Sangaku

Cuenta Julio A. Miranda Ubaldo que ”durante el Periodo EDO (1603-1867) Japón se encontraba aislado del mundo occidental, durante este periodo el acceso a todas las formas de cultura occidental y afluencia de ideas científicas occidentales fue suprimido con eficacia. En este periodo de la historia japonesa gente docta de todas las clases, desde comerciantes y granjeros hasta samurais(¿?) descubrían y solucionaban una amplia variedad de problemas geométricos, luego inscribían sus trabajos en tablillas de madera, (usando en muchos casos vivos colores) que después eran colgadas en las azoteas de santuarios shintoistas y templos budistas como una forma de agradecer a sus dioses.”

La palabra Sangaku significa algo así como tablilla matemática . Los problemas planteados en la tablillas Sangaku pueden perfectamente inscribirse en la matemática recreativa, y plantean endiablados problemas en los que aparecen invariablemente círculos tangentes unos a otros, o polígonos inscritos en otros polígonos y en círculos. También aparecen problemas con esferas tangentes a otras esferas, interior y exteriormente. Sin embargo no todos los problemas se ocupan sólo de la geometría, sino también de problemas aritméticos y algebraicos.

Rescato la siguiente información de la página de Julio A. Miranda Ubaldo:

El Sangaku más antiguo que sobrevive hasta hoy fue encontrado en la prefectura de Tochigi y es del año 1683.

Aunque muchos sangakus se han perdido o quemado todavía existen alrededor de 820 de estas tablillas.

Un notable investigador de los sangakus fue el matemático japonés Yoshio Mikami (1875-1950) quien en sus trabajos: "A history of Japanese mathematics" (Historia de las matematicas japonesas) de 1914 y "The Development of mathematics in China y Japon" (El Desarrollo de las Matemáticas en China y Japón) de 1974 realizó importantísimos estudios sobre estas tablillas matemáticas.

Hidetoshi Fukagawa es un matemático contemporáneo que ha viajado extensamente por todo el Japón para estudiar estas tablillas y tiene una prolífica colección de libros que se ocupan no sólo de los sangakus sino también de otros aspectos de las matemáticas japonesas.

En 1989 Fukagawa junto con Daniel Pedoe publicó un trabajo titulado "Japanese temple goemetry problems: Sangaku" que constituye la primera colección de sangakus en inglés.

Otros matemáticos japoneses como Tatsuhiko Kobayashi y Shigeyuki Takagi también han hecho contribuciones importantes al desarrollo de los problemas sangakus. Sin embargo no todos los problemas se ocupan sólo de la geometría, sino también de problemas aritméticos y algebraicos.

A modo de ilustración, vean ustedes estos dos bellísimos problemas:



Dado un círculo (verde) de radio r con dos círculos menores interiores tangentes entre sí y tangentes tangentes al grande de radio r/2 (rojos), formamos un rosario de círculos (naranjas) tangentes cada uno al siguiente y a los círculos verde y rojo como se muestra en la figura. En los espacios intersticiales de la figura colocamos círculos tangentes a los tres círculos que delimitan el intersticio (azules). Encontrar el radio del enésimo círculo azul en función de r.

La resolución completa de este hermosísimo problema se encuentra (en inglés) aquí

_____________________________________________________________



Este problema que data de 1822 está inscrito en una tablilla localizada en la prefectura de Kanagawa.
Dos esferas rojas son tangentes exteriormente y ambas son tangentes interiormente a la esfera grande de color verde. Un collar de esferas azules de diferentes tamaños rodea el "cuello" entre las esferas rojas. Cada esfera azul en el "collar" es tangente a sus vecinos próximos, a la vez que son tangentes a las dos esferas rojas y a la esfera verde.
¿Cuántas esferas azules conforman el collar?
¿Cómo los radios de las esferas azules se relacionan entre sí?

Pueden comprobar la magnitud de los problemas Sangaku, y también su extraordinaria belleza.

Plimpton 322

La matemática está muchas veces muy alejada de su utilización práctica inmediata. Esto no quiere decir que nunca podamos asegurar que un determinado avance matemático no vaya a tener su aplicación práctica, como repetidamente se ha demostrado. Básicamente conviven la investigación pura con la aplicada. Esta situación es así desde el comienzo.

Y cuando digo desde el comienzo, me refiero realmente al comienzo. Existen muchos indicios de que la matemática babilónica tenía aspectos alejados de la utilidad inmediata.

Una tablilla babilónica, conocida por el número de catálogo Plimpton 322 ejemplifica perfectamente lo que queremos decir. La tienen en la ilustración.

Esta tablilla data del período babilónico antiguo (ca.1900 a 1600 a.C.). Es tan sólo el fragmento de una tabla más grande, ahora perdida para siempre, y demuestra no ser un simple registro de transacciones comerciales como muchas de sus hermanas, sino un texto matemático precusor de ideas trigonométricas muy cercanas a las actuales, con extraordinario grado de exactitud, como vamos a ver.

La transcripción de las seis primeras filas es la siguiente:

1,59,0,15_______________________1,59____________2,49____________1
1,56,56,58,14,50,6,15____________56,7____________1,20,25__________2
1,55,7,41,15,33,45_______________1,16,41_________1,50,49__________3
1,53,10,29,32,52,16______________3,31,49_________5,9,1____________4
1,48,54,1,40____________________1,5_____________1,37_____________5
1,47,6,41,40____________________5,19____________8,1______________6

Hemos de tener en cuenta antes de empezar a desentrañar la tablilla que los babilonios utilizaban la numeración sexagesimal, por lo que debemos convertir las cifras a nuestra numeración antes de cualquier intento.

Tomemos la sexta línea, por ejemplo:

1,47,6,41,40________5,19______8,1______6

Tras la conversión en decimal obtenemos:

1,785192901_______319________481________6

La conversión se realiza de la siguiente forma:

1,47,6,41,40=1·60⁰+47·60^-1+6·60^-2+41·60^-3+40·60^-4=1,785192901

y de la misma forma los siguientes números.

Convendrán conmigo que es una proeza inmensa encontrar la relación entre estos números. Más aún teniendo en cuenta que nuestra tablilla es una más entre un sinnúmero de ellas que recogen cifras sin mayor interés matemático, que bien pudieran ser registros contables de mercancías.

Pues bien: la relación es la siguiente. Si tenemos un triángulo rectángulo (ver figura) cuya hipotenusa valga 481 y uno de sus catetos 319, entonces el otro cateto, mediante el teorema de Pitágoras vale 360.



El cociente entre la hipotenusa y este último cateto es 481/360= 1,33611111, y su cuadrado vale 1,785192901; exactamente hasta el noveno decimal la primera cifra de la primera fila de la tablilla.

Varias cosas hay que comentar llegados a este punto: la primera es que tal exactitud nos sirve para rechazar cualquier procedimiento de medida real de triángulos para llegar al dato: su hallazgo debe ser teórico sin lugar a dudas: no es posible medir hasta la milmillonésima sin error. Por otro lado, el lector habrá observado que el cociente cuyo cuadrado es el número de las primeras columnas es el cociente de dos números, uno de los cuales (la hipotenusa) está en la tablilla, pero el otro no. En efecto, es el cateto restante el que aparece en la tablilla, no el utilizado para el cociente.

