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Tio Petros

PRIMER ANIVERSARIO

Hoy hace exactamente un año escribía el primer post de esta bitácora.

Ha pasado un año, he escrito ciento cincuenta y seis posts, que son otros tantos paseos presuntamente agradables por los aspectos menos tópicos de la matemática. Tuvimos ayer más de 400 visitas...TioPetros va bien, que diría el otro.

Seguiremos si ustedes quieren al menos otro año más con las mismas intenciones: la búsqueda de la belleza, el paseo hedonista, el racionalismo y el pensamiento crítico.


Sólo un par de cosas más:

Primera:

los comentarios son la sal del blog. Cada vez que un lector escribe un comentario, el blog se enriquece y da pie a otros lectores a contestar, así como (ha sucedido varias veces) me da ideas para nuevos posts en los que no había pensado.Anímense.

Segunda:

¿Qué tipo de posts les ha gustado más en este tiempo?
¿Ideas para el futuro?
¿Les gustaría algún cambio?

En otro orden de cosas, tengo cuatro invitaciones para abrir sendas cuentas gmail. Si algún lector quiere, que me lo indique (necesariamente poniendo su email en el comentario).

Gracias a mis lectores. Que tengan todos un buen día.

Contra la pseudociencia: teorema de Tales

Contra la pseudociencia: teorema de Tales

Si dos o más paralelas son cortadas por dos transversales, aquellas determinan en éstas segmentos proporcionales THALES DE MILETO. (y Les Luthiers)

Hace algún tiempo, cuando hablábamos de topología, decíamos que ciertas propiedades de un objeto geométrico variaban cuando lo torturábamos de determinada manera, y ciertas otras no.

Las formas de tortura a las que puede ser sometido un objeto geométrico son muy variadas. Imaginémonos un triángulo que reposa sobre el plano cartesiano. La forma más leve de molestia que le podemos ocasionar es desplazarlo de un lugar a otro. Algo más molesto para el triángulo será rotarlo. Ambos movimientos son rígidos en el sentido de que mantienen las distancias relativas de los puntos del triángulo, y por lo tanto sus medidas ordinarias. A este tipo de transformaciones se le denomina precisamente movimientos .

Si consideramos la propiedad de triángulo original "tener un área determinada" , o "tener los tres lados de una determinada longitud " , la molestia que hemos ocasionado al triángulo por medio del movimiento no es una molestia lo suficientemente fuerte como para variarlas. Sin embargo si consideramos la propiedad " tener su baricentro en un determinado lugar , evidentemente sí será variada.

Parece intuituvo pensar que aquellas propiedades que resultan invariantes ante una detreminada actuación sobre la figura son propiedades más profundas de la misma, más interesantes, más intrínsecas y menos circunstanciales. En efecto, la propiedad " tener su baricentro en un determinado lugar no parece ser muy importante...

El tipo extremo de tortura a que puede ser sometido un cuerpo geométrico ( y humano, por supuesto) es la pulverización, rasgado, rompimiento y descuartizamiento completo. La geometría (1) no considera tal actuación como civilizada y no se interesa por su aplicación, ya que no hay propiedad tan profunda que permanezca invariante ante tamaña atrocidad. Las máximas torturas "políticamente correctas" en geometría son los homeomorfismos topológicos, que admiten ampliaciones, reducciones, estiramientos, encogimientos y crueldades similares... todo menos romper, rasgar y/o pegar partes. Sólo las propiedades más profundas de la figura permanecerán invariantes ante estas transformaciones, y serán llamadas propiedades topológicas de la figura.

A medio camino están las transformaciones que admiten movimientos, rotaciones y ampliaciones o reducciones ( cambios de escala). Las propiedades que permanezcan invariables serán denominadas " invariantes por cambio de escala"

En una ocasión tuve que explicar trigonometría plana a una persona en media hora (antes de un exámen), cuyos conocimientos eran prácticamente nulos. Opté por hablarle del Teorema de Tales , y decirle que existían ciertas propiedades de un ángulo en un triángulo rectángulo que no cambiaban con la escala: éstas eran cocientes de dos longitudes,en virtud de dicho teorema. Como no importaba a qué distancia del vértice considerábamos los lados cuyas longitudes medíamos, llegábamos a la conclusión de que dichos cocientes eran simplemente propiedades de dichos ángulos. Dado que había tres lados posibles, teníamos seis maneras de hacer las divisiones. Simplemente les poníamos nombre: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Las relaciones entre ellos eran una trivialidad que además no hacía falta alguna aprender; salían solas aplicando el teorema de Pitágoras.

Hay veces que uno vé iluminarse una cara con el entendimiento repentino: esa fue una de las veces. Aquella persona había comprendido perfectamente la invarianza por cambio de escala, y de paso la trigonometría había dejado de ser símplemente una palabra griega de seis sílabas para convertirse en algo muy, muy sencillo.

Algo así hubiera necesitado el protagonista de la siguiente historia, rigurosamente cierta, en la que participé hace bastantes años.


La charla había discurrido por los cauces esperables, dado el cartel anunciador: ANTROPOLOGIA GNOSTICA. EL MISTERIO DE LAS PIRÁMIDES. En un segundo piso, una salita con unas treinta personas escuchaban a un orador explicar mil y una idioteces sobre las medidas de la pirámide de Keops. Que si dividiendo tal arista por tal otra sale x veces el diámetro terrestre, que si patatín y que si patatán. Imposibilidades dimensionales aparte (nunca se puede comparar un cociente de dos longitudes con una longitud), el muchacho cabrón con ganas de guerra esperaba agazapado en su silla urdiendo el ataque. Algunas de las medida de la pirámide que el orador equiparaba con distancias y valores del mundo real que los egipcios ( se supone) no podían conocer eran medidas lineales (en metros), y otras eran cocientes de medidas, y adimensionales por tanto. Las primeras no era invariantes por cambio de escala y las segundas sí, por razones expuestas más arriba.El muchacho cabrón levanta la mano en el turno de preguntas:


- He oído, dice, que la Gran Pirámide está en parte cubierta por arena del desierto, de forma que puede ser mucho más grande de lo que creemos, a pesar de que ya nos parece inmensa; es esto cierto?

- Por supuesto que sí es cierto, explica con fervor el orador. Puede ser aún mucho mayor de lo que creemos.

Ya ha mordido el anzuelo, el pobre imbécil, piensa el muchacho cabrón.
- Y si es así, cómo podemos decir que la distancia tierra-sol es EXACTAMENTE nosecuántas veces la altura de la pirámide, si no sabemos cuanto mide dicha altura?


Ya está. Comienzan murmullos al fondo de la sala. El orador carraspea y el público se ríe tímidamente al principio, y más abiertamente después. EL muchacho piensa para sí: ¿Porqué disfruto yo tantísimo con estas cosas?

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(1) Consideramos en este post geometría en el sentido de Felix Klein: el estudio de las propiedades que permanecen invariantes ante determinadas transformaciones. Desde este punto de vista, una transformación que no deja invariante propiedad alguna no tiene interés geométrico.

El efecto Mateo

El efecto Mateo

Existe un principio fundamental en ciencia, que es el principio de no autoridad. Afirma dicho principio que la importancia y relevancia de una determinada afirmación, teoría o trabajo científico es independiente de la importancia, relevancia o estatus de su autor.

Esto no es más que un principio higiénico, pero de importancia capital. Su funcionamiento es similar al de la Declaración Universal de los Derechos Humanos: no por el hecho de que una y otra vez sean violados y aplastados deja de ser imprescindible su formulación.

Es sintomático que, precisamente quienes menos aprecio sienten por la ciencia y sus métodos, esgriman a menudo opiniones, frases sueltas y citas de prestigiosos científicos de fama universal para avalar de alguna manera sus tesis. Sin embargo, teniendo claro el principio de no autoridad, debiéramos tener bien presente que Newton opinando sobre horóscopos no vale más que la bruja Lola, que Einstein cuando hablaba de la parapsicología o de extraterrestres no vale más que Rappel o que nuestro mentiroso local JJ Benitez.

Todo esto viene a cuento de una frase einteniana que me he encontrado en una página de parapsicología cuyo enlace no pondré, que dice:

No tenemos derecho, desde un punto de vista físico, a negar a priori la posibilidad de la existencia de la telepatía. (Einstein en una carta al Dr. Jan Ehrenwald, el 8.7.1946).


Las veleidades del genio no empañan para nada la extraordinaria grandeza de su producción científica precisamente por eso: nada tienen que ver con ella. Son temas independientes, y Einstein hablando de Ovnis o de telepatía no vale más, ni menos que nadie.

Esta frase, me da pie para hablar de otra cosa de la que no se suele hablar demasiado en ciencia: el llamado Efecto Mateo , denominación sociológica de un fenómeno de extraordinaria importancia en el quehacer científico que perviente la idílica situación esbozada por el principio de No Autoridad, y que explica porqué esta opinión personal del bueno de Albert parece tener un peso que en realidad no tiene.

Lo llaman así por referencia al texto del Evangelio según S. Mateo en el que, se habla de la distribución de los talentos por el amo. A la vista de la rentabilidad que le dieron los administradores del caudal recibido, dio más a los que habían recibido más y a otros, a los que dio menos, hasta eso les quitó y los expulsó fuera por no haberlo sabido hacerlo productivo. Y se justificó diciendo: "al que más tiene, más se le dará; y al que menos tenga, aun lo poco que tiene se le quitará".
En pocas palabras, el efecto Mateo consiste en que los investigadores científicos eminentes cosechan más aplausos que otros investigadores menos conocidos, por contribuciones equivalentes. Asimismo, quienes han publicado anteriormente sus investigaciones, consiguen con mayor facilidad que revistas científicas de primer orden publiquen sus trabajos.

Existen muchas opiniones del asunto, desde los que opinan que este efecto no es sino el reconocimiento a una labor previa, hasta los que opinan que dificulta enormemente el quehacer científico pervirtiendo sus bases. En todo caso, demuestra que la ciencia no es sino tarea de Hombres, (la mayúscula es para englobar a ambos sexos sin caer en horrores del tipo científicos y científicas , tan caro al lehendakari), con las grandezas y las miserias de los Hombres.

La joven de la perla

La joven de la perla

No es el propósito de este blog hablar de cine. Tio Petros es un blog bastante monotemático, siendo los paseos matemáticos su principal función, y arrimar el hombro hacia la causa racionalista y escéptica su segunda vocación. Sin embargo, muchas veces hemos dicho que la búsqueda de la belleza es una de las constantes del quehacer matemático. Y no toda la belleza es de contenido matemático (¡Faltaría más!).

Hace dos días, nos enfrentábamos Vailima y yo a una tontorrona tarde de Agosto sin otro cometido que contemplar atónitos la podredumbre que ha terminado por invadir todos los espacios televisivos vespertinos (salvo en lo concerniente al deporte olímpico). Cuando uno está ya a punto de renegar de la especie humana, sublime productora de bazofia y tontería, decidimos ir al videoclub y escoger una película.

Me reconcilio con la especie humana. Además de mierda, somos capaces de hacer maravillas. ¿Se puede contar una historia realmente intrascendente a lo largo de hora y media de forma que el espectador permanezca atónito ante la pantalla, gozando de la extraordinaria belleza de cada fotograma? Sí, se puede. Esta película es una muestra de ello.

A partir de este cuadro de Johannes Vermeer, pintor holandés del siglo XVII:



Peter Webber nos cuenta la historia de las circunstancias personales que se dieron en su creación.

Una belleza absoluta.

FICHA:

Director: Peter Webber / Productores: Andy Paterson y Anand Tucker / Guión: Olivia Hetreed, basado en la novela homónima de Tracy Chevalier / Fotografía: Eduardo Serra / Música: Alexandre Desplat / Montaje: Kate Evans / Diseño de producción: Ben van Os / Intérpretes: Colin Firth (Johannes Vermeer), Scarlett Johansson (Griet), Tom Wilkinson (Van Ruijven), Judy Parfitt (Maria Thins), Cillian Murphy (Pieter), Essie Davis (Catharina), Joanna Scanlan (Tanneke), Alakina Mann (Cornelia), David Morrissey (Van Leeuwenhoek), Anna Popplewell (Maertge)... / Nacionalidad y año: RU / Luxemburgo 2003 / Duración y datos técnicos: 95 min. Color 1:1.85.

Tamaños aparentes e ilusiones (2)

Tamaños aparentes e ilusiones (2)

Todos sabemos que cuanto más lejos está un objeto, más pequeño lo vemos. Hablamos en todo caso de observación directa, sin instrumentos de aumento. Nos vendrá bien comprender el motivo y cuantificar un poco el asunto. En la figura aparece un objeto, como un rombo alargado, visto desde un punto a una distancia l, siendo d la diagonal mayor del rombo. Lo importante desde nuestro punto de observación es el ángulo alfa que ocupa el objeto. Cuando hablemos del tamaño aparente del rombo, nos referiremos a dicho ángulo. Con un poco de trigonometría, vemos que

tg (a/2)=d/(2·l)

y por lo tanto, a= 2 arc tg (d/(2·l))

Vemos por lo tanto que el tamaño aparente de un objeto depende exclusivamente de la relación (cociente) entre su diámetro real y la distancia que nos separa del mismo. Teneis la gráfica en la ilustración. Conviene recalcar que el eje horizontal no expresa distancias sino cociente de distancias, o si lo quereis: la distancia a la que estamos del objeto observado, tomando el diámetro del mismo como unidad de medida.

Es una función sin sorpresa alguna: decreciente y asintótica a cero, como debía ser. A distancia nula del objeto observado, su visión nos abarca 180 grados, lo que quiere decir que lo tenemos tan cerca que llena todo nuestro campo visual. Es lo que pasa con la tierra, que nos tapa exactamente la mitad del cielo si estamos en una zona completamente llana a ras de suelo.

El sol y la luna están aproximadamente a la misma distancia de nosotros si tomamos como escalas sus respectivos diámetros, de ahí que apreciemos aproximadamente el mismo tamaño en ambos. En ausencia de referencias añadidas, no tenemos evidencia directa de cuál de los dos está más cerca. Parecen dos astros de tamaño similar.

Sin embargo, resulta que el cerebro no se vale únicamente de los tamaños aparentes para estimar tamaños reales, sino que efectúa todo tipo de comparaciones. Pongamos un ejemplo: tengo en una calle a cierta distancia un niño con un globo, y tras él, bastante más lejos, otro niño con otro globo idéntico. Podemos hinchar el segundo globo hasta que desde mi punto de observación tenga el mismo tamaño aparente que el primero, pero en ese caso, no tendré ningún problema para saber que el globo más alejado es más grande: sé que está más lejos porque tengo mil referencias: ambos niños, la propia calle...) y lo aprecio moyor aunque tenga el mismo tamaño aparente que el cercano.

Eso es exactamente lo que pasa con el sol y la luna sobre el horizonte. Nuestro cerebro, por lo visto, imagina la bóveda celeste no como una semiesfera, sino como una cúpula elíptica, de forma que los puntos más alejados están en el horizonte, y el punto más cercano es el cenit. Aunque los tamaños aparentes son los mismos, una luna sobre el horizonte nos parece mayor porque la situamos más lejos que cuando está más alta.

Así de sencillo, sin necesidad de apelar a aberraciones atmosféricas, ni a cosas raras.

Y lo de las montañas que parecen alzarse sobre nosotros cuando nos alejamos en coche?

Si observan la gráfica de la curva de la ilustración, verán que la pendiente de la curva (su derivada, o ritmo de variación) va decreciendo paulatinamente (no podía ser de otra forma, si es asintótica a cero, continua y siempre positiva). Esto quiere decir que las variaciones de tamaño aparente según nos vamos acercando o alejando de los objetos que vemos serán mucho más acusadas para objetos que estén a distancias pequeñas de nosotros en (comparación con sus diámetros, no lo olvidemos !!!). Si nos alejamos de una montaña en coche, nos estamos alejando a una velocidad muy pequeña medida en (altura de montaña)/hora. Sin embargo, todo lo cercano que hace de marco a la montaña (los árboles que vamos dejando atrás, la propia carretera) sufre un efecto muy diferente: nuestra velocidad de separación medida en (altura de árbol)/hora es ahora muy grande a pesar de que nuestra velocidad real es la misma, y por lo tanto todo disminuye de tamaño a ritmo rápido menos la montaña, que lo hace muy lentamente. El efecto conjugado es que la montaña crece respecto al marco de referencia.

Tamaños aparentes e ilusiones

Hace cosa de un mes, me desperté en el momento en que el sol estaba saliendo por mi horizonte. Como no es cosa habitual (que me levante en ese momento, no que el sol salga), le hice una foto con mi cámara digital y me olvidé del asunto. Pasados los días, al ver las fotos me acordé de una desilusión que ya se me había producido en otras ocasiones: el sol (o la luna) sobre el horizonte en las fotos parece ser mucho menor que en nuestro recuerdo. Si no hay efecto de zoom o ampliación posterior, las fotos de puestas o salidas de astros son decepcionantes.

Aunque recordamos la puesta de sol que hemos fotografiado más o menos así:



lo que obtenemos en la foto es algo como esto:



con un tamaño aparente del astro mucho menor que lo que recordábamos.

Dado que nosotros percibimos que cerca del horizonte el sol o la luna parecen más grandes, y dado que la cámara fotográfica no registra dicho aumento aparente de tamaño, la explicación de lo que percibimos deberá ser algo más elaborada que un efecto de aumento por parte de la atmósfera, por ejemplo: si así fuera, la cámara registraría el aumento aparente.

En el próximo post explicaremos los motivos de tal efecto, que tienen que ver con los tamaños aparentes de las cosas por un lado, y con nuestra forma de procesar la información en el cerebro por otra. Además, al explicarlo, podremos comprender las bases trigonométricas de otra ilusión muy corriente: si van ustedes atravesando un paisaje montañoso en coche, dejando las montañas atrás, y se dan la vuelta (NO LO INTENTE SI ES USTED EL CONDUCTOR!!!) para ver por la ventana trasera las montañas de las que se aleja el vehículo, se tiene la poderosa sensación de que las montañas están aumentando de tamaño; alzándose sobre nosotros incluso. En determinadas circunstancias ( si la velocidad del vehículo es grande) el efecto es muy llamativo. La culpa la tiene en gran parte una función arco tangente.

Pero lo veremos en el próximo post, si les apetece...

Soft Science-Fiction

Normalmente, si a una persona le gusta la ciencia, le suele gustar la ciencia-ficción. No me pregunten porqué. Muchas veces es una cuestión de masoquismo. Casi siempre, cuando veo una película de SF, agarro cabreos monumentales, pero una y otra vez reincido en lo mismo, para desesperación de mi esposa.

Hace muchos años se denomino Ciencia ficción dura (hard) a aquella que violaba lo menos posible los conocimientos científicos del momento. Lo mínimo imprescindible para que pudiera haber historia. No se trataba de hacer un tratado de ciencia, pero al menos se trataba de que la cosa no chirriara demasiado.

Pues bien. A nivel cinematográfico, es muy difícil encontrar ciencia ficción Hard; al menos entre las películas de amplia distribución. Los errores normalmente suelen ser relatívos a la física- Aún recuerdo un bodrio que se titulaba El núcleo , realmente insoportable por las idioteces y sinsentidos constantes a lo largo de toda la historia...

Hoy hemos visto Alien Hunter . Buena para pasar la tarde.



Les transcribo más o menos una parte del diálogo, tal y como la recuerdo.

Hablan una bióloga y otro investigador. Están en la antártida, en una base científica. Acaban de tener contacto con una entidad extraterrestre y están haciéndose unos análisis de sangre para evaluar la probabilidad de contagio de un determinado virus alienígena.

- Doctora, ¿cómo evalúa la probabilidad de contagio?
- Según mis cálculos la probabilidad de que no estemos contagiados es de noventa y nueve como nueve nueve nueve, hasta el infinito.
- Entonces, no es del cien por cien!
- Efectivamente, no lo es.

Glubs!

Esto me recuerda a una vez que traté (sin éxito) de hacer comprender a alguien que no quería comprenderlo que cero coma nueve periódico era EXACTAMENTE IGUAL a uno.

Ven ustedes diferencias, significativas o no; entre 0'99999 periódico y 1?

Fórmulas elegantes

Fórmulas elegantes

La colección METATEMAS de Tusquets editores nos tiene acostumbrados a espléndidos libros de alta divulgación. En esta ocasión hablamos del que hace número 81 en la serie: una recopilación de doce artículos sobre otras tantas ecuaciones importantes de la ciencia, y la belleza y elegancia que esconden tras de sí.

Entre las ecuaciones elegidas para este libro están las siguientes:

La famosa ecuación de Einstein de conversión materia - energía; la ecuación de Einstein de la relatividad general; la ecuación de onda de Schrödinger; la ecuación de Dirac; las ecuaciones de Shannon; la ecuación de Yang - Mills ; la ecuación de Drake sobre el número de civilizaciones en la galaxia...

En opinión de José Javier Etayo:

Ecuaciones que han de ser bellas, que tienen las mismas notas de universalidad, sencillez, inevitabilidad y carencia de todo elemento inútil propias de una obra de arte. Son, en fin, las que se manifiestan bajo “fórmulas elegantes”, con la elegancia a la que más de una vez se ha referido Julián Marías aludiendo precisamente a procesos matemáticos desarrollados con un mínimo de recursos: “elegancia viene de elegir”. Las únicas teorías físicas aceptables, según Einstein, son las que resultan bellas; lo que corrobora Dirac, para quien la búsqueda de la belleza era una motivación de sus investigaciones: “Las leyes físicas han de ser matemáticamente bellas”. El libro es una colección de ensayos de científicos e historiadores que guarda unidad de estilo y composición en el retrato de “unas ecuaciones que por su concisión, potencia y simplicidad pueden ser contempladas como auténtica poesía del siglo XX”.


En www.casadellibro.com podemos leer:

Graham Farmelo [el recopilador ]ha reunido a un extraordinario equipo de científicos y divulgadores que han puesto todo su entusiasmo y habilidad en la tarea que les encomendó: desmenuzar y analizar, cada uno, una ecuación, explicando no sólo el significado de los términos y el alcance de la realidad que enuncian, sino también las circunstancias en que se concibieron. Así, Fórmulas elegantes consigue enseñar deleitando y abrirnos los ojos a la belleza e importancia de esas breves sucesiones de símbolos que resumen verdades eternas.



El tratamiento de los temas es realmente interesante, pero hay algo que no comprendo: no entiendo que junto a la ecuación de Dirac o de Einstein se ponga la de Drake. Creo, y es tan sólo una opinión personal, que es un despropósito de enorme magnitud considerar siquiera la hiperfamosa ecuación de Drake a la hora de hablar de fórmulas elegantes. Ni muestra simetría alguna, ni contiene idea matemática interesante, ni nada de nada. Simplemente es tautológicamente cierta.

Para recordar un poco el asunto de la famosa fórmula de drake, la teneis aquí:

NET = Ns x fp x Ne x fl x fi x fc x L

NET = Número total de civilizaciones extraterrestres
Ns = Número total de estrellas en nuestra galaxia
fp = fracción de estrellas que tienen planetas
Ne = Número de planetas "similares a la tierra" alrededor de cada estrella con condiciones aceptables para contener vida
fl = fracción aceptable de planetas en donde la vida inició actualmente
fi = fracción de planetas en dónde especies inteligentes evolucionan
fc = fracción de especies inteligentes con capacidad tecnológica y deseos de comunicarse con nosotros
L = Promedio de vida de una civilización extraterrestre relativa a la edad de nuestra galaxia.

Como podeis ver, tiene su mérito a la hora de dividir una ignorancia supina en siete ignorancias algo más pequeñas. Importancia pedagógica en todo caso. Nada que se parezca a ninguna de las grandes fórmulas de la historia de la ciencia, que es lo que el libro promete.

Más imperdonable aún es la ausencia de las cuatro fórmulas maxwellianas del electromagnetismo.

Por cierto:

En una ocasión oí contar a Joan Oró que solía decirle a Drake cuando se lo encontraba por los pasillos de las estamentos científicos en los que coincidían: ¡Buena la armaste con la puñetera formulita, Frank! Tras lo cual, ambos echaban a reir.

A pesar de todo, creo que es un buen libro. Una buena recopilación escrita por expertos, cada uno en su campo, que siempre es interesante leer.

¿Qué cosa es un vector?

¿Qué cosa es un vector?

Hace un tiempo vimos aquí que el concepto de número, a pesar de las apariencias de ser el concepto central en la matemática toda, un concepto derivado de otro aún más primario: el de conjunto.

Siendo así, la definición del nuevo concepto debe retrotraernos al concepto primitivo, y definiremos los números (naturales) en utilizando el concepto previo de conjunto.

Pudiera ser para muchos lectores extraño, pero muchos de los conceptos matemáticos que por su extraordinaria utilidad son ubicuos en otras ciencias poseen definiciones de este estilo, que nos llevan a conceptos aún más primarios que el que estamos tratando.

Algo así pasa con el conocidísimo concepto de vector

Cualquiera diría que un vector es una magnitud que consta de módulo, dirección y sentido . Algunos sin embargo; más teóricos, explicarían que un vector es una entidad tal que para ser expresada necesita de n escalares (números); siendo n cualquier número natural.

Ambas definiciones son muy conocidas y sin embargo parecen ser (sólo parecer ser) totalmente diferentes. Más aún: ninguna de ellas recoge la realidad de lo que es verdaderamente un vector en sentido puramente matemático. De hecho; entidades que no necesiten más de un escalar para ser expresadas pueden ser perfectamente vectores, de la misma manera que objetos que no tengan dirección ni sentido. Más aún: objetos que no puedan ser expresados con ningún número n finito de escalares también puede ser un vector. Una matriz puede ser un vector, al igual que una función real de variable real,o una función compleja o imaginaria; al igual que un giro o una traslación, o cualquier otra cosa.

¿Qué es entonces un vector?

La definición matemática de vector es más infinitamente más primaria.

DEFINICION DE VECTOR
Un vector es todo elemento de un espacio vectorial.


No, no es una broma.

La definición anterior presupone la existencia de espacios vectoriales, los cuales se definen en base a nociones conjuntísticas y algebráicas; sin la menor mención a lo que pudiera ser un vector, de manera que no existe circularidad alguna en las definiciones. Lo interesante de esta reflexión es que los vectores (como tantos otros conceptos matemáticos) surgen simplemente como elementos de ciertas estructuras matemáticas previamente definidas, y no al revés. (Los espacios vectoriales no se definen como conjuntos de vectores).Cualquier propiedad que pudiera tener un vector será deducida de su mera pertenencia a esa estructura perfectamente definida que hemos llamado espacio vectorial.

Por supuesto, cuando uno trabaja con espacios vectoriales o con vectores, todo esto no tiene la menor importancia. Es a nivel profundo, conceptual, gnoseológico, donde el asunto se convierte en trascendental.

Y a nosotros, nos gustan esos niveles, y por eso hablamos de ello...

Cuando no hay proporcionalidad

En muchos de los problemas con los que nos encontramos en la vida cotidiana, la proporcionalidad existente entre varios de los parámetros del problema nos permite emplear la técnica maravillosa de la regla de tres , ya sea directa o inversa.

No descubro nada nuevo si afirmo que la mayor parte de las veces, es un sexto sentido, una intuición la que nos dice si puedo o no emplear una regla de tres para resolver un problema. No será riguroso, pero al fin y al cabo, pocas veces nos confundimos, y ante problemas como el siguiente:

" Si Colón tardó tres meses en llegar a América con tres carabelas, ¿cuánto habría tardado llevando seis carabelas? "

a nadie se le ocurre emplear una regla de tres (espero)...

Demostrar que puedo emplear una regla de tres implica demostrar que existe una dependencia lineal, directa o inversa, entre las dos magnitudes o los dos parámetros que estoy utilizando. Cuando esto es así, la solución del problema es muy sencilla, si bien el interés matemático del problema será muy pobre. Cuando no es así, la resolución será más complicada (a veces mucho más complicada), pero el problema será más interesante.

Aún así, hay veces que sin existir proporcionalidad alguna aplicable la resolución sigue siendo sencilla. El único precio que hay que pagar es el de pensar el problema un momento y tener una chispa de intuición.

Ahí va un ejemplo de ello:

Tenemos dos mechas para explosivos. El fabricante nos asegura que cada una de ellas arde completamente en una hora exacta, pero el avance de la llama sobre la mecha perfectamente puede ser irregular: a veces se consume más rápido, y otras más lento.

Cómo haremos para cronometrar con las mechas un período de 45 minutos de tiempo? Tan sólo tenemos las mechas un encendedor y unas tijeras.

Problema de minimización.

Cinco matemáticos y cinco médicos iban en tren a un Congreso sobre Métodos Estadísticos Aplicados a la Medicina. Los médicos tenían cinco pasajes mientras que los matemáticos tenían sólo uno. Los médicos se reían pensando en la multa que deberían pagar sus tontos compañeros de viaje.

En cierto momento uno de los matemáticos dio la voz de alarma: “¡Viene el cobrador!” Todos los matemáticos corrieron al baño más cercano y se encerraron dentro. El cobrador, viendo que el baño estaba ocupado, golpeó a la puerta y dijo: “¡Pasaje, por favor!”. La puerta se entreabrió y salió una mano con el boleto. El cobrador lo perforó y lo devolvió.

Cuando el cobrador se fue los matemáticos salieron del baño y se fueron a sentar tranquilamente, mientras los médicos los observaban asombrados. En el viaje de vuelta los médicos decidieron hacer la misma cosa y compraron un solo pasaje. Los matemáticos, sin embargo, no compraron ni siquiera uno.

En cierto momento, durante el viaje, uno de los matemáticos exclamó: “¡Viene el cobrador!” Los médicos corrieron a un baño y los matemáticos a otro. Uno de los matemáticos sin embargo, antes de reunirse con sus colegas, golpeó la puerta de los médicos y dijo, imitando la voz del cobrador: “¡Pasaje, por favor!”.

Aculturaciones y relativismos



Acabo de encontrar en la bitácora enre2 la siguiente cita de un antropólogo americano:


"Una tribu que trata de detener una epidemia de fiebre tifoidea por medio de una cacería de brujas en gran escala actúa lógicamente de acuerdo con la creencia impuesta por su cultura, acerca de que las brujas son las responsables de la enfermedad. Cuando nosotros tratamos de lograr el mismo fin por medio de la vacuna, o hirviendo el agua para beber, también actuamos lógicamente basándonos en el conocimiento, producto cultural, de que la enfermedad es causada por ciertas bacterias. La mayoría de los miembros de nuestra sociedad jamás ha visto un germen, pero se le ha enseñado que existen y sin más demostración aceptan su existencia. En efecto, nuestros propios antecesores, y no muy lejanos, habrían encontrado más lógica la cacería de brujas que la vacunación".


Dicha frase pertenece al antropólogo Ralph Linton, en su obra “Cultura y personalidad”

Dicen que no hay mentira peor que una medio verdad, y este es uno de los casos. El tufo relativista o tan caro a los practicantes de la idiocia postmodernista lacaniana nos es bien conocido.

Lacan, Derrida, la nunca suficientemente vilipendiada Luce Irigaray y demás caterva parecen olvidar que existen, como decía Richard Dawkins, Buenas y malas razones para creer .

Los miembros de nuestra sociedad no han visto jamás un germen, pero saben perfectamente que con muy poco esfuerzo pueden ver uno. Aceptan su existencia no por un convenio social, sino porque saben de la existencia de una comunidad médica que trabaja a nivel mundial de forma coordinada. Saben que, si tuvieran tiempo y oportunidad, podrían ver con sus propios ojos tantos gérmenes como quisieran.

Dawkins describe magistralmente bien las tres malas razones para creer: la tradición, la autoridad y la revelación en una carta que dirige a su hija de diez años, y que ha circulado ampliamente por la web. La tenéis, por ejemplo aquí.

Algunos antropólogos parecen olvidar que a pesar de existir malas razones para creer, también existen buenas razones para creer: la evidencia. Parecen olvidar que además de un supuesto valor cultural, una creencia es portadora de un valor de verdad o de mentira objetivo y contrastable.

A un miembro de una tribu le puede parecer evidente que la fiebre tifoidea la producen las brujas, pero esto es una muy mala evidencia, porque se basará en la tradición, en la autoridad del chamán o en la revelación efectuada por el dios de turno (por boca del chamán, evidentemente). La evidencia a la que apelamos se basa en pruebas, resultados y repeticiones. No necesito ni siquiera ver con mis propios ojos al germen para saber que existe, y que produce la enfermedad: otros lo hacen por mi, y sus afirmaciones son constantemente puestas en tela de juicio por la comunidad científica. Yo tampoco he visto nunca un protón, ni un dinosaurio, ni una molécula de ADN. Pero creo en ellos, mientras no creo en los poderes paranormales, ni en la existencia del chupacabras o del monstruo del lago Ness.

Una creencia impuesta por una cultura es creer que a una niña hay que extirparle el clítoris cuando cumple cierta edad, o que los homosexuales deben practicar la abstinencia, o que las mujeres deben estar supeditadas a los hombres, o que deben llegar vírgenes al matrimonio y la prueba de tal virginidad debe ser expuesta en público en forma de mancha de sangre, y estas creencias muestran lo malo de las tradiciones, lo que debe ser extirpado como un cáncer, sin el menor miramiento. Cientos, miles de años de creencia continuada no aportan un ápice de verdad a una aberración. Pero, señor Linton, que yo crea que las enfermedades son producidas por gérmenes no se parece en nada a todo lo anterior, sólo en una mente enferma puede tener algún parecido.

En todo esto hay un asunto de gran calado: nos jode que los indígenas “se aculturen” absorbiendo nuestros conocimientos. Esto es una falacia: lo que es terrible es que accedan a lo peor, a lo más podrido de nuestra civilización de sopetón y sin defensa alguna, pero eso no es acceder al conocimiento.

En el fondo muchas veces no queremos que los pueblos en vías de desarrollo accedan al conocimiento. Aparentamos querer respetar las culturas originales de los indígenas, cuando en realidad estamos reivindicando nuestro supuesto derecho a observar el zoo humano en su prístina y virginal condición. No nos damos cuenta de que prístina y virginal condición es sinónimo de 40 años o menos de vida media, y unas condiciones de vida de mierda, estrés incluido.

Hace unos años, un vecino mío estuvo conviviendo unos meses con los yanomami, y al volver nos enseñó una serie de diapositivas sobre la hazaña. Comentaba las excelencias de la vida salvaje en la selva, y contraponía la vida que, supuestamente, había observado; con la que llevaban otros yanomami más “aculturados”. Particularmente le ofendía la imagen de un niño de esa etnia bebiéndose una cocacola mientras exhibía encantado unas playeras y un polo europeo. Además, el niño mostraba también una hermosa cicatriz de una vacuna, pero eso no parecía tener importancia. Lo que le jodía a mi amigo era que el niño estuviera bebiéndose una cocacola. No estábamos hablando de las enfermedades que el hombre blanco trasnmite a los indígenas, ni de los abusos cometidos por los garimpeiros, ni de los estragos que el alcohol y las drogas de los blancos pueden ocasionar a los indígenas: estábamos hablando de protegerlos de los productos, de la cultura y del conocimiento moderno para preservar su peculiar forma de ser.

Tu lo que eres es un hijoputa, pensaba yo. Estás reivindicando TU DERECHO a saber que existe algo que en tu imaginación te parece un paraíso, y ese niño te importa una mierda. Y si no, tampoco le des a tu hijo una cocacola, ni lo lleves al cine, ni le compres una bici, ni le vistas como a él le gusta: la sabiduría ancestral de nuestro pueblo vasco indica que deberías darle leche de la vaca del baserri de al lado, y vino tinto a partir de cierta edad; para divertirse ya tiene los deportes populares de arrastre de piedra y pelota vasca, y con una camisa blanca, pantalón a rayas va que chuta. Y eso sí; cuando crezca un poco, txapela.

Algunos pensamos que el acceso al conocimiento es patrimonio de la humanidad, y de obligado disfrute. Y si para ello deben caer unos cuantos cientos de tradiciones, pues peor para las tradiciones. Prefiero un niño yanomami vacunado, con una cocacola ,una gameboy en las manos y calzando unas playeras que uno subido a un árbol con una esperanza de vida de 35 años. Siento ser un insensible cultural.

La Santa sin tetas

La Santa sin tetas

Vailima y yo estamos haciendo un maravilloso viaje por toda la provincia de León. Aprovechamos para quedar con amigos que hemos conocido en la red, y para conocer algo más de las maravillas de la península ibérica.

Nos gusta Castilla. Nos gusta el románico y nos gusta comer bien. De modo que en tierras leonesas estamos como en casa.

A pesar de que la simbología románica nos apasiona a los dos, debemos reconocer que la iconografía religiosa ha tenido momentos estelares y momentos espantosos. Una de las imágenes más kitsch y horrorosas que hemos podido encontrar es la de Santa Agueda sin tetas (por lo visto se las cortó en algún arrebato místico). A pesar de que las exhibe en el plato, esto no impide que su busto aparezca con las redondeces habituales en una moza de buen ver. Será un milagro?

La imagen está tomada hoy en el palacio episcopal de Astorga, edificio neogótico de Gaudí (sí, el de Barcelona).

Para dos tetas que vemos (artísicamente hablando), nos las sirven en un plato...
Decididamente seguimos prefiriendo el románico (esta talla no lo es), como el de la colegiata de Cervatos, en la que las imágenes que vimos hace unos años mostraban alegremente el erotismo más desenfrenado como si nada.

Adición posterior.

Me indican varios lectores que la santa fue torturada bárbaramente. Mi confusión se debe a que junto a esta estatua se exhibe la de Santa Lucía, con los ojos en otra bandeja. Había yo leído que ésta se sacó los ojos por amor a Cristo, lo cual que indujo a pensar que la otra había hecho una carnicería semejante con sus glándulas mamarias. Siento el error.

PARA ANORMALES

PARA ANORMALES

Javier Armentia nos cuenta aquí el despropósito que está a punto de perpetrarse al respecto de la última imbecilidad paranormal: la alerta OVNI 2004.

A pesar de que no pensaba poner post alguno hasta agosto, no puedo menos que hacerme eco de este asunto.

La cadena SER colabora con este engaño mayúsculo en el que la mentira ha sido la tónica dominante desde el comienzo, para intentar conseguir adhesiones de organismos científicos, planetarios y museos de la ciencia.

La increíble cifra de 589 comentarios al momento de escribir este post en el blog de Armentia da una idea de la magnitud de la desfachatez, y la virulencia del tema estos días.

Por su parte, Luis Alfonso Gámez nos propone poner a prueba la fiabilidad de los avistadores OVNI creando nuestros propios señuelos. (Qué recuerdos, cuando hicimos exactamente ESO hace 25 años con el Proyecto Iván...).

Desde el excelente blog sobre historia clio, José Luis Calvo escribe una carta a la SER denunciando la manipulación, la mentira y el despropósito, y ahora me entero de que en Belchite, lugar tristemente famoso por las muertes de la guerra civil española, mientras se está trabajando por dar reposo con honor a los combatientes que aún no han recibido digno entierro, una cuadrilla de gilipollas van a realizar psicofonias para comunicarse con los muertos.

El circo para anormales está servido.

Que ustedes lo disfruten; tienen varias posibilidades:

1.- Hacer el idiota, intentando comunicarse con los seres galácticos, enviando energía positiva al cosmos y hablando con los muertos.

2.- Hacer que los demás hagan el idiota con alguno de los procedimientos explicados en el punto uno, mientras uno fabrica un falso OVNI y se divierte de lo lindo.

3.- Hacer una reflexión profunda sobre los medios de comunicación y la condición humana.

4.- Leer este post y no volver a pensar más en el asunto.

En todo caso, que pasen ustedes un feliz verano, y si miran al cielo la noche del 25, que sea para disfrutar de la visión del firmamento a poder ser en buena compañía...

Un período de descanso

Aproximadamente hasta primeros de Agosto, este blog no tendrá nuevos posts.
El motivo no es otro que el período vacacional que el que esto escribe está a punto de empezar a disfrutar.
Les deseo un buen verano.
Por cierto: pienso dedicar diez días a conocer en cierta profundidad la provincia de León. Cualquier indicación acerca de algún rincón escondido de esta provincia será bienvenido. Es una pena enterarse a la vuelta de haber estado muy cerca de algún lugar interesante, y no haberlo podido conocer por ignorancia.
Un abrazo a todos...

Un problema difícil

Este problemilla ha ido dando tumbos por diversos foros. La primera vez que me lo encontré fué en la revista Investigación y Ciencia hace bastantes años. El enunciado podría ser así:

Alguien elige dos números, no necesariamente distintos, en el conjunto de números naturales mayores que 1 y no mayores que 20. Al matemático Silas (S) se le da solamente la suma de estos números. Y al matemático Pedro(P) se le hace saber únicamente el producto.

Por teléfono S le dice a P : “No veo cómo vas a poder averiguar mi suma”. Una hora más tarde , P le dice a S : “Ya sé cuánto vale tu suma”.

Más tarde S llama otra vez a P y le informa : “ Ahora ya conozco tu producto”.

¿ De qué números se trata?


Lo más bonito de este problema es que en el intercambio de preguntas entre ambos matemáticos se pasan mucha más información de la que parece a primera vista...

Les apetece pensarlo un poquito?

¿Qué es la topología?

¿Qué es la topología?

En la sección de enlaces de este blog tienen ustedes desde hace muchos meses el link a una página de matemáticas, física y astronomía que me parece algo fuera de lo común.

Casanchi es la página de Carlos Sanchez Chinea , una recopilación de artículos de calidad sobre los tópicos más variados de cualquier de las tres disciplinas científicas mencionadas más arriba.

Les recomiendo todos y cada uno de ellos, sin la menor duda, pero hoy quiero comentarles uno de los últimos: un documento en formato PDF titulado ¿Qué es la topología?.

El artículo está escrito por Marta Macho Stadler , profesora de la Universidad del Pais Vasco; y es un excelente acercamiento a esta rama de la matemática salida del seno de la geometría.

Con este artículo, queda realizada una excelente introducción light a esa parte de la geometría que queda cuando suprimimos la noción de distancia , como decíamos hace algún tiempo. Muy recomendable.

Definición de geometría

Definición de geometría

Una de las cosas más extrañas de la matemática es que muchas veces es difícil saber qué estudia una cualquiera de sus ramas. Un buen ejemplo de esto lo tenemos con la geometría . La inequívoca etimología de la palabra nos evoca mediciones de terrenos. Por lo tanto, la geometría sería la parte de la matemática que estudia las figuras, las porciones del plano y sus propiedades.

Rápidamente podemos hacer una extensión del concepto, y englobaríamos dentro de los estudios geométricos las figuras que no son planas: superficies alabeadas, cuerpos sólidos, etc.

En una generalidad creciente, si somos capaces de estudiar espacios de más dimensiones, sus porciones quedarían también dentro del estudio de la geometría. La idea original, como pueden ver, se va desdibujando.

En un ambiente de creciente abstracción como la que ocurrió a mediados y finales del siglo XIX, empezaremos a vez la geometría como el estudio de los subconjuntos de un conjunto general, llegando con Félix Klein a decir que la geometría es el estudio de las propiedades que permanecen invariantes por transformaciones. Cuando más generales son estas transformaciones, más primigenias son las propiedades estudiadas. Tenemos así un conjunto anidado de geometrías diferentes, siendo la topología la más general de todas ellas, por estudiar las propiedades invariantes por homeomorfismos, feo palabro que indica simplemente transformaciones generales continuas (sin romper ni rasgar).

Con los trabajos de Klein se desdibuja la separación entre álgebra y geometría, y empiezan a ser posibles gruesos libros de texto sobre geometría sin dibujo alguno. La tendencia de abstracción crece enormemente con la irrupción del mítico (nunca mejor dicho) matemático Nicolás Bourbaki , llegando a Alexander Grothendieck , con su geometría algebráica a niveles nunca antes alcanzados.

¿Qué es hoy la geometría?

El 5 y 7 de febrero de 1.934, el matemático holandés Van Schouten dió dos conferencias con cuyo título era precisamente ésta pregunta. Según cuenta Raymond Queneau, Van Schouten repasó las diferentes definiciones que desde Klein se han dado de geometría. Después de haber demostrado que ninguna de ellas resultaba completamente satisfactoria, decidió adoptar la de O. Veblen:

Se llama Geometría a una rama de las matemáticas que un número suficiente de gentes competentes están de acuerdo en denominar así por razones de sentimiento y de tradición.

Que tengan ustedes un feliz fin de semana.

Una perla escondida en un baúl.

Una perla escondida en un baúl.

Ya lo comenté una vez, pero ahora puedo enseñarles la portada y alguna página interior. En un baúl dormía este incunable de la inmundicia gráfica, esperando que fuera a rescatarlo.

En otras épocas, no existía Internet, y por lo tanto no había blogs. Las revistas tipo Año Cero aún no habían visto la luz, y quien tenía "una teoría", no tenía más remedio que conseguir que una editorial publicara su panfleto, como es el caso que les presento.

Vean el título:

NUEVA CONCEPCION DEL UNIVERSO
LA MISTERIOSA ACTUACION DE LA LUNA
ESTRUCTURA DEL COSMOS A BASE DE NUEVA MECANICA CELESTE
SOLUCION IRREFUTABLE A LA CUADRATURA DEL CIRCULO


Teorías y soluciones por Justo Mintegi
Editorial Itxaropena Zarauz

Un verdadero incunable, pblicado en España poco antes de la guerra civil.

En unas pocas páginas, da un repaso im-presionante a los cuatro tópicos citados, y aún le sobra espacio para aclarar los conceptos (erróneos, por supuesto) del evolucionismo darwiniano.

En sus páginas centrales, podemos ver lo siguiente:



El texto a pie de páginas dice:


"Este escalonamiento de seres se puede degradar más, con relación a lo perfecto, incluyendo esquimales, etc. Y en ese caso, ¿dónde se halla la línea divisoria entre lo racional y lo irracional?"


¿A que es encantador?

El discreto encanto del conjunto N

El discreto encanto del conjunto N

La teoría de números es sin duda alguna uno de los apartados más enigmáticos y que mayor fascinación han despertado desde siempre. Se trata de algo tan fácil de definir como el estudio de un único conjunto: el discreto (nunca mejor dicho) conjunto N . Sabemos positivamente que jamás el ser humano será capaz de responder todas las preguntas que dicho humilde conjunto nos plantea; y lo sabemos porque es muy fácil comprender que el número de preguntas diferentes que tiene capacidad de plantearnos es sencillamente infinito.

Además, bajo la apariencia de preguntas sencillas, de conjeturas infantiles, se esconden retos inmensos contra los que se han estrellado las mentes más poderosas del planeta. No en vano Erdös decía que si se plantea un problema en términos sencillos y no obtiene respuesta satisfactoria en un par de siglos, estamos ante un problema de teoría de números.

La Conjetura de Goldbach pertenece a esta especie. Otras conjeturas son muy famosas, e incluso muy importantes, como la conjetura de Riemann o la conjetura de Poincaré ; sin embargo, para explicar estas últimas hace falta que el interlocutor tenga unos ciertos conocimientos, o al menos hace falta hacer una buen introducción. La de Goldbach en cambio es meridianamente clara para cualquier persona, independientemente de su formación matemática: todo número par es la suma de dos primos.

Es la inconcebible dificultad de la demostración de esta frase lo que atrae a los matemáticos. El origen de esta conjetura parece datarse en 1742, cuando un oscuro matemático de nombre Christian Goldbach le escribe una carta al gran Leonard Euler y le comenta, marginalmente, que, hasta donde ha podido comprobar, todo número par puede escribirse como la suma de dos números primos.

Otra de las fascinaciones del conjunto N es la distribución de los números primos. Me van a permitir que les hable hoy de una fascinación escondida del conjunto N , relacionada con esta distribución.

Todo el mundo sabe que los primos son aquellos números que sólo se pueden dividir exactamente por sí mismos y por la unidad, revelándose así como los ladrillos a partir de los que se construyen los demás. Su aparición en el seno de N es errática: existen porciones de N tan grandes como queramos dentro de las cuales no hay ningún primo. (¿Lo sabía el lector? además, esto último es extraordinariamente fácil de demostrar). Sin embargo, parecen existir una infinidad de primos gemelos, que sólo distan dos unidades de uno a otro.

Sin embargo, aunque la distribución en sí es impredecible, el acumulado de la misma, esto es: el número de primos existentes desde 1 hasta n, sí que tiene una cierta distribución “conveniente”. Se trata del famoso teorema de los números primos , que afirma que dicho número tiende asintóticamente al valor del logaritmo integral. No nos importa ahora qué es este logaritmo integral. Es simplemente una función concreta.


Donde dicho logaritmo integral toma la forma siguiente:


Pues bien: aunque el comportamiento asintótico (para n tendiendo a infinito) parece estar claro a partir de este teorema, lo que no está nada claro es si para cada n concreto el número de primos menor que n se acerca al logaritmo integral por arriba o por abajo. Basándose en extenuantes comprobaciones, se averiguó que el número de primos era siempre menor que el correspondiente logaritmo integral : se acercaba por abajo.

El propio Gauss, que no era amante de conjeturas, conjeturó que esto era así para todo n. Pues bien, Skewes demostró (ojo, he dicho demostró, no conjeturó) que la desigualdad se invierte para un número muy grande.

Esto es muy curioso. Para empezar, la demostración utiliza la conjetura de Riemann . Una demostración que utilice una conjetura, no es una demostración, sino otra conjetura, me dirán ustedes. Y sin embargo no es así: se asume que la conjetura de Riemann es cierta, y se demuestra que existe un número a partir del cual la desigualdad anterior se invierte. Luego se asume que la conjetura es falsa, y también se demuestra que existe otro número a partir del cual la desigualdad se invierte. Ambos números son cotas que pueden ser reducidas en trabajos posteriores más finos; pero en todo caso son demostraciones de que al menos a partir de dichos números, la desigualdad se invierte (siguiendo cumpliéndose el teorema de los números primos, por supuesto).De esta forma, hemos independizado nuestra afirmación de la conjetura en la cual nos apoyábamos para hacer nuestra demostración (nos apoyábamos en sentido positivo, o negativo).

Lo que añade mucho encanto al asunto es la extraordinaria, devastadora, inmensa magnitud de las cotas obtenidas, llamadas primer y segundo números de Skewes.

Sus valores son:





Apenas existen trabajos matemáticos que involucren a números enteros más grandes (1) .No son grandes: son absurdamente grandes. No hay con qué compararlos, sobrepasan todo entendimiento. El número de electrones de trillones de universos como el nuestro es prácticamente cero en comparación. Ni los indios en su obsesión habían imaginado jamás nada parecido.

Y todo esto dentro del humilde conjunto N , el que surgía del vacío como una joya zen... increíble.


Nota (1): De hecho, sí existen números mayores en la historia de la matemática, el número de Graham por ejemplo. Son tan grandes que incluso la notación exponencial se muestra impotente para expresarlos, y ha habido que inventar otra notación específica para ellos.