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Tio Petros

El calendario (2)

Pocos temas son más importantes para una civilización agrícola que el momento oportuno para plantar las patatas, los nabos, el maíz o los puerros, y recogerlos. Ni las grandes conjunciones cósmicas, ni el poder astrológico de los planetas, ni las fuerzas ctonico-primordiales (sean éstas lo que sean, si es que son algo, que lo dudo...) ni los dioses ni los extraterrestres: las patatas y los nabos .

Al no tener en cuenta esa verdad primordial, resulta enigmático el esfuerzo enorme que muchas civilizaciones realizaron para medir el tiempo. La dificultad del asunto está en que los ciclos naturales van a su aire, y los más evidentes (alternancia día-noche) no son los más indicados para medir lo que realmente importa.

Los ciclos naturales más evidentes , además del día son las fases lunares, las estaciones y el año. Quitemos las estaciones. No por no importantes; precisamente ésas son las importantes, las quitamos porque van incardinadas en el año, siendo por lo tanto éste el que hay que medir.

No vamos a extendernos mucho en los tópicos más corrientes del tema: los solsticios, los equinoccios, las estaciones, y todo eso. Daremos un brevísimo resumen para entender lo posterior, porque está sobradamente tratado en mil lugares de la web. San Google irá raudo a la ayuda de quien lo invoque correctamente.

Por tanto, daremos unas someras pinceladas mínimas para entender la visión de conjunto, sabiendo que nos metemos en terrenos que no dominamos: la astronomía, y pidiendo perdón por las erratas que podamos cometer. En todo caso, la incursión será breve, y en el siguiente post volveremos a la matemática de las congruencias y al cómputo por días julianos.

El año no puede ser definido por los creadores de los calendarios como el período de tiempo que tarda la tierra en dar la vuelta al sol por motivos epistemológicos evidentísimos: no se sabía que tal cosa ocurriera. Lo que sí se sabía es que a latitudes medias, el curso del sol sobre el cielo variaba un poquito de día en día, y se repetía cada 365 días, más o menos. El camino que recorre el sol en el cielo a lo largo del día está inclinado respecto al horizonte, con una pendiente que depende de la latitud del punto de observación. En los polos hace círculos palalelos al horizonte sin ponerse en todo el día (latitud 90º) en el ecuador sale y se pone perpendicular al suelo (latitud 0º), y por eso los amaneceres y anocheceres son muy bruscos. En las latitudes medias, el arco solar tiene lógicamente inclinaciones medias.



El punto de salida (orto) o puesta (ocaso) del sol, va oscilando a lo largo de los días del año, marcando cuatro momentos no demasiado difíciles de concretar con alguna exactitud: los dos extremos, en los que el sol sale y se mete más al norte o más al sur; y los dos medios. Hoy los conocemos como solsticios y equinoccios. Equinoccio proviene de la palabra euqus : igual y nox : noche, cada año suceden dos acontecimientos de este tipo el de primavera y el de otoño, con fechas aproximadas del 21 de marzo y el 20 de septiembre, respectivamente. En ambos, el día y la noche tienen igual duración.
Cuando el sol sale más al norte, el recorrido en el cielo era más largo, consecuentemente hace más calor y las noches son más cortas: estamos en verano. Cuando el sol sale más al sur, ocurre exactamente lo contrario. Soy plenamente consciente de mi asqueroso eurocentrismo: en el hemisferio sur las cosas ocurren exactamente igual, pero al revés

Pues bien; sirva todo esto para tener una idea clara: todo agricultor sabe que es peligrosísimo sembrar antes de un determinado momento, por mil motivos: una helada tardía puede acabar con la cosecha, por ejemplo. Sembrar demasiado tarde trae consecuencias igualmente desastrosas; y la recolección debe ser realizada también en momentos determinados. No debemos olvidar que la consecuencia de un error grave en este “detallito” es el hambre y la muerte.

Para la época de los romanos, el tema estaba aparentemente solucionado: el Calendario juliano contemplaba 365 días , y cada cuatro años había un día adicional. El calendario tenía 12 meses, comenzaba en marzo (como debe ser, no como nosotros), y terminaba en febrero. Por eso es Febrero el mes irregular que carga con el día adicional cuando el año es bisiesto.

¿Qué se había conseguido con ello? Se había conseguido una duración media del año de 365,25 días. Sin embargo, la naturaleza es terca en su querencia por los irracionales, y la duración del año trópico (intervalo entre dos equinoccios de primavera) es de 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46,43 segundos.

Eso significa que el error de 11 minutos y 14 segundos. No parece gran cosa, pero ¡es acumulativo!

Esto quiere decir que cada 128 años se comete un error de un día entero de adelanto del calendario juliao respecto a la naturaleza. Allá por 1.582 el decalaje era de 10 días.

La solución fue la revisión completa del calendario: se suprimieron 10 días (el día siguiente al 4 de Octubre de 1.582 fue 15 de octubre), y se redujo el número de años bisiestos de la siguiente forma: los bisiestos múltiplos de 100 sólo seguirían siendo bisiestos si además son múltiplos de 400. De esta forma, se corregía el error acumulativo hasta cotas muy pequeñas. Lo suficientemente pequeñas como para olvidarse del problema en varios milenios.

La penetración del nuevo calendario fue paulatina, pero terminó por imponerse en el mundo, que es como los occidentales solemos llamar al mundo occidental cuando nos referimos a él, haciendo alarde de una miopía sin par.

A pesar de todo, los astrónomos utilizan otro calendario para ellos solos. Es el calendario de los días julianos , que nada tienen que ver con el calendario juliano. Para ver su origen, significado y utilidad, tendremos que aprender congruencias, y pasearemos por conceptos tan poco habituales en la vida diaria como números aúreos , indicción romana , y maravillas similares...""

El calendario

El calendario

Les propongo un paseo matemático alrededor del calendario.

El tema es algo arduo, de manera que deberemos hacer acopio de provisiones. Para este paseo bastará con llevar ganas de llegar a la meta, y como siempre, la meta será lo de menos. Lo importante será el propio camino.

A lo largo de esta caminata, veremos que la naturaleza gusta de los números irracionales, lo cual es una faena para nosotros los humanos. Sabemos( porque lo sabemos, nooo?) que un número irracional puede expresarse con la precisión que queramos mediando una división de dos enteros, pero sucede que cuanta mayor precisión queramos, más grandes deberán ser numerador y denominador. No obstante, los planetas y los satelites se obstinan en tener períodos de rotación irracionales unas respecto a otras, salvo los notables casos de resonancia .

Esto hace que el tema de la medición del tiempo a largo plazo sea exquisitamente complicado.