Dicho cociente es el inverso del coseno del ángulo que forma la hipotenusa con el cateto que no aparece en la tabla. Por tanto, la primera columna representa los valores del cuadrado de la secante del ángulo citado.

Nosotros sabemos encontrar el cateto restante, dadas la hipotenusa y un cateto mediante el Teorema de Pitágoras, pero presumiblemente los babilónicos lo desconocían. También desconocían lo que era un seno, una tangente o una secante. Se puede mantener tal desconocimiento a las luces de esta tablilla?

Pues sí se puede. Los antiguos eran antiguos, pero no eran idiotas. Esto es algo que repetidamente olvidan los amigos del misterio y de las teorías paranormales, que inducen a creer en conexiones extrañas para explicar desarrollos e invenciones de culturas antiguas, olvidando que la inventiva humana es patrimonio de todas las culturas y de todas las épocas.

Parece ser que sin conocer el teorema de Pitágoras, se conocían los valores de ciertas ternas pitagóricas: ternas de números enteros a,b,c que cumplían que a²=b² + c².

Los constructores de esta tabla debieron comenzar por dos números sexagesimales p,q , para hallar la terna (p²-q², 2pq , p²+q²). Un simple ejercicio de álgebra nos convence de que en efecto ésta es una terna pitagórica.

Limitándose a valores de p menores de 60, y a triángulos rectángulos en los que b= p²-q²es menor que c=2pq, los babilonios debieron descubrir que existían 38 pares posibles de p y q que satisfacen las condiciones, con lo que construyeron las 38 ternas correspondientes.

En nuestra tablilla aparecen las 15 primeras. Quizás, el escriba prosiguiera en otra tablilla con las restantes.

El orden de las filas viene dado por los valores de la primera columna, de mayor a menor, y corresponden a ángulos desde 45^o hasta 31^o.

Esta que ahora nos ocupa es, a juicio de los investigadores una de las tablillas babilónicas más extraordinarias. Una muestra de la extraordinaria exactitud de los cálculos de esta tablilla nos la proporciona la fila décima. Una simple observación de la ilustración de la tablilla basta para comprobar que el primer número de la décima tablilla tiene más dígitos que los demás; efectivamente representa el cuadrado de la secante del ángulo correspondiente con ocho cifras sexagesimales, lo que corresponde a catorce decimales en nuestra notación decimal. Todos ellos correctos.

Ni la Nasa necesita ese nivel de exactitud en sus cálculos de órbitas, pues los erroresy las indeterminaciones de todo tipo son de mayor entidad.

Números sociables

Las propiedades de un número en principio no son atributos que dicho número exhibe con independencia de las que puedan exhibir otros números: prácticamente todas las propiedades de un número lo son por la relación con otros números. Por ejemplo: la primalidad de un número está establecida por la ausencia de división entera con otros números menores que él. Por lo tanto, tenemos un mundo de relaciones entre números, relaciones entre parejas, o en general entre n-tuplas de números.

La relación binaria entre enteros más común es la de primalidad mutua: dos números son primos entre sí cuando no tienen divisores comunes, además de la unidad.

Vamos a hablar hoy de una relación entre números que trasciende la relación binaria, y que puede englobar, en principio a cualquier cantidad finita de enteros: la sociabilidad .

Para ello introduciremos en concepto la función aritmética suma de divisores .

Una función aritmética es una función que toma valores reales o complejos, cuyo campo de difinición es el conjunto N. Muchas de las funciones aritméticas dependen mucho más de la descomposición en factores primos del argumento que que valor numérico del mismo. Esto hace que su comportamiento sea muy errático y difícil de estudiar.

La función S(n) se define como la suma de los divisores de n. Como pueden ver, nada misterioso ni difícil de entender. Como los divisores de ocho son el propio ocho, el cuatro, el dos y el uno, S(8)=8+4+2+1=15.

Como un primo no tiene más divisores que el propio número y la unidad, S(p)=p+1, para p primo.

En lo que sigue, vamos a referirnos siempre a la suma de divisores propios: exceptuado el propio número. Para evitar confusiones denotaremos S (mayúscula) a la suma de todos los divisores, y s (minúscula) a la suma de los divisores propios..

Con n = 20: Los divisores propios de 20 son 1, 2, 4, 5 y 10. s(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22. Como el resultado es mayor que el número inical, se dice que 20 es un número abundante .

Si hacemos lo propio con el 22, resultado de la operación anterior, obtenemos: s(22) = 1 + 2 + 11 = 14, la suma es menor que el número escogido; se dice que 22 es un número defectivo .

Continuando, si seguimos calculando la s(n) para cada suma obtenida, tenemos:

s(14) = 1 + 2 + 7 = 10;
s(10) = 1 + 2 + 5 = 8;
s(8) = 1 + 2 + 4 = 7;
s(7) = 1 porque 7 es primo,
y s(1) = 0 porque 1 no tiene divisor propio.

Se ha obtenido así una sucesión finita: 20 , 22 , 14 , 10 ,8 , 7 , 1 , 0.

Otra sucesión es : 24 , 36 , 55 , 17 , 1 ,0.

Nada obliga a que la sucesión sea finita, pues pudiera ocurrir que fuera periódica. Si el período fuera uno( el mismo número se repite siempre), estaremos en el caso de que s(n)=n. Todo número que cumple dicha ecuación se denomina número perfecto.

Número perfecto es aquel igual a la suma de sus divisores propios

De ellos, y de la caracterización para los perfectos pares hablamos en su momento aquí.

De los números perfectos impares nada se sabe, ni siquiera su existencia o inexistencia.

Cuando el período de la sucesión anterior es igual a dos, tenemos el caso de números amigos :
Dos números son amigos cuando cada uno es igual a la suma de divisores del otro

La pareja (220, 284) es una pareja de números amigos, como podemos comprobar:

s(220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 y
s(284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Luego la sucesión que comenzara con uno de ellos sería:

220, 284, 220, 284, 220, 284, 220, 284... de período dos.

Leo por la red que “En la Edad Media, existió la creencia de que si se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos que contenían una inscripción 220 para uno y de 286 para el otro, entonces se volvían amigos por arte de magia.”

Otras parejas de números amigos son (1184; 1210), (2620; 2924), (5020; 5564) y (6232; 6368), (17296; 18416) y (9363584; 9437056).

En general, se llaman números sociables a las n-tuplas de números de una sucesión así formada de período n.
He podido encontrar por ahí los siguientes:

(12.496, 14.288 , 15.472 , 14.536 , 14.264 ) Cinco enteros, cada uno es igual a la suma de los divisores propios del anterior, y el primero respecto al primero.

En esta dirección teneis un programa en Mapple para generar secuencias de sumas de divisores propios, así como la información que he utilizado de base para elaborar este post. Por lo demás, poca información parece que hay, al menos fácil de encontrar sobre esta generalización de los números amigos.

Kolmogorov, el zar del azar.

Tras unos días de inactividad debido a causas ajenas a la voluntad de un servidor, reanudamos el paseo. Y lo hacemos con la novedad de las estadísticas, por fin.

Escrito por dos de sus alumnos, Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés Castro, este libro es una apología del gran matemático ruso Andrei Nikolaievich Kolmogorov. Estos dos cubanos fueron testigos directos de la labor humana y científica de matemático ruso. A veces no es muy acertado el desarrollo narrativo del libro, pero decididamente vale la pena para acercarse al quehacer matemático del moscú de más de medio siglo XX. Especialmente interesante es la relación entre K. y Alexandrov, cuestión de la que ya hablamos en su día.

