Para pensar

Soft Science-Fiction

Normalmente, si a una persona le gusta la ciencia, le suele gustar la ciencia-ficción. No me pregunten porqué. Muchas veces es una cuestión de masoquismo. Casi siempre, cuando veo una película de SF, agarro cabreos monumentales, pero una y otra vez reincido en lo mismo, para desesperación de mi esposa.

Hace muchos años se denomino Ciencia ficción dura (hard) a aquella que violaba lo menos posible los conocimientos científicos del momento. Lo mínimo imprescindible para que pudiera haber historia. No se trataba de hacer un tratado de ciencia, pero al menos se trataba de que la cosa no chirriara demasiado.

Pues bien. A nivel cinematográfico, es muy difícil encontrar ciencia ficción Hard; al menos entre las películas de amplia distribución. Los errores normalmente suelen ser relatívos a la física- Aún recuerdo un bodrio que se titulaba El núcleo , realmente insoportable por las idioteces y sinsentidos constantes a lo largo de toda la historia...

Hoy hemos visto Alien Hunter . Buena para pasar la tarde.



Les transcribo más o menos una parte del diálogo, tal y como la recuerdo.

Hablan una bióloga y otro investigador. Están en la antártida, en una base científica. Acaban de tener contacto con una entidad extraterrestre y están haciéndose unos análisis de sangre para evaluar la probabilidad de contagio de un determinado virus alienígena.

- Doctora, ¿cómo evalúa la probabilidad de contagio?
- Según mis cálculos la probabilidad de que no estemos contagiados es de noventa y nueve como nueve nueve nueve, hasta el infinito.
- Entonces, no es del cien por cien!
- Efectivamente, no lo es.

Glubs!

Esto me recuerda a una vez que traté (sin éxito) de hacer comprender a alguien que no quería comprenderlo que cero coma nueve periódico era EXACTAMENTE IGUAL a uno.

Ven ustedes diferencias, significativas o no; entre 0'99999 periódico y 1?

¿Qué cosa es un vector?

Hace un tiempo vimos aquí que el concepto de número, a pesar de las apariencias de ser el concepto central en la matemática toda, un concepto derivado de otro aún más primario: el de conjunto.

Siendo así, la definición del nuevo concepto debe retrotraernos al concepto primitivo, y definiremos los números (naturales) en utilizando el concepto previo de conjunto.

Pudiera ser para muchos lectores extraño, pero muchos de los conceptos matemáticos que por su extraordinaria utilidad son ubicuos en otras ciencias poseen definiciones de este estilo, que nos llevan a conceptos aún más primarios que el que estamos tratando.

Algo así pasa con el conocidísimo concepto de vector

Cualquiera diría que un vector es una magnitud que consta de módulo, dirección y sentido . Algunos sin embargo; más teóricos, explicarían que un vector es una entidad tal que para ser expresada necesita de n escalares (números); siendo n cualquier número natural.

Ambas definiciones son muy conocidas y sin embargo parecen ser (sólo parecer ser) totalmente diferentes. Más aún: ninguna de ellas recoge la realidad de lo que es verdaderamente un vector en sentido puramente matemático. De hecho; entidades que no necesiten más de un escalar para ser expresadas pueden ser perfectamente vectores, de la misma manera que objetos que no tengan dirección ni sentido. Más aún: objetos que no puedan ser expresados con ningún número n finito de escalares también puede ser un vector. Una matriz puede ser un vector, al igual que una función real de variable real,o una función compleja o imaginaria; al igual que un giro o una traslación, o cualquier otra cosa.

¿Qué es entonces un vector?

La definición matemática de vector es más infinitamente más primaria.

DEFINICION DE VECTOR
Un vector es todo elemento de un espacio vectorial.


No, no es una broma.

La definición anterior presupone la existencia de espacios vectoriales, los cuales se definen en base a nociones conjuntísticas y algebráicas; sin la menor mención a lo que pudiera ser un vector, de manera que no existe circularidad alguna en las definiciones. Lo interesante de esta reflexión es que los vectores (como tantos otros conceptos matemáticos) surgen simplemente como elementos de ciertas estructuras matemáticas previamente definidas, y no al revés. (Los espacios vectoriales no se definen como conjuntos de vectores).Cualquier propiedad que pudiera tener un vector será deducida de su mera pertenencia a esa estructura perfectamente definida que hemos llamado espacio vectorial.

Por supuesto, cuando uno trabaja con espacios vectoriales o con vectores, todo esto no tiene la menor importancia. Es a nivel profundo, conceptual, gnoseológico, donde el asunto se convierte en trascendental.

Y a nosotros, nos gustan esos niveles, y por eso hablamos de ello...

Todos los enteros positivos son iguales !!!

Ya hemos hablado del maravilloso método de inducción matemática. Tenemos un procedimiento para demostrar afirmaciones generales sobre todos los enteros positivos, que consta de dos fases:

1ª FASE:Demostrar la validez de la afirmación para n=1

2ª FASE: Demostrar que si la afirmación es válida para n (hipótesis de inducción), entonces también lo es para n+1.

Hace algunos meses explicábamos que el método de inducción tiene sus peligros, y que tras su aparente simplicidad acechan falacias y razonamientos no válidos que nos pueden llevar a conclusiones erróneas. Demostrábamos que Todos los blogs del mundo están alojados en Blogia, lo cual es un absurdo.

Les propongo otra aberración, aún pero para que intenten encontrar el error.

TODOS LOS ENTEROS POSITIVOS SON IGUALES

DEMOSTRACION

Sean a,b dos enteros positivos. Sea M=max{a,b} el valor del mayor de ambos:

Procederemos por inducción sobre M.

PRIMERA FASE (M=1)

Para M=1 no hay duda. Si M=1 es que el máximo de ambos es 1, y por lo tanto a=b=1. Por lo tanto a y b son iguales.

