Fotografiando el aura (y 2)

Terminamos el ciclo de las cámara Kirlian con otra tanda de fotos para que puedan apreciar que el efecto es prácticamente idéntico a esas fotos que supuestamente por procedimientos costosísimos y en laboratorios complejos son obtenidas del aura, sea esto lo que fuere.

Repito que el equipo no llegó a costar 2.000 pesetas de las de 1.980.

Todas las fotos aquí expuestas fueron obtenidas por contacto del objeto a fotografiar sobre el negativo sin revelar, siempre en blanco y negro, ya que los revelados en color estaban totalmente fuera de nuestras posibilidades. Cualquier color es un añadido mío con Photoshop.











Con ello quedaba demostrado que cualquier efecto podía ser reproducido con un costo mínimo y con los procedimientos no digitales de aquel momento, incluída la percepción de aura en partes de hojas que faltan. La intensidad de las "llamas" depende únicamente del número de chispazos que le dábamos al objeto sobre el negativo.

Fué divertido mientras duró. Luego, como en el caso de los OVNIs tras el proyecto Iván, me quedó muy poco interés por la supuesta realidad de los "fenómenos paranormales".

Lo único que persistía en mi caso era el interés por la dimensión sociológica de los fenómenos.

Fotografiando el aura

El domingo pasado estaba yo trasteando en el desván cuando cayó en mis manos una carpeta azul con un letrero que decía: C.E.P. PARAPSICOLOGIA

Si me leyeron los post sobre el proyecto iván, sabrán que como muchos adolescentes de finales de la década de los setenta y principios de los ochenta, yo también tenía mi propio grupo de "investigación paranormal". Las buenas compañías hicieron que muy pronto deriváramos hacia un sano escepticismo que ya nunca nos ha abandonado.

El caso es que entre nuestras "investigaciones" figuraba la fotografía Kirlian, ya saben, el aura de las personas, animales y cosas que han estado en contacto con seres vivos.

La foto que les presento estaba (en negativo) dentro de la carpeta entre muchas otras, recuerdos de mi época juvenil. Fué realizada hacia 1.980 y presenta el aura de una hoja recién cortada, a la que se le ha cortado a su vez la punta. Pueden ver que la punta tiene restos del aura completa, aunque más desvahída.

A poco que hayan visitado este blog sabrán que estas fantasías no tienen cabida en él.

La parte de verdad es que , efectivamente la foto es inédita y fué conseguida por nosotros en esa época, pero aura, nada de nada.

Se trata de un experimento en el que intentamos conseguir la calidad (admitirán que lo conseguimos plenamente) de las fotos que las revistas de misterio publicaban como reales fotografías del aura con una cámara carísima y especialísima que un matrimonio de rusos (los Kirlian) habían conseguido.

Nuestra "cámara Kirlian" consistía en una bobina de coche, un interruptor y un enchufe, todo ello integrado en una caja de madela con una pletina y una tapa acolchada. Unas 2.000 pesetas de las de entonces.

Colocábamos un negativo sin revelar en la pletina, con el cuarto a oscuras, dábamos unos chispazos sobre el mismo con la tapa bajada para que el objeto hiciera buen contacto en el negativo... y ya está: a revelar en nuestro laboratorio de fotografía. Para el efecto de la punta que falta, simplemente hacíamos varios chispazos con la hoja entera, y luego sin moverla le quitábamos la punta para darle unos cuantos más.

Todo el proceso en blanco y negro: el efecto de color ha sido añadido con fotoshop por mí esta misma mañana para presentarles la foto.

A que es chula?

Eso no demuestra nada, me podrán decir. Un fraude no demuestra que las otras fotos también lo sean.

Pues no estoy de acuerdo. Demuestra una cosa: demuestra que las demás pretendidas fotos reales no demuestran nada, y eso es importante porque son ellas las que tienen que demostrar que lo que afirman es cierto.

Por cierto, leí alguna vez que los físicos decían que lo que se impresiona en el negativo es el llamado efecto corona. Para mi son simples chispazos. Hay algún físico por ahí que nos explique si es lo mismo una cosa que otra?

Feliz fin de semana.

Aquí tienen algunas otras fotos del mismo tipo, todas inéditas y olvidadas en mi desván hasta hoy:

El Teorema de Pick (y 3)

Para intentar encontrar la fórmula de Pick correspondiente a polígonos con agujeros hay que tener presente que un agujero en un polígono de Pick es, individualmente considerado, otro polígono de Pick (esta vez sin agujeros!!!)

Llamemos P al polígono original, con I_P puntos internos y B_P puntos frontera. Llamaremos H a un hueco simple en el mismo, siendo I_H el número de puntos que caen en el hueco; y B_H el número de puntos de la frontera del hueco. Llamemos P_H al polígono P con el hueco H.

