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Tio Petros

Humildad

Cuando titulé TioPetros este blog, lo hice por la figura de Petros Papachristos , protagonista de la novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach . No sé yo si ésta es una gran novela, pero no me cabe duda que refleja perfectamente la figura patética del enamorado no correspondido, cuyo objeto de amor es la matemática.

La mayor parte de los enamorados de la matemática (no profesionales) somos como el tío Petros: amantes no correspondidos. Cuando hacemos algún "descubrimiento" es para terminar encontrando que otro lo descubrió hace dos milenios y medio.

No obstante, así es la vida.

Acabo de encontrar una cita muy ilustrativa a este respecto:

Las buenas matemáticas son hechas por muy poca gente (150, a lo más, en el siglo XX). Hay un puñado de "líderes". Las buenas orientaciones son las dadas por estas personas. Ejemplos: Riemann, Elie Cartan, Siegel; siete u ocho en total en el siglo XVIII; treinta en el XIX; uno por año en el XX. Una teoría noble es una teoría considerada buena por estos matemáticos; la opinión de los otros no tiene importancia.

¿Qué deben hacer los demás? Deben continuar; tratar de avanzar por los nuevos caminos desbrozados por los "genios", tener una cierta humildad delante de estos; es una característica esencial de un hombre de ciencia. Los genios van adelante respecto a su época. A quienes los siguen compete un cometido nada despreciable: desempeñar el papel de cajas de resonancia. Los "seguidores" deben tratar de explicar, de vulgarizar lo que los líderes no se han tomado la pena de desarrollar. Este oficio de continuador no tiene nada de deshonroso. Se emplearon cien años para penetrar en el pensamiento de Riemann y esto hizo progresar muchísimo el conocimiento matemático. Se enriqueció al mismo tiempo dicho pensamiento y se le dieron bases sólidas


Es tan patente el inmenso poder de ciertas mentes que a un matemático, o a un amante de la matemática no le suele costar ningún esfuerzo reconocerse a años luz de ellos.

Algo así le sucedía a Laplace, que no era ningún segundón, cuando exclamaba:

Leed a Euler, leed a Euler; él es el maestro de todos nosotros

Cuando seguimos una demostración, o aprehendemos un concepto, los amantes no correspondidos disfrutamos de un pálido reflejo de lo que significa (de lo que debe significar) rozar el cielo con el poder de la mente y asistir en primera persona a un logro de los grandes.

Wiles lo relata muy bien al respecto del momento en el que descubrió el camino hacia la demostración del último teorema de Fermat :


Era un lunes por la mañana, 19 de septiembre [de 1.994]. Estaba tratando de convencerme a mí mismo de que no podría lograrlo, mientras miraba exactamente el problema, cuando repentinamente, en forma totalmente inesperada, tuve esta increíble revelación. Me di cuenta de que lo que me tenía bloqueado era exactamente lo que resolvería el problema que había surgido en mi intento con la teoría de Iwasawa tres años antes. Fue el momento más importante de mi carrera. Era tan indescriptiblemente hermoso, tan simple y tan elegante. No podía creerlo y así permanecí por veinte minutos. Luego, durante el día, caminé por el apartamento. Regresé una y otra vez a mi escritorio para ver si aún estaba allí. Aún estaba allí.

Hastío rosa

En la franja de Gaza están ocurriendo cosas espantosas.

En Irak mueren seres humanos entre atroces sufrimientos.

Pongo el telediario para enterarme de las últimas noticias de este doliente mundo.

Prácticamente sólo se habla de lo que ustedes ya saben: cuántas flores se han plantado en la capital, qué colores engalanan los edificios, qué calles se han cortado al tráfico, cuántos platos van a engullir los comensales, qué cocineros están trabajando en ello, qué regalos están recibiendo los novios...

La terrible sospecha de que realmente es esto lo que importa en mi país se me hace insoportable

Que pasen un buen fin de semana... si les dejan.

Cómo marcha TIO PETROS

Según nedstatbasic, TioPetros es un blog que se sitúa dentro de los cincuenta más visitados de España.Adición posterior: se sitúa dentro de los cincuenta más visitados de España de entre los blogs controlados por nedstat, como me puntualiza dorfun.

Que ocurra esto con un blog que trata exclusivamente de matemáticas me parece que es suficiente como para comentarlo.

En todo caso, si esto es así (ignoro la fiabilidad del dato), es gracias a ustedes, y a quienes consideraron interesante poner un link desde sus blogs al mío, como es el caso de los siguientes:

http://worm666.blogspot.com
http://cronicashoteleras.antville.org
http://odisea.blogalia.com
http://ljtarrio.blogalia.com
http://willysifones.blogspot.com
http://daurmith.blogalia.com
http://librodenotas.com
http://www.cerezo.name./weblog
http://vailima.blogia.com
http://javarm.blogalia.com
http://osito.blogalia.com
http://akin.blogalia.com
http://www.epsilones.com
http://www.boulesis.com
http://ciberlingua.blogspot.com
http://demairena.blogspot.com
http://www.rinconmatematico.com
http://matematicos.net/mt
http://www.enre2.com.ar/enre2
http://akra-sounion.blogspot.com
http://clio.blogia.com
http://www.zonalibre.org/blog/jnaide/
http://eledhwen.blogalia.com
http://gnudista.blogalia.com
http://programacionlogica.blogspot.com
http://roberto.bloxus.com
http://kirai.webcindario.com
http://uagadugu.blogspot.com
http://mariapilar.blogspot.com
http://dorfun.webcindario.com/wordpress
http://www.comunica-accion.org
http://www.blogia.com/independencia

Gracias a todos ellos, gracias a los que no están en la lista, y gracias a los lectores; seguimos en la brecha.

La conjetura de Polyà

La conjetura de Polyà

En el post anterior mencionábamos la conjetura de Polyà.

Aunque la mención era únicamente para ilustrar un ejemplo de conjetura que se demostró falsa, un lector me ha hecho ver la inconsistencia del enunciado expuesto. Paso a solventar este déficit, que no es meramente tal, sino más bien una pésima definición de la conjetura, a pesar de que lo transcribí literalmente del libro que menciono en los comentarios al post anterior(eso para que aprendamos que no todo lo que está en letra impresa es cierto).

Bueno, vamos a lo nuestro.

Dado un número natural n , denominamos r(n) al número de factores primos del mismo; iguales o diferentes.

La función l(n)=(-1)r(n) simplemente nos dice si dicho número es par o impar. Si l(n) es positivo, es que r(n) es par, y viceversa. ("l" es la letra L minúscula, que sustituye a la lambda griega de la fórmula que no puedo o al menos no sé poner aquí.)

La función L(m) no es más que el sumatorio de los valores de la función anterior para todo natural menor que un m dado.

Pues bien; si L(m) es positivo, querrá decir que el número de enteros menores que m con factores primos en número par [que no es otra cosa que el P(m) de la fórmula] es mayor que el número de enteros menores que m con factores primos en número impar [que es I(m)].

La conjetura dice que L(m) es negativo o cero para todo m, con la única escepción del caso inicial m=1 .

Los primeros valores de la ele minúscula son:

1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,...

Los correspondientes de la ele mayúscula son:

1,0,-1,0,-1,0,-1,-2,-1,0,-1,-2 ...

Vemos que escepto el primer valor todos son negativos o cero, y eso es lo que afirma la conjetura, no lo que decíamos en el post anterior, influidos por la absurda creencia de que todo lo publicado en un libro sobre matemáticas es correcto.

Haselgrove demostraba en 1.958 que la conjetura debía fallar más allá de un valor enorme.

Lehman encontró en 1.960 que para n=906.180.359, L(n)=1 con lo cual la conjetura se demostraba falsa con datos concretos.

Posteriormente se han encontrado valores más bajos (Tanaka, 1.980)

Y así acababa la historia de una conjetura que no aportó nada interesante (que yo sepa) al mundo de la teoría de números...

Conjeturas, conjeturas...

Conjeturas, conjeturas...

Ya lo hemos dicho alguna vez: la matemática no es el arte de hacer conjeturas. Es el arte de hacer demostraciones. Y de hacerlas bien. Cantidad de conjeturas se han demostrado falsas a lo largo de los siglos, es tan fácil hacer una conjetura...

Un ejemplo es la Conjetura de Polyà:

Afirma que Existe igual cantidad de enteros con número par de factores primos que enteros con número impar de factores primos

Un vez realizada, ahí queda para la posteridad; pero tiene algún interés? Permítanme que lo dude. El interés de la matemática no reside en la dificultad de demostrar la primera barbaridad que se le ocurra a un matemático.

Además, esta conjetura se demostró falsa (C.B. Haselgrove: A disproof of a conjecture of Polyà, Mathematika, tome V,1958), con lo cual no quedó nada interesante del asunto. Si al menos la demostración hubiera sido "elegante", pero no, se trató de una comprobación por ordenador de que la conjetura fallaba más allá de la cota 1.845 · 10361.

Una conjetura no vale nada... a no ser que pasen varios cientos de años, y nadie pueda demostrarla, ni en sentido afirmativo ni en sentido negativo. Y aún así, es la demostración la que tendrá interés, no el mero enunciado de la conjetura. Es la demostración, y la consiguiente elevación a rango de Teorema la hazaña digna de merecer una edición especial de sellos de correos (ver imagen).

Piensen ustedes: ¿qué importancia puede tener la mera afirmación de la existencia o inexistencia de un número entero n tal que la ecuación xn+yn=zn no tenga solución para ninguna tripleta (x,y,z) de enteros? (Ultimo Teorema de Fermat)

Ninguna en absoluto. Esta afirmación se conoció durante siglos con el nombre de El Ultimo Teorema de Fermat .

Aunque debiera haber sido conocido con el nombre de La conjetura de Fermat , porque digo yo que la simple afirmación del autor de que había encontrado una maravillosa demostración del teorema, pero que no le cabía en el margen del libro que estaba leyendo en ese momento ( Aritmética, de Diofanto , creo recordar) no basta para dar categoría a la afirmación de la conjetura. Y ya saben, sin demostración no hay teorema, ni debe haber gloria alguna para el autor.

Lo que sí tiene interés matemático, y mucho, es la respuesta a cualquiera de estas preguntas:

1.- Cómo se demuestra esta afirmación?
2.- Porqué es tan difícil la resolución de este problema?
3.- Qué nuevas matemáticas hacen falta para demostrarla?
4.- Porqué la afirmación es cierta (si lo es), y porqué es falsa en caso de serlo?
4.- Qué nuevas perspectivas nos abre la demostración completa de la conjetura?

Al final, pasa un puñado de siglos, y alguien (Andrew Wiles en nuestro caso), lo consigue.

Lo que no me gusta que se diga es que Andrew Wiles consiguió demostrar el teorema de Fermat.

Andrew Willes consiguió demostrar el TEOREMA DE WILES , cuyo enunciado es:

La conjetura de Fermat es una afirmación cierta (1)

Que no es lo mismo.

(1)NOTA.

Bueno,no quiero engañar a nadie; el enunciado real de Wiles es: Todas las funciones elípticas son modulares , pero palabrita de blogero que ambas afirmaciones deben ser equivalentes...

El Teorema de Feuerbach

El Teorema de Feuerbach

El Teorema de Feuerbach ha sido denominado como la joya de la geometría del siglo XIX . Y realmente no es para menos... Les invito a acercarse un poco al sabor de dicho teorema; como siempre, sin demostraciones y sin hacer matemáticas; tan solo paseando agradablemente.

Que tres puntos de un plano pertenezcan a una misma circunferencia no solo no es nada extraordinario, sino que es algo absolutamente obligado; de hecho tres puntos son los que definen una circunferencia. Dicho de otra manera: dados tres puntos no alineados, existe una y solo una circunferencia que pasa por los tres.

Si dados cuatro puntos existe una circunferencia que pasa por los cuatro, tenemos algo por lo menos curioso: existe alguna relación entre ellos que se refleja en la pertenencia común a la misma circunferencia. Según vamos aumentando el número de puntos, más extraordinario es que todos ellos pertenezcan a la misma circunferencia (o que todos ellos equidisten de otro punto), o más especialmente elegidos son dichos puntos. Por eso, la existencia de la circunferencia de Feuerbach es algo insólito.

Dado un triángulo ABC cualquiera, las alturas son los segmentos de recta que van desde cada vértice hasta el lado opuesto correspondiente perpendicularmente. En la figura están pintadas de verde. Las tres alturas se concurren en el mismo punto, llamado ortocentro del triángulo (punto M del dibujo). Los puntos de corte de las alturas con los lados del triángulo se denominan pies de las mismas(Puntos Ta,Tb y Tc).

Pues bien: los tres pies de las alturas de un triángulo determinan un círculo, que se llama circunferencia de Feuerbach del triángulo, y recibe también el nombre de circunferencia de los nueve puntos .

Dicha denominación de circunferencia de los nueve puntos proviene del extraordinario hecho de que además de los tres pies citados, también pertenecen siempre a dicha circunferencia los tres puntos medios de los lados del triángulo(puntos Fa,Fb y Fc en el dibujo), y los tres puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el baricentro(puntos Ka,Kb y Kc en el dibujo). Nueve puntos, todos ellos en la misma circunferencia .

En la figura tienen también dibujadas las mediatrices del triángulo (perpendiculares a cada lado por sus puntos medios), que también concurren en un punto: el circuncentro (punto Q en el dibujo). La recta que une ambos puntos, circuncentro y baricentro se denomina recta de Euler . Precisamente el punto medio del segmento QM (punto F) es el centro de la circunferencia de Feuerbach (Dibujado en gris).

Pues bien, esto no es todo: el Teorema de Feuerbach afirma que la circunferencia de nueve puntos es tangente a otras cuatro circunferencias: la inscrita al triángulo y las tres exinscritas.



El punto de tangencia de la circunferencia de Feuerbach (en rojo en la figura anterior) con la inscrita es llamado punto de Feuerbach

Aquí tienen una demostración equivalente al teorema de Feuerbach que no utiliza apenas arsenal analítico.

Belleza en estado puro, ¿no es así?

El Teorema de Wallace-Simson

El Teorema de Wallace-Simson

Seguimos con nuestro paseo por los hermosísimos parajes de la geometría plana de los triángulos.

Supongamos que tenemos un triángulo cualquiera, definido por sus vértices A,B,C como en la figura(triángulos azules). Dado un punto cualquiera P (en gris en las figuras), que puede ser exterior o interior al triángulo, tracemos las tres perpendiculares desde dicho punto hasta los tres lados del triángulo, o hasta sus prolongaciones en su caso.

Los puntos P1,P2,P3 de intersección determinan un triángulo que denominaremos Triángulo podal del triángulo ABC relativo al punto P. Lo tenemos en rojo en las figuras.

Resulta que este triángulo degenera en un segmento en determinados casos. En la figura de la derecha podemos ver que para el punto P elegido, los puntos P1,P2,P3 están alineados, con lo que el triángulo podal es un segmento.

Cuando esto ocurre, la recta definida por los tres puntos alineados se denomina Recta de Wallace-Simpson del triángulo dado respecto al punto P

El Teorema de Wallace-Simson afirma que :

El lugar geométrico de todos los puntos P para los cuales los tres puntos antes citados están alineados es precisamente la circunferencia circunstrita del triángulo original.

Según el punto P va recorriendo la circunferencia circunscrita al triángulo original, la recta de Wallace-Simpson correspondiente va girando.

El Teorema de Steiner afirma que la envolvente de todas las rectas de Wallace.Simpson de un triángulo dado es una deltoide tricúspide .

Aquí tienen ustedes una generalización del teorema de Wallace-Simson debido a Don Miguel de Guzmán, recientemente fallecido como hemos comentado hace unos días. Dicha generalización consiste en no limitar la dirección de las rectas desde el punto P hasta los lados del triángulo.

El propio Miguel de Guzmán recuerda su encuentro con el teorema de Steiner tras trabajar con la envolvente de todas las rectas de Wallace-Simson de un triángulo dado.

En la imagen tienen la deltoide tricúspide de Steiner como envolvente de una familia de rectas de Wallace-Simson.



Por cierto: Una vez más parece que la historia no ha sido justa. Simson parece no tener nada que ver con el teorema citado, que es obra exclusiva de Wallace. Ambos eran matemáticos escoceses, y Wallace logró su demostración en 1856.

En esta dirección el profesor Guzmán nos propone una demostración "sencilla" del teorema de la deltoide de Steiner, demostración lograda por él mismo.

El teorema de Napoleón Bonaparte

El teorema de Napoleón Bonaparte

No deja de ser curioso que un tema tan manido, tan antiguo y tan básico y elemental como la geometría de los triángulos planos tenga tantas sorpresas.

Hace unos meses comentábamos el teorema de Morley, bello teorema que concierne a triángulos y que fué demostrado anteayer, como quien dice(en pleno siglo XX).

El teorema que comentamos hoy tiene como curioso, además de su contenido matemático, la atribución de paternidad: nada menos que al gran Napoleón Bonaparte.

Supongamos un triángulo general cualquiera (dibujado en azul). Sobre cada uno de sus lados dibujamos un triángulo equilátero (dibujado en verde). Pues bien: los centros de los trres triángulos equiláteros forman a su vez un triángulo necesariamente equilátero (dibujado en rojo), con independencia del triángulo original.

Este es el denominado Teorema de Napoleón .

En esta dirección podéis ver la demostración, así como los conceptos previos necesarios para entenderla.

Respecto a la paternidad de la demostración, parece fuera de toda duda que no es de Bonaparte, sino de Lorenzo Mascheroni , quien sabiendo la pasión del general francés por la geometría, dedicó su libro Geometria del Compasso (Pavia, Pietro Galeazzi, anno V della Republica Francese, 1797) a Napoleon:

Según podemos leer en esta dirección,

El aprecio de Napoleón por la obra de Mascheroni fue grande y la hizo traducir al francés: Mascheroni Lorenzo: _Geometrie du compas_, Ouvrage traduit de l'italien par

A.M. Carette, Paris, Duprat, xxiv, 263 pp. 14 plates, 1798.


En todo caso, si por la relación entre uno y otro, el general se llevó a la posteridad el nombre del teorema de forma injusta, Mascheroni se desquitó uniéndo su nombre al del gran Euler en la que hoy en día se conoce como la constante de Euler-Mascheroni , denominación injusta según explica estupendamente Mario Bunge en su artículo publicado en el rincón matemático.

Y es que el tema de las atribuciones y los honores en los logros científicos es un tema bastante escabroso en general, tanto o más que el tema de las atribuciones de inventos. Ya hablaremos de ello en otra ocasión...


ADICION POSTERIOR:

Me escribe Mario Bunge para decirme que:

Por favor, corregí lo que pusiste sobre Mascheroni: No soy yo quien lo explica "estupendamente", porque el artículo ese no es mío: es de William Dunham. Lo único que hice yo fue tipear texto y ecuaciones, y hacer los dibujitos con el "dibujador" del Word. Todo lo demás es obra de Dunham.

Pues dicho queda. No obstante, no quería dejar pasar la oportunidad para comentar que el rincón matemático es una página de interés enorme para todo amante de la matemática.

Los jodidos porcentajes

En dos ocasiones hemos comentado que los seres humanos estamos muy mal dotados en general por la evolución para ciertas actividades que, paradójicamente, son muy importantes para la supervivencia: concretamente para el cálculo de probabilidades.

Acabo de encontrarme con otro tema de importancia enorme en la vida diaria para la cual estamos horrorosamente dotados: la estimación de porcentajes.

He realizado un experimento entre las personas de mi entorno inmediato. Se trata de responder la siguiente pregunta:

Por motivos contables que no vienen al caso, un empresario le explica a un asalariado suyo que va a proceder a subirle el sueldo un tanto por ciento, para decrementarle el mismo porcentaje del nuevo sueldo al día siguiente. Sin embargo, le explica que si lo prefiere lo pueden hacer al revés:comienza por decrementarle el citado porcentaje para luego subirle el mismo porcentaje del nuevo sueldo. ¿Qué debe elegir el asalariado?

Me concederán que el tema está muy cercano a los intereses más cotidianos de cualquiera, y que no es en absoluto complicado; y sin embargo... pregunten, pregunten.

Independencia (no estocástica)

Independencia (no estocástica)

Con el título de Independencia hemos iniciado varios post que trataban del concepto de independencia de variables aleatorias.

Hoy no voy a hablar de lo mismo, y tampoco de lo que tal palabra trae a la mente de cualquier ciudadano de mi país vasco.

No todos los días un amigo comienza un blog. Cuando esto ocurre, simplemente hay que comentarlo; y si las perspectivas del nuevo blog son de tanto interés como en el caso presente, entonces se convierte en referencia obligada.

Independencia es el título que Josué ha elegido para su blog; él sabrá porqué, aunque yo me imagino los motivos.

Siempre es bienvenida una bitácora racional como la que nos propone este amante de la polémica, infatigable discutidor y buen amigo.

Suerte con la experiencia, Asigán; te seguimos de cerca.

Todos los enteros positivos son iguales !!!

Ya hemos hablado del maravilloso método de inducción matemática. Tenemos un procedimiento para demostrar afirmaciones generales sobre todos los enteros positivos, que consta de dos fases:

1ª FASE:Demostrar la validez de la afirmación para n=1

2ª FASE: Demostrar que si la afirmación es válida para n (hipótesis de inducción), entonces también lo es para n+1.

Hace algunos meses explicábamos que el método de inducción tiene sus peligros, y que tras su aparente simplicidad acechan falacias y razonamientos no válidos que nos pueden llevar a conclusiones erróneas. Demostrábamos que Todos los blogs del mundo están alojados en Blogia, lo cual es un absurdo.

Les propongo otra aberración, aún pero para que intenten encontrar el error.

TODOS LOS ENTEROS POSITIVOS SON IGUALES

DEMOSTRACION

Sean a,b dos enteros positivos. Sea M=max{a,b} el valor del mayor de ambos:

Procederemos por inducción sobre M.

PRIMERA FASE (M=1)

Para M=1 no hay duda. Si M=1 es que el máximo de ambos es 1, y por lo tanto a=b=1. Por lo tanto a y b son iguales.

Supongamos cierta la afirmación para m, demostraremos que también lo es para m+1.

SEGUNDA FASE

Sean a,b tales que M=max{a,b}=m+1. Entonces es evidente que max{a-1,b-1}=m, y por la hipótesis de inducción, tenemos que a-1=b-1, de donde clarísimamente concluimos que a=b.

Por lo tanto, a=b para todo par de enteros positivos.

Anímense a encontrar el error...

Lo que vale para Hamás la vida de un civil madrileño.

Mahmud Zahar, fundador de Hamás, en recientes declaraciones ha dicho:

" Los españoles entendieron que su gobierno les hacía morir por nada y lo cambiaron. Bin Laden convenció a los españoles. Lo que ocurrió allí [el 11-M en Madrid] está justificado internacionalmente porque el objetivo era un gobierno de extrema derecha."

El apellido de este señor en la lengua de mi pueblo quiere decir viejo .

Sin embargo, sus ideas parecen por desgracia bastante modernas.

Sólo Sharon podía haberse expresado tan claramente respecto al respeto a la vida de los demás. Gracias por la claridad, viejo Mahmud...

Miguel de Guzmán (2)

Hace un tiempo hablábamos del concepto de demostración matemática. Dimos un paseo por las nuevas formas de demostración, en las que el ordenador suplía al ser humano, y para ello utilizamos el ejemplo del Teorema de los cuatro colores . Decía yo por aquel entonces que estas formas de demostración por verificación eran estéticamente horribles. La matemática no es eso, parece decirme algo desde mi interior.

Ahora, repasando artículos que el recientemente fallecido Miguel de Guzmán cita en sus páginas, me encuentro con un artículo en el que leo:


La ciencia tiene por finalidad "entender" ¿Podemos decir que "entendemos" la demostración del teorema de los cuatro colores? Lo dudo.
La Matemática es realmente un Arte, el arte de evitar cálculos por fuerza bruta mediante el desarrollo de conceptos y técnicas que nos permitan viajar más ligeramente. Proporcionad a un matemático una máquina infinitamente poderosa para hacer cálculos y le habréis privado de su impulso interior. Se puede al menos argüir, aunque resulte un poco traído de lejos, que si los ordenadores hubiesen estado disponibles en, digamos, el siglo 15, la matemática ahora sería un pálido reflejo de sí misma.


El artículo en cuestión es del propio Miguel de Guzmán, se titula “Los riesgos del ordenador en la enseñanza de la matemática”, y la cita que he reproducido es de
Bonsall, F.F. de su artículo “A Down-to-earth View of Mathematics” publicado en The American Mathematical Monthly 89 (1982), 8-15

Qué placer leer mis propias opiniones, tan bien escritas por los que saben de verdad!
Para el profesor Miguel de Guzmán, entre los peligros que acechan al uso del ordenador en la enseñanza de la matemática están:

1.- Pensar ingenuamente que todo puede ser matematizado sin residuos
2.- Dejar que nuestra vida se ahogue en cifras y en formalismos matemáticos
3.- Inducír al matemático a jugar a aprendiz de brujo
4.- Considerar la matemática, y no el hombre, como la medida de todas las cosas
5.- Confundir manipulación con sabiduría
6.- Caer en el mito del genio universal que puede pontificar infaliblemente sobre cualquier asunto.

No me puedo reprimir el impulso de copiar las reflexiones del profesor Guzmán en cuanto al sexto punto:

Con respecto a ciertas figuras distinguidas de la ciencia moderna parece haberse producido en muchas personas, tanto de la calle como de la ciencia, el siguiente discurso de pensamiento: "Si la matemática es la base y el cemento de la cultura, aquel que logre situarse en el corazón de ella y desde allí contemplar nuestro mundo, está en una situación privilegiada para juzgar adecuadamente sobre su destino. Oigámosle y sigámosle''. Este parece haber sido el significado de la veneración cuasirreligiosa de muchos en nuestro propio siglo hacia ciertos personajes de la ciencia. Muy a su pesar, Einstein fue convertido en una especie de sumo pontífice de la verdad no sólo científica, sino religiosa y moral. Sería bueno recordar que muy a menudo el matemático, y el científico en general, fuera de su propia esfera de competencia suele ser tan superficial y sesgado como el que más.

Y concluye con la siguiente frase:

A la vista de problemas tales como los aquí esbozados es claro que el proceso de matematización creciente que estamos viviendo actualmente, acelerado por la presencia de la informática, necesita ir acompañado de una honda reflexión sobre su sentido y sus implicaciones profundas para el hombre y la sociedad. Si nuestros educadores no son conscientes de las posibles trampas subyacentes al
estilo matemático y al modo de pensar que la cultura informática propicia, pueden conducir fácilmente a sus estudiantes a adoptar actitudes francamente perjudiciales.

Díganme ustedes si no hemos perdido, como decía dorfun en un comentario al post anterior, a uno de los grandes...

Que tengan un feliz fin de semana.

Miguel de Guzman

Miguel de Guzman

Don Miguel de Guzmán Ozamiz acaba de fallecer, y con él se va una de las figuras más señeras de la matemática española.

Miguel de Guzmán Ozamiz nació en Cartagena en 1936. Estudió Filosofía en Alemania (1961), Matemáticas en Madrid (1965) y se doctoró en Chicago en el 68. Ha sido profesor en universidades de Chicago, St. Louis, Princeton (EE.UU.), Suecia y Brasil y ahora era catedrático de Análisis Matemático de la Complutense de Madrid y Académico de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales desde 1982. Fue presidente de la Comisión Internacional de Educación Matemática (ICMI) de 1991 a 1998. Fué autor de libros técnicos (publicados en importantes editoriales internacionales) y de divulgación (traducidos al inglés, chino, finlandés, francés y portugués), articulista y conferenciante.

En 1.983 publicó un excelso artículo en la revista Investigación y ciencia titulado Algunos aspectos insólitos de la actividad matemática . Puede ser consultado en esta dirección. En dicho artículo expone sus ideas sobre la relación entre la matemática y la estética, la metamática y la filosofía o la creatividad. EN suma: la matemática como aventura del pensamiento.

En esta dirección existe una página personal de Don Miguel, en la que se habla de las matemáticas y las estructuras de la naturaleza, así como de los espingorcios . Ambos enlaces, actualmente funcionales ( lo acabo de comprobar) nos llevan a una joya de la divulgación española que conviene visitar con reverencia, y a un cuento infantil, una joyita tan “inocente” como pueda ser “Alicia en el país de las maravillas”.



Aquí pueden encontrar un artículo de Miguel de Guzmán sobre el papel de la matemática en la novela. Curiosamente un epígrafe de este artículo se titula "Entra el tío Petros" , y como habrán adivinado no se refiere a este humilde blog, sino a la estupenda novela de Apostolos Doxiadis El tío Petros y la conjetura de Golbach , en la cual me inspiré para denominar este blog...

Dice Don Miguel al respecto de esta novela: La novela de Doxiadis es una obra breve e intensa escrita con gran acierto dramático. La trama es relativamente sencilla y por la verosimilitud con que está escrita hace intuir la inclusión de muchos elementos de alguna manera autobiográficos. El narrador es un joven griego de una familia bien establecida en la que hay un extraño personaje, el tío Petros, que parece no encajar bien en ella y que atrae la curiosidad del sobrino. Poco a poco se va desvelando el misterio. El tío Petros ha sido un matemático notable. El sobrino, que ha decidido ser matemático, le pide consejo. Extrañamente el tío Petros trata de disuadirle, sin conseguirlo. A partir de ahí, y siempre con el enigma del tío Petros en el fondo, se va engarzando la fase de formación matemática del sobrino con el descubrimiento del misterio de la personalidad del tío Petros

Desde aquí pueden ustedes releer lo que el autor consideró más importante de su propia tarea de divulgación, así como de obras de otros.

Un ejemplo de su divulgación más lúdica la tienen en http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/rana/la_rana.htm, donde tras la siguiente frase:

"El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de la matemática. Si los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y comunicarla a través del juego y la belleza?" ,

pasa el autor a explicar el juego de La rana saltarina y sus implicaciones matemáticas.

Sus reflexiones publicadas en la red nos dan para un montón de posts, que en caso de hacerlo, serán en homenaje del científico que acaba de dejarnos.

Bertrand Russell: el hombre feliz



Me gusta la figura anciana y levemente anarquista de Bertrand Russell. De hecho, me gusta mucho más que sus matemáticas. El joven que pasó su juventud pensando cómo suicidarse, y únicamente su interés por saber más y más matemáticas le impidió consumar la acción. No obstante, las cosas debieron ir cambiando, pues murió en 1970 tras 98 años de una vida plena. Había nacido en Ravenscroft, Inglaterra, en 1872. Parece ser que fue educado en un ambiente asfixiante, por tutores particulares. Esto le propició una enorme cultura de base, conocimiento de muchos idiomas...y muy poca alegría de vivir.

Su obra cumbre es "Principia Mathematica", coescrito con su gran amigo el Dr. A. N. Whitehead y publicado en 1910 y 1913.

Para Russell, las matemáticas y la lógica formal son una misma cosa. Esto supone afirmar que “ el total de las matemáticas puras puede ser rígidamente deducido de un pequeño número de axiomas lógicos”. De hecho, supone bastante más: entre otras cosas que la matemática se reduce a una manipulación de símbolos de acuerdo a unas estrictas reglas sintácticas, pero desprovistos de semántica. A la luz de esta idea se entiende su frase: “La matemática es la materia en la que no sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que decimos es verdad”.

A uno se le ocurre que con tales presupuestos, y siendo matemático de primera fila con capacidad ingente de trabajo, la idea del suicidio no es una mala salida...

Sin embargo, se las arregló para encontrar la razón de vivir, en la matemática y pienso que sobre todo fuera de ella.
En el año de 1918 fue encarcelado por defender a los objetores de conciencia y por sus duros ataques contra el belicismo, una actitud pacifista que mantuvo durante toda su vida.

Fue un innovador en muchos campos; sus novedosas ideas sobre la educación cristalizaron en la fundación de la Beachon Hill School. En 1953, tres años después de recibir el Premio Nobel de Literatura, organizó con Einstein el Movimiento Pugwash, ante la amenaza inminente de una guerra nuclear. Más tarde, la creación del Comité de los 100, en favor de la resistencia no-violenta al armamentismo, lo llevó a la cárcel por segunda vez.

En 1930 escribió “La conquista de la felicidad”, un precioso libro sobre los motivos de ausencia de felicidad en la mayor parte de la población humana, y cómo solucionarlo. Puede ser bajado desde aquí

Escritor prolífico, su último libro fue su propia Autobiografía, publicada entre 1967 y 1969. Russell murió en 1970 en Penrhyndeudraeth, a la edad de 98 años.

Además de sus obras y de sus enseñanzas nos dejó una enorme colección de frases lapidarias, como las siguientes:

"Lo más difícil de aprender en la vida es qué puente hay que cruzar y qué puente hay que quemar."

"Lo que los hombres realmente quieren no es el conocimiento sino la certidumbre"

"Gran parte de las dificultades por las que atraviesa el mundo se deben a que los ignorantes están completamente seguros y los inteligentes llenos de dudas"

"Los científicos se esfuerzan por hacer posible lo imposible. Los políticos por hacer lo posible imposible"

La Pasión de Cristo y la varianza escéptica.

La Pasión de Cristo y la varianza escéptica.

No sé yo si este post va a ser afortunado...

En el fondo, es una queja.

Uno tiene sus querencias (que no creencias), que como muchas cosas en la vida no son del todo racionales. Algo así como ser de derechas o de izquierdas. Una cosa es que se pueda racionalizar hasta cierto punto; pero el motivo profundo por el cual uno se decantó en su momento por una determinada quiralidad política se mantiene, creo yo, en el ámbito de lo nebuloso: una determinada consideración estética, una amistad, ¿qué se yo?

Pues bien: una de mis querencias es el paseo diario por los blogs de corte escéptico. El motivo es claro: me adhiero con vehemencia al aroma escéptico que rezuman sitios como Por la boca muere el pez, magonia, clio o tantos otros. El movimiento escéptico modernamente considerado poco o nada tiene que ver con lo que se ha considerado escepticismo filosófico: la creencia en la imposibilidad de acceso al conocimiento por parte del ser humano. Esta imposibilidad epistemológica es la que favorece el relativismo postmoderno, que no es del agrado de quien esto escribe, como intenté dejar patente en algún post.

El escepticismo del que hablamos es algo muy diferente: se trata de la presunción de que el universo es cognoscible, y la creencia de que el método científico es el camino correcto para ello. Habrán advertido la maldad de la negrita en dos palabras de la frase anterior. En todo caso, esta creencia y esta presunción serían las mínimas posibles para no caer en otras mucho más grandes.Hecha esta aclaración, y aumentando el ámbito de lo permisible a métodos ad hoc para diversas disciplinas que no admiten el método científico puro y duro (estoy pensando en la historiografía modernamente considerada, por ejemplo), creo que queda claro a qué escepticismo nos referimos.

Pues bien. Dado el universo de los blogs denominados escépticos, uno esperaría que la diversidad fuera la norma, y no la uniformidad; que el pensamiento único brillara por su ausencia y que el panorama escéptico ofreciera un magma de ideas diferentes con unas ciertamente imprescindibles ideas generales comunes, pero nada más. Y no es así. Y de eso me quejo.

En este estado de cosas, era perfectamente previsible que se tratara la película de Mel Gibson sobre la pasión de Cristo de forma monocolor, con una aquiescencia absoluta revoloteando sobre varios tópicos:

1.- La exhibición del dolor en estado puro vista como un exceso casi pornográfico.

2.- Apelaciones a la ideología integrista de Mel Gibson.

3.- Acusaciones de antisemitismo.

A decir verdad, no sería yo capaz de desmontar convenientemente ninguno de estos puntos, los tres tendrán sus posibles defensas y objeciones pero díganme por favor: porqué creen ustedes que nadie se sale del guión preescrito? Nadie ha visto ningún valor positivo en esta película? No les parece que realmente hay un consenso respecto a lo que se considera de buen tono escéptico y lo que no?

La peli del Gibson era realmente la excusa para el post; lo que me importa es lo siguiente: hoy en día está demasiado claro para mi gusto, con ciertas excepciones, qué se puede esperar que salga de la pluma de un escéptico. Hay un consenso tan grande que me parece algo huele a rancio... y lo digo con dolor.

La estadística me enseña que la varianza añade riqueza a las poblaciones, y que la diversidad es más divertida que la monotonía del pensamiento único.

Pues eso era todo: echo de menos un incremento de la varianza en las opiniones escépticas en los blogs y en los artículos que, si visito a diario es por el gran aprecio y estima en que los tengo.

Vacaciones

Durante dos semanas no habrá nuevos post en Tio Petros .

Si les apetece, pueden aprovechar para comentar cuestiones relativas a la marcha de la bitácora, futuros derroteros o temas que quisieran ver tratados.

De momento tengo varias cosas en el tintero... pero tendrán que esperar.

Un cordial saludo a todos mis lectores.

La importancia de los modelos.

En el post ¿Qué es una teoría? un lector (Ctugha), cuya estupenda bitácora podeis ver aquí me plantea la importancia de los modelos en las teorías: "me parece importante incluir el concepto de modelo para formar el triunvirato de: teorias - modelos - hechos". Efectivamente, así es, y tenía pensado hablar de ello para contraponer la tarea científica genuina con las actividades paracientíficas, que son una corrupción de la idea original. Lo que sigue es un artículo mío que Marcos Taracido tuvo a bien publicar hace muy poco en su excelente página.

LAS PARACIENCIAS COMO PERVERSION METODOLOGICA

Hay veces que uno se encuentra con un artículo, una explicación o un documento paranormal, y capta al vuelo lo falaz de su contenido. Puede ser que el tema tratado no pertenezca a nuestra esfera de conocimiento, pero "sabemos" que nos están contando un cuento. Evidentemente, si el artículo está publicado en Año Cero o Más Allá, la cuestión no tiene mucho mérito, pero muchas veces lo encontramos en nuestro diario, o incluso en una revista de divulgación científica. Las paraciencias son ubicuas, como bien sabemos.
A la gente de la calle le resulta a veces muy difícil detectar la falta de rigor científico en ciertas aseveraciones, y ciertamente la culpa no es suya. Es una de las asignaturas pendientes de los medios de divulgación, asignatura que suspenden repetidamente, dado el nivel de irracionalidad imperante en nuestra sociedad.
¿Porqué es esto así? ¿Porqué es tan difícil defender la razón y tan fácil propagar la superstición? Básicamente la respuesta la sabemos todos: quienes hablan de ciencia y racionalidad no suelen hacer trampas y los otros sí. Ha sido perfectamente explicado en muchas ocasiones, y no es cuestión de insistir en este aspecto.
En lo que sigue intentaré describir es otra de las características paranormales, a nivel algo más escondido: la metodología corrupta que utiliza. Corrupta por tomar el método científico y volverlo del revés para su propio beneficio.
Explicar cuestiones científicas al público en general no es sencillo. Además, la ciencia es difícil, y la paraciencia fácil. Pero explicar cómo funciona la ciencia es bastante más sencillo que explicar ciencia pura y dura, y éste es un conocimiento muy provechoso de poseer. Explicar qué marcas, qué estructura profunda subsiste en el fondo de los argumentos paranormales en contraposición a los que existen en el genuino quehacer científico nos puede servir para ayudar a otros a detectar a tiempo las falacias y las mentiras de la sinrazón paranormal.
No existe un "método paracientífico" para contraponer al científico, pero existen unas pautas que se repiten en los documentos paranormales una y otra vez, cuestiones de estilo aparte.
En un primer e ingenuo vistazo, tanto la ciencia como la paraciencia intentan explicar la realidad. La realidad externa es suficientemente compleja como para dejarnos anonadados. Somos testigos de multitud de fenómenos y procesos que ocurren a nuestro alrededor, cuya explicación se nos escapa; pero dentro de la naturaleza humana hay un impulso que conduce a encontrar una explicación satisfactoria de los mismos.



En una hipotética situación inicial (Fig.1) tenemos al ser humano preguntándose por la explicación de lo que ve, y sin herramientas para llevar a buen puerto tal empresa. Es evidente que tal situación derivó rápidamente a otra bastante más satisfactoria. En ausencia de mejores herramientas, el hombre imaginó que tras el plano real existía un mundo oculto, ordenador de la existencia. El observador no ve ese mundo, sino los efectos que produce sobre el mundo de la realidad. Los llamaremos el plano de lo real y el plano de lo oculto, el plano de los dioses o de las fuerzas sobrenaturales que ordena, crea y destruye la realidad. Ha nacido la mitología, con toda su fuerza explicativa. A nadie se le escapa que esta etapa no ha sido en absoluto abandonada, y que goza de excelente salud hoy en día, incluso en nuestro país. Sin embargo es muy fácil reconocer este esquema, que a nadie engaña.


Las explicaciones que siguen este patrón hablan de dioses, de designios inescrutables, de leyes ordenadoras de la existencia que parten del plano de lo divino, ordenador de la realidad. Mediante su acción, (Fig.2) las fuerzas ocultas intervienen en nuestra realidad. La naturaleza de dicha acción divina (flecha d en la figura) se explica mediante observaciones de la realidad; a menudo muy agudas, pero contaminadas culturalmente por dogmas socialmente consolidados respecto a la naturaleza del plano divino. Esta es la situación hasta los comienzos del pensamiento racionalista, que podemos situar en Asia menor y en la costa jónica con los primeros filósofos griegos. Conscientes de los graves perjuicios que a la búsqueda de la verdad acarreaba el esquema anterior, las mejores mentes del planeta fueron consolidando lo que hoy conocemos como el método científico (fig. 3). La metodología científica no contempla nada más allá del plano real, pero consciente de su complejidad, crea un plano más cercano a las posibilidades de análisis del observador; el plano de los modelos.



Existe una proyección desde la realidad R hasta el modelo M. Como toda proyección, es una simplificación que pretende captar lo esencial de la parcela de realidad que se quiere estudiar.
El quid de la cuestión está en el hecho de que los humanos podemos aprehender y estudiar el modelo perfectamente con el auxilio de la matemática, que se revela así como la herramienta básica para el estudio de los modelos, y por tanto para la investigación científica en general. Al establecer la proyección , queremos que el modelo se parezca a la realidad lo suficiente como para que las conclusiones que saquemos del comportamiento del modelo sean extrapolables al plano real, que es nuestro verdadero interés; y a la vez pretendemos que el modelo sea lo suficientemente sencillo como para ser abordable analíticamente. Este paso maravilloso es posible gracias a nuestra capacidad de experimentar y observar la realidad. La acción o del observador sobre el plano real es el que validará o invalidará el modelo. La existencia de esta realimentación es lo característico del método científico. Los modelos nacen con vocación de explicar los hechos observados, entran en crisis y son sustituidos por otros mejores cuando sea posible. Según este esquema, una teoría científica es una creación humana de un modelo para explicar una parcela de realidad, y no es verdadera ni falsa: es útil o no lo es. El plano real es en última instancia quien valida y invalida los modelos, que sólo existen porque la realidad externa nos queda demasiado grande y lejana. El magnífico éxito de este esquema ha proporcionado un prestigio enorme al método científico, dados los progresos en la comprensión del universo obtenidos. El presente artículo trata de mostrar que las paraciencias son una perversión del esquema anterior.



Es más, defenderé que el esquema de la figura 4 define el concepto de paraciencia, a la vez que explica la metodología corrupta que utiliza, robada del quehacer científico para adueñarse de su prestigio ante públicos poco avisados. Al igual que el método científico, tiene un plano de trabajo más cercano al observador que la propia realidad, pero en este caso dicho plano es el objetivo. Nos se trata de estudiar la realidad, sino de forzar a la misma a adecuarse a dicho plano, que llamaremos plano de las explicaciones a priori . Toda paraciencia trata de preservar sus hipótesis apriorísticas, que son hipótesis no falsables, y por lo tanto no científicas. Para ello, en lugar de existir una proyección de la realidad hacia el modelo, como en el caso científico, existe una retroproyección en dirección contraria, desde las supuestas verdades que queremos preservar hacia la realidad. Así pues, existe una visión deformada de la realidad, coherente con la asunción de los postulados arbitrarios que hay que preservar a toda costa. Este esquema es doblemente perverso, pues además de funcionar al revés, es capaz de usar el lenguaje de la ciencia en su desarrollo. Esto es así porque permite observaciones de la realidad, como en el caso científico, pero sólo si mantienen incólume el conjunto de presuposiciones . Dichas observaciones de lo real pasan por un filtro, de forma que sólo las observaciones que validan las explicaciones a priori son tenidas en cuenta.
De esta manera, la crítica desaparece y el "modelo" se perpetúa, pero la paraciencia se viste de lenguaje científico, pudiendo emplear tendenciosamente cuantas herramientas provengan de la ciencia para revalidar su hipótesis inicial. En el caso del llamado creacionismo científico se ven perfectamente las componentes del esquema. La información a preservar a costa de lo que sea es la creación del hombre por Dios. Este es el punto de partida y de llegada. Todo el registro fósil se ve en consecuencia, y se interpreta de forma que sea consistente con el punto inicial. Las observaciones son filtradas, de forma que siempre favorezcan la hipótesis, pero existen observaciones, lenguaje robado del mundo de la biología y la paleontología, y un aspecto exterior cientifista.
La naturaleza del filtro paranormal no es unívoca, sino cambiante y múltiple. A veces se trata de burdas maniobras de engaño, otras veces la práctica con este tipo de actuaciones hace que el autor del trabajo sea inconsciente de su existencia y no sea un engañador consciente. En muchas ocasiones basta un tratamiento estadístico no correcto de la información recopilada, o incluso una recolección sesgada de la misma. Es perfectamente posible aparentar el rigor, la nomenclatura y las formas del quehacer científico, pero la existencia de este esquema perverso con el plano de las explicaciones a priori a preservar a toda costa, y de la retroproyección del mismo hacia la realidad constituye la "marca de la casa" de los amigos de la paranormal.
Comprender cómo actúa la paraciencia es requisito sine qua non para batallar contra ella, y lo que es más importante: para explicar al oyente menos avisado por dónde vienen los tiros.

TIO PETROS en MARZO 2004

Comenzamos el mes comentando la relación del Teorema de Ramsey con aspectos concretos de la teoría de grafos.

Dado que parecía que la densidad de los post era grande, aliviábamos la tensión con un divertimento en un problema infernal; pero esto sólo fué un paso atrás para tomar impulso: paseamos por encima de alguna aplicación infinitista del teorema de Ramsey y vimos la posibilidad de demostrar que toda sucesión de números relaes tiene una subsucesión monótona (teorema de Bolzano) de una forma sorprendente.

Acabábamos de reirnos con un chiste matemático cuando el terrorismo islámico golpeó Madrid y nos interrumpió a todos.

Volvíamos a los cauces habituales de este blog con la función de utilidad, un concepto de importancia crucial en teoría de Juegos y Teoría de la decisión. Aquí continuamos desarrollando el mismo tema.

La distribución de los números primos dentro del conjunto N es un tema querido por cualquier interesando en la matemática. En este post vimos algo referente a los números primos gemelos y su distribución, así como la definición de la constante de Brun.

EL gallinero paranormal y el gallinero escéptico se veía revuelto por estos días con el pseudoprograma "El castillod e las mentes prodigiosas". Nos manifestamos a favor de la participación de Javier Armentia aquí, si bien matizabamos lo anterior aquí, tras la emisión del último programa.

Hablamos de las leyes de los grandes números, e hicimos dos incursiones en el escepticismo activo comentando un tópico paranormal, y hablamos de las múltiples acepciones de la palabra teoría.

Esto fué en Marzo.

Les espero en Abril, si ustedes quieren.

El castillo de los dementes

Quien esto escribe se ha manifestado a favor de la intervención de Javier Armentia en televisión, en el mierda-programa de marras. Aunque sólo fuera por eso, me vi en la obligación de verlo ayer. No volverá a ocurrir; en la pausa publicitaria de las doce menos cuarto, mi señora y yo huímos al dormitorio.

De verdad, no pensaba que el cutrerío fuera tan elevado entre los "concursantes": una caterva de gilipollas integrales disfrazados de sí mismos. Me quedo con la frase del Padre Apeles : Antes de demostrarnos que tienen ustedes una mente prodigiosa, deberían intentar demostrarnos que tienen mente .

Lo dicho, me libero de la obligación autoimpuesta de ver semejante programa y por ello, me abstendré de comentar en lo sucesivo cualquier cosa al respecto. Tan sólo reiterar mi idea original de apoyo a Don Javier Armentia, y la esperanza de que pueda hacer algo (esperanza que, ciertamente se va desvaneciendo, visto lo visto) en semejante fangal.

Después de todo, y bien mirado; pudiera ser que la simple exhibición de estos idiotas fuera la mejor propaganda racional, sin necesidad de tribunal alguno.