Supongamos cierta la afirmación para m, demostraremos que también lo es para m+1.

SEGUNDA FASE

Sean a,b tales que M=max{a,b}=m+1. Entonces es evidente que max{a-1,b-1}=m, y por la hipótesis de inducción, tenemos que a-1=b-1, de donde clarísimamente concluimos que a=b.

Por lo tanto, a=b para todo par de enteros positivos.

Anímense a encontrar el error...

¿Qué es una teoría?

En cierta ocasión, discutiendo con Testigos de Jehová, descubrí algo que para mi fue importante: la palabra teoría tenía para ellos un significado muy diferente del que tenía para mí. La teoría de la que hablábamos era, cómo no, la Teoria de la evolución .

No hay mejor manera de empezar a entenderse que ponerse de acuerdo en la acepción de los términos que empleamos. Por eso creo interesante hacer un post sobre lo que es y lo que no es una teoría, en cada contexto.

Cuatro frases nos ejemplificarán las cuatro acepciones de la palabra, además de la coloquial que significa simplemente “elucubración”, “opinión”.

1.- La teoría de la probabilidad surge de manera natural de la teoría de la medida.

2.- La teoría de la relatividad utiliza cálculos tensoriales en sus desarrollos matemáticos.

3.- El doctor Jiménez del Oso dará hoy una conferencia sobre la teoría psicobioenergética tibetana y sus conexiones con el nivel astral subcuántico presente en las psicofonías y con los megalitos pascuenses.

4.- El catedrático de mariología Angel Sagrado Iglesias publica un estudio sobre la teoría de San Agustín relativa a la asunción de la Virgen María.


La primera frase se refiere a una teoría matemática. Ya hemos hablado de ello en otras ocasiones. Una teoría matemática no tiene nada de elucubración ni de suposición. Es un cuerpo teórico en forma de definición- teorema-demostración-corolario.
Dentro de su campo de aplicación, sus conclusiones son verdad absoluta, inmutable y eterna. Amén.

La segunda se refiere a una teoría científica, que la diferencio completamente de una teoría matemática. Aquí es donde los testigos de Jehová (y muchos otros) tienen problemas. La incomprensión a este respecto no es sino reflejo de la incomprensión de la labor de la ciencia por parte del público.

Existen básicamente dos formas de ver la labor de la ciencia entre el gran público; entendiendo “gran público” como “subconjunto de seres humanos ajenos al quehacer científico”. Por un lado están los que desde el desconocimiento comprueban, muchas veces maravillados, el progreso del conocimiento y de la técnica a través de la información normalmente nefasta que les llega desde los medios de comunicación. Para ellos, el prestigio de la ciencia como garantía de la verdad en lo que se dice es muy grande. Los agentes de publicidad lo reconocen y explotan con frecuencia, señalando que las bondades del producto X han sido "científicamente comprobadas" o que la superioridad del producto Y está "demostrada científicamente”. A veces basta introducir una vocablo de apariencia científica para añadir una pátina de prestigio a un producto comercial. Mi ejemplo preferido es un producto de limpieza con “desincrustol D”, por no hablar de los bífidus activos, las nanoesferas... para qué seguir?

De esta forma, las proposiciones científicas aparecen como ciertas y aún más, como irrefutables. Los mismos razonamientos paranormales, en busca de un prestigio del cual carecen están plagados de frases como “ ha sido demostrado científicamente que...”, frase casi ausente en cualquier artículo serio.

Existe otra porción, en aumento, que “sabe” algo más, pero lo sabe mal. Saben que lo anterior no es correcto, y que las verdades científicas no sólo no son absolutas, sino que ni siquiera son permanentes. Saben de cambios de paradigmas, pero caen en el relativismo gnoseológico más pernicioso. En realidad opinan exactamente lo contrario de los anteriores. Los argumentos esgrimidos pueden ser del siguiente tipo:

1.- Antes se creía que la tierra era plana. Luego se demostró que en realidad era esférica, y ahora resulta que eso tampoco es cierto, que tiene forma achatada. Lo que se demostró como cierto resultó que no lo era, por lo tanto.

2.- Copérnico se cargó a Ptolomeo; Einstein a Newton, mañana alguien se cargará a Einstein y a Darwin. Por lo tanto la teoría de la relatividad, la teoría de la evolución, etc, son eso: teorías. Pero no son la verdad, no se han demostrado. Mañana puede salir alguien demostrando que Einstein estaba equivocado, y que se pueden hacer viajes instantáneos a las estrellas.

Existen infinidad de variantes. La conclusión de todas ellas es que nunca podemos estar seguros de nada, y que la ciencia es un complot, una colección de dogmas no muy diferente de los dogmas de las religiones. Los profetas New Age han explotado esta versión siempre que les ha sido posible.

Sería bueno explicar las falacias de ambos razonamientos. Y en realidad no es difícil explicar que ambas visiones de la ciencia son falsas. Creemos que es mucho más fácil explicar cómo funciona la ciencia que explicar cuestiones científicas, e igualmente productivo, y quizás por ahí habría que empezar.

Será en extremo difícil convencer de la existencia de falacias en sus razonamientos creacionistas a un creyente, pero es posible que entiendan perfectamente lo siguiente:

1.- Una teoría científica es un modelo de la realidad, creado por el hombre para explicar el funcionamiento del mundo con el menor número posible de hipótesis.

2.- El trabajo científico tiene una realimentación que impide elucubrar en vano: los modelos predicen cosas que luego la realidad corrobora, o descarta. De ahí que las hipótesis sobre el modelo deben ser predictivas y refutables.

3.- Una teoría científica que da respuesta a todo lo observado es una teoría útil, pero no por ello es una teoría CIERTA.

4.- Cuando se descubren datos que se desconocían y que la teoría explica, ésta sale reforzada, en caso contrario entra en crisis, y puede ser sustituida por otra mejor, Y NO PASA NADA. Así avanza la ciencia.

5.- El castigo por demostrar que lo que se creía es falso, y que debemos cambiar el modelo en una teoría importante suele ser el premio Nobel.

6.- No existe una ciencia oficial y otra extraoficial. Existe una unicidad metodológica, dentro de la enorme variablilidad en toda la ciencia, que cumple el esquema arriba explicado.


La tercera frase se refiere a una teoría paranormal . Las paraciencias tienen una metodología corrupta propia, y de ello nos ocuparemos pronto. De momento, baste con decir que la palabra teoría en este contexto es muy diferente a la misma palabra en los dos contextos anteriores. La estrategia paranormal debe llevar implícito un filtro que no deje pasar los hechos que se enfrenten a la tesis que se debe defender a toda costa. Cualquier posibilidad es aprovechada, dado que los planteamientos paranormales no exigen coherencia ni rigor: a veces se explotará la primera visión de la ciencia, y otras la segunda, normalmente con apelaciones constantes al principio de autoridad de “prestigiosos investigadores” a los que nadie conoce.

La cuarta frase se refiere a una teoría teológica o religiosa. La función de la búsqueda de la verdad en estos contextos es sustituida por una fuente de revelación. Nada que ver con lo que estamos tratando aquí...

Aclarar qué acepción de la palabra teoría estamos utilizando en cada caso es un paso importante para entendernos con nuestros interlocutores amigos de lo paranormal, por ejemplo.

Para ello, hace falta que el interlocutor sea rebatido con respeto, y que quien trata de eliminar el filtro no olvide nunca que en el fondo está atacando seguridades muy queridas por el creyente, y ofreciéndole a cambio un mundo incierto, inseguro... y un poco más veraz.

¡Cuánto espacio desaprovechado!

En el post anterior un lector (dob) ha escrito una frase que me ha llamado mucho la atención:

El problema que veo para hacer aceptar estos conceptos a la gente es que la idea de azar parece difícilmente asumible para el primate que todos llevamos dentro. Nos gusta una buena historia, y si no la vemos nos la inventamos porque la necesitamos.

Resulta que quien esto escribe piensa lo mismo. Además, me gustan las buenas historias. Por eso, y porque creo que es posible inventar buenas historias para disfrutar con ellas sin necesidad de creerlas como ciertas ni de prostituir nuestro pensamiento racional; he pensado que podría incluir en este blog, que ante todo quiere ser un espacio racional, una serie de reflexiones acerca de las falacias y las afirmaciones mágicas que nos invaden por doquier. Al fin y al cabo, es normal que a quien ha estudiado bastantes demostraciones matemáticas rigurosas le llame la atención las pretendidas "demostraciones" que circulan por ahí sobre tópicos paranormales y sobre absurdos varios.

Estas reflexiones, que iré poniendo en sucesivos post, intercalados con otros de contenido más matemático, las tengo escritas hace cierto tiempo para otros espacios, y no pretender ser reflexiones originales. Son mías porque las he hecho mías, sin más. Espero que les resulte interesante.

Comenzamos con la primera: una afirmación que aunque está hecha normalmente en forma de exclamación, encierra una falacia bastante gorda. Es una de mis favoritas.

SI ESTAMOS SOLOS EN EL COSMOS...!CUÁNTO ESPACIO DESPROVECHADO!

Seguro que todos hemos oído esta frase, en cualquiera de sus múltiples variantes más de cuatro veces. Como la famosa afirmación de que solo usamos el 10% de nuestro cerebro, pertenece al grupo de afirmaciones que se asumen por ser muy oídas. Muy poca gente se para a pensar un momento qué quiere decir, y qué verdad o falsedad esconde tras de sí.

Podríamos empezar por decir que el principio de aprovechamiento del espacio brilla por su ausencia dentro del conjunto de leyes universales, pero eso es tan sólo un camino para deshacer la falacia, y hay que explorarlos todos.

La pregunta, como todas las afirmaciones paranormales, es perversa: en forma de pregunta esconde una respuesta apriorística: No estamos solos en el cosmos . Pero es que además, cae en un antropocentrismo velado: la mejor forma de “aprovechar” el espacio es llenarlo de vida inteligente (como la nuestra). De esta forma, el entorno terrestre está “bien aprovechado”; mientras que Plutón y sus inmediaciones están mal aprovechadas. El sistema solar en su conjunto parece estar “medianamente aprovechado”, en vista de que no encontramos vida en él aparte de la terrestre ( dejando en suspenso las sorpresas que nos depare Europa y quizás Titán). Asumiendo la inexistente ley del aprovechamiento espacial, nos resulta imposible de admitir la no existencia de vida inteligente en nuestra galaxia, y no digamos ya en el universo.

Queda clara pues la nula potencia de la pregunta, y la ilícita respuesta a la que parece conducir. Pero podemos aprovechar la circunstancia para preguntarnos qué tamaño mínimo debería tener el universo para que nosotros estemos en su seno haciendo este tipo de preguntas.

Para que nosotros existamos ¿bastaría con un entorno, digamos como el sistema solar? ¿Bastaría con un entorno algo mayor, que incluya a un grupo local de estrellas de unos cien años luz de diámetro? La respuesta es clara y contundente, sin ambigüedad alguna: NO BASTARIA.

¿Porqué es esto así?

Vayamos por partes. El universo es muy grande, y es tan grande porque es muy viejo. Se expande a una velocidad comparable con la velocidad de la luz, de forma que su diámetro es proporcional a su edad. Sin entrar en complicados temas cosmológicos en una primera aproximación (no nos interesa para nada la exactitud en este momento, y la edad real es motivo de controversia) podemos decir que su tamaño en años luz es igual a su edad en años. De esta forma, nuestra pregunta puede ser reformulada en unidades de tiempo: ¿Cuánto tiempo hace falta para que surja vida inteligente por procesos naturales? Ahora es cuando vemos el tema bajo una nueva luz. La vida es un proceso complejo. Necesita de unos elementos idóneos para constituirse. Admitimos de buen grado que cualquier tipo de vida extraterrestre puede ser muy diferente a la nuestra, pero siempre será un proceso muy complejo, y necesitará un sustrato material idóneo. Pero en el universo primitivo no existían estos constituyentes, sino tan sólo hidrógeno (H). Es el interior de las estrellas el único lugar en el que se sintetizan. Las estrellas son formidables hornos nucleares en los que el H se convierte en Helio (He) por fusión nuclear, liberando mucha energía. Cuando el H se agota, si la dinámica estelar lo permite se unen núcleos de He para producir átomos más pesados, y se van produciendo todos los constituyentes necesarios para la vida: Carbono ( C) ,Nitrógeno (N), Oxígeno(O), Fósforo(P),Azufre (S)...

Cómo consiguen salir del interior de las estrellas? Una estrella es un formidable pozo gravitatorio, del que nada pesado puede salir si no hay un poderoso proceso que lo permita. ¿Lo hay? Pues afortunadamente para nosotros, sí lo hay.

Las estrellas revientan de vez en cuando en una espectacular sesión de fuegos artificiales: las supernovas. Cuando esto ocurre, contaminan el ambiente interestelar con los elementos pesados que se produjeron en su seno. Más aún: forman unos frentes de onda de tal intensidad debido a la explosión que inducen a nubes de H a colapsar gravitatoriamente y formar nuevas estrellas, que naturalmente nacerán contaminadas de los metales producidos por la supernova. Si se forman planetas en el disco de acreción de la estrella, estos planetas podrán estar constituidos por restos pesados, como es el caso de la tierra.

Así pues, debe ser una estrella de segunda generación la que vea surgir en sus inmediaciones la vida, por muy simple que sea esta. Debe haber transcurrido toda la vida de una generación estelar previa, debe haberse formado una segunda generación, y debe haber transcurrido un número indeterminado de miles de millones de años para que el entorno neoestelar se haya estabilizado lo suficiente como para poderse iniciar un proceso biogénico.
Todo esto lleva, digamos diez mil millones de años como mínimo, luego para que yo esté en este momento tecleando en un ordenador, el diámetro mínimo necesario de lo existente es de diez mil millones de años luz. En una esfera de diámetro menor NO CABE la posibilidad de mi existencia.

Dicho esto, dónde está ese espacio desaprovechado?

La función de utilidad

Cuando Von Neuman y Morgenstein establecieron los fundamentos de la Teoría de Juegos, establecieron una definición axiomática de la denominada función de utilidad , a la que volveremos en próximos post. Este concepto refleja la incuestionable realidad de que una ganancia concreta no supone lo mismo para todas las personas. No es la ganancia lo que maximizamos, en la teoría de juegos, sino la función de utilidad del jugador; que siempre estará muy relacionada con la ganancia, sin ser lo mismo. Para empezar, parece ser que nuestra percepción de "felicidad" por haber conseguido algo no es directamente proporcional a la magnitud de lo conseguido, sino al logaritmo de lo conseguido.

Otras veces, lo que verdaderamente nos importa poco tiene que ver con las ganancias del juego; como en el caso que sigue, tomado textualmente de www.acertijos.net


Un banquero de inversión americano estaba en el muelle de un pueblito costero mexicano cuando llegó un botecito con un solo pescador. Dentro del bote había varios atunes amarillos de buen tamaño.

El americano elogió al mexicano por la calidad del pescado y le pregunto:

"¿Cuánto tiempo le tomó pescarlos? "

El mexicano respondió:

"Sólo un poco tiempo".

El americano luego le preguntó:

"¿Porqué no permaneces más tiempo y sacas más pescado?"

El mexicano dijo que él tenía lo suficiente para satisfacer las necesidades inmediatas de su familia.

El americano luego preguntó:

"Pero.. ¿qué haces con el resto de tu tiempo?"

El pescador mexicano dijo:

"duermo hasta tarde, pesco un poco, juego con mis hijos, me hecho una siesta con mi señora, María, voy todas las noches al pueblo donde tomo vino y toco guitarra con mis amigos. Como ves tengo una vida divertida y ocupada."

El americano replicó:

"Soy un MBA de Harvard y podría ayudarte. Deja te explico... deberías gastar más tiempo en la pesca, con los ingresos comprar un bote más grande, con los ingresos del bote más grande podrías comprar varios botes, eventualmente tendrías una flota de botes pesqueros. En vez de vender el pescado a un intermediario lo podrías hacer directamente a un procesador, eventualmente abrir tu propia procesadora. Deberías controlar la producción, el procesamiento y la distribución. Deberías salir de este "pinche" pueblo e irte a Ciudad de México, luego a Los Angeles y eventualmente a Nueva York, donde manejarías tu empresa en expansión".

El pescador mexicano preguntó:

"Pero, ¿cuánto tiempo tarda todo eso?"

A lo cual respondió el americano:

"entre 15 y 20 años"

El mexicano:

"¿Y luego qué?"

El americano se rió y dijo que esa era la mejor parte. "Cuando llegue la hora deberías anunciar un IPO (Oferta inicial de acciones) y vender las acciones de tu empresa al público. Te volverás rico, tendrás millones".

El mexicano:

"Millones ...¿y luego qué?"

Dijo el americano:

"Luego te puedes retirar. Te mueves a un pueblito en la costa donde puedes dormir hasta tarde, pescar un poco, jugar con tus hijos, echar una siesta con tu mujer, ir todas las noches al pueblo a tomar vino y tocar la guitarra con tus amigos".