Tanto P como H cumplen el teorema de Pick tal y como lo hemos visto en los dos posts anteriores, para las areas respectivas del polígono completo y del hueco podemos escribir:

A_P = I_P + B_P/2 – 1 (ecuación 1)

A_H = I_H + B_H/2 – 1 (ecuación 2)

En cambio, para el área del polígono con el hueco tan sólo sabemos que:

A_PH = A_P - A_H (ecuación 3)

Asimismo, sabemos que la cantidad de puntos internos de P se ha visto decrementada en tantas unidades como puntos tiene el hueco, ya sean internos o frontera:

I_PH = I_P - I_H - B_H (ecuación 4)

Y la cantidad de puntos frontera del polígono se va incrementada al ser agujereado con los puntos frontera del propio agujero:

B_PH = B_P + B_H (ecuación 5)

Ahora no tenemos más que desarrollar la ecuación 3 :

A_PH = A_P - A_H =

[I_P + B_P/2 – 1] – [I_H + B_H/2 – 1] =

[I_P - I_H - B_H ] + [B_P/2 + B_H/2] =

I_PH + B_PH/2

Vemos que este resultado es parecido al que conocíamos para el caso de ausencia de agujero, salvo por el hecho de que ahora no hace falta restar una unidad. Dicho de otra manera: el área del polígono agujereado es una unidad más grande de lo que cabría esperar de la extrapolación de la fórmula de Pick para polígonos sin agujeros. ¿Es que no importa el tamaño o la forma del hueco?

Claro que importa, pero esa importancia queda perfectamente recogida en el cómputo de los nuevos puntos interiores y frontera del polígono, una vez que ha sido agujereado.

Si ahora partiéramos de un polígono de un agujero y añadiéramos otro más, veríamos incrementarse en otra unidad el resultado. El cçálculo no es sino una repetición de lo hecho más arriba, de manera que no lo haremos. Así pues tan sólo importa el número de agujeros, pudiendo reformular el teorema de la siguiente forma:

Dado un polígono de Pick con n agujeros, el área del mismo viene dada por la expresión:

A = I + B/2 - X

Donde X es la característica de Euler del polígono. Esto es: X=1-n, siendo n el número de agujeros.

Con esto queda ligado el Teorema de Pick a uno de los capítulos más bellos de la topología, y con esto terminamos el ciclo. Espero que les haya gustado.

El teorema de Pick (2)

Para que no haya confusión es importante explicar que cuando en este post nos refiramos a “los puntos de la frontera o del interior” de un polígono cualquiera nos estaremos refiriendo exclusivamente a los puntos de la malla de Pick de dichos polígonos.

Vamos a demostrar que la función V(P) = I+ B/2 – 1 definida sobre polígonos de Pick explicada en el post anterior es una función aditiva. Esto es: si el polígono P resulta de la unión de los polígonos P₁ y P₂, entonces :

V(P)=v(P₁)+v(P₂)

Sean pues dos polígonos de Pick P₁ y P₂, con I₁ e I₂ puntos de la cuadrícula en el interior de los mismos; y con B₁ y B₂ puntos de la cuadrícula en su frontera respectivamente. Llamaremos m al número de puntos del polígonos resultante P que provienen de la coincidencia de dos puntos de la frontera de ambos polígonos iniciales. Está claro que dichos puntos serán puntos internos de P salvo los dos extremos, que seguirán perteneciendo a la frontera.

Así pues, podemos pasar a comprobar que V(P) es precisamente la suma de V(P₁) y V(P₂).

Tenemos:

V(P₁) = I₁ + B₁/2 – 1

V(P₂) = I₂ + B₂/2 – 1

V(P) = I + B/2 – 1.

El número de puntos internos de P será la suma de los de los polígonos iniciales P₁ y P₂ más la cantidad de puntos frontera de éstos que se han convertido en interiores. Dicha cantidad es de (m-2), pues los dos puntos extremos de los m que coinciden siguen siendo frontera en el polígono resultante, convirtiéndose en interiores los demás. Así pues tenemos que:

I = I₁ + I₂ + m – 2.

Respecto a los puntos de la frontera de P vemos que provienen de los puntos frontera originales, excepto precisamente los m compartidos, que pasan a ser internos todos ellos menos los dos extremos. Así pues:

B= B₁ + B₂ - 2m + 2

Ahora estamos en condiciones de afrontar la prueba de aditividad:

V(P) = I + B/2 – 1 = (I₁ + I₂ + m – 2) + (B₁ + B₂ - 2m + 2)/2 – 1 =

= (I₁ + B₁/2 – 1 ) + (I₂ + B₂/2 – 1) = V(P₁) +

V(P₂), que es lo que queríamos demostrar.

