Probabilidades extrañas

Los matemáticos se parecen a los niños en muchos aspectos. No hay nada que impulse tanto al trabajo como una pregunta sin responder. ¿Y eso porqué? parece ser la pregunta preferida. Algo así es lo que debió sentir el bueno de Simon Newcomb allá por 1.881 cuando observando distraídamente su libro de tablas de logaritmos, se dio cuenta de que estaba mucho más desgastada por las primeras páginas que por las últimas.

Newcomb era astrónomo y matemático, y por aquella época, las tablas de logaritmos eran el libro de cabecera de cualquier manipulador de cifras que se preciara. El desgaste diferencial del libro sólo podía tener una explicación: a lo largo de los años había consultado mucho más el logaritmo de los números que comenzaban por 1 que de los que comenzaban por números más altos.

Aquello parecía una hipótesis extraña: ¿porqué iban a ser más abundantes los números cuya primera cifra es 1, ó 2 que aquellos que empezaban por 8 ´0 9?

Nuestro astrónomo no pudo dar con razón alguna: sus números provenían de la observación de los astros principalmente: eran números sacados del espacio físico, y no debían tener ningún sesgo en su primera cifra. Se limitó a constatar que “la ley de probabilidad de ocurrencia de números es tal que las mantisas de sus logaritmos son equiprobables”.

El asunto no avanzó mucho hasta 1.938; año en el que el físico Frank Benford estudió 20.229 números provenientes de 20 muestras variopintas: constantes y magnitudes físicas, longitudes de ríos, direcciones de personas... incluso cifras sacadas de portadas de revistas. A partir de los datos extraídos del mundo real, postuló la llamada “ley de los números anómalos de Benford”expresable por la fórmula que abre este artículo.

Podemos ver en una gráfica las probabilidades de ocurrencia de cada dígito en primera posición, y veremos que la unidad ocurre casi un tercio de las ocasiones, y el 9 no llega al 5%.



Los números obtenidos del mundo real suelen ser dimensionales: podemos estar hablando de la renta per cápita de los nepalíes medida en rublos, de la superficie de los cráteres lunares en pies cuadrados o de la edad de los árboles de un bosque en quincenas. Si la distribución de Beford aparece en todas ellas, es evidente que debe ser invariante por cambio de escala. Si multiplicamos todos los datos por una constante, no se modifica la ley de aparición de la primera cifra. Por eso, son indiferentes las unidades de medida utilizadas. Esto es menos trivial de lo que parece: si multiplicamos por dos, todos los unos de primera cifra, que serán el 30% se nos van al garete; pero la cosa se compensa pues los cincos, seises, sietes, ochos y nueves...¡se convierten en unos!

Está claro que no siempre aparece esta ley: si tomamos los teléfonos de una provincia, no la encontraremos; y si medimos la longitud de las calles de una ciudad racionalmente urbanizada de cabo a rabo, tampoco: es donde más azar existe donde más fácil la encontramos.

¿Porqué funciona la ley de Benford en el mundo real¿

Se me ocurre un ejemplo para ver una explicación, sacado de la vida real:

Supongamos que en correos hacen una estadística sobre los números de portal de los destinatarios de las cartas a nivel nacional. Si todas las calles tuvieran 99 portales, 11 de ellos empiezan por 1 ( el portal 1 y los portales del 11 al 19) lo mismo podríamos decir de todos los demás números. Pero es que las calles tienen cada una un número de portales distinto; si la calle tuviera 19 portales, de ellos 11 empiezan por 1!!!

Vemos pues que salvo calles excepcionales de 9, 99, 999 portales, todas las demás favorecen los primeros dígitos pequeños, algunas extraordinariamente. Por ello, el fenómeno observado tiene su origen en la contribución de todos los casos posibles... y es la ley logarítmica de Benford.

En una ciudad artificial, que se hubiera construído racionalmente, con calles idénticas de 99 portales esto no ocurriría, pero la realidad es más compleja, y esta complejidad favorece a la ley de Benford.

Hay otro motivo matemático, pero es de bastante alto nivel. Sucede que la distribución de tiene una propiedad curiosísima: si un determinado fenómeno tiene n causas aleatorias y una de ellas sigue la distribución de Benford, la general también. La distribución de Benford es una especie de distribución que contamina a las demás. Así pues, cuanto más batiburrillo haya en la generación del fenómeno y más complejo e intratable sea, más fácil es que aparezca el 1 en primer lugar de los resultados obtenidos.

De hecho, existe una técnica de detección de fraude en declaraciones de renta basada en esto: si donde debiera aparecer Benford no aparece es un síntoma (que no una demostración categórica) de que los datos han sido amañados.

Para saber más podeis consultar aquíen castellano y
aquí en inglés.

Mensajes ocultos en pi

Un número trascendente es un número real que no es raíz de ningún polinomio. Los que sí lo son se denominan algebraicos, y pueden ser tanto racionales como irracionales. Es curioso que siendo tan grande el número de polinomios posibles (de cualquier grado), casi todos los reales son trascendentes.

Esta último frase parece vaga y fuera del rigor matemático (“casi todos”), pero no lo es en absoluto. Cuando decimos que “casi todos” los reales cumplen una propiedad, cuando decimos que una propiedad se cumple casi por doquier, o cuando decimos que un suceso se producirá casi seguro estamos afirmando que tal cosa se cumple, o se produce para todo número, en todo punto o en todo caso excepto en un conjunto de medida cero. Y es que una vez más, la teoría de la medida está detrás de este asunto.

El motivo por el que casi todo número real es trascendente es que el conjunto de todos los polinomios es numerable, y como cada polinomio tiene una cantidad numerable de raíces, el conjunto de éstas también lo es. Dado que el conjunto de los reales NO es numerable, la potencia de los trascendentes es mayor, y de hecho, copa toda la medida de R. Los algebraicos son humo fractal dentro de los reales.

Nuestro protagonista, pi; además de trascendente parece ser que es normal, lo que quiere decir que en su expansión decimal, los diez dígitos aparecen con igual frecuencia. Esto es una conjetura pendiente de demostrar. Demostrar la normalidad de un número no es cuestión sencilla. No obstante, el número de decimales conocido demuestra que la truncación de pi a esos decimales es normal. La verdadera sorpresa sería la demostración futura de la no normalidad de pi.

Pues bien; toda esta introducción viene a propósito de la existencia de mensajes en el interior de pi. Que yo sepa, la popularización de esta idea viene de la novela CONTACT, de Carl Sagan, pasada al cine con relativo éxito con la cara amable de Jodie Foster. Actualmente existe gente buscando mensajes extraterrestres en el interior de pi, o incluso mensajes de Dios.Lo curioso es que estos mensajes realmente existen dentro de pi. Vamos a explicar porqué.