Revisaremos los conceptos de congruencias, con las que tanto trabajó el bueno de Euler; echaremos un vistazo al Teorema chino del resto , e intentaremos comprender el sistema actual de calendario, conocido como Calendario gregoriano . Veremos también el sistema astronómico de datación temporal, conocido como el sistema de los días julianos , y veremos la explicación de porqué los astrónomos actuales fechan sus eventos en un extraño calendario en el que los días son la única unidad, arrancando en la estrambótica fecha del 1 de enero del año 4.713 antes de Cristo.

Todo esto lo haremos con la humildad necesaria al comprender que civilizaciones diferentes solucionaron el tema incluso desde antiguo de formas diferentes; algunas muy buenas y alguna extraordinariamente buena.

Y es que en contra de lo que piensan los amantes del misterio barato, los antiguos eran antiguos, pero no gilipollas.

Todo ello en post subsiguientes, si les apetece.

De los Bernoulli a los Bourbaki

De los Bernoulli a los Bourbaki

El epígrafe de este libro es:

"Una historia del arte y la ciencia del cálculo"

Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés Castro, aquellos cubanos que estudiaron en Moscú con el gran Kolmogorov y escribieron "El zar del azar" glosando la figura del maestro, nos traen ahora la historia del cálculus

Cuando hablábamos de "El zar del azar", decía que era un libro muy interesante, pero con una narrativa poco atrayente. Este libro, y ésta es una valoración estrictamente personal, supone una empresa mucha más difícil que la glosa de la vida y obra de un matemático, y sin embargo está plenamente conseguido.

Recorremos la historia del cálculo desde sus inicios: Leibniz, Newton, Riccati, Bernoulli, Clairaut y Euler. Plantea acertadamente las causas de los subsiguientes desarrollos de la teoría, explicando los problemas a los que había que dar solución, y los métodos que se idearon para hacerlo: el problema de la braquistocrona, los inicios de la teoría de ecuaciones diferenciales, el análisis variacional... estamos ante una aventura del conocimiento profunda como pocas en la historia de la ciencia.

En la contraportada se puede leer:

Las historias que se narran en este libro no están escritas para eruditos, ni para especialistas en historia de la matemática, sólo pretenden abrir el apetito a neófitos y aprendices, para que se interesen por conocer el porqué y el para qué de los cursos de cálculo y de algunas de sus múltiples y variadas ramificaciones actuales

Me parece que, efectivamente no hace falta ser un rudito en el tema para acercarse a este libro, pero que no se piense que se puede leer como una novela: se trata de un libro denso y apasionante, perfectamente accesible a quien tenga los conocimientos del cálculo propios de un estudiante de una carrera técnica, por ejemplo.

Una obra importante en suma, cuyo contenido nos dará para más de un post en el futuro...

FICHA:

Título
DE LOS BERNOULLI A LOS BOURBAKI: UNA HISTORIA DEL ARTE Y LA CIENCIA DEL CALCULO
Autores
SANCHEZ FERNANDEZ, CARLOS y VALDES CASTRO, CONCEPCION
Precio
25.90 €
Editorial
NIVOLA LIBROS Y EDICIONES, S.L.
Lengua
CASTELLANO
Encuadernación
Rustica

382 pgs (17.0x24.0 cm)
ISBN: 8495599708
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No puedo dejar pasar la ocasión para comentar en tono laudatorio la estupenda colección que la Editorial Nivola está sacando al mercado con el nombre de Ciencia abierta . Los títulos publicados hasta el momento son:

1. La matemática española y la crisis de finales de siglo XIX.
2. El mundo como un juego matemático. John von Neumann un científico del siglo XX
3. Ayunos y yantares. Usos y costumbres en la historia de la alimentación.
4. Aventuras de un matemático. Memorias
5. Ciencia y anticiencia
6. Memorias de aprendizaje
7. Verdad matemática
8. La ciencia a través del periodismo
9. De los Bernoulli a los Bourbaki. Una historia del arte y la ciencia del cálculo.

Naturalmente, este blog no tiene relación alguna con la editorial, de modo que si desde aquí se está haciendo publicidad es publicidad no interesada.

La paradoja de Newcomb (y 3)

La paradoja de Newcomb (y 3)

Hemos dicho varias veces en este blog que las verdaderas paradojas no existen. Es gratificante pensar que siempre debe existir una explicación de porqué un aparentemente correcto razonamiento nos lleva a dos conclusiones contradictorias. Y es gratificante porque en caso contrario, existe un teorema que afirma que si en un sistema axiomático pueden ser demostradas dos proposiciones contradictorias, entonces puede ser demostrada cualquier afirmación. Lo cual es lo mismo que decir que el sistema no vale un pimiento.

Lo que no suele ser tan fácil es encontrar el error en las líneas argumentales. En el caso que nos ocupa, creo que parte de la solución ha sido dada en los comentarios de los post anteriores. Vayamos por partes: estamos hablando de lógica, no de teoría de la decisión.

¿Qué sucede cuando una fuerza irresistible se enfrenta a un cuerpo inamovible?
¿Puede Dios crear una piedra tan pesada que él mismo no la pueda levantar ?

Parece mentira, pero preguntas idiotas como éstas han entretenido ( y preocupado) a mentes de todas las épocas. Hubo una época en la que los “intelectuales” se preocupaban del sexo de los ángeles.

El nudo gordiano que plantean ambas preguntas se resuelve de la misma manera que Alejandro resolvió el nudo gordiano original: a golpes. Si existiera una fuerza irresistible (una fuerza frente a la cual nada se resistiera), entonces no podría existir cuerpo alguno que fuera inamovible. La lógica no trata de las cosas existentes en nuestro universo, por lo tanto no existe ninguna contradicción lógica en la existencia de una fuerza irresistible, ni tampoco en contra de la existencia de un cuerpo inamovible. Lo que es una contradicción lógica es la existencia simultánea de ambas cosas, pues la mera existencia de una de ellas implica la necesidad lógica de que la otra sea inexistente. La pregunta no se resuelve respondiéndola: se resuelve rechazándola.

A mi me parece que en este caso ocurre lo mismo. No veo ninguna imposibilidad lógica en la existencia de un predictor de nuestro comportamiento. (Entiéndaseme bien: no creo que tal cosa exista, pero por imposibilidades factuales, no de orden lógico). Lo que sucede es que si tal predictor existiera, incluso como posibilidad), esto implica lógicamente que nuestra decisión no es tal, que está prefijada, y que no tenemos libertad en absoluto para decidir. Podemos tener la ilusión de que elegimos, pero no es más que una ilusión.

Si el predictor existe y es infalible, estamos sentenciados. Si no es tal, y su predicción ha sido hecha por un procedimiento de cara y cruz, por ejemplo, debemos tomar la decisión que nos asegure los mil euros (tomar ambas cajas). En los casos intermedios, en los que X es simplemente un buen psicólogo que afina bastante, cuanto más afine menos libres somos para decidir. La teoría de la decisión se ve en aprietos porque la propia decisión se ve comprometida.

Decía en un comentario anterior que es mi solución al problema . Estoy dispuesto a variarla si se me presenta algo mejor.

Que tengan mis lectores un buen fin de semana.

ACTUALIZACION

En la wikipedia he encontrado una buena referencia de lo que aquí se ha tratado, aquí.

La paradoja de Newcomb (2)

Según cuenta Martin Gardner en Rosquillas anudadas, el matemático Robert Nozick , especialista en Teoría de la decisión escribe a propósito de la paradoja de Newcomb:

He planteado este problema a gran número de personas, tanto amigos como alumnos de mis clases. A casi todo el mundo le resulta perfectamente claro y obvio qué se debe hacer. La dificultad es que estas personas parecen estar divididas más o menos por igual sobre cuál debe ser la solución del problema, y que un número importante de ellas piensan que las de opinión contrario son sencillamente idiotas.

Parece que entre los que han opinado al respecto en el post anterior no existe tal equilibrio, sino un sesgo completo hacia la solución consistente en tomar ambas cajas. Es realmente sencillo argumentar que la elección de ambas cajas es la correcta. Sin embargo, lo malo es que con poco esfuerzo más podemos argumentar en sentido contrario con igual contundencia. Esa es la paradoja. No obstante, las verdaderas paradojas no existen, y el nudo gordiano se deshace de alguna manera.

Veamoslo de otra manera: el experimento se realiza un buen número de veces, y el lector es un testigo del mismo.

Imagínese el lector que asiste al experimento. Puede ver que siempre que los concursantes eligen ambas cajas , se llevaron únicamente 1.000 euros, mientras que siempre que decidieron tomar únicamente la caja C2, se llevaron el millón. X parece que pronostica correctamente. Todo esto no hace sino avalar la opción de tomar tan sólo la caja 2, ¿verdad?

Situemos ahora al testigo frente a las cajas, al otro lado del concursante, y supongamos que el lado de los cofres que da al testigo es de cristal, de forma que puede ver el interior. El testigo comprueba repetidamente que en la caja C1 hay 1.000 euros (cosa que el concursante sabe con certeza). También ve la caja C2, y sabe si tiene el millón o está vacía. En ambos casos, si pudiera aconsejar al concursante, aconsejaría tomar ambas por la obviedad de que se va a llevar 1.000 euros más si lo hace que si no lo hace.

Esta observación favorece evidentemente la opción de tomar ambas en todo caso. ¿Hay o no hay una al menos aparente paradoja?
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Tengo una manera personal de ver el asunto, y romper este nudo gordiano. Como es personal, no sé si estarán ustedes de acuerdo con ella. En todo caso es la solución que más me satisface hasta que me presenten otra que me satisfaga más. La vemos en el siguiente post, si les parece interesante.

Una aclaración respecto al efecto Mateo

Hace algún tiempo hablábamos del efecto Mateo y de su importancia en el quehacer científico. Es curioso, pero he recibido varios correos de queja por el tratamiento que doy a la figura de Alberto Einstein. Además en la página Muy interesante se hace una crítica de dicho artículo, que también se publicó en la revista electrónica 100cia.

Parece ser que se ha entendido que efectúo una crítica de la figura del científico alemán por hacer la siguiente afirmación en una carta privada: No tenemos derecho, desde un punto de vista físico, a negar a priori la posibilidad de la existencia de la telepatía. (Einstein en una carta al Dr. Jan Ehrenwald, el 8.7.1946).

Además de sentirme halagado porque se me lee, quisiera explicar dos cosas:

PRIMERA:

La frase tal y como está redactada no puede sino ser considerada como la cautela propia de todo científico sin prejuicios, y no es especialmente criticable. En el artículo lo que se critica es la inclusión de la misma en una página web sobre parapsicología, para dar honorabilidad a una pseudociencia utilizando para ello el reconocido prestigio del investigador que se cita. Este era un excelente ejemplo de lo que se hablaba en el artículo: el principio de no autoridad y el efecto Mateo.

SEGUNDA:

El bueno de Albert lo mismo podía haber escrito:

“No tenemos derecho, desde un punto de vista físico, a negar a priori la posibilidad de la existencia de unicornios de color morado”,

o incluso esto:

“No tenemos derecho, desde un punto de vista físico, a negar a priori la posibilidad de la existencia cierta inteligencia en Paco Porras”.

En todo caso se trataba de una frase privada entre dos personas, que no por ser “no-falsa” es precisamente el colmo de la producción intelectual de su autor. Albert Einstein es un orgullo para la especie humana por la extrema calidad de su producción científica, y eso brilla con luz propia. Nada de lo que podamos decir aquí empaña esa realidad. Por eso precisamente, debemos tomar sus afirmaciones, máxime si son ajenas a su especialidad y dichas en ambiente de intimidad, como las afirmaciones de un ser humano sobre cuestiones opinables, sin más. En caso contrario, él mismo se hubiera reído de nosotros.

Mañana seguimos con la paradoja de Newcomb.

La paradoja de Newcomb

Dos ramas enormemente sugerentes de la matemática del siglo XX son la Teoría de juegos y la Teoría de la decisión . Digo del siglo XX porque la mayor parte del desarrollo de las mismas han sido efectuada en dicho siglo, si bien las raíces teóricas e incluso prácticas se hunden en los siglos anteriores.

Ambas, se nutren de la Teoría de la probabilidad , y suponen el marco teórico para actuar buscando la optimización de una función de utilidad en ambiente de riesgo, o de incertidumbre. La Teoría de la decisión efectúa el estudio de la decisión óptima a tomar el llamado decisor ante un abanico de posibilidades, y la Teoría de juegos supone además que existen otros decisores que compiten entre sí, influyéndose mutuamente.

La paradoja que tenemos entre manos tiene mucho que ver con estos temas, y yo la situaría directamente encuadrada en la Teoría de la decisión , si bien tiene el enunciado de un juego.

Se trata de lo siguiente:

Tenemos ante nosotros dos cofres, C1 y C2. Sabemos con certeza que C1 contiene 1.000 euros, y sabemos que C2 puede contener un millón de euros, o nada.

Nuestra elección puede ser cualquiera de las dos siguientes:

1.- Tomar ambos cofres.
2.- Tomar solamente el cofre C2

Antes de hacer la elección, X ha pronosticado nuestra decisión. X puede ser un sistema experto que analiza el compartamiento humano, puede ser un extraterrestre con capacidad de predicción sobre asuntos humanos, puede ser Dios... nos basta saber que X es “alguien” o “algo” que puede, con seguridad, adelantar cuál va a ser nuestra decisión.

Pues bien: si , X previó que íbamos a escoger C2, habrá colocado el millón de euros en su interior; y si previó que íbamos a tomar ambos, habrá dejado C2 vacío. Para evitar casos latelares que no nos interesan, si prevé que vamos a jugarnos al azar ambas posibilidades, habrá dejado C2 vacío. En todo caso, habrá 1.000 euros en C1.

¿Qué debemos hacer?

La paradoja de Newcomb recibe el nombre de paradoja porque ambas decisiones pueden ser igualmente defendidas con argumentos aparentemente irrefutables.

Les dejo que lo piensen...

"Licenciado" Dawling Ureña

"Licenciado" Dawling Ureña


Hoy inaurugamos una sección nueva. No sé cómo llamarla; de momento la he titulado "El indeseable de la semana" , pero no estoy muy convencido. Espero propuestas, tanto del título como de los personajes que se harán acreedores del dudoso honor de figurar en la misma. La palabra imbécil no hace justicia, porque muchos de los que por aquí desfilarán no serán imbéciles en absoluto. Siemrpe habrá indeseables mayores que los que por aquí desfilen, pero esta sección no pretende ser exhaustiva. Pretende ser una mirada a lo peor del pensamiento humano.Dejemos por el momento en EL INDESEABLE DE LA SEMANA . Desde mi punto de vista, que para eso soy el autor de este blog.


El “licenciado” Dawlin Ureña, un dominicano convertido en pastor protestante en los Estados Unidos (Pastor de las Asambleas de Dios, y miembro de la Asociación Científica CRS - Creation Research Society) tiene el honor de inaugurar las sección “El INDESEABLE de la semana”.

Por ser el autor de la innombrable web Antes del fin

“La Web Cristiana que les informa lo que la prensa liberal NUNCA les informaría sobre Israel, el aborto, la agenda gay, el Islam, el Evolucionismo, la inmoralidad, el liberalismo, etc.”

Por ser el autor de la siguiente inmundicia:

Recomiendo a mis hermanos creacionistas que se informen bien antes de enfrentarse con los siguientes grupos religiosos: Adventistas, Testigos de Jehová y Evolucionistas.
De estas tres religiones la más peligrosa es la de los Evolucionistas. Estos son los más educados, ya que su biblia es la ciencia. Una biblia sin Dios. Un texto que enseña que todo fue creado a partir de una gran explosión hace miles de millones de años. Este grupo muestra la mayor fe de los tres antes mencionados. Los Adventistas y los Testigos de Jehová por lo menos buscan la seguridad eterna en algún ser infinito muy parecido al Dios de nosotros los Cristianos, pero esta última secta, me refiero a los Evolucionistas, bueno, ellos colocan su fe en la Nada. La Nada es un tipo de dios que alguna vez en el pasado infinito se convirtió en Algo y ese Algo explotó. Luego de la Explosión Grande apareció la Inteligencia la cual organizó todo para que hoy tengamos el complejo mundo que vemos a nuestro alrededor.
. texto completo aquí

Por ser defensor acérrimo de Bush, e incondicional del actual gobierno de Israel; y autor de La ciencia y la Biblia

Por todo ello, queda nombrado indeseable de la semana, a falta de que mis lectores busquen otra denominación para toda esta porquería...

Magia euleriana

Pasamos a explicar lo prometido: cómo consiguió Euler demostrar que la serie de los inversos de los cuadrados perfectos convergía a pi cuadrado sextos



Euler empezó con el desarrollo en serie de la función seno. Hay que hacer notar que un desarrollo en serie NO es un polinomio. Un polinomio tiene un número finito términos. Una función seno es una función trascentente , y nunca podría ser expresada como un polinomio.



La audacia de Euler consistió en tratar esta serie como si de un polinomio se tratara. Llamó P(x) a la serie que expresa la función (sen x )/x,


_____________________ECUACION (1) ________________

Los valores para los cuales esta función se anula son los mismos que los valores para los cuales se anula la función seno, habida cuenta de que el límite de P(x) cuando x tiende a cero es la unidad, como es sabido.



La audacia está en el paso siguiente: ya que tenemos las raíces de P(x)=0, factoricemos como si estuviéramos ante un polinomio corriente:



Ahora utilizando el rollo aquel de (a+b)(a-b)=a2- b2, podemos agrupar los factores de dos en dos, obteniendo lo que sigue:


_____________________ECUACION (2) __________________

Vemos que la serie que represente a P(x) la podemos expresar de dos formas: como la suma de una serie de potencias pares de x, ECUACION (1) y como el producto de una serie de factores todos ellos con x elevado al cuadradoECUACION (2) .

Según la primera de las maneras, el coeficiente de x2 vale –1/3! ; y según la segunda, el coeficiente de x2 proviene de multiplicar todos los primeros miembros de los factores (siempre el 1) menos uno, por el segundo miembro de cada uno de los factores, y luego sumar todas las posibilidades. Igualando los coeficientes de x2 en ambas expresiones, obtenemos:



Lo que nos lleva irremisiblemente a

Euler y el problema de Basilea

Euler y el problema de Basilea

Las admiraciones de la fórmula que encabeza este post no son factoriales: son simples exclamaciones que reflejan la sorpresa que produjo en el mundo matemático el descubrimiento de Euler.

Hemos contado cómo las mentes de los dos hermanos Bernoulli unidas no fueron suficiente para desentrañar el misterio de la serie de los inversos de los cuadrados 1+1/4+1/9+1/16+...

En un post anterior escribíamos:


Los hermanos Bernoulli, ebrios de gozo por la demostración conseguida (la divergencia de la serie armónica), intentaron conocer los misterios de otra serie: la suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos: 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...

Sin embargo, el genio de ambos hermanos juntos era insuficiente para desentrañar el misterio. La serie era convergente,pero...hacia qué número real convergía? Fué necesario el cerebro del maestro de todos los matemáticos para desentrañar el misterio, en un alarde de magia euleriana casi sin parangón en la historia de la matemática.

Mengoli y Leibniz se habían estrellado antes, y ahora los Bernoulli admitían la derrota:

“Grande será nuestra gratitud si alguien encuentra y nos comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros esfuerzos” , escribía Jakob Bernoulli en su Tractatus.

Como escribió en Basilea, el reto lanzado fue conocido en su tiempo como el problema de Basilea

Por desgracia para él, moría sin que nadie hubiera podido avanzar en el tema. Hacía falta no uno de los grandes, sino el más grande del momento para recoger el guante y triunfar donde los demás habían fracasado.

Cuando Euler publicó el resultado, el hermano de Jakob, Johann escribió: Utinam Frater superstes effet! (Si viviera mi hermano!). Y no era para menos. La sorpresa por ver el problema de Basilea resuelto quedaba en nada ante la perplejidad del resultado. PI CUADRADO SEXTOS !!!

La irrupción de la constante pi en un lugar tan inesperado no era normal. Según la matemática ha ido avanzando, hemos visto aparecer nuestra querida constante en muchos sitios, pero aquella vez era una de las primeras, y la sorpresa era grande. Sorpresa sí, pero no incredulidad. Se habían sumado más de mil términos de la serie, obteniendo el valor de 1.64393 . Se sabía que la convergencia era lenta, pero pi cuadrado sextos era el valor buscado, sin duda alguna (1.1.6449340...)

En 1.735, Euler escribía pletórico de felicidad: ...Sin embargo, he encontrado ahora y contra todo pronóstico una expresión elegante para la suma de la serie 1+1/4+1/9+1/16+etc., que depende de la cuadratura del círculo... He encontrado que seis veces la suma de esta serie es igual al cuadrado de la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es la unidad

¿Cómo consiguió el mago de los números obtener el resultado?

Apartándonos un poco de la tónica general del blog, en el siguiente post describiremos exactamente cómo lo hizo. Como en otras ocasiones, he intentado poner un enlace de algún lugar de la web en el que se explique; pero no lo he encontrado. Así que lo describiremos aquí. Esto no debiera intimidar a nadie: si el lector no puede o no le apetece seguirlo, que ignore el post olímpicamente, pues esto no va a ser un cambio en la tónica general del blog, sino una excepción, que además me permitirá comprobar si puedo insertar con buenos resultados fórmulas propias en medio del texto de un post.

Les espero para mostrarles el mejor Euler en acción sacándose del sombrero una perla de belleza infinita.

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Como siempre pasa en matemáticas, desentrañar un misterio sólo sirve para encontrar otros mucho más difíciles. Efectivamente, la pregunta siguiente era obvia: qué pasa si el exponente de los denominadores no es 2? Y si es cualquier valor real? Y el colmo de la perversión: y si es cualquier valor complejo?
Esta última audaz pregunta dió paso a uno de los objetos más complicados de la matemática (modernos fractales incluidos!!!); la función zeta de Riemann . Pero, como decía Michael Ende, esta es otra historia y deberá ser contada en otra ocasión.

Afinando conceptos sutiles

Afinando conceptos sutiles

Este blog no está pensado en un público matemático. Sería como invitar a Edurne Pasaban a dar un paseo por la loma que hay detrás de mi casa. Este blog se hace pensando en amigos de la reflexión, en personas que disfrutan pensando un ratito y apreciando la belleza. Este blog es como una invitación a pensar la matemática sin gran esfuerzo.Por eso, a veces los conceptos que aquí se explican no tienen el rigor preciso que un matemático exigiría.

Sin embargo, y dado que el rigor es precisamente la marca de la casa de todo quehacer matemático, lo que sí podemos es ir afinando detalles para comprender que tras una secuencia de símbolos (una cadena bien formada, que diría alguno), hay ideas precisas, afiladas como bisturíes.

Invito al lector no acostumbrado al lenguaje matemático a que compare la definiciópn del post anterior con la de este. Hay alguna pequeña diferencia. ¿Cuál es el sentido? ¿En qué mejora ésta a aquella? Probablemente, como nos ha pasado a todos, tras un momento de incertidumbre, se hace la luz repentinamente y lo comprendemos todo de un plumazo. Esa es la sensación "Ajá", que decía Martin Gardner.

Pero vaya, es una invitación que pueden aceptar, o no aceptar.

Divergencias modernas.

Divergencias modernas.

Hace unos día vimos cómo Johann Bernoulli demostró que las suma de los inversos de los números naturales era una suma infinita.(En lenguaje de hoy: que la serie armónica es divergente). Dijimos que la demostración hoy no se consideraría rigurosa por el tratamiento del infinito tan alegre que en ella se hace: se considera como un infinito actual, y se opera con él sin ningún respeto.

Hoy vamos a ver, si les parece, cómo se evita este problema y cómo se convierte en rigurosa la demostración.

EL argumento finitista, tan al gusto de la matemática moderna, viene definido en la ilustración. Si uno no está acostumbrado, las frases en las que intervienen los símbolos de para todo , o existe un , son un poco liosas en apariencia, pero un pequeño esfuerzo será recompensado.

Escojamos un número M, tan grande como queramos. Si sucede que sumando elementos de la serie siempre conseguimos sobrepasarlo, entonces decimos que la serie diverge. n es la cantidad de elementos de la serie que hemos tenido que sumar para alcanzar el valor M. Si consigo demostrar que, sin importar el valor de M, siempre habrá un valor de n que cumpla este requisito, habré demostrado que la serie es divergente.

La lógica del razonamiento es aplastante, y así hemos evitado toda referencia al infinito.

En el caso de nuestra serie, la demostración sería así:

Si agrupamos los sumandos de la siguiente manera:

1+[1/2+...+1/10] + [1/11+1/12+...+1/100]+[1/101+...+1/1000]+...

El primer corchete tiene 9 elementos, el segundo 90, el tercero 900 y así sucesivamente.

Para cualquiera de dichos corchetes (por ejemplo el primero) podemos razonar así:

[1/11+1/12+...+1/100] > [1/100+1/100+...+1/100], ya que hemos sustituido todos los sumandos por el último, que es el menor. Y esta última suma vale 0,9 . De la misma forma, cualquier corchete vale 0,9 (90 veces 1/100, ó 900 veces 1/1000, ó 9000 veces 1/10000 da lo mismo, verdad?

Hemos demostrado que podemos agrupar los sumandos de la serie armónica en grupos que sumen más de una cantidad fijada y mayor que cero. Dado que disponemos de tantos grupos de estos como queramos, dado un número M, por grande que sea, nos bastará tomar un cierto números de corchetes de los anteriores para sobrepasar el valor de M.

Por lo tanto, LA SERIE ARMONICA DIVERGE .

Que es lo que queríamos demostrar.

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Yo no sé qué les parecerá a ustedes esta demostración, pero aún recuerdo cuando se la expliqué a un buen amigo mío. Se llama Pedro. Le gustó tanto que me impresionó cómo a ciertas personas un buen razonamiento les puede hacer el efecto de una historia bien contada, de una película estupenda o de una música arrebatadora.
Y es que, con ciertas audiencias, da gusto. ;)

NOTA.- La definición "buena" de convergencia de una serie es un poquitín más complicada que la aquí explicada. Ello es debido a que, en la generalidad, una serie puede ser más perversa de lo que es la armónica que aquí nos ocupa. La simplificación ha sido realizada en aras de una mayopr claridad en la definición. En otro post hablaremos de ello.

Un país de gilipollas

Un país de gilipollas

A estas alturas de la vida uno no ve posible (ni seguramente deseable) que la España entera llore la muerte de los grandes hombres que a cuentagotas nos van dejando para siempre. Cada uno tiene los suyos; yo desde esta bitácora desearía resaltar a Joan Oró y a Miguel de Guzmán, que tuvieron su despedida desde este blog.

No es de esperar que la labor de estos y muchos otros hombres de bien que han pasado su vida estudiando, trabajando y enseñando a otros pase a ser tema de conversación en programas verpertinos de televisión o en tertulias de bar entre vino y vino. Seguramente no es ni deseable, y una sociedad sana y plural deba tener de todo un poco, con un estatus cultural a medio camino entre Einstein y Curro Jimenez. Seguramente.

Pero cuando la muerte de los Hombres (recuerden mi costumbre de emplear la mayúscula de Hombres para englobar a ambos sexos)buenos e interesantes no merece comentario alguno en medios de comunicación y por contrapartida un personaje como Carmina Ordoñez ; populachera devota de la superstición mariana más rancia, cocainómana y fascista por todo bagage personal, merece cuotas interminables de pantalla, ad nauseam, uno llega a una indefectible conclusión: este es un país de Gilipollas.

Hala, dicho queda. Que pasen un feliz fin de semana.

Y no me vean mucho la tele, que atonta.

Magia existencial (o inexistencial !!)

No es mi intención cargar demasiado los post con formulismo matemático por miedo a cansar al personal. Por eso, y dado que los últimos post iban fuertes en este aspecto, vamos a relajarnos un poco.

Hace unos meses comprobábamos una de las propiedades más fascinantes de la matemática: la facultad de postular la existencia de objetos que desconocemos, que nunca hemos visto, pero que podemos deducir sus propiedades una a una antes de encontrarlo. El ejemplo que veíamos era el del poliedro de Szilassi; extraño cuerpo tridimensional cuya existencia demostramos y propiedades en una serie de tres post, antes de mostrarlo en las ilustraciones.



No deja de ser mágico el asunto si lo pensamos bien: demostramos la existencia de un extraordinario poliedro con tan sólo siete caras, con 21 aristas y 14 vértices, que es topológicamente similar a una rosquilla por tener un agujero, y que además cada par de caras se encuentran en una arista. Podemos saber por tanto que todas las caras son hexagonales, pues cada una de las siete debe tener una arista común con las seis restantes. Sabemos también que de cada vértice salen exactamente tres aristas... y sin embargo nada sabemos del aspecto real del mismo... hasta que lo descubre Szilassi y nos lo muestra con exactamente las propiedades que habíamos predicho. El hecho de hacer el post muchos años después del descubrimiento no empaña para nada la belleza del asunto, creo yo...

Pues bien, siendo todo esto extraordinario, puedo asegurarles que hay cosas más extrañas todavía: hay ciertas propiedades que deben cumplir indefectiblemente ciertos objetos matemáticos ¡en el caso de existir!

Nadie sabe si existen o si no existen, pero se sabe que si existieran, deberían cumplir una serie (cada vez más larga) de propiedades. Filosóficamente, uno se podría preguntar de qué leches estamos hablando cuando nos referimos a propiedades de objetos, tal vez inexistentes, verdad?

Estos "objetos" no son geométricos: son números. Concretamente son números perfectos (aquellos cuya suma de divisores propios es igual al propio número, se acuerdan?). Y más concretamente, son números perfectos impares.

Nadie sabe si existen, nadie conoce ninguno. Nadie sabe una razón por la que no deban existir, ni por la que sí deban existir. Sin embargo, se sabe que si existieran, debieran cumplir al menos estas propiedades:

1.- No pueden ser divisibles por 105
2.- Deben tener al menos 8 factores primos diferentes.
3.- Deben ser, incluso el más pequeño, mayor que 10 300
4.- Su segundo factor primo más pequeño debe ser mayor de 1000
5.- La suma de los inversos de todos ellos, debe ser finita.

La lista de proiedades "descubiertas" para los perfectos impares va creciendo continuamente, y ese crecimiento es el que, precisamente podrá demostrar al final la inexistencia de los mismos. ¿Cómo? Pues muy sencillo. Si algún día se demuestra una propiedad que sea incompatible con alguna de las ya demostradas anteriormente, se habrá demostrado la inexistencia de los números perfectos impares.

Para terminar, permitanme una infantilidad: yo no quiero que eso ocurra . Me parece mucho más interesante que existan que que no existan. Desgraciadamente, si un día decíamos que una de las propiedades del universo es el nulo caso que hace de nuestros deseos, creo que con la matemática pasa igual...lo cual da pie a pensar de un modo platónico en la existencia matemática, y nos llevaría a la eterna pregunta de su los objetos matemáticos se inventan o se descubren, pero eso es harina de otro costal.
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Como suele suceder con las demostraciones de los enunciados aparentemente inocentes de la Teoría de números, la complicación y dificultad se hace inusitadamente grande cuando aumenta la fuerza de la afirmación. Para ejemplificarlo, baste ver la demostración de dos afirmaciones más suaves que las que se listan aquí. A saber: todo perfecto impar tiene al menos TRES factores primos diferentes; aquí, y todo perfecto impar tiene al menos CUATRO factores primos diferentes ; aquí.

Los Bernoulli y la serie armónica (2)

Ya hemos visto que Leibniz demostró que la serie de los inversos de los números triangulares convergía a 2:

1+1/3+1/6+1/10+1/15+...=2

La idea de Johann Bernoulli fue la siguiente; empezó llamando A a la serie armónica sin su primer término:

A=1/2+1/3+1/4+1/5+...

Seguidamente transformó las fracciones de forma que los numeradores fueran sucesivamente 1,2,3,... todos los números naturales:

A=1/2+2/6+3/12+4/20+5/30+...

Podemos comprobar que estos denominadores son el doble de los correspondientes a la serie de Leibniz de números triangulares. Bernoulli denominó C a dicha serie entre dos:

C=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+...=1

Y fue creando nuevas series a base de eliminar el primer término de cada serie anterior:

D=1/6+1/12+1/20+1/30+...=C-1/2 =1-1/2=1/2
E=......1/12+1/20+1/30+...=D-1/6 =1/2-1/6=1/3
F=..............1/20+1/30+...=E-1/12 =1/3-1/12=1/4
G=.....................1/30+...=F-1/20 =1/4-1/20=1/5

Por la propia construcción de estas series, se ve claro que la suma de todas ellas C+D+E+... es precisamente A ( sumaríamos 1 vez 1/2, dos veces 1/6, tres veces 1/12, etc,etc.

Por lo tanto:

C+D+E+F+G+...=A

Y dado que tenemos que C=1, D=1/2, E=1/3, ... también tenemos que:

C+D+E+F+G+...=1+1/2+1/3+1/4+1/5+...=1+[1/2+1/3+1/4+1/5+...]=1+A

Concluimos la suma C+D+E+F+G+... es tanto A COMO 1+A, de donde

A=A+1

qué significa esto?

El razonamiento de Bernoulli fue el siguiente: A=A+1 significa que aumentar en una unidad el valor de A no influye en el valor de A, cosa que sólo es posible si A es infinito. En efecto, dividiendo la igualdad entre A, tenemos que 1=1+1/A , lo que implica que 1/A=0, cosa que sólo ocurre cuando A es infinito.

Porqué esto no se considera riguroso hoy en día?

Bernoulli trata la serie de forma completa, asignándole un valor A cuando a priori no sabemos si se trata de un valor finito. A partir de este momento, maneja dicha A como si de un número habitual se tratara, manejando un infinito actual de forma, digamos holística (qué poco me gusta esta palabra, tan apreciada por mil charlatanes!!!).

La estrategia moderna es finitista, y la veremos en el próximo post.

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A pesar de que su hermano Jakob escribiera en uno de sus libros al explicar esta demostración: "Id primus deprehendit frater" (Mi hermano fue el primero en describir esto), lo cierto es que dos demostraciones de la divergencia de esta serie se habían logrado antes: las debidas a Nicolás Oresme (1323-1382) y a Pietro Mengoli (1625-1686).

Los hermanos Bernoulli, ebrios de gozo por la demostración conseguida, intentaron conocer los misterios de otra serie: la suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos: 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...

Sin embargo, el genio de ambos hermanos juntos era insuficiente para desentrañar el misterio. La serie era convergente,pero...hacia qué número real convergía? Fué necesario el cerebro del maestro de todos los matemáticos para desentrañar el misterio, en un alarde de magia euleriana casi sin parangón en la historia de la matemática. Pero no adelantemos acontecimientos.

Euler. El maestro de todos los matemáticos

Euler. El maestro de todos los matemáticos

Este libro es una gozada. Está prologado por Antonio Perez Sanz , quien escribe:

Leonhard Euler es, por la calidad y la cantidad de su obra, uno de los cuatro matemáticos más brillantes de la historia. Los otros tres son: Arquímedes, Newton y Gauss; y que cada cual elija su orden.

A propósito de este libro, el gran Martin Gardner dice:



El matemático William Dunham ha escrito un libro magnífico sobre la vida y los logros asombrosos de uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. A diferencia de otros libros anteriores sobre Euler, el profesor Dunham explica con toda claridad como Euler demostró con genialidad sus resultados más importantes y cómo matemáticos posteriores se han aupado sobre sus hombros.

Un libro como éste era necesario desde hace tiempo. No habrá que hacerlo de nuevo en bastantes años"


Es un verdadero placer recorrer las páginas de este libro y revivir los esfuerzos de los matemáticos del momento para dilucidar los enigmas que el gran Euler; casi sin esfuerzo aparente, resolvió para la posteridad. El que esto escribe está convencido de que no debiera existir la posibilidad de estudiar una licenciatura en matemáticas sin cursar una asignatura que se llamara Historia de la matemática . Tan sólo desde la perspectiva histórica se comprender una parte muy importante del quehacer matemático y de las pulsiones que lo generaron. En este sentido, este libro refleja el maremagnum matemático de la época comprendida entre los años 1707 y 1783, de nacimiento y muerte del maestro de todos los matemáticos. Fué el matemático más prolífico de la historia, y su genio no estaba empañado, como en el caso de Newton con un carácter personal agrio y desagradable, sino al revés: fué un personaje sencillo, agradable y tranquilo. Pero era el más grande.

No en vano, Laplace advertía severamente:

“Read Euler, read Euler, He is the master of us all.”

FICHA:
William Dunham
Prólogo y comentarios de Antonio Pérez Sanz
Ed. Nivola.
ISBN: 84-930719-6-X
Encuadernación: Rústica, con solapas.
288 páginas
1ª edición: mayo 2000
Precio: 21,90 €. (4% IVA incluido)
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Mañana seguiremos con Bernoulli y la serie armónica, como prometimos..."

Los Bernoulli y la serie armónica (1)

Los Bernoulli y la serie armónica (1)

La semana pasada, hablando de Leibniz y de la serie de los inversos de los números triangulares, prometimos ver de qué manera Johann Bernoulli (el de la ilustración)había demostrado que la serie armónica era divergente (sumaba infinito).

Los hermanos Bernoulli son un tandem fraternal como los Wright, un dúo de grandes sin duda, pero que muchas veces se parecían más a los hermanos Marx que a dos colaboradores. Los celos entre ellos eran enormes, y provocó algunos sinsabores a la relación entre ellos.

Uno de los episodios más cómicos se refiere a la catenaria: curva que adopta una cuerda suspendida entre dos extremos. Galileo conjeturó (falsamente) que tal curva era una parábola, pero nunca pudo demostrarlo. Jakob, el mayor de los dos hermanos, pensó que los nuevos métodos del cálculus debidos a Leibniz y a Newton darían con la solución del enigma. Se dedicó con enorme ahínco al asunto, pero una y otra vez se estrellaba sin conseguirlo. Tras un año de esfuerzos sin resultado, se vió desagradablemente sorprendido con la noticia de que su hermano Johann, sin consultar con él, acababa de publicar la solución del asunto. El cabrón del hermano pequeño, dejaba escrito, para mayor gloria de sí mismo y escarnio de su hermano:

Los esfuerzos de mi hermano no tuvieron éxito; por mi parte tuve más suerte, ya que encontré la manera (lo digo sin vanagloriarme, ¿porqué tendría que ocultar la verdad?) de resolver el problema completamente... Es verdad que me costó una noche entera de esfuerzo que hube de robar al descanso...pero a la mañana siguiente, lleno de alegría, corrí a mi hermano que aún estaba luchando miserablemente con este nudo gordiano sin llegar a ninguna parte, siempre pensando, como Galileo, que la catenaria era una parábola. ¡Detente!, !detente!, le dije, no te atormentes más intentando demostrar la identidad de la catenaria y de la parábola, pues esto es totalmente falso

Hay que ser un cabronazo para resaltar que uno ha debido pasar toda una noche para conseguirlo, cuando tu propio hermano lleva un año intentándolo en vano...

Pues bien, este Johann es el que demostró que la suma de los inversos de los naturales (serie armónica) era divergente, y para ello se basó en los trabajos precedentes de su adorado Leibniz al respecto de los números triangulares.

Si les parece, explicamos en el próximo post qué relación encontró entre los números triangulares y la serie armónica. Explicaremos también porqué hoy tal manipulación no es considerada rigurosa, y dejaremos para un tercer post la demostración actual, simple y bellísima de la divergencia de la serie armónica.

Como muchas veces en matemáticas, la culpa la tiene el infinito.

Pero no adelantemos acontecimientos, que es mejor ir pasito a pasito.
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Al final, resultó como veis que el mismísmo Galileo se equivocó, y su conjetura era falsa: la catenaria no es una parábola, sino una curva que se parece mucho a una parábola: un coseno hiperbólico. La demostración de Johann Bernoulli la teneis
aquí

Joan Oró, in memoriam

Joan Oró, in memoriam

El profesor Joan Oró ha fallecido. Hoy es un día triste para la ciencia en general, y para la española en particular.

Se me ocurren dos cosas para el momento; una de ellas es repetir unas palabras suyas, que recogen parte esencial de su pensamiento, Dado que se entiende perfectamente, las respeto en catalán, que es como las dijo él:


"Venim de pols d'estels i en pols d'estels ens convertirem. Hem de ser humils, ja que la vida ve de molècules molt senzilles.
Hem de ser solidaris, ja que tenim un origen comú. Hem de ser cooperatius, ja que des de la Lluna es veu la Terra com un granet perdut en la immensitat de l'espai, on no es distingeixen les fronteres entre els pobles i no es veu, tampoc, el color de la pell".


Me vais a permitir repetir el post que hace unos meses escribía respecto a la única vez que tuve la oportunidad de verlo en persona.


Sucedió en Castelldefels hace unos tres años. Asistíamos a una serie de charlas alrededor de una pregunta central: ¿Queda mucho por saber? Estábamos cambiando de milenio, y era un buen momento para hacerse esa pregunta. El último día, hubo un coloquio en el que alguien preguntó al doctor Joan Oró si podía resumir de alguna manera breve qué es lo más importante que había aprendido en toda una vida dedicada al estudio de los enigmas del universo.

El doctor Oró habló de su experiencia personal en el asunto, y explicó (más o menos, no recuerdo los términos que empleó) que una frase muy conocida condensaba bastante bien lo más importante. La frase era:
No hagas a los demás lo que no quieras que te hagan a ti.
¿Han sentido alguna vez una sensación de reverencia por alguien?
Yo muy pocas. Una de ellas sucedió en Castelldefels hace unos tres años.

Reflexiones

Dos aparentemente paradójicas reflexiones para el fin de semana. Ninguna de ellas es original. Ambas han sido leídas en la red. La segunda la he leído en la estupendísima bitácora de JuanPablo, la otra no sé dónde.

PRIMERA:

Hay 3 clases de personas: los que saben contar y los que no.

SEGUNDA:

Hay 10 clases de personas: los que conocen el cógido binario y los que no.

Que paseis todos un estupendo fin de semana.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ha pasado a la historia como filósofo y como matemático. Como matemático, su nombre está unido al del gran Newton, como coautor del cálculo infinitesimal; una de esas teorías que nacen feas y se van embelleciendo extraordinariamente con el tiempo.

Leibniz nació en el seno de una familia muy bien equipada intelectualmente: su padre era profesor de filosofía, y en la casa existía una biblioteca muy bien nutrida de la que el joven Gottfried hizo buen uso durante su infancia. Se dice que aprendió latín y griego de niño por sí mismo. A los 15 años estaba preparado para ingresar en la universidad de Leipzig y con 20, había terminado su tesis doctoral.

En 1.672 nuestro héroe fue enviado a París a desarrollar sus tareas como diplomático de alto rango. En aquel momento la ciudad luz era un hervidero de ciencia: Leewenhoeck, Boyle y Hooke son una muestra de lo que allá se ofrecía a los ojos de Leibniz, ávidos de conocimiento.

No obstante, su formación matemática era muy escasa, y consciente de que tal cuestión le limitaba mucho a la hora de aprender ciencia, decidió seguir un “curso de choque” para embeberse de las tendencias contemporáneas de la matemática, armado de sus conocimientos de matemática clásica (geometría euclidea principalmente) , su extraordinaria inteligencia y su energía.

Por aquel entonces, estaba en París Christian Huygens (1629-1695). Aunque hoy lo conocemos por sus contribuciones a la física (teoría ondulatoria especialmente), en su momento era un compendio de la matemática más actual con patas. Había realizado extensos estudios sobre diversas curvas matemáticas (la cicliode en especial), y su renombre y aureola de sabiduría eran enormes. Nadie mejor que él para tutelar al joven Leibniz. Nadie mejor que Leibniz para aprovechar el privilegio de tal tutor.

El bueno de Huygens planteó a Leibniz muchos problemas de series: sumas infinitas de números. La teoría de series estaba en mantillas, y a veces sólo con gran ingenio se conseguía encontrar el sumatorio de una serie concreta. Para probarlo, le instó a encontrar la suma de los inversos de los números triangulares. Estos números son los que se obtienen de las disposiciones triangulares de la figura: 1,3,6,10,15,21,...



Vamos a ver cómo, con un ingenio y una magia impresionantes, Leibniz solucionó dicho problema sin hacer uso de ningun concepto especial de la teoría de series; pura magia matemática.

S= 1+1/3+1/6+1/10+1/15+1/21+...

Leibniz empezó por dividir la serie por 2. obteniendo:

(1/2)S=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...

Como la cosa estaba aún peor que al principio, decidió (seguramente por probar) expresar cada término como una resta de fracciones, y de repente, encontró una pauta:

1/2= 1-1/2
1/6=1/2-1/3
1/12=1/3-1/4
1/20=1/4-1/5 etc.

De forma que le quedó algo como esto:

(1/2)S=(1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + (1/4-1/5) + (1/5-1/6) + ...

quitando los paréntesis, tenemos :

(1/2)S=1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6+ ...

donde absolutamente todo se cancela menos el primer 1, quedando:

(1/2)S=1, luego S=2, sin más historias.

Casi ná.

A puro huevo, obtuvo el resultado correcto ganándose el respeto de su tutor, y nuestra admiración. Mucho Leibniz.

PD. La forma en la que estos matemáticos manipulaban las series, vistas desde la perspectiva actual, dejan mucho que desear. Si os parece, veremos en otro post cómo uno de los Bernoulli (Johann) demostró la divergencia de la serie armónica, de una forma que hoy no aceptaríamos como rigurosa. Veremos cómo lo haríamos nosotros ahora y comentaremos las diferencias, sutiles y bellas como el tema que nos ocupa. En el fondo de la cuestión está ni más ni menos el tratamiento que debemos darle al infinito. Les espero.