Bitácoras de matemáticas

Circunscribiéndonos al mundo de los blogs, tengo noticias de la existencia de tres blogs, o bitácoras que se dedican a la matemática. Existen por supuesto miles de páginas muy buenas, buenas, mediocres y malas sobre matemáticas, pero no con formato de blog. Además de éste vuestro sitio, Tio Petros, existe la veterana y estupenda DeMairena, cuyo autor, JuanPablo, es uno de los comentaristas que enriquecen TioPetros con sus aportaciones.

Pues bien: ahora tenemos otra bitácora cuyo autor, Antonio Luis, es al igual que éste que escribe antiguo alumno de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). Su blog se llama simplemente bitácora de matemáticas. Es una bitácora bastante nueva, pero unos cuantos posts son suficientes para comprender que esta bitácora es una gozada, y que va a seguir siéndolo. Como decía hace poco Pedro Jorge Romero: cuantos más seamos, mayor diversión tendremos.

Dados, monedas y urnas

El libro que hoy comentamos es una verdadera delicia. Se trata de una introducción al cálculo de probabilidades desde la perspectiva de la resolución de problemas. Un libro de métodos probabilísticos en suma; pero aderezado de comentarios personales de los autores, llenos de vida y reflejo de la perspectiva amplísima que de la cuestión tienen sus dos autores. Es un libro de texto de la Universidad Nacional de Educación a Distancia UNED ; universidad en la que estudié, y que tiene algunos textos de excelencia suprema. Este es uno de ellos.

No puedo dejar de recoger aquí una cita que aparece en el mismo:

Son muchos los que confunden la resolución de un problema matemático con los milagros y, ante un enunciado desafiante, obran de manera contemplativa, a la espera de la revelación súbita, del fulgor de la inspiración que ilumine su mente. A nuestro juicio, no hay nada más vano ni más alejado de la realidad que ese comportamiento. Ante un problema cuya solución desconocemos, no cabe más postura que la del enfrentamiento, que la lucha. Es una pelea contra lo intangible que no se refleja en contorsiones ni forcejeos, pero no es menos violenta. Resolver problemas requiere la paciencia del escalador, que busca en la roca, de apariencia inexpugnable, las pequeñas grietas y los escasos salientes donde apoyar pies y manos. Su ascensión es una serie de fallos y nuevos intentos : mira y observa, de un lado una grieta por la que parece fácil subir, de otro lado unos pequeños salientes que ofrecen más dificultades. Elige la grieta. Más tarde, compueba que esa vía no tiene salida: se llega a un punto en el que no se puede continuar. Retrocede y prueba a subir por los salientes. Así una y otra vez. Cuanto mayor es su conocimiento de la montaña, más fácil le resulta anticipar las vías que no tienen continuación. Con el tiempo, su experiencia será tal que, de un vistazo, tendrá dibujado en la imaginación el camino a seguir. En esa capacidad de hallar soluciones lo más extraordinario es el tesón y la constancia, a veces la cabezonería, que precisó para su aprendizaje.


El libro en cuestión, absolutamente recomendable, es "Dados, monedas y urnas, Introducción al cálculo de probabilidades" , de Víctor Hernández Morales y Ricardo Vélez Ibarrola. UNED, 1992.

Resolución por recurrencia.

Hemos ido viendo varias herramientas para resolución de problemas que en principio parecen difíciles, pero que se disuelven en la más meridiana claridad después de ser enfocados desde una perspectiva conveniente para ellos. Vimos el principio de correspondencia, que convertía por arte de magia algunos problemas muy difíciles en apariencia en cuestiones sencillísimas si era bien aplicado. Comentamos en su día que este método tiene un precio: para si aplicación no existen más fórmulas que la agudeza mental y la habilidad.

Otro método muy corriente y de resultados magníficos si es bien empleado es el de recurrencia .

El método de inducción para demostrar afirmaciones que implican a los números reales consistía en demostrar la afirmación para n=1, y demostrar que si se cumple para n, se cumple necesariamente para (n+1). Pues bien; en cierto modo, la resolución de problemas por recurrencia es la inversa de la inducción. Me explico:

Cuando debemos encontrar la solución de un problema para cualquier valor de uno de sus parámetros enteros, si abordar el problema directamente nos es imposible podemos hallar la solución para N= n en función del valor de la solución para N=(n-1). A veces esto no será posible, y la función solución deberá ser expresada en función de varios valores anteriores , no de uno solo. Cuando tengamos expresada esta relación de recurrencia, más el calor inicial o los valores iniciales necesarios, diremos que la función objetivo está ya definida de forma recursiva .

En efecto, la función, a pesar de su apariencia extraña, definida en función de sí misma, está perfectamente definida. El paso de la forma recursiva a la forma habitual en función del parámetro n puede no ser trivial, y necesitar de ciertas herramientas algebraicas, pero esa es otra cuestión.

Vemos un ejemplo de un problema aparentemente dificil resuelto de por recurrencia.


Si trazamos una serie de rectas en un plano, sin orden ni concierto alguno, ¿en cuántas regiones queda dividido el plano?


Cuando trazamos al azar, la probabilidad de que dos rectas sean paralelas es nula, así como la probabilidad de que tres rectas se corten en el mismo punto, así que supondremos esta situación: no hay rectas paralelas, ni puntos de corte de más de dos rectas.

Por la ilustración podeis ver que la cuestión es algo enmarañada en apariencia. Pensemos que tenemos ya (n-1) rectas y dibujamos la número n. Como no hay paralelas, nuestra nueva recta cortará a las (n-1) actuales en (n-1) puntos, que la dividirán en n trozos. Dos de estos trozos serán semirectas infinitas y el resto simples segmentos. Lo que es muy fácil e ver es que cada uno de estos n trozos de recta dividen una región en dos, por lo que nuestra nueva recta incrementará en n el número de regiones del plano.

Expresado en fórmulas: siendo R_n el número de regiones pedido:

R_n = R_n-1 + n
R₁ = 2 (condición inicial).

Esta es la definición recursiva de nuestra función objetivo. Como no necesitamos más que una llamada a la propia función en un valor anterior, necesitamos una sola condición inicial: el plano es dividido en dos regiones por la primera recta.

Una mínima manipulación en este caso nos lleva a la expresión de R_n en función de n:

R_n = R₁ + [ n + (n-1) + ... + 2 ]

R_n = 1 + [n(n-1)]/2.

El problema que vimos hace algunos meses de los apretones de manos también puede ser resuelto de forma recursiva sin ninguna complicación. En todo caso, obtenemos una definición recursiva de la función objetivo del problema, que condensa toda la información de la misma, aunque no está expresada de la forma habitual. Encontrar esta forma habitual (dependencia funcional del parámetro n) es tarea de dificultad muy diversa. Era caso trivial en nuestro ejemplo, y en otros casos es bastante más complicado. Aún así, cuando no podemos o no sabemos encontrar dicha forma normal, si tenemos la definición recursiva , tenemos resuelto el problema.

EL juego de "El cazador" ( y 2 )

Para resolver este problema tan sólo necesitamos un conocimiento añadido: el de la suma de una serie geométrica.

Una serie es el sumatorio de los elementos de una sucesión infinita. En determinados casos, las serie son convergentes, y la suma es finita a pesar de ser infinitos los términos a sumar. Para que esto ocurra, los términos deben tender a cero, pero esto no es suficiente, y hacen falta condiciones adicionales. Concretamente las serie geométricas son muy sencillas: cada término es igual al anterior, multiplicado por una constante r. Si la constante r es menor que uno, la serie es convergente y la suma total vale S=A₁/(1-r) ; donde A₁ es el primer término de la serie.

En nuestro caso, aparece una serie infinita porque el juego no tiene una longitud definida: no acaba hasta que la pistola se dispara; y dado que tras cada disparo se “baraja”el tambor del revólver, nunca podemos saber cuántos disparos habrá que realizar. Tenemos que contabilizar todas las posibilidades. Llamemos A al individuo que dispara primero y B al otro.

Según el esquema marcado en el post anterior, para que el primero muera es necesario que:

1.- El arma se dispare al primer intento de A o bien que
2.- El arma se dispare al segundo intento de A, tras el no disparo en el primer intento de A y el primero de B. o bien que
3.- El arma se dispare al tercer intento de A, tras el no disparo en los dos primeros intentos de A y B. o bien que ...

n.- El arma se dispara al n-esimo intento de A, tras el no disparo en los (n-1) intentos de A y otros tantos de B o bien que ...

...hasta el infinito.

Como sabemos que las probabilidades de disparo son en cada caso 1/6, y de no disparo 5/6, tenemos que la probabilidad de que muera A es:

P(A): 1/6 + 1/6 . (5/6)² + 1/6 . (5/6)⁴ + 1/6 . (5/6)⁶+ ... =

= 1/6. (1 + (5/6)² + (5/6)⁴ + (5/6)⁶ + ...).

Vemos que la cantidad entre paréntesis es una serie geométrica, de razón (5/6)², cuyo valor es 1/(1-(5/6)²) = 36/11..

Y por tanto, tenemos que:

P(A)=(1/6) . (36/11) = 6/11 .

Con B podríamos hacer el mismo razonamiento, obteniendo P(B)=5/11 . Esto último está bien como ejercicio y para comprobar que la cosa va bien, ya que la suma de ambas probabilidades debe ser la unidad.

Vemos que es más fácil que muera el primero, como habían intuido algunos lectores. Cuando el primero aprieta el gatillo y tiene la suerte de no dispararse el arma, la situación se invierte, y es ahora el segundo el que ocupa su posición desfavorable de 6/11. Pero en un inicio, las cosas son como las hemos contado, y es necesario correr 1/6 de probabilidad de morir para invertir la situación . Decididamente los Vietcong de la peli eran unos cabrones.

En realidad en la película no se tocaba el tambor entre disparo y disparo. Esto hace que el juego fuera más aterrador si cabe: a cada disparo fallido, la probabilidad de muerte en el siguiente iba “in crescendo”. No obstante, ese sí era un juego equilibrado: la desventaja de jugarse la vida el primero era compensada con la terrible situación del segundo cuando se habían realizado ya cinco disparos. Haced los cálculos y vereis que así es.

El juego de "El cazador"

No conozco a nadie que le parezca sencillo el cálculo de probabilidades. A pesar de la enorme importancia que tiene para nuestra propia supervivencia, estamos espantosamente dotados por la naturaleza para este tipo de cálculos. Ya lo comentábamos aquí.

Menos mal que tenemos un verdadero arsenal de herramientas para poder afrontarlo. Muchas veces la forma más sencilla de resolver un problema es resolviendo el contrario. Me explico con un ejemplo:

Una persona obtiene un premio si consigue un seis tirando un dado tres veces consecutivas. ¿Qué probabilidad tiene de éxito?

Es evidente que si saca un seis a la primera, no tiene que tirar más: ya lo ha conseguido, y lo mismo a la segunda. La forma más simple de resolver este problema es pensando precisamente en la probabilidad de no acierto: con probabilidad 5/6 sacará un valor diferente de seis cada una de las tres veces; como los lanzamientos son independientes, podemos multiplicar las probabilidades para obtener la probabilidad de que no salga un seis ninguno de los tres lanzamientos, que será exactamente de (5/6)³. Como nos interesa el suceso exactamente contrario (que salga algún seis), la probabilidad pedida será la unidad menos el valor anterior, esto es:

P{ganar el premio})=1- (5/6)³=91/216

¿Es necesario el paso al suceso contrario para calcular el asunto? Obviamente no; pero es algo más elaborado. Lo que no es lícito es pensar que como para que salga al menos un seis, debe hacerlo a la primera, a la segunda o a la tercera, podemos sumar las probabilidades, con lo que obtendríamos 3/6=1/3.

Si esto fuera cierto, con seis tiradas tendríamos la seguridad de ganar, y todos sabemos que esto no es así. ¿Qué es lo que falla?

Lo que falla es que si bien la probabilidad de sacar el seis a la primera es ciertamente 1/6, no es así con la segunda. Porque para sacar un seis a la segunda hacen falta dos cosas:

1.- No haber sacado seis a la primera.
2.- Sí sacarlo a la segunda.

Una vez que la primera tirada no ha sido seis, sí que volvemos a tenemos 1/3 de probabilidad de sacarlo a la segunda, pero no a priori. Así pues, con la nomenclatura siguiente:

A=Obtener premio
S_i= Obtener seis a la i-ésima tirada.
S^c_i=No obtener seis a la i-ésima tirada.

nuestro cálculo directo debería ser:

P(A)=P(S₁)+ P(S₂/ S^c₁). P(S^c₁)+P(S₃/S^c₁, S^c₂). P(S^c₁).P(S^c₂).

El primer término es la probabilidad de obtener el premio a la primera. El segundo es la probabilidad de obtener el premio a la segunda cuando no lo hemos obtenido a la primera, multiplicado por la probabilidad de no obtenerlo a la primera, y así sucesivamente.

Ahora sí: sustituyendo por los valores numéricos correspondientes, obtenemos:

P(A)=1/6 + 1/6.5/6 + 1/6.5/6.5/6 = 91/216.