Queda demostrada la aditividad de la medida propuesta. Esto no sólo es importante por ser condición necesaria para que dicha medida sea efectivamente un área, sino porque además nos habilitará para demostrar que para figuras sencillas como triángulos efectivamente ES un área. Dado que cualquier polígono de Pick puede triangularse, aplicando la aditividad quedará demostrado que la fórmula es válida para todos ellos.

La doble arma de poder demostrar lo que queremos para figuras muy sencillas de forma directa y aplicar luego aditividad para extender la veracidad de la afirmación a figuras más complicadas nos habilitará para comprender una interpretación nada evidente de la fórmula de Pick: los ángulos de visión del polígono dado desde cada uno de los puntos de la malla.

Efectivamente, vean la siguiente ilustración:



Vamos a efectuar el conteo de los ángulos de visión del polígono desde cada uno de los puntos del mismo. La unidad del conteo será la circunferencia completa. Comprenderán que un punto interior como el i de la figura contabiliza como una unidad: su "angulo de visión del polígono" es la circunferencia entera por pertenecer al interior del polígono. Un punto como b , contabilizará como media unidad, pues pertenece a la frontera sin ser un vértice, y tiene un ángulo de visión del polígono de media circunferencia. Si el polígono es un triángulo, los ángulos de visión de los vértices son precisamente los propios ángulos de los vértices, que suman siempre media circunferencia (180º), lo que hace media unidad entre los tres. O lo que es lo mismo: podemos contabilizar dichos vértices como cualquier punto de la frontera y luego restar una unidad al resultado, obteniendo la fórmula original de Pick: I+B/2 -1.

Dado que lo anterior es válido para cualquier triángulo y daddo que cualquier polígono de Pick se puede triangular, basta ver la aditividad de esta "nueva forma de ver las cosas", pero esto ahora es casi trivial: si tenemos dos polígonos que se unen, sus puntos respectivos siguen contabilizando como en los originales salvo cuando pertenecen a la frontera. Si dicha parte de la frontera no es de la zona de unión, nada ocurre. Si lo es pueden pasar dos cosas: que el punto pase a ser interior o que continúe siendo frontera del polígono suma.

Si sucede lo primero, dos puntos frontera que tenían un ángulo de visión de media circunferencia cada uno pasan a ser un punto interior con un ángulo de una circunferencia completa y se conserva la aditividad. Si sucede lo segundo, dos vértices se unen en un punto que sigue siendo un vértice, pero en este caso también se suman los ángulos de visibilidad, luego también se conserva la aditividad.

En suma: el sumatorio de los ángulos de visibilidad de todos los puntos de la malla de Pick de un polígono dado nos da el área de dicho polígono, medidos dichos ángulos en circunferencias completas.

¿No es curioso?

En el próximo post veremos que el teorema de Pick es más potente de lo que parece: todo lo aquí dicho valía para polígonos de Pick convexos o no convexos, pero sin agujeros. Una pequeña ampliación en el mismo lo habilita para todo tipo de polígonos de Pick, incluso con agujeros.

El Teorema de Pick

En matemáticas nada es tan inocente como parece, y muchas veces, tras un tema aparentemente anodino se esconden conceptos sutiles y bellos. Uno de los propósitos de este blog es precisamente encontrarlos.

A primera vista parece que una cuadrícula pocas sorpresas puede ofrecernos. Y la realidad es bien distinta. Vamos a echar un vistazo a un teorema poco conocido que se llama el Teorema de Pick , relativo a polígonos inscritos en una malla cuadriculada. Comenzaremos delimitando al ámbito de aplicación del teorema.

Diremos, dada una malla cuadriculada que tesela un plano, que un polígono P es un polígono de Pick relativo a dicha malla cuando todos los vértices del mismo son puntos de la malla.

El teorema de Pick afirma que:

Dado un polígono de Pick, su área vale A= I+B/2-1 , donde I es el número de puntos de la malla internos al polígono y B es el número de puntos de la malla pertenecientes a la frontera del mismo .

En la figura que encabeza este post, el área del polígono valdrá A=31 + 15/2-1= 37’5

No me negarán que es sorprendente que pueda hallarse la superficie de un polígono, convexo o no, sencillo o complicado, de una manera tan simple: contando puntos.

Detrás de este simple fórmula hay bastante más de lo que parece. Empezaremos a desentrañarlos desde el propio concepto de área, que no es sino la versión bidimensional de un concepto más general: el de medida.

Una medida es una función de conjunto. Esto es radicalmente diferente a una función numérica habitual, en la que a cada valor de la variable independiente le corresponde un valor de la función. Una función de conjunto está definida en el conjunto de partes P(X) de un conjunto X , de forma que a ciertos subconjuntos Y de X les corresponde ciertos valores numéricