 de tales regiones, ¿cuál es el mínimo número de rectángulos utilizados?

El amor es una superficie de sexto grado

El amor es una superficie de sexto grado La teoría de superficies es una de las partes más bellas por lo visual de la matemática.

Pero pocas veces tenemos la oportunidad de visualizar una superficie matemática, con su fórmula analítica que nos recuerde tanto a un símbolo universal como la que ahora les propongo: el corazón.

Esta superficie responde a la ecuación de sexto grado siguiente:

(x2+9/4·y2+z2-1)3 - x2+z3-9/80·y2+z3 = 0

Pueden ver en la ecuación que algunos coeficientes están ajustados a valores como "canónicos", como 9/4 ó 9/80 para conseguir el extraordinario resultado mostrado en la imagen.

En la siguiente imagen pueden ver un corte de dicha superficie con el plano y=0, que muestra un dibujo increíblemente parecido a lo que entendemos todos por el símbolo de "un corazón".



¿Cuál es el interés de dicha superficie?

Pues me temo que simplemente lo anecdótico del asunto.

Sin embargo y por encima de lo anecdótico, es interesante pensar en el hecho de que expresar la ecuación es, quizás la forma más compacta posible de dar toda la información necesaria para construir el objeto. Y es ahí donde el interés del tema aumenta:

¿Todo objeto "razonable" tiene una ecuación analítica que lo exprese?

¿Qué quiere decir "razonable" en la pregunta anterior?

¿Cuáles son las limitaciones?

¿Hasta dónde podemos disminuir la cantidad de información necesaria para expresar un objeto?

¿Aún en los casos en que es posible, sale computacionalmente demasiado caro reproducir el objeto a partir de la ecuación?

¿Tienen mis lectores alguna opinión al respecto?

Mil interruptores y 999 fusilados.

Retomamos el tema matemático en el blog con dos acertijos para hacer boca.

Hemos hablado bastante de combinatoria, definiéndola como el arte o la técnica de contar. Así dicho parece una sosada, pero resulta que contar objetos puede ser verdaderamente difícil. Como siempre, el conjunto N nos sorprende por su hondura y dificultad. El ser humano seguramente está capacitado para comprender todos los secretos físicos del universo, pero no lo está para responder a todas las preguntas que N nos plantea.

Así dicho puede parecer una exageración pero no lo es. Es fácil comprender que el conjunto de preguntas independientes relativas a N es infinito (numerable pero infinito), de manera que simplemente no tendremos tiempo para responderlas a todas.

Contar viene a ser equivalente a averiguar el cardinal de un subconjunto de N. Cuando es difícil hacerlo directamente y no conocemos otro atajo mejor, suele ser una buena idea preguntarse por la forma que deben tener los elementos de este subconjunto a medir.

Algo así ocurre con estos dos problemas. El primero es de conteo, y el segundo nos pide el puesto de un elemento distinguido de un conjunto ordenado:

PROBLEMA UNO

Tenemos mil interruptores numerados del 1 al 1000, todos ellos en posición de apagado. Mil operarios, también numerados, pasar por ellos uno tras otro, de manera que el operario n sólo actúa sobre los interruptores múltiplos de n.
Actuar sobre un interruptor significa encenderlo si estaba apagado o apagarlo si estaba encendido.¿Cuántos interruptores quedan encendidos al final?


PROBLEMA DOS

Estamos en un grupo de mil personas que van a ser fusiladas por un procedimiento curioso: puestas en fila, el ejecutor volará la tapa de los sesos de uno de cada dos reos, empezando por el primero. Reagrupados los supervivientes y manteniendo el orden, volverá a ejecutar a uno de cada dos empezando por el primero, y así sucesivamente hasta que sólo quede uno. Qué puesto de la fila elegiria el lector?

Como siempre, lo de menos es la respuesta. Lo que importa es el método.
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Un reto para año nuevo.