Puede leerse en la contraportada:

El carácter de Kolmogórov se forjó en una época de revoluciones sociales y guerras mundiales. Vivió el estalinismo, la posterior rectificación de errores y el inmovilismo que luego daría paso a la perestroika.
Aunque siempre se consideró a sí mismo un matemático puro, una parte esencial de su obra fueron sus investigaciones aplicadas a otras ciencias. Sus esfuerzos estaban regidos por una idea clara: discernir las diferencias y similitudes entre orden y caos. Mucho más que cualquier otro matemático, amplió los dominios y la comprensión humana del azar. Reinó en una escuela poderosa de profesionales con una cultura matemática vasta y profunda. Con razón puede afirmarse que Kolmogórov es el zar del azar.

Ficha:

Kolmogórov
El zar del azar
C. Sanchez, C. Valdes

Nivola Ediciones
Col. La matemática en sus personajes nº15
ISBN: 84-95599-60-0
Junio 2003, 222 Pág., 13.5 x 21 cm
PVP: 17.90 Eur.

Celdas y trayectorias imposibles

Tenemos en la ilustración un conjunto de cinco celdas agrupadas de una manera concreta. Podemos pensar que es el plano de una vivienda.Cada pared interconecta una celda con otra contigua, o con el exterior mediante una puerta, en verde en el dibujo. Se trata de encontrar una trayectoria que atraviese todas y cada una de las puertas(dieciseis en total)una sola vez.

Tras unos cuantos intentos, vereis que no es fácil encontrar la solución. Es el momento de preguntarse si será imposible. Una de las formas de resolver el enigma es revisar exhaustivamente todas las posibilidades, de la misma forma que se demostró el Teorema de los cuatro colores . Es una demostración perfectamente válida, pero espantosamente fea. Además, con este problema, no valdría para demostrar nada con una composición de celdas más complicada: habría que empezar desde el principio otra vez.

Así pues, lo más elegante sería demostrar que tal trayectoria es imposible en nuestra figura, comprendiendo los porqués de tal imposibilidad. Es, como muchas cosas en matemáticas, increíblemente fácil una vez se comprende el asunto, pero sé por experiencia que mucha gente se queda atascada.

Una vez comprendido el asunto, nada cuesta responder a la misma pregunta en composiciones más complicadas.

¿Les apetece pensarlo?

Si les apetece les aconsejo coger un papel e intentar trayectorias: no tardarán en desesperarse . Es mucho mejor que intenten ver porqué no puede existir tal trayectoria

Fundamentando la matemática en el vacío.

A lo largo de los tres post anteriores hemos visto cómo los matemáticos del siglo XX intentaron buscar los fundamentos de su disciplina con la máxima economía de conceptos, hasta llegar al paroxismo: el conjunto vacío se revelaba como la piedra angular de todo el edificio numérico.

Nos quedaba definir el conjunto N. Pero eso ahora es cosa trivial: el conjunto N es el único conjunto que contiene al conjunto vacío y a todos sus sucesores; y sólo a ellos. La formulación de los enteros sobre el esquema aquí esbozado de los naturales; la de los racionales sobre los enteros y la de los números reales como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de racionales nos da un panorama completo de la construcción numérica hoy aceptada por la comunidad matemática.

Este es un buen momento para ver desde otro punto de vista la aritmética transinfinita de Cantor, tema que tocamos en los artículos sobre el Aleph y sobre las sucesiones de Goodstein.

En efecto, hemos visto que un número natural se define como el conjunto de todos sus anteriores:

n={0,1,2,3,...,(n-1)}

Nada nos impide considerar el conjunto N como un infinito actual y hacerle corresponder un número infinito (el menor número infinito) que sería:

w={0,1,2,3,...}=N

Digo que nada nos impide efectuar esta consideración porque ya tenemos perfectamente definido el conjunto N, y por lo tanto estamos legitimados para usarlo como un objeto actual, en su totalidad.

Pero ahora nada nos impide continuar:

w+1={0,1,2,3,...,w}=N U {w}

w+2={0,1,2,3,...,w,w+1}=N U {w,w+1} ...

Tenemos así las bases de los ordinales transinfinitos de Cantor, que surgen con la mayor naturalidad de la teoría de conjuntos mientras que vistos "a pelo", como los habíamos visto en los post anteriores, parecen un poco extraños.

Dejaremos por ahora este apartado tan elemental ⁽¹⁾de la matemática para adentrarlos en otros paisajes a partir del lunes. Con su compañía, por supuesto.

(1): En matemáticas, la palabra "elemental" y la palabra "básico" son dos palabras con acepciones diferentes a las del lenguaje ordinario. Indican que el tema tratado se refiere a las bases y/o fundamentos de la matemática, no a su poca dificultad. De hecho, los temas elementales y básicos suelen ser de gran dificultad.

¿Qué es un número? (3)

Continuamos con lo prometido. Tenemos definido el conjunto vacío, lo cual pueda parecernos poca cosa, pero eso es todo con lo que tenemos que trabajar si no queremos introducir axiomas adicionales.

Miren los dos teoremas de la ilustración, y no se asusten: es mucho más fácil de lo que parece a primera vista. Tenemos dos teoremas, que no es lo mismo que dos axiomas. Los teoremas se demuestran; aunque demostrar estos es una tontería, de puro fácil. El primero es el teorema del par no ordenado . Nos dice que dados dos conjuntos (¡Qué lujo!, les recuerdo que de momento sólo estamos legitimados para usar un conjunto: el vacío: el único que hemos definido), decía que dados dos conjuntos, existe un conjunto de dos elementos, que son precisamente los dos conjuntos anteriores.

Cómo podemos demostrar esto? Pues usando el axioma de formación. Dado que la descripción que utiliza el enunciado del teorema es una descripción precisa, el axioma nos asegura que existe tal conjunto; y el axioma de igualdad nos asegura que dicho conjunto es único, luego ya tenemos demostrado el teorema.

Es importante entender que el nuevo conjunto tiene a los dos iniciales como elementos, de forma que tiene DOS elementos, independientemente de los elementos de los dos conjuntos iniciales.

Lo mismo vale para el teorema de la unión: dados dos conjuntos existe un conjunto cuyos elementos son los de los dos conjuntos (los de uno, los del otro o los de los dos).

Es importante comprender que utilizando estos dos teoremas no estamos utilizando nada nuevo, que no salga de los dos axiomas iniciales.

Dado que de momento sólo tenemos el conjunto vacío, podemos utilizar el teorema 1 haciendo los dos conjuntos iniciales sean el mismo. Dada la generalidad del teorema (empieza por “para todo z , u”, verdad?), esto no supone violación alguna del teorema.

Qué obtenemos? Pues el teorema ahora nos dice que si existe un conjunto A, entonces existe un conjunto {A}, con un único elemento, que es precisamente el conjunto A. Es crucial ver que los conjuntos A y {A} son radicalmente diferentes: si A={a,b,c,d,e}, por poner un ejemplo, A tendría cinco elementos, que son a,b,c,d y e. Sin embargo {A} tiene un único elemento, que es A, o que es {a,b,c,d,e}. Este nuevo conjunto lo llamaremos unitario del conjunto A .

De modo que ahora no sólo tenemos el conjunto vacío, sino también el conjunto {vacío}, que ahora tiene un elemento.

Estamos en condiciones de definir el sucesor de un conjunto A , como la unión de dicho conjunto con su unitario: suc (A)= A U {A}. El teorema de la unión nos asegura su existencia, y el axioma de igualdad su unicidad, de modo que está bien definido.

Supongo que mis lectores habrán adivinado la estrategia a seguir:

Definimos el cero como el conjunto vacío. No hay circularidad alguna en ello, ya que hemos definido el conjunto vacío en el post anterior sin hacer para nada uso del concepto cero.
Una vez definido el cero, definimos el sucesor de un número como el sucesor del conjunto con el cual hemos identificado dicho número.
Lo vemos en la ilustración siguiente:



Hemos sido capaces de definir los números naturales sin hacer uso previo de ningún concepto numérico, y sin usar los axiomas de Peano, que ahora admiten demostración: vemos que todo número es sucesor de alguno, excepto el cero, que no lo es de nadie. Podemos demostrar que dos números diferentes tienen sucesores diferentes...

Hemos construido las bases de la matemático desde el vacío más absoluto. Cualquier adepto al zen estaría muy contento: belleza y armonía en su máxima simplicidad; minimalismo conceptual y elegancia absoluta. A partir de este momento, deberíamos decir, con permiso de Kronecker: “Dios creo el conjunto vacío; el resto es obra del hombre” .

Hemos dicho que ahora ya podemos demostrar los axiomas de Peano desde esta nueva teoría. Esto no es exactamente así: hemos definido los números naturales, pero nos falta definir correctamente el conjunto N. No obstante, la tarea está ya casi terminada.

¿Qué es un número? (2)

Hemos prometido construir los números naturales desde la teoría de conjuntos. Decíamos que los axiomas de Peano eran las bases de las que surgían los naturales (los números que usamos para contar: el uno, el dos, el tres...). Dado que los axiomas no pueden ser demostrados sino que son el punto de partida de una teoría, parecía que toda la matemática partía de estos cimientos.
Ahora veremos que con unos presupuestos mucho menores, somos capaces de construir los números naturales, y los axiomas de Peano pueden ser ahora demostrados como teoremas.

Debemos situarnos para comprender la magnitud de lo que deseamos: no podemos hacer referencia alguna a ningún número de ningún tipo, ya que aún no los tenemos definidos. Para nosotros ahora no existe ni siquiera el cero.

Utilizaremos únicamente dos axiomas de la teoría de conjuntos: el axioma de formación y el axioma de igualdad. Los tienen en el encabezamiento de este post. Estos dos galimatías son en realidad muy sencillos de entender: vayamos con el primero.

Lo podemos leer así:

Para toda descripción precisa A(x) existe al menos un conjunto y con la propiedad de que pertenecen al mismo aquellos y sólo aquellos objetos que hacen verdadera la descripción A(x) .

Para entendernos, una descripción precisa no es más que una afirmación que involucra a una variable genérica x. Introduciendo diversos objetos en la x, unos harán que la afirmación sea cierta y otros harán que sea falsa. El axioma de formación nos está diciendo que un conjunto es una colección bien determinadad de objetos.

El segundo lo podemos leer así:


Dados dos conjuntos x e y; si se cumple la condición de que un objeto cualquiera pertenece a x si y solo si pertenece a y, entonces resulta que los conjuntos x e y son iguales

El si y solo si , tan habitual en matemática pero tan extraño en el lenguaje corriente quiere decir que la condición es doble: un objeto pertenece a x si pertenece a y, y si no pertenece a x, entonces tampoco pertenece a y. En lenguaje ordinario, este axioma nos está diciendo que dos conjuntos son iguales únicamente en el caso de que tengan exactamente los mismos elementos.

Este es el momento de incidir en el hecho de que el axioma de igualdad nos asegura que el conjunto cuya existencia aseguraba el axioma de formación, es único para cada descripción. Esto es así porque si hubiera dos conjuntos para una descripción dada, ambos tendrían lógicamente los mismos elementos, y serían el mismo conjunto.

Estos son los presupuestos con los que vamos a contar. Mínimos realmente, verdad?

Examinemos cuál es nuestra situación actual, porque es muy fácil presuponer que ya poseemos cosas que aún no tenemos derecho a utilizar: sería hacer trampa.

Sabemos que existen unos entes llamados conjuntos que poseen (al menos) dos propiedades axiomáticas. No conocemos aún ningún conjunto concreto, ni tenemos la menor idea de lo que es un número. Pasamos a encontrar nuestro primer conjunto. Para ello tendremos, cómo no, que usar el axioma de formación (qué otra cosa podríamos usar, si no tenemos herramienta alguna aparte de estos dos axiomas???).

Usaremos la siguiente descripción precisa:



A(x) es la descripción que afirma de un objeto ser diferente a sí mismo. Puede parecernos una descripción sencillamente imbécil, pero es que con tan pocas herramientas, poco más podemos describir. Podíamos haber tomado A(x) como (x=x), entendiendo tanto ahora como antes que x es un objeto, pero esta descripción es bastante peligrosa por motivos que veremos.

En virtud del axioma de formación, dada una descripción tenemos un conjunto cuyos elementos son los que la cumplen:



Luego YA TENEMOS NUESTRO PRIMER CONJUNTO!. No es gran cosa, de hecho, este conjunto está vacío. Lo sabemos porque no necesitamos axioma alguno adicional, sino las leyes de la lógica para saber que todo objeto es igual a sí mismo, y por no tanto no exsite objeto alguno que cumpla la descripción dada.

Definiremos por tanto nuestro conjunto vacío de esta forma:



En virtud del segundo axioma, este conjunto está bien definido, pues no puede haber dos conjuntos vacíos diferentes: al no tener elementos, es trivialmente cierto que tienen todos sus elementos iguales, y por lo tanto existe un único conjunto vacío.

Edificaremos la matemática entera sobre el conjunto vacío, lo cual personalmente me parece de una belleza sublime con toques de budismo zen.

Eso será en el siguiente post, si ustedes quieren.

TIO PETROS EN ENERO 2004

Durante este mes de Enero hemos paseado por los siguientes paisajes matemáticos:

Empezamos con las paradojas infinitodimensionales que provocaban una esfera y un cubo en un espacio de infinitas dimensiones. Un comentario de un lector nos daba pie a definir el asunto con algo más de rigor , y demostrabamos que un cubo no es un objeto acotado en infinitas dimensiones. Lo desarrollamos aquí y aquí.

Comprobamos qué era mejor a la hora de jugarse idiotamente la vida en la ruleta rusa al estilo de la película "EL cazador". La película era un pretexto para hablar de los cálculos probabilísticos en los casos en los que la suma hay que extender a infinitos casos posibles. Para ello explicamos cuánto valía la suma de una serie geométrica de razón menor que uno.

Hablamos del mágico método de recurrencia para encontrar soluciones a problemas difíciles. Lo hacíamos en un caso que aparentaba ser complicado: el número de regiones en las que n rectas trazadas al azar dividían el plano.

Hemos hablado de varios libros interesantes: Dados, monedas y urnas, La verdad matemática, y de los magníficos libros de John Allen Paulos.

Hemos definido el género de una superficie cerrada, proponiendo un ejemplo algo engañoso.

A lo largo de tres post vimos las bases matemáticas de la música. Intentamos comprender porqué son siete las notas, y no catorce, o noventa.

Los razonamientos geométricos han tenido su toque de atención, para comprender que no es oro todo lo que reluce en algunas pretendidas demostraciones, y porqué es esto así.

Nos hemos preguntado qué es un número, prometiendo seguir en Febrero, y hemos inaugurado la sección Off Topic, en la que podremos hablar de cosas que nada tengan que ver con la matemática. La inauguramos hablando de un episodio a la vez intrascendente y sintomático de la estupidez humana. Esto ha sido todo en Enero. Seguimos en Febrero, que este año tiene un día más.

Feliz fin de semana a todos los lectores de Tio petros.

Off topic: la mierda del noble.

Supongo que estas cosas ocurren porque España es un país en el que, en el fondo, no somos todos iguales en derechos ni en obligaciones. Nobleza obliga. Ya lo saben: si su sangre es de color rojo, usted no puede dejar que su perro defeque en un aeropuerto. Si su sangre es azul, parece que la cosa es diferente.

Al fin y al cabo, siempre han sido los plebeyos los que recogen la mierda de los señoritos. Con o sin constitución. ¿Verdad, señor Gomez Acebo?

Nos lo cuenta Vailima, en este post.

¿Qué es un número?

No parece que exista disciplina científica cuyo objeto sea tan difícil de precisar como la matemática. Precisamente por ello es doblemente importante establecer un buen punto de partida: unas bases desde las que edificar el edificio entero.

Históricamente las bases iniciales fueron geométricas. La matemática griega era básicamente la ciencia de las figuras geométricas. En el siglo III antes de nuestra era Euclides propuso un sistema riguroso basado en unos pocos postulados (cinco axiomas), desde los cuales edificar toda la teoría geométrica con el auxilio de las leyes de la lógica de primer orden. Las afirmaciones cuya veracidad se probaba a partir de los axiomas eran teoremas.

Estas bases permanecieron firmes hasta el siglo XVII, en el que Newton y Leibniz desarrollan el cálculo, atendiendo a demandas concretas de la física del momento. Las nociones de límite en las que se basaban suponía una “desgeometrización” de la teoría matemática, aunque aún las derivadas eran concebidas como pendientes y las integrales como áreas: se notaba la influencia geométrica de antaño. Cuando Cauchy y Weierstass, hacia 1.870 reformulan las definiciones de límite sin el auxilio de las incómodas cantidades que “tienden a cero”; cuestión que nadie entendía en realidad, y consiguen la definición épsilon-delta que usamos actualmente, el cálculo llega a su mayoría de edad, y el concepto geométrico queda sustituido por el concepto de número (número real, concretamente).

Pero la cosa no paró ahí: las verdaderas bases debían ser más generales que los números reales. Existe una maravillosa historia que cuenta cómo los números reales son construidos desde los racionales, utilizando sucesiones de racionales (sucesiones de Cauchy); los racionales desde los enteros, y los enteros desde los naturales.

Kronecker diría, resumiendo la situación: Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre

Estos números naturales surgían como entidades radiantes, primigenias de un puñado de axiomas: los cinco axiomas de Peano :


1.- 0 es un número
2.- El siguiente de todo número es un número
3.- Números distintos tienen siguientes distintos
4.- 0 no es el siguiente de ningún número
5.- Si una determinada propiedad es cumplida por el 0, y si es cumplida por un número también es cumplida por el siguiente, entonces es cumplida por todo número.

Parecería que estos cinco axiomas concentran la totalidad de la matemática, dado que desde ellos se puede construir todo... y sin embargo no es así.

Volvieron a cambiar las bases, y así como de los objetas geométricos pasaron a los números reales y de estos a los naturales, ahora las bases se trasladaban a una teoría nueva que surgía de la mente de George Cantor : la teoría de conjuntos.

Esto supone que los números naturales; el cero, el uno, el dos, etc deben ser definidos en base a conceptos aún más generales.

Sin embargo, esto no parece cuestión fácil: ¿cómo definir el cero sin caer en una peligrosa circularidad introduciendo el concepto a definir en la definición?

No parece fácil. Decir que el cuatro es el conjunto de todos los conjuntos de cuatro elementos no es serio, por motivos que saltan a la vista.

Cómo podemos definir un número natural desde la teoría de conjuntos de forma que no caigamos en una circularidad inaceptable?

Lo vemos próximamente...

John Allen Paulos

No sé yo si insistir en que la matemática es divertida es una buena política. Es un tópico que a los que amamos el tema nos parece cierto sin discusión, pero me da la sensación de que quien al leerlo asiente es porque ya lo sentía previamente, y quien no lo siente así, no va a cambiar de opinión por escucharlo una vez más. En resumen: es un tópico que no funciona.

John Allen Paulos es un matemático que ha conseguido algo ciertamente difícil: convertir en best seller un libro de matemáticas. Su política ha sido muy diferente. A través de sus deliciosos libros parece advertirnos:

“Usted puede elegir entre tener unas ciertas nociones claras de matemática o no tenerlas, pero debe saber que si no las tiene, es usted una persona mucho más manipulable que en el caso contrario”.

Si a esta advertencia añadimos una encantadora forma de contar las cosas y un conocimiento del tema de primera mano como profesional de la matemática; obtenemos unos libros de una excelencia fuera de toda duda.

Quiero destacar dos libros de este autor, ambos de la colección METATEMAS, de Tusquets-Editores: “El hombre anumérico”



Utilizando un lenguaje claro y sencillo, Allen Paulos nos explica los problemas del anumerismo en nuestras sociedades actuales.

Y “Un matemático lee el periódico” .



En esta ocasión, Paulos nos advierte de los engaños en las noticias, informes, estadísticas... puede ser más interesante? Según la propia editorial Tusquets:


Paulos nos induce ahora a leer «matemáticamente» entre las líneas de un periódico imaginario, rastreando la estrategia que hay detrás de cualquier titular, y a percibir lo que hay de aleatorio en las muchas falacias que se ocultan tras ciertas noticias, ya sean de crímenes, atentados, acontecimientos políticos y económicos, chismes sobre famosos, sectas, partidos de fútbol, riesgos para la salud y muchos otros temas que ocupan la prensa diaria del mundo entero.Paulos se fija en asuntos que parecen muy al margen de las matemáticas, pero sus argumentos acaban demostrándonos hasta qué punto la «inocencia matemática» puede poner en clara desventaja al lector de un periódico. Incluso a quienes les hicieron odiar las matemáticas en el colegio les gustarán estas «historias numéricas» de un matemático que lee la prensa. Y tal vez ya no se sientan tan perdidos, decepcionados, estafados o engañados. . .



John Allen Paulos es en la actualidad profesor de matemáticas en la Temple University de Fidalefia. Colabora asiduamente en distintos medios, entre otros The New York Times y Newsweek. La aceptación de El hombre anumérico por parte del público fue inmediatamente entusiasta, convirtiendo merecidamente este libro en un inesperado best-seller en el mundo entero.

Razonamientos geométricos ( y 2)

Efectivamente, la paradoja no resiste un análisis de las pendientes de las figuras. Nos basta el teorema de Tales para ver que no existe igualdad entre las piezas de ambas figuras. Siempre ocurre igual, y en realidad las verdaderas paradojas no existen: son fruto de haber dado por bueno algo que no lo era.
He encontrado por la web otra figura que recompuesta nos proporciona una unidad cuadrada de más, cuya explicación es la misma.
La podeis ver en las imágenes :

Razonamientos geométricos.

Comentamos hace algún tiempo que existen personas empeñadas en demostrar lo imposible. En aquel momento hablábamos de los ingenuos trisectores de ángulos. Este tipo de falsas demostraciones suelen ser casi siempre demostraciones geométricas, lo que pudiera dar pie a pensar que las demostraciones que se basan en conceptos geométricos no son seguras.

Nada más lejos de la realidad. Lo que sucede es que muchas veces confundimos razonamiento geométrico con razonamiento a bulto, a ojo o al "poco más o menos". Una demostración basada en conceptos geométricos puede ser tan perfectamente válida como la fundada exclusivamente en manipulaciones algebraicas.

Basta con no dar un paso antes de asegurarse de la licitud del mismo. Las figuras deben servir para orientarnos, no para desorientarnos, y son los razonamientos lo que nos habilitan para aceptar proposiciones como ciertas, no los dibujos.

Será por eso que una de las vertientes más divertidas de la matemática recreativa es la de las presuntas paradojas geométricas. Dado que virtualmente cualquier tema aritmético admite una interpretación geométrica, siempre es posible hacer un dibujo para ejemplificarlo. Hablemos de uno de tales divertimentos, que espero no sea demasiado conocido por mis lectores (yo ya me lo he encontrado bastantes veces por la web).

Sabemos que una de las propiedadesd de las areas de las figuras geométricas, como medidas que son, es que son invariantes por traslaciones. Así, si troceamos un cuadrado y con los trozos recomponemos un rectángulo, es de esperar que ambos tengan el mismo área. Sin embargo, en nuestra figura, los 8x8=64 unidades cuadradas del cuadrado se convierten en 13x5=65 en el rectángulo.

Encontrar el error no es demasiado difícil, pero a mi juicio lo más interesante es lo bien que este ejercicio ejemplifica los peligros de un razonamiento geométrico no riguroso. Todo el mundo sabe que un metro cuadrado no puede aparecer por arte de magia, y que algo debe estar mal; pero si el error hubiera sido menos vistoso, hubiera pasado desaparecibido. Eso es lo que ocurre con las demostraciones falsas de teoremas imposibles, tales como la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo o la trisección del ángulo de 60^o

Feliz fin de semana a todos.

Por cierto; les invito a que encuentren de dónde sale una unidad cuadrada de más en el rectángulo, tras unir las cuatro piezas del cuadrado...

Verdad matemática.

Un enunciado es matemáticamente verdadero si y solo si ese enunciado es deducible de axiomas intuitivos

Esta es la llamada Tesis clásica de la verdad matemática . Gran parte de la historia de la matemática está basada en esta tesis. Como habréis sabido intuir, el si y solo si hace que la afirmación sea doble:

1.-Si un enunciado es matemáticamente verdadero, entonces es deducible de axiomas intuitivos.

2.- Si un enunciado es deducible de axiomas intuitivos, entonces es matemáticamente verdadero.

Cuando se demostró que el quinto axioma de euclides no era deducible de los cuatro anteriores, se vió que las geometrías que se habían ideado para demostrar lo contrario, eran coherentes internamente a pesar de partir de una colección de axiomas antiintuitivos. Nacían las geometrías no euclídeas de las cenizas de la versión 1 de la tesis clásica de la verdad matemática, y existían enunciados plenamente verdaderos que se deducían de sistemas de axiomas no intuitivos.

Por lo menos, la parte más firme de la tesis seguía en pie: era de esperar que no existieran posibilidades de deducir enunciados falsos de axiomas intuitivos.

Poco duró la esperanza cuando las paradojas afloraron en el seno de la teoría de conjuntos.

Este libro es el repaso histórico de esta catástrofe. Catástrofe fértil como pocas, sobre la que se asienta la matemática del siglo XX y XXI.

Ficha:

"Verdad matemática"
Autor: Julián Garrido Garrido
Ediciones nivola, colección Ciencia abierta
ISBN 84-95599-68-6
1ª Edición: septiembre 2.003

Base matemática de la música ( y 3 )

PRECISANDO LA NOCION DE DISTANCIA

Este es un buen momento para introducir el concepto de distancia, de forma tan general que sea aplicable tanto a distancias ordinarias entre puntos del espacio como a distancias entre notas musicales, o entre diferentes apuestas de un sistema de quinielas.

Previo a la necesidad de tal concepto, tenemos un conjunto X de objetos entre los cuales queremos difinir algo que pueda llamarse distancia.

El producto cartesiano X x X no es sino el conjunto de todos los pares de objetos de X de la forma (a,b). Pues bien; una distancia es una aplicación de X x X en R (conjunto de los reales), d: X x X -------- R que cumpla cuatro propiedades:

1.- d(a,b) mayor o igual que 0
2.- d(a,b)=0 si y solo si a=b
3.- d(a,b)=d(b,a)
4.- d(a,b) menor o igual que d(a,c)+d(c,b)

Por lo demás, tenemos plena libertad para elegir la función d. A partir de ahora consideraremos que las letras que representan notas en realidad representan las frecuencias en herzios de dichas notas. Para medir las distancias entre notas musicales, la función d(a,b)=b-a no es interesante. Hemos visto que es la relación de frecuencias la importante, no su diferencia. Dos notas con relación doble- mitad tienen la misma distancia según nuestra percepción (una octava), sin importar los valores absolutos de frecuencia de ninguna de ellas. Por lo tanto la distancia que nos interesa debe ser de la forma d(a,b)=b/a. Como para el caso de que a y b sean iguales la distancia debe ser cero (primera propiedad). Dado que el logaritmo de 1 es precisamente 0, y dado que las leyes logarítmicas son las que mejor se adaptan a la sensibilidad de nuestros sensores, tomaremos como función distancia:

D(a,b)=K. Abs( Log (b/a))

La K no es sino una constante de escala, sin la menor importancia teórica, aunque sí práctica como veremos. He tomado el valor absoluto del logaritmo para que se cumpla la propiedad 1. Como sabemos (ahora lo sabemos, porque ya hemos leído los dos post anteriores, verdaaaaaaad?) que una octava tiene 12 semitonos, si tomo K=1200/log(2), entonces un Do estará del Do inmediatamente superior a una distancia de:

(1200/log(2)) . log(2)=1200 unidades,

que llamaremos cents , y por lo tanto un semitono de la escala temperada, que era la que dividía la octava en doce intervalos idénticos, tendrá 100 cents. Un tono temperado 200, etc, etc.

Quede claro que los cents no son una unidad de frecuencia, de tono ni nada parecido: son una unidad de separación entre tonos.

Podemos calcular ahora cuántos cents tiene un intervalo de quinta justa, que es el que hemos utilizado para construir nuestra escala de posts anteriores.

quinta justa = log 3/2 x 1200/log2 = 701,955 cents

Recordemos que, por definición:

octava justa= 1200 cents.

Habíamos visto que doce quintas justas no eran idénticas a siete octavas. Efectivamente:

12 quintas= 12 x 701,955 = 8.423,46 cents
7 octavas = 7 x 1200 = 8.400 cents

La diferencia es exactamente el déficit de la quinta del lobo del post anterior, y se denomina coma pitagórica .

1 coma pitagórica= 23,46 cents

Así pues, todo el misterio está en repartir estos casi 23 cents y medio entre las doce quintas, en función de qué es lo que queramos conseguir. Si queremos facilidad en la afinación de instrumentos, y no somos muy exigentes (eso es exactamente lo que pasa con la música actual), repartimos equitativamente: 23,5/12= 1,95 cents por quinta; valor que aproximaremos a 2 cents por quinta. De esta manera, ninguno de los intervalos entre notas será perfecto (expresable por una de esas fracciones de pequeños números, que producían un gran equilibrio entre las ondas senoidales de ambas notas). Un oído entrenado lo notará.

Las otras posibles soluciones? Pues pasan por el compromiso de “destrozar” cierto número de quintas justas y dejar perfectas las demás. Una solución es la de Valotti, que consiste en elegir seis de las doce quintas y distribuir en ellas una coma pitagórica (4 cents por quinta elegida)



Otro sistema, llamado Werckmeister III lo hace tomando cuatro quintas y restando seis cents a cada una de ellas:



Por último, el sistema Kirnberger reparte 11 cents entre dos quintas consecutivas, dejando los 2 restantes para otra:



Cada uno de ellos tiene una razón de ser, presenta sus ventajas y sus desventajas, pero estas profundidades musicales exceden los límites de Tio Petros (entendiendo por Tio Petros tanto el blog como su autor).

Base matemática de la música (2)

Según veíamos en el post anterior, las escalas musicales occidentales antiguas se construyeron en torno a la idea de producir la máxima consonancia posible; cosa que ocurría cuando la relación de las frecuencias de dos tonos tocados simultáneamente era expresable mediante una fracción lo más simple posible. Dado que un tono base y otro de frecuencia doble dan la sensación del mismo tono pero más agudo, lo natural era considerar esa distancia como la total que había que subdividir; independientemente de que pudiera adjuntarse otra hasta la frecuencia triple, cuádruple, etc...

La fracción más simple posible es la de 3/2, que es la que usábamos para crear nuevas frecuencias a partir de la de origen, que llamaremos tónica . Si la tónica es un Do , al multiplicarla por 3/2 obtendremos un Sol . Este intervalo se denomina una quinta justa. (Esta denominación tiene mucho sentido: para llegar del Do al Sol hay que pasar por cinco notas: DO, Re, Mi, Fa, Sol; ambas incluidas. Por supuesto, una vez que tengamos construida la escala!!!)

Pues bien, decíamos que a base de quintas justas íbamos construyendo las demás notas de la escala. Cuando obteníamos valores superiores a 2, nos salíamos de la escala ( la nota obtenida era más alta que el Do superior al que queríamos llegar), con lo que simplemente dividíamos por dos, y volvíamos a caer en nuestro dominio a subdividir. Se trata de una operación módulo una octava.

Dado que el 2 y el 3 son primos entre sí, no podemos tener esperanza alguna de llegar jamás al Do superior exactamente: iríamos obteniendo infinitas notas por este procedimiento, todas entre ambos Do, de modo que debemos cerrar el círculo de quintas en falso. Efectivamente, alguna vez obtendremos un valor lo suficientemente cerca del Do alto como para asimilarlo.

Esto ocurre tras 12 quintas , más sus respectivas correcciones (dividiendo por dos) para no salirse del intervalo. Efectivamente, 12 quintas suponen siete correcciones ( no hay más que ir obteniendo los valores para comprobarlo) 3¹²/2¹⁹= 531441/524288=1,0136.

Si vemos la figura, tenemos sobre un círculo de quintas marcados los doce intervalos equidistantes (escala temprada) con segmentos azules, mientras que las notas obtenidas por el método aquí indicado están en rojo. Dado que las 12 quintas son algo mayores que las siete octavas, para cerrar el círculo en falso debemos aceptar el último intervalo (marcado en rojo) bastante más pequeño que los demás. Esta quinta irregular es denominada la quinta del lobo . Cada una de las doce notas obtenidas son las de nuestra escala cromática. El problema que tenemos ahora es ver si podemos distribuir de alguna manera esta diferencia notable de la quinta del lobo entre varias. La solución de repartir equitativamente entre todos los intervalos ( que es lo que hacemos nosotros con nuestra escala actual, o escala temperada) no les gustaba nada a los antiguos, que eran más exigentes y estetas que nosotros, por motivos obvios: nos cargamos todas las quintas justas y ya no existen consonancias perfectas.

Este es un problema sin solución óptima. Hay que optar entre varias soluciones, llamadas temperamentos . Se trata de dividir el déficit de la quinta del lobo entre algunos intervalos, de forma que se mantenga dentro de lo posible la perfecta armonía de 3/2 entre varias quintas.

Para ver cómo lo consiguieron, necesitamos más teoría, que será la semana que viene.

Que tengan mis lectores un buen fin de semana.

Base matemática de la música.

Estarán de acuerdo conmigo en que no hace falta saber matemáticas para disfrutar de la música. De hecho, a simple vista parecen ser dos temas totalmente desligados... pero en realidad muy pocas cosas están desligadas de la matemática.
¿Saben ustedes porqué las notas son siete? No parece un número muy adecuado; al fin y al cabo es primo, y no tiene divisores; parecería que ocho es más “adecuado”.

En realidad las siete notas DO, RE MI FA SOL LA SI (escala diatónica) se convierten en doce si intercalamos notas intermedias, obteniendo doce, que constituyen la llamada escala cromática: Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, y Si. El símbolo # se llama sostenido, e indica un tono (una frecuencia) intermedio entre la nota que lo nombra y las siguiente. En solfeo se aprende que además existen los bemoles (b), que disminuyen el tono en lugar de aumentarlo, de forma que Re# = Mib y La#=Sib, por poner dos ejemplos.

No se trata de una arbitrariedad, ni mucho menos. Existe una base clara que apoya tal “dodecafonismo”. El propósito de este post es intentar explicarlo.

Dos sonidos puros simultáneos pueden dar una sensación agradable (consonante) o no tan agradable (disonante). El asunto depende de la relación entre sus frecuencias. La consonancia perfecta, y obvia, si produce cuando ambos tonos tienen la misma frecuencia (unísono). Para el resto de los casos, el resultado será más consonante cuando al relación de frecuencias sea un número racional de denominador pequeño. En el fondo todo el misterio es la suma de funciones senoidales: si una frecuencia es 2/3 de otra, la suma “encaja” mucho mejor que si es 465/422...

Es obvio que después del unísono, la mejor consonancia es cuando una frecuencia es el doble de la otra. La sensación percibida es que son ambas la misma nota, pero una más aguda que la otra. Por ello, ambas reciben el mismo nombre (se dice por motivos que veremos que están a una octava de distancia).

¿Cómo dividimos las “distancia entre dos notas del mismo nombre, de frecuencias f y 2f? Pues lo más racional parece seguir con fracciones sencillas. Si tomamos una frecuencia 3f/2, obtenemos una nueva nota, de composición sumamente agradable con f y con 2f.

El siguiente paso parece natural: tomar una frecuencia que sea 3/2 de la última; osea 9/4 de la frecuencia base. El problema es que esta fracción es mayor que dos, por lo que nos habremos salido por encima de 2f. Lo corregimos con bajarla una octava ( dividir la frecuencia por dos), que como hemos dicho da la misma sensación de nota musical, si bien más grave), y tenemos 9/8.

Repitiendo el proceso, tenemos:
· f
· 3/2·f
· 9/8 ·f.(Después de haber descendido una octava).
· 3/2·9/8 ·f=27/16·f
· 3/2·27/16 ·f=81/32·f. (Como la frecuencia es más grande que 2f, descendemos una octava y obtenemos 81/64·f)
· 3/2·81/64 ·f=243/128·f
Si ordenamos de menor a mayor estos seis valores, tenemos:

Nota Base f
9/8·f
81/64 ·f
Quinta 3/2·f
27/16·f
243/128·f
Octava 2·f

Tenemos un buen motivo para pararnos con seis valores, y es que si calculamos los cocientes de cada frecuencia con la anterior, nos sale lo siguiente:

(9/8):1=9/8__________________1,125
(81/64):(9/8)=9/8____________1,125
(3/2):(81/64)=32/27__________1,185
(27/16):(3/2)=9/8____________1,125
(243/128):(27/16)=9/8________1,125
2:(243/128)=256/243__________1,053

Vemos que, salvo el salto del tercero al cuarto tono, la cosa está muy equilibrada. Curiosamente, en este hueco entre el tercero y el cuarto se encuentra la fracción 4/3. Si lo intercalamos obtenemos la siguiente tabla:

Frecuencia___________ Razón nota anterior _____________Nombre

Tónica_____f_____________________________________________Do
Segunda 9/8·f___________9/8=1,125_________________________Re
Tercera 81/64·f__________9/8=1,125_________________________Mi
Cuarta 4/3·f_____________256/243=1,053_____________________Fa
Quinta 3/2·f_____________9/8=1,125_________________________Sol
Sexta 27/16·f___________9/8=1,125__________________________La
Séptima 243/128·f________9/8=1,125_________________________Si
Octava 2f_______________256/243=1,053_____________________Do

Hemos obtenido una división de la octava (de un Do grave a un Do de doble frecuencia) atendiendo a criterios de máxima consonancia, por lo que las combinaciones de sonidos serán lo más agradable posible. Podemos comprobar que las distancias Mi-Fa y Si-Do son menores que el resto (empleamos en este contexto la palabra distancia en una acepción no habitual: como cociente de frecuencias) . De hecho, las distancias Mi-Fa y Si-Do son aproximadamente la mitad, habida cuenta de que 1,053 ² se aproxima bastante bien a 1,125.

Llamamos entonces a la distancia entre dos notas consecutivas cuya relación de frecuencias es 1,125 y semitono a la distancia referida a un cociente de frecuencias de 1,053. Con esto presente, entre dos notas consecutivas hay siempre un tono, con la excepción de las distancias Mi-Fa y de Si-DO, intervalos de un semitono.
Si bien este estado de cosas parece bastante complicado, la realidad (por una vez) es más sencilla. Actualmente se usa la llamada Escala temperada , que consiste en formar la escala cromática de las doce notas mencionadas más arriba a base de multiplicar la frecuencia de la tónica por la raíz doceava de dos. Obtenemos una escala promediada que vuelve a la tónica una octava más alta, con doble frecuencia tras pasar por las doce de la escala. En la escala temperada , los múltiplos perfectos de frecuencias se pierden, y las armonías no son tan redondas, pero se simplifica enormemente la tarea de afinación de instrumentos musicales. Simplificación ramplona a juicio de los amantes de la música antigua.

En la siguiente imagen podeis comparar la escala temperada, completamente fría y perfecta con otras escalas:

Escala temperada

Shree (india)

Hirajoshi (Japón)

Diatónica o pitagórica

Género de una figura cerrada ( y 2)

Efectivamente, como ha apuntado el bueno de Sam, el género del cuerpo en cuestión es dos. Vamos a ver una serie de transformaciones continuas que nos lo aclararán.

PRIMER PASO

Ahuecando el centro en el que se unían los tres agujeros tubulares, podemos obtener una esfera hueca, de paredes de cierto grosor, y con tres agujeros. (Figura de arriba)

SEGUNDO PASO

Agrandando el borde de uno de los tres agujeros obtenemos una especie de cuenco con dos agujeros.



TERCER PASO

Aplanando la figura anterior, obtenemos una torta con dos agujeros interiores, que es equivalente a un toro de dos agujeros.



La solución de mi amigo Sam Berimbad era muy buena: consideramos dos de los agujeros como un único agujero pasante con lo que la figura sería un toro. Además tenemos otro agujero que va de la superficie esférica hasta el tubo del agujero anterior. Pero el tubo del agujero anterior es también el exterior de la figura, luego simplemente tenemos otro agujero: un toro de dos agujeros.

Género de una superficie cerrada.

Cuando hablamos del poliedro de Szilassi, dijimos que en número de caras menos el de aristas más el de vértices es una constante para todos aquellos cuerpos que comparten una propiedad importante: el género. Vimos que, básicamente el género lo dictaba el número de agujeros pasantes que el cuerpo tuviera. Así, una esfera maciza tenía género igual a cero, un toro (donut) lo tenía igual a 1, etc.

La fórmula de Euler generalizada, quedaba entonces así:

C - A + V = 2 - 2 g

Esta cantidad es invariante por transformaciones contínuas, de hecho es el invariante topológico por excelencia, y recibe el nombre de Característica de Poincaré

Para aquellos cuerpos que no tengan ni caras ni aristas ni vértices por ser curvos, la importancia de la Característica de Poincaré sigue siendo idéntica dado que siendo una característica topológica, siempre podremos triangular el cuerpo y obtener otro topológicamente equivalente al dado, pero con caras planas. EL nuevo cuerpo así conseguido siempre tendrá la misma característica de Poincaré, sea cual sea la triangulación que efectuemos, por lo que se trata de una propiedad intrínseca del cuerpo original.

El poliedro de Szilassi era de género igual a la unidad, por ser topológicamente equivalente a un toro, por lo que en dicho poliedro se debe cumplir que C - A + V = 0 , cosa que así ocurría en efecto.

Hablemos de superficies orientables, acotadas y cerradas; que son las más simples. Una superficie diremos que es orientable cuando queda perfectamente definido un volumen que encierra dicha superficie, que llamaremos interior . Así, evitaremos referirnos en este post a objetos más complicados, como la botella de Klein , para la cual tal cosa no ocurre.

Pues bien; resulta que incluso para estos objetos sencillos, a veces es difícil encontrar el género. La forma más intuitiva, y perfectamente válida de hacerlo, es imaginar deformaciones continuas (homeomorfismos), de forma que pasemos de la figura dada a una en la que el género se vea de forma trivial. Estos cuerpos triviales son la esfera (g=0), el toro (g=1), y el toro de n agujeros (g=n).

Como ejemplo, les invito a que intenten encontrar el género del cuerpo que les propongo: se trata de una esfera maciza con tres agujeros; pero ojo: no son tres agujeros pasantes, sino que los tres se encuentran en el centro. En la ilustración se ve también un corte de la misma para comprenderla mejor.Si los tres agujeros fueran pasantes, el género sería trivialmente tres: es muy fácil deformar dicha figura y convertirla en un donut de tres agujeros. Pero la figura propuesta es un poquillo más perversa...

Les espero.