Admitamos la conjetura de normalidad en pi. La infinita ristra de dígitos de la expansión decimal es aleatoria, en el sentido de que tiene las mismas propiedades que una ristra conseguida al azar. Imaginemos que estamos buscando una secuencia concreta de n dígitos en pi. Tomada una secuencia cualquiera de n dígitos, la probabilidad de que coincida con la que buscamos es de una entre 10 elevado a n. Probabilidad pequeña para n grande, pero mayor que cero. Es muy fácil demostrar que un suceso de probabilidad mayor que cero llega a producirse si se efectúan suficientes pruebas, de hecho, se produce infinitas veces si las pruebas son infinitas . Así pues, podemos asegurar que tal secuencia existe realmente en algún sitio dentro de pi. Lo extraordinario sería que no existiera, suponiendo la normalidad de pi.

Así pues, la codificación completa de “Lo que el viento se llevó” en estéreo y en idioma bantú está dentro de pi, además está infinitas veces, incluso con finales espurios en los que los protagonistas se quedan juntos. También está el número de la lotería de la semana que viene, la historia universal del siglo XXII, y este mismo artículo que estoy escribiendo ahora. Así como todas las historias, novelas y poemas producidos por la humanidad, que no son sino ristras de n dígitos en algún código.

El gran Kolmogorov postuló como definición de complejidad de un objeto matemático la longitud de mínimo algoritmo necesario para producirlo. Pi puede generarse con programas muy cortitos, luego encierra muy poca complejidad, y por tanto poca información. ¿Cómo podemos conjugar ambas visiones tan contrapuestas en apariencia.?

Se me ocurre una forma muy sencilla de verlo. Hace poco ví en la red un archivo con el primer millón de cifras de pi. Busqué en su interior mi número de teléfono(sin prefijo) usando Edición/buscar con el word de Microsoft, y ¡allí estaba!

Puedo dar mi teléfono de dos formas: comunicando las seis cifras del mismo, o diciendo el puesto del primer dígito del mismo en el desarrollo de pi. Pero para ambas cosas necesito el mismo número de cifras, puesto que mi teléfono se encontraba hacia la mitad del primer millón de dígitos, luego no ahorro información. La codificación de la película mencionada más arriba comenzará en un puesto tal que necesitaré aproximadamente la misma cantidad de dígitos para decirlo que para tener la película codificada por otro medio. Ahora es más fácil comprender que pi no encierra mucha información. Al estar TODO en pi, no hay nada en pi.

Decididamente, pi es fascinante, pero no es en la posible existencia de mensajes ocultos donde reside la fascinación.

Lo preocupante es que algún día alguien encontrará el puesto en el que comienza alguna codificación de la frase “Yo soy el camino, la verdad y la vida” en hebreo, y entonces, a ver quien es el guapo que consigue convencer a la gente que nosotros ya sabíamos que esa frase estaba dentro de pi, pero que no significa nada.

La entropía de Kolmogorov

Para un servidor una de las mayores incógnitas del concepto de entropía es el motivo por el que tantas veces se emplea como comodín para las más peregrinas explicaciones. El concepto tiene un feeling indiscutible, pero lo malo es que transciende al mundo coloquial sin rigor alguno. Es de “buen tono” introducir la palabra entropía, aunque no se sepa muy bien a qué nos estamos refiriendo. Así, pude oír hace algunos años al escritor Fernando Sánchez Dragó manifestarse contra las corridas de toros porque añadían sufrimiento a la entropía del universo. El concepto al que hacía referencia de forma inadecuada, pueril y sin rubor alguno era evidentemente el concepto físico. En este ámbito, si un tertuliano quiere destacar no tiene más que unir el vocablo ciertamente eufónico de entropía al vocablo universo para obtener ...una frase redonda sin sentido alguno. (Me temo que este comentario es un poco off topic en Tio Petros).

Tenemos también el concepto de entropía en laTeoría de la información de Claude E. Shannon. Es una extrapolación del concepto a otro ámbito, y tampoco de esta entropía queremos hablar ahora.

Cuando Shannon publicó sus trabajos hacia 1.948, a los matemáticos en general les pareció algo excesivamente orientado a la tecnología como para tener interés en matemática pura. El gran Andrei Nikolaievich Kolmogorov fué la excepción, escribiendo en una ocasión:

“La importancia del trabajo de Shannon para los matemáticos puros no fue totalmente apreciada desde el comienzo. Recuerdo cuando, en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Ámsterdam en 1.954, mis colegas norteamericanos, especialistas en probabilidades, creían que mi interés por los trabajos de Shannon eran algo exagerado ya que esto era más tecnología que matemática. Ahora, tales opiniones ni siquiera necesitan ser refutadas”

De esta forma, y dada la inmensa y merecida reputación de Kolmogorov, le fue posible extender las nociones de Shannon a la matemática más abstracta. Concretamente estableció la definición de entropía en el interior de un conjunto.

Dado un conjunto, es necesario utilizar cierta cantidad de información para delimitar sin ambigüedad cualquiera de sus subconjuntos propios. Kolmogorov entendió que aquí era donde podía entrar el concepto de entropía. Definió la entropía de un subconjunto en función del hecho anterior, y la llamó e-entropía. (Léase épsilon-entropía).

Si C es un conjunto finito, podemos expresar por enumeración la lista de sus subconjuntos. A cada subconjunto le corresponderá simplemente su número de orden en la lista. El tamaño de la lista es de 2 elevado a N subconjuntos. Lo que expresado en sistema binario nos ocupa precisamente N bits. (Otra forma de verlo es teniendo en cuenta que podemos hacer corresponder un bit a cada posible elemento de los N en C , y para un subconjunto concreto, el j-ésimo bit vale 1 si está presente en el subconjunto, y 0 en caso contrario).

Kolmorogov definió la entropía de un subconjunto como

H(C)= log (N)

donde el logaritmo está en base 2.

Para conjuntos no numerables su táctica fue el uso de e-recubrimientos de radio e (épsilon) arbitrario. La epsilon-entropía del subconjunto era al igual que en el caso numerable, el logaritmo en base 2 del número de elementos del e-recubrimiento mínimo para cubrir totalmente al conjunto. Un e-recubrimiento del conjunto C es un recubrimiento por conjuntos de diámetro menor o igual a 2e. En el caso se un segmento de recta, el número de elementos de un e-recubrimiento es precisamente (L/2e), de donde su e-entropía será:

H(C)=log (L/2e) , fórmula que adorna la foto que encabeza este artículo, en la que aparece el gran Kolmogorov, de quien nos ocuparemos en un artículo futuro.

De esta manera, Kolmogorov hecha un puente entre la teoría de la información y la abstracta teoría de conjuntos.

¿Matemáticas contra el racismo?

En otra historia comentábamos que la matemática por sí misma nunca podrá explicar el mundo. Cuando intentamos describir un fenómeno de la naturaleza, establecemos un modelo. Tal cosa es una descripción matemática, lo más sencilla posible, de como funciona el fenómeno a estudiar. Si los desarrollos matemáticos son perfectos, pero el modelo no es correcto porque no refleja realmente el comportamiento del fenómeno, entonces las conclusiones serán erróneas. En nuestro caso, todo el desarrollo matemático es correcto, pero no el modelo: falla en lo que parece a simple vista más obvio.

Me he encontrado con un bienintencionado intento de demostrar que el racismo no tiene sentido, argumentado matemáticamente el estrecho parentesco de todos los seres humanos. Dada la conclusión del "estudio", satisfactoria para toda mente progresista, es una verdadera pena tener que explicar que todo es una falacia.

Vamos al asunto, tal y como lo encontré:

Seleccionemos dos personas, arbitrariamente alejadas una de otra; por ejemplo: un chino de una remota aldea y un negro de lo más tupido de la selva congoleña. El número de antepasados de cada uno de ellos es:

Padres: 2
Abuelos: 4
Bisabuelos: 8
n-abuelos: 2 elevado a n.

Entendemos n-abuelos como los antepasados en la n-ésima generación hacia el pasado. Según nos remontamos en el pasado, el número de antepasados de cada uno crece exponencialmente. Vamos a hallar el número de generaciones que nos podemos remontar en el tiempo sin encontrar ningún antepasado común entre los dos, en el peor de los casos. El peor de los casos sería escoger las dos personas menos emparentadas del mundo, lógicamente. Supongamos, para simplificar los cálculos que el número de personas en el planeta es constante en el tiempo. ( Como no es cierto, y en el pasado el número era menor, el valor real será aún más pequeño de lo que obtendremos).

El caso de máximo alejamiento concebible sería si para un momento en el pasado, la humanidad se dividiera en dos grupos: los antepasados de uno y los del otro; ambas disjuntas. Supongamos el tamaño de la población en el pasado de mil millones de personas (de hecho era mucho menor). Llamamos N a tal población. Sea n la generación en la que ocurrió tal división de la humanidad. Tenemos el desarrollo que encabeza este artículo, con un resultado de 28,8 generaciones.

Así pues, hace 29 generaciones, necesariamente había un antepasado común a los dos. Los valores reales serán todavía menores, según lo comentado antes. Poniendo un tiempo de 25 años entre dos generaciones, dos seres humanos tienen necesariamente un antepasado común hace menos de 29x25= 725 años.

¿Porqué todo lo anterior es falso?

El número de padres de cada persona es ciertamente dos (a no ser que uno sea clónico). El número de abuelos es casi siempre cuatro (salvo el caso de que los padres sean hermanos, en cuyo caso serán dos, o hermanastros, en cuyo caso serán tres).Si los padres son primos, los bisabuelos no son ocho, sino seis (dos de ellos son comunes a ambos padres). Según nos vamos remontando en el pasado, la probabilidad de que antepasados nuestros sean parientes aumenta enormemente, y de hecho, en poblaciones aisladas que se han mantenido en número aproximadamente constante en el tiempo, el número de antepasados de un individuo concreto es el mismo hace diez generaciones que hace quince: todos los miembros de la tribu hace 400 años eran antepasados de cada uno de los actuales.

El modelo correcto es que el número de antepasados de cada persona hace n generaciones es a elevado a n; donde a vale menos que dos, y además es variable para los diversos individuos: en una población con grandes lazos de consanguinidad valdrá casi la unidad. La siguiente tabla refleja el valor del número de generaciones y años precisos para encontrar necesariamente un antepasado común, en función del valor de a.

a________________2_____1.8_____1.5_____1,3______1,2_____1,1_____1.01______1

Generaciones____29_____34______50______78______112_____216_____2083____inf

Años____________725____850____1250____1950_____2800____5400____52083___inf



Vemos por lo tanto que debemos apoyarnos en argumentos más contundentes, y sin duda los hay; para convencernos de la unicidad de la especie humana y de la falacia de los racismos.

La paradoja de Tarski - Banach

Las paradojas no existen. Existen resultados que nos parecen paradójicos por que habíamos supuesto erróneamente que el resultado iba a ser otro. Y es que a partir de cierta hondura matemática, la intuición suele ser mala consejera.

La llamada paradoja de Tarski-Banach dice la siguiente barbaridad:

“Es posible partir una esfera maciza en seis trozos disjuntos de forma que recomponiéndolos mediante movimientos rígidos obtengamos dos esferas macizas de las mismas dimensiones que la original”.

Este enunciado y su demostración fue presentado en 1.924 por los matemáticos Alfred Tarski y Stephan Banach. En 1.944 el número de piezas fue reducido a cinco por R.M.Robinson, y en la actualidad bastan cuatro a condición de olvidarse tan sólo del punto central de las esferas.

¿Dónde está el truco? Bueno, en realidad las demostraciones son rigurosas y habría que decir que no hay truco; sin embargo el asunto va contra todas las intuiciones que uno pueda tener. Para empezar, si las esferas son materiales, y no ideales, estamos ante una violación del principio de conservación de la materia. Dado que no es probable que el proceso de partición implique reacciones nucleares, la materia debería conservarse...

Olvidémonos por un momento de esferas materiales y pensemos tan solo en subconjuntos del espacio ordinario tridimensional en forma de esfera. Aunque no lo mencionemos, estamos en terrenos de la Teoría de la medida. Todo el mundo tiene nociones intuitivas de lo que es una medida: es un número asociado a un objeto que indica la cuantización de alguna de sus propiedades; el volumen en este caso. Toda medida que se precie debe tener tres propiedades de “sentido común”, sin entrar en los formalismos de la Teoría de la medida:

1.- No puede ser negativa.
3.- Debe ser invariante por movimientos rígidos.
2.- Debe ser aditiva. (Esto quiere decir que la medida de la unión de varios objetos sin partes comunes debe ser igual a la suma de las medidas de los objetos por searado).

Siendo así, parece una aberración la afirmación de Tarski y Banach. ¿Hay una explicación satisfactoria de este resultado?

Bueno, la buena noticia es que hay explicación, y la mala es que no es satisfactoria (al menos para un humilde servidor).

La culpa la tiene el axioma de elección, que dice la "obviedad" siguiente:

Si tenemos una colección A de conjuntos no vacíos, es posible formar un conjunto tomando exactamente un elemento de cada uno de los conjuntos que forman la colección A.

Pues bien, utilizando dicho axioma, cuya consistencia con la Teoría de Conjuntos ha sido probada, es posible demostrar que existen subconjuntos no medibles en la recta R, en el plano y por extensión en el espacio tridimensional. Pero entiendanme bien, por favor: “no medible no quiere decir de medida cero, como un punto: no medible quiere decir que no se le puede asociar ningún valor a la medida.

Además, la demostración de esto último es constructiva: se construye un subconjunto que no puede tener por su propia construcción ninguna medida asociada. Esto se hace utilizando el axioma de elección.

Ahora podemos comprender que si podemos partir una esfera en trozos no medibles, la aditividad de la medida de volumen se nos va al traste. ¿Porqué tendrían que cumplirla unos trozos que nada saben de medidas? Lo que consiguen Tarski y Banach sobre el papel y en teoría es trocear una esfera de forma que los trozos no son medibles. Esto no deja de ser un experimento mental, desgraciadamente: las formas deben ser irrealizablemente complejas para ser no medibles; algo tan imposible de realizar en la práctica como esculpir un conjunto realmente fractal...

En este direcciónteneis un maravilloso libro de texto sobre Teoría de Conjuntos y lógica matemática. Allá se habla con extensión y enorme rigor de los axiomas de la teoría de conjuntos y sus aplicaciones. Es gratis bajarlo, pero no sale gratis comprenderlo. Si bien no es necesario ningún conocimiento previo, requiere un gran esfuerzo... pero algunos pensamos que merece la pena.
Sobre la paradoja de Tarski-Banach no he encontrado en la red nada interesante, más allá de cuatro tópicos. Si algún lector sabe alguna dirección complementaria a lo que aquí se ha dicho, sería de agradecer que la expusiera en los comentarios.

Una joyita: el Teorema de Morley

La matemática es infinita, a diferencia del mundo real. Nunca acabaremos de descubrir todos los secretos del humilde conjunto N de números naturales, por ejemplo, dado que es infinito el número de sus enigmas. Cualquier rama de la matemática plantea infinitos enigmas, y nunca tendremos tiempo de desvelarlos todos.Por eso no debe sorprendernos que ciertos bellos teoremas que conciernen a humildes triángulos planos no hayan sido descubiertos hasta el siglo XX.

Sabemos desde antiguo que si en cualquier triángulo trazamos las bisectrices (rectas que dividen cada ángulo en dos partes iguales)de sus tres ángulos, las tres se cortan en un mismo punto, que denominamos incentro del triángulo. Ahora bien: ¿qué sucede si en vez de bisectrices trazamos por cada ángulo las dos rectas que lo dividen en tres ángulos iguales?

Pues lo que ocurre es lo que nos dice el Teorema de Morley :

Los puntos de intersección de las rectas que dividen en tres partes iguales los ángulos de cualquier triángulo son los vértices de un triángulo equilátero.

Efectivamente, sin importar cómo es el triángulo inicial, el triángulo interno resultante de unir los puntos de intersección de las "trisectrices" adyacentes es un perfecto, increíble y sorprendente triángulo equilátero.
Frank Morley (1860-1937) encontró en 1904 la demostración de bello teorema que hemos reproducido aquí, y que lleva su nombre.

La demostración completa del teorema, por si alguien quiere seguirla está aquí.

Los ingenuos trisectores de ángulos

Existen muchos tipos de aficionados a la matemática, como existen muchos tipos de aficionados a la física. Pero básicamente se engloban en dos categorías: La primera es la de los que disfrutan aprendiendo y poco a poco van adquiriendo más y más conocimientos. Cuando tienen la suerte de encontrar a alguien que sabe más que ellos, sabiamente se callan y aprenden.. La segunda es la de los que quieren enseñar sin comprender que el camino es muy largo, y hay mucho que aprender antes de enseñar. A esta última categoría pertenecen los “trisectores de ángulos”.

Una de las primeras cosas que debe saberse en matemáticas es que una demostración bien hecha es una verdad que ni los siglos ni las modas ni las culturas cambiará jamás. Refleja una verdad eterna e inmutable. Esto no tiene parangón en las ciencias positivas. Una teoría formidable, magnífica como la gravitación de Newton puede ser superada por otra que venga después, como la relatividad einsteniana que la contradiga en alguna de sus afirmaciones. Sin embargo, nadie encontrará jamás un triángulo rectángulo plano que contradiga el Teorema de Pitágoras. Y quien pretenda que las geometrías no euclideas contradicen dicho teorema es que no sabe o quiere olvidar que el teorema de Pitágoras se refiere a triángulos en el plano euclídeo.

Esto viene a cuento de los personajes que afirman haber conseguido cualquiera de las tres construcciones imposibles con regla y compás no graduados:

1.- la duplicación del cubo
2.- la trisección de un ángulo cualquiera
3.- la cuadratura del círculo.

Desde antiguo, matemáticos aficionados autodidactas pretenden haber conseguido alguna de las tres construcciones, e incluso las han patentado. De hecho hace ya muchos años la oficina de patentes de París publicó un edicto en el que se indicaba que ya no recibiría más demostraciones de la trisección del ángulo y pese a eso las demostraciones siguen apareciendo.

¿Porqué es imposible un método para dividir en tres partes iguales cualquier ángulo usando una regla y un compás no marcados? Básicamente la demostración de imposibilidad emana de la Teoría de Galois que trabaja con unas estructuras matemáticos llamadas cuerpos, o campos. Simplificando extraordinariamente diremos que estamos trabajando en un campo o cuerpo cuando tenemos un conjunto de números que podemos sumar, restar y multiplicar o dividir entre sí obteniendo siempre números del conjunto. Si definimos que un número es construible si podemos obtener un segmento de longitud igual a dicho número con regla y compás no marcados partiendo de un segmento de longitud unidad. Resulta que el conjunto de todos los números construibles es un cuerpo. El conjunto Q de los números fraccionarios es también un cuerpo. Toda ecuación de primer grado con coeficientes en un cuerpo tiene solución en dicho cuerpo. Parece difícil de entender, pero es trivial.

En efecto, si tenemos ax+b=0 con a y b de un cuerpo C, x siempre será de C, pues x=-b/a, y sabemos que dentro de un cuerpo se pueden efectuar las cuatro reglas sin salirnos de él, por definición. Si la ecuación es de grado mayor, no podemos afirmarlo, porque tenemos raíces cuadradas o de índice mayor, que no respetan en principio la estructura de cuerpo. Pues bien, tenemos dos teoremas importantes:

1.- Todos los números de Q son construibles.

2.- Un número real es construible si y solo si es solución de una ecuación de grado potencia de dos en Q

La cuadratura del círculo implica al número pi, que no es solución de ningún polinomio en Q, la duplicación del cubo implica la construcción de la raíz cúbica de dos, que es solución de un polinomio de grado tres (no es potencia de dos), y la trisección del ángulo de 60º implica la construcción de otro número solución de una ecuación de grado tres, y por lo tanto las tres son imposibles. Pueden existir métodos para trisecar un ángulo concreto (el del ángulo recto es trivial), pero nunca, NUNCA el de 60º.

Una buena introducción al tema en castellano la tenéis aquí y también aquí

En esta dirección podeis ver una de las infinitas pretendidas demostraciones de la trisección de un ángulo cualquiera. Hay que reconocerle cierto mérito a su autor, pues una lectura superficial parece indicarnos que todo es correcto, pero...no lo es en absoluto.

Como reflexión final, podríamos terminar diciendo que es una pena que haya gente como los trisectores de ángulos, que invierten ilusiones, tiempo y esfuerzo en tales cosas. Mucho menos esfuerzo les costaría entender la Teoría de Galois, que no es tan difícil, y les ampliaría en gran medida la comprensión profunda de porqué sus anhelos están irremisiblemente condenados al fracaso.

Como postdata, comentaré que existe gente de muy diferente índole que intentar construcciones aproximadas con regla y compás de estos tres extremos. Son perfectamente conscientes de la imposibilidad de la construcción exacta, pero idean métodos aproximados, mejorando contínuamente los records anteriormente conseguidos. Chapeau para ellos.

Todos los blogs del mundo están alojados en Blogia.

El método de inducción matemática es una herramienta muy potente de demostración. Cuando tenemos una afirmación que atañe a un conjunto numerable de objetos, podemos demostrar que todos ellos cumplen una determinada propiedad demostrando dos cosas:

1.- Que la cumple el primer objeto.
2.- Que si la cumple el n-ésimo, entonces también la cumple el (n+1)-ésimo

La hipótesis de que la cumple el n-ésimo no hace falta demostrarla, y se llama hipótesis de inducción.

¿Porqué funciona este método para todas los objetos, quizás infinitos, del conjunto de estudio? Funciona por "efecto dominó": si conseguimos demostrar para n=1, entonces debe ser cierta para n=2 aplicando la segunda cláusula de la demostración, pero si se cumple para n=2, volviéndola a aplicar debe cumplirse para n=3...y esta situación es extrapolable a todo el conjunto, mientras este sea numerable.

Sin embargo, este método debe usarse con cuidado. Veamos una demostración falsa basada en el método de inducción:

Demostraremos la afirmación:

TODOS LOS BLOGS DEL MUNDO MUNDIAL ESTAN ALOJADOS EN BLOGIA

Conseguiremos demostrar este absurdo demostrando que si en un conjunto de blogs existe un blog alojado en blogia, entonces todos lo están. Una vez demostrado esto, aplicando tal afirmación al conjunto de todos los blogs del mundo, tenemos demostrada nuestra efirmación.

PRIMER PASO: n=1

Es evidente que en un conjunto de un solo blog se cumple que si existe un blog alojado en blogia, entonces todos lo están. Es incuestionable.

SEGUNDO PASO: SI SE CUMPLE PARA n, SE CUMPLE PARA n+1

Asumamos por hipótesis de inducción que se cumple para n: Si un conjunto de n blogs tiene uno alojado en Blogia, todoas están alojados en Blogia. Tomemos ahora un conjunto de (n+1) blogs. Quitamos un blog de forma que quede al menos un blog de Blogia en el conjunto. Como tenemos ahora n blogs, por hipótesis de inducción todos ellos están alojados en blogia. Sacamos un blog de este conjunto (que ovbiamente será de blogia), e introducimos el que habíamos casado antes. Volvemos a tener n blogs con al menos uno de Blogia, luego todos lo son. Ahora introducimos el que teníamos fuera, que sabemos es de Blogia, y tenemos el conjunto de (n+1) blogs, todos ellos alojados en Blogia.

Cumplidas las dos condiciones, tenemos demostrado que si un conjunto de blogs tiene al menos uno en blogia, todos lo están, luego el conjunto de todos los blogs del mundo mundial también cumple esta propiedad. Dado que al menos este blog (Tio Petros) está alojado en Blogia, concluimos que Todos los blogs del mundo están alojados en Blogia.

Puede el lector encontrar el fallo del razonamiento?

Hormigas computacionales.

Uno de los problemas básicos en matemática es el de optimización. Encontrar el punto en el que una determinada función alcanza el máximo (maximización) o el mínimo (minimización). Es tan obvio el interés de las técnicas de optimización que no vale la pena insistir en ello. Sin embargo, el problema es muy general, y no admite un tratamiento global. Para empezar, “el punto” que se quiere encontrar puede ser cualquier cosa, dependiendo del problema. Los alumnos de bachiller hallan puntos en los que una función real de variable real tiene un extremo, pero la vida real es mucho más diversa. Vamos a hablar de un problema concreto que es un paradigma de complejidad computacional: el Problema del Agente Viajero, conocido en computación como el problema STP, por sus siglas en inglés.

Un agente debe recorren n ciudades, y entre los posibles recorridos, debe elegir el más corto que pase por todas ellas para volver a la primera. Se conoce la matriz de distancias cruzadas entre las n ciudades, obviamente. Es muy fácil hacer un programa que de con la solución óptima: existen n! recorridos, y si no es importante la ciudad de comienzo (n-1)! recorridos diferentes. Basta hallar la distancia de todos los caminos posibles y tomar el mínimo. El problema es que la función factorial crece endiabladamente, y con un puñado de ciudades necesitaríamos años de computación para encontrar el camino más corto. Con sesenta ciudades, el número de caminos es comparable al de partículas atómicas del universo, y procesando un billón de ellas al segundo necesitaríamos más tiempo que la edad del cosmos para computarlas todas. No se conocen algoritmos que den la solución en tiempo polinómico (pero esa es otra historia que contaremos más adelante). Es evidente que necesitamos atajos.

Afortunadamente, estos existen, y sin bien no necesariamente nos proporcionan el óptimo, nos devuelven soluciones cercanas en tiempos aceptables. Vamos a hablar de uno de ellos, vistoso a más no poder, y de buenos resultados. Está inspirado en la naturaleza debido a la obviedad de que la evolución biológica lleva miles de millones de años ensayando estrategias para solucionar problemas (perdónenme los lectores la personalización de la evolución como algo capaz de tener intenciones y deseos de solucionar cosas, nada más lejos de mi intención; es sólo una metáfora).

Aquí es donde entran las hormigas. Cuando estos himenópteros van de un lugar a otro, podemos comprobar que siguen caminos muy cercanos al óptimo. Si un obstáculo impide el paso normal, tras ciertos titubeos iniciales se termina por rodear el obstáculo por el camino más corto. ¿Cómo lo consiguen?

La respuesta es decepcionante de puro simple. No hay inteligencia alguna tras esto: las hormigas siguen el camino de sus predecesoras porque huelen las feromonas que éstas van depositando a su paso. Ante una bifurcación, tienden a elegir el camino de más olor a hormiga. Entre varios caminos alternativos el más corto o más fácil estará más transitado por ser necesario menos tiempo en recorrerlo, y por ello, la exploración de los otros más penosos es un fenómeno transitorio: cada vez más hormigas tenderán a recorrer el más transitado, creando una realimentación positiva que solo cesará cuando los demás caminos sean olvidados. Además, las feromonas son volátiles: en cierto tiempo no quedará rastro de otro camino que el óptimo.

¿Cómo funciona un algoritmo de búsqueda basado en hormigas? Pues se ponen cierto número de “hormigas” a recorrer caminos entre las ciudades. Cada hormiga desde una ciudad elige la próxima de forma probabilística (las ya visitadas están excluidas de la búsqueda en cada ciclo) en función de la distancia entre sus vecinas, premiando las más cercanas ( es evidente que el recorrido óptimo no irá saltando entre ciudades lejanas unas de otras, pero no es claro que debo elegir siempre la más cercana, no mucho menos) y en función de la cantidad de feromona que hay entre ambas ciudades, premiando las rutas más olorosas. El programador debe ejustar la importancia relativa de estos dos aspectos con sendos parámetros. El nivel de olor no es sino un valor asociado a cada par de ciudades, que se ve incrementado cada vez que es elegido por una hormiga, y se ve decrementado en cierto porcentaje para simular la volatilidad. En cada ciclo computacional las hormigas avanzan un paso, y al cabo de n ciclos similares, cada hormiga ha regresado a la ciudad de la que partió.

Y vuelta a empezar. Se irán consolidado rutas, se irán olvidando otras, y al final; tras un criterio de parada establecido tendremos una buena aproximación al recorrido mínimo. El criterio de parada puede ser que se llegue al número máximo definido de ciclos completos, o que todas las hormigas sigan el mismo camino. En este último caso queda claro que no vale la pena continuar: la convergencia del algoritmo es clara. Ni siquiera en este caso tenemos asegurado que el recorrido obtenido será el óptimo, pero habremos obtenido una buena aproximación en un tiempo razonable.

Este tipo de técnicas nació con la tesis doctoral de Marco Dorigo en 1992 (Ant colony system). Actualmente existe toda una batería de métodos basados en esta idea, que difieren en la forma de actualizar el nivel de feromonas en cada tramo, principalmente. Dado que cada hormiga actúa con independencia (relativa) de las demás, se trata de computación en paralelo, y existen varias formas de paralelización; síncrona y parcialmente asíncrona.

Teneis una buena introducción a estos métodos en esta dirección

Los primos de Mersenne y los números perfectos.

Es bastante habitual encontrarse con reseñas científicas en las que se explica que se acaba de encontrar el mayor número primo conocido. Se suele tratar de un número expresable como una enorme potencia de dos menos una unidad. ¿Es que todos los primos grandes son de esta forma?

Vamos a comentar por encima la fascinante historia de los primos de Mersenne y su asociación con los números perfectos.

Un primo de Mersenne es un número primo expresable de la forma arriba citada. Ni todos los primos tienen esa forma ni todos los números de esta forma son primos. ¿Qué importancia tienen entonces son primos de Mersenne? Pues matemáticamente son los protagonistas de una apasionante historia que se mezcla con la de los llamados números perfectos . Pasamos a reseñarla.

Un número se denomina perfecto cuando es igual a la suma de sus divisores propios (exceptuando al propio número, que también es divisor de sí mismo). Así, el 28 es perfecto, pues sus divisores propios son 1,2,4,7 y 14; y suman precisamente 28
Después del 28, no aparece ningún número perfecto hasta el 496, el cuarto número perfecto es el 8.128, el quinto perfecto es 33.550.336. Se observa que cada número perfecto es mucho mayor que el anterior.El problema de encontrar estos números fue propuesto por Mersenne en una carta a Descartes.

La conexión entre los primos de Mersenne y los números perfectos era conocida desde muy antiguo: Euclides descubrió la fórmula para obtener números perfectos. Se trata de la fórmula que encabeza este artículo. Así pues, el número encerrado entre paréntesis es un primo de Mersenne. Encontrado uno de estos, tenemos irremisiblemente un nuevo número perfecto.

Euclides demostró que todos los números proporcionados por esta fórmula eran perfectos si el paréntesis era un primo de Mersenne, pero no se sabía si había números perfectos de otra índole. Dicho de otra manera: no se sabía si podían existir números perfectos que obedecieran a “otras fórmulas”. Esta situación cambió con Euler , que demostró que un número par es perfecto si Y SOLO SI se puede expresar de esta forma, con el paréntesis primo. Una condición suficiente y necesaria es lo más que puede pedir un matemático: es una caracterización. Así pues, en esta fórmula se encontraba todo el misterio de los perfectos, y de los primos de Mersenne.

Todo el misterio? Todo no, ni mucho menos. Euler demostró la caracterización de todos los números perfectos pares; pero no pudo conseguir ninguna caracterización de los números perfectos impares. Hoy no se conoce ningún número perfecto impar, pero nadie ha demostrado que no existan. De hecho, se sabe que en caso de existir debieran cumplir ciertas propiedades; propiedades que en todo caso son insuficientes para encontrarlos.

Tampoco se sabe si el número de primos de Mersenne es finito o infinito , y por lo tanto el de números perfectos. A la fecha de hoy el mayor primo de Mersenne conocido es dos elevado a 13466917 menos 1. Haría falta un grueso libro para escribirlo, pues tiene 4053946 cifras, y el perfecto asociado tiene 8107892 cifras.Hace falta un volumen de más de dos mil páginas para escribir este último número, a cincuenta renglones por página y 80 dígitos por renglón.

La forma utilizada hoy en día para encontrar primos de Mersenne y perfectos es el llamado teste de Lucas- Lehmer que dice que para p impar, el número de Mersenne asociado es primo (es un primo de Mersenne) si y solo si divide a S(p-1), siendo S una función definida recursivamente como sigue:

S(n+1) = S(n).S(n) -2,
S(1) = 4.

Existe un plan para encontrar primos de Mersenne mediante computación distribuida por PC’s particulares, al igual que el proyecto SETI . (The Great Internet Mersenne Prime Search GIMPS) La dirección del proyecto es esta.

Y una página muy interesante sobre dichos números está aquí.

Una gran unificación: Félix Klein

Si preguntamos a un buen número de personas qué creen que es la geometría, muchos (creo que la mayor parte) mencionarán cuestiones relacionadas con medidas de figuras.

Si preguntamos qué es la topología a alguien que sabe del asunto. perfectamente podría contestarnos que la topología es lo que queda de la geometría cuando suprimimos toda noción de medida.Es evidente que la cosa chirría por algún lado. Vayamos a encontrarnos con Klein y se nos aclararán varias cosas.

El gran Félix Klein fué un unificador impresionante; fué un matemático alemán, que tras haber demostrado que las geometrías métricas, euclídeas o no euclídeas, constituyen casos particulares de la geometría proyectiva, en 1872 presentó una notable clasificación de la geometría, el "programa de Erlangen", que puso fin a la escisión entre geometría pura y geometría analítica.

Para Klein, una geometría es un par (X,G), donde X es un conjunto cualquiera y G es un grupo algebráico. Esta definición es ciertamente la pérdida de la inocencia matemática. Para empezar, el conjunto puede ser cualquier cosa: un conjunto de puntos, como el espacio tridimensional físico, o un plano ideal, o un espacio de funciones infinitodimensional.

¿Y el grupo?

El grupo es otro conjunto de cosas con una operación entre dichas cosas que cumple ciertas "buenas propiedades". La relación entre el conjunto X y el grupo G es que el grupo actua sobre el conjunto.

Esto quiere decir que cada elemento del grupo es una acción ejercida sobre el conjunto. Pensemos en rotaciones, traslaciones, ampliaciones, reducciones, estiramientos...

Pues bien; Klein insistió en que el objeto de la geometría era la búsqueda y el análisis de las propiedades del conjunto X que permanecían invariantes por acción del grupo. Cuanto más "intensa" era la acción del grupo, más íntima tenía que ser una propiedad para que se preservara invariante por la acción del grupo.

Pongamos un ejemplo: tenemos una circunferencia de 1 metro con centro en el punto (0,0). Podemos pensar que la propiedad de tener el centro en dicho punto es importante, pero si "actuamos" sobre la circunferencia desplazándola, el centro está en otro punto. Lo mismo podemos decir de la medida del radio: sometida a una ampliación varía completamente. Sin embargo, el cociente entre la longitud de la circunferencia y su radio permanece invariante por rotaciones, traslaciones y ampliaciones o reducciones. Este "ser invariante" nos da un índice de importancia de la propiedad.

Por último, si sometemos a estiramientos, torceduras y torturas matemáticas similares ; siempre operaciones continuas, sin rasgar la circunferencia; e inversibles (homeomorfismos), obtendremos cosas muy diferentes de una circunferencia. Obtendremos de hecho una curva de Jordan si la figura es plana, y algo un poco más complejo si no lo es. Aún en ese caso existen ciertas propiedades que permanecen invariables. Esa terquedad al cambio de estas propiedades escondidas es el objeto de estudio de la topología.

Concluimos pues que la topología es el estudio de las propiedades invariantes por homeomorfismos lo cual, si se ha seguido con un poco de atención lo anterior, está más claro que lo que se afirmaba al inicio del artículo.

¿Cuáles pueden ser esas escondidas propiedades topológicas que permanecen invariables por mucho que estiremos, encojamos, y retorzamos una figura geométrica?

De eso hablaremos en otra ocasión.

El teorema de Jordan

Un teorema es una frase que afirma algo, seguida de la demostración. Este teorema es extraordinario, único diría yo, por tres motivos: Primero: el enunciado es tan simple que lo entiende cualquiera, independientemente de su formación. Segundo: la afirmación que hace parece tan obvia que todo el mundo se asombra de que “eso” sea un teorema que necesite demostración. Tercero: la demostración es endiabladamente difícil. Si se hace por métodos elementales es larguísima y tediosa en extremo; se puede hacer una demostración mucho más corta, pero para ello hay que invocar conocimientos muy sofisticados de topología, que es una rama de la matemática de lo que hablaremos otro día.

Una curva de Jordan toda curva plana que resulte de deformar una circunferencia con la condición adicional de que no se corte a sí misma. Técnicamente diríamos que una curva J es de Jordan si es homeomorfa a S1. Esto es menos impresionante de lo que parece a primera vista. Merece la pena explicarlo. Para empezar S1 es la nomenclatura de la circunferencia, S2 de la esfera, etc. Y tras la palabra homeomorfismo se esconde la noción de transformación continua con inversa continua. Por ejemplo: si deformamos una circunferencia S1 y la convertimos en una estrella de ocho puntas, cada punto de la primera se corresponde con un punto de la segunda, no hemos roto la línea en la deformación, y podemos regresar a la situación inicial volviendo a colocar cada punto de la estrella en donde estaba antes de comenzar a deformar. Esto no ocurre si transformamos S1 en un ocho, porque hay un punto de intersección de la curva consigo mismo y por lo tanto dos puntos de S1 “van a parar” al mismo punto del ocho. Si queremos invertir el proceso, al punto de intersección del ocho le debiéramos hacer corresponder dos puntos de S1, lo que tenemos prohibido por definición.

Ya sabemos lo que es una curva de Jordan, y sabemos lo que es un homeomorfismo. Pasamos a enunciar el teorema:

Sea J una curva de Jordan sobre un plano P. P-J se divide en dos partes, una interior a la curva y otra exterior, ambas conexas. La interior es acotada, la exterior no lo es y la frontera común de ambas es precisamente J.

C. Jordan conjeturó y creyó haber demostrado el teorema que llevaría su nombre, pero dicha demostración era incorrecta y no pudo vencer esta dificultad. Murió sin haberlo demostrado rigurosamente. La primera demostración satisfactoria del Teorema de Jordan debe esperar hasta 1.905, y es debida a O. Veblen (Theory of Plane Curves in Nonmetrical Análisis Situs, Trans.AMER.Soc. 6 (1905),83-98).
Más tarde surgieron generalizaciones para n dimensiones con E.J.Brower, que fueron demostradas por J.W.Alexander en 1922.
El amplio desarrollo de las teorías topológicas de homotopía y homología trajeron de la mano potentes herramientas para demostrar este teorema en un par de renglones, pero perdiendo el sentido de inmediatez geométrica, y por último, existe una demostración clara, elemental y no muy larga efectuada por R. Maehara utilizando unos resultado previos tales como el Teorema del punto fijo de Brouwer.
Está disponible en la red esta demostración en la revista Divulgaciones matemáticas, v.6 n=1 (1998),pp 43-60. Se trata de un artículo de dificultad media muy claramente escrito que recoge perfectamente el sabor de esta parte de la matemática.
Podeis ver dicho artículo aquí.