Problema infernal

Vamos a aligerarnos un poco de los densos contenidos "a lo Ramsey" de los post anteriores. Volveremos a ellos en breve. Les propongo un problema que me he encontrado por la red. Es un buen ejemplo de lo que sucede con juegos infinitos. Me explico:

Cuando tenemos un problema de decisión, lo habitual suele ser que la decisión consista en elegir un elemento entre un conjunto amplio de posibilidades. Para cada elección tengo una valoración, o una función de utilidad que refleja qué me aporta a mí (el elector) dicha decisión. Se trata de maximizar dicha función de utilidad en el caso de que sea un beneficio, o minimizarla en el caso de que se trate de un perjuicio.

Como muchas de las situaciones reales nos van a desembocar en funciones de utilidad que no son expresables por fórmulas sencillas, la tarea de optimización es cualquier cosa menos trivial. Muchas veces debemos acudir a algoritmos de optimización muy sofisticados (algoritmos genéticos, búsquedas tabú, algoritmos EDA, etc, de los que hablaremos en su día). Nada de esto es lo que les propongo hoy.

Veamos un ejemplo de decisión que implica valoraciones infinitas. Les animo a opinar al respecto.

Usted muere, y se presenta en las puertas del infierno. El diablo en persona le explica que puede jugar a cara o cruz la posibilidad de ingresar en el infierno de forma irremediable o salvarse. Además, le da la posibilidad de jugar hoy , mañana o cualquier otro día. Si decide postergar n días el juego, sufrirá n días de tortura infernal, pero podrá lanzar la moneda (n+1) veces (1); y bastará con que acierte una sola para salvarse.

Qué debe hacer usted?

(1) El número de lanzamientos permitidos es (n+1) porque el primer día ya puede lanzar una vez sin tener que esperar nada; lógicamente.

Celdas y trayectorias imposibles

Tenemos en la ilustración un conjunto de cinco celdas agrupadas de una manera concreta. Podemos pensar que es el plano de una vivienda.Cada pared interconecta una celda con otra contigua, o con el exterior mediante una puerta, en verde en el dibujo. Se trata de encontrar una trayectoria que atraviese todas y cada una de las puertas(dieciseis en total)una sola vez.

Tras unos cuantos intentos, vereis que no es fácil encontrar la solución. Es el momento de preguntarse si será imposible. Una de las formas de resolver el enigma es revisar exhaustivamente todas las posibilidades, de la misma forma que se demostró el Teorema de los cuatro colores . Es una demostración perfectamente válida, pero espantosamente fea. Además, con este problema, no valdría para demostrar nada con una composición de celdas más complicada: habría que empezar desde el principio otra vez.

Así pues, lo más elegante sería demostrar que tal trayectoria es imposible en nuestra figura, comprendiendo los porqués de tal imposibilidad. Es, como muchas cosas en matemáticas, increíblemente fácil una vez se comprende el asunto, pero sé por experiencia que mucha gente se queda atascada.

Una vez comprendido el asunto, nada cuesta responder a la misma pregunta en composiciones más complicadas.

¿Les apetece pensarlo?

Si les apetece les aconsejo coger un papel e intentar trayectorias: no tardarán en desesperarse . Es mucho mejor que intenten ver porqué no puede existir tal trayectoria

El juego de "El cazador"

No conozco a nadie que le parezca sencillo el cálculo de probabilidades. A pesar de la enorme importancia que tiene para nuestra propia supervivencia, estamos espantosamente dotados por la naturaleza para este tipo de cálculos. Ya lo comentábamos aquí.

Menos mal que tenemos un verdadero arsenal de herramientas para poder afrontarlo. Muchas veces la forma más sencilla de resolver un problema es resolviendo el contrario. Me explico con un ejemplo:

Una persona obtiene un premio si consigue un seis tirando un dado tres veces consecutivas. ¿Qué probabilidad tiene de éxito?

Es evidente que si saca un seis a la primera, no tiene que tirar más: ya lo ha conseguido, y lo mismo a la segunda. La forma más simple de resolver este problema es pensando precisamente en la probabilidad de no acierto: con probabilidad 5/6 sacará un valor diferente de seis cada una de las tres veces; como los lanzamientos son independientes, podemos multiplicar las probabilidades para obtener la probabilidad de que no salga un seis ninguno de los tres lanzamientos, que será exactamente de (5/6)³. Como nos interesa el suceso exactamente contrario (que salga algún seis), la probabilidad pedida será la unidad menos el valor anterior, esto es:

P{ganar el premio})=1- (5/6)³=91/216

¿Es necesario el paso al suceso contrario para calcular el asunto? Obviamente no; pero es algo más elaborado. Lo que no es lícito es pensar que como para que salga al menos un seis, debe hacerlo a la primera, a la segunda o a la tercera, podemos sumar las probabilidades, con lo que obtendríamos 3/6=1/3.

Si esto fuera cierto, con seis tiradas tendríamos la seguridad de ganar, y todos sabemos que esto no es así. ¿Qué es lo que falla?

Lo que falla es que si bien la probabilidad de sacar el seis a la primera es ciertamente 1/6, no es así con la segunda. Porque para sacar un seis a la segunda hacen falta dos cosas:

1.- No haber sacado seis a la primera.
2.- Sí sacarlo a la segunda.

Una vez que la primera tirada no ha sido seis, sí que volvemos a tenemos 1/3 de probabilidad de sacarlo a la segunda, pero no a priori. Así pues, con la nomenclatura siguiente:

A=Obtener premio
S_i= Obtener seis a la i-ésima tirada.
S^c_i=No obtener seis a la i-ésima tirada.

nuestro cálculo directo debería ser:

P(A)=P(S₁)+ P(S₂/ S^c₁). P(S^c₁)+P(S₃/S^c₁, S^c₂). P(S^c₁).P(S^c₂).

El primer término es la probabilidad de obtener el premio a la primera. El segundo es la probabilidad de obtener el premio a la segunda cuando no lo hemos obtenido a la primera, multiplicado por la probabilidad de no obtenerlo a la primera, y así sucesivamente.

Ahora sí: sustituyendo por los valores numéricos correspondientes, obtenemos:

P(A)=1/6 + 1/6.5/6 + 1/6.5/6.5/6 = 91/216.

Vemos que tanto el cálculo directo de la probabilidad pedida como el contrario para luego restarle a la unidad dicho valor, son ambos posibles, pero el trabajo que cuesta uno y otro son diferentes.

Sabiendo esto, podemos abordar algo más elaborado:

¿Se acuerdan de la película “El cazador”, con Robert de Niro y Christofer Walken? Los malvados del Veitcong se divertían obligando a jugar a la ruleta rusa (una sola bala en un cargador de seis) a dos prisioneros haciendo apuestas. Si suponemos que cada vez que se dispara se vuelve a “barajar” el revólver, (cosa que en la película no pasaba), por quién apostaría usted: por el primero que lo intente, o por el segundo? Las apuestas se realizan antes de comenzar, pero ya sabiendo quién disparará primero.

Paradoja infinitodimensional

Siempre he pensado que los lectores dan vida al blog. Lo he repetido varias veces, y no es una concesión de cara a la galería. Volviendo de vacaciones, he leído un comentario de Torek referente al artículo de las esferas y cubos infinitodimensionales.

Decíamos que en una esfera infinitodimensional de radio unidad, el mayor segmento que entraba en su interior era de dos unidades de longitud (cualquiera de sus diámetros); mientras que en un cubo el mayor segmento era infinito (de hecho, toda una recta).

Torek plantea una demostración de que lo anterior es falso, y que también en una esfera infinitodimensional cabe una recta infinita. El razonamiento no puede ser más sencillo y perturbador:

Dado que toda esfera tiene un cubo inscrito, y que dentro del cubo cabe, según se ha demostrado, un segmento infinito, con mayor motivo cabrá en la esfera. Por lo tanto, tanto dentro de una esfera como dentro de un cubo infinitodimensionales cabe un segmento de cualquier longitud, por grande que esta sea.

La elegancia del razonamiento es innegable... a pesar de ser falso.

Si les apetece buscar el error, les espero.

Una vuelta de tuerca al problema de Monty Hall

En los comentarios de un post anterior se mencionaba el famoso problema de Monty Hall. No tenía intención de hablar de él, por aquello del compromiso inicial de huir del tópico; pero he encontrado una vuelta de tuerca al asunto muy interesante.

Recordemos el problema y su solución:

En un concurso nos ofrecen tres cofres: uno con un premio y dos vacíos. Elegimos uno de ellos, y luego el presentador nos abre uno de los otros dos, que está vacío. Ahora nos da la oportunidad de quedarnos con nuestra elección primera o cambiar. Supondremos que el presentador nos ofrece el cambio siempre, que no es una estrategia que use a su conveniencia.¿Qué debemos hacer?


La solución del problema es que debemos cambiar: de esta forma doblamos las posibilidades de llevarnos el premio. No quiero incidir en esto, pues está muy hablado ya, y el que no se lo crea puede revisar en la web mil páginas que lo explican. La aceptaremos sin discusión.

La vuelta de tuerca es la siguiente:

Tenemos TRES concursantes, cada uno de los cuales ha elegido un cofre distinto. El presentador abre uno de los cofres vacíos, con lo que el concursante correspondiente queda eliminado. Ahora, los dos restantes, que conocen la solución al problema de Monty Hall, cambian sin dudar sus respectivos cofres para doblar sus posibilidades: pero esto es absurdo!

Entre ambos tienen siempre el 100% de posibilidades, es imposible que doblen sus probabilidades ambos a la vez. Por otro lado, no vemos que ninguno de los dos concursantes pueda tener ventaja alguna sobre el otro...

¿Qué sucede aquí?

Quisiera animarles a participar con sus comentarios. Los comentarios son los que le dan vida al blog. Cada comentario es un regalo para el autor y para el resto de los lectores.

¿Qué está mal en esta foto?

Nunca veremos este espectáculo.
¿Porqué?

Contribuciones de lectores

Varios lectores me han hecho comentarios que me parece interesante reflejar aquí.

José Torres que hace ver por medio de una pregunta que las sucesiones de Goodstein siguen descendiendo una vez alcanzado el cero. Por lo tanto, la afirmación sorprendente de las mismas es que "alcanzan el cero", no que converjan a cero, como había afirmado.
Creo que José Torres lleva razón, dada la definición de las sucesiones de Goodstein. Las afirmaciones de convergencia a cero quedan corregidas en los artículos por las respectivas de "alcanzan el cero".

En el artículo 0+0+...+0=0 ?, Pepe me hace una aguda observación que podeis ver en las comentarios del mismo artículo. Las medidas, dice (y lleva razón), son aditivas cuando unimos una cantidad numerable de conjuntos disjuntos. En nuestro caso, los conjuntos unitarios de puntos son ciertamente disjuntos, pero la no numerabilidad dificulta la comprensión de qué cosa es la suma de medidas extendida a todos ellos... En efecto, en Teoría de la medida se define perfectamente la medida de la unión numerable de subconjuntos disjuntos como la suma de las medidas, pero NO SE PUEDE HACER LO MISMO cuando la unión es no numerable. De hecho, y ésta es una de las mayores sorpresas que me llevé cuando lo estudié, a base de uniones no numerables de puntos (todos ellos de medida cero pero bien definida), podemos construir conjuntos a los que no puede asociarse en absoluto el concepto de medida.

Gracias a todos por las aportaciones.

Cosmética

El ser humano ha conocido tiempos más sombríos;
tan bobos, posiblemente no.

