¿Qué es una teoría?

En cierta ocasión, discutiendo con Testigos de Jehová, descubrí algo que para mi fue importante: la palabra teoría tenía para ellos un significado muy diferente del que tenía para mí. La teoría de la que hablábamos era, cómo no, la Teoria de la evolución .

No hay mejor manera de empezar a entenderse que ponerse de acuerdo en la acepción de los términos que empleamos. Por eso creo interesante hacer un post sobre lo que es y lo que no es una teoría, en cada contexto.

Cuatro frases nos ejemplificarán las cuatro acepciones de la palabra, además de la coloquial que significa simplemente “elucubración”, “opinión”.

1.- La teoría de la probabilidad surge de manera natural de la teoría de la medida.

2.- La teoría de la relatividad utiliza cálculos tensoriales en sus desarrollos matemáticos.

3.- El doctor Jiménez del Oso dará hoy una conferencia sobre la teoría psicobioenergética tibetana y sus conexiones con el nivel astral subcuántico presente en las psicofonías y con los megalitos pascuenses.

4.- El catedrático de mariología Angel Sagrado Iglesias publica un estudio sobre la teoría de San Agustín relativa a la asunción de la Virgen María.


La primera frase se refiere a una teoría matemática. Ya hemos hablado de ello en otras ocasiones. Una teoría matemática no tiene nada de elucubración ni de suposición. Es un cuerpo teórico en forma de definición- teorema-demostración-corolario.
Dentro de su campo de aplicación, sus conclusiones son verdad absoluta, inmutable y eterna. Amén.

La segunda se refiere a una teoría científica, que la diferencio completamente de una teoría matemática. Aquí es donde los testigos de Jehová (y muchos otros) tienen problemas. La incomprensión a este respecto no es sino reflejo de la incomprensión de la labor de la ciencia por parte del público.

Existen básicamente dos formas de ver la labor de la ciencia entre el gran público; entendiendo “gran público” como “subconjunto de seres humanos ajenos al quehacer científico”. Por un lado están los que desde el desconocimiento comprueban, muchas veces maravillados, el progreso del conocimiento y de la técnica a través de la información normalmente nefasta que les llega desde los medios de comunicación. Para ellos, el prestigio de la ciencia como garantía de la verdad en lo que se dice es muy grande. Los agentes de publicidad lo reconocen y explotan con frecuencia, señalando que las bondades del producto X han sido "científicamente comprobadas" o que la superioridad del producto Y está "demostrada científicamente”. A veces basta introducir una vocablo de apariencia científica para añadir una pátina de prestigio a un producto comercial. Mi ejemplo preferido es un producto de limpieza con “desincrustol D”, por no hablar de los bífidus activos, las nanoesferas... para qué seguir?

De esta forma, las proposiciones científicas aparecen como ciertas y aún más, como irrefutables. Los mismos razonamientos paranormales, en busca de un prestigio del cual carecen están plagados de frases como “ ha sido demostrado científicamente que...”, frase casi ausente en cualquier artículo serio.

Existe otra porción, en aumento, que “sabe” algo más, pero lo sabe mal. Saben que lo anterior no es correcto, y que las verdades científicas no sólo no son absolutas, sino que ni siquiera son permanentes. Saben de cambios de paradigmas, pero caen en el relativismo gnoseológico más pernicioso. En realidad opinan exactamente lo contrario de los anteriores. Los argumentos esgrimidos pueden ser del siguiente tipo:

1.- Antes se creía que la tierra era plana. Luego se demostró que en realidad era esférica, y ahora resulta que eso tampoco es cierto, que tiene forma achatada. Lo que se demostró como cierto resultó que no lo era, por lo tanto.

2.- Copérnico se cargó a Ptolomeo; Einstein a Newton, mañana alguien se cargará a Einstein y a Darwin. Por lo tanto la teoría de la relatividad, la teoría de la evolución, etc, son eso: teorías. Pero no son la verdad, no se han demostrado. Mañana puede salir alguien demostrando que Einstein estaba equivocado, y que se pueden hacer viajes instantáneos a las estrellas.

Existen infinidad de variantes. La conclusión de todas ellas es que nunca podemos estar seguros de nada, y que la ciencia es un complot, una colección de dogmas no muy diferente de los dogmas de las religiones. Los profetas New Age han explotado esta versión siempre que les ha sido posible.

Sería bueno explicar las falacias de ambos razonamientos. Y en realidad no es difícil explicar que ambas visiones de la ciencia son falsas. Creemos que es mucho más fácil explicar cómo funciona la ciencia que explicar cuestiones científicas, e igualmente productivo, y quizás por ahí habría que empezar.

Será en extremo difícil convencer de la existencia de falacias en sus razonamientos creacionistas a un creyente, pero es posible que entiendan perfectamente lo siguiente:

1.- Una teoría científica es un modelo de la realidad, creado por el hombre para explicar el funcionamiento del mundo con el menor número posible de hipótesis.

2.- El trabajo científico tiene una realimentación que impide elucubrar en vano: los modelos predicen cosas que luego la realidad corrobora, o descarta. De ahí que las hipótesis sobre el modelo deben ser predictivas y refutables.

3.- Una teoría científica que da respuesta a todo lo observado es una teoría útil, pero no por ello es una teoría CIERTA.

4.- Cuando se descubren datos que se desconocían y que la teoría explica, ésta sale reforzada, en caso contrario entra en crisis, y puede ser sustituida por otra mejor, Y NO PASA NADA. Así avanza la ciencia.

5.- El castigo por demostrar que lo que se creía es falso, y que debemos cambiar el modelo en una teoría importante suele ser el premio Nobel.

6.- No existe una ciencia oficial y otra extraoficial. Existe una unicidad metodológica, dentro de la enorme variablilidad en toda la ciencia, que cumple el esquema arriba explicado.


La tercera frase se refiere a una teoría paranormal . Las paraciencias tienen una metodología corrupta propia, y de ello nos ocuparemos pronto. De momento, baste con decir que la palabra teoría en este contexto es muy diferente a la misma palabra en los dos contextos anteriores. La estrategia paranormal debe llevar implícito un filtro que no deje pasar los hechos que se enfrenten a la tesis que se debe defender a toda costa. Cualquier posibilidad es aprovechada, dado que los planteamientos paranormales no exigen coherencia ni rigor: a veces se explotará la primera visión de la ciencia, y otras la segunda, normalmente con apelaciones constantes al principio de autoridad de “prestigiosos investigadores” a los que nadie conoce.

La cuarta frase se refiere a una teoría teológica o religiosa. La función de la búsqueda de la verdad en estos contextos es sustituida por una fuente de revelación. Nada que ver con lo que estamos tratando aquí...

Aclarar qué acepción de la palabra teoría estamos utilizando en cada caso es un paso importante para entendernos con nuestros interlocutores amigos de lo paranormal, por ejemplo.

Para ello, hace falta que el interlocutor sea rebatido con respeto, y que quien trata de eliminar el filtro no olvide nunca que en el fondo está atacando seguridades muy queridas por el creyente, y ofreciéndole a cambio un mundo incierto, inseguro... y un poco más veraz.

¡Cuánto espacio desaprovechado!

