Las sucesiones de Goodstein (2)

¿Cómo hizo Goodstein para demostrar su teorema?

Vamos a ver el asunto, si os parece.

(Se habrá hecho algo parecido en algún blog? Miedo me da a mi aburrir al personal...) .

Para ello necesitamos un concepto adicional: las superdilataciones . Simplifiquemos la nomenclatura, y llamemos d a la dilatación u operador salto visto en el artículo anterior, reservando D para la superdilatación.

Una dilatación, como vimos ,era un cambio de p por p+1 en la expresión normal de Cantor del número, ¿verdad? Pues una superdilatación no es más que un cambio de p por w en la expresión normal de Cantor del número; donde w (omega) es el primer ordinal infinito. Nos zambullimos así en la aritmética transinfinita de Cantor. En ésta aritmética, ajena a los axiomas de Peano sobre los que se basa la aritmética de toda la vida, w simboliza el primer (menor) ordinal mayor que cualquier número natural(y por lo tanto infinito).
Lo tenemos en la imagen siguiente:



Los ordinales se ordenan de la misma manera que los enteros ordinarios, de forma que tenemos una ordenación a su vez infinita de ordinales w, w+1,...w+w=2w, 2w+1,...

Varias cosas debemos notar a estas alturas:

1.- (Esta es paradójica a tope): Si comenzamos en un ordinal infinito cualquiera, toda sucesión estrictamente decreciente llega al cero en un número finito de pasos. ¡Esto es extrañísimo! Lo que estamos afirmando es que comenzando con un ordinal infinito, llegamos al cero en un número de pasos finito necesariamente.
Esto es así por la propia definición de w. Al ser el menor ordinal mayor que cualquier número natural, cuando lleguemos a w, para seguir teniendo una sucesión decreciente, el siguiente debe ser un natural finito a la fuerza, y de éste al cero, siempre habrá un número finito de términos!!

2.- (Esta no es menos atómica). Efectuar una superdilatación, por ejemplo D₂ es lo mismo que hacer una dilatación normal d₂, seguido de una superdilatación D₃. El motivo es claro, la dilatación cambia cada p de la forma normal de un número por p+1 , y la superdilatación D₃ cambia p+1 por w . En definitiva lo único que hemos cambiado es p por w, que es precisamente el operador D₂. Dicho de otra manera: la superdilatación de un número es igual a la superdilatación de la dilatación normal de un número .Sin embargo, si en vez de dilatarlo previamente, le restamos una simpleunidad, las superdilataciones no son iguales: con una unidad menos, tenemos una superdilatación menor que antes. El motivo es claro: el 1 que restamos “pasa” al resultado, sin transformarse ni en w ni en nada!!!

Miren ahora la figura de abajo:

.

Tenemos dos sucesiones: la de Goodstein normal, y al superdilatada, cuyos miembros son los correspondientes a la anterior por el operador D. Tenemos que la segunda es estrictamente decreciente , y en virtud del punto 1, llega a cero en un número finito de pasos.

Pero resulta que el cero ¡no puede sino ser la superdilatación de otro cero!, luego acabamos de demostrar que la sucesión de Goodstein inicial converge a cero.

Basta por hoy. En el siguiente post veremos las implicaciones filosóficas de todo esto, como siempre si ustedes quieren seguirme. Son más interesantes aún que la propia demostración... y entonces será cuando el bueno de Kurt Gödel entrará en escena.

Las sucesiones de Goodstein

Este artículo intenta explicar algo muy difícil de creer. Quizás requiera un poco más de esfuerzo que el resto de los artículos hasta ahora publicados en este blog; pero intentaré hacerlo ameno. Sé (y estoy encantado por ello) que entran en este blog lectores a los que la matemática les atrae pero les asusta un poco. No quisiera que la presencia de unas cuantas ecuaciones les espante. No será esta la tónica general del blog, pero es necesario comprender que la belleza está precisamente ahí, y lo que yo hago aquí no es sino un torpe intento de expresar lo mismo en palabras.

El “aroma” de lo que ahora quiero explicar se puede percibir sin las ecuaciones, de modo que si alguien se siente cohibido, que pase de ellas y lea el resto. Antes de enfrentarnos a la maravilla, debemos repasar varios conceptos previos:

Una sucesión numérica es una secuencia infinita de números uno detrás de otro. Para tener definida la sucesión, debemos conocer la regla de generación de los sucesivos elementos de la misma. Esta definición puede darse mediante el término general , que es una fórmula en función del puesto que ocupa cada número. Sustituyendo la variable que indica el puesto por cada valor n , obtenemos el enésimo miembro de la sucesión. También puede darse recursivamente: utilizando los valores anteriores de la misma para generar los nuevos.

Ejemplo el primer caso:

A_n= 4n
Estamos ante la sucesión de los múltiplos de 4. Efectivamente, si sustituimos n por 7 obtenemos el séptimo miembro de la sucesión, que es 7 x 4 = 28.

Ejemplo del segundo caso:

A₁=1; A₂=1; A_n=A(n-2)+A(n-1)

En este caso, estamos explicando que los dos primeros miembros valen la unidad, y que cada uno de los demás es igual a la suma de los dos anteriores. Estamos ante la famosísima sucesión de Fibonacci {1,1,2,3,5,8,13,...}.

Para generar la sucesión de Goodstein necesitamos varios conceptos más:

1.- Forma normal de Cantor en base 2 de un número entero.

De la misma forma en que cualquier número lo podemos expresar como potencias de diez (Por ejemplo: 266=2x10²+6x10¹+6x10⁰), podemos hacerlo en cualquier base. Hagámoslo en base 2, obteniendo:

266=1x2⁸+1x2³+1x2¹. (Esto no es sino otra forma de decir que en base dos, 266 se escribe 100001010 .

Pues bien, la cosa es expresar como potencias de dos tanto las bases como los sucesivos exponentes, obteniendo una “torre” de exponentes. Para nuestro número 266 tendríamos:
. =
Esto es precisamente la Forma normal de Cantor en base 2 del número 266.

2.- Operador salto de base.B[b](n), u operador “dilatación”.

Dado un número expresado Forma normal de Cantor en base b , el operador salto de base sustituye cada b por (b+1). No hace falta insistir mucho para comprender que esto es una barbaridad de cambio.

Operando con el 266 obtenemos:

.

y estamos frente a un número ciertamente monstruoso. Si aplicamos a este último el operador, tendríamos un cuatro en lugar de cada tres, y la cifra obtenida simplemente escapa de nuestra comprensión de puro grande.

Con este bagaje podemos acometer las sucesiones de Goodstein.

Comienzan con una “semilla”, un número natural de cualquiera de partida que en nuestro caso podría ser 266. Este sería el primer término de la sucesión, que denotaremos G₀(266)=266.

El segundo término (G₁(266))se obtiene mediante el operador cambio de base B[2] sobre el primer término, y restando uno al resultado. Esto es: en su forma normal de Cantor, sustituimos cada dos por un tres, y al resultado le restamos una unidad. Así habríamos obtenido la sucesión de Goodstein de semilla igual a 266. Para cada entero tendríamos una sucesión de Goodstein diferente.

Veamos una recopilación de todo esto en la siguiente imagen:



Es difícil imaginar una sucesión que crezca más rápido que ésta, verdad?

Pues bien, el Teorema de Goodstein dice (y demuestra) que para cualquier valor de la semilla, toda sucesión de Goodstein alcanza... ¡¡EL CERO!!

La explicación de esta alucinante verdad es que el responsable este comportamiento es la unidad que le vamos restando a cada paso . El número de pasos necesario para que, después de un crecimiento abrumador, la sucesión vaya declinando hasta el cero es de tal magnitud que no existe forma de escribirlo, ni de calcularlo. Salvo para semillas muy pequeñas, no hay humano que lo haga, pero tampoco hay ordenador que lo pueda hacer... y sin embargo ahí está el resultado demostrado.

¿Cómo consiguió Goodstein demostrar esta cuestión?

La forma en que lo hizo hace que las sucesiones de Goodstein sean más que una simple curiosidad. De hecho, es la demostración lo importante, y lo que tiene consecuencias incluso filosóficas. Todo esto tiene relación con los infinitos de Cantor, con el teorema de Gödel y con nuestra concepción de la matemática en general. Ni más ni menos.

De todo ello hablaremos en el próximo artículo. ¿Podrán esperar?
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* La dirección de este artículo es:
http://www.infoaragon.net/servicios/blogs/tiopetrus/index.php?idarticulo=200310211

* Ver esta historia sola

Obsesión india.

Algunas civilizaciones tuvieron una verdadera fascinación por los números grandes. La civilización india fue el mejor exponente de este amor por lo desmesuradamente grande, hasta el punto de tener nombres propios para números tan inmensos que rayan en el absurdo. Estos números enormes estaban más allá de toda aplicación práctica, como Asankhyeya , que es 10 elevado a 140.

Esta cifra es inconmensurablemente mayor que el número de átomos del universo entero. El simbolismo de estos números es normalmente religioso, indicando un acercamiento a la noción de infinito; pero también estaban presentes en tratados cosmológicos. Los tratados cosmológicos de los jaina , como el Anuyogadvarasutra por ejemplo manejan potencias de diez con exponentes de 190 o incluso 250, si bien no he encontrado referencias de nombres propios para ellas.

Para los curiosos, aquí tenéis un pequeño listado de los nombres propios de algunos de estos monstruos:

Pundarika: 10 elevado a 27.
Viskhamba: 10 elevado a 47.
Sarvajña: 10 elevado a 49.
Dhavajagravati: 10 elevado a 99.
Mahakathana: 10 elevado a 126
Asankhyeya: 10 elevado a 140.

Esta obsesión por las grandes cifras contrasta con la pobreza en nomenclatura numérica de otras culturas, que no tienen nombres para designar más de unos pocos números, dejando el vago “muchos” para los más grandes.
Parece ser que los matemáticos indios estaban decididos a ganar una batalla contra sí mismos en una especie de ”a ver quién la tiene más grande” , en versión numérica. Y parece ser que lo consiguieron. Nunca es fácil asegurar una cosa de estas, pero parece ser que el Asankhyeya es el mayor número que ha recibido nombre propio en la historia de la humanidad.

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Parece ser que ha ocurrido algún problema y se han borrado las estadísticas. Afortunadamente se han podido recuperar todos los artículos y vuestros comentarios. Lo cual es una suerte, porque los comentarios son parte importante de este vuestro blog.

Fin de semana

Buen fin de semana a todos los lectores de este blog.

Tio Petros.

¿0+0+...=0?

¿Se puede obtener algo a base de sumar cantidades nulas?

La pregunta parece ridícula...

Vayamos aproximándonos a la respuesta. Para empezar, si sumamos un número muy grande de cantidades muy pequeñas, podemos obtener cualquier cosa. Si el número de cantidades que sumamos tiende a infinito y el valor de cada cosa tiende a cero, estamos en la misma situación. Es lo que en el cole repetíamos; aquellos de cero por infinito es indeterminación .

Lo que queríamos decir con aquella frase no es sino algo obvio: cantidades muy pequeñas pueden dar como resultado cualquier cosa a condición de sumar las suficientes de ellas.Nada que viole la intuición ni las buenas costumbres.
Ya saben ustedes: tacita a tacita...

No es eso de lo que quiero hablar ahora. Quiero que las cantidades no sean despreciablemente pequeñas; quiero que sean estrictamente nulas. Cero patatero.

Ahora la cosa cambia, verdad?

En una primera aproximacion admitiremos que por mucho que añadamos nada a la nada que tenemos, seguiremos teniendo nada; y sin embargo, esto no es así. Todo depende de cuántas cantidades nulas estamos sumando.

Si la cantidad es finita; no hay nada que hablar: el resultado es cero. Si la cantidad es infinita, pues también. Puedo estar eternamente añadiendo ceros, que el resultado será siempre nulo. ¿O no?

Pues siento si rompo algún esquema, pero depende.

Recordarán si leyeron el artículo anterior, que había infinitos e infinitos. Si añadimos una cantidad infinita pero numerable (aleph-cero) de ceros, nuestra intuición sigue siendo correcta: resultado nulo. Pero si la suma se extiende a una cantidad no numerable de elementos (aleph-uno), la verdad es que podemos obtener un número tan grande como queramos, aunque cada uno de ellos sea estrictamente cero.

Tal es la potencia del primer infinito no numerable. ¿Les parece mentira? Fíjense en la figura. Tenemos un segmento de recta comprendido entre los puntos 0 y 1. Existe una noción muy concreta de medida para los conjuntos de elementos, que se llama medida de Lebesgue . Para nuestros propósitos actuales esta medida es idéntica a la longitud del segmento. Estaremos todos de acuerdo en que el segmento mide 1, y en que está formado por puntos. También estaremos de acuerdo en que la longitud de cada punto es EXACTAMENTE CERO. Pues eso, que la suma de todos esos ceros da uno.

Como vimos en el artículo anterior, el número de puntos de un segmento no sólo es infinito, sino que es un infinito no numerable, y ese es el quid de la cuestión.

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PD. En una ocasión intenté convencer a un contertulio de esto que acabo de comentar, y no sólo no se lo creyó, sino que encima se enfadó conmigo. Espero que eso no me pase con ustedes...

Aleph

Miren un momento el símbolo que encabeza este artículo. Se trata de la primera letra del alfabeto hebreo; aleph . Detrás de este símbolo está el concepto más abismal de toda la matemática: el infinito, y un hombre: Georg Cantor.

Los números grandes nos abruman: el número de estrellas en el universo, la cantidad de granos de arena de todas las playas, el número de mentiras que nos cuentan los políticos, el número de partículas elementales del universo... sin embargo todos estos números son finitos.

Alexander Grothendieck decía que muchas de sus grandes ideas eran en realidad cosas muy sencillas; ramplonas incluso. Esas, cuando funcionan, son las grandes ideas que abren nuevos caminos. Georg Cantor tuvo una idea de este estilo, idea que he visto con mis propios ojos emplear a un niño de menos de un año.

Si un niño que no sabe contar tiene que elegir entre dos conjuntos de caramelos o de pequeños juguetes, es muy probable que comience a emparejarlos hasta que sobren los de una clase cuando están ocupados todos los de la otra. De esta forma, sabe qué conjunto es el mayor, y se lo queda. Cantor tuvo la idea de hacer lo mismo para comparar el tamaño (la potencia) de conjuntos infinitos. Si se podían poner relación uno-uno, es que eran del mismo tamaño. La cosa no parece muy revolucionaria, pero debéis pensar que a priori, parecería que dos conjuntos, por el hecho de ser infinitos, van a ser igual de grandes . Plantear siquiera el método de Cantor supone no aceptar esta intuición.

