Matemática es nombre de mujer, de Susan Mataix

No tengo especial interés en parecer políticamente correcto, y tampoco veo a priori ningún motivo para tratar la matemática en función del sexo de sus autores. Pero eso es tan sólo a priori. Si echamos un vistazo al tratamiento diferencial que secularmente se ha dado a la contribución científica de hombres y de mujeres, tengo que admitir de buen grado que no viene nada mal recordar que la mujer siempre ha estado presente en la matemática, en condiciones muy difíciles hasta hace pocas décadas (muy pocas décadas).

Este libro es un recordatorio en este sentido, y como tal sea bienvenido. Habría que añadir que el panorama no fue diferente en cualquier otra disciplina científica para las mujeres, y que estuvieron presentes en todas ellas.

Varias de las críticas que ha recibido este libro son:

«La ciencia sale poco a poco de los laboratorios, comienza a ser tema de conversación en tertulias y hasta argumento de entretenidas novelas. Esta forma de ficción científica ha sido la elegida por Susana Mataix para escribir Matemática es nombre de mujer, un libro en el que recorre la historia de esta ciencia desde sus orígenes hasta principios de este siglo.»

«Matemática es nombre de mujer está a caballo entre la biografía y la ficción científica, ya que cuenta las confesiones de ocho mujeres que desempeñaron un papel significativo en esa disciplina. Desde Hipatia, una profesora griega, a la alemana Emmy Noether, todas ellas rememoran las circunstancias difíciles en las que tuvieron que desarrollar su vocación científica, centrándose en los avances de las matemáticas.»

«La historia de las ciencias es, en general, una gran desconocida y lo es aún más el papel desarrollado en ella por las mujeres. El libro está narrado en primera persona por cada una de las protagonistas, tiene una estructura muy dinámica que hace que resulte muy agradable de leer. Utiliza un lenguaje claro, por lo que no son necesarios grandes conocimientos matemáticos para entenderlo. Está dirigido a cualquier persona interesada en la historia de la ciencia.»

Maria Gaetana Agnesi, Sophie Germain, Ada Lovelace, Florence Nightingale o Emmy Noether elaboran imaginariamente sus historias desde la pluma de la autora Susana Mataix, y nos explican sus vicisitudes, ansias y problemas en un mundo no preparado para admitirlas en su seno: la comunidad matemática. Evidentemente hay grandes ausencias en este libro, pero en ningún momento intenta ser exhaustivo, sino testimonial de la labor de estas mujeres. No se trata de un libro de matemáticas, pero sí de un libro sobre matemáticas, fácil de leer y muy interesante.

FICHA:
Matemática es nombre de mujer
Susana Mataix, Rubes Editorial,
Barcelona, 1999, 160 páginas.

Biyección entre un minúsculo segmento y el universo.

En cierto modo, vamos a cerrar un ciclo.

Hemos visto y demostrado que el conjunto de los números racionales es numerable.
Hemos visto y demostrado que el conjunto de los números reales o de los puntos de la recta no lo es.
También hemos dicho que la potencia de R es tal que cualquier segmento, por pequeño que sea tiene tantos puntos como el universo entero. Pero no lo hemos demostrado.

Dado que algún lector me ha manifestado estar de acuerdo conmigo en que lo importante no es sólo el resultado, sino también el camino, y dado que la demostración de esta increíble afirmación está al alcance de cualquiera, paso a exponerla. Como siempre en estos casos, se debe a Cantor, y consta de dos pasos: demostraremos primero que existen tantos puntos en un segmento cualquiera como en toda la recta, y veremos luego que existen tantos en una recta como en un plano. La extrapolación del plano al espacio tridimensional, tetradimensional o n-dimensional es inmediata, como veréis, siempre que n sea finito.

El fabuloso método de correspondencia que veíamos en el post anterior no se puede aplicar tan sólo en los conjuntos finitos, sino que vale también a los infinitos, como sabéis si me habéis leído. Ocurren entonces cosas extrañas, como que un conjunto es comparable a una parte suya. La extrañeza que esto nos produce se debe a que en nuestra vida cotidiana manejamos objetos finitos, en los que la parte es inferior al todo, pero sirve de hecho para definir a los conjuntos infinitos como aquellos que son de la misma potencia que alguna de sus partes. No nos preocuparemos por ello.



En la primera foto podéis ver el método que usó Cantor para crear una biyección entre los puntos de un segmento AB cualquiera y toda una recta. Basta mirar el dibujo para convencerse sin necesidad de mayor explicación que podemos encontrar para cada punto x del segmento un f(x) de la recta, y viceversa, luego ambos tienen el mismo número de elementos: aleph_uno.



En la segundo foto veis la forma de biyectar el segmento [0,1] con el cuadrado de lado unidad. Dado que todo real entre cero y uno es de la forma 0,x₁x₂x₃x₄,... podemos “fabricar” dos reales, uno con los decimales en puesto par y otro con los decimales en puesto impar, que serían las coordenadas X e Y del punto f(x) del cuadrado que le corresponde a nuestro x original. Viceversa, cada un punto del cuadrado tiene dos coordenadas; intercalando los decimales de ambas podemos obtener un único número real que pertenezca al segmento.
Ambas operaciones son unívocas e inversibles, luego la biyección está demostrada.

Pasar del cuadrado unidad a todo el plano es tarea bien sencilla, e incluso a un espacio de cualquier número finito de dimensiones: en el espacio tridimensional tenemos tres coordenadas para cada punto: intercalaríamos los decimales de tres en tres: primero el de la coordenada X, luego el de la Y, luego el de la Z, y el siguiente sería el correspondiente de la X otra vez...
Podemos comprobar que dos simples gráficas nos explican por sí solas la veracidad de una proposición que en principio es absolutamente increíble. En algún momento afirmé que no me parece cierto que una imagen vale siempre más que mil palabras; pero si la imagen está bien elegida puede ciertamente en algunos casos valer más que cualquier explicación...

El principio de correspondencia.

Nunca con tan humilde herramienta se consiguió tanto.

Uno de los atributos que puede tener una demostración matemática es la elegancia. Este atributo forma parte de ese conglomerado de cualidades que reunimos bajo el nombre de belleza, y que aunque no sabemos definir, percibimos perfectamente.

La elegancia de una demostración es una de las cualidades más objetivas dentro de todas ellas, y tiene mucho que ver con la longitud de la demostración: cuanto más concisa sea, será más elegante. Desde luego, una demostración bien hecha es incontrovertible, y expresa una verdad inmutable dentro de su campo de definición; pero hay demostraciones bellísimas, y otras que no lo son. Cuando vemos la matemática no sólo como una herramienta para comprender el mundo, ni siquiera como una forma de acceder a ciertas verdades, sino como una aspiración estética, no nos conformamos con saber un hecho, sino con el placer que nos produce su conocimiento, y sobre todo el camino recorrido para acceder al mismo.

Lo mismo sucede con un ajedrecista que no se conforma con ganar una partida (supuesto fin del juego, no lo olvidemos). Juega porque ama el juego, y sabe que hay partidas ganadas que son chapuceras; y partidas bellas incluso entre las perdidas.

El Principio de correspondencia es una humildísima herramienta que puede ser utilizada de forma celestial produciendo enorme elegancia en muchas demostraciones combinatorias.

Es algo tan tonto como esto:

Dos conjuntos finitos cuyos elementos pueden ponerse en correspondencia uno-uno, son del mismo tamaño.

Cuando tenemos que calcular el tamaño de un conjunto, podemos encontrar otro de su mismo tamaño más fácil de medir. Ese es todo el misterio. Lo bueno es que los problemas se pueden simplificar sorprendentemente si elegimos un buen conjunto auxiliar.

Pongamos un par de ejemplos.


En una liga de n equipos de fútbol se deben jugar partidos eliminatorios hasta que quede uno solo, que será el campeón. Cada partido acaba con la victoria de un equipo, pues se llega si es necesario a los penaltis. Si en un momento el número de equipos es impar, se queda uno al azar sin jugar esta etapa, pasando automáticamente a la siguiente. ¿Cuántos partidos se deberán jugar en toda la liga?

1.- RESOLUCIÓN POR CONTEO DIRECTO.

Si el número de equipos fuera potencia de 2, pongamos 2^k, el cálculo sería muy sencillo. En primera fase se eliminarían n/2=2^k-1, la segunda n/4=2^k-2, las sucesivas n/8, n/16... hasta llegar a la final en la que habrá 2 equipos a jugar, y se eliminaría uno. La suma será 2^k-1+2^k-2+...+1=2^k-1= n-1.

Cuando el número de equipos inicial no sea potencia de dos, la cosa se complica: unas veces será par el número de equipos, y otras será impar, con lo que el tratamiento deberá ser diferente. No se trata de un problema insalvable, pero complica extraordinariamente el cálculo. Al final llegaríamos al resultado de que se jugarán siempre (n-1) partidos.

2.- RESOLUCIÓN MEDIANTE EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA.

Cada partido supone la eliminación de un equipo. Cada equipo eliminado lo ha sido en un partido. Luego el número de partidos será igual al número de equipos a eliminar: (n-1).

En un renglón hemos demostrado con total generalidad el problema, sea cual sea el número inicial de equipos. Esta es más elegante que la anterior, ¿verdad?

Otro ejemplo:

¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de n elementos?

1.- RESOLUCIÓN POR CONTEO DIRECTO

Contaremos los subconjuntos existentes para cada tamaño de los posibles. De tamaño cero habrá un subconjunto: el vacío. De tamaño 1 habrán n subconjuntos. En general, de tamaño k, con k menor o igual que n habrá un número de subconjuntos igual a las combinaciones de n tomados de k en k. Extendiendo dicha suma desde cero hasta n comprobaremos que la expresión resultante es 2ⁿ.

2.- RESOLUCIÓN MEDIANTE EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA.

Para cada subconjunto, un elemento del conjunto inicial tiene dos posibilidades: pertenecer o no al subconjunto. El número de subconjuntos será igual al tamaño del conjunto de posibilidades cruzadas de los n elementos, que es obviamente 2ⁿ.

Ya me dirán ustedes si no es enorme la utilidad de una herramienta tan simple. Lo que no es simple, es encontrar el conjunto útil para el conteo; ahí reside la inteligencia de la demostración, y a veces incluso la genialidad.

Tan sólo una opinión personal

Hace unos días este blog fue objeto de una crítica por parte de la persona que ejerce de crítico de blogs. Esto me da pie a expresar en ésta mi casa mi opinión al respecto de la labor de crítica:

1.- La labor del crítico es criticar, y la labor del autor de un blog es escribir y trabajar en su blog. El que expone se expone, como he leído en varias ocasiones. No creo que se deban criticar las opiniones del crítico.Y menos por la persona criticada: no se puede ser juez y parte. Se escuchan como opiniones personales que son, se intenta mejorar y punto final. Se presupone que él intenta hacer bien su trabajo (o su hobby), y que los demás también.

2.- Creo que una buena labor de crítica es muy interesante en un mundo en el que publicar sale gratis, sin control ni filtro alguno, como es este mundillo de los blogs.

Nada de esto merece ni siquiera ser comentado por obvio (al menos para mi), pero me da pie para expresar a mis lectores mi agrado por sus visitas y comentarios, y eso sí merece la pena. Esto no pretende ser divulgación matemática, sino tan sólo un paseo que no quisiera realizar solo. Me bastan unos pocos compañeros, que son los que quedarán cuando el “efecto Borjamari” deje de tener influencia en las entradas a este blog (que las tiene, no lo duden).

Por cierto, la crítica decía textualmente:

Con amigos tan “amables” como esta bitácora no le hacen falta más enemigos a las matemáticas. Bochornosa web con pretensiones pseudoeducativas que logra precisamente lo contrario de lo que dice buscar. Un solo post es suficiente para aborrecer las matemáticas de por vida y querer elevar a santo al que inventó la calculadora.

Si bien no puedo ocultar que la crítica me hubiera gustado que fuera otra, no voy a variar lo más mínimo la trayectoria del blog. A mi me gusta, y es exactamente lo que quería hacer con él; quizás porque no sé hacerlo mejor. Pero no se engañen: no se pretende aquí hacer un espacio educativo: es un paseo.

Un saludo a todos.

CARACTERIZACIONES

Hemos comentado varias veces que la palabra “elemental” en matemáticas es un arma de doble filo. Las demostraciones elementales de teoremas en teoría de números, por ejemplo son el paradigma de la extrema dificultad, mientras que utilizando el arsenal sofisticado del análisis complejo, las demostraciones muchas veces se realizan en dos renglones. Así mismo hay conceptos elementales que son difíciles de aprehender, y tan sólo son elementales porque no surgen de generalizar otros conceptos preexistentes.

No va a ser así en este caso: vamos a hablar de algo fundamental en la matemática, algo elemental y a la vez muy sencillo. Se trata de las condiciones suficientes, las condiciones necesarias y las condiciones suficientes y necesarias (caracterizaciones). Estos sencillos conceptos impregnan la matemática toda, y nada es posible hacer sin ellos. Dado que en los últimos post hemos estado hablando de los números racionales, vamos a servirnos de ellos para hablar de estos conceptos.

La definición formal de lo que es un número racional es un poco más complicada de la que vamos a ver aquí, porque implica el manejo de clases de equivalencia (otro de los conceptos capitales en matemáticas), pero daremos por buena la siguiente definición: “ Un número racional es un número expresable por el cociente de dos enteros”.

Un número de este tipo tiene una expresión decimal formada por una parte entera, una coma y una serie infinita de decimales. Digo infinita, porque considero que para aquellos racionales que “sólo tienen cierto número de decimales”, existe una secuencia infinita de ceros tras ellos.

Los números reales irracionales también son expresables de la misma manera. ¿Son diferentes unos de otros en su expresión decimal?

Lo son. Esta diferencia desgraciadamente no siempre sirve para saber si un número es racional o no, por causas que luego veremos y que ahora no importan. Lo importante ahora es que esa diferencia existe, y sirve EN PRINCIPIO para diferenciarlos.

Vamos a demostrar los siguiente: Si un número es racional, entonces a partir de un momento, sus decimales se repiten periódicamente. Basta ver el algoritmo usual de la división (ver figura):
Cada nuevo decimal que hallamos se obtiene operando con el resto que nos queda del anterior, ¿verdad? Dado que el resto debe ser un entero menor que el divisor, sólo existen un número finito de restos posibles distintos. Eso quiere decir que antes o después nos encontraremos con un resto que ya teníamos, y a partir de ese momento, todo se volverá a repetir irremisiblemente.

¿Hemos demostrado ya la diferencia entre los racionales e irracionales? En absoluto. Lo único que hemos demostrado es que > Si un número es racional, entonces a partir de un momento, sus decimales se repiten periódicamente. Nada sabemos de momento al respecto de la posibilidad de periodicidad en los decimales de los irracionales. Lo que tenemos es una condición necesaria para tener un racional. ¿Porqué necesaria? Pues muy sencillo, porque al demostrar que todo racional cumple la periodicidad en sus decimales, sabemos automáticamente que todo incumplimiento de esta circunstancia implica que el número no es racional. Es necesario que se cumpla la condición para tener un racional. Aún no sabemos si es suficiente.

Demostremos ahora lo siguiente: Si a partir de un momento, los decimales de un número se repiten periódicamente, entonces el número es racional.

Esto es también muy fácil. La parte periódica del número (que tendrá, n cifras, puede expresarse como el cociente de dichas cifras entre el número formado por tantos nueves como cifras tiene, por ejemplo 0.123123123123123...= 123/999 , luego es racional. Si dicha parte empieza en el n-ésimo decimal, basta añadir (n-1) ceros en el denominador: 0.0000123123123123123...= 123/9990000.
La parte que queda del número (sus primeros decimales hasta llegar a la parte periódica) siempre será racional, pues bastará dividir sus cifras por la potencia de 10 necesaria.

( 0,765123123123123...= 0,765+0.000123123123...=( 765/1000 )+ ( 123/999000) )

Y como la suma de dos racionales es siempre otro racional, ya está demostrado.

Esta última demostración es inversa a la anterior: ahora sabemos que si hay periodicidad, entonces el número es racional; antes sabíamos que si el número era racional, había periodicidad. Antes teníamos una condición necesaria para la racionalidad , ahora tenemos una condición suficiente.

Dado que en ambos casos la condición es la misma, tenemos una condición suficiente y necesaria , que en matemáticas es lo más guay que se puede tener. ¿Porqué? Pues porque si se cumple la condición, estamos con un racional, y si no se cumple, no. Este tipo de condiciones resume la esencia del problema completamente. Tanto es así, que a partir de ese momento, podemos sustituir la definición primitiva que teníamos, por el cumplimiento de la condición sin ningún problema. Eso es una caracterización.

Siempre que encontréis una frase matemática en la que figure la coletilla si y solo si , estaréis ante una caracterización, que sustituye a una definición. Será siempre una condición suficiente y necesaria para que se cumpla algo, y recogerá en una frase la esencia del problema. Concisión y economía de pensamiento: parte importante de la belleza matemática, ¿no creen ustedes?

La insoportable levedad del conjunto Q (y 2)

Prometimos demostrar que el conjunto de todos los números reales no era numerable, que es lo mismo que decir que no se podían poner en relación biunívoca con los enteros positivos. Otra forma de decirlo es que no podemos hacer un listado en el que figuren todos ellos.

Un comentario antes de seguir: tampoco podemos hacer un listado en el que entren todos los enteros naturales, porque son infinitos, pero eso no debe importarnos: se trata de la posibilidad o imposibilidad de idear un procedimiento para listar todos los elementos de un conjunto infinito sin dejarnos ninguno. Dado que son infinitos, la materialización práctica de este procedimiento nunca podríamos realizarla, pero (y esto es lo importante) si tenemos un método de hacerlo, siempre podríamos, ante cualquier elemento del conjunto, preguntarnos qué puesto ocupa en la lista. Eso es lo importante. Por eso decimos que el conjunto de los naturales es numerable, porque lo podemos numerar, no porque podamos exhibir un listado completo de todos ellos. Ante la pregunta de qué puesto ocupa el entero positivo n, la respuesta obvia es: ¡el n-ésimo puesto ! Misión cumplida. Eso es lo que demostraremos imposible para los reales.

La demostración, ¡cómo no!, se debe a Cantor, el hombre que amaba las diagonales. Es absolutamente demoledora en su simplicidad, y demuestra por reducción al absurdo que no se puede, ni en principio, idear un método para realizar una lista de todos los números reales comprendidos entre cero y uno. Por ende, más imposible será tener la de todos los reales.

Supongamos que sí se puede realizar tal listado exhaustivo; cada número real entre 0 y 1 tiene una expresión decimal que empieza por cero coma ..., por ejemplo 0,363527682329... los decimales son evidentemente infinitos, aunque a partir de un momento puedan ser todos iguales o todos cero (como sucede con algunos racionales, que no por serlo dejan de ser reales). Tenemos de esta forma, aceptando la posibilidad de tal procedimiento, un listado infinito en el que están todos los números reales. Vamos a construir un número real comprendido entre cero y uno ayudados por la lista anterior de la siguiente forma (ver imagen): empezamos con cero coma (0, ) para el primer decimal, nos fijamos en el primer decimal del primer número de la lista. Si es un número distinto de cero, ponemos un cero y si es un cero, ponemos un uno. Seguimos de forma idéntica: para el segundo decimal, nos fijamos en el segundo decimal del segundo número de la lista. Si es un número distinto de cero, ponemos un cero y si es un cero, ponemos un uno. Y así por siempre jamás. Los únicos guarismos en los que nos fijamos son los de la diagonal coloreada de la imagen.

Lo interesante del asunto es que hemos construido un número real entre cero y uno que tiene su primer decimal distinto que el primer decimal del primer número de la lista... su n-ésimo decimal distinto del n-ésimo decimal del n-ésimo número de la lista, etc,etc... Es decir: hemos construido un número real diferente a todos los de la lista , lo cual debiera ser imposible, pues hemos partido de la hipótesis de que teníamos una lista infinita pero completa de todos los reales entre cero y uno. Así pues, la hipótesis de partida es la que era falsa: nunca podremos tener tal lista.

Dado que los reales son los racionales más los irracionales, y hemos demostrado en el post anterior que los racionales son numerables, los responsables de la no numerabilidad de R tienen que ser los irracionales, esos mismos que en el post anterior los veíamos ingenuamente en pie de igualdad al fijarnos en la densidad de los mismos en R. La realidad es mucho más compleja: casi todos los reales son irracionales, y eso es compatible con el hecho de que en cualquier entorno abierto de R , por pequeño que sea nos encontramos infinitos racionales e irracionales.

Hay algo muy misterioso en todo esto: hemos demostrado que no puede haber un listado completo de todos los reales comprendidos entre cero y uno. Y lo hemos hecho dando un método constructivo para expresar un número real que necesariamente no puede estar en el listado de partida, que suponíamos completo. Me van a permitir una pregunta. ¿Porqué no podemos hacer exactamente lo mismo con el conjunto Q?, A partir de un presunto listado exhaustivo de todos los racionales, construir uno nuevo que sea diferente a todos ellos en al menos un decimal. Habríamos demostrado que Q tampoco es numerable, a pesar de que conocemos otra demostración de que sí lo es (la del post anterior).¿Qué es lo que está fallando aquí? ¿Les apetece pensarlo un poquito?

Les espero...

Fin de semana

Buen fin de semana para todos los lectores de este blog.
Les espero la semana que viene con la continuación del post anterior.

La insoportable levedad del conjunto Q

Para Reyes, mi
paseo más hermoso

No estará de más recordar una vez más que esto es un paseo, y que no vamos a descubrir en este blog nada nuevo. Tratamos únicamente de visitar parajes hermosos, y de hacer un viaje compartido por el mundo de las ideas matemáticas. Digo esto porque muchos aspectos matemáticos, no por ser perfectamente establecidos y aclarados dejar nunca de tener su encanto.

El conjunto Q es el de los números racionales, o sea: los que se obtienen dividiendo dos enteros, positivos o negativos. Por ejemplo: 0,25 es racional por ser el cociente de 1 y de 4.

Aquellos números que no se pueden expresar mediante este sistema, son llamados en un alarde de imaginación irracionales . Tanto unos como otros son números reales, y estos últimos pueden ponerse en relación uno a uno con los puntos de una recta.

Uno de los primeros hechos interesantes es que todo irracional (pi, por ejemplo) puede ser aproximado mediante una división de enteros, tanto como se quiera; aunque nunca se obtenga dicho número exactamente. Por ejemplo 22/7 es una muy buena aproximación a pi, pues nos da su valor con un error relativo de tan sólo 0.04%. A base de numeradores y denominadores más grandes ( y menos elegantes), conseguiríamos precisiones cada vez mayores. Estamos descubriendo una característica importante del conjunto Q: es denso dentro de R.

La noción de conjunto denso es topológica, y necesita de conceptos previos (adherencia de un conjunto), pero existe una caracterización que nos viene muy bien. Un subconjunto D de un conjunto C es denso si y solo si todo abierto de C contiene algún elemento de D . En la recta real R los abiertos son los intervalos (a,b), que comprende todos los números reales mayores que a y menores que b, así como uniones de intervalos de este tipo, e intersecciones finitas de ellos.

Tomemos el punto origen (cero) de la recta. Imaginamos un entorno abierto centrado en el cero, infinitamente pequeño, pongamos de una billonésima (10 ^-12) de radio. Es muy fácil encontrar números racionales en el interior de este intervalo abierto, como puede verse en la figura.



Vemos que por muy pequeño que sea el intervalo, existen infinitos racionales dentro de él: en la figura hemos dibujado dos: los correspondientes a una décima y a nueve décimas de billonésima. Eso es lo que quiere decir que Q es denso en R .

Podemos percibir que el conjunto Q “invade” todo rincón del total R. De la misma forma, dado cualquier intervalo de R, sería igual de fácil encontrar irracionales en su interior, también en número infinito. Los irracionales invaden igualmente R. Adermás, ambos conjuntos, el Qde los racionales y el de los irracionales son disjuntos (un número o es racional y pertenece a Q, o no lo es, y pertenece al conjunto de los irracionales) y su unión hace todo R. ¿Puede darse mayor situación de empate?

Pues sí que puede, dado que ¡el empate es ficticio! De hecho, no hay empate en absoluto. A pesar de ser cierto que podemos aproximarnos cuanto queramos a cualquier irracional por medio de racionales, y viceversa, a pesar de que unos y otros están imbricados en la estructura de R a cualquier escala, por muy microscópica que la imaginemos, resulta que ambos conjuntos son muy diferentes, hasta el punto de que todo el peso de R se lo lleva el complementario de Q( el conjunto de los irracionales), no quedando NADA para Q, que como dijimos en otro post, no es sino humo fractal dentro de R.

Veamos esto con más detenimiento, porque aquí tenemos dos sorpresas:

1.- Dado que entre dos números reales cualesquiera, por muy cercanos que estén, existen infinitos racionales, parecería que no fuera comparable el número de racionales y el de naturales. No es así, pues ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos.

2.- El tamaño o potencia de los racionales e irracionales aparenta ser igual, vista la “situación de empate” vista más arriba. Esto tampoco es así; la potencia de los irracionales es sipuerior a la de los racionales, como se ha dicho.

Para zanjar la sorpresa 1, Cantor demostró con su método diagonal que los racionales son numerables Esto significa que se pueden poner en orden sin saltarse ninguno, de forma 1º, 2º, 3º, ...si lo conseguimos, como cada racional se corresponde con un natural (entero positivo) y viceversa, entonces los tamaños de los dos conjuntos son iguales. La demostración es una tontería... salvo por el hecho de que a nadie se le ocurrió antes. Consiste en colocar todas las fracciones posibles en una tabla rectangular, eliminar las fracciones que representan el valor de una ya considerada, y recorrer la tabla en diagonal, como se indica en la figura. De esta forma no nos dejamos ninguna fracción por numerar, y cada entero se corresponde con una y solo una fracción. Queda demostrado para toda la eternidad que hay tantas fracciones como enteros positivos.

Dejaremos para el siguiente post la increíble demostración de que a diferencia de Q , R no es numerable. Entonces podremos apreciar la insoportable levedad de Q, en contra de toda apariencia. Os espero.

El teorema de Lucas

Para Luis, para que no
olvide nunca que detrás
de la tormenta siempre
viene la calma.

A veces, cuando manejamos números muy grandes, o muy difíciles de obtener, podemos investigar sus propiedades sin necesidad de hallar explícitamente dichos números, lo cual es una gran ventaja. El teorema de Lucas es uno de esos atajos.

Se refiere a los coeficientes binomiales ; esos que aparecen en el triángulo de Pascal, también llamado de Tartaglia. Dado que dichos números se obtienen mediante factoriales, en número de operaciones involucradas crece enormemente cuando los números se van haciendo mayores.

En su versión general, el Teorema de Lucas nos da un algoritmo muy sencillo para encontrar el resto de dividir cualquier coeficiente binomial por un primo p . La versión que veremos del enunciado nos permitirá saber si un coeficiente binomial es par o impar, que es el caso concreto para p=2.

Si construimos un triángulo de Tartaglia módulo 2, que es exactamente dividir cada número del triángulo original por dos, y anotar únicamente el resto (que sólo podrá ser 0 ó 1), obtenemos lo indicado en la figura siguiente:


Cada cero indica que el correspondiente número del triángulo inicial era par, y cada uno indica lo contrario. Es patente que existe una estructura anidada: tenemos una plantilla principal D₁ que tiene 2¹=2 filas y tres elementos, todo unos, en la figura en rojo. Tres de dichas plantillas forman un arreglo triangular D₂ de 2²=4 filas. Entre las tres, queda un hueco que de momento es el único cero.

Tres plantillas D₂ forman la plantilla del siguiente orden, D₃, de 2³=8 filas. Ahora queda un hueco en forma de triángulo invertido en el que caben seis ceros. El proceso sigue indefinidamente, en la figura siguiente podemos ver las sucesivas plantillas generadas como se ha explicado:



Cada fila del triángulo se expresa mediante el parámetro n , que empieza con el valor cero. Dentro de una fila concreta (esto es: para un n concreto) el parámetro k va recorriendo los valores que expresan el puesto del número en la fila, desde 0 para el primer puesto hasta n para el último y (n+1)-ésimo.

EL teorema de Lucas nos dice que basta comparar los desarrollos en base dos de n y de k para saber si el coeficiente binomial es par o impar: todos los dígitos del desarrollo de k deben ser menores o iguales que los correspondientes de n para que el número sea impar, en caso contrario es par. Como estamos trabajando ahora con ceros y unos, esto es lo mismo que decir que donde haya un cero en el desarrollo de n, no puede haber un uno en el desarrollo de k.

vemos un ejemplo. Investiguemos si el quinto elemento de la fila siete (redordemos que la primera fila, la de la cúspide del triángulo es la fila cero) es par o impar:

n=7 desarrollo binario: 0 1 1 1
k=4 desarrollo binario: 0 1 0 0

como no hay ningún dígito mayor en k que el correspondiente de n, el número es impar ( de hecho es 35).

Para las filas de forma 2^m-1, por ejemplo las filas 7, 15, 31, todos los coeficientes son impares: efectivamente, el desarrollo binario de dichos números es todo unos, luego k no tiene la menor posibilidad de tener un dígito más grande que el correspondiente de n.

La potencia del teorma de Lucas es mayor de lo explicado aquí, pues no se resume en módulo 2, pero baste esta pincelada para entrever el aroma del teorema completo( que por cierto no es sino un caso parcial de un resultado más general conocido con el nombre de Teorema de Kummer).

Contribuciones de lectores

Varios lectores me han hecho comentarios que me parece interesante reflejar aquí.

José Torres que hace ver por medio de una pregunta que las sucesiones de Goodstein siguen descendiendo una vez alcanzado el cero. Por lo tanto, la afirmación sorprendente de las mismas es que "alcanzan el cero", no que converjan a cero, como había afirmado.
Creo que José Torres lleva razón, dada la definición de las sucesiones de Goodstein. Las afirmaciones de convergencia a cero quedan corregidas en los artículos por las respectivas de "alcanzan el cero".

En el artículo 0+0+...+0=0 ?, Pepe me hace una aguda observación que podeis ver en las comentarios del mismo artículo. Las medidas, dice (y lleva razón), son aditivas cuando unimos una cantidad numerable de conjuntos disjuntos. En nuestro caso, los conjuntos unitarios de puntos son ciertamente disjuntos, pero la no numerabilidad dificulta la comprensión de qué cosa es la suma de medidas extendida a todos ellos... En efecto, en Teoría de la medida se define perfectamente la medida de la unión numerable de subconjuntos disjuntos como la suma de las medidas, pero NO SE PUEDE HACER LO MISMO cuando la unión es no numerable. De hecho, y ésta es una de las mayores sorpresas que me llevé cuando lo estudié, a base de uniones no numerables de puntos (todos ellos de medida cero pero bien definida), podemos construir conjuntos a los que no puede asociarse en absoluto el concepto de medida.

Gracias a todos por las aportaciones.

Fin de semana

Unos comentarios al respecto de este blog:

Cuando comencé allá por finales de agosto con Tio Petros me puse una meta: conseguir un espacio divulgativo monográfico sobre matemáticas. Hay otros, mejores que este sin duda alguna; pero este es el mío. Veo con agrado que hay gente que entra aquí y me comenta que le gusta. Veo con agrado también que se hacen comentarios, e incluso comentarios entre los comentaristas. Lo que no me imaginaba es que llevara tanto tiempo...

Teneis mi palabra de que intento no cometer error conceptual alguno, y presentar las cosas lo más rigurosamente posible dentro del nivel divulgativo y ameno, pero no es más que un intento que en determinadas ocasiones pudiera ser fallido. Para disminuir más esa posibilidad creo que voy a bajar la producción: al fin y al cabo, nadie me obliga a escribir post casi diario, como estaba ocurriendo últimamente...

Creo que dos o tres semanales serían suficientes, me dará más tiempo para buscar temas y además daría más tiempo para que este blog se enriquezca con comentarios que puedan leer todos. Estoy recibiendo mensajes que agradezco, pero me es imposible responder en su totalidad, mil perdones por ello. Para terminar, muchas de las cuestiones planteadas en ellos simplemente no sé responderlas. No trataré de disimular mi ignorancia.

Gracias por visitarme.

Tio Petros

Atando cabos complejos

El post sobre el teorema de Lucas tendrá que esperar. Lo cierto es que hay algo que merece un apunte adicional a lo dicho anteriormente al respecto de la complejidad algorítmica. Tenemos la idea de que la cantidad de información, que medimos en bits, refleja de alguna manera el interés de aquello que consume esos bits: un mensaje de 1 mega tiene más información que un mensaje de 12 kB. Por otra parte, sabemos por experiencia que la longitud de un mensaje nada tiene que ver con su interés...

El concepto de complejidad algorítmica, aunque parece más traído por los pelos, es mucho más natural. Vamos por fases, y comienzo con una anécdota.

PRIMERA FASE

Cuando visité Florencia hace años, me planté bajo El David de Miguel Angel, y me asaltaron tres pensamientos. Dos de ellos nada tienen que ver con lo que se trata aquí; eran:

1.- La estremecedora belleza de la escultura.
2.- ¿Si ese era David, cómo sería Goliat?
La tercera sí tiene que ver con lo que aquí debatimos:
3.- El David “estaba” en el interior del bloque de mármol antes de que el escultor se limitara a quitar lo que sobraba.

Pensemos en la tercera cuestión. La escultura en piedra es una especie de arte inversa, se quita lo que sobra y queda... el resto; que es la obra de arte.

SEGUNDA FASE

Acabo de leer en un número del Investigación y Ciencia, esa maravillosa y sorprendente revista que un día habla de ciencia y otro de agua imantada una historia muy curiosa. Adaptada al caso sería así:

Diseñamos un programa de ordenador que cree todos los textos posibles de n páginas, con n grande. El primer texto tendrá todos los caracteres en blanco y el último todo zetas. Suponemos ilimitada capacidad de cálculo: velocidad de proceso infinita y almacenamiento de datos suficiente. El programa es muy tonto y simple; apenas unos renglones de código. Sin embargo genera todas las joyas literarias, escritas y por escribir de la historia de la humanidad, (además de mucha basura, cierto es).

TERCERA FASE: REFLEXION

Tenemos un paralelismo entre el bloque de mármol y el conjunto de archivos generados por el programa. Si yo quiero leer el quijote, no tengo más que encontrarlo entre los innumerables pero finitos archivos generados por el programa arriba explicado. Dado que tengo ordenados los archivos lexicográficamente, no tengo más que teclear E , y quedarán eliminados todos los libros que no empiezan por E , sigo con n , luego un espacio en blanco, luego u ,y despues n , otro espacio en blanco y sigo con l , u , g, a r... como el escultor, voy eliminando cada vez parte de los volúmenes que no me interesan. En definitiva: direccionar el archivo que me interesa implica reescribir el quijote, de la misma forma que quitar lo que sobraba era precisamente la genial obra de arte que Miguel Angel creó. El bloque homogéneo no portaba información sustancial, el conjunto de todos los volúmenes tampoco, a pesar de su ingente tamaño. Pero el volumen del Quijote sí porta mucha información sustancial a pesar de ser un subconjunto ínfimo del total de archivos generados. El David es una obra cumbre del arte humano, y el bloque inicial no lo era.

CUARTA FASE: CONCLUSION

La complejidad algorítmica de un conjunto puede ser infinitamente menor que la de un subconjunto suyo. Así expresado parece sorprendente, pero eso sólo es porque tenemos prejuicios: estamos demasiado acostumbrados a manejar teoremas de conservación, y funciones aditivas. A veces la parte es muy superior al todo; a veces el tamaño no importa (JAJAJAJA).

Ahora vemos que el concepto de complejidad algorítmica es más natural de lo que parecía a primera vista. Todos sabemos que diez minutos de radio con Javier Armentia o con Félix Arestienen mucha mayor complejidad algorítmica, y son mucho más interesantes que dos horas de sesión en el congreso. Por eso digo que esto no es más que un paseo, porque aquí no vamos a descubrir nada que no estuviera inventado...

Dios es un ludópata (y 2)

Continuamos con lo prometido en el post anterior. Decíamos ayer que la omega de Chaitin (Chaitin es el de la foto)pertenecía a una clase de números reales verdaderamente “malvados”. Veamos porqué es esto así.

Una de las características más importantes de este número es que es algorítmicamente aleatorio. Esto es decir bastante más de lo que parece a simple vista. Supone que no puede comprimirse en un programa más breve que él mismo. En otro post hablábamos de la aleatoriedad de pi, y de los posibles (seguros, más bien) mensajes en su interior. Decíamos allí que dado que en pi existía todo, incluso la codificación en bantú de “Lo que el viento se llevó”, en realidad no existía casi nada. No hay información, ni sustancia especial. Y explicábamos que Kolmogorov había ideado el concepto de complejidad (cantidad de información) de un objeto como el número de bits del programa más conciso capaz de generarlo. Existen programas muy cortitos que generan pi con sus infinitos decimales, luego la complejidad interior de pi es pequeña; no es algorítmicamente aleatorio. El conjunto de Mandelbrot, con sus recovecos infinitos y volutas bellísimas es generable también por programas muy cortitos, por lo tanto posee muy poca complejidad en el sentido de Kolmogorov.

Chaitin definió un objeto es algorítmicamente aleatorio como aquel imposible de generar por un programa más corto que sí mismo en la década de los 60 del siglo pasado, prácticamente a la vez que Kolmogorov. Demostró que todo número algorítmicamente aleatorio era normal (sus dígitos aparecían con igual frecuencia en el desarrollo decimal, y en cualquier base). Decididamente, este tipo de números es bastante “peor” que un trascendente como pi.

El trabajo de Chaitin es muy técnico, y tedioso. De hecho, si repasan la definición de omega, verán que la suma de las probabilidades extendida a todo n no tiene ni porqué ser convergente, se hacía necesaria una normalización para que el propio omega fuera una probabilidad, comprendida entre 0 y 1. Este “detalle” le costó diez años de trabajo. Vemos por tanto que desde aquí no podemos sino hacernos eco de las propias declaraciones del autor referentes al asunto. Esto no es más que un paseo, recuerden...

A pesar de que este número está perfectamente definido y acotado entre cero y uno, en palabras de Chaitin, referidas a la expansión decimal binaria de omega:

“No solamente no se puede calcular este número, sino que nunca se pueden saber cuáles son sus bits, porque esa información es matemáticamente incompresible... es incompresible e incomprensible; las palabras son muy semejantes.”
“Para obtener los n primeros bits de omega necesito una teoria de n bits, de complejidad igual al fenómeno que quiero estudiar. Eso significa que no gano nada razonando.”

Nuestro omega no tiene estructura: es puro azar a pesar de estar perfectamente definido.

Queda claro que nuestro diablo encierra muchos secretos, y digo bien al decir “encierra”: nunca los desenterraremos. La única forma de seguir a delante es incorporar como axiomas los sucesivos valores de los bits de omega, pero incorporando axiomas, podemos demostrar cualquier cosa...

No obstante, el trabajo de Chaitin es bastante más preocupante de lo explicado hasta aquí. En matemáticas es posible trasladar la formulación de un problema a otro ámbito, si se es capaz de demostrar que existe un isomorfismo que posibilita tal traslado. En teoría de la complejidad es práctica habitual hacerlo, reformulando problemas complejos en términos de otros problemas complejos.

Chaitin consiguió traducir el problema del enésimo bit de omega en una ecuación diofántica (de coeficientes enteros). que ocupaba 200 páginas, tenía 20.000 variables y un parámetro. Demostró que ambos problemas eran isomorfos, y que la pregunta ¿Es cero o uno el enésimo bit de la expansión decimal binaria de omega? en el primer problema correspondía a la pregunta ¿Tiene un número finito de soluciones la ecuación cuando hago el parámetro igual a n?

Entiendan bien esto, que es importante: Tenemos dos problemas, A y B que se han demostrado isomorfos. Tenemos la demostración de que el problema A es no computable, algorítmicamente aleatorio, caótico e irresoluble. Para nada ayuda el planteamiento B a encontrar solución en el A; pero hemos demostrado que B es igualmente aleatorio, y ESO es lo terrible. El azar está incrustado en el seno mismo de la aritmética, dominio de las ecuaciones diofánticas.

Todo esto viene a ser una tercera formulación de la maldición de Gödel. La pregunta la hizo Hilbert, la contestó Gödel , la replanteó Turing y ahora la vuelve a responder Chaitin.

Aquí teneis una página personal de Chaitin con acceso a sus documentos más importantes, de los que he sacado esta información.

Y aquí teneis una entrevista en castellano a Chaitin en la que se habla del número omega.

PD. Por cierto, revisando documentación para este post me he encontrado con que Chaitin utilizó el Teorema de Lucas para desarrollar su ecuación diofántica. Este bonito teorema habla de la paridad los coeficientes del triángulo de Tartaglia. Sobre este tema será el próximo post, por poner algo fresquito y alegre :)

Dios es un ludópata (1)

A Einstein no le habría gustado este post. Uno de los padres de la mecánica cuántica renegaba de la criatura con la frase “Dios no juega a los dados”.

Churchil era un buen creador de frases de complejidad irreductible: pensamiento condensado en pocas palabras, y nuestro bienamado Albert no le iba a la zaga. A Einstein no le gustaba el azar, y creía en la existencia de variables ocultas, que es otra forma de decir que lo que parece azar no es sino falta de información por nuestra parte.

En el fondo, me parece a mi que la cuestión es muy poco científica: nos gusta o no nos gusta que el azar y el caos esté formando parte de la substancia misma de las cosas en función de nuestras apetencias, criterios, opiniones e ideología. Pero una de las pocas propiedades del universo de la que podamos estar seguros es la nula atención que presta a nuestros gustos particulares.

En una visión superficial del asunto, alguien podría decir que la matemática acepta desde siempre el azar; al fin y al cabo tenemos la teoría de probabilidades aceptada y bien establecida desde hace mucho tiempo. Pero la cosa no es tan sencilla.
La teoría de la probabilidad actual parte de la axiomatización de Kolmogorov, auxiliada por la teoría de la medida, y es un edificio muy bien construido; eso es cierto. Sin embargo, nada dice de el origen del azar, ni de la posibilidad de que tal azar sea desconocimiento por nuestra parte, existencia de variables ocultas, o que por el contrario sea parte integrante de la estructura de las cosas.

Aunque no lo parezca, el origen de esta historia está en el “Entseidungsproblem” de Hilbert. Cuando Hilbert puso los deberes para el nuevo siglo XX, una de la cuestiones planteadas era la siguiente:

¿Todo problema matemático tiene una solución algorítmica? O en otras palabras, a todo problema especificable formalmente, ¿se le podrá dar una solución mecánica en una cantidad finita de pasos?

En 1931, el matemático austríaco-alemán Kurt Gödel dio un paso fundamental para dar una respuesta cuando demuestra el celebrado Teorema de Incompletitud , ya hemos hablado de ello en este blog. Y fue Alan Turing en 1936 quien consigue dar la respuesta definitiva a la pregunta de Hilbert: No todo problema matemático tiene solución algorítmica. Para demostrarlo inventó la noción matemática de computadora de propósito general. Básicamente, Turing define la computadora y plantea un problema sobre ella para el cual demuestra que no hay ningún algoritmo que lo resuelva. Es el problema de la detención (en Inglés se llama “Halting problem”); informalmente ya lo conocen: es el problema de saber si un programa “se cuelga” cuando corre en la computadora. El problema de la detención es indecidible, como demostró Turing.

Así pues, debemos hacer un alto para recordar una verdad que muchas veces se olvida. Haré algo de cosmética para resaltar la siguiente frase lo suficiente:

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Las computadoras no se idearon para meter videojuegos, ni para chatear con los amigos: se inventaron para responder a una importante pregunta filosófica


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Un matemático norteamericano de ascendencia argentina, Gregory Chaitin, pensó en este asunto en términos de azar. ¿Dónde entra el azar en todo esto? Pues muy fácil.

De la imposibilidad dada por el teorema de Turing de resolver el problema de la detención, pasamos a preguntarnos por la probabilidad de parada de un algoritmo. Cada algoritmo es en definitiva una lista finita de ceros y unos. Con unos programas (los bien constituidos), la máquina se detendrá convenientemente, y con otros se quedará colgada. Supongamos que escribimos un programa a base de n ceros y unos tirando una moneda al aire n veces, existen 2 ⁿ programas posibles. Por lo tanto la probabilidad de obtener un programa concreto de n bits es 2 ^-n. De todos estos programas, una parte muy pequeña acabarán en la instrucción “FIN DE PROGRAMA” correctamente. Sea A _n el número de programas correctos desde este punto de vista, de n bits. La probabilidad de generar aleatoriamente un programa de n bits que detenga la máquina será:

P_n= A _n· 2 ^-n.

Y si extendemos a todos los programas posibles finitos obtenemos la constante Omega de Chaitin que cabeza este artículo.

En matemáticas, a diferencia de la física, las constantes fundamentales son pocas. Tenemos el número e, tenemos pi, la constante de Euler, la de Feigenbaum y ahora tenemos la constante de Chaitin.

Existe toda una jerarquía de números en cuanto a la “maldad” que exhiben (permítanme el antropomorfismo, estamos en el post cuarentaytantos, y ya habrán aprendido a leerme entre líneas... )

Algunos números exhiben poca maldad, como los enteros. Los irracionales son bastante traviesos, y entre ellos los trascendentes son los peores. Pues bien: la omega de Chaitin es el demonio en persona.

La constante de Chaitin nos introducirá en el caos, y nos hará volver a considerar el papel del azar en el centro mismo de la matemática, terminaremos afirmando que si Dios no juega a los dados es porque está muy ocupado con la ruleta y las cartas, pero eso será en el siguiente post.

Como siempre, si ustedes quieren.

Cosmética

El ser humano ha conocido tiempos más sombríos;
tan bobos, posiblemente no.

Luis Goytisolo

Buscad la belleza, es la única batalla
que merece la pena en este asqueroso mundo.

Ramón Trecet

Como se acerca el fin de semana, me van a permitir salirme por la tangente, siempre rozando la matemática. ¿Les gustan a ustedes los fractales? Si la respuesta es positiva, habrán reconocido la figura que encabeza este artículo: el conjunto de Mandelbrot. Cuando comencé este blog me propuse no hablar de fractales. No por que no me gusten, que me gustan, sino por ser fiel a mi frase con la que inicié: realizar un paseo por los conceptos menos tópicos de la matemática.

Alguien debería decir que la belleza de los fractales es enorme, pero NO ESTA EN LAS FOTOS que se exhiben de los mismos. De hecho, estas imágenes no son fractales en absoluto; son y seguirán siendo por siempre burdas aproximaciones. Al conjunto de Mandelbrot nunca lo ha visto nadie, que diría San Pablo. Todo esto es cosmética, en una civilización tendente a lo fácil, rápidamente consumible y más rápidamente aún olvidable.

Me carga la frase de que una imagen vale más de mil palabras. Y me carga porque ni siquiera puedo decir que sea falsa. Lo que no me cabe duda es de que muchas veces una palabra vale por mil imágenes, y no digamos una ecuación. Dado que vivimos una época audiovisual, nos estamos olvidando del lenguaje, de las letras y de los placeres tranquilos. Si no genera adrenalina en un femtosegundo, no vale una mierda.

Daurmith nos comenta magníficamente aquí en qué parámetros se desenvuelve la sociedad norteamericana actual ,modelo del mundo en torno a la fiesta de Halloween. Si Halloween es una fiesta de cartón piedra en la que las tripas descompuestas de los muertos son de chocolate glassé, y la sangre jugo de frambuesa, ya me dirán qué podemos esperar. Una conmemoración de la muerte en la que la muerte es la ausente, ahogada en la alegría y el grito, el dulce y el color fucsia.

Pero no nos fijemos en los estadounidenses: entre nosotros hemos trivializado incluso la belleza de los rituales de aquellas ceremonias en las que no creemos, convirtiendo a las niñas en pseudonovias en el mes de mayo, a los niños en pseudooficiales de la armada (¿porqué no de infantería, me pregunto?), y reconvirtiendo la música excelsa de Bach en palurdas guitarras con idiotas canciones de misas de "para jóvenes".

De las dos frases que he colocado al inicio, estoy más de acuerdo con la de Goytisolo. La segunda, más que una afirmación es una invitación. No sé si existen batallas más importantes; supongo que sí. Pero si vamos a buscar la belleza, no creo que debamos conformarnos con la cosmética.

Feliz Halloween (para el que vaya a celebrarlo).

El cuaderno escocés

De vez en cuando, por diversos motivos, hay lugares concretos en momentos concretos, en los que florece el pensamiento humano de forma explosiva, como sucedió en la Atenas clásica. A veces la manifestación es artística, otras veces literaria y otras científica. La matemática; una vez más, demuestra ser una actividad humana como las demás.

En los años comprendidos entre las dos grandes guerras, Polonia demostró ser una potencia importantísima en matemáticas. La reunión en poco espacio de tanto matemático y de tanta altura ha sido calificada de sorprendente en más de una ocasión.

Nos encontramos en la ciudad de Lviv. El departamento de matemáticas de la universidad de Lviv era un foco de actividad. Confluían allá los mejores; estamos hablando de Ulam, Banach, Sierpinski, Mazurkiewicz, Zygmund, Alfred Tarsky, Kuratowsky...El propio Von Neumann visitó Lviv en 1.929.

La actividad era tan intensa que trascendía los muros universitarios, y se volcaba en las tabernas. Muchos años después, Ulam escribiría:

Me acuerdo de una sesión en el Café Escocés con Mazur y Banach que duró 17 horas sólo interrumpidas por las comidas. Lo que más me impresionaba era cómo se podía hablar de matemáticas, razonar y hallar demostraciones en estos debates.

El café escocés (ver foto) se convirtió en un centro regular de reunión de matemáticos. Las mesas, según cuenta Ulam, eran de mármol blanco, lo cual era una ventaja pues se podía escribir con lápiz sobre ellas, borrar y volver a empezar.

Un día, Banach decidió que aquello no podía ser, y era necesario levantar acta de aquellas reuniones. Ni corto ni perezoso se compró un gran cuaderno en el que irían apuntando los teoremas y demostraciones que surgieran en el café escocés.

Tras cada reunión, entregaban el cuaderno al camarero, el cual lo guardaba ceremoniosamente tras la barra. Los temas que se tratan en este libro son muy variados, y en él figuran ciento noventa y tres problemas, muchos de los cuales permanecen aún sin respuesta. Algunos tienen premios asignados para aquel que los resuelva, que van desde una botella de champagne, una botella de whisky, una cerveza, una taza de café, cien gramos de caviar, tocino o un ganso vivo.

Tras el estallido de la Segunda Guerra Mundial, la ciudad fue ocupada primero por los rusos y después, en el verano de 1941, por las tropas alemanas. En ese momento cesaron las anotaciones quedando como última fecha el 31 de mayo de 1941.

La comunidad matemática no fue ajena a los sufrimientos de la guerra, y ante los temores de ocupación Ulam y Mazur decidieron poner el libro a buen recaudo. Parece ser que lo enterraron junto a la portería de un campo de fútbol cercano.

Ulam se trasladó al final de la guerra a Estados Unidos, colaborando con los americanos en proyectos militares de alto secreto, proyecto Manhattan incluido, y fue en su estancia en Los Alamos donde recibió de manos del matemático Steinhaus una copia del mismo. El hijo de Banach había conseguido recuperar el libro y había proporcionado a Steinhaus la copia. Para entonces, el cuaderno escocés era toda una leyenda.

Ulam lo tradujo al inglés y se encargó de distribuirlo por los ambientes universitarios.
El propio Stanislaw Ulam lo cuenta todo en sus memorias, editadas en España con el título de “Memorias de un matemático”, editorial nivola, septiembre 2002.

Al escribir este post no puedo dejar de pensar en aquella frase de Erdös: Un matemático es una máquina que convierte café en teoremas

Me gustan más los anillos que los cuerpos.

Recuerdo que cuando aprendí lo que era un anillo y lo que era un cuerpo,allá por el bachiller, no supe entender la diferencia. Era evidente que había por ahí una propiedad que cumplían los cuerpos y no los anillos, pero aquello no parecía ser interesante, ni divertido. Como todo cuerpo era un anillo, parecía que los cuerpos eran más completos, y los anillos eran meros aspirantes a cuerpos.

Restringiéndonos a conjuntos de números, y simplificando un poco un cuerpo es un conjunto de números en los que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir los elementos sin salirnos del conjunto (salvo dividir por cero, que es cosa prohibida y muy castigada). Un anillo es lo mismo, pero falla la división. Tan sólo a veces podemos dividir dos elementos del anillo sin salirnos del mismo.

Al menos debiéran haberme dicho que esa diferencia era maravillosa, y que no tenía aún capacidad de apreciarla. No me lo dijeron.
Sucede que con los anillos ocurren cosas ideales que con los cuerpos se trivializan.

En cierta ocasión, un buen amigo me regaló un libro de apariencia inocente y contenido terrible. Su título era algo intimidatorio: Algebra homológica, cohomología de grupos y K-teoría algebraica clásica

Dado que el álgebra no es mi especialidad, pude saborear aún más la diferencia entre los anillos y los cuerpos. Aprendí que un tal Alexander Grothendieck hizo cosas maravillosas antes de abandonar repentinamente y para siempre las matemáticas por asuntos políticos.

Muchas de las cosas que hizo partían de la idea de imaginar anillos donde otros habían imaginado cuerpos. Conseguía tender así puentes entre áreas dispares de la matemática: al álgebra, la geometría y especialmente la topología. Parte del secreto del asunto está en el hecho de que la estructura de anillo es la natural de los números enteros. Y todos sabemos que si dividimos dos números enteros, a veces el resultado no lo es, ¿verdad?

A pesar de todo, no tengo nada en contra de los cuerpos. Sobre todo de algunos cuerpos.

Charlatanes de feria

Existe una corriente de pensamiento que, naciendo en las ciencias sociales, pretende cuestionar el método científico y defiende que la ciencia no es sino una construcción social.

Desde aquí se defiende que la ciencia es tarea de Hombres, y por lo tanto tiene una dimensión social incuestionable; tanto a la ida (parte de la sociedad) como a la vuelta (devuelve sus frutos a la sociedad de la que partió).

La sociología de la ciencia no es cuestión baladí, y merece el estudio atento que muchos sociólogos e historiadores de la ciencia le han prestado y le siguen prestando; pero reducir la investigación científica y su corpus teórico a un mero consenso social es una payasada.

Es en Francia donde el postmodernismo comenzó a germinar con mayor fuerza, en el mismo gran país que nos dio a todos los ideales de la Ilustración (ironías de la historia). Una de las características más claras de este movimiento es común a los movimientos paranormales: utilizan el lenguaje de la ciencia para revestir de credibilidad sus textos, carentes de todo sentido por otro lado. Sin embargo, estos tienen la posibilidad de publicar sus estupideces en revistas científicas y tienen su sede en universidades; no en clubs de chalados.

El tema está muy manido, y no quisiera repetir lo que está en mil lugares de la web. Tan sólo me permitiré citar varias frases que ejemplifican muy bien este movimiento.

Comenzamos por Luce Irigaray, feminista postmoderna francesa:

La ecuación E = mc², ¿es sexuada? Puede que sí. Supongamos que lo es en la medida en que privilegia la velocidad de la luz frente a otras que nos son menos necesarias

Seguimos con Jacques Lacan

...este diagrama [la cinta de Möbius] puede ser considerado la base de una suerte de inscripción esencial en el origen, en el nudo que constituye el sujeto. Esto va mucho más allá de lo que Uds. pueden pensar al principio, porque Uds. pueden buscar alguna suerte de superficie capaz de recibir tales inscripciones. Pueden tal vez, ver que la esfera, ese viejo símbolo de totalidad, no es adecuada. Un toro, una botella de Klein, una superficie cortada al través, son capaces de recibir tal corte. Y esta diversidad es muy importante ya que explica muchas cosas acerca de la estructura de la enfermedad mental. Si uno puede simbolizar el sujeto con este corte fundamental, de la misma manera uno puede mostrar que un corte en un toro corresponde a un sujeto neurótico, y en una superficie al través a otro tipo de enfermedad mental.

Ahora es Althusser quien nos explica, por si no nos habíamos dado cuenta en la cita anterior:

Lacan finalmente le brinda al pensamiento de Freud los conceptos científicos que éste requiere

Como para apoyar la opinión de Althusser, Lacan comenta en otra ocasión:

El Organo Eréctil y La Raíz Cuadrada de Menos 1: Así, calculando esa significación según el álgebra que utilizamos, a saber: S (significante) sobre s (significado) = S (el enunciado). Con S=1, tenemos s = Raíz Cuadrada de menos 1. Es así como el órgano eréctil viene a simbolizar el lugar del goce. No en cuanto él mismo, ni siquiera en cuanto a imagen, sino en cuanto parte faltante de la imagen deseada: por eso es igualable a Raíz Cuadrada de menos 1.

Jean Braudillard no quiere perderse el festín, por lo que apunta:

En el espacio euclidiano de la historia, el camino más rápido de un punto a otro es la línea recta, la del progreso y la democracia. Pero esto no es válido nada más que para el espacio lineal de las luces. En el nuestro, el espacio no-euclidiano del fin de siglo, una curva maléfica desvía invenciblemente todas las trayectorias. Ligada sin dudas a la esfericidad del tiempo (visible al horizonte del fin de siglo como aquella de la tierra al horizonte del fin de la jornada) o a la sutil distorsión del campo de gravedad.

Y para terminar de deleitarles, otra cita de Luce Irigaray :

El privilegio de la mecánica de sólidos sobre la de fluidos, y las dificultades de la ciencia con el flujo turbulento, se debe a la asociación de los fluidos con lo femenino. Mientras los hombres tienen órganos sexuales protuberantes que se ponen rígidos, las mujeres tienen aberturas que liberan sangre menstrual y fluido vaginal. Aunque los hombres en ocasiones también fluyen al expeler semen esto no se enfatiza. Es la rigidez del órgano masculino lo que cuenta, no su complicidad con el fluir. Estas idealizaciones se reinscriben en las matemáticas, que conciben los fluidos como planos laminares y otras formas sólidas modificadas. Así como las mujeres en las teorías y el lenguaje masculino existen sólo como no-hombres, los fluidos han sido erradicados de la ciencia, existiendo sólo como no-sólidos. Desde esta perspectiva, no es raro que la ciencia no haya sido capaz de construir un modelo exitoso de la turbulencia

¿Para qué seguir? Podría hablarles de la topología diferencial en el psicoanálisis (Lacan otra vez), o de la teoría de nudos aplicada a la psicología; pero creo que basta lo dicho.

Como decía la canción : “A veces, hasta sobran las palabras...”

Fin de semana.

Feliz fin de semana a todos los lectores de este blog.

Tio Petros.

Las sucesiones de Goodstein ( y 3)

Kurt Gödel entra en escena

La demostración que hemos visto es realmente sorprendente, pero no deja (a mí al menos) una sensación de plenitud. Hemos demostrado, efectivamente que cualquier sucesión de Goodstein termina por converger a cero, pero no nos da ninguna indicación de cuándo alcanza dicho valor, ni de cómo hallarlo.

Lo primero que debemos notar es que tratándose de sucesiones de números enteros finitos todos ellos (enormes, pero finitos), hemos demostrado su convergencia a cero utilizando la noción de infinito actual (el omega w). De alguna manera; nos hemos salido del tiesto.

Esto es una constante en la matemática y no debe sorprendernos: vimos en el artículo sobre Erdös que el teorema de los números primos fue demostrado en primer lugar por De la Vallee-Poussin y Hadamard utilizando poderosas herramientas de análisis complejo que en principio nada tienen que ver con la aritmética de los enteros. Luego Erdös consiguió una demostración elemental, en el sentido de que utilizaba nada más que herramientas propias de la aritmética de los enteros, sin salirse del tiesto.

¿Ocurrirá lo mismo con las sucesiones de Goodstein? Dicho de otra forma: ¿será posible demostrar la convergencia a cero sin apelar al infinito? Al fin y al cabo, dicho infinito no se alcanza en ningún momento en el problema original...

La respuesta, rotunda como una bofetada, la dieron los matemáticos Paris y Kirby ...:NO
Estos dos matemáticos demostraron en 1.981 (Kirby, L. and Paris, J. Accessible independence results for Peano arithemtic. Bull. London. Math. Soc., 14 (1982), 285-93. ) que es imposible demostrar la convergencia a cero de nuestra sucesión sin apelar al infinito actual (la omega de los cálculos del post anterior). Ahora tenemos un teorema que demuestra la imposibilidad de demostración de otro teorema sin apelar al infinito actual.

Esto es lo mismo que afirmar que lo que afirma el teorema de Goodstein es cierto pero indemostrable dentro de la aritmética de los enteros finitos, a pesar de que no compete más que a números enteros finitos.

Es una de las poquísimas situaciones concretas en las que se ve la potencia de la maldición de Gödel.

Kurt Gödel demostró en los años 30 del siglo pasado que para todo sistema axiomático suficientemente potente como para albergar la aritmética de los enteros existen proposiciones (afirmaciones) que son ciertas pero indemostrables dentro del mismo. Esto se llama el Teorema de incompletitud de Gödel .

Dicho teorema afirma que toda teoría aritmética recursiva consistente es incompleta , y un teorema hermano dice que si una teoría aritmética es consistente, no existe en su seno demostración alguna de que efectivamente lo es . La completitud es, por tanto, la posibilidad de demostrar toda afirmación cierta. La consistencia es la ausencia de contradicción. Una teoría es contradictoria cuando se puede demostrar en su seno una afirmación y también su contraria.

Sobre el mismo se han dicho muchas cosas ciertas y muchas chorradas, y éstas últimas parece que han sido las que más éxito han tenido. El propio Roger Penrose (el gran Penrose, amigo de Stephen Hawking) hace lecturas ilícitas del mismo para arrimar el ascua a su sardina en La mente del emperador, pero este es otro tema.

Gödel demostró lo anterior de una forma demoledora: construyendo efectivamente una proposición que era a la vez verdadera e indemostrable dentro del sistema axiomático. Uno de los problemas de Hilbert quedaba zanjado de forma negativa.

Pues bien: la convergencia de nuestra serie de Goodstein es el segundo ejemplo práctico de proposiciones de Gödel en la historia de la matemática. La primera fue en 1.978, y la demostración de Kirby y Paris coloca al Teorema de Goodstein en segundo lugar.

¿Implica esto que somos impotentes para acceder a ciertas demostraciones? En principio no. De hecho, la demostración de Goodstein la tenéis en el post anterior. Sólo hacía falta añadir un axioma más a la aritmética de Peano de los enteros: el que postula la existencia de w con la aritmética ordinaria de los conocidos enteros finitos. Tenemos ahora un sistema más potente, que a su vez tendrá sus afirmaciones de Gödel ciertas e indemostrables. ¿Qué haremos entonces? Pues ampliar otra vez el sistema axiomático y vuelta a empezar. El teorema de Gödel supone una limitación a lo que podemos esperar de todo sistema axiomático, pero no impide el quehacer matemático; podemos estar tranquilos. (Bueno, supongo que muy nerviosos tampoco se habían puesto al leer esto, verdad?)
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Bibliografía:

Lo que he encontrado en la web sobre este tema es muy repetitivo, y creo que lo mejor está condensado aquí.

De todas formas, teneis también información en los siguientes lugares:

Algo introductorio se encuentra aquí.
Teorema de Goodstein de convergencia a cero:aquí; aquí y aquí.
En este sitio se explica que la sucesión de Goodstein de semilla 4 tiene los primeros términos 4,26,41,60,83,109,139, ...; y demuestra de forma muy sencilla que alcanza el cero en el término k = 3 x 2^402653211 -1 , aproximadamente k= 10 ^121210695 .