Soy un hombre afortunado. Comparto mi vida con Vailima; ella es una persona que podríamos englobar en la categoría difusa de "personas de letras", yo soy lo contrario. No me cabe duda de que el hecho de considerarse "de ciencias" va imprimiendo carácter, y lo mismo ocurre en caso contrario. Sin embargo, Vailima y yo siempre hemos estado de acuerdo en un aspecto: esa dicotomía maniquea entre seres de ciencias y de letras es más falsa que un duro de seis pesetas, y a nuestro nivel hemos luchado en contra de los tópicos que ya nos suenan a topicazos al estilo de guipuzcoanos y vizcaínos. O de gitanos y payos. O de lo que sea.

No obstante, a veces ocurren cosas que reavivan las viejas heridas. Soy suscriptor de una revista mensual que espero con ansia cada mes, se llama Astronomía, y es la fusión de dos revistas anteriores, Tribuna de Astronomía y Universo, de querida memoria.

Todos los meses Alfonso López Borgoñoz escribe una columna editorial sobre diversos temas relacionados con la actualidad de la astronomía, y como introducción a lo que el lector tiene entre manos en el número actual.

Este mes, el editorial se titula Un año nuevo , y en él se puede leer, entre otras cosas:

Este 2.005, sin duda, será recordado como el año del Quijote, al menos en el mundo hispanohablante. Aunque los amantes de las ciencias del espacio sabemos que cuatrocientos años no es nada, el camino recorrido por este hidalgo manchego en su Rocinante desde entonces no deja de impresionar a todos los que nos continuamos acercando a la obra de Cervantes

Sigue el editorial de Alfonso López Borgoñoz hablando de los contenidos de la revista, de su trayectoria y de sus problemas a lo largo de los años con continuas referencias al ingenioso hidalgo, para terminar así:

Esperemos que , por fin, este año alumbre al Gran Telescopio de CANARIAS, y que al menos su inauguración y puesta en marcha dé nuevo aliento a esta ciencia antes de que se marchite como Grisóstomo, el estudioso de estrellas del Quijote, que murió de mal de amores por la desafección de la pastora Marcela

Me gustaría saber si en alguna revista, libro, publicación de arte, literatura y filosofía se ha hecho alguna vez una glosa de este calibre a un reto científico importante.

Existe un quid procuo?

Tal es el reto lanzado a Vailima. Mi postura apriorística es que no va a ser fácil encontrar una revista de arte, filosofía o literatura que mencione el año de Plank, de Einstein, un centenario de la teoría de la gravitación de Newton, de la teoría cinética de los gases o del teorema de Fermat, todos ellos bellas construcciones humanas, como las más bellas páginas de la literatura o los mejores lienzos que pudieran salir de un Velázquez.

Ojalá esté equivocado, porque no quiero que ambos sean dos mundos que se dan mutuamente la espalda. No deben serlo. No pueden serlo.

Puede el lector ayudarnos en este duelo doméstico?

Poliedro imposible

Para el fin de semana, un problema muy sencillo y sorprendente:

demostrar que no puede existir ningún poliedro tal que sea inestable sobre todas sus caras.

Una de las cosas curiosas de este problemilla es que admite una demostración desde fuera de la matemática. Desde la física, concretamente, y más concretamente desde ¡la termodinámica!

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HACE UN AÑO nos introducíamos en los espacios de dimensión infinita y preguntábamos cuál era la mayor longitud de un segmento que podía introducirse en el interior de un cubo y de una esfera infinitas dimensiones. La respuesta era bastante antiintuitiva: dentro de una esfera de radio unidad cabía un segmento de dos unidades,pero dentro de un hipercubo de arista unidad cabía toda una recta infinita. Un lector planteó una aparentemente impecable demostración contraria, que dió paso a este post y al siguiente, demostrando una vez más que los lectores son los que dan la vida al blog.

Que tengan un feliz fin de semana, y que ni los políticos se lo puedan amargar...

Los elegidos del monasterio

Los elegidos del monasterio Había una vez un monasterio en el que vivían un grupo de cincuenta monjes. Todos ellos eran especialistas en lógica matemática y tenían voto de silencio. Pero el voto era muy estricto: no sólo no podían hablar entre sí; tampoco podían intercambiar mensajes por procedimiento alguno. Ni por escrito, ni por señas, ni nada. Además, como sólo cultivaban el espítiru, tampoco tenían espejos ni manera de contemplarse a sí mismos. Sólo hacían una comida al día, en el refectorio común, todos a la vez en una enorme mesa redonda, y el resto del día lo pasaban orando y estudiando lógica en sus celdas.

Pues bien, el domingo de resurrección reciben la visita del abad de la orden, el cual estaba liberado del voto de silencio. Cuando estaban reunidos en la mesa del comedor, les explica lo siguiente:

Queridos hermanos: esta noche ha bajado a la tierra un ángel, y ha marcado a alguno o algunos de vosotros con una mancha en la frente. Esos son los elegidos para le peregrinación anual a la ermita de la cumbre. Cuando sepais a ciencia cierta quienes sois todos los elegidos, debeis partir inmediatamente hacia dicha ermita todos juntos.

Tras oir las palabras del abad, siguieron comiendo con normalidad y volvieron a sus celdas. El abad se marchó inmediatamente. La plácida vida del monasterio siguió sin cambio alguno hasta que un determinado día acuden a comer diez monjes menos que habitualmente: todos comprenden que son los elegidos los que han partido.

PRIMERA PREGUNTA: ¿Qué día de la semana faltaron los monjes elegidos?

SEGUNDA PREGUNTA: ¿Cómo supieron que eran ellos y sólo ellos los que debían partir?

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Este es un problema que me encanta. Sería una pena que un lector que supiera la respuesta de antemano la pusiera inmediatamente, privando a otros del placer de encontrarla por sí mismos. Que tengan un feliz fin de semana.

Rigor matemático y rigor mortis

Ninguna otra disciplina de conocimiento humano se distingue por el rigor de forma tan absoluta como la matemática. Esto debe entenderse en sentido no excluyente por supuesto: nadie duda de que todas las disciplinas científicas deben estar dominadas por el rigor. Sin embargo, esta es, por así decirlo, la “marca de la casa” de la matemática.

No siempre ha sido así. El mismo Euler daba saltos en el vacío más de cuatro veces en sus demostraciones, (cayendo siempre de pie, como un gato, por cierto). En gran parte fue Nicolás Bourbaki el culpable. Este matemático ficticio de nombre extraño y obra enorme concibió la idea de dotar a la matemática toda de un rigor absoluto. En sus publicaciones, aboga por ello de forma vehemente. Tal rigor, sin embargo se convirtió en rigor mortis cuando fue trasladado a la educación de la matemática.

Hoy muchos piensan que generaciones enteras de posibles amantes de la matemáticas la aborrecieron por un enorme y global error educacional. Se enseñó una matemática fría y rígida, ausente de pasión y de encanto a unos sufridos adolescentes que se convirtieron automáticamente en “gente de letras” por huir del tema.

Realmente es fácil ver la necesidad de un rigor absoluto en la producción matemática de un matemático profesional; sin embargo muchos piensan que parte del desastre educativo en matemáticas en las últimas décadas del siglo XX ha sido debido a la absurda idea de aplicar el rigor bourbakiano a la enseñanza secundaria.

Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés Castro , matemáticos cubanos que estudiaron con el gran Kolmogorov (el riguroso y espléndido maestro Kolmogorov) escriben:

Comenzar la enseñanza de la matemática con todo rigor no puede, con la perspectiva que nos da el paso del tiempo, sino ser considerado como una aberración hoy felizmente superada.

Por su parte, Heaviside exclamaba: No es fácil levantar entusiasmo alguno, después que ha sido enfriado artificialmente por los aguafiestas de los rigoristas

No voy a afirmar aquí que el pobre Heaviside tenía razón, pero en parte, algo de esto hay...