Uno de los primeros resultados de este método de conteo es que un conjunto infinito puede ponerse en relación uno-uno (biunívoca) con una parte de sí mismo. En efecto, tomemos el conjunto N de los naturales, y el conjunto M de los múltiplos de un millón. Es del todo evidente que a cada natural le corresponde un número de millones igual al valor de dicho natural, luego ambos son de mismo tamaño. De hecho, esta será a partir de ahora la caracterización de un conjunto infinito: un conjunto es infinito si y solo si puede establecerse una aplicación biunívoca entre él y un subconjunto de sí mismo.

Si esto les parece extraño, agárrense, porque lo peor está por llegar.

El resultado anterior en el fondo nos tranquiliza. Si N es del mismo tamaño que M, parece apoyar la idea de que dos conjuntos, siendo infinitos ambos, son del mismo tamaño, aunque M tenga un elemento por cada millón de elementos de N. Pero Cantor demostró que hay infinitos más insondables que el conjunto de todos los infinitos números enteros. Demostró que el conjunto de los números reales R es tan grande que su potencia es incomparable con la de N. No se puede numerar el conjunto R. De hecho, un minúsculo intervalo de R [0,e], donde e es positivo tan pequeño como queramos tiene un número insondablemente mayor de elementos que el infinito, inacabable, abrumador, inmenso conjunto N.

La demostración por el método diagonal original de Cantor la podeis encontrar sin dificultad en la red; por ejemplo aquí. pero una bonita demostración alternativa la teneis aquí.

La intuición se nos rompe cuando nos enteramos con Cantor de que el conjunto de los racionales, a pesar de ser tan denso, es de igual tamaño que N , y por lo tanto numerable; al igual que el conjunto de los números algebraicos de los que hemos hablado en otro post. El monstruoso tamaño de R se debe pues a los irracionales trascendentes ( no algebraicos). El infinito de toda la vida es una mierdecilla al lado de este nuevo infinito, como podéis ver.
Cantor había demostrado que hay infinitos e infinitos. Puesto que unos eran mayores que otros, se podían ordenar. Llamó Aleph-cero a la potencia de N y Aleph-uno a la potencia de R . Conjeturó además que entre ambos no había ningún numero transinfinito.(Hipótesis del continuo).

Si no han notado aún un escalofrío en la espalda al enfrentarse con Aleph-uno lean lo que sigue.

Cantor demostró que podía ponerse en relación biunívoca el conjunto de los puntos de una recta y el conjunto de los punto de todo el plano. “Lo veo y no lo creo” exclamó. Había demostrado que la potencia de R era idéntica a la de RxR , lo cual nos indicaba ciertamente que el espacio tridimensional euclídeo tenía la misma potencia. Esto es alucinante, y si no se sorprenden, es porque ya lo sabían, o porque no lo han entendido.
Dado que es muy fácil comprobar que un insignificante segmento tiene tantos puntos como la recta entera, resulta que el número de puntos de un segmentillo es igual al número de puntos del universo entero, considerado este como un espacio infinito tridimensional (o tetradimensional, no importa!!!).

¿Comprenden ahora la inmensidad de Aleph-uno ?

Parece ahora que nada pueda ser estrictamente mayor... pues bien: existe Aleph-dos; y hace que Aleph-uno palidezca como una damisela avergonzada. La jerarquía de monstruos transinfinitos es a su vez infinita.

Cantor intentó concebir el infinito de todos los infinitos, pero su mente se quebró. Yo no creo que fuera por esto, sino que el pobre andaba con muchos problemas mentales, pero la leyenda alimenta la idea de que se acercó demasiado a la verdad, como una polilla a la luz, y se quemó. Una bonita leyenda, sin más.

Cantor murió loco, escribiendo tratados religiosos y sin ser reconocido por la comunidad matemática. Hoy es uno de los pilares de la matemática moderna, hasta el punto que Hilbert exclamó en una ocasión:

“Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros”

pero esa es otra historia que me da para otro post. Si ustedes quieren, claro está.

Paul Erdös: un matemático de leyenda.

Un matemático es un ser humano que hace matemáticas, y todo lo demás son tópicos. Eso no quiere decir que algunos matemáticos no cumplan el tópico a rajatabla. Este es el caso de Paul Erdös.

Dicen los que le conocieron que usaba calcetines con sandalias y que al viajar sólo llevaba una maleta semivacía, que arrastraba por el mundo de congreso en congreso.Paul Erdös nació en Hungría el año 1913. Vivió plenamente para las matemáticas, olvidándose del resto de las obligaciones y quehaceres humanos. No tenía ni familia ni un lugar fijo de residencia.
"La propiedad perjudica" ,decía. Sus colegas se encargaban de él y de todas sus necesidades: le buscaban alojamiento, gestionaban sus finanzas, le alimentaban, le compraban ropa y hasta pagaban sus impuestos. A cambio, él los alimentaba con nuevas ideas y retos, con problemas por resolver y brillantes maneras de abordarlos. Alguien que lo conocía bien, decía que "sus amigos lo quieren ciegamente, devolviéndole como pueden la luz que él trae a sus casas y oficinas". Erdös no se preocupaba por el dinero; donaba la mayor parte de lo que ganaba dando conferencias a sus estudiantes. Ya fuese para ayudarlos o para premiar la solución de algún problema que les hubiese planteado.

Publicó a lo largo de su vida alrededor de 1475 trabajos con 485 coautores. Su verdadera pasión fue la teoría de números, que le fascinaba por ser, según sus palabras, independiente del universo; y especialmente los números primos. Una de sus grandes preocupaciones fue la distribución de los primos dentro de los enteros. El teorema de los números primos afirma que la densidad de primos menores que x tiende a (x/ln(x)). Esto fue conjeturado por Gauss, y fue demostrado con métodos muy potentes del análisis, por Jaques Hadamard (1865-1943) y Charles de la Vallée Poussin (1866-1950).

En 1946, Erdös y Atle Selberd (Medalla Fields 1950) obtuvieron una demostración que no recurría a métodos superiores del análisis. Era una demostración elemental, que no es lo mismo que sencilla. Este tipo de demostraciones elementales que no recurrían a los métodos superiores del cálculo diferencial e integral y de variable compleja, sino que se mantenía en los terrenos de la teoría de números, eran las que consideraba Erdös las ideales y a las que se dedicó mayormente. Aparte de la teoría de números, abordó temas importantes y difíciles en el área de la combinatoria, teoría de conjuntos, análisis clásico, geometría discreta, topología de conjuntos... extendiéndose a muchas otras áreas, entre ellas: probabilidad, topología, teoría de grupos, funciones complejas.

Ofrecía premios por las soluciones de algunos problemas, variando el monto según la dificultad e hizo pagos desde 1 hasta 1000 dólares a quienes los resolvían. En 1983 ganó el Premio Wolf, y conservó sólo 720 de los 50 000 dólares que recibió. Como no podía faltar, algunos de sus trabajos están vinculados con el último teorema de Fermat.

Paul Erdös murió en 1996 en Varsovia mientras participaba en un encuentro matemático, como no podía ser de otra forma. Tenía ya preparada su colaboración en otro congreso de teoría de números en Lituania. Dejó tras de sí una leyenda que ha ido creciendo desde el día de su muerte entre los matemáticos, que lo idolatraban por su humanidad, su genialidad y su desapego por las causas del mundo. Tanto es así, que existe un homenaje que pertenece al acervo folklórico de la comunidad matemática: el cómputo del número de Erdös asignado personalmente a cada matemático, que se define de la siguiente manera:

1.- Paul Erdös tiene número de Erdös igual a cero.
2.- Todo matemático que haya sido coautor con Erdös de un paper matemático tiene número de Erdös igual a 1.
3.- Todo matemático que haya sido coautor de un paper matemático con un matemático de número de Erdös igual a n tiene número de Erdös igual a n+1 .