Vemos que tanto el cálculo directo de la probabilidad pedida como el contrario para luego restarle a la unidad dicho valor, son ambos posibles, pero el trabajo que cuesta uno y otro son diferentes.

Sabiendo esto, podemos abordar algo más elaborado:

¿Se acuerdan de la película “El cazador”, con Robert de Niro y Christofer Walken? Los malvados del Veitcong se divertían obligando a jugar a la ruleta rusa (una sola bala en un cargador de seis) a dos prisioneros haciendo apuestas. Si suponemos que cada vez que se dispara se vuelve a “barajar” el revólver, (cosa que en la película no pasaba), por quién apostaría usted: por el primero que lo intente, o por el segundo? Las apuestas se realizan antes de comenzar, pero ya sabiendo quién disparará primero.

Paradojas infinitodimensionales ( y 2)

Las respuestas dadas a la paradoja del post anterior por Eratóstenes y Tute son muy satisfactorias, y completamente correctas. Vamos a verlo en este post desde otro punto de vista que nos ayudará a tomar contacto con algunas nociones que necesitaremos para hablar algún día de los Espacios de Hilbert .

Cuando queremos definir un punto de un espacio de n dimensiones, debemos dar n valores, que son las n coordenadas que se necesitan para ubicar dicho punto en el espacio. La distancia euclídea de dicho punto al origen nos viene dada por el teorema de Pitágoras: será la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados las n componentes.

De esta forma, podemos establecer una aplicación entre el conjunto de puntos del espacio y el conjuntos de números reales, de forma que a cada punto le corresponde el valor numérico de su distancia al centro. Si consideramos cada punto como un vector que nace en el origen y llega a dicho punto, dicho número se denomina norma del vector, y la aplicación se denomina norma del espacio, que ahora se dirá espacio normado. Existen otras normas que no son la euclídea, pero deberán cumplir una buenas propiedades para merecer tal nombre. Otro día hablaremos de ellas.

Un subconjunto del espacio se dice acotado si cabe dentro de una esfera maciza de radio suficientemente grande. Dicho de otra manera: si todos sus puntos están a una distancia no infinita del origen. (aquí el origen es arbitrario: podríamos decir si todos sus puntos están a una distancia no infinita de un punto dado).

Podeis observar que en el espacio de infinitas dimensiones tenemos una interpretación muy intuitiva de qué es cada “punto”: es una sucesión de infinitos números reales, sus coordenadas. Llegamos a la conclusión de que para que un punto esté a distancia no infinita del centro debe cumplirse que la suma de los cuadrados de sus coordenadas sea finita, pues sólo en este caso será finita la raíz cuadrada de dicha suma, y por tanto la distancia al origen. Esto ocurre por ejemplo para aquellos puntos que tengan todas las coordenadas igual a cero salvo un número finito de ellas, pero también puede ser que todas ellas sean diferentes de cero: debemos poner pues la restricción de que la serie que surge del sumatorio de los cuadrados de sus coordenadas sea convergente. Esta restricción es muy importante en los llamados Espacios de Hilbert , por ejemplo.

Si veis la definición de cubo macizo en este espacio, veremos que los puntos interiores tienen la restricción de que cada una de sus coordenadas es menor o igual a un número dado en valor absoluto. Los puntos que tengan todas el valor absoluto de sus coordenadas iguales a dicho valor son precisamente los vértices del cubo, si tenemos n dimensiones, como cada vértice puede tener cada una de sus coordenadas positivas o negativas, tenemos 2 ⁿ posibilidades, que nos da el número de vértices de dicho cubo.

En infinitas dimensiones, y pensando en el cubo de arista dada, infinitos son los vértices, pero en todos ellos el cuadrado de cada coordenada vale una cantidad no nula y mayor que cero ( al elevar al cuadrado (+z) ó (-z) obtenemos siempre una cantidad positiva); y la suma de todos estos cuadrados es infinita, luego cada uno de los vértices está a infinita distancia del origen. Poco importa que el tamaño de la arista: siempre que sea mayor que cero, obtenemos un objeto no acotado que no puede caben en esfera alguna.

Esto no ocurre para ningún valor del número de dimensiones del espacio, por grande que sea mientras sea finito; sólo ocurre para los espacios infinitodimensionales.

Por lo tanto, el error estaba en dar por buena la existencia de un cubo inscrito en la esfera.

Paradoja infinitodimensional

Siempre he pensado que los lectores dan vida al blog. Lo he repetido varias veces, y no es una concesión de cara a la galería. Volviendo de vacaciones, he leído un comentario de Torek referente al artículo de las esferas y cubos infinitodimensionales.

Decíamos que en una esfera infinitodimensional de radio unidad, el mayor segmento que entraba en su interior era de dos unidades de longitud (cualquiera de sus diámetros); mientras que en un cubo el mayor segmento era infinito (de hecho, toda una recta).

Torek plantea una demostración de que lo anterior es falso, y que también en una esfera infinitodimensional cabe una recta infinita. El razonamiento no puede ser más sencillo y perturbador:

Dado que toda esfera tiene un cubo inscrito, y que dentro del cubo cabe, según se ha demostrado, un segmento infinito, con mayor motivo cabrá en la esfera. Por lo tanto, tanto dentro de una esfera como dentro de un cubo infinitodimensionales cabe un segmento de cualquier longitud, por grande que esta sea.

La elegancia del razonamiento es innegable... a pesar de ser falso.

Si les apetece buscar el error, les espero.

Feliz 2.004

Reanudamos la actividad en Tio Petros tras el período vacacional de rigor.
Seguiremos paseando por los rincones más atractivos de la matemática; como siempre, si ustedes quieren.
Les deseo a todos un venturoso año nuevo.

Zorionak denori

Me voy de vacaciones.

Este blog estará sin nuevos post durante unos días; pero esto sólo será para volver con más fuerza. Cinco meses han sido suficientes para saber que esta es una actividad muy gratificante, sobre todo por la participación de los lectores. Cuatrocientas visitas diarias de media (a pesar de que cada cierto tiempo el contador se pone milagrosamente a cero, y contando con que bastantes son mías) me dan pie a pensar que este humilde blog ha conseguido el hueco que pretendía: dar un paseo por la matemática sin pretender “hacer matemáticas”. Es vuestra participación la que da sentido al blog.

Por medio de este copo de nieve imposible (¿porqué es imposible?) os deseo a todos unas felices fiestas en euskera, que es el idioma de mi tierra.