¿Porqué la matemática sirve para explicar el mundo?

En un congreso de Filosofía de la matemática en mi ciudad, cuando las ponencias habían terminado a modo de cierre se pasó a un coloquio con el público asistente. Estos momentos suelen ser muy interesantes, porque surgen preguntas e ideas que a uno no se le hubieran ocurrido, se oyen nuevas formas de ver las cosas...en fin; que suele ser provechoso.
Un catedrático de física de esa universidad hizo una simple pregunta: ¿Porqué la matemática es tan buena a la hora de explicar el universo?

Recuerdo perfectamente que en esa ocasión pensé que esa pregunta ya me la había hecho, y que me la había respondido. La pregunta fué hecha induciendo a pensar que había "algo" oculto, que se nos escapaba. Algo desconocido, una especie de conexión con la verdad, que hacía que la matemática fuera milagrosamente útil en la tarea científica de explicar el mundo.
Yo no puedo estar de acuerdo con todo eso. Creo que la respuesta a la pregunta es tautológicamente sencilla, y que no hay paradoja ninguna. Vayamos por partes.

1. La matemática no explica el mundo.

Nunca una teoría matemática pura podrá decirnos nada del universo real. La ciencia trabaja con modelos del mundo, y esos modelos se tratan matemáticamente. Una teoría física tiene siempre unas premisas no matemáticas que son las propiedades del modelo. La matemática sirve para estudiar el modelo, no la realidad. Si el modelo es bueno, las conclusiones serán refrendadas por la observación del mundo, y en caso contrario, refutadas.

2.- La matemática estudia los modelos

La única ciencia que no estudia el mundo es la matemática. Estudia los modelos ideales. Al ser estos las herramientas básicas del método científico, es inmediata su utilidad para explicar el mundo.
No hay más misterio en mi opinión. La belleza e importancia de la matemática no está en propiedades escondidas ni misteriosas; está en otro lado. Por cierto, no tengo muy claro dónde está pero soy perfectamente capaz de sentirlo. Otro día hablaremos de ello.

Cuestión existencial

Llevo unos cuantos días buscando sitios en la web sobre matemáticas, y me he encontrado con una página que es lo que este blog quisiera. Es un poco duro ver que exactamente lo que uno quería hacer, ya está hecho. Me pasó con Arquímedes, como podeis leer algo más abajo, y me vuelve a pasar ahora.
Es un placer encontrar un sitio tan agradable sobre matemáticas; tanto que me estoy planteando continuar aquí. Si este blog tiene algún lector interesado en las historias matemáticas como un paseo, por placer, que no deje de visitar la página de Alberto
http://www.epsilones.com
Es una gozada.

Hipatia de Alejandría

Desde este blog quiero reivindicar la figura femenina en la matemática. Comenzaré por hablar de Hipatia de Alejandría. Esta mujer pasa por ser la primera matemática de la que se tiene constancia. Nació en Egipto en el año 370 y murió (la mataron) en el año 415 de la era cristiana. Por lo tanto tuvo 45 años de vida para dejar un eco que aún no se ha apagado, y desde aquí intentamos contribuir a que no lo haga.

Su padre era Teón de Alejandría. Un hombre importante en el mundo de las letras y las ciencias. En aquella época la figura de la mujer era como mera paridora de hijos, y trabajadora del hogar, pero Teón tenía otros planes para su adorada hija: quería hacer de ella “un ser humano perfecto”.

No sabemos si lo consiguió, pero se acercó bastante. Teón fue padre y maestro, la instruyó en todos los conocimientos de la época: matemáticas, filosofía, astronomía...
Existe una ley matemática llamada “de regresión a la media”, en virtud de la cual de padres sobresalientes salen hijos menos sobresalientes que sus progenitores. Dicho de otra manera: es más fácil que un hijo supere a sus padres cuando estos son mediocres. Lo que no hace dicha ley es prohibir lo contrario. El gran Alejandro Magno fue hijo de un padre realmente sobresaliente: Filipo de Macedonia, y lo superó con creces.

Pues bien, el caso de Hipatia es igualmente una confirmación de que la ley de regresión a la media marca una dificultad, no una imposibilidad: superó a Teón en todas las facetas del saber (para regocijo de su padre, queremos creer). Sócrates Escolástico, historiador de Hipatia, 120 años después de su muerte escribe: "la belleza, inteligencia y talento de esta gran mujer fueron legendarios, superó a su padre en todos los campos del saber, especialmente en la observación de los astros", y por si quedan dudas, añade: "consiguió un grado tal de cultura que superó con mucho a todos los filósofos contemporáneos. Heredera de la escuela neoplatónica de Plotino, explicaba todas las ciencias filosóficas a quien lo deseara. Con este motivo, quien deseaba pensar filosóficamente iba desde cualquier lugar hasta donde ella se encontraba... pero a más de saber filosofía era también una incansable trabajadora de las ciencias matemáticas"

Fue directora del Museo de Alejandría en una época dura: los cristianos veían con malos ojos toda esa concentración de saber de origen griego, e intentaron obligarla a abrazar el cristianismo. Parece ser que se negó rotundamente, y lo pagó con su vida. Un grupo de cristianos la encontró en plena calle y según cuenta su biógrafo la desnudaron, y le arrancaron la piel utilizando para ello conchas marinas hasta acabar con su vida (ostrakoi).

Curiosa manera de intentar apagar un faro que daba más luz que el de la ciudad.

Mi primer "descubrimiento"

Fué con diecisiete años. Encontré una expresión de pi utilizando sólo doses. Como método de hallar el valor de pi no era gran cosa: estaba formada por dos factores, uno de ellos tendía a infinito y el otro lógicamente a cero, por lo que con cualquier sistema de cómputo la tendencia de los errores de redondeo a acumularse era enorme y daba al traste cualquier cálculo más allá del séptimo decimal. Pero la fórmula era cierta. Las matemáticas que utilicé (recuerden mis diecisiete años) eran lógicamente limitadas: trigonometría y cálculo de límites. Pero la sensación de triunfo fué inmensa. Me fuí creyendo poco a poco que mi "descubrimiento" era importante. La ilusión por aportar algo personal en matemáticas es una constante entre los aficionados, y rara vez se ve colmada por el éxito... mi caso no fué diferente: ¡se me habían adelantado!
El bueno de Arquímedes me había robado la gloria muchos siglos antes. Tardé años en ver mi fórmula en un libro de divulgación soviético, pero allá estaba. ¡El bueno de Arquímedes!.
La buena noticia es que nadie pudo quitarme el placer de "descubrir" por mí mismo algo que llevaba dos milenios y medio en poder de la comunidad matemática