Luis Goytisolo

Buscad la belleza, es la única batalla
que merece la pena en este asqueroso mundo.

Ramón Trecet

Como se acerca el fin de semana, me van a permitir salirme por la tangente, siempre rozando la matemática. ¿Les gustan a ustedes los fractales? Si la respuesta es positiva, habrán reconocido la figura que encabeza este artículo: el conjunto de Mandelbrot. Cuando comencé este blog me propuse no hablar de fractales. No por que no me gusten, que me gustan, sino por ser fiel a mi frase con la que inicié: realizar un paseo por los conceptos menos tópicos de la matemática.

Alguien debería decir que la belleza de los fractales es enorme, pero NO ESTA EN LAS FOTOS que se exhiben de los mismos. De hecho, estas imágenes no son fractales en absoluto; son y seguirán siendo por siempre burdas aproximaciones. Al conjunto de Mandelbrot nunca lo ha visto nadie, que diría San Pablo. Todo esto es cosmética, en una civilización tendente a lo fácil, rápidamente consumible y más rápidamente aún olvidable.

Me carga la frase de que una imagen vale más de mil palabras. Y me carga porque ni siquiera puedo decir que sea falsa. Lo que no me cabe duda es de que muchas veces una palabra vale por mil imágenes, y no digamos una ecuación. Dado que vivimos una época audiovisual, nos estamos olvidando del lenguaje, de las letras y de los placeres tranquilos. Si no genera adrenalina en un femtosegundo, no vale una mierda.

Daurmith nos comenta magníficamente aquí en qué parámetros se desenvuelve la sociedad norteamericana actual ,modelo del mundo en torno a la fiesta de Halloween. Si Halloween es una fiesta de cartón piedra en la que las tripas descompuestas de los muertos son de chocolate glassé, y la sangre jugo de frambuesa, ya me dirán qué podemos esperar. Una conmemoración de la muerte en la que la muerte es la ausente, ahogada en la alegría y el grito, el dulce y el color fucsia.

Pero no nos fijemos en los estadounidenses: entre nosotros hemos trivializado incluso la belleza de los rituales de aquellas ceremonias en las que no creemos, convirtiendo a las niñas en pseudonovias en el mes de mayo, a los niños en pseudooficiales de la armada (¿porqué no de infantería, me pregunto?), y reconvirtiendo la música excelsa de Bach en palurdas guitarras con idiotas canciones de misas de "para jóvenes".

De las dos frases que he colocado al inicio, estoy más de acuerdo con la de Goytisolo. La segunda, más que una afirmación es una invitación. No sé si existen batallas más importantes; supongo que sí. Pero si vamos a buscar la belleza, no creo que debamos conformarnos con la cosmética.

Feliz Halloween (para el que vaya a celebrarlo).

Un lamento arquimediano en el ciberdesierto.

Siendo yo un niño, murió un vecino muy mayor al que mis padres tenían mucho cariño. Los familiares, muy lejanos ellos; dispusieron de sus escasas pertenencias, y tan sólo quedó un baúl en el trastero, que era común a las tres viviendas de la casa, así que consideré que su interior me pertenecía.
El baúl contenía encuadernados los treinta primeros números del ABC, un libro de sonetos de Gracilaso y Juan de Mena editado en Salamanca en el siglo XVIII, y otro libro.
El título del otro libro era: La Nueva mecánica celeste y resolución irrefutable a la cuadratura del círculo . Autor: Justo Mintegui. Editado hacia el año 1.930 por la editorial Itxaropena en Zarauz, Guipúzcoa.
Atesoro los tres libros, pero para mí el del bueno de Justo Mintegui es un incunable. Ni que decir tiene que todo lo que allí está escrito es de una estupidez tan sólo comparable con la arrogancia del autor. Tan sólo el paso del tiempo me ayuda a ver con cierta y nostálgica benevolencia al infausto autor. ¿Quién sería? ¿Existirán descendientes suyos que puedan leer esto?
Habla el hombre de lo divino y lo humano, demostrando la imposibilidad de los viajes a la luna, demostrando que la evolución es falsa, que pi vale exactamente 3,15 y otras lindezas, de las cuales destaco un cuadro en el que aparecen diversos tipos humanos, (“raza” europea en lugar destacado), y un epígrafe en el que pone que no ha querido incluir más variantes degradadas de la humanidad tales como esquimales.
Pero no es esto de lo que quiero hablar, sino de los filtros que tuvo que pasar el libro para llegar a mis manos. En aquella época, supongo que sólo la vehemencia incuestionable de un autor sería capaz de vencer las trabas para ver su libelo publicado. Serían unos pocos ejemplares, y al no tener ningún valor real, habrían desaparecido darwinianamente de la circulación la mayor parte.

En las épocas que yo sí he conocido, se podía leer incautamente cualquier barbaridad creyendo cierta, pero había pistas para quien las quería usar: no creer nada publicado por Planeta Agostini ni de la editorial EDAF,... ya me entienden, cosas así. Los autores también daban una pista muy fácil de seguir algunas veces: si un libro estaba escrito, pongamos por ejemplo por el Doctor Jiménez del Oso, y otro por el Doctor Vallejo Nájera; era fácil saber que al primero no se le podía dar credibilidad alguna y al segundo sí.

Con esto quiero decir lo siguiente: para tener indicios de que lo que lee es creíble, o al menos interesante; la información que debía poseer el lector a priori era mucho menor que la información que deseaba encontrar y que de hecho encontraba en el libro.

Hoy la situación ha cambiado. Tenemos acceso a prácticamente toda la información, y como dijimos en el artículo sobre la expansión decimal de pi, toda la información se parece a ninguna información. Puedo encontrar demostraciones en la web de la imposibilidad de la cuadratura del círculo, así como mil demostraciones de la cuadratura del círculo; encuentro tantas páginas creacionistas como evolucionistas. No hay filtro alguno que favorezca las informaciones más contrastadas. Además, generalmente las contribuciones son anónimas; tanto las geniales como las espantosas.... en suma: debo saber a priori cada vez más de todo para tener un criterio que me diga lo que es válido.