A Rimblow, Crystal, Carlos, Shunt, Alby, Mariano, Quique, Sam Berimbad, Vailima, Timshel, Tute, Anónimo, Fernand0, Félix, jose, Eratóstenes, Manufirun, Narciso, Heimy, Pope, JuanPablo, luia, Clyde, Ricardo, malglam, enlavin, Pedro Jorge Romero, eMe, Miguel, Víctor R. Ruiz, Akin, R, mario, MiguelCT, Ramón, Moebius, daniel tubau, mini-d, Morgaine, Tío Johnny, Fiti, mig21, JoseMaría, Amanda,Mankel, Alberto, Suso, Paleofreak, Chewie, nodie y todos los que habeis dignificado este blog con vuestros comentarios:

FELIZ SOLSTICIO.

Cualquier idea, indicación, propuesta, mejora, cambio de rumbo... que querais proponerme, estaré muy gustoso de leer en los comentarios de este post.

Cosas de los espacios infinitodimensionales

Nos es imposible visualizar un espacio de más de tres dimensiones, y sin embargo no tenemos ningún problema para trabajar con espacios de más dimensiones. Muchas veces, la extrapolación a mayor número de dimensiones es tan trivial, que en los libros de texto se omiten los detalles...
La cosa cambia sin embargo de forma drástica cuando el número de dimensiones es infinito.
Vamos a comentar una aspeto curioso y sorprendente de dos cuerpos infinitodimensionales: la esfera y el cubo.

No nuestra esfera ni nuestro cubo (hexaedro), ciertamente, sino el equivalente en espacios de dimensiones cada vez mayores, hasta llegar al infinito numerable.

Una esfera se define en cualquier espacio como el conjunto de puntos que equidistan de otro dado. Pasaremos por alto el "detalle" de que debemos tener definida una distancia entre cada pareja de puntos, y supondremos que estamos hablando de la distancia euclídea normal; esa que todos conocemos.

En dos dimensiones tenemos círculo, que es una superficie plana. En tres, tenemos la esfera de toda la vida; una superficie cerrada en forma de balón. Para treinta y cinco dimensiones, la definición es la misma; a pesar de que seamos incapaces de visualizar el objeto.

Un cubo unidad lo podemos definir como el conjunto de puntos generados por vectores unitarios de una base ortonormal del espacio, mediante combinaciones lineales en las que los coeficientes van de cero a uno. Este galimatías no quiere decir otra cosa que lo que todos ustedes saben: dado un punto de origen, que será uno de los vértices del cubo, dibujamos tantas flechitas perpendiculares entre sí como dimensiones tengamos, y ya tenemos las aristas del cubo que convergen en ese vértice... lo demás es dibujo lineal.

Pues bien: ¿Cuál es la longitud del mayor segmento que cabe dentro de un cubo y dentro de una esfera?

Para una esfera, es evidente que el mayor segmento pasa por el centro, y tendrá una longitud de dos veces el radio. Eso sucede con la esfera de en un espacio de dos dimensiones(círculo), y con la esfera en un espacio de tres (nuestra esfera de toda la vida). Por la propia definición de esfera, no importa la dimensión del espacio, del centro a cualquiera de sus puntos la distancia es constante e igual al radio, y el mayor segmento que cabe en el interior es un diámetro, de longitud doble al radio.

¿Y qué sucede con el cubo?

Pues la sorpresa es que el cuadrado, el cubo y las demás figuras correspondientes a máyores dimensiones tienen diagonales, cuyas longitudes son mayores que los lados. Para el cuadrado, la diagonal vale raiz de dos, y para el cubo vale raíz de tres. Una diagonal en un hipercubo n-dimensional mide raíz de n, que es una función creciente de n, y por lo tanto, en un espacio de infinitas dimensiones dentro de un cubo cerrado CABE UNA RECTA INFINITA.

Una vuelta de tuerca al problema de Monty Hall

En los comentarios de un post anterior se mencionaba el famoso problema de Monty Hall. No tenía intención de hablar de él, por aquello del compromiso inicial de huir del tópico; pero he encontrado una vuelta de tuerca al asunto muy interesante.

Recordemos el problema y su solución:

En un concurso nos ofrecen tres cofres: uno con un premio y dos vacíos. Elegimos uno de ellos, y luego el presentador nos abre uno de los otros dos, que está vacío. Ahora nos da la oportunidad de quedarnos con nuestra elección primera o cambiar. Supondremos que el presentador nos ofrece el cambio siempre, que no es una estrategia que use a su conveniencia.¿Qué debemos hacer?


La solución del problema es que debemos cambiar: de esta forma doblamos las posibilidades de llevarnos el premio. No quiero incidir en esto, pues está muy hablado ya, y el que no se lo crea puede revisar en la web mil páginas que lo explican. La aceptaremos sin discusión.

La vuelta de tuerca es la siguiente:

Tenemos TRES concursantes, cada uno de los cuales ha elegido un cofre distinto. El presentador abre uno de los cofres vacíos, con lo que el concursante correspondiente queda eliminado. Ahora, los dos restantes, que conocen la solución al problema de Monty Hall, cambian sin dudar sus respectivos cofres para doblar sus posibilidades: pero esto es absurdo!

Entre ambos tienen siempre el 100% de posibilidades, es imposible que doblen sus probabilidades ambos a la vez. Por otro lado, no vemos que ninguno de los dos concursantes pueda tener ventaja alguna sobre el otro...

¿Qué sucede aquí?

Quisiera animarles a participar con sus comentarios. Los comentarios son los que le dan vida al blog. Cada comentario es un regalo para el autor y para el resto de los lectores.

¿Qué está mal en esta foto?

Nunca veremos este espectáculo.
¿Porqué?

La proyección estereográfica de Riemann

Un lector me pregunta por la equivalencia topológica entre la esfera y el plano. Intuitivamente, parece ser que ambas superficies no son equivalentes. Después de todo, la esfera es una superficie muy diferente a un plano; no sólo por su forma (cosa poco importante en topología) sino por propiedades globales, como acotamiento.
En efecto, ambas superficies son distintas a nivel topológico. Lo que ocurre es que basta con eliminar un punto a la esfera para que dejen de serlo.
Supongamos una esfera descansando sobre un plano. Llamaremos punto S (sur) al único punto de contacto entre ambos, y punto N (norte) a la antípoda del punto S. Haremos corresponder cada punto P de la esfera con cada punto P’ del plano de la siguiente forma: unimos el punto N de la esfera con el punto P, y prolongamos la recta de unión hasta que corte al plano. Ese punto de corte es el punto P’, imagen de la proyección.
Es fácil darse cuenta de que cada punto de la esfera tiene su fiel reflejo en el plano, y viceversa; si exceptuamos el propio punto N, que no tiene correspondencia. Esta proyección se denomina proyección estereográfica de la esfera en el plano, o proyección de Riemann .
Los círculos de la esfera paralelos al ecuador se convierten en círculos en el plano con centro en el punto S, pero no se respetan las distancias (después de todo, la topología es lo que queda de la geometría cuando hemos suprimido la noción de distancia! ): cuanto mayor latitud norte tenga el paralelo, mayor es el radio del círculo proyectado en el plano. Un minúsculo paralelo muy cercano al punto N tendrá como reflejo un enorme círculo en el plano.
Un meridiano ( círculo máximo de la esfera que pasa por los puntos N y S, y es perpendicular al ecuador) se reflejará como una circunferencia degenerada en una recta que pasa por el punto S, y cualquier círculo máximo en la esfera intermedio se reflejará como una elipse más o menos excéntrica.
Ahora sí lo podemos decir: una esfera menos un miserable punto es topológicamente equivalente a un plano.

También podemos hacer que la esfera y el plano sean equivalentes de otra forma: en vez de eliminar un punto de la esfera, añadimos un punto al plano. Parece una estupidez añadir un punto a un plano (¿Dónde lo ponemos?) Sin embargo, no lo es. Se puede definir perfectamente un "punto en el infinito" que será el reflejo (a estas alturas espero que lo hayan adivinado) del puñetero punto N de la esfera; el único que quedaba sin emparejar. Esta construcción se denomina compactificación del plano mediante la adición de un punto en el infinito.

Siete colores sobre un toro

Hemos hablado varias veces sobre el Teorema de los cuatro colores.Decíamos que era un ejemplo clásico de dificultad de demostración matemática, aunque el enunciado era entendible por todo el mundo:

Bastan cuatro colores para colorear cualquier mapa plano o esférico de forma que dos regiones con frontera común sean de color diferente.

Nunca se podrá encontrar un mapa que necesite más colores.

¿Qué sucede si el mapa no está sobre un plano o esfera, sino sobre una superficie toroidal?

Imaginen un poliedro de Szilassi real, construido con un material elástico. Imaginen que vamos inyectando aire para hinchar el poliedro. Poco a poco sus caras planas se irán curvando por la presión del aire interno; los vértices irán perdiendo su agudeza, haciéndose cada vez más romos. Las aristas también se irán curvando y al final, suponiendo que el material aguante, tendremos un toro hinchado: como un donut o un neumático.

Si a priori teníamos cada una de las siete caras pintadas de un color, ahora tendremos un toro, como un neumático de siete colores. Cada una de las primitivas caras del poliedro se han convertido en un región del toro, con las formas cambiadas; y sin embargo mantienen sus propiedades esenciales: cara región tiene frontera común con las otras seis, pues el poliedro de Szilassi tenía esta propiedad: cada pareja de caras tenía una arista común, convertida ahora en frontera entre dos regiones.

Nos es ahora completamente evidente que con menos de siete colores es imposible colorear el toro. Eso no quiere decir que no haya (que las hay) mapeados de regiones que hagan posible el coloreado con menos colores; pero hemos hallado una división de la superficie del toro imposible de colorear con menos de siete colores.

Es sorprendente que una superficie sólo un poco más complicada que una esfera tenga un número cromático casi el doble que ésta.

He leído por ahí que esta reflexión es una demostración de que el número cromatico del toro es siete, pero no estoy de acuerdo. Es cierto que siete es el número cromático del toro, pero con nuestro ejemplo hemos dado una cota inferior para el mismo: no puede ser menor de siete.
Sabemos también que no puede existir un poliedro con un agujero que tenga más de siete caras si queremos que cada par de caras tenga frontera común con todas las demás, pero en principio pudieran existir poliedros de ocho o más caras que, sin exhibir conectividad completa entre las caras, la tengan suficientemente alta como para necesitar más de siete colores. No obstante, es mucho más fácil demostrar convenientemente el Teorema de los siete colores en un toro que el Teorema de los cuatro colores en un plano.

Es bastante misterioso, pero cierto que en topología a veces es muy fácil demostrar afirmaciones para espacios topológicos enrevesados, mientras que las demostraciones para los sencillos es endiablada, cuando no desconocida. Lo mismo sucede con el número de dimensiones de los espacios topológicos: hay afirmaciones que no ofrecen problema alguno en 20, 30 ó 500 dimensiones, mientras que en tres o cuatro son hoy por hoy imposibles. Esto hace que una de las ramas más difíciles del asunto se denomine precisamente topología de baja dimensión.

Por cierto; un toro (rumiante) es topológicamente equivalente a una esfera, y por lo tanto bastarían cuatro colores.(1)

(1) Si obviamos la existencia de tubo digestivo, porque en caso contrario es equivalente a un cilindro hueco; que a su vez es equivalente a un toro; esta vez en el sentido geométrico de la palabra...

El Poliedro de Szilassi (y 3)

Prosigamos según el esquema que nos hemos marcado en los dos post anteriores.
Vamos a investigar si puede existir un poliedro tridimensional con un agujero( topológicamente similar a una rosquilla o a un toro) que tenga la propiedad tetraedral consistente en que todo par de sus caras se encuentra en una arista.

Ahora el fórmula del ”Teorema de Euler” nos dice que

C – V + A = 2 – 2h

Como h es el número de agujeros, y ahora tenemos uno, la cosa queda así:

C – V + A = 0

Diremos que la característica de Poincaré de los poliedros con un agujero vale cero. Las otras dos ecuaciones que ligaban aristas , vértices y caras permanecen invariables, pues surgían naturalmente de la imposición de que cara par de caras compartieran una arista común.

Si introducimos aquellas dos ecuaciones, que eran:

A = C ( C – 1 ) / 2
V = 2 A / 3

Obtenemos:

C²-7C=0 , que es lo mismo que:
C ( C – 7 ) = 0

Que tiene dos soluciones; C=0 y C=7. La primera no nos interesa, porque con cero caras poco podemos hacer, y la segunda es la gran sorpresa:

Con siete caras, tenemos A=(7x6)/2=21 aristas y V=21x2/3=14 vértices. Así pues, parece existir un extraordinario poliedro con tan sólo siete caras, con 21 aristas y 14 vértices, que es topológicamente similar a una rosquilla por tener un agujero, y que además cada par de caras se encuentran en una arista. Podemos saber además que todas las caras son hexagonales, pues cada una de las siete debe tener una arusta común con las seis restantes. Sabemos también que de cada vértice salen exactamente tres aristas

Lajos Szilassi presentó en sociedad tal joya geométrica en el año 1.977: el heptaedro toroidal , o poliedro de Szilassi.



Tiene exactamente las propiedades que hemos predicho: tiene un agujero, siete caras hexagonales, 21 aristas y 14 vértices. Pueden admirarlo en la figura. Si alguien tiene el interés de construirlo, tiene también el desarrollo del mismo.

Espero que les parezca, como me parece a mi, maravilloso que podamos saber todas las características importantes de un objeto mucho antes de que sea descubierto. Con la única fuerza del razonamiento matemático.


¿Se acuerdan del teorema de los cuatro colores?
Cuatro colores bastan para colorear cualquier mapa sobre un plano o sobre una esfera de forma que dos países que comparten frontera común sean de distinto color.
El teorema era topológico, de forma que nada nos afirma del número de colores necesarios para un mapa sobre un toro, por ejemplo. ¿Qué relación tiene esto con el poliedro de Szilassi?
De ello hablaremos en el siguiente post.

El poliedro de Szilassi (2)

Centrémonos en nuestra pregunta: ¿puede existir algún poliedro, además del tetraedro (regular o no) tal que cualquier par de caras tenga una arista en común?

Sabemos que, si no tiene agujeros, debe cumplir la relación:

(1) C – A + V = 2

Además, podemos establecer una relación entre las caras y las aristas. Efectivamente, habrá tantas aristas como parejas de caras. Si tenemos C caras, tendremos C(C-1)/2 aristas.

¿Porqué? Pues muy sencillo: Dada una cara cualquiera, tiene (C-1) caras más con las que formar una arista, luego tendremos C(C-1)/2 posibilidades. Dividimos por 2 porque cada arista ha sido contada dos veces: cuando tomábamos una de las caras, y cuando tomábamos la otra. Dicho de otra forma: el número de aristas es igual al número de parejas de caras, que es la combinación de C elementos tomados de dos en dos.

Así pues, tenemos:

(2) A=C ( C – 1 ) / 2

Respecto a los vértices, ¿podemos decir algo? Pues sí, podemos: en un vértice deberán unirse exactamente tres aristas. Menos de tres es imposible si queremos tener un sólido con volumen; y si fueran cuatro o más, tendríamos dos caras que sólo comparten un vértice, y queremos que toda pareja de caras comparta una arista. También sabemos que una arista corresponde por definición a dos vértices, luego podríamos contar el número de aristas contando el número de vértices, multiplicándolo por tres y dividiendo entre dos.

Por lo tanto:

(3) A = 3 V / 2 => V = 2 A / 3

Tenemos tres ecuaciones contres incógnitas: sustituyendo la segunda y la tercera en la primera, obtenemos lo siguiente:

C² - 7C –12 =0

Que tiene dos soluciones: C=3 y C=4.

Con tres caras no tenemos poliedro alguno, y con cuatro tenemos lo que ya sabíamos: EL TETRAEDRO . Por lo tanto, no existen más poliedros, al menos sin agujeros, que cumplan la propiedad del tetradero.

Hemos demostrado un teorema de inexistencia, y eso es más fuerte de lo que en principio parece: no existe, ni existirá ni ha existido jamás un poliedro tridimensional sin agujeros con la propiedad de que toda pareja de caras se encuentra en una arista, salvo en tetraedro (regular o no, eso no importa ahora).

Debemos pues buscar entre objetos más exóticos: vayamos a los poliedros con un agujero; topológicamente equivalentes a un toro o una rosquilla.

Dentro de esa fauna encontraremos lo que queremos. Será en el siguiente post.

El poliedro de Szilassi (1)

Una de las posibilidades más increíbles de la matemática es que permite demostrar la existencia o inexistencia de objetos (incluso geométricos, que podamos construir o tallar en un trozo de madera) de los que poco sabemos: un puñado de propiedades tal vez, pero no su aspecto. Tengan presente que estoy hablando de existencia matemática, de forma platónica.

Esa posibilidad es tan potente que la matemática la exporta al resto de las disciplinas científicas. Cuando leemos que un científico postuló la existencia de una partícula años antes de que fuera descubierta, estamos asistiendo a este aspecto de la ciencia del que hoy les quiero hablar.

La matemática ocupa un estatus muy especial dentro de la ciencia: no estudia el mundo, sino los modelos abstractos que los científicos construyen para entender el mundo. Si los modelos son adecuados y la matemática subyacente a ellos postula la existencia de un determinado objeto, tiene mucho sentido buscarlo y encontrarlo.

Con la matemática pura, no aplicada, pasa algo parecido, si bien el símil no es completo: no nos referiremos a la existencia física de un objeto, sino a la existencia matemática. No partiremos de un modelo del mundo que quizás, después de todo, sea falso, sino que trabajaremos sin hipótesis adicional alguna. Y si conseguimos demostrar nuestra afirmación, así quedará hasta el fin de los tiempos.

Quiero invitarles a un paseo quizás un poco más empinado que en otras ocasiones, pero que intentaré hacerlo fácil. Me gustaría llegar con ustedes a la convicción de que existe un cuerpo tridimensional muy especial del que a priori nada sabemos, y hacerlo pasito a pasito. Nos adentraremos un poco en aspectos topológicos y geométricos en general.

En el fondo, si yo pudiera demostrar tales cosas por mí mismo, seguramente no estaría haciendo un blog, sino escribiendo en revistas especializadas, de manera que les confesaré desde el principio que hay una trampa: el objeto YA fue descubierto en 1.977.

Es un poliedro muy especial, como verán. Espero que el viaje les sea ligero, aunque quizás en algún momento requiera un poco de concentración. Para hacerlo más liviano, partiremos el asunto en varios post.

Comenzar por los llamados sólidos platónicos me parece lo más apropiado. Como sabrán, los poliedros regulares son aquellos cuerpos sólidos cuyas caras son polígonos regulares, todas ellas iguales. Existen cinco (ni uno más ni uno menos), que son: el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Los pueden ver en la figura.

Cada uno de los cinco es una pequeña maravilla, que queda empequeñecida ante la magnificencia de la demostración de que estos son todos los poliedros regulares. Esta demostración es (según mi humilde entender) una de las más bonitas cosas que los matemáticos hayan realizado nunca. No en vano, el propio Carl Sagan no pudo resistirse, y en las últimas páginas de su best seller Cosmos incluyó la demostración . Hizo bien. Incluyó también la demostración de que la raíz cuadrada de dos es un número irracional, algo de importancia imposible de calibrar si uno no sabe previamente el horror que tal hecho causaba a los griegos, pero esa es otra historia.

La demostración que explica Sagan de que cinco son los sólidos platónicos, o regulares, se basa en una propiedad muy importante de todo poliedro, que los niños aprenden en los colegios con el nombre de Teorema de Euler , como si el bueno de Euler hubiera demostrado un único teorema en su vida.