En el post anterior un lector (dob) ha escrito una frase que me ha llamado mucho la atención:

El problema que veo para hacer aceptar estos conceptos a la gente es que la idea de azar parece difícilmente asumible para el primate que todos llevamos dentro. Nos gusta una buena historia, y si no la vemos nos la inventamos porque la necesitamos.

Resulta que quien esto escribe piensa lo mismo. Además, me gustan las buenas historias. Por eso, y porque creo que es posible inventar buenas historias para disfrutar con ellas sin necesidad de creerlas como ciertas ni de prostituir nuestro pensamiento racional; he pensado que podría incluir en este blog, que ante todo quiere ser un espacio racional, una serie de reflexiones acerca de las falacias y las afirmaciones mágicas que nos invaden por doquier. Al fin y al cabo, es normal que a quien ha estudiado bastantes demostraciones matemáticas rigurosas le llame la atención las pretendidas "demostraciones" que circulan por ahí sobre tópicos paranormales y sobre absurdos varios.

Estas reflexiones, que iré poniendo en sucesivos post, intercalados con otros de contenido más matemático, las tengo escritas hace cierto tiempo para otros espacios, y no pretender ser reflexiones originales. Son mías porque las he hecho mías, sin más. Espero que les resulte interesante.

Comenzamos con la primera: una afirmación que aunque está hecha normalmente en forma de exclamación, encierra una falacia bastante gorda. Es una de mis favoritas.

SI ESTAMOS SOLOS EN EL COSMOS...!CUÁNTO ESPACIO DESPROVECHADO!

Seguro que todos hemos oído esta frase, en cualquiera de sus múltiples variantes más de cuatro veces. Como la famosa afirmación de que solo usamos el 10% de nuestro cerebro, pertenece al grupo de afirmaciones que se asumen por ser muy oídas. Muy poca gente se para a pensar un momento qué quiere decir, y qué verdad o falsedad esconde tras de sí.

Podríamos empezar por decir que el principio de aprovechamiento del espacio brilla por su ausencia dentro del conjunto de leyes universales, pero eso es tan sólo un camino para deshacer la falacia, y hay que explorarlos todos.

La pregunta, como todas las afirmaciones paranormales, es perversa: en forma de pregunta esconde una respuesta apriorística: No estamos solos en el cosmos . Pero es que además, cae en un antropocentrismo velado: la mejor forma de “aprovechar” el espacio es llenarlo de vida inteligente (como la nuestra). De esta forma, el entorno terrestre está “bien aprovechado”; mientras que Plutón y sus inmediaciones están mal aprovechadas. El sistema solar en su conjunto parece estar “medianamente aprovechado”, en vista de que no encontramos vida en él aparte de la terrestre ( dejando en suspenso las sorpresas que nos depare Europa y quizás Titán). Asumiendo la inexistente ley del aprovechamiento espacial, nos resulta imposible de admitir la no existencia de vida inteligente en nuestra galaxia, y no digamos ya en el universo.

Queda clara pues la nula potencia de la pregunta, y la ilícita respuesta a la que parece conducir. Pero podemos aprovechar la circunstancia para preguntarnos qué tamaño mínimo debería tener el universo para que nosotros estemos en su seno haciendo este tipo de preguntas.

Para que nosotros existamos ¿bastaría con un entorno, digamos como el sistema solar? ¿Bastaría con un entorno algo mayor, que incluya a un grupo local de estrellas de unos cien años luz de diámetro? La respuesta es clara y contundente, sin ambigüedad alguna: NO BASTARIA.

¿Porqué es esto así?

Vayamos por partes. El universo es muy grande, y es tan grande porque es muy viejo. Se expande a una velocidad comparable con la velocidad de la luz, de forma que su diámetro es proporcional a su edad. Sin entrar en complicados temas cosmológicos en una primera aproximación (no nos interesa para nada la exactitud en este momento, y la edad real es motivo de controversia) podemos decir que su tamaño en años luz es igual a su edad en años. De esta forma, nuestra pregunta puede ser reformulada en unidades de tiempo: ¿Cuánto tiempo hace falta para que surja vida inteligente por procesos naturales? Ahora es cuando vemos el tema bajo una nueva luz. La vida es un proceso complejo. Necesita de unos elementos idóneos para constituirse. Admitimos de buen grado que cualquier tipo de vida extraterrestre puede ser muy diferente a la nuestra, pero siempre será un proceso muy complejo, y necesitará un sustrato material idóneo. Pero en el universo primitivo no existían estos constituyentes, sino tan sólo hidrógeno (H). Es el interior de las estrellas el único lugar en el que se sintetizan. Las estrellas son formidables hornos nucleares en los que el H se convierte en Helio (He) por fusión nuclear, liberando mucha energía. Cuando el H se agota, si la dinámica estelar lo permite se unen núcleos de He para producir átomos más pesados, y se van produciendo todos los constituyentes necesarios para la vida: Carbono ( C) ,Nitrógeno (N), Oxígeno(O), Fósforo(P),Azufre (S)...

Cómo consiguen salir del interior de las estrellas? Una estrella es un formidable pozo gravitatorio, del que nada pesado puede salir si no hay un poderoso proceso que lo permita. ¿Lo hay? Pues afortunadamente para nosotros, sí lo hay.

Las estrellas revientan de vez en cuando en una espectacular sesión de fuegos artificiales: las supernovas. Cuando esto ocurre, contaminan el ambiente interestelar con los elementos pesados que se produjeron en su seno. Más aún: forman unos frentes de onda de tal intensidad debido a la explosión que inducen a nubes de H a colapsar gravitatoriamente y formar nuevas estrellas, que naturalmente nacerán contaminadas de los metales producidos por la supernova. Si se forman planetas en el disco de acreción de la estrella, estos planetas podrán estar constituidos por restos pesados, como es el caso de la tierra.

Así pues, debe ser una estrella de segunda generación la que vea surgir en sus inmediaciones la vida, por muy simple que sea esta. Debe haber transcurrido toda la vida de una generación estelar previa, debe haberse formado una segunda generación, y debe haber transcurrido un número indeterminado de miles de millones de años para que el entorno neoestelar se haya estabilizado lo suficiente como para poderse iniciar un proceso biogénico.
Todo esto lleva, digamos diez mil millones de años como mínimo, luego para que yo esté en este momento tecleando en un ordenador, el diámetro mínimo necesario de lo existente es de diez mil millones de años luz. En una esfera de diámetro menor NO CABE la posibilidad de mi existencia.

Dicho esto, dónde está ese espacio desaprovechado?

Leyes de los grandes números

Ya hemos tenido ocasión de comentar que el concepto de independencia es el que da sabor especial a la teoría de la probabilidad, y lo separa de la teoría de la medida, de la que surge naturalmente.

La definición de independencia de dos sucesos aleatorios es muy simple: Los sucesos A y B son independientes si se cumple que la probabilidad de que se den ambos es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos. Por ejemplo: la probabilidad de sacar un seis al lanzar un dado es 1/6, y la probabilidad de sacar cara con una moneda es ½. Si lanzamos primero uno y luego otro, o ambos a la vez, la probabilidad de sacar un seis en el dado y cara en la moneda es ½ x 1/6=1/12.

Cuando esto ocure, la materialización de uno de los sucesos nada nos dice de la del otro: un seis en el dado no nos aporta información de lo sacado en la moneda, ni viceversa. Esta última visión del asunto la podemos expresar en forma de probabilidades condicionadas:

P(A/B)=P(A)
P(B/A)=P(B). Si A y B son independientes.


Esto es: la probabilidad de un suceso condicionada al resultado de otro suceso independiente suyo es igual a la probabilidad de suceso sin condicionar. Esta visión es la que nos da la explicación de la palabra independencia utilizada para expresar esta propiedad.

Gran parte del pensamiento mágico e irracional que comprobamos a nuestro alrededor consiste precisamente en negar la independencia a sucesos aleatorios independientes. Por supuesto, a priori no es siempre evidente cuándo unos sucesos son independientes de otros, pero existe una especie de creencia humana en la justicia de los sucesos aleatorios que desvirtúa las apreciaciones de independencia. Según esta creencia no siempre verbalizada ni expresada, parecería que las probabilidades de los sucesivos eventos tienen que irse modificando. Al fin y al cabo, todos sabemos que si tiramos infinitas veces un dado, la sexta parte serán unos, otra sexta parte serán doses, y así hasta los seises. Si por un azar extraño hamos obtenido una racha inusitada de unos, por decir un número, algo tendrá que pasar para compensar este hecho ...

Hace años, traté infructuosamente de convencer durante meses a un compañero de trabajo, entrado en años él y gran aficionado a los juegos de azar, de que aunque el gordo de la lotería llevara muchos años sin acabar en cuatro, por ejemplo, eso no modificaba para nada la probabilidad de que acabara en cuatro el próximo sorteo. Mi compañero no sabía lo que eran las variables aleatorias independientes, pero intuía la existencia de la Ley de los grandes números .

Decimos que una sucesión de variables aleatorias X _n, definidas sobre un mismo espacio de probabilidad obedece a la ley de los grandes números cuando la media de las observaciones de n resultados tiende a la media de las esperanzas de las variables aleatorias de la sucesión según n aumenta.

He puesto la palabra tiende en cursiva para resaltar la informalidad y ambigüedad de la expresión. En efecto, según qué entendamos por tiende , tendremos las llamadas leyes fuertes o débiles de los grandes números. Pero no quiero incidir en ello, lo importante es que tras esta definición existe un montón de teoremas que nos especifican qué propiedades debe cumplir una sucesión de variables aleatorias para que cumpla esta ley de los grandes números. Estos nos irán dando detalles de cómo deben ser estas variables aleatorias para que obedezcan a una ley (fuerte o débil) de los grandes números, llegando a la conclusión de que la mayor parte de los casos que se nos presentan en la vida cotidiana obedecen dicha ley, cuando las variables son independientes. No hace falta una extraña “interconexión” entre las variables para que la media de las mismas se vaya acercando a la esperada.

Varios de estos teoremas son:

Teorema de Tchebychev



Basta que las variables aleatorias independientes tengan la varianza acotada para que cumplan la ley débil (convergencia en probabilidad).

Teorema de Khintchine



Si las variables aleatorias independientes están idénticamente distribuidas, basta que tengan esperanza no infinita.

Es la enorme generalidad de estos teoremas la que nos dice que no es necesaria conexión ni memoria alguna entre los sucesos pasados y futuros independientes para que las aguas vuelvan a su cauce , y la media de las observaciones se acerque asintóticamente al valor esperado. Y nos lo dicen en el estilo habitual en el que nos hablan los teoremas matemáticos: con la certeza de una verdad inmutable, de un hecho incuestionable por toda la eternidad.

Pero claro, mi compañero no creía que un teorema pudiera ser más importante que su fuerte intuición.

Por cierto; nunca ganó un duro con los juegos de azar.

Javier Armentia y las mentes prodigiosas.

Antena3 es una cadena privada de televisión en España. Creo necesario decirlo para ubicar a los lectores no españoles que honran este blog con sus visitas. La última payasada de la televisión ( no de Antena3 explícitamente, sino de la televisión en general) es El castillo de las mentes prodigiosas.

Se trata de Un nuevo concurso en el que convivirán diez personas que aseguran estar dotadas de facultades sobrenaturales… Es decir, afirman que son capaces de hacer cosas que, según ellos, el resto de los mortales no podemos realizar.

El programa producido por Gestmusic para Antena 3 fue seguido el martes en el horario de máxima audiencia de la cadena privada por 1,6 millones de espectadores y no superó el 14,9% de cuota de pantalla. Videntes y brujas concursaron con sus pronósticos y predicciones de futuro en medio de un ambiente esperpéntico que llevó a la cadena privada de Planeta a sus índices de audiencia más bajos.

Pero no es de esto de lo que quiero hablar, sino de la participación en dicho programa de Javier Armentia , director del planetario de Pamplona, astrofísico, excelente blogero y ex-presidente de ARP (Alternativa Racional a las Paraciencias).

He leído en la excelente bitácora de Luis Alfonso Gamez un montón de comentarios críticos de los lectores a la presencia de Armentia en dicho mierda-show. Y no puedo salir de mi asombro por ello. Desde aquí, mi más sincera felicitación a Javier, que va a ganar dinero, se lo va a pasar de cine riéndose de la estupidez humana, y además, seguro, va a aportar el granito racional y crítico que este tipo de programas no suelen tener. Seguro que es la persona idónea para llevar a cabo una visión crítica de este asunto, seguro que sin su presencia (o la de otro escéptico válido como él), a miles de personas llegaría un mensaje absurdo, falso y estúpido de la supuesta realidad de los fenómenos paranormales.

La constante de Brun

Como ya hemos mencionado varias veces, dos números primos se denominan primos gemelos cuando uno de ellos es igual al otro más dos unidades. La pareja {3,5} es una pareja de primos gemelos, al igual que {17,19}.

Así como es muy sencillo demostrar que el número de primos es infinito, no parece ta fácil demostrar lo mismo para los primos gemelos. De hecho, la llamada Conjetura de los primos gemelos es precisamente el postulado de la infinitud de los mismos, sin demostración conocida de momento.

Esta conjetura, a pesar de ser difícil de demostrar, no es sino un caso particular de otra conjetura más genral: la Conjetura de Polignac , que dice que para todo número natural k , existen infinitos pares de primos tales que su diferencia es 2k . Como podemos comprobar, la Conjetura de los primos gemelos no es sino el caso particular de la Conjetura de Polignac para k=1 .

Aunque están tan firmes como cuando se postularon, y resisten todos los embates de los matemáticos, tenemos ciertos resultados parciales, el primero de los cuals, cómo no, es debido a Erdös:

existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que p' - p < c·ln(p), donde p' denota el número primo que sigue a p. Erdös, 1.940

En 1966, Jing-run Chen mostró que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de, a lo más, dos factores primos.

Otro adelante en este sentido fue dado por el matemático Viggo Brun, quien en 1.919 demostró que la suma de los inversos de los primos gemelos es convergente. ¿Qué importancia tiene esto? Bueno, podemos decir que la convergencia de tal suma es una indicación, si no de la cantidad de primos gemelos, sí al menos de la densidad de los mismos. Me explico. La serie armónica es la suma de los inversos de todos los números naturales: 1/1+1/2+1/3+...+1/n+...

Existen muchas y muy bellas demostraciones de que esta serie, a pesar de crecer muy despacio (cada vez más despacio), es infinita. Una buena pregunta es cuántos naturales podemos quitar para que la suma de los inversos de los que quedan siga siendo divergente. Es fácil convencerse de que si tomamos tan solo uno de cada M naturales, la serie resultante sigue siendo divergente. Por ejemplo, tomemos uno de cada trillón de naturales( cogemos el inverso de 1 trillón más el inverso de dos trillones, más...). La suma de todos ellos será una trillonésima de la suma de la serie armónica completa, y la trillonésima de infinito sigue siendo infinito.

Más sorpresivo es que incluso la suma de los inversos de los primos siga siendo divergente. Dado que cada vez se hace más enrarecido el conjunto de primos en el seno de N, pudiera parecer que desechar los inversos de todos los no primos es suficiente para acabar con la divergencia a infinito... y sin embargo no es así.La suma de los inversos de los primos diverge.

Brun demostró que esto no ocurre con los primos gemelos, y que la suma de sus inversos no es infinita. De ahí que dicha suma se denomine constante de Brun , cuyo valor es de

B= 1.90216 05823 ± 0.00000 00008 ,

Usando para el cálculo todos los primos gemelos menores de 1.6×10¹⁵.

La función de utilidad (2)

Ante un juego, o ante un problema de decisión, tenemos un conjunto de posibilidades de actuación, cada una de las cuales nos da un resultado. Quizás el resultado es determinista, quizás no lo es. En el primer caso diremos que estamos en ambiente de certidumbre, y en el segundo diremos que estamos en ambiente de riesgo.

La manera de unificar ambos ambientes es la siguiente:
Tenemos un conjunto A={A₁, A₂,..., A_n} de posibles estrategias o actuaciones que desembocan en resultados. Se supone que existe una relación entre los posibles resultados, que llamaremos relación de preferencia-indiferencia. El jugador debe saber decidir si entre dos resultados A y B prefiere uno, otro ,o le son indiferentes.

Una función de utilidad es una aplicación definida en el conjunto de posibles resultados A, con valores reales, tal que respeta la relación de preferencia entre los resultados. Esto es: si el resultado A es preferido al B, entonces la utilidad U(A) es mayor que la utilidad U(B).

Cuando nos movemos en ambientes probabilísticos, una actuación suele desembocar en posibles resultados: eligiendo la estrategia, X tenemos una probabilidad p₁ de obtener el resultado A₁, una probabilidad p₂ de obtener el resultado A₂... y una p_i de obtener el resultado A_i. En este caso , una vez definida la función de utilidad de los sucesos A_i, la valoración de utilidad de la adopción de la estrategia o elección X será: p₁·U(A₁)+ ... + p_i·U(A_i), donde la suma de todas las p_i es lógicamente la unidad.
De esta forma, el ambiente de certidumbre se considera como una variedad del ambiente en riesgo, para el cual ante una determindad ectuación o estrategia, las probabilidades de todos los resultados posibles son cero excepto para uno de ellos, que vale uno: Hablamos de una distribución de probabilidad degenerada. Hablaremos pues de ambiente de riesgo, entendiendo que es el general que engloba al de certidumbre como caso particular.

John Von Neumann y Oscar Morgenstein establecieron la axiomática de las utilidad utilizando un concepto adicional: el de mixtura

Ante dos opciones X e Y, la mixtura de ambas se representa por pX+(1-p)Y. Aquí, tanto X como Y son actuaciones que llevan una distribución de probabilidad asociada de obtener los resultados A_i con probabilidades p_i la X y con probabilidades q_i la Y. La mixtura de ambas se interpreta como una decisión aleatoria consistente en elegir la actuación X con probabilidad p y elegir Y con probabilidad (1-p).

Existen cuatro axiomas de comportamiento racional que deben cumplir las mixturas. Cuando lo cumplen, el conjunto de todas las posibles decisiones junto con la operación mixtura se denomina un espacio de mixtura P.

Son los siguientes:

1.- Si X e Y pertenecen a P, entonces pX+(1-p)Y tambien pertenece a P.
2.- 1·X + 0·Y=X

3.- pX+(1-p)Y= (1-p)Y+pX

4.- Si Z= pX + (1-p)Y, entonces qZ + (1-q)Y = pqX + (1-pq)Y

En tal caso, la axiomática que nos ocupa consta de otros cuatro axiomas, que son los siguientes:

A I: Hay en P definidada una relación de preferencia-indiferencia que es un preorden completo.

A II: Hay definida en P una operación que lo convierte en un espacio de mixtura.

A III: Axioma de sustitución: Para cualquier X,Y,Z de P, X es preferida a Y si y solo si pX+(1-p)Z es preferida a pY + (1-p)Z.

A IV: Axioma de continuidad: Si X,Y,Z son tales que X es preferida a Y e Y es preferida a Z, entonces existen dos números p, q comprendidos entre cero y uno tales que:

pX + (1-p)Z es preferida a Y
Y es preferida a qX + (1-p)Z.

Cuando se cumple todo lo anterior, el teorema de existencia de función de utilidad, debido a Von Neuman y Morgenstein dice que existe una función U definida en el espacio de mixtura, única salvo por transformaciones lineales, lineal a su vez y que queda determinada fijando el valor de dos actuaciones.

Vuelta a la bendita normalidad

Volvemos paulativamente a la normalidad, y eso es bueno. Se nota incluso en el número de entradas en TioPetros, artificialmente hinchadas tras los sucesos de Madrid de la semana pasada, que vuelve a su nivel habitual tras un fenómeno transitorio.

Ojalá este pico de visitas no se hubiera producido nunca.

Ojalá, si se vuelve a producir otro pico semejante, sea por un repentino interés de la gente en las historias matemáticas, o por un incremento de la calidad de los post aquí publicados.

La función de utilidad

Cuando Von Neuman y Morgenstein establecieron los fundamentos de la Teoría de Juegos, establecieron una definición axiomática de la denominada función de utilidad , a la que volveremos en próximos post. Este concepto refleja la incuestionable realidad de que una ganancia concreta no supone lo mismo para todas las personas. No es la ganancia lo que maximizamos, en la teoría de juegos, sino la función de utilidad del jugador; que siempre estará muy relacionada con la ganancia, sin ser lo mismo. Para empezar, parece ser que nuestra percepción de "felicidad" por haber conseguido algo no es directamente proporcional a la magnitud de lo conseguido, sino al logaritmo de lo conseguido.

Otras veces, lo que verdaderamente nos importa poco tiene que ver con las ganancias del juego; como en el caso que sigue, tomado textualmente de www.acertijos.net


Un banquero de inversión americano estaba en el muelle de un pueblito costero mexicano cuando llegó un botecito con un solo pescador. Dentro del bote había varios atunes amarillos de buen tamaño.

El americano elogió al mexicano por la calidad del pescado y le pregunto:

"¿Cuánto tiempo le tomó pescarlos? "

El mexicano respondió:

"Sólo un poco tiempo".

El americano luego le preguntó:

"¿Porqué no permaneces más tiempo y sacas más pescado?"

El mexicano dijo que él tenía lo suficiente para satisfacer las necesidades inmediatas de su familia.

El americano luego preguntó:

"Pero.. ¿qué haces con el resto de tu tiempo?"

El pescador mexicano dijo:

"duermo hasta tarde, pesco un poco, juego con mis hijos, me hecho una siesta con mi señora, María, voy todas las noches al pueblo donde tomo vino y toco guitarra con mis amigos. Como ves tengo una vida divertida y ocupada."

El americano replicó:

"Soy un MBA de Harvard y podría ayudarte. Deja te explico... deberías gastar más tiempo en la pesca, con los ingresos comprar un bote más grande, con los ingresos del bote más grande podrías comprar varios botes, eventualmente tendrías una flota de botes pesqueros. En vez de vender el pescado a un intermediario lo podrías hacer directamente a un procesador, eventualmente abrir tu propia procesadora. Deberías controlar la producción, el procesamiento y la distribución. Deberías salir de este "pinche" pueblo e irte a Ciudad de México, luego a Los Angeles y eventualmente a Nueva York, donde manejarías tu empresa en expansión".

El pescador mexicano preguntó:

"Pero, ¿cuánto tiempo tarda todo eso?"

A lo cual respondió el americano:

"entre 15 y 20 años"

El mexicano:

"¿Y luego qué?"

El americano se rió y dijo que esa era la mejor parte. "Cuando llegue la hora deberías anunciar un IPO (Oferta inicial de acciones) y vender las acciones de tu empresa al público. Te volverás rico, tendrás millones".

El mexicano:

"Millones ...¿y luego qué?"

Dijo el americano:

"Luego te puedes retirar. Te mueves a un pueblito en la costa donde puedes dormir hasta tarde, pescar un poco, jugar con tus hijos, echar una siesta con tu mujer, ir todas las noches al pueblo a tomar vino y tocar la guitarra con tus amigos".

PLAN PARA HOY

NOSOTROS VOTAMOS

NOSOTROS OS ECHAMOS

La gran pregunta tras las elecciones de ayer

El Partido Popular ha caído estrepitosamente, a pesar de que hace unos días ninguna encuesta auguraba tal evento.

EL autor de este blog se felicita por ello.
Sin embargo hay algo respecto a esto que me parece aterrador.

Lo formularé en forma de pregunta:

¿QUIÉN HA CAMBIADO EL GOBIERNO DEL ESTADO ESPAÑOL?

La pregunta parece completamente idiota. La respuesta estandar es: El pueblo español, en su proverbial sabiduría ha castigado al Partido Popular principalmente por su política exterior belicista .

Sinceramente: están seguros?

La política exterior del PP era la misma hace una semana que ayer.

Decir que el pueblo español (cualquier pueblo) es sabio, es como decir que la naturaleza es sabia: una falacia. Las opiniones del pueblo suelen ser comedidas y ponderadas por motivos estrictamente matemáticos que nada tienen que ver con la sabiduría: son el promedio de nuestras gilipolleces individuales, y como promedio, las opiniones más extravagantes tienden a quedar oscurecidas.

Si la intención del pueblo A PRIORI hubiera sido castigar al PP, este dato habría salido en las encuestas previas, y no a sido así.

¿ Ha sido Al Qaida Quien ha destronado al PP y ha dado el poder al PSOE , que se revela como una organización criminal y asesina con capacidad de derrocar gobiernos democráticos a su antojo en menos de una semana?

¿Hemos necesitado los españoles un horrendo atentado de 200 muertos e innumerables heridos para dar al PP lo que se merecía?

Por favor les pido: llévenme la contraria, y convénzanme.

Estoy empezando a sentir mucho, mucho miedo.

LA GRAN PREGUNTA ANTE LAS ELECCIONES DE MAÑANA

Una semana de silencio en Tio Petros era lo que me había propuesto en señal de luto y respecto por las víctimas y afectados.

Y no la voy a cumplir.

Creo que no podemos ni debemos cumplirlo, a pesar del inmenso, abrumador respeto que nos produce a todos la magnitud del dolor generado.

El motivo es evidente: mañana hay elecciones generales, y la responsabilidad de la autoría es determinante para lo que vaya a suceder en nuestro país los próximos cuatro años.

La política de transparencia nula empleada por el gobierno del PP en el caso Prestige nos sirve de aviso para lo que estamos viendo.

Tenemos unas 24 horas, antes de ir a votar para respondernos cada uno, íntimamente ya que las fuentes oficiales no nos van a decir la verdad hasta pasadas las elecciones, a la siguiente pregunta que retóricamente hago al presidente Aznar:

Señor Aznar:

Ya sabemos que los responsables de la matanza son los autores y los que los enviaron. Pero díganos:

¿TODO ESTO ES LA CONSECUENCIA DE LOS OIDOS SORDOS QUE PRESTÓ USTED AL CLAMOR POPULAR EN CONTRA DE LA INVASION DE IRAK Y DE SU PAPEL REPRESENTADO EN LAS AZORES?



Una vez respondida la pregunta, cada uno en su fuero interno si no hay confirmación oficial del asunto, a votar.

Y nuestro respeto por el dolor generado sigue siendo absoluto. Es más: creo que es un deber para con nosotros, para con las víctimas y para con el país hablar de ello precisamente hoy.

Dentro de unos días será ya tarde...

LUTO Y HORROR

Esta bitácora está de luto.Un gran número de personas han dejado de existir en Madrid la mañana de hoy.

Un gran número de seres conscientes lo han perdido todo: lo que eran, lo que tenían y lo que podrían llegar a ser o a tener. Una cadena de atentados ha acabado con la vida de treinta, cuarenta, sesenta personas. A las horas eran cien, cientoveinte, cientosesenta...se habla de casi 200 muertos.

No me importa la autoría: pudiera ser ETA, que en nombre del pueblo vasco (mi pueblo) asesina a trabajadores en las estaciones de tren madrileñas. Pudiera ser un atentado de corte islámico. Me importa una mierda.Lo que sí me importa es el dolor, la sangre y la muerte en las calles de Madrid.

Malditos sean por siempre sus autores. Que la vida no les conceda un minuto de descanso ni de alegría. Larga vida les deseo en esas condiciones, y por supuesto en una celda para penar por ello.Durante una semana, este será el último post que verán los lectores.

Esta bitácora está de luto.

Desesperación matemática

Feliz fin de semana a todos los lectores de este blog.

Versión infinita del teorema de Ramsey

Comentábamos hace unos días que el Teorema de Ramsey en su versión inicial es finitista: no hace mención alguna de conjuntos infinitos. SIn elbargo existe una versión infinita del mismo, cuyo enunciado podría ser el siguiente:

Dado un conjunto infinito numerable A, si coloreamos todos sus subconjuntos de k elementos con r colores, entonces existe un subjonjunto B infinito tal que todos sus subconjuntos de k elementos llevan el mismo color.

En el lenguaje de los grafos ( lo cual, recordemos, sólo es posible cuando los subconjuntos son de tamaño k=2), tendríamos:

Si en un grafo completo infinito numerable coloreamos sus aristas con r colores, necesariamente tendremos un subgrafo monocromático de tamaño infinito.

Lo realmente extraordinario es que este teorema nos facilita una demostración inmediata del famoso Teorema de Bolzano .

Este teorema dice que Toda sucesión infinita de números reales contiene una subsucesión infinita que es monótona (creciente o decreciente)

La demostración es interesantísima por su simplicidad:

Sea A tal sucesión infinita de reales. Coloreemos todos sus subconjuntos de tres elementos {a,b,c}con cuatro colores, dependiendo de la disposición de los tres números que forman el subconjunto:

Color 1: si los tres elementos forman una secuencia creciente

Color 2: si el central es el mayor de los tres

Color 3: si el central es el menor de los tres

Color 4: si los tres elementos forman una secuencia decreciente.

No hay más posibilidades, de forma que nos bastan cuatro colores para asignar un color a cada uno de los subconjuntos de tamaño tres de la sucesión.

Pues bien: la versión infinita de Ramsey nos garantiza la existencia de un subconjunto infinito de A tal que todos sus subconjuntos de tres elementos son del mismo color. Es evidente que ese color sólo puede ser el 1 ó el 4, que corresponderían a la subsucesión creciente o decreciente del teorema de Bolzano.

Creo sinceramente que quien no se sorprenda con esta demostración, es que no ha entendido nada; o tiene la sensibilidad matemática de un celentéreo.

Problema infernal

Vamos a aligerarnos un poco de los densos contenidos "a lo Ramsey" de los post anteriores. Volveremos a ellos en breve. Les propongo un problema que me he encontrado por la red. Es un buen ejemplo de lo que sucede con juegos infinitos. Me explico:

Cuando tenemos un problema de decisión, lo habitual suele ser que la decisión consista en elegir un elemento entre un conjunto amplio de posibilidades. Para cada elección tengo una valoración, o una función de utilidad que refleja qué me aporta a mí (el elector) dicha decisión. Se trata de maximizar dicha función de utilidad en el caso de que sea un beneficio, o minimizarla en el caso de que se trate de un perjuicio.

Como muchas de las situaciones reales nos van a desembocar en funciones de utilidad que no son expresables por fórmulas sencillas, la tarea de optimización es cualquier cosa menos trivial. Muchas veces debemos acudir a algoritmos de optimización muy sofisticados (algoritmos genéticos, búsquedas tabú, algoritmos EDA, etc, de los que hablaremos en su día). Nada de esto es lo que les propongo hoy.

Veamos un ejemplo de decisión que implica valoraciones infinitas. Les animo a opinar al respecto.

Usted muere, y se presenta en las puertas del infierno. El diablo en persona le explica que puede jugar a cara o cruz la posibilidad de ingresar en el infierno de forma irremediable o salvarse. Además, le da la posibilidad de jugar hoy , mañana o cualquier otro día. Si decide postergar n días el juego, sufrirá n días de tortura infernal, pero podrá lanzar la moneda (n+1) veces (1); y bastará con que acierte una sola para salvarse.

Qué debe hacer usted?

(1) El número de lanzamientos permitidos es (n+1) porque el primer día ya puede lanzar una vez sin tener que esperar nada; lógicamente.

Ramsey y grafos

Los últimos post del mes de Febrero trataban de explicar el enunciado (que no la demostración) del Teorema de Ramsey . Comentamos entonces que dedicaríamos varios comentarios a aplicaciones prácticas del mismo, para acabar de comprender el sentido profundo del teorema.

Para ello, vamos a apoyarnos en la teoría elemental de grafos. Un grafo no es más que una colección de puntos, junto con aristas que unen unos puntos a otros. Vamos a restringirnos a grafos simples no orientados, en los cuales los lazos entre puntos no tienen dirección, y no existen lazos múltiples entre la misma pareja de puntos; ni lazos que vayan de un punto al mismo punto. Cada arista por tanto une dos puntos, y es una buena representacione de una relación entre los mismos.

Un grafo es completo cuando toda pareja de puntos tiene una arista que los une. El grafo completo de n vértices se denomina K_n. En la figura tenemos dos grafos completos: K₅ y K₆. Sus aristas han sido coloreadas de dos colores: rojo y azul.

Veamos el siguiente enunciado:

En un grupo de seis personas, o se cumple que tres se conocen entre sí, o se cumple que tres no se conocen entre sí

En las figuras, cada persona del grupo es un punto, y las aristas representan la relación de conocimiento o desconocimiento mutuo entre ellos. Digamos que rojo indica que sí se conocen y azul lo contrario.

Una alternativa al enunciado anterior es la siguiente:

Si en un grafo completo K₆ coloreamos sus aristas de dos colores, siempre encontraremos un subgrafo K₃ monocolor.

Espero que sea evidente para el lector la equivalencia entre ambos enunciados, y espero también que aprecie el "sabor a Ramsey" de este último.

En efecto, tenemos una aplicación directa del teorema de Ramsey: tenemos un conjunto X de seis puntos; tenemos el conjunto de todos sus subconjuntos de dos elementos (R=2), que no son sino las aristas del grafo , y coloreamos todas ellas usando dos colores. Ahora, dados los números tres y tres , el teorema de Ramsey nos asegura que si el conjunto X es suficientemente grande, existirá en su seno un conjunto de tres puntos unidos tan sólo por aristas de color rojo, o un conjunto de tres puntos unidos tan sólo por aristas de color azul.

Las figuras nos demuestran que para el caso de cinco personas, no es obligado el cumplimiento. Es muy fácil demostrar que con seis sí. En el caso concreto que presento, aparecen regruesados dos subrafos de orden tres monocromáticos: los que tiene como vértices (1,3,5) rojo; y los que tienen como vértices (4,5,6) azul.

El Teorema de Ramsey nos dice que si el número es suficientemente grande, en un grupo habrá, por ejemplo 20 personas que se conozcan entre sí dos a dos, o 15 personas que no se conozcan mutuamente. Para cualquier par de números, existirá un número mínimo R(m,n;2) por encima del cual, un conjunto de personas tendrá en su seno m personas que se conozcan todas ellas dos a dos, y n personas que no se conozcan. R(3,3;2) = 6, como acabamos de ver. En general, los valores de los números de Ramsey son desconocidos; pero hablaremos de ello en próximos días.

Volvemos a poner el enunciado para animarles a releerlo. Seguramente ya no parece tan extraño como hace unos días...

Tio Petros en Febrero de 2.004

Durante el mes de Febrero hemos efectuado los siguientes paseos matemáticos:

Exploramos la definición de número natural desde fuera de los axiomas de Peano, basados única y exclusivamente en nociones conjuntistas. Era la continuación de lo que habíamos prometido en Enero.

En este post comenzamos a ver los axiomas en los que nos íbamos a basar, aquí desarrollamos la idea y finalmente concluimos con la fundamentación de los números naturales en el conjunto vacío.

Exploramos un problema análogo al de los puentes de Königsberg, para el cual no hacía falta noción matemática alguna, sino un poco de sentido común y perspicacia.

Hicimos el comentario del libro Kolmogorov; el zar del azar .

Vimos la definición de números sociables , y explicamos la sociabilidad entre números era un concepto que generalizaba el de amistad.

Hicimos dos incursiones en la historia de mas matemáticas: una muy remota en el tiempo , echando un vistazo a una conocida tablilla babilónica, y otra muy remota en el espacio, visitando los templos japoneses y sus tablillas sangaku

Una página web fantasiosa y poco seria sobre fósiles , huesos y utensilios en el suelo marciano nos sirvió de remota excusapara comenzar a hablar de un tema algo difícil: el teorema de Ramsey.

Hicimos una breve mención de la biografía de Frank P. Ramsey, expusimos el enunciado del Teorema de Ramsey .

En este mes hamos estrenado estadísticas que nos pormenorizan muy bien cuántos nos visitan, y desde dónde. Hace dos o tres meses las visitas diarias de Tio Petros eran unas cuatrocientas. Ahora han bajado a menos de la mitad. No es tema que nos preocupe, mientras sigan produciéndose un mínimo número de visitas que nos anime a continuar. Grata sorpresa es, en cambio, la constatación de muchas visitas desde América:
México, Argentina, Colombia, Estados Unidos, Chile, Venezuela, Perú, Bolivia, y Costa Rica entre otros nos honran con sus visitas. Gracias a todos por ello.

Este mes continuaremos con nuestros paseos;como siempre,si ustedes quieren.

El teorema de Ramsey

A diferencia de la mayoría de los post de este blog, este, y quizás los que sigan exige un poco más de esfuerzo para su comprensión. No obstante, creo que vale la pena. Vamos a intentar entender un teorema difícil. Eso nunca NUNCA es gratis. Además, vamos a intentarlo sin utilizar matemáticas, o casi. Esta vez, el paseo que les propongo es más escarpado. Pero coincidirán conmigo en que el placer de alcanzar la cumbre es proporcional a la pendiente dejada a nuestras espaldas.

Naturalmente, la ilustración que encabeza este post, (que es el enunciado del Teorema de Ramsey ) es una provocación. No es esperable que nadie entienda absolutamente nada al leer una cosa así. Ni siquiera nos hemos puesto de acuerdo con la nomenclatura que vamos a utilizar para entenderlo. Sin embargo, he preferido ponerlo para incentivar al posible lector a avanzar en la comprensión de este enunciado y de sus consecuencias, cosa que haremos poco a poco.

Toda la dificultad de comprender el teorema está motivada precisamente por la gran virtud del mismo: su enorme generalidad. Vayamos viendo poco a poco qué quiere decir. De esta forma seremos capaces de ir saboreando el aroma de los resultados a lo Ramsey .

Pero antes, estableceremos algún convenio de notación:

Hablaré de conjuntos, clases, colecciones y grupos en sentido coloquial: en este contexto querrán decir exactamente lo mismo: agrupaciones de cosas.

Dado un conjunto X, definimos /X/ con el número de elementos de X. Lo habitual es representar esto último con barras verticales, no oblicuas, pero el sistema de este blog no parece permitirme tales barras .

P_R(X) es el conjunto de todos los subconjuntos de X que tienen exactamente R elementos.

En el enunciado podemos leer que descomponemos P_R(X) en una serie de trozos disjuntos. Esto quiere decir exactamente lo que parece: si tenemos un conjunto original X de , por poner un ejemplo, 20 elementos, P₂(X) será la colección de todos los subconjuntos de dos elementos de X, o el conjunto de todas las parejas posibles de elementos de X, que son exactamente (20 x 19)/2=190 posibles. El enunciado nos está diciendo que agrupemos estas 190 parejas en k grupos, no necesariamente iguales. Sin ninguna restricción. Las colecciones de parejas de nuestro ejemplo son los A₁,..., A_k del enunciado.

Hacer esto equivale a poner una etiqueta a cada agrupación de parejas. En efecto, lo mismo es decir:

”este conjunto de parejas pertenece a la colección A_j de parejas” que decir

”a este conjunto de parejas le pongo la etiqueta número j”, o aún más gráficamente :

”a este conjunto de parejas le asigno el color j”.

¿Está claro de momento? No está de más recordar que si hablo de “parejas” estoy haciendo R=2 en el enunciado de Ramsey, por simplificar la exposición; lo mismo podíamos hablar en general de tríos o n-tuplas de elementos de X.

Así pues, en el enunciado tenemos un conjunto X, tenemos la colección P_R(X) de todos sus subconjuntos de un tamaño prefijado (R) (repetimos: cuando R=2, entonces tenemos parejas), y en este último grupo tenemos coloreados todas las agrupaciones con k colores.

Ahora estamos en condiciones de entender qué es lo que afirma el teorema de Ramsey :

Afirma que si escribimos tantos números enteros (a₁,... a_k) como colores hemos usado, sean estos cualesquiera, entonces, si X es suficientemente grande , existe en el seno del conjunto X un pedazo o subconjunto que llamaremos Y que cumple alguna de estas propiedades:

1.- Y tiene tantos elementos como el primero de los k números que hemos escrito, y todos sus subconjuntos de tamaño R son del primer color.

2.- Y tiene tantos elementos como el segundo de los k números que hemos escrito, y todos sus subconjuntos de tamaño R son del segundo color.

...

k.- Y tiene tantos elementos como el último de los k números que hemos escrito, y todos sus subconjuntos de tamaño R son del último color.

El tamaño crítico para asegurar el necesario cumplimiento de una de estas k cláusulas es función exclusiva de los k números distintos que hemos escrito, y del tamaño R de los subconjuntos que hemos coloreado, y no depende de nada más. Este tamaño crítico mínimo se denomina número de Ramsey R(a₁,... a_k; r).

Cuando comenzábamos el post decíamos que no era esperable que nadie entendiera el enunciado del teorema en una primera lectura. Ahora, lo más probable es que la cosa haya mejorado tan sólo un poquito. Seguiremos hincándole el diente al tema en lo sucesivo, viendo conexiones con aspectos inesperados.

Lo más importante es que este teorema nos asegura la existencia de un reducto estructurado (monocromático en la nomenclatura que hemos empleado, pero a nadie se le escapa que el "color" puede ser cualquier cosa)de tamaño arbitrariamente grande en el seno de un conjunto, a condición de que éste sea lo suficientemente grande.

La semana que viene seguiremos comprendiendo este teorema, y sobre todo, sus implicaciones.

Feliz fin de semana para los lectores de este blog.

Frank P. Ramsey

Ya lo comentamos una vez hablando de la efervescencia matemática en la ciudad de Lviv en los momentos anteriores a la segunda guerra mundial. A veces se dan brotes de actividad intelectual de tal calibre que coinciden en el espacio y en el tiempo una pléyade de mentes maravillosas conviviendo estrechamente.

Naturalmente, siempre existen muy buenos motivos para que esto suceda, y si no se dan esos buenos motivos, simplemente no sucede. Por ejemplo en la España de hoy, con los sistemas educativos, con las políticas en materia científica de los últimos años y con la utilización que se hace desde las esferas del poder de los medios de comunicación, sería un suceso de probabilidad cero que tal cosa ocurriera.

En el período comprendido entre ambas guerras mundiales, en las ciudades de Oxford y Cambridge ocurrió algo así. Tan sólo en el Trinity College, tenemos los nombres de G.H. Hardy, John Littlewood, Srinivasa Ramanujan, Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein,...por mencionar los que reconozco a vuelapluma en esta lista
de alumnos distinguidos de esos años en el Trinity.
Frank Plumpton Ramsey nació en Cambridge en el año 1903. Pertenecía a una familia de extraordinario nivel en todos los sentidos: intelectual, social y monetario. Su padre, Arthur Stanley Ramsey fue presidente del Magdalene College de Cambridge. Su hermano Michael Ramsey fue arzobispo de Canterbury, ni más ni menos.

Dearrolló su labor intelectual en el King’s College de Cambridge desde 1.924 hasta 1.930, año en el que murió por las complicaciones derivadas de una operación quirúrgica.

Con 19 años publicó una revisión crítica de la obra de Keynes tan demoledora que el propio Keynes se vió obligado a recosiderar sus planteamientos anteriores.

Su mayor aportación a la matemática es la denominada “Teoría de Ramsey”, que no es sino el desarrollo de una idea central, contenida en el Teorema de Ramsey, que es el objeto de esta serie de post.

Pablo Fernández Gallardo y José Luis Fernández Pérez, autores este artículo magníficamente redactado, mencionan unas palabras de Ramsey ante un selecto grupo de discusión de Cambridge, que nos revelan un Ramsey apasionado, socialmente inquieto y amante de la vida :



Mi cuadro del mundo está dibujado en perspectiva, y no como un modelo a escala. El primer plano lo ocupan los seres humanos, y las estrellas son, para mí, tan pequeñas como monedas de tres peniques. No creo realmente en la astronomía, excepto como una complicada descripción de parte del curso de las sensaciones humanas y, posiblemente animales.
Aplico mi perspectiva no sólo al espacio, sino también al tiempo. A la larga el mundo se enfriará y todo morirá; pero queda mucho para eso, y su valor actual, a interés compuesto es casi nada. Que el futuro sea vacío no quita valor al presente.

La humanidad, que ocupa el primer plano de mi lienzo, es para mí interesante y toda ella admirable. Encuentro, al menos hasta ahora, que el mundo es un lugar placentero y excitante. Puede que vosotros lo encontréis deprimente; lo siento por vosotros, y vosotros seguramente, desdeñareis lo que digo. Pero yo tengo razón y vosotros no; sólo tendríais alguna razón para rechazar lo que digo si vuestros sentimientos se correspondieran con la realidad como los míos lo hacen. Pero no pueden. La realidad no es ni buena ni mala; simplemente es lo que a mi me entusiasma y a vosotros os deprime. Y lo siento por vosotros, porque es más agradable estar entusiasmado que deprimido... y no sólo más agradable, sino mejor para la vida de cada uno.


Con 25 años se casó, tuvo dos hijas y muy pronto se convirtió en el director de estudios matemáticos del King’s College.

Él era un hombre reservado, modesto, de trato fácil y desinhibido, con una risa contagiosa y ruidosa. Su tolerancia y buen humor le permitía discrepar fuertemente sin ofender; como ocurrió con su Hermano Michael, cuya ordenación, como ateo militante, lamentó. De él se dijo que su enorme tamaño corporal era acorde a su nivel intelectual. Murió en 1.930, con tan sólo 26 años, con todo un mundo de relaciones matemáticas por descubrir, y toda una vida de posibilidades espléndidas por vivir.

Tras este apunte biográfico, pasamos a introducirnos de lleno en la teoría de Ramsey. A lo mejor cuando hayamos terminado y veamos orden en el caos, pensemos que, quizás sea irremediablemente, una consecuencia más del Teorema de Ramsey.

Orden en el caos

Acabo de ver por la red aquí y aquí que hay gente que encuentra en las recientes fotos mandadas por las sondas robot Spirit y Opportunity , todo tipo de huesos, fósiles, huellas e incluso artefactos en el suelo marciano. La tendencia humana a encontrar pautas y organizaciones donde no las hay es un asunto interesante, pero de componente psicológica que trasciende por mucho el contenido de este blog. No obstante, a veces el orden, la estructura aparecen realmente. El autoengaño supone entonces pensar que este orden se debe a una causa extravagante; en nuestro caso, la existencia real de un dispositivo, o de un hueso en el suelo marciano. Todo esto me sirve de excusa para comentar lo siguiente.

El orden y la estructura pueden aparecer en la naturaleza por varios motivos ajenos a la inteligencia; humana, animal o divina. Uno de ellos es el imperativo termodinámico. Los cristales exhiben pautas ordenadas debido a consideraciones de equilibrio entre niveles de energía. Otras veces las pautas aparecen por simple casualidad. Y otras, por simple y pura necesidad matemática. Es de este tipo de orden matemáticamente necesario, que hace que el caos completo no pueda existir, del que vamos a hablar.

Iniciamos una serie de post sobre un tema difícil, que cae dentro de la combinatoria: el surgimiento de orden y pautas en conjuntos suficientemente grandes.

Algunas de las más interesantes ( y más recientes) contribuciones de la combinatoria son los denominados Teoremas de existencia.

Estos extraordinarios y difíciles teoremas aseguran la existencia de ciertos objetos matemáticos. En concreto aseguran la existencia de conjuntos en los cuales se cumplen determinadas relaciones o propiedades. El Teorema de Ramsey en concreto afirma que siempre aparecerá algo ordenado y con estructura en el seno de un conjunto, a condición de que dicho conjunto sea lo suficientemente grande.

Tras el enunciado (que veremos en post próximos), aparente ininteligible, como si de una cadena de símbolos sin sentido se tratara, se esconde el orden de una gran idea.

En una mágica recursividad éste es precisamente el mensaje del Teorema de Ramsey: el orden surge necesariamente en conjuntos suficientemente grandes. Nuestro teorema lo asegura, aunque por desgracia no nos dice lo grandes que deben ser dichos conjuntos.

Las implicaciones de todo tipo de este teorema son enormes en nuestra vida cotidiana, y explica ciertas regularidades que observamos en la naturaleza, que no tienen otra explicación: en virtud del teorema de Ramsey encontramos aparentes pautas en sucesos absolutamente aleatorios. Este tema es importante, porque no estamos hablando de teoría de probabilidades, sino de combinatoria.

¿Qué pretendo decir con esto último? Muy sencillo. Al estar totalmente desligado del cálculo de probabilidades, el teorema de Ramsey nos habla de necesidad de cumplimiento de determinados patrones extraños, no de la probabilidad de existencia de los mismos. La extrañeza de los mismos no es, por supuesto, una característica intrínseca de dichos patrones, sino una medida de nuestra incapacidad para percibir su presencia como necesaria, incapacidad que nos incita a engañarnos. El engaño consiste en imaginar motivos o incluso voluntades inteligentes detrás de las pautas observadas.

La amplitud de campos en los que el teorema se aplicable es infinito, desde estrellas que parecen adoptar configuraciones animales o humanas en la bóveda celeste hasta grupos de personas que se reúnen en torno a una mesa, ...

Lo primero que haremos es hablar de su descubridor: un extraordinario ser humano que se llamó Frank Plumpton Ramsey , y que murió a la tempranísima edad de 26 años.

Espero contar con su atención en los próximos días...el paseo que les propongo me parece bastante más interesante que intentar encontrar cosas raras en las fotos del suelo marciano.