Estamos llegando a la situación paradójica en la que mis conocimientos previos deben ser comparables en complejidad a los conocimientos que estoy buscando, para poder tener un criterio de selección.

Recordarán si me leyeron que para dar mi número de teléfono podía hacer, entre otras, dos cosas: darlo directamente o dar el puesto en el que se encuentra dentro de pi. Para ambas posibilidades necesito las mismas cifras, luego pi no me sirve para nada.Yo no quiero que la web sea como el desarrollo decimal de pi. Dadme un criterio en que apoyarme y me moveré por el cibermundo.

Reverencia

Sucedió en Castelldefels hace unos tres años. Asistíamos a una serie de charlas alrededor de una pregunta central: ¿Queda mucho por saber? Estábamos cambiando de milenio, y era un buen momento para hacerse esa pregunta. El último día, hubo un coloquio en el que alguien preguntó al doctor Joan Oró si podía resumir de alguna manera breve qué es lo más importante que había aprendido en toda una vida dedicada al estudio de los enigmas del universo.
El doctor Oró habló de su experiencia personal en el asunto, y explicó (más o menos, no recuerdo los términos que empleó) que una frase muy conocida condensaba bastante bien lo más importante. La frase era:

No hagas a los demás lo que no quieras que te hagan a ti.

¿Han sentido alguna vez una sensación de reverencia por alguien?

Yo muy pocas. Una de ellas sucedió en Castelldefels hace unos tres años.

¿Matemáticas contra el racismo?

En otra historia comentábamos que la matemática por sí misma nunca podrá explicar el mundo. Cuando intentamos describir un fenómeno de la naturaleza, establecemos un modelo. Tal cosa es una descripción matemática, lo más sencilla posible, de como funciona el fenómeno a estudiar. Si los desarrollos matemáticos son perfectos, pero el modelo no es correcto porque no refleja realmente el comportamiento del fenómeno, entonces las conclusiones serán erróneas. En nuestro caso, todo el desarrollo matemático es correcto, pero no el modelo: falla en lo que parece a simple vista más obvio.

Me he encontrado con un bienintencionado intento de demostrar que el racismo no tiene sentido, argumentado matemáticamente el estrecho parentesco de todos los seres humanos. Dada la conclusión del "estudio", satisfactoria para toda mente progresista, es una verdadera pena tener que explicar que todo es una falacia.

Vamos al asunto, tal y como lo encontré:

Seleccionemos dos personas, arbitrariamente alejadas una de otra; por ejemplo: un chino de una remota aldea y un negro de lo más tupido de la selva congoleña. El número de antepasados de cada uno de ellos es:

Padres: 2
Abuelos: 4
Bisabuelos: 8
n-abuelos: 2 elevado a n.

Entendemos n-abuelos como los antepasados en la n-ésima generación hacia el pasado. Según nos remontamos en el pasado, el número de antepasados de cada uno crece exponencialmente. Vamos a hallar el número de generaciones que nos podemos remontar en el tiempo sin encontrar ningún antepasado común entre los dos, en el peor de los casos. El peor de los casos sería escoger las dos personas menos emparentadas del mundo, lógicamente. Supongamos, para simplificar los cálculos que el número de personas en el planeta es constante en el tiempo. ( Como no es cierto, y en el pasado el número era menor, el valor real será aún más pequeño de lo que obtendremos).

El caso de máximo alejamiento concebible sería si para un momento en el pasado, la humanidad se dividiera en dos grupos: los antepasados de uno y los del otro; ambas disjuntas. Supongamos el tamaño de la población en el pasado de mil millones de personas (de hecho era mucho menor). Llamamos N a tal población. Sea n la generación en la que ocurrió tal división de la humanidad. Tenemos el desarrollo que encabeza este artículo, con un resultado de 28,8 generaciones.

Así pues, hace 29 generaciones, necesariamente había un antepasado común a los dos. Los valores reales serán todavía menores, según lo comentado antes. Poniendo un tiempo de 25 años entre dos generaciones, dos seres humanos tienen necesariamente un antepasado común hace menos de 29x25= 725 años.

¿Porqué todo lo anterior es falso?

El número de padres de cada persona es ciertamente dos (a no ser que uno sea clónico). El número de abuelos es casi siempre cuatro (salvo el caso de que los padres sean hermanos, en cuyo caso serán dos, o hermanastros, en cuyo caso serán tres).Si los padres son primos, los bisabuelos no son ocho, sino seis (dos de ellos son comunes a ambos padres). Según nos vamos remontando en el pasado, la probabilidad de que antepasados nuestros sean parientes aumenta enormemente, y de hecho, en poblaciones aisladas que se han mantenido en número aproximadamente constante en el tiempo, el número de antepasados de un individuo concreto es el mismo hace diez generaciones que hace quince: todos los miembros de la tribu hace 400 años eran antepasados de cada uno de los actuales.

El modelo correcto es que el número de antepasados de cada persona hace n generaciones es a elevado a n; donde a vale menos que dos, y además es variable para los diversos individuos: en una población con grandes lazos de consanguinidad valdrá casi la unidad. La siguiente tabla refleja el valor del número de generaciones y años precisos para encontrar necesariamente un antepasado común, en función del valor de a.

a________________2_____1.8_____1.5_____1,3______1,2_____1,1_____1.01______1

Generaciones____29_____34______50______78______112_____216_____2083____inf

Años____________725____850____1250____1950_____2800____5400____52083___inf



Vemos por lo tanto que debemos apoyarnos en argumentos más contundentes, y sin duda los hay; para convencernos de la unicidad de la especie humana y de la falacia de los racismos.