Este teorema se expresa mediante la siguiente fórmula:

C – A + V = 2

Siendo C el número de caras, A el de aristas y V el de vértices. Lo que los niños no saben es que esto sólo es cierto para poliedros sin agujeros. Un prisma hexagonal con un agujero hexagonal en el centro por ejemplo no lo cumple. La fórmula generalizada para todo tipo de poliedros es:

C – A + V = 2 - 2h

donde h es el número de agujeros. Estamos en terrenos topológicos, donde lo que estudiamos son las propiedades más escondidas de los cuerpos geométricos: aquellas que permanecen invariantes por mucho que los deformemos mientras la demormación sea continua. El número entero C – A + V se llama característica de Poincaré de dicho cuerpo, por buenos motivos que veremos en su día.

Llevo cierto tiempo queriendo hablar de esta fórmula, engañosamente simple y de los secretos que encierra, pero lo dejaremos para mejor ocasión, y si les parece la daremos por buena. Cuando un cuerpo no está formado por caras planas, podemos hacer mediante deformaciones contínuas que sí lo sean, por lo que podemos hablar de su característica de Poincaré del mismo modo. Así, una esfera podemos convertirla en un cubo a martillazos, por lo que su característica de Poincaré será igual a 2, igual que cualquier sólido platónico.

De entre los cinco sólidos platónicos, sólo uno cumple la propiedad de que dado un par de caras, tienen frontera común: una arista. Para los otros cuatro, siempre podemos encontrar dos caras que no se toquen, y por lo tanto no compartan ninguna arista.

Nuestra pregunta es doble: ¿existen más poliedros (regulares o no) que exhiban esta propiedad del tetraedro? ¿Caso de existir, qué podemos saber de ellos?

La reflexión sobre esta pregunta nos llevará bastante lejos, y descubriremos que la respuesta es positiva, y que aún sin saber cómo demonios pueden ser dichos cuerpos, podemos afirmar de una forma aparentemente mágica pero perfectamente rigurosa muchas de sus propiedades.

Posteriormente, presentaremos tal cuerpo: el poliedro de Szilassi . Espero que el asunto tenga el suficiente misterio como para que me quieran acompañar en este paseo.

Así multiplicaban los árabes en el siglo XIII

Algunos conocimientos matemáticos son indispensables para desenvolverse en el mundo. Y de estos, los algoritmos de suma, resta, multiplicación y división (las cuatro reglas) son el mínimo imprescindible. Un algoritmo es una colección de reglas para obtener un resultado a partir de unos datos. Si se siguen correctamente los pasos, llegamos al resultado correcto, aunque no sepamos los motivos por los cuales el algoritmo es como es y no de otra manera.
Luca Pacioli recoge en su Summa de arithmetica, geometria, proporzioni et proporzionalita , editado en Venecia en 1.494; un procedimiento árabe del siglo XIII para obtener el producto de dos números de cualquier cantidad de cifras, que se aparta del habitual que conocemos, si bien es completamente equivalente a éste.
Intentando ser fiel a la propuesta inicial de apartarme del tópico, les voy a explicar en qué consiste dicho algoritmo.
El ejemplo de la imagen multiplica 437 X 456. Como ambos números tienen tres cifras, se parte de un cuadrado subdividido en 3x3 celdas, y se subdivide cada celda como se indica en la figura de la izquierda. Uno de los números a multiplicar se escribe sobre el segmento superior escrito en sentido habitual, y en otro en el lateral, de abajo arriba.
En cada celda se escribe el producto de los dígitos correspondientes, colocando las unidades en la subcasilla superior, y las decenas, si las hubiere, en la inferior.
Se suma diagonalmente, acarreando a la diagonal siguiente las llevadas, si las hubiere.
El resultado aparece en las sumas de las diagonales, en el sentido que indica la flecha verde.
Puede parecernos un método exótico, pero es fácil comprobar que en esencia no se diferencia demasiado de nuestro método habitual.

____________________________________________________________________

Por cierto, no viene nada mal reivindicar la figura de Luca Pacioli, uno de los grandes hombres del renacimiento italiano. Pueden ver un soberbio retraro que le realizó Jacopo de Barbari en 1495, un año después de ver publicada su Summa arithmetica .

Independencia ( y 2)

En el post anterior no hay trampa alguna. Las variables aleatorias X₁ y X₂, que indicaban el sexo del primer y del segundo hijo son realmente independientes. El sexo de cualquiera de ellos no influye para nada en el sexo del otro. Lo que ocurre es que cuando decimos que “al menos uno de ambos es chica” erróneamente pensamos que estamos hablando de alguna de estas dos variables aleatorias independientes, y eso no es así. Comprender esto es básico para entender lo que sigue.

Vamos a verlo pausadamente. Definimos una variable aleatoria nueva, que llamaremos Y definida así:

Y= X₁+ X₂

Los valores de Y que podemos encontrar en nuestro matrimonio son 0,1 y 2. (Recordemos que cualquiera de las X valía 0 si el correspondiente hijo era varón y 1 si era hembra. Y no es más que el número de hembras que tiene la pareja.

El suceso {alguno de los hijos es chica} es exactamente el suceso {Y es mayor o igual que 1}. El suceso {la otra también es chica} es exactamente el suceso {Y=2}.Tan sólo ver la definición de Y , y comprobar que las dos variables X están presentes en dicha definición, vemos claro que no es independiente de las mismas. Repetimos una vez más: las variables X₁ y X₂ son independientes entre sí, pero la Y depende de ambas.

Cuando tenemos un conocimiento parcial de qué es lo que ocurre, como en nuestro caso (sabemos que al menos una es chica), las probabilidades se reajustan a dicho conocimiento, siempre que el suceso estudiado no sea independiente de esa nueva información. Hablaremos entonces de probabilidades condicionadas, porque están condicionadas a un conocimiento parcial que poseemos, o que suponemos conocido. Lo expresamos matemáticamente mediante una barra vertical que por misterios informáticos no puedo poner aquí, de forma que usaré la barra(/), que no deberemos confundir con una división.

Diremos entonces:

P( x₁/ x₂)= P( x₁)
P( x₂ / x₁)= P( x₂)


¿Qué quiere decir esto? Pues muy sencillo: las probabilidades de x₂ conocidos los valores de x₁ son las mismas que sin tener en cuenta a x₁ para nada. Eso ya lo sabíamos: que el primer hijo sea chico o chica no condiciona para nada el sexo del segundo.

Diremos que dos variables aleatorias A y B son independientes si y solo si

P(A/B)=P(A)
P(B/A)=P(B)

¿Y en nuestro problema, qué es lo que ocurre? Pues ocurre que nos estamos preguntando por la probabilidad del suceso {Y=2} condicionado a que ocurre el suceso {Y es mayor o igual que 1}. Nadie podría esperar independencia de una variable respecto a un conocimiento parcial de la misma variable, ¿verdad?

Veamos cómo afecta este conocimiento:

Los valores posibles de Y (número de chicas) era 0,1, ó 2, con las siguientes probabilidades:

P(Y=0) = 0.25 (una posibilidad entre cuatro: primer hijo chico y segundo también)
P(Y=1) = 0.5 (dos posibilidades entre cuatro: primer hijo chico y segundo chica y viceversa)
P(Y=2) = 0.25 (una posibilidad entre cuatro: primer hijo chica y segundo también).

Al saber que una al menos es chica, sabemos que Y no puede valer cero, luego la probablidad total se debe redistribuir entre los dos sucesos restantes, {Y=1} y {Y=2}. Antes de dicho conocimiento, estos dos sucesos sumaban el 75% de la probabilidad total, ahora suman el 100%, pues hemos descartado la posibilidad {Y=0}. Técnicamente diremos que el conocimiento parcial del asunto nos ha disminuido el espacio muestral, y debemos reasignar probabilidades a los sucesos.

Si la suma que antes era el 75%, ahora se ha ampliado hasta el 100%, por una simple regla de tres podemos comprobar que las probabilidades para los sucesos {Y=1} y {Y=2} quedan del 66,66% y del 33,33% respectivamente.

Volvemos a obtener que es el doble de probable que el otro hermano sea chico (suceso {Y=1}) que chica (suceso {Y=2})si sabemos que uno de ellos al menos es chica. Como sabíamos por el post anterior.

Ya ven, al final todo se entiende (¡espero!), pero para nosotros los humanos es mucho más fácil reconocer incluso por teléfono la voz de un amigo que no hemos oído hace años que estimar intuitivamente de forma correcta las probabilidades de un suceso tan simple como éste. Sin embargo, la correcta estimación de probabilidades, como decía en el post anterior, tiene evidentes ventajas para la supervivencia. ¿Porqué no hemos sido mejor dotados para ello?
No tengo ni idea.

Independencia

Es una desgracia que tenemos los humanos: nos es muy difícil estimar probabilidades. Somos capaces de habilidades casi milagrosas, que compartimos con el resto de los mamíferos en mayor o menor grado: podemos “calcular” la velocidad y dirección en la que debe salir un proyectil de nuestra mano para alcanzar un blanco móvil, cuestión no sólo no trivial, sino muy complicada. Y lo hacemos instintivamente. Podemos reconocer los tonos de voz de múltiples personas, para lo cual hemos tenido que realizar previamente un análisis de Fourier complicadísimo de las ondas sonoras, extrayendo la información relevante no sólo del contenido de los mensajes, sino de las características propias que nos hacen identificar cada voz con su dueño. Esto es una proeza casi inconcebible, y la realizamos sin esfuerzo alguno.

Sin embargo, por alguna razón la evolución no nos ha dotado de la capacidad para estimar probabilidades de forma automática, y debemos recurrir al esfuerzo, la concentración en el problema y la metodología matemática. Sin duda es una pena: el tema no es en absoluto baladí, sino que presenta una interés evidente con enorme implicación en la vida real.

La teoría de la probabilidad hunde sus cimientos en la teoría de la medida, que es el estudio de unas funciones de conjunto con unas determinadas buenas propiedades, pero es mucho más que teoría de la medida. Uno de los conceptos que la enriquecen es el de independencia, concepto ausente en teoría de la medida.

Para andar por casa, diremos que una variable aleatoria es la materialización numérica de un suceso debido al azar. Por ejemplo: el número de puntos conseguidos al lanzar un dado, el número de hijos de cualquier pareja, el número de coches de color verde que me cruzo cada vez que vuelvo a casa desde el trabajo.

Dos variables aleatorias son independientes cuando la realización de una no influye en la de la otra. En dicho caso, las probabilidades se pueden multilicar sin ningún problema. Si la probabilidad de un suceso es p y la de otro indepeniente es q, la probabilidad de que se den los dos es pq.

Vamos a proponer un ejemplo enormemente sencillo para ver lo que nos cuesta estimar probabilidades:

En un matrimonio con dos hijos, si uno de ellos es chica, ¿qué probabilidad hay de que el otro también sea chica?

Es un buen ejemplo de dos sucesos independientes: el sexo de uno de los hijos no influye para nada en el sexo del otro. En un razonamiento ingenuo diríamos que no hay duda: el otro puede ser tanto chico como chica con igual probabilidad, luego la respuesta es el 50%.

Veámoslo un poco más en profundidad.

Sea X₁ el sexo del primer hijo, y X₂ el del segundo, que daremos arbitrariamente el valor de 0 para varón y 1 para hembra. Las probabilidades de ocurrencia de ambas variables aleatorias son:

P(X₁=0)=P(X₁=1)=0,5
P(X₂=0)=P(X₂=1)=0,5

Como ambos sucesos son independientes, tenemos que las probabilidades de ambos sucesos se pueden multiplicar, obteniendo:


P(X₁=0,X₂=0)=P(X₁=0,X₂=1)=P(X₂=1,X₂=0)=P(X₂=1,X₂=1)=0,25


Tenemos cuatro posibilidades equiprobables: chico-chico (0,0); chico-chica (0,1),chica-chico(1,0) y chica-chica(1,1); cada una con una probabilidad del 25%.

Hasta aquí ningún problema, ¿verdad?

Ahora el enunciado del problema nos indica que de las cuatro posibilidades a priori, sólo tenemos tres, dado que al menos una hembra hay.

Podemos tener chico-chica, chica-chico y chica-chica, con igual probabilidad. Tres posibilidades, de las cuales sólo una cumple que la otra también es chica, luego la probabilidad pedida es 1/3, o el 33,33%.

Hemos demostrado que en un matrimonio con dos hijos en el que al menos uno de los cuales es chica, es el doble de probable que el otro sea chico (2/3 frente a 1/3). Dada la simetría de sexos, podemos generalizar:

Si sabemos que al menos uno de los dos hermanos es de un sexo dado, es el doble de probable que el otro sea de sexo contrario .

¿Cómo es posible que ocurra esto, y que sigamos defendiendo que el sexo del primero y del segundo son independientes?

La comprensión de este asunto es de importancia capital para entender la independencia entre variables aleatorias, y queda pendiente para otro post. Como siempre, si ustedes quieren.