A mi me gusta esta reflexión sobre el rigor como una idea de llegada y no de partida. Me gusta contar historias matemáticas y que me las cuenten. Historias de esas que hacen afición. Por eso tengo un blog sobre historias matemáticas. Contando la matemática de esta forma, se puede intentar convencer al lector de que el rigor es una absoluta necesidad en la matemática no meramente divulgativa; pero ésta es una idea de llegada, no de partida.

Y mientras tanto, se puede disfrutar. Como me gustaría que hicieran cada vez que se asoman por aquí...

La paradoja de Newcomb (y 3)

La paradoja de Newcomb (y 3) Hemos dicho varias veces en este blog que las verdaderas paradojas no existen. Es gratificante pensar que siempre debe existir una explicación de porqué un aparentemente correcto razonamiento nos lleva a dos conclusiones contradictorias. Y es gratificante porque en caso contrario, existe un teorema que afirma que si en un sistema axiomático pueden ser demostradas dos proposiciones contradictorias, entonces puede ser demostrada cualquier afirmación. Lo cual es lo mismo que decir que el sistema no vale un pimiento.

Lo que no suele ser tan fácil es encontrar el error en las líneas argumentales. En el caso que nos ocupa, creo que parte de la solución ha sido dada en los comentarios de los post anteriores. Vayamos por partes: estamos hablando de lógica, no de teoría de la decisión.

¿Qué sucede cuando una fuerza irresistible se enfrenta a un cuerpo inamovible?
¿Puede Dios crear una piedra tan pesada que él mismo no la pueda levantar ?

Parece mentira, pero preguntas idiotas como éstas han entretenido ( y preocupado) a mentes de todas las épocas. Hubo una época en la que los “intelectuales” se preocupaban del sexo de los ángeles.

El nudo gordiano que plantean ambas preguntas se resuelve de la misma manera que Alejandro resolvió el nudo gordiano original: a golpes. Si existiera una fuerza irresistible (una fuerza frente a la cual nada se resistiera), entonces no podría existir cuerpo alguno que fuera inamovible. La lógica no trata de las cosas existentes en nuestro universo, por lo tanto no existe ninguna contradicción lógica en la existencia de una fuerza irresistible, ni tampoco en contra de la existencia de un cuerpo inamovible. Lo que es una contradicción lógica es la existencia simultánea de ambas cosas, pues la mera existencia de una de ellas implica la necesidad lógica de que la otra sea inexistente. La pregunta no se resuelve respondiéndola: se resuelve rechazándola.

A mi me parece que en este caso ocurre lo mismo. No veo ninguna imposibilidad lógica en la existencia de un predictor de nuestro comportamiento. (Entiéndaseme bien: no creo que tal cosa exista, pero por imposibilidades factuales, no de orden lógico). Lo que sucede es que si tal predictor existiera, incluso como posibilidad), esto implica lógicamente que nuestra decisión no es tal, que está prefijada, y que no tenemos libertad en absoluto para decidir. Podemos tener la ilusión de que elegimos, pero no es más que una ilusión.

Si el predictor existe y es infalible, estamos sentenciados. Si no es tal, y su predicción ha sido hecha por un procedimiento de cara y cruz, por ejemplo, debemos tomar la decisión que nos asegure los mil euros (tomar ambas cajas). En los casos intermedios, en los que X es simplemente un buen psicólogo que afina bastante, cuanto más afine menos libres somos para decidir. La teoría de la decisión se ve en aprietos porque la propia decisión se ve comprometida.

Decía en un comentario anterior que es mi solución al problema . Estoy dispuesto a variarla si se me presenta algo mejor.

Que tengan mis lectores un buen fin de semana.

ACTUALIZACION

En la wikipedia he encontrado una buena referencia de lo que aquí se ha tratado, aquí.

La paradoja de Newcomb (2)

Según cuenta Martin Gardner en Rosquillas anudadas, el matemático Robert Nozick , especialista en Teoría de la decisión escribe a propósito de la paradoja de Newcomb:

He planteado este problema a gran número de personas, tanto amigos como alumnos de mis clases. A casi todo el mundo le resulta perfectamente claro y obvio qué se debe hacer. La dificultad es que estas personas parecen estar divididas más o menos por igual sobre cuál debe ser la solución del problema, y que un número importante de ellas piensan que las de opinión contrario son sencillamente idiotas.

Parece que entre los que han opinado al respecto en el post anterior no existe tal equilibrio, sino un sesgo completo hacia la solución consistente en tomar ambas cajas. Es realmente sencillo argumentar que la elección de ambas cajas es la correcta. Sin embargo, lo malo es que con poco esfuerzo más podemos argumentar en sentido contrario con igual contundencia. Esa es la paradoja. No obstante, las verdaderas paradojas no existen, y el nudo gordiano se deshace de alguna manera.

Veamoslo de otra manera: el experimento se realiza un buen número de veces, y el lector es un testigo del mismo.

Imagínese el lector que asiste al experimento. Puede ver que siempre que los concursantes eligen ambas cajas , se llevaron únicamente 1.000 euros, mientras que siempre que decidieron tomar únicamente la caja C2, se llevaron el millón. X parece que pronostica correctamente. Todo esto no hace sino avalar la opción de tomar tan sólo la caja 2, ¿verdad?

Situemos ahora al testigo frente a las cajas, al otro lado del concursante, y supongamos que el lado de los cofres que da al testigo es de cristal, de forma que puede ver el interior. El testigo comprueba repetidamente que en la caja C1 hay 1.000 euros (cosa que el concursante sabe con certeza). También ve la caja C2, y sabe si tiene el millón o está vacía. En ambos casos, si pudiera aconsejar al concursante, aconsejaría tomar ambas por la obviedad de que se va a llevar 1.000 euros más si lo hace que si no lo hace.

Esta observación favorece evidentemente la opción de tomar ambas en todo caso. ¿Hay o no hay una al menos aparente paradoja?
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Tengo una manera personal de ver el asunto, y romper este nudo gordiano. Como es personal, no sé si estarán ustedes de acuerdo con ella. En todo caso es la solución que más me satisface hasta que me presenten otra que me satisfaga más. La vemos en el siguiente post, si les parece interesante.

Una aclaración respecto al efecto Mateo

Hace algún tiempo hablábamos del efecto Mateo y de su importancia en el quehacer científico. Es curioso, pero he recibido varios correos de queja por el tratamiento que doy a la figura de Alberto Einstein. Además en la página Muy interesante se hace una crítica de dicho artículo, que también se publicó en la revista electrónica 100cia.

Parece ser que se ha entendido que efectúo una crítica de la figura del científico alemán por hacer la siguiente afirmación en una carta privada: No tenemos derecho, desde un punto de vista físico, a negar a priori la posibilidad de la existencia de la telepatía. (Einstein en una carta al Dr. Jan Ehrenwald, el 8.7.1946).

Además de sentirme halagado porque se me lee, quisiera explicar dos cosas:

PRIMERA:

La frase tal y como está redactada no puede sino ser considerada como la cautela propia de todo científico sin prejuicios, y no es especialmente criticable. En el artículo lo que se critica es la inclusión de la misma en una página web sobre parapsicología, para dar honorabilidad a una pseudociencia utilizando para ello el reconocido prestigio del investigador que se cita. Este era un excelente ejemplo de lo que se hablaba en el artículo: el principio de no autoridad y el efecto Mateo.

SEGUNDA:

El bueno de Albert lo mismo podía haber escrito:

“No tenemos derecho, desde un punto de vista físico, a negar a priori la posibilidad de la existencia de unicornios de color morado”,

o incluso esto:

“No tenemos derecho, desde un punto de vista físico, a negar a priori la posibilidad de la existencia cierta inteligencia en Paco Porras”.

En todo caso se trataba de una frase privada entre dos personas, que no por ser “no-falsa” es precisamente el colmo de la producción intelectual de su autor. Albert Einstein es un orgullo para la especie humana por la extrema calidad de su producción científica, y eso brilla con luz propia. Nada de lo que podamos decir aquí empaña esa realidad. Por eso precisamente, debemos tomar sus afirmaciones, máxime si son ajenas a su especialidad y dichas en ambiente de intimidad, como las afirmaciones de un ser humano sobre cuestiones opinables, sin más. En caso contrario, él mismo se hubiera reído de nosotros.

Mañana seguimos con la paradoja de Newcomb.

La paradoja de Newcomb

Dos ramas enormemente sugerentes de la matemática del siglo XX son la Teoría de juegos y la Teoría de la decisión . Digo del siglo XX porque la mayor parte del desarrollo de las mismas han sido efectuada en dicho siglo, si bien las raíces teóricas e incluso prácticas se hunden en los siglos anteriores.

Ambas, se nutren de la Teoría de la probabilidad , y suponen el marco teórico para actuar buscando la optimización de una función de utilidad en ambiente de riesgo, o de incertidumbre. La Teoría de la decisión efectúa el estudio de la decisión óptima a tomar el llamado decisor ante un abanico de posibilidades, y la Teoría de juegos supone además que existen otros decisores que compiten entre sí, influyéndose mutuamente.

La paradoja que tenemos entre manos tiene mucho que ver con estos temas, y yo la situaría directamente encuadrada en la Teoría de la decisión , si bien tiene el enunciado de un juego.

Se trata de lo siguiente:

Tenemos ante nosotros dos cofres, C1 y C2. Sabemos con certeza que C1 contiene 1.000 euros, y sabemos que C2 puede contener un millón de euros, o nada.

Nuestra elección puede ser cualquiera de las dos siguientes:

1.- Tomar ambos cofres.
2.- Tomar solamente el cofre C2

Antes de hacer la elección, X ha pronosticado nuestra decisión. X puede ser un sistema experto que analiza el compartamiento humano, puede ser un extraterrestre con capacidad de predicción sobre asuntos humanos, puede ser Dios... nos basta saber que X es “alguien” o “algo” que puede, con seguridad, adelantar cuál va a ser nuestra decisión.

Pues bien: si , X previó que íbamos a escoger C2, habrá colocado el millón de euros en su interior; y si previó que íbamos a tomar ambos, habrá dejado C2 vacío. Para evitar casos latelares que no nos interesan, si prevé que vamos a jugarnos al azar ambas posibilidades, habrá dejado C2 vacío. En todo caso, habrá 1.000 euros en C1.

¿Qué debemos hacer?

La paradoja de Newcomb recibe el nombre de paradoja porque ambas decisiones pueden ser igualmente defendidas con argumentos aparentemente irrefutables.

Les dejo que lo piensen...

Un país de gilipollas

Un país de gilipollas A estas alturas de la vida uno no ve posible (ni seguramente deseable) que la España entera llore la muerte de los grandes hombres que a cuentagotas nos van dejando para siempre. Cada uno tiene los suyos; yo desde esta bitácora desearía resaltar a Joan Oró y a Miguel de Guzmán, que tuvieron su despedida desde este blog.

No es de esperar que la labor de estos y muchos otros hombres de bien que han pasado su vida estudiando, trabajando y enseñando a otros pase a ser tema de conversación en programas verpertinos de televisión o en tertulias de bar entre vino y vino. Seguramente no es ni deseable, y una sociedad sana y plural deba tener de todo un poco, con un estatus cultural a medio camino entre Einstein y Curro Jimenez. Seguramente.

Pero cuando la muerte de los Hombres (recuerden mi costumbre de emplear la mayúscula de Hombres para englobar a ambos sexos)buenos e interesantes no merece comentario alguno en medios de comunicación y por contrapartida un personaje como Carmina Ordoñez ; populachera devota de la superstición mariana más rancia, cocainómana y fascista por todo bagage personal, merece cuotas interminables de pantalla, ad nauseam, uno llega a una indefectible conclusión: este es un país de Gilipollas.

Hala, dicho queda. Que pasen un feliz fin de semana.

Y no me vean mucho la tele, que atonta.
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