Evidentemente este es un asunto lúdico de los que gustan a los matemáticos, pero tiene sorprendentes connotaciones: Se han estudiado los números de Erdös de personalidades en el mundo de la ciencia y tecnología, resultando que los poseedores de medallas Fields, muchos premios nobel e incluso Bill Gates, tienen números de Erdös muy bajos.

Gates tiene un número de Erdös igual a 4, Andrew Willes, el que consiguió demostrar el último teorema de Fermat lo tiene igual a 3; Einstein lo tenía igual a 2, e Ilya Prigogine igual a 6. El lingüista Noam Chomsky tiene un número de Erdös de 4. Es como si la cercanía a Erdös iluminara las mentes de los científicos... una hermosa leyenda en todo caso. Toda la información del mundo sobre el número de Erdös la teneis aquí.

Un alto en el camino

Para que este blog no sea demasiado denso, un poco de humor. Esto me lo he encontrado por ahí, y me ha hecho mucha gracia. Aunque es de todos conocido que el humor matemático no es del gusto de la mayoría...

Intuiciones y mentiras.

Una constante en este blog será la insistencia en que la intuición por sí sola no es una buena guía en matemáticas. Afortunadamente, tenemos una herramienta que nos sirve de brújula: el razonamiento riguroso. Lo que sigue es una muestra de los errores de la intuición, que son siempre debidos a dar por sentado cosas que no son ciertas; quizás porque tenemos una tendencia mental a extrapolar nuestras vivencias diarias a lugares en los que las cosas son ligeramente más complicadas.

Miren ustedes la figura 1. Tenemos una recta que une los puntos A y B, cuya longitud es raíz de 2, en virtud del teorema de Pitágoras. Imaginen una banda de espesor e centrada en la recta AB. Consideremos todos los posibles caminos de A a B, completamente en el interior de la banda, que no tengan retrocesos. Unos serán más largos que otros, y el camino recto será, lógicamente el más corto. El que aparece en rojo en la figura es uno de los posibles.

Razonemos con “sentido común”:

Si vamos disminuyendo el espesor e de la banda, vamos obteniendo caminos cada vez más cercanos a la recta. Si el espesor de la banda tiende a cero, los caminos tenderán a la recta, y la longitud de los mismos tenderá a raíz de 2.

Podemos entonces enunciar la siguiente conjetura:

La longitud del camino más largo de A a B en el interior de una banda de espesor e centrada en la recta AB tiende a la longitud AB cuando el espesor de la banda tiende a cero.

¿Existe algo más lógico, coherente con nuestra experiencia cotidiana y racionalmente satisfactorio?

Pues bien, todo es mentira. Lo anterior es una llamada a la buena voluntad y al sentido común del futuro creyente en la conjetura, no una demostración. Y en matemáticas esto no sirve.

De hecho, existen caminos de longitud exactamente 2, mucho mayor que la distancia AB para cualquier espesor de la banda. Esto parece una afirmación extraordinaria, y en parte lo es pues parece contradecir el sentido común.

Afirmaciones extraordinarias requieren pruebas extraordinarias .

¿Con qué tipo de prueba podría un matemático avalar esta afirmación? Demostrar la falsedad de una conjetura admite dos estrategias: demostrar desde la generalidad que si fuera cierta, se caería en una contradicción (reducción al absurdo) o poner un contraejemplo.

Haremos lo segundo. Fíjense en la figura 2.

Tenemos una camino de A a B que va en horizontal hasta el origen y sube verticalmente hasta B, de longitud 2. Podemos complicar este camino añadiendo escalones intermedios, como se ve en color rojo , verde y blanco. Si repetimos este proceso, obtenemos caminos de A a B, todos ellos de la misma longitud 2. Por pequeño que sea el espesor de la banda, siempre podremos hacer que todo el camino esté dentro de ella. En el límite, a pesar de tener un camino infinitamente próximo a la recta AB, no es cierto que este camino comparta las propiedades de la recta: sigue siendo de longitud 2. Es una “curva” con infinitos puntos de no derivabilidad que nada tiene que ver con una recta, a pesar de su infinita proximidad.

La existencia de estas funciones "patológicas" tiene un puesto de honor en la historia de la matemática, y da paso al tópico por excelencia de la última década en matemáticas: los fractales.
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El estudio de las funciones entre dos puntos dados que cumplen determinadas propiedades dio paso a la revolucionaria idea de espacios matemáticos en los que sus “puntos” no son los puntos del espacio, sino las propias funciones. Así nació el cálculo funcional, en el que se manejan espacios de infinitas dimensiones, fecundo campo de investigación matemático a lo largo de todo el siglo XX, cuyo origen podemos datar en los mismos nacimientos del análisis. Banach y Hilbert sentaron las bases modernas de los espacios normados y métricos generales, y hoy en día plantean multitud de problemas analíticos y sobre todo topológicos pendientes de resolver.

Un lamento arquimediano en el ciberdesierto.

Siendo yo un niño, murió un vecino muy mayor al que mis padres tenían mucho cariño. Los familiares, muy lejanos ellos; dispusieron de sus escasas pertenencias, y tan sólo quedó un baúl en el trastero, que era común a las tres viviendas de la casa, así que consideré que su interior me pertenecía.
El baúl contenía encuadernados los treinta primeros números del ABC, un libro de sonetos de Gracilaso y Juan de Mena editado en Salamanca en el siglo XVIII, y otro libro.
El título del otro libro era: La Nueva mecánica celeste y resolución irrefutable a la cuadratura del círculo . Autor: Justo Mintegui. Editado hacia el año 1.930 por la editorial Itxaropena en Zarauz, Guipúzcoa.
Atesoro los tres libros, pero para mí el del bueno de Justo Mintegui es un incunable. Ni que decir tiene que todo lo que allí está escrito es de una estupidez tan sólo comparable con la arrogancia del autor. Tan sólo el paso del tiempo me ayuda a ver con cierta y nostálgica benevolencia al infausto autor. ¿Quién sería? ¿Existirán descendientes suyos que puedan leer esto?
Habla el hombre de lo divino y lo humano, demostrando la imposibilidad de los viajes a la luna, demostrando que la evolución es falsa, que pi vale exactamente 3,15 y otras lindezas, de las cuales destaco un cuadro en el que aparecen diversos tipos humanos, (“raza” europea en lugar destacado), y un epígrafe en el que pone que no ha querido incluir más variantes degradadas de la humanidad tales como esquimales.
Pero no es esto de lo que quiero hablar, sino de los filtros que tuvo que pasar el libro para llegar a mis manos. En aquella época, supongo que sólo la vehemencia incuestionable de un autor sería capaz de vencer las trabas para ver su libelo publicado. Serían unos pocos ejemplares, y al no tener ningún valor real, habrían desaparecido darwinianamente de la circulación la mayor parte.

En las épocas que yo sí he conocido, se podía leer incautamente cualquier barbaridad creyendo cierta, pero había pistas para quien las quería usar: no creer nada publicado por Planeta Agostini ni de la editorial EDAF,... ya me entienden, cosas así. Los autores también daban una pista muy fácil de seguir algunas veces: si un libro estaba escrito, pongamos por ejemplo por el Doctor Jiménez del Oso, y otro por el Doctor Vallejo Nájera; era fácil saber que al primero no se le podía dar credibilidad alguna y al segundo sí.

Con esto quiero decir lo siguiente: para tener indicios de que lo que lee es creíble, o al menos interesante; la información que debía poseer el lector a priori era mucho menor que la información que deseaba encontrar y que de hecho encontraba en el libro.

Hoy la situación ha cambiado. Tenemos acceso a prácticamente toda la información, y como dijimos en el artículo sobre la expansión decimal de pi, toda la información se parece a ninguna información. Puedo encontrar demostraciones en la web de la imposibilidad de la cuadratura del círculo, así como mil demostraciones de la cuadratura del círculo; encuentro tantas páginas creacionistas como evolucionistas. No hay filtro alguno que favorezca las informaciones más contrastadas. Además, generalmente las contribuciones son anónimas; tanto las geniales como las espantosas.... en suma: debo saber a priori cada vez más de todo para tener un criterio que me diga lo que es válido.

Estamos llegando a la situación paradójica en la que mis conocimientos previos deben ser comparables en complejidad a los conocimientos que estoy buscando, para poder tener un criterio de selección.

Recordarán si me leyeron que para dar mi número de teléfono podía hacer, entre otras, dos cosas: darlo directamente o dar el puesto en el que se encuentra dentro de pi. Para ambas posibilidades necesito las mismas cifras, luego pi no me sirve para nada.Yo no quiero que la web sea como el desarrollo decimal de pi. Dadme un criterio en que apoyarme y me moveré por el cibermundo.

¿Es el cero un número?

Una amable lectora de este blog me ha preguntado si el cero es un número. Me comentaba que simbolizando la nada más absoluta, era fácil pensar que en realidad el cero no existe. La cuestión no es trivial, y merece un comentario profundo.
En el trasfondo está la cuestión de la existencia de los objetos matemáticos. ¿Existen o son invenciones humanas? Los matemáticos que piensan que tales objetos existen son platónicos. Piensan que la matemática tiene mucho de descubrimiento geográfico: se descubre lo que ya era así antes de que nadie lo estudiara. Las infinitas y bellas volutas del conjunto de Mandelbrot estaban allí, en el mundo de la matemática desde el origen del mundo, esperando ser descubiertas, no inventadas. Desde antes del origen del mundo, podríamos decir, ya que la matemática y sus objetos no está ligada al universo físico. Pero no necesitamos remontarnos tanto para responder a la pregunta. La pregunta era si el cero comparte la misma categoría de existencia que el 7, por ejemplo.

El núcleo de la cuestión tiene varias partes, a mi entender:

1.- El cero es un número natural.

De hecho, el conjunto de los números naturales se construyen a partir de los axiomas de Peano, el primero de los cuales dice que el cero es un número natural. Otro axioma dice que todo número natural tiene un siguiente en N , y un tercer axioma nos indica que el cero es precisamente el único número (natural) que no es siguiente de ningún otro.

En esta definición axiomática de N no es obvio que los números indican cantidades. Son elementos de un conjunto y punto.

2.- Si pensamos los números simbolizan cantidades, entonces los números son símbolos. Una cosa es que la cantidad nula sea inexistente por su propia naturaleza, y otra muy diferente que sea inexistente el símbolo con el que denotamos dicha cantidad.

3.- Una de las ideas más fértiles en matemáticas es la de isomorfismo . Cuando tenemos dos conjuntos con ciertas operaciones definidas en ellos (pensemos en un conjunto numérico con operaciones habituales, y en otro conjunto con sus operaciones), a veces es posible relacionarlo con otro diferente de forma que cada elemento del primer conjunto tenga una y solo una representación en el segundo, y que esa correspondencia (aplicación biunívoca) sea respetuosa con las operaciones internas de cada uno de los dos conjuntos. En ese caso, tenemos un isomorfismo entre ambos. Dos estructuras isomorfas son la misma estructura a todos los efectos de propiedades que puedan exhibir.
Pues bien. El cero, a demás de un número natural N , es un número entero Z , racional Q , y real R . El conocido isomorfismo entre la recta real y el conjunto R nos permite ver al cero desde otra perspectiva: no tiene nada de especial que lo diferencie de los demás reales, es tan sólo el que tomamos como origen. Una simple traslación nos pone el cero en otro punto, y ese es todo el misterio.

PD. Soy consciente de que la definición de isomorfismo es mucho más rigurosa que lo que aquí relato. De hecho, no explico qué quiere decir que la aplicación sea respetuosa con las operaciones internas. Creo que con lo dicho basta para no cargar el artículo.

El teorema de la bola peluda

Existe una tendencia en biología a considerar que dada una característica fenotípica (visible, corporal), hay un motivo genotípico que la causa.Se razona que si existe tal cosa es porque ha habido una ventaja selectiva para los poseedores de tal característica. Pondré un ejemplo: se encuentra un fósil de un reptil volador, el nyctosaurus ; como el relatado aquí.

La existencia de una cresta como la que exhibía el Nyctosaurus da pie a pensar en las ventajas que podía dar la posesión de tan curioso adorno. Aunque nunca se pueda saber qué gen era el responsable de esto, se supone que la característica que observamos es la expresión de las órdenes grabadas en el genoma del organismo, generadas por los procedimientos darwinianos de mutación y selección natural.

Hasta aquí, todo bien, sin ningún pero. Sin embargo la intención de este artículo es resaltar el hecho de que no toda característica observable es la expresión de un gen. Afortunadamente para los genes, no tienen la necesidad de expresarlo todo. Hay cosas que vienen dadas por motivos externos a los genes, estos motivos suelen ser fundamentalmente físicos, pero también matemáticos, y en este blog vamos a comentar, cómo no, los segundos.

Podría hablarles de la curiosa manía de los vegetales en adorar la sucesión de Fibonacci y el número de oro, pero prefiero poner otro ejemplo; el anterior está muy bien tratado en muchos sitios de la web.

Si han peinado alguna vez a un niño, sabrán que existe una zona peliaguda; un puñetero remolino que hace difícil la tarea. En mi caso es especialmente difícil, pues uno de mis hijos tiene dos de ellos. Cuando sólo hay uno, puede estar centrado en la coronilla, o descentrado, pero siempre está ahí, molestando. Lo curioso de tan intrascendente asunto es que existe una muy buena razón para la existencia del mismo, y que no es genética. No aporta ninguna ventaja evolutiva a su poseedor, ni sigue los cauces darwinianos. Es más; aunque fuera enormemente ventajoso para la supervivencia no poseerlo, jamás existiría presión selectiva capaz de producir un ser humano sin remolino (salvo en el caso trivial de seres humanos calvos, se entiende).

¿Porqué?

Pues porque lo prohíbe un teorema matemático, que a estas alturas no les extrañará que haya sido denominado jocosamente como El teorema de la bola peluda . Es curioso, pero la explicación del asunto requiere unos conocimientos previos bastante fuertes. Sin embargo, el enunciado es muy fácil de entender cualitativamente:

Todo campo de vectores de una esfera bidimensional posee algún cero

Estamos en el dominio de la topología, y como sabrán si me han leído los mensajes anteriores, una cabeza humana es topológicamente similar a una esfera bidimensional. ¿Se puede evitar tal maldición?

Bueno, un teorema es un teorema. Eso es como decir que es una verdad inmutable, eterna. Aún así, hay salidas, que pasan necesariamente situarse fuera del campo de aplicación del teorema. Se me ocurren las siguientes:

1.- Solución trivial: ser calvo. Es una solución que satisface a un número infinitesimal de aspiraciones estéticas, pero es una solución.

2.- No peinar en absoluto, entendiendo por no peinar mantener cada pelo erizado; perpendicular al cuero cabelludo. No es una opción aconsejable, si bien se ve por la calle gente que se acerca a esta solución.

3.- Confiar en que el “remolino” esté en un área que no posee pelo, como puede ser la posesión de una respetable coronilla vacía. Como solución no está mal, pero tampoco es muy satisfactoria estéticamente.

Resumiendo: nuestra vida, nuestra constitución corporal y nuestro entorno está modelado por múltiples fuerzas. Algunas son genéticas, pero otras no. Algunas de hecho son puramente matemáticas.

GRACIAS AL paleofreak POR LA CORRECCION DE ERRORES EN ESTE ARTICULO

Reverencia

Sucedió en Castelldefels hace unos tres años. Asistíamos a una serie de charlas alrededor de una pregunta central: ¿Queda mucho por saber? Estábamos cambiando de milenio, y era un buen momento para hacerse esa pregunta. El último día, hubo un coloquio en el que alguien preguntó al doctor Joan Oró si podía resumir de alguna manera breve qué es lo más importante que había aprendido en toda una vida dedicada al estudio de los enigmas del universo.
El doctor Oró habló de su experiencia personal en el asunto, y explicó (más o menos, no recuerdo los términos que empleó) que una frase muy conocida condensaba bastante bien lo más importante. La frase era:

No hagas a los demás lo que no quieras que te hagan a ti.

¿Han sentido alguna vez una sensación de reverencia por alguien?

Yo muy pocas. Una de ellas sucedió en Castelldefels hace unos tres años.

Confundir media y mediana, ¿es una moda?

Una de las formas más inconvenientes de buscar información fidedigna es buscarlo en internet. En otra historia comentábamos que dado que en el desarrollo decimal de pi está TODO, es lo mismo que decir que no hay nada. Nuestra querida web, en la que tantas horas metemos pone a nuestra disposición una parte importante de totalidad del saber humano, así como una gran parte de la imbecilidad humana. Al faltar un criterio de decisión fidedigno, estamos perdidos. Me gustaría poder decir que lo que ustedes lean aquí es básicamente correcto y honradamente escrito, pero al fin y al cabo, ustedes me encontraron en la calle. No se crean nada de lo que pone aquí, ni en ningún otro ciberlugar. Al menos, mantengan activa la hipótesis nula de que la web no es un buen lugar para buscar la verdad, sobre todo si no saben quién la ha escrito. Estaría bien recordar que hace muy pocos años; allá por la prehistoria, los escritos no firmados eran simplemente ignorados...

Todo esto viene a cuento de una frase que leí una vez en mi impulsivo navegar, y no he sido capaz de contrastar, ni de volver a encontrar. Esta frase me da pie a un artículo para el blog, así que lo contaré igual. No importa que sea cierta o no porque mil veces ocurren anumerismos similares, y lo importante es la reflexión subsiguiente, no la veracidad de la anécdota. Por lo tanto no mencionaré el país, ni el presidente concreto al que se atribuía la frase, que era más o menos esta:

El presidente se ha mostrado muy consternado al comprobar el resultado de una estadística fiable, según la cual la mitad de los ciudadanos tiene una inteligencia por debajo de la media.

No soy capaz de recordar si era inteligencia, nivel cultural u otra cosa similar, en todo caso era una cualidad positiva la que se estaba midiendo.

El resto de la noticia era una mofa hacia el compungido presidente, que se podía resumir así: ¡Qué burro el presidente, no sabe que por definición de la media, eso debe ocurrir necesariamente!

Es una confusión muy común. Además socialmente es muy excusable. Hoy en día es incluso de buen tono exhibir ignorancia en cuestión de números, y no digamos de estadísticas. En sin embargo ahí donde nos engañan todos los días. El anumerismo (de los demás, claro está) es una de las mejores herramientas de manipulación.

En el caso que nos ocupa, a mi no me queda claro que la estulticia presidencial estuviera por encima de la media, ni que la del comentarista estuviera por debajo.

Para empezar, debiera comentar que la intuición no es una herramienta de fiar en matemáticas. Es tan importante como la inspiración en los poetas, pero no más. No creo que con inspiración se pueda componer una gran obra, sino con mucho trabajo y sudor. Posiblemente el presidente caía en un error, pero el comentarista caía en otro con total certeza. Vamos a explicarlo.

Debido a una cosa muy interesante y muy profunda de la que me gustaría hablar otro día y que se llama el Teorema central del límite , estamos acostumbrados a las distribuciones simétricas, como la de la figura A. En ellas coincide la media ( que todo el mundo sabe lo que es), la moda (que es el valor con mayor frecuencia observado) y la mediana, que es el valor que deja tantas observaciones por arriba como por debajo. Si la distribución no es simétrica, tenemos situaciones como la de la figura B. La media está desplazada respecto a las demás medidas centrales, y es claro que en este segundo caso más de la mitad de la población está por debajo de la media. Siempre será la mediana, por su propia definición la que estará centrada respecto al número de observaciones a ambos lados, no la media.

¿Tenía nuestro hipotético presidente motivos de pesar?

Pues según se mire, sí. Si la distribución hubiera sido asimétrica en sentido contrario a la de la figura B, más de la mitad de la población hubiera tenido una inteligencia, cultura o educación superior a la media, puesto que la mediana sería de valor superior a la media. Esto supone un desplazamiento de la masa total hacia valores más altos, y es claramente positivo para la población, si el parámetro que se mide es una cualidad positiva para la misma. Eso no se producía, pues la noticia implicaba una distribución simétrica.

¿Se refería a eso el presidente? Lo dudo.
¿Tenía motivos de mofa el comentarista? Pues realmente, si los tenía no era por lo que él creía...

La demostración matemática

A mi entender, y para andar por casa, existen tres formas de demostración matemática

1.- El concepto formal.

En el seno de un sistema deductivo formal sobre un lenguaje formal y dados unos axiomas y unas reglas de inferencia que son los que conforman el sistema deductivo, una demostración es una colección de fórmulas de L . Cada fórmula no es sino una colección de signos de L con buenas propiedades de conformación. Cada una de ellas o es un axioma o es una consecuencia lógica de un axioma a través de las reglas de inferencia. La última de las fórmulas es el teorema, y el conjunto de todas ellas es la demostración. Pura sintaxis.
Me gustaría que estuvieran de acuerdo conmigo que esto muy poco tiene que ver con la actividad matemática. De hecho, supongo que a cualquier matemático esto le parece horroroso. No por horroroso es menos importante; se trata de la lógica formal. Si bien el quehacer matemático se distingue por su rigor, y esto debe ser incuestionable, ningún matemático trabaja a este nivel cuando demuestra teoremas, a no ser que esté trabajando en lógica formal.

2.- El concepto habitual

Las afirmaciones matemáticas en este sentido no son meramente cadenas de signos desprovistos de sentido y dotados tan sólo de sintaxis. Tienen una semántica y se refieren a objetos que el matemático maneja con naturalidad, sea platónico o no. Todo tiene un sentido y existe un mundo de conceptos rico y variado. Sea éste un mundo pre-existente o inventado es lo de menos en este momento. Ahora no importa si la matemática se inventa o se descubre: importa que estamos hablando del significado de los signos que estamos manejando. No hace falta que exista una equivalencia geométrica, visual y palpable; podemos estar hablando de geometría de superficies, pero también de K-teoría algebraica o de procesos estocásticos. A nadie le es necesario investigar qué regla sintáctica se ha violado para saber que una demostración que implique la racionalidad de pi está mal. Encontraremos un razonamiento de alto nivel erróneo y nos bastará. Lo contrario sería como condenar a un informático a programar con ceros y unos.

3.- Las “otras demostraciones”.

El entrecomillado no es irónico. Lo que sucede es que no encuentro nomenclatura mejor. En principio, una demostración en el sentido 2 debe ser una cadena finita de razonamientos, cada uno de los cuales es evidente y puede ser entendido (en principio) por cualquiera. (Esto último sí va con cierta ironía). Sucede que hoy en día existen demostraciones que no cumplen esta condición, y de esto quería yo hablar.

3.1. Demostraciones inabarcables.

Para empezar, ciertas demostraciones ocupan centenares, si no miles de páginas. El ejemplo típico es la clasificación de los grupos finitos simples . La pléyade de resultados previos imprescindibles para esta clasificación es enorme, y hace imposible su comprensión por parte de un matemático en solitario. Sin embargo, parece ser que cada uno de los resultados anteriores es imprescindible, y poco va a ser lo que se consiga reducir en el futuro. ¿Cada individuo debe hacer un acto de fe respecto a los resultados que no puede abarcar? ¿No son los individuos, sino la comunidad matemática en su conjunto la que tiene la palabra en este caso?

3.2. Demostraciones por verificación.

Otro tipo de demostración, estéticamente horrible es el de las demostraciones por verificación. El ejemplo ad hoc lo tenemos en el famoso Teorema de los cuatro colores . Birkhoff ideó un plan de verificación de un número finito (pero enorme) de configuraciones básicas que fueron examinadas una a una por ordenador. La hasta entonces conjetura de que bastan cuatro colores para colorear un plano de forma que dos regiones adyacentes nunca sean del mismo color había caído. Se había demostrado cierta. Por supuesto, ningún humano puede seguirla. ¿Debe aceptarse como definitiva tal demostración? ¿Nos indica algo sobre las causas por las cuáles la conjetura es cierta?

3.3. La demostración automática de teoremas

Poco hay que añadir aquí para endender de qué se trata. Más bien es una versión del concepto formal de demostración utilizando un sistema experto para general las fórmulas, y sus encadenamientos.

En todo caso, estamos ante nuevas formas de demostración. El que esto escribe, que tiene una opinión al respecto y que es consciente de que las opiniones son como los culos: cada uno tiene el suyo, opina que únicamente obtiene placer cuando se encuentra en el tipo 2. Y según se expone en el inicio de este blog, esto iba a ser un paseo por placer. Por ello, me temo que poco hablaremos de los otros tipos de demostraciones. A no ser que me parezca interesante incidir aún más en este punto.

Kolmogorov y Alexandrov

En la foto que encabeza este artículo podéis ver a dos mentes poderosas: Andrei Nikolaievich Kolmogorov (izquierda)y Pável Serguéyevich Alexandrov (derecha). Ambos se conocieron en 1.929 y vivieron una profunda amistad de 53 años.
Compartieron estudios, esfuerzos, alojamiento, honores; y sobre todo amistad.

Kolmogorov fue el padre de la axiomática de la teoría de la probabilidad, pero tocó prácticamente todas las ramas de la matemática con su genialidad y su agudeza. Alexandrov es el padre de la topología rusa, y no le iba a la zaga.

Nunca hubo un enfado entre ambos, y ya al final de sus días, cada uno escribió sobre el otro:

Alexandrov en marzo de 1.981, a un año de su muerte:

“Mi amistad con Kolmogorov ocupa en mi vida un lugar único y excepcional: esta amistad cumplió 50 años en 1.979, y a través de este medio siglo no ha mostrado ningún signo de tensión, ni ha sido acompañada de ninguna disputa. Durante este período no hemos tenido ninguna incomprensión sobre cuestiones importantes para nuestra visión de la vida. Aún cuando nuestros criterios sobre algún asunto han diferido, lo hemos tratado con completa comprensión y simpatía mutua.”

Kolmogorov en 1.986, también a un año de su muerte:

“... para mí estos 53 años de íntima e indisoluble amistad fueron la razón por la cual toda mi vida estuvo repleta de felicidad, y la base de esta felicidad fue la permanente consideración hacia mí por parte de Alexandrov”

Ambos escribieron conjuntamente cierto número de trabajos; pero ese número no refleja en absoluto la intensidad y complejidad de la relación entre ambas mentes. Ambos amaban la montaña, y las largas travesías, así como los baños en el mar. Me gusta pensar que ante que nada, fueron dos hombres felices. Dos hombres de mente poderosa con capacidad además para sentir la felicidad y la amistad en un mundo difícil... es que algunos parecen tenerlo todo.

Cuando se utiliza el cálculo de probabilidades para mentir.

Hay básicamente dos tipos de personas a la hora de enfrentarse al mundo: los que lo hacen honradamente y los que no. Esta partición tan fácil de entender viene a cuento porque últimamente me estoy encontrando con razonamientos teleológicos que utilizan el cálculo de probabilidades para demostrar cosas como el creacionismo o la existencia de un diseñador universal.

Uno de los conceptos utilizados es el del umbral de Borel. Un servidor, que ha sudado lo suyo con las sigma-álgebras de Borel y con muchos otros conceptos del gran matemático del que , por cierto , quisiera hablar otro día; nunca había oído hablar de tal cosa, pero ahí va lo que he recogido por esos submundos cibernéticos.

Quien se ampara en el umbral de Borel para afirmar cosas raras, afirma que el gran matemático postuló que un suceso cuya probabilidad sea menor que un cierto valor positivo, (he leído 10 elevado a -50 )nunca puede darse si no es con intervención inteligente.

Lo más probable es que el bueno de Borel hiciera alguna afirmación ligeramente parecida, pero con otras connotaciones. Cuando hacemos un contraste estadístico de una hipótesis, utilizamos valores muy superiores de los que se citan como el umbral de Borel para rechazarla; eso es cierto; pero otra cosa es la afirmación que aquí se hace. Sucesos con probabilidades mucho menores que el supuesto umbral de Borel se producen a cada momento, sin intervención inteligente de nadie. Mi ordenador, que no es inteligente puede producirme una cifra de 100 dígitos aleatorios, por ejemplo. Ese suceso es trillones de veces menor en probabilidad que dicho umbral. Y sin embargo se ha producido. No digamos ya escoger un número real entre 0 y 1.
La probabilidad de tal cosa es CERO, y sin embargo, puedo escoger uno de ellos, por ejemplo e/128.

Otro truco consiste en mostrar como puramente aleatorio lo que en realidad no lo es; es un truco muy usado por creacionistas cuando hablan de las probabilidades de que por simple azar se unan los varios cientos de aminoácidos que conforman una proteína. El cálculo no vale, porque se obvia el hecho de que el proceso no ocurre por simple azar, sino que hay una selección natural "dirigiendo" el asunto.

No haré más hincapié en el asunto, porque quisiera creer que el potencial lector de este blog no lo necesita.

Apretones de manos

Hace más o menos una semana pude comprobar que a la gente le gusta pensar, en contra del tópico general. También es un tópico decir que la matemática es algo que aburre al personal. Lo que ocurre es que el común de los mortales tiene muy pocas oportunidades de ver el lado bello del asunto. Uno de los caminos más fértiles de encauzar hacia el pensamiento matemático al profano es a través de los enigmas, de los juegos y de los acertijos.

Estaba tomando una consumición en una terraza con un grupo de amigos y amigas cuyo interés por la matemática es epsilónico; cuando llegaron desde diversos puntos varias personas que evidentemente se habían citado allá, en una de las mesas. Tras los apretones de manos de rigor, comenzaron animadamente a charlar. Eran ocho. Yo pregunté a mis amigos, con cierta fingida ingenuidad: ¿Si todos y cada uno de estos hubieran saludado al resto, cuántos apretones de manos creéis que habrían ocurrido?

No voy a pretender que el asunto se me acababa de ocurrir: es un problemita en realidad muy sencillo que había leído recientemente y me vino a la cabeza en ese momento. El asunto es que el interés de mi grupo por la cuestión fue inmediato. Surgieron todas las respuestas imaginables (y algunas inimaginables también).

Pero la cuestión es que todo el mundo estaba deseoso de saber qué pasaba con esta cuestión, y cómo se resolvía. Cuando expliqué que eran 28 apretones, porque cada uno saluda a los otros siete, pero en cada apretón hay dos personas involucradas, y por lo tanto la respuesta dea 8x7/2=28, sintieron lo que Martín Gardner llamaba sensación Ajá. ¡¡YA LO VEO!!

Es evidente que la sensación de hacerse luz en la mente y de súbito entender algo que hace un momento no lo entendías es muy agradable, y así lo comentamos.

Sé perfectamente que no hay que abusar con los amigos en este tipo de cuestiones, sobre todo si quieres conservarlos; pero el momento me pareció propicio para tensar la cuerda un poquito más (nunca lo hago). Dije que había otra forma de llegar al mismo resultado, y para mi sorpresa quisieron saberla.

Expliqué que podíamos imaginar que llegaban de uno en uno. El primero no saludaba a nadie, el segundo sólo a uno, el tercero a 2, ...y el último a los otros sietes. En total 1+2+...+7=28, como queríamos demostrar.

Alguno de los presentes descubrió en ese momento que había cosas que podían demostrarse de varias formas diferentes... y le gustó mucho. Comentaron animadamente lo interesantes que eran las matemáticas mientras yo me retiraba discretamente; perplejo ante el éxito obtenido y no queriendo abusar del tema convirtiéndome en un pelmazo. Mientras seguíamos charlando de otras cosas muy interesantes que nada tenían que ver con la matemática, pensaba para mi interior: esto lo tengo que contar en el blog .

La Alhambra y el Teorema de Fedorov

Un mosaico es una composición con losetas que reproduce un paisaje o una figura. Cuando las losetas llenan el plano basándose en simetrías, desplazamientos y rotaciones, estamos ante un mosaico geométrico. De estos últimos vamos a hablar ahora.
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Para rellenar un plano con losetas (teselar el plano)de forma periódica, existen cuatro estrategias:

1.-Traslación. Es como si la nueva loseta que añadimos fuera una anterior desplazada a una nueva posición sin giros de ningún tipo.
2.-Rotación. La nueva loseta surge por el giro de una anterior con centro en algún punto determinado y con un ángulo concreto.
3.-Reflexión. Cada loseta nueva es la imagen especular de una anterior, con un eje de simetría dado.
4.-Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en la dirección del eje de reflexión.

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Estas cuatro estrategias se denominan movimientos en el plano, y son isometrías: conservan las distancias. Los dos primeros conservan la orientación( movimientos directos), y los dos últimos la invierten (movimientos inversos). Esto es importante, porque cada loseta puede tener dibujos asimétricos que hagan variar la composición.

Estas transformaciones se combinan entre ellas dando lugar a estructuras algebraicas que se denominan grupos de simetrías, en este caso Grupos cristalográficos planos . Pues bien, Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formado mosaicos periódicos. Son los 17 grupos cristalográficos planos. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros.

Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar los en cinco apartados, según el orden máximo de los giros:

- Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías..
- Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.
- Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de simetrías
- Grupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simetrías.
- Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de simetrías.

Los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos. Dado que su religión les impedía dibujar personas o animales; su creatividad se decantó hacia la caligrafía y los dibujos geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidad difícilmente superables. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas (teselación del plano), por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes.

Efectivamente, todos ellos están representados en los variados y bellísimos mosaicos de la Alhambra. Abundan los que tienen giros de 90º mientras que algunos grupos aparecen escasamente, pero absolutamente todos están representados.

Aquí teneis una excelente oportunidad de ver con más profundidad la estructura de cada uno de los diecisiete grupos de simetrías planos.

Todo lo relatado en este artículo se refiere a telesaciones periódicas del plano. En los últimos tiempos se han descubierto novedosas maneras de telesar un plano por procedimientos no periódicos, de la mano del famoso matemático y especialista de la relatividad general Roger Penrose , autor además de algún que otro best seller como La mente del emperador . Otro día hablaremos de ello.

Por cierto, la lista completa de los grupos es la siguiente:

p1: Dos traslaciones
p2: Tres simetrías centrales (o giros de 180º)
p3: Dos giros de 120º
p4: Una simetría central (o giro de 180º) y un giro de 90º
p6: Una simetría central y un giro de 120º
pm: Dos simetrías axiales y una traslación
pmm: Cuatro simetrías axiales en los lados de un rectángulo (p.e. 2 horizontales y 2 verticales)
pmg: Una simetría axial y dos simetrías centrales
cmm: Dos simetrías axiales perpendiculares y una simetría central
p31m: Una simetría axial y un giro de 120º
p3m1: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo equilátero (ángulos 60-60-60)
p4g: Una simetría axial y un giro de 90º
p4m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 45-45-90
p6m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 30-60-90
cm: Una simetría axial y una simetría con deslizamiento perpendicular
pg: Dos simetrías con deslizamiento paralelas
pgg: Dos simetrías con deslizamiento perpendiculares

Y no hay más. Lo dice el Teorema de Fedorov de clasificación de grupos cristalográficos planos

"El reto de Hilbert"; un buen libro.

Hay momentos en la historia de toda ciencia en los que parece que todo se condensa; momentos que parecen significar una parada para reflexionar y seguir con nuevos ánimos. Este libro está centrado en uno de esos momentos estelares de la matemática: la conferencia pronunciada por David Hilbert el 8 de agosto de 1900 durante el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. Entonces fué cuando David Hilbert cometió la audacia de poner los deberes a los matemáticos presentes y futuros para el siglo que empezaba.

Fue aquel día cuando presentó sus célebres 23 problemas, las cuestiones más básicas y profundas que los matemáticos debían resolver en el futuro. Les desafió a que lo hicieran. Más de cien años después, algunos de esos problemas han sido, efectivamente, resueltos (como el conocido "Último teorema de Fermat"), pero otros (como la "Hipótesis de Riemann") aún esperan su juez definitivo.


El autor, Jeremy Gray, es un reputado historiador de la matemática, examina qué es lo que convirtió a esos 23 problemas en el conjunto más famoso de problemas matemáticos: por qué fueron propuestos y cual ha sido su destino hasta el momento. De la mano de Hilbert, desfilan por las páginas los grandes de la primera mitad del siglo XX: como Poincaré, Grothendieck, Brouwer, Gödel o el colectivo que tomó el nombre de Nicolás Bourbaki, que tanta influencia ejerció en la matemática del siglo XX.

Estamos ante un libro denso, novelado pero denso. Son necesarios conocimientos básicos de la matemática del siglo XX para seguirlo, y está muy bien escrito. Un placer para momentos sosegados en los que podamos seguir la aventura matemática reciente.