Los grupos cíclicos

En el post anterior hemos presentado los números complejos de módulo unidad como operadores de giro sobre otros números complejos. Esta forma de verlos nos lleva a pasear por los llamados grupos cíclicos. Espero que sea un paseo agradable.

Supongamos que tenemos un selector de n posiciones, como el de la figura. El aparato está siempre en alguna de las n posiciones, y nosotros podemos actuar sobre él, girando la aguja hasta donde nos plazca (siempre hasta una de las n posiciones fijas).

Tenemos por tanto dos conjuntos perfectamente diferenciados, al conjunto de las posibles posiciones del selector, y el conjunto de las posibles acciones nuestras sobre el mismo. Llamaremos X al primero y G al segundo.

Está claro que el conjunto X tiene siete elementos en la figura, y n elementos en el caso general. Los representaremos con números naturales.

X={0,1,2,3,4,5,6}

Los elementos del otro conjunto no son posiciones según hemos dicho, sino nuestras acciones sobre el selector. Podemos girar a la izquierda, o a la derecha hasta la siguiente posición, o podemos girar k posiciones a la izquierda o a la derecha. Consideraremos acciones diferentes las que produzcan resultados diferentes, lógicamente. Esto quiere decir que efectuar un giro de una posición a la derecha es lo mismo que hacerlo de (n-1) posiciones en sentido contrario.

Así pues, el conjunto G también tiene n elementos, que denominaremos así:

G={g₀, g₁, g₂,..., g_n-1}

Donde g_i será el giro de i posiciones a la izquierda. (exactamente podría ser en sentido contrario, pero sucede que cuando un servidor debe elegir entre derecha e izquierda, pues eso; elige).

El conjunto G podría ser perfectamente el conjunto de las n raíces enésimas de la unidad del post anterior. No en vano adelantábamos allí que dichos números complejos podían entenderse como giros de una amplitud de la enésima parte de una vuelta, o cualquier múltiplo de esta cantidad.

Pues bien, este conjunto G es más que un conjunto. Es un grupo. Ahora explicaremos esto. Pero de momento diremos que este grupo actúa sobre el conjunto de estados X.

Esta actuación implica considerar loe elementos de G como operadores que afectan a los estados (elementos del conjunto X)

Así, g₁(0) ( el operador g₁ actuando sobre el estado 0) quiere decir el estado que tenemos cuando estando previamente en el cero hacemos un giro de una posición a la izquierda. Evidentemente g₁(0)=1. Es fácil ver la veracidad de las siguentes expresiones:

g₀(x) = x, para todo x € X

g₂(0) = 2

g₁ (g₂(0)) = g₁ (2) = 3

La primera igualdad nos dice que el giro nulo deja todo como estaba. La última supone la realización de un giro y luego otro. El resultado siempre se podría haber hecho de una sola vez mediante un giro único.

Efectivamente, existe una operación natural entre los elementos de G: g_i* g_j, que consiste simplemente en ejecutar ambos seguidos; primero el que escribimos a la derecha (g_j) y luego el otro (g_i).

Además, dado un giro concreto, siempre hay otro en G que deja las cosas como estaban. Diremos que cada elemento de G tiene un simétrico. Denotaremos g^-1 al elemento simétrico de g.

Queda una última propiedad, que permite agrupar giros por parejas sin alterar el orden en el que operan:

g_i* (g_j *g_k) = (g_i* g_j) *g_k)

Todo conjunto con una operación que tenga estas propiedades será llamado desde ahora un grupo .

Este grupo nuestro tiene unas propiedades adicionales que no satisfacen todos los grupos, ni mucho menos. Por ejemplo: uno sólo de sus elementos puede generar a todos los demás por simple composición consigo mismo. Esto quiere decir que a base de la única acción de girar una sola posición podemos generar todas las acciones del grupo. En lenguaje técnico diremos que G es finitamente generado, cuando todos los elementos son generados por composición de un grupo finito de ellos, y monógeno cuando lo son por uno solo de ellos , como en nuestro caso.

G =[ g₁]

Diremos que g₁ es un generador de G

Noten que hemos sustituido las llaves {} de los conjuntos por corchetes []. En la notación habitual se usan los signos “mayor y menor que”, pero me dan problemas porque Blogia los interpreta como comienzo de etiquetas HTML...

Llamaremos orden de un grupo G a su número de elementos, y escribiremos o(G)=n. Llamaremos orden de un elemento de G al orden del subgrupo generado por dicho elemento. Está claro que si y solo si dicho elemento g_k es un generador de todo G , entonces o(g_k)=n.

Llamaremos cíclico a un grupo tal que todos sus elementos son generados por uno solo. Es evidente que nuestro grupo de giros del conmutador es un grupo cíclico.

Basta por hoy. Terminamos con una pregunta tan sólo para aquellos que nada sepan de teoría de grupos:

Nuestro grupo completo es generado por uno sólo de sus elementos, lo hemos visto con el elemento más sencillo g₁, que es el menor giro posible a parte del nulo g₀, claro. El elemento nulo malamente puede generar nada distinto de sí mismo.

Pero ¿los demás?. ¿Es g₂ también un generador de G ?, ¿Y un g_k genérico? ¿Depende de algo que la respuesta sea positiva o negativa?

Les espero para continuar hablando de grupos cíclicos.

Las raíces de la unidad (2)

Es muy notable que con los pocos conceptos desglosados en el post anterior se esté ya posibilitado para encontrar los k números complejos que satisfacen la ecuación:

z^k=1.

Más notable aún es la brevedad del desarrollo necesario para hacer tal cosa, tres renglones, como pueden ver en la ilustración que encabeza este post.

Sea z un número complejo raíz k-ésima de la unidad. Intentemos seguir paso a paso los tres renglones de la demostración:

Por su propia definición podemos poner:

z^k=1 Ecuación(1)

Pongamos tanto z como el 1 (que es un número complejo al fin y al cabo) en la forma exponencial (que llamaremos a partir de ahora forma polar) que aprendimos en el post anterior. z es un complejo genérico del que a priori nada sabemos, luego su forma será completamente general:

z=r·e^ix donde la x sustituye a la letra griega zeta, que no puedo reproducir aquí.

1= e^i·0

No tenemos más que sustituir ambos números en la ecuación (1) anterior, teniendo en cuenta que z^k tiene la forma:

z^k=(r·e^ix)^k =

r^k·e^ikx

Por tanto la igualdad (1) se convierte en:

r^k·e^ikx = e^i·0

El resto del desarrollo es pura aritmética, igualamos coeficientes y exponentes en ambos miembros y obtenemos el resultado que anunciábamos: las raíces k-ésimas de la unidad son k números complejos sobre la circunferencia unidad, y dividen a ésta en k partes iguales.

Lo vemos mejor en la ilustración siguiente, para k=7:



Cada punto es una rotación del anterior de un k-ésimo de vuelta, o sea, de 2PI/k radianes. Esta reflexión nos da un nuevo punto de vista de estos números complejos: no como números sino como operadores. Me explico.

Se tenemos un complejo en forma polar z=r·e^ix y lo “operamos” con e^iw multiplicando ambos, obtenemos lo siguiente:

z=r·e^ix· e^iw= z=r·e^i(x+w)

Esto es: obtenemos un nuevo punto que es el primitivo, pero girado un ángulo w en sentido contrario a las agujas del reloj. Así, podemos entender un complejo unitario (de módulo igual a uno) como una operación giro alrededor del origen de coordenadas. Esto será importante en el post siguiente, en el que hablaremos de grupos cíclicos.

Las raíces de la unidad (1)

Definir funciones en el campo complejo es relativamente fácil. El cuerpo C se define como el conjunto de pares de reales (a,b) con una operación suma y otra producto:

(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
(a,b)·(c,d)=(ac-bd, bc+ad)

Aquí no hay nada arbitrario. Si bien podemos definir las operaciones queramos y luego comprobar si tenemos o no un cuerpo, la definición anterior corresponde a la idea previa de que existen números cuyo cuadrado es negativo: los números imaginarios. Es muy fácil comprobar que las definiciones de suma y producto anteriores son simplemente la expresión de que las partes reales e imaginarias se suman y multiplican algebráicamente teniendo en cuenta que i²=-1.

Ciertamente, para tener perfectamente construido el cuerpo C no hizo falta un alarde de imaginación y de genialidad como en el caso del cuerpo de los reales; hizo falta tan sólo la valentía de postular la existencia de pleno derecho de un “número” i cuyo cuadrado era –1. Todo lo demás viene dado una vez que se ha cometido esta audacia. Un número complejo es por tanto un par, en el que el primer elemento es un número real, y el segundo es un número imaginario, o sea: un real multiplicado por la i así definida. Podemos escribir dicho número en forma de par (a,b) o en forma de binomio a+bi.

Pues bien, resulta sencillo definir en C otras operaciones más complicadas, por simple extrapolación de sus definiciones en el caso real. Para ello suele ser muy conveniente utilizar las expansiones en forma de serie de potencias de las funciones elementales de R , y extrapolarlas a C .

Concretamente la función exponencial, que para un número real está definida así:



para un imaginario puro la definimos de la misma forma:



Quiero hacer hincapié en un hecho fundamental: no hemos utilizado, no vamos a utilizar ninguna propiedad desconocida para manejar, por primera vez en este blog los números complejos. A riesgo de ser repetitivo, diré una vez más que la única audacia cometida es postular la existencia del número i, cuyo cuadrado vale i²=-1.

Las sucesivas potencias de i son triviales:

i³=i· i²=-i
i⁴= i²· i²=(-1)·(-1)=1
i⁵= i⁴·i=i

y a partir de aquí se repite el ciclo.

Así pues, operando con los sucesivos términos de nuestra ecuación, obtenemos:



y ahora no tenemos más que dejarnos llevar por el instinto. Agrupamos los términos que llevan la i imaginaria por un lado y los que no la llevan por la otra, obteniendo:



Ahora resulta que ambos paréntesis son el desarrollo en serie de las funciones trigonométricas seno y coseno, cosa que no por no ser trivial, deja de ser cierta.

Así pues, la cosa queda así, obteniendo la archiconocida fórmula de Euler



Esto es fue una gran sorpresa. Las funciones trascendentes tales como las exponenciales y las trigonométricas eran viejas conocidas en tiempos de Euler, y todo el mundo sabía que las primeras son funciones de rápido crecimiento (crecimiento exponencial, traspasado al lenguaje cotidiano), mientras que las segundas reflejaban los vaivenes cíclicos de las oscilaciones de la naturaleza; las mareas, los péndulos... Qué quería decir esta fórmula increíble?

No tiene mucho sentido hacer cábalas sobre significados ocultos de esta bella ecuación, ni tiene sentido ver misticismos orientales en su particularización para x= pi; pero no deja de ser sorprendente esta relación, conocida como la fórmula de Euler

Nos servirá para expresar un número complejo de una tercera manera: en forma exponencial. Veamos las implicaciones de la fórmula en cuestión.

Dado que el módulo de un número complejo se obtiene por el teorema de Pitágoras, como pueden ver en la ilustración siguiente:



resulta claro que nuestro exponencial de imaginario puro es un complejo unitario, y que el valor x nos indica precisamente el ángulo que forma el eje X real con el vector que desde el origen apunta a dicho número complejo. Una vez más, nada nuevo hemos utilizado, sólo la conocida relación trigonométrica sin²2(x)+ cos²2(x)=1.

Así pues, e ^ix representa un número complejo que está situado a distancia uno del centro de coordenadas, y cuyo radio vector forma un ángulo x con el eje real. Es fácil comprender que si queremos representar en forma exponencial y complejo de módulo diferente de la unidad, bastará multiplicar su correspondiente unitario por el módulo, obteniendo

z= r· e ^ix

como expresión general de un complejo cualquiera.

Así, mientras x va recorriendo los valores reales desde 0 hasta 2·PI, z= e ^ix va recorriendo la circunferencia unidad centrada en el origen, girando en contra de las agujas del reloj. La fórmula mágica que surge al igualar x a 2·PI, y que ya la hemos usado alguna vez en este blog:



no representa ninguna conexión cósmico-mágica, ni tiene mística alguna en su interior,si la ponemos en forma menos críptica, así:



nos está diciendo que con un ángulo de PI radianes, estamos en el punto –1 del eje real, cosa que puede entender un niño ⁽¹⁾.

Ahora tenemos ya las herramientas para comprender que las raíces enésimas de la unidad , las soluciones de la ecuación

x ⁿ=1

surgen como bellas particiones de la circunferencia unidad. Lo vemos en el post siguiente, y luego pasearemos por los polinomios ciclotómicos. Les deseo un agradable paseo conmigo.

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(1) Un niño bastante listo, no un niño cualquiera.

Un cuerpo algebraicamente cerrado

Cuando el cuerpo de los números reales estuvo razonablemente bien construido como el conjunto cociente de todas las sucesiones de Cauchy de racionales con la relación de equivalencia apropiada, se consiguió una proeza. Se tenía ya rigurosamente construido un cuerpo arquimediano, ordenado y completo.

Sin embargo, en cierto modo el cuerpo R era decepcionante: una simple ecuación de segundo grado tal como ésta:

x ²+1=0

no tenía soluciones en él.

A nadie se le escapará que no estoy presentando las cosas cronológicamente: era de antiguo conocido que no existen soluciones reales de ecuaciones muy sencillas. Sin embargo el paso siguiente, que consistía en la construcción de un cuerpo algebraicamente cerrado en el cual todo polinomio de coeficientes racionales (o enteros, lo mismo da) tenga solución en su seno, estaba al alcance de la mano. De hecho, intelectualmente la construcción de R fue un reto mucho mayor que la construcción de C , el cuerpo de los números complejos, ya que este surge casi trivialmente con la consideración de pares ordenados (a,b) de números reales si definimos bien las operaciones suma y producto.

Tenemos así un cuerpo numérico algebraicamente cerrado, como nos lo enuncia el merecidamente famoso Teorema fundamental del álgebra , que dice que

todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalua a cero.

Esto es lo mismo que decir que todo polinomio de grado n con coeficientes complejos (o naturales, pues los naturales complejos son); tiene en C exactamente n soluciones, no necesariamente diferentes.
Efectivamente, si P_n(x) es el polinomio original, el enunciado del teorema asegura la existencia de una raíz w, con lo que podemos expresar el polinomio como:

P_n(x) =(x-w)·P_n-1(x) .

Ahora aplicando lo mismo al nuevo polinomio con un grado menos P_n-1(x) y sucesivamente hasta llegar al polinomio de grado uno, tenemos n raíces, no necesariamente diferentes de P_n(x) en el seno de C .

Particularmente, la ecuación

x ⁿ=1

tiene n soluciones en C , ésta vez todas diferentes. Se trata de las denominadas raíces de la unidad .

El estudio de las mismas es una bella y multidisciplinar parcela de la matemática que es: la teoría de variable compleja , la geometría, la teoría de grupos cíclicos y la teoría de polinomios ciclotómicos beben de esta fuente de cristalinas aguas.

De ello nos ocuparemos en los próximos posts.

Me parece una buena manera de iniciar el año. Espero que a ustedes también.

Un reto para año nuevo.

Soy un hombre afortunado. Comparto mi vida con Vailima; ella es una persona que podríamos englobar en la categoría difusa de "personas de letras", yo soy lo contrario. No me cabe duda de que el hecho de considerarse "de ciencias" va imprimiendo carácter, y lo mismo ocurre en caso contrario. Sin embargo, Vailima y yo siempre hemos estado de acuerdo en un aspecto: esa dicotomía maniquea entre seres de ciencias y de letras es más falsa que un duro de seis pesetas, y a nuestro nivel hemos luchado en contra de los tópicos que ya nos suenan a topicazos al estilo de guipuzcoanos y vizcaínos. O de gitanos y payos. O de lo que sea.

No obstante, a veces ocurren cosas que reavivan las viejas heridas. Soy suscriptor de una revista mensual que espero con ansia cada mes, se llama Astronomía, y es la fusión de dos revistas anteriores, Tribuna de Astronomía y Universo, de querida memoria.

Todos los meses Alfonso López Borgoñoz escribe una columna editorial sobre diversos temas relacionados con la actualidad de la astronomía, y como introducción a lo que el lector tiene entre manos en el número actual.

Este mes, el editorial se titula Un año nuevo , y en él se puede leer, entre otras cosas:

Este 2.005, sin duda, será recordado como el año del Quijote, al menos en el mundo hispanohablante. Aunque los amantes de las ciencias del espacio sabemos que cuatrocientos años no es nada, el camino recorrido por este hidalgo manchego en su Rocinante desde entonces no deja de impresionar a todos los que nos continuamos acercando a la obra de Cervantes

Sigue el editorial de Alfonso López Borgoñoz hablando de los contenidos de la revista, de su trayectoria y de sus problemas a lo largo de los años con continuas referencias al ingenioso hidalgo, para terminar así:

Esperemos que , por fin, este año alumbre al Gran Telescopio de CANARIAS, y que al menos su inauguración y puesta en marcha dé nuevo aliento a esta ciencia antes de que se marchite como Grisóstomo, el estudioso de estrellas del Quijote, que murió de mal de amores por la desafección de la pastora Marcela

Me gustaría saber si en alguna revista, libro, publicación de arte, literatura y filosofía se ha hecho alguna vez una glosa de este calibre a un reto científico importante.

Existe un quid procuo?

Tal es el reto lanzado a Vailima. Mi postura apriorística es que no va a ser fácil encontrar una revista de arte, filosofía o literatura que mencione el año de Plank, de Einstein, un centenario de la teoría de la gravitación de Newton, de la teoría cinética de los gases o del teorema de Fermat, todos ellos bellas construcciones humanas, como las más bellas páginas de la literatura o los mejores lienzos que pudieran salir de un Velázquez.

Ojalá esté equivocado, porque no quiero que ambos sean dos mundos que se dan mutuamente la espalda. No deben serlo. No pueden serlo.

Puede el lector ayudarnos en este duelo doméstico?

Felices fiestas

TioPetros se toma unos días de descanso para terminar el año.

Les deseo a todos unas felices fiestas de navidad, signifiquen lo que signifiquen para cada uno de los lectores de este blog.

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Acabemos el año con una sonrisa. Me acaban de pasar una colección de barbaridades oídas en juicios en Madrid. El texto viene acompañado de datos que intentan avalar la veracidad de las frases. Ya saben cómo son estas cosas: credibilidad nula...pero aún así, tómenselo como un chiste y pasen un buen rato.

1. ¿Estaba usted presente cuando le tomaron la foto?

2. ¿Estaba usted solo, o era el único?

3. ¿Fue usted, o su hermano menor, quién murió en la guerra?

4. ¿Él le mato a usted?

5. ¿A qué distancia estaban uno del otro los vehículos en el momento de la colisión?

6. Usted estuvo allí hasta que se marchó ¿no es cierto?

7. Pregunta: Doctor, ¿cuántas autopsias ha realizado usted sobre personas fallecidas?
Respuesta: Todas mis autopsias las realicé sobre personas fallecidas

8. Pregunta: Cada una de sus respuestas debe ser verbal, ¿de acuerdo?, ¿A que escuela fue usted?
Respuesta: Verbal (risas y comentarios jocosos en la sala)

9. Pregunta: ¿Recuerda usted la hora en la que examino el cadáver?
Respuesta: La autopsia comenzó alrededor de las 8:30 p.m.
Pregunta: ¿El Sr. Pérez Tomilla estaba muerto en ese momento?
Respuesta: No, estaba sentado en la mesa preguntándome por que estaba yo haciéndole la autopsia. (El Sr. Juez tiene que imponer orden en la sala, el alboroto es tremendo, se escuchan carcajadas por todas partes)

10. Pregunta: ¿Le dispararon en medio del follón?
Respuesta: No, me dispararon entre el follón y el ombligo.

11. Pregunta: Doctor. ¿Antes de realizar la autopsia, verificó si había pulso?
Respuesta: No
Pregunta: ¿Verificó la presión sanguínea?
Respuesta No
Pregunta: ¿Verificó si había respiración?
Respuesta: No
Pregunta: Entonces ¿es posible que el paciente estuviera vivo cuando usted comenzó la autopsia?
Respuesta: No
Pregunta: ¿Cómo puede usted estar tan seguro, Doctor?
Respuesta: Porque su cerebro estaba sobre mi mesa, en un tarro
Pregunta: ¿Pero podría, no obstante, haber estado vivo el paciente?
Respuesta: Es posible que hubiera estado vivo y ejerciendo de abogado en alguna parte.

Hasta el año que viene.

Poliedro imposible

Para el fin de semana, un problema muy sencillo y sorprendente:

demostrar que no puede existir ningún poliedro tal que sea inestable sobre todas sus caras.

Una de las cosas curiosas de este problemilla es que admite una demostración desde fuera de la matemática. Desde la física, concretamente, y más concretamente desde ¡la termodinámica!

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HACE UN AÑO nos introducíamos en los espacios de dimensión infinita y preguntábamos cuál era la mayor longitud de un segmento que podía introducirse en el interior de un cubo y de una esfera infinitas dimensiones. La respuesta era bastante antiintuitiva: dentro de una esfera de radio unidad cabía un segmento de dos unidades,pero dentro de un hipercubo de arista unidad cabía toda una recta infinita. Un lector planteó una aparentemente impecable demostración contraria, que dió paso a este post y al siguiente, demostrando una vez más que los lectores son los que dan la vida al blog.

Que tengan un feliz fin de semana, y que ni los políticos se lo puedan amargar...

Pilar Manjón

Ayer una ciudadana; Pilar Manjón; portavoz de la Asociación 11-M-Afectados del Terrorismo, exigió a los diputados durante su comparecencia en la comisión de investigación que no les manipulen ni utilicen su dolor como «moneda de cambio en el juego político», y arremetió contra los medios de comunicación por vender «su conciencia» por «la ley de las audiencias».

Para el lector no español, dicha asociación engloba a los familiares y víctimas de el atentado terrorista islamista que dejó 192 muertos en las estaciones de trenes de Madrid el 11 de Marzo pasado.

Desde un luto riguroso y con una voz quebrada por el dolor y la emoción, se mostró firme como una roca con una altura moral indescriptible. Su comparecencia fue histórica, además de inútil.

Hoy, los políticos canallas de este país de pandereta, Gran Hermano y Crónicas Marcianas, empezarán a desgarrar su testimonio con interpretaciones partidistas; el quinto poder seguirá utilizando las noticias e imágenes a su antojo y todo volverá a su estado natural: el permanente esperpento español.

De nada servirá su precisión:

«unos dirán que estamos manipulados por el PSOE» y otros que «servimos a los intereses del PP», lo cierto es que «ningún partido nos mueve, ningún partido nos interesa más allá de las opciones privadas y personales de cada uno. Somos víctimas. Nada más. Y nada menos».

De nada servirá que Pilar Manjón denunciara un hecho protagonizado por simpatizantes del Partido Popular, en uno de los actos más vergonzantes desde el final de la guerra civil española hace 65 años, mientras daban vivas a José María Aznar y portaban banderas españolas :

“Nos dijeron que nos metiéramos a nuestros muertos por el culo”

como si las víctimas fueran apestados indeseables y merecedores de lo que les ocurría: enemigos de la patria en todo caso.

De nada servirá que la señora Manjón afirmara:

Aún hay mucho aire puro fuera de esta casa

refiriéndose al congreso: a los cinco minutos una diputada popular estaba agradeciendo "de corazón" sus palabras. ¿Es que la diputada popular es imbécil? No. No es imbécil. La realidad es mucho peor.

Aunque nada sirva para nada, nunca habíamos visto, ni veremos una hostia en el morro tan bien dada a la clase política. Con tanta clase, tanta altura y tanta dignidad. Con luz y taquígrafos.

En todo caso, tiene usted todos mis respetos, Señora .

Continuidad (y 3)

Este post es casi completamente prescindible. Pero una promesa es una promesa, y prometimos ver que el galimatías al que hacíamos referencia hace dos post, y que reproduzco aquí:



equivale a lo dicho hace un post, cuando hablábamos de entornos topológicos y de aplicaciones entre dos espacios generales con dos topologías diferentes.

Digo que es casi prescindible porque como se verá, se trata simplemente de traducir un lenguaje a otro. Una función real de variable real es una aplicación entre dos espacios topológicos muy especiales: uno es el conjunto R con la topología usual... y el otro también.

Dado que ambos son unidimensionales, podemos (nosotros, pobres seres tridimensionales) enfrentarlos ortogonalmente y dibujar dos rectas que se cortan con 90 º, que definen los ejes coordenados. Incluso podemos hacer más cosas: podemos dibujar una curvita e imaginar que “eso” es la función.

En realidad, “eso” no es la función. Es el grafo de la aplicación nada más. (Para todos los efectos, empleo las palabras función y aplicación como sinónimos). Dicho grafo es el conjunto de los puntos (x, f(x)) en el espacio producto R x R . Lo que ocurre es que nos ofrece una visualización muy buena e intuitiva de cómo es la aplicación en cuestión. Desgraciadamente, no nos vale para nada si la suma de dimensiones de los espacios de salida y de llegada es de más de tres, como sucede con la maravillosa y nunca suficientemente bien ponderada variable compleja .

No viene a cuento, pero en realidad, la belleza del asunto de las funciones no está sólo en la gráfica, que es lo que entra por los ojos, con la variable compleja no hay gráfica posible de funciones, porque necesitaríamos cuatro dimensiones para dibujarla... y la belleza de su estudio proporciona momentos de “éxtasis estético” que quien no los ha disfrutado no entenderá en absoluto lo que estoy diciendo.

Vamos a lo nuestro: nuestro espacio topológico (R, T _u ) se basa en entornos de un punto que son intervalos abiertos centrados en dicho punto. Así, un entorno básico del punto x₀ será éste: (x₀-d, x₀+d). Decir que un x concreto pertenece al mismo es decir que:



Esto es así porque en el fondo de nuestro espacio (R,T_u) subyace un espacio métrico en el cual la distancia entre dos puntos está definida como el valor absoluto de la diferencia de las coordenadas de ambas puntos.

Del mismo modo, decir que la imagen de un punto x, f(x) pertenece a un entorno de radio épsilon del punto f(x₀) es lo mismo que decir que:



La ilustración siguiente explica el asunto referido a la función real de variable real:



Cuando decimos que para todo épsilon existe algún delta todo el mundo se fija en la épsilon y en la delta , y suele pasar desapercibida la potencia de fuego cruzado de las locuciones para todo y existe algún .

En efecto, la definición de continuidad en un punto nos exige que dado un entorno cualquiera V de la imagen, existe un entorno U del conjunto de partida cuya imagen f(U) está comprendida dentro del entorno original V. Ahora bien, podemos repetir este argumento para el nuevo entorno f(U), en virtud de la potencia del para todo empleado en la definición, y encontraremos un nuevo entorno en el origen, cuya base estará a su vez dentro del entorno f(U), y así ad infinitum. Se ve ahora porqué esta definición captura exactamente la continuidad en el punto considerado.


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HACE UN AÑO hablábamos del poliedro de Szilassi, a lo largo de tres posts presentamos las pruebas de que tal objeto debía existir, dedujimos sus propiedades más importantes y sólo después lo presentamos en sociedad.

Por supuesto el mérito fué de Szilassi, que lo encontró, pero eso no quita para que me quedara muy contento con la serie. Me apetecía mucho hablar de esa maravillosa propiedad de la matemática: poder encontrar propiedades de objetos antes de encontrar los objetos mismos. Un poco como hicieron los químicos posteriores a Mendeleiev cuando postulaban acertadamente las propiedades de los elementos que se debieran encontrar en los huecos vacíos de la tabla periódica. Cuando se descubrían se corroboraba la precisión de lo postulado para los mismos. Predicciones de las buenas, nada que ver con las artes adivinatorias para-anormales tan al uso hoy en día...

Movimiento browniano

No, no es un cambio radical de tema ahora que estamos a medio camino en la continuidad. Se trata de una reflexión sobre el blog (que me viene muy bien además porque estos días no tengo tiempo material de continuar).

Si repasan los últimos 100 posts más o menos notarán que a veces parece haber un hilo conductor que lleva de unos a otros. Otras veces el cambio es brusco, como si el autor hubiera sido golpeado hacia una determinada dirección, para luego cambiar hacia otra.

Así es exactamente, y así me gusta que sea.

Sólo me falta decir que son los lectores con sus comentarios quienes impulsan estocásticamente el blog. Leo una palabra de XXXX incitándome a hablar de límites y continuidad, y el blog toma un rumbo que sólo es interrumpido cuando leo a XXXX mencionar a los funtores. ¿Hablaremos pronto de categorías?.

Leo que XXXX odia la probabilidad, y ardo en deseos de hablar de la exuberante jungla interna a un conjunto complicado que supone una sigma-álgebra, o del maravilloso edificio kolmogoroviano de la teoría de la probabilidad.

En fin, que gracias a todos por impulsar el blog a un ritmo tan animado. Me da la sensación de que la gente se lo pasa bien en TioPetros, si bien el "paseo" inicialmente previsto a veces se empina un poco; de forma que estoy contento.

No esperen demasiada actividad en los próximos cinco días. Pero luego, continuaremos el camino.

Reitero: gracias.

Continuidad (2)

Hemos prometido en el post anterior explicar de dónde viene la extraña terminología que se emplea para dar la condición de continuidad de una función real de variable real. Y hemos dicho que las profundas ideas que aquí se encierran hunden sus raíces en la topología. Veremos ahora que, a pesar de la sensación de abstracción difícilmente digerible, la condición épsilon-delta que mencionábamos es en realidad un caso muy concreto de algo mucho más general. Y, como ya estamos acostumbrados, atacaremos el problema desde la mayor generalidad posible.

Esta pretensión de máxima generalidad que tienen los matemáticos no es una manía: entendiendo el caso más general posible se entienden automáticamente todos los casos concretos.

Y qué tiene de concreto la definición de continuidad del post anterior?

Pues mucho: se trata de la definición de continuidad de una función de un espacio topológico concreto ( R con la topología usual), en otro espacio topológico concreto (que resulta ser el mismo).

Abordemos la cosa desde la generalidad, imaginemos que tenemos un espacio topológico (X,T), en el que está definida una aplicación con valores en otro espacio topológico (Y,S). Los puntos p del espacio origen tienen su imagen en puntos f(p), que pertenecen al espacio imagen (Y,S). (A estas alturas a nadie se le escapa que S es la topología definida en el conjunto Y, supongo).

Pues bien, la idea madre del asunto es algo tan ramplón como esto:

Una aplicación continua en un punto p es una aplicación sin sorpresas en el punto p.

Nuestra tarea va a ser ahora comprender que la definición anterior no es sino exactamente eso, y vamos a jugar limpio: hemos dicho que vamos a hablar con la máxima generalidad. Los espacios topológicos nos dan la idea de proximidad mediante las familias de entornos de sus puntos, sin necesidad de hablar de distancias. No debemos por tanto usar frases tales como “si nos acercamos lo suficiente a p”, “si la distancia entre p y q tiende a cero…”, etcétera.

Visualicemos sin pérdida de generalidad la situación: tenemos el punto p de (X,T) y su imagen por la aplicación f, que es el punto f(p) de (Y,S). Lo tenemos en la imagen siguiente:



la notación f(p) supongo que estará clara para todos: se refiere a un punto, necesariamente del conjunto Y, que es la imagen del punto p del conjunto X por la aplicación f. Del mismo modo podemos hablar del subconjunto f(U) de Y evidentemente, que no es sino, dado un subconjunto U de X, el conjunto de todas las imágenes de sus puntos por la aplicación f.

La ausencia de sorpresas, lógicamente debe darse en el espacio (Y,S). El porqué es evidentemente: allí es donde “ocurren cosas” referentes a la aplicación f; el espacio (X,T) es sólo el de partida!!!

Pues bien, tomemos un entorno cualquiera V de la imagen de p, f(p).



La ausencia de sorpresas en el entorno V supone que podemos encontrar un entorno U en el espacio de partida tal que su imagen está dentro de V. A poco que se piense, se comprende porqué esta es la “condición guay” que expresa la ausencia de sorpresa en f(p): Si para cada entorno V de la imagen de p podemos encontrar al menos un entorno de p cuya imagen esté contenida en V, quiere decir que, respetando la noción de proximidad de las topologías tanto de partida como de llegada, no existen transiciones bruscas de la aplicación en proximidades de f(p): siempre existe un entorno lo suficientemente pequeño de p para que su imagen esté incluida en el entorno de partida.

La función transforma puntos próximos a p en puntos próximos a f(p), y esa proximidad se establece en virtud de los entornos de las respectivas topologías.

Lo vemos en la figura siguiente:



En el próximo post veremos que esto es exactamente lo que nos está diciendo la condición épsilon-delta del inicio del post anterior. De momento una cosilla más: debe quedar claro que una aplicación no es continua o discontinua, sino en relación a las topologías de partida y de llegada. Además, ambas topologías influyen de modo opuesto. Me explico: dado que la condición de continuidad exige que para todo entorno de f(p) en (Y,S) exista algún entorno de p en (X,T), que cumpla una determinada cosa, por un lado tenemos que:

1.- Cuantos más entornos posibles haya de f(p) (o lo que es lo mismo: cuanto más fina sea la topología en (Y,S)) más difícil se cumplirá la condición, porque debe cumplirse para todos ellos

2.- Cuantos más entornos posibles haya de p (o lo que es lo mismo: cuanto más fina sea la topología en (X,T)), más fácil se cumplirá la condición, porque basta con encontrar alguno en el que se cumpla, y tenemos más para buscar.

Esto hace que se puedan definir las importantísimas nociones de topologías inducidas por una aplicación: la topología inicial (la menos fina en X que hace a f continua, siendo fija la topología S en Y, y la topología final; la más fina en Y que hace a f continua siendo fija la topología T en X, pero esa es otra historia…

Continuidad

La ciencia se puede aprender de memoria, pero la sabiduría no.

Laurence Sterne
(1713-1768) Novelista británico

Miren la ilustración que encabeza el post.

Este galimatías suele ser el primer encuentro de un estudiante de bachiller (o como lo quieran llamar ahora, porque sólo los profesionales del ramo saben cómo coño se denominan en cada momento los estudios que cursan los adolescentes)...decía que este aparente galimatías suele ser el primer encuentro de un chaval con la matemática de verdad.

Dicho encuentro es invariablemente traumático. Y la verdad es que parece mentira que tras estas cadenas de símbolos se encuentre tanta sutileza, tanta belleza y tanta historia.

No es por casualidad que hablamos de ello ahora. Si el lector ha seguido los últimos post, aunque nada supiera del tema tiene las herramientas conceptuales necesarias para hacer muchas cosas interesantes.

Como en otras ocasiones, detrás de estos símbolos están ideas topológicas mucho más profundas que las que sospechan los estudiantes de BUP.

El hecho de que tantos estudiantes se hayan estrellado contra estos dos renglones, poniendo ojos como platos y decidiendo aprenderlos de memoria, como única alternativa a la locura es doblemente penoso. Por un lado, todas las grandes ideas son muy sencillas, y esta también lo es; por otro lado, sin entender BIEN esto, poco análisis matemático se puede comprender realmente. Y créanme que sé de lo que hablo: durante años estuve dando clases particulares a chavales y bien raro era encontrarse con alguno que supiera exactamente qué significaba todo esto.

Esta definición es la superación de la fase intuitiva en el cálculo. La mayoría de edad de la matemática, debida a inmensos cerebros que se llamaron Cauchy, Weierstrass, y un largo etcétera. Es una expresión estática, sin frases vagas del tipo " cuando la x tiende a tal cosa" o " cuando tal distancia se hace infinitamente pequeña ". Es estática como estático es un cristal natural perfecto o una obra de arte escultórica.

Como es tan importante, y no tenemos prisa, le dedicaremos varios post. Al final, nos parecerá tan clara como si estuviera escrita en castellano; y si no es así, será exclusivamente por mi culpa.

Hasta la semana que viene.

Convergencia en topología

Hemos visto en el post anterior que sobre un mismo conjunto se pueden definir innumerables topologías diferentes, y que en función de qué topología estemos manejando, ocurrirán unas cosas u otras. Hemos visto que la noción aparentemente sencilla de interior de un conjunto varía completamente según la topología considerada.

Vimos que todos tenemos unas nociones topológicas previas, aunque no lo sepamos, y que éstas hacen referencia a la llamada topología usual ; aquella cuyos abiertos son bolas abiertas o uniones arbitrarias de ellas.

No quiero abandonar el tema sin mencionar un tema importante en el que la topología que definamos en también determinante: la convergencia de una sucesión.

Llamamos sucesión de elementos de un conjunto X a una aplicación del conjunto N de los números naturales en X, de forma que a cada natural i le corresponde el elemento a_i.

En la figura siguiente tenemos una sucesión de puntos en espiral que "cae" hacia un punto p. Visualmente comprendemos que dicha sucesión converge al punto p: pero necesitamos una definición basada en conceptos topológicos.

Diremos que la sucesión (a_i) converge a un punto p cuando todo entorno de p contiene a todos los elementos de la sucesión a partir de uno dado.



En la figura lo vemos claramente: tenemos dibujado un entorno U_p del punto p, y vemos que a partir de A ₆ , todos los puntos de la sucesión caen dentro de U_p. Si hubiéramos tomado un entorno menor, simplemente tendríamos que haber esperado a un punto de índice más alto, pero la situación sería la misma.

Qué sucede en la topología extraña del post anterior?

Lo vemos en la figura siguiente:



También es convergente la sucesión, pero ahora resulta que tanto converge al punto p de antes como al punto q o al punto r , dibujados en rosa. Esto es así porque los entornos de los tres puntos son los mismos; no estamos en un espacio de Hausdorff , y por lo tanto existen puntos diferentes que no pueden ser separados por entornos diferentes. Parece absurdo admitir que una sucesión como la dada converge a un punto q o r , cuando ni siquiera se acerca a ellos, pero es que en dicha topología la noción de proximidad no es la que a nosotros nos parece normal...

En este espacio, la sucesión converge, pero lo hace a infinitos puntos, todos ellos con la misma componente x.

Aunque no lo demostraremos aquí, que un espacio sea de Hausdorff es tranquilizador: en todo espacio de Hausdorff , si una sucesión converge a un punto, dicho punto es único. En cierto modo un espacio de Hausdorff es un espacio de "buen comportamiento". Pero no siempre; vean el siguiente ejemplo de un espacio de Hausdorff:

Si consideramos la topología discreta , la más fina de las posibles; el espacio resultante es evidentemente de Hausdorff; pues todo subconjunto del plano es un abierto de la misma, y sin embargo resulta que la sucesión del ejemplo NO CONVERGE.

¿Cómo es esto?

Pues muy sencillo:

Repito la definición de sucesión convergente:


Diremos que la sucesión (a_i) converge a un punto p cuando todo entorno de p contiene a todos los elementos de la sucesión a partir de uno dado.

Recordemos que un entorno de un punto es todo subconjunto que contiene un abierto que a su vez contiene al punto considerado.En la topología discreta , el propio punto es un abierto que se contiene a sí mismo, y ningún punto de la sucesión es exactamente el punto p, a pesar de que el acercamiento euclidiano al mismo es cada vez mayor, por lo que la sucesión en esta topología no converge.

No les parece todo esto impresionante?

Si la respuesta es NO, mantengan al menos la convicción de que la culpa es de quien esto les cuenta, no del tema en sí.

Teratocarcinoma y culpa.

Malo es que se difunda por la sociedad una estupidez como la homeopatía. Malo es que médicos titulados sean, además homeópatas, demostrando un nulo conocimiento de química elemental. Malo es que los caras de Belmez sigan haciendo el agosto con las caras de Belmez, como en lo más oscuro del tardofranquismo. Pero hay cosas peores. Cuando en una sociedad regida por preceptos religiosos se vive bajo la férula del pensamiento mágico, el horror puede llegar a límites increíbles.

El ejemplo que les enlazo a continuación puede parecer un caso límite, pero no creo que lo sea. En un mundo irracional todo es posible. Por eso la batalla contra este estado de cosas no ha hecho más que empezar.La lucha contra el pensamiento irracional es bastante más que una estética.

Mauricio José Schwarz en su estupendo blog escéptico nos ilustra esta afirmación con un caso sorprendente y escalofriante. Lo teneis aquí.

Malglam me da la pista de otra historia mucho más cercana, por si alguien pensaba que estas cosas no ocurren por nuestras tierras.La teneis aquí

Todo esto debiera servir para que aquellos escépticos que ventilan de un plumazo cuestiones de creencias con frases como “creen porque es más fácil para ellos” se lo pensaran dos veces. Reivindicamos el pensamiento crítico entre otras cosas porque libera a las personas de aberraciones como las que aquí se enlazan. Pero por favor, sin caer en simplismos que ofenden a la mente: un creyente no es un idiota (a veces sí, idiota total, lo sé). El pensamiento crítico no es fácil; exige un esfuerzo continuo, y si por algo no pasa es por la recitación de mantras de buen tono en la “comunidad escéptica”, si es que tal cosa existe.

Mundos extraños

Estamos en condiciones para apreciar las diferencias entre la topología usual y otras topologías más, digamos, exóticas. Sabemos que un mismo conjunto, un plano por ejemplo, con dos topologías diferentes forma dos espacios topológicos diferentes en los que ocurrirán cosas deferentes.

Vamos a definir una topología diferente a la usual en el plano. Recordamos que la usual es la que tiene los abiertos formados por uniones arbitrarias de bolas abiertas. Los entornos de un punto los podemos visualizar perfectamente como discos centrados en dichos puntos, tan grandes o pequeños como queramos. En realidad los posibles entornos de un punto serán muchos más que los anteriores: todos los subconjuntos del plano que contengan a un abierto de la topología, y por supuesto que contenga al punto considerado. No voy a escribir la frase anterior cada ver que hable de entornos de un punto, de forma que considero que a partir de aquí se entiende.

Tomemos la topología usual en la recta. La tienen en la parte superior de la figura. Dos puntos, p y q con dos entornos suyos: dos intervalos abiertos que contienen a los puntos respectivamente. El plano es el producto cartesiano de R por sí mismo. Para cada abierto A de la topología de la recta, consideraremos el subconjunto del plano siguiente:

B_A={(x,y)€ R² tal que x € A ; y € R}

Esto es: cada abierto de R define uno y solo un abierto en R², que son las bandas infinitas hacia arriba y hacia abajo de la parte inferior de la figura; cuyos valores en el eje X corresponden a las respectivos de los entornos de R de los cuales derivan. Es fácil demostrar que se trata efectivamente de una topología, pues sus propiedades dimanan directamente de las de la topología usual de R.

Este topología de R² es tan fina como la usual de R, pero en R² hay muchos más puntos que discriminar. No debemos extrañarnos que pasen cosas extrañas.

Para empezar; los puntos p₁ y p₁ tienen la misma componente x, luego todo entorno de uno de ellos engloba al otro. Olvidémonos de que los entornos eran disquitos que dibujábamos alrededor de los puntos: ahora un entorno es una banda vertical infinita de grosor cualquiera, o una suma arbitraria de bandas de este estilo!!!

La topología dada es demasiado grosera para separar todos los puntos del espacio en cuestión (plano).

Definimos un espacio topológico como espacio de Haussdorf o espacios de tipo T₂ cuando dados dos puntos diferentes del mismo, es posible encontrar un entorno de cada uno de ellos de forma que ambos tengan intersección nula ( que no se toquen, vaya). En nuestro ejemplo esto sólo es posible si los puntos considerados tienen valor de x diferente. Si la tienen igual, todo entorno de uno de ello cortará a todo entorno del otro. No es un espacio de Haussdorf.

Qué pasa en dicho espacio con un círculo como el de la figura?



Pues que tiene interior vacío!

Efectivamente, definíamos el interior como el conjunto de puntos para los cuales existía algún entorno totalmente incluido en el conjunto. Esto no es posible para el círculo en este espacio; todos los puntos “aparentemente” interiores en realidad son puntos de la frontera , pues cualquier entorno de los mismos tiene tanto puntos del círculo como puntos del complementario del círculo.

Una vez más, la intuición nos falla. Y es que en espacios como este las cosas son muy diferentes de las habituales...

Nuestra idea intuitiva del continuum de números relaes en la recta, o de puntos del plano o espacio tridimensional obedece a un espacio topológico T₂ . De ahí que las cosas que ocurren en espacios que no son de Haussdorf, nos desconciertan a veces. Se trata desde nuestra perspectiva de mundos ciertamente extraños.

Un inciso respecto al rigor

Hace algún tiempo hablábamos de la aplicación del fracaso educativo en matemáticas, en este post.

A raíz de su publicación un lector; el Sr. Carlos Cabrera me escribió manifestando su sorpresa, o incluso su malestar por lo que entendía era un ataque al rigor bourbakiano. Sin embargo su escrito era absolutamente correcto, incluso cordial. Me brindé a publicarle una contraargumentación, cosa que hago ahora.

El Sr. Cabrera habla de intereses ocultos, editoriales y de políticas educativas, y me da la impresión de que sabe de lo que habla. Sin embargo yo, que no tengo intereses de clase alguna, ni me paga nadie, expresaba en el post que me parece preferible explicar a los niños las fracciones de forma que lo entiendan intuitivamente, y no como el conjunto cociente de los pares (a,b) de números enteros con la relación de equivalencia (a,b)R (a',b')si y solo si ab'=a'b. Explicaba que el rigor es imprescindible en la matemática, pero que dicha idea debía ser una idea de llegada, no de partida. Más que nada porque no todos los niños que estudian matemáticas van a ser matemáticos. Sin embargo hay otras sensibilidades, y la del Sr. Cabrera la teneis aquí expuesta tal y como él me la ha hecho llegar.

Creo entender que el malentendido parte de un párrafo de mi post; concretamente éste:

Ninguna otra disciplina de conocimiento humano se distingue por el rigor de forma tan absoluta como la matemática. Esto debe entenderse en sentido no excluyente por supuesto: nadie duda de que todas las disciplinas científicas deben estar dominadas por el rigor. Sin embargo, esta es, por así decirlo, la “marca de la casa” de la matemática.

No siempre ha sido así. El mismo Euler daba saltos en el vacío más de cuatro veces en sus demostraciones, (cayendo siempre de pie, como un gato, por cierto). En gran parte fue Nicolás Bourbaki el culpable. Este matemático ficticio de nombre extraño y obra enorme concibió la idea de dotar a la matemática toda de un rigor absoluto. En sus publicaciones, aboga por ello de forma vehemente. Tal rigor, sin embargo se convirtió en rigor mortis cuando fue trasladado a la educación de la matemática.

Y digo malentendido porque mi intención era expresar que ¡bendito culpable Bourbaki!, que dotó a la matemática del rigor actual. Otra cosa es el traslado vacuo de un rigorismo mal entendido a la educación secundaria con el resultado que todos conocemos. Supongo que este giro idiomático habrá confundido, debido sin duda a mi torpeza, a más de un lector.

A partir de esta frase el resto es del Sr. Cabrera:


Distinguido Tío Petros:

1) Ud. dice

"...sin embargo muchos piensan que parte del desastre educativo en matemáticas en las últimas décadas del siglo XX ha sido debido a la absurda idea de aplicar el rigor bourbakiano a la enseñanza secundaria."

pero no argumenta explícitamente en contra o a favor de lo que "muchos dicen".

Las citas a Valdéz, Tom, y Heaviside, invitan a suponer que, efectivamente, por la aplicación del rigor bourbakiano" a la enseñanza (¿secundaria? ) se ha dado el DESASTRE educativo de los últimos tiempos.

2) Permítame manifestar lo siguiente:

a) Como en una guerra, hay una “oposición” a la espera de cualquier error que cometa el “sector aliado” para así llevar “agua para su molino”.

b) El “bando enemigo” dispone de mucho dinero que le sirve para, por ejemplo, negociar la producción de textos y software de matemática o acerca de la matemática, a todo nivel (primario, secundario o superior).
Le aseguro que incluso Ministros de Educación han caído por enfrentamientos subsidiados por grupos de gran poder económico y editorial.

c) En una oportunidad, en un seminario, debí interrumpir a dos matemáticos. Algunos participantes les pidieron que opinaran respecto al rigor matemático en los niveles escolares (primaria, secundaria, superior).
Amablemente, los ponentes manifestaron su desacuerdo total con el uso exagerado de rigor en los diversos niveles escolares pero no se daban cuenta que el “rigor formal” en el que ellos pensaban no era el mismo que el que pensaban los participantes. Por supuesto, mencionaron varias veces, a Tom y muchos más, que condenaban la “rigorización bourbakiana”.
Pedí a los ponentes que aclararan qué entendían por: “rigor”, “formal”, etc. y les pregunté si conocían lo que “el auditorio” opinaba de dichos conceptos.

A mi turno, expliqué que la “rigorización bourbakiana”, nunca se ha aplicado en nivel educativo alguno. Para hacerlo o intentarlo siquiera, se habría requerido de un gran número de docentes familiarizados con Bourbaki y, como bien sabemos, ese gran número de docentes no existe ni ha existido jamás.

d) Las aclaraciones se dieron pero, una vez más, la duda se había incrementado…

e) Varias multinacionales buscan que se cree la necesidad de nuevo material educativo que, por supuesto, ya tienen disponible. En la mayor parte de los “nuevos” textos escolares se advierte que “recetarios” y “antiformalismo” están vigentes, y todo asomo de rigor es “rigor mortis”.

f) A nivel de “política educativa” y sobre todo en lo que a educación matemática se refiere, debemos cuidar mucho de no ayudar (involuntariamente, por supuesto) a quienes tienen intereses muy distantes a la promoción de la enseñanza de la matemática y de la ciencia, en general. Estaríamos dando argumentos que la “oposición” convierte en armas que usa cuantas veces puede, aplicando la “falacia por autoridad”.

Muy atentamente:
Carlos H. Cabrera Gen"

Clasificando puntos (2)

Decíamos en el último post que necesitamos una clasificación más fina de los puntos de un espacio topológico respecto a cualquier subconjunto suyo. Y lo decíamos porque los puntos aislados eran evidentemente de una naturaleza distinta a los otros puntos de la frontera del subconjunto. Repetimos la imagen del post anterior para recordar el ejemplo en el que veíamos el asunto.



Debemos resaltar el hecho de que tanto los puntos del interior como los de la frontera (aislados incluido) tienen la propiedad de que cualquier entorno de los mismos contiene algún punto del subconjunto. Llamaremos adherencia o clausura de B, adh(B) a dicho puntos. Habitualmente se denota con el nombre del subconjunto y una barra encima, cosa que no sé cómo hacer, por lo que dejaremos la nomenclatura adh(B).

A partir de esta definición, está claro que

adh (B)= int (B) U fr (B)

que

X = adh (B) U ext (B) , para todo subconjunto B de X.

Y también que se dan las siguientes inclusiones:

Int (B) C B C adh (B)

De hecho, es interesante comprender que el interior es el mayor abierto que contiene a B, y la clausura o adherencia es el menor cerrado que lo contiene. Esto nos da otra caracterización de los abiertos y los cerrados:

Un abierto es un subconjunto que coincide con su interior, y un cerrado lo es si coincide con su clausura.

Pero nosotros seguimos sin poder discriminar los puntos aislados, porque la adherencia incluye a la frontera, y los aislados pertenecen a ésta última. La solución es obvia: los puntos aislados son aquellos para los cuales existe un entorno cuya intersección con el subconjunto se reduce al punto en cuestión: definamos algo similar a la adherencia, pero sin tener en cuenta el propio punto.

Decimos que x € X es un punto de acumulación de un subconjunto B en un espacio topológico (X,Y) si todo entorno del mismo corta a B en algún punto diferente del propio x

Ahora está claro que un punto aislado no es de acumulación.

A pesar de lo que pueda parecer a primera vista, un punto de acumulación de B no tiene porqué pertenecer a B. Lo vemos con el ejemplo siguiente:



Sea B={1/n² ; n € N} como subconjunto de R con la topología usual. El cero no pertenece a B, y sin embargo cualquier entorno del cero tiene puntos de B, como se puede comprobar fácilmente tomando un entorno (-e,+e) y viendo que siempre existirá un m € N tal que 1/n es menor que e, para todo n mayor que m. Por lo tanto, son infinitos los puntos de B incluidos en cualquier entorno, por pequeño que sea de B.

Al conjunto de todos los puntos de acumulación de B lo llamaremos derivado de B, y lo denotamos B’ .

Es fácil comprobar que:

Adh (B) = B U B’

A partir de ahora, salvo error por mi parte, podremos hacer muchas cosas que antes no podíamos. Espero generar post menos aburridos desde ahora, pero la verdad es que necesitaba definir conceptos...

Clasificando puntos

Ha llegado el momento de ver la aplicación práctica de todo lo que hemos visto hasta ahora. Consideremos la topología usual en el plano. Los abiertos de la misma son uniones arbitrarias de bolas abiertas , que no son sino el conjunto de los puntos que están a una distancia menor que un valor dado de otro punto que es su centro. Cuando una topología es de este tipo, con una base formada a partir de la definición de una distancia es que previamente estamos en un espacio métrico, y la topología se denomina topología métrica asociada a la distancia. Si, como en este caso, la distancia definida es la habitual, euclídea, podemos hablar de topología euclídea .

Pues bien, vamos a ver que la mera consideración de un subconjunto de un espacio topológico establece una clasificación de los puntos del espacio, clasificación más rica que la que teníamos hasta ahora, y que se resumía en hablar de qué puntos pertenecían o no a qué conjunto. El conjunto a considerar es el de la figura: Un círculo A y un punto exterior al mismo, {x}. Consideraremos el objeto B= A U {x} resultante de la unión de ambos.

Sea B el subconjunto de un conjunto X dotado de una topología T ( Dicho de otra forma: sea B un subconjunto en un espacio topológico (X,T).

Definimos:

Punto interior de B es todo punto p para el cual existe un abierto que contenga a p y esté totalmente contenido en B. Al conjunto de todos los puntos interiores de B lo llamaremos interior de B en un alarde de imaginación, y lo denotaremos así: int(B).

Punto exterior de B es todo punto r para el cual existe un abierto que contenga a p y esté totalmente contenido en el complementario de B. Al conjunto de todos los puntos exteriores de B lo llamaremos exterior de B , y lo denotaremos así: ext(B).

Punto frontera es todo punto q para el cual, cualquier entorno del mismo corta (tiene intersección no vacía) tanto a B como a su complementario. Al conjunto de todos los puntos frontera de B lo llamaremos frontera de B , y lo denotaremos así: fr(B).

Cualquier punto del espacio completo es de una de estas tres categorías, pues las tres forman un conjunto exhaustivo de posibilidades, luego el espacio completo se divide en tres partes al considerar cualquier subconjunto:

X= int(B) U ext (B) U fr (B), para todo subconjunto B de X.

Hay que hacer notar que un punto interior pertenece al subconjunto, y un punto exterior pertenece a su complementario. Sin embargo, un punto frontera puede pertenecer o no al mismo.

Parecería que esta clasificación es satisfactoria completamente, pero la cosa dista mucho de ser así. El conjunto B considerado tiene por definición un punto x fuera del círculo A, y por lo tanto x € B. Sin embargo, no hay entorno alguno de x incluido en B, ni incluido en su complementario pues el propio x pertenece a B. Así pues, ni pertenece al interior ni al exterior de B. Por lo tanto pertenece a la frontera de B.

Sin embargo, algo nos dice que su estatus es diferente a la de los puntos de la circunferencia que delimita el círculo A.

Se trata de un punto aislado, que nos muestra que debemos ser más finos en nuestra clasificación. En el próximo post hablaremos de los trascendentales conceptos de adherencia y acumulación, y tendremos una visión más rica del asunto.

Hasta entonces, si algún lector se encuentra con esto por vez primera y lo comprende; un ejercicio interesante es encontrar el interior, exterior y frontera de subconjuntos algo más diabólicos que el representado. Si se animan, piensen en hacerlo con el subconjunto Q de los racionales dentro de la recta R de los reales, también con la topología euclídea usual. Es un ejercicio interesante y no trivial.

Hasta el próximo post.

Al principio, estaba tan sólo la proximidad

Como no tenemos prisa, lo mejor es que empecemos por el principio. Queremos aclarar de una forma suficientemente rigurosa qué es la Topología. Debiéramos decir que la propia palabra Topología tiene dos acepciones totalmente diferentes. Por un lado es una rama de la matemática, como ustedes saben. Es aquella rama de la matemática de la que estamos hablando. Cuando nos refiramos a esta acepción, intentaremos escribirla con mayúscula.

Pero también es un concepto matemático muy concreto: se trata de un concepto que habita en el interior del conjunto de partes de un conjunto dado (o mejor aún, en el conjunto de partes del conjunto de partes de un conjunto dado). Cuando hablemos de este concepto concreto, lo escribiremos en minúscula.

En todo caso, no debemos perder de vista que vamos a establecer las bases del estudio de las propiedades más escondidas de los cuerpos geométricos, aquellas que permanecen invariables ante torturas continuas. Parece claro que si podemos “torturar” un objeto geométrico estirándolo, encogiéndolo, doblando y plegando; poca importancia tendrá el concepto de distancia.

Necesitamos poder hablar de proximidad sin apelar al concepto de distancia, y para ello definiremos el importante concepto de entorno , bastante más abstracto que el de distancia.

Es más, el nivel de abstracción que exigiremos será doblemente alto, pues entenderemos por cuerpo geométrico un conjunto cualquiera. Los elementos de dicho conjunto los llamaremos puntos. Como un triángulo, por ejemplo, no es sino un subconjunto de puntos de un plano, extenderemos nuestro campo de aplicación a conjuntos generales, tengan o no visualización geométrica, aunque nos apoyaremos en figuras de contenido geométrico para visualizar los conceptos.

Nuestras herramientas de partida son las de la teoría de conjuntos. No poseemos otra cosa que las nociones de conjunto, subconjunto, elemento, pertenencia, inclusión, unión, intersección y complementario en conjuntos.

Estarán de acuerdo conmigo en que poca “geometría” podemos hacer con dichos conceptos. Dado un conjunto, por ejemplo A={a,c,b,d,e}, podemos decir si el elemento f pertenece o no al mismo, si el conjunto B={a,b,e} es subconjunto suyo...y poco más. Preguntas como ¿Cuál es el interior de A? O ¿Cuál es la frontera de B? carecen de sentido por ahora. Si habláramos de un triángulo B dentro de un plano A, parece que dichas preguntas tendrían una respuesta más clara, pero esto tan sólo es así porque poseemos nociones intuitivas previas que en el caso del triángulo funcionan y en el caso del conjunto general no.

El concepto de entorno es un concepto topológico que hace referencia a unos subconjuntos del conjunto X "marcados", llamados genéricamente abiertos. Dado que queremos empezar desde el principio y estamos a nivel "pre-topológico", definiremos lo que en los próximos post llamaremos entornos fundamentales . La nomenclatura es mía, y la palabra fundamental no hace referencia a nada en concreto. Es una manera de diferenciar este concepto nacido directamente de la teoría de conjuntos, del concepto habitual de entorno, que manejaremos más adelante. Luego se verá la identidad de ambos conceptos, pero de esto no hay que preocuparse ahora.

Definiremos a partir de la Teoría de conjuntos el concepto de entorno de un punto en un conjunto X. Este concepto será clave en todo lo que sigue. Supone la aproximación desde la teoría de conjuntos a la idea intuitiva de vecindad de un punto dado. Todo punto no es sino un elemento del conjunto ambiente X en el que estamos situados, y todo entorno es un subconjunto del mismo. Dado que estos entornos van a ser abstracciones que sustituyan la noción intuitiva de vecindad, deberán cumplir cuatro propiedades que consideramos intuitivas de algo que merezca llamarse entorno de un punto:



1.- Un punto pertenece a todos sus entornos
2.- Dados dos entornos de un punto, la intersección de ambos también es un entorno del punto dado.
3.- Si un conjunto CONTIENE a un entorno de un punto, entonces ES un entorno de dicho punto
4.- Dado un entorno U de un punto, existe otro entorno V tal que U es entorno de todos los puntos de V .

Las cuatro están ilustradas en la figura siguiente, y salvo la cuarta, que es un poco más enrevesada, son muy fáciles de entender y de aceptar.

Pues bien, si dado un conjunto general X , tenemos para cada punto x de X una familia N_x de subconjuntos de x que verifiquen las cuatro propiedades de los entornos, entonces tenemos una herramienta de poder incalculable para hacer cosas que desde la mera teoría de conjuntos nos estaba vedado. Diremos que el conjunto X dotado del sistema de entornos mencionado es un Espacio topológico .

Estos entornos definidos en torno (permítanme la gracia) a los puntos definirán lo que se denomina una topología (con minúscula) en X. De ello hablaremos en el próximo post. Estamos a punto de saber qué es un conjunto abierto, qué es uno cerrado, y de comprender que un conjunto no abierto no tiene porqué ser cerrado, que uno no cerrado puede ser no abierto, que uno abierto también puede ser cerrado y que otro puede no ser ni una cosa ni otra.

No se alarmen: de alguna forma había que llamarlos, lo mismo podría haberse impuesto la nomenclatura de conjuntos blancos y negros, o feos y guapos. Lo de menos es el nombre. Lo vemos enseguida, como siempre si ustedes quieren.

Marea roja

Varias veces he dicho que además del pensamiento crítico y de la matemática, la belleza tiene su cabida en este blog. Hagamos un alto, aunque sea para llamar la atención sobre una de las maravillas que está ocurriendo ahora mismo muy cerca de todos nosotros.

Ocurre todos los años, pero no por eso deja de ser maravilloso.



Comienza por las puntas allá por septiembre, las hojas más altas se vuelven rojas, y el resto del árbol parece no darse cuenta.

Sin embargo, poco a poco es como si una pintura bermellón se deslizara hacia abajo,en octubre ha llegado a la mitad del árbol



al llegar mediados de noviembre ha invadido todo el árbol.

Dentro de quince días estará a reventar, lleno de sangre como anunciando la inminencia de una explosión de vida… y sin embargo seguidamente las hojas caerán una a una, se retirará la sabia y se dormirá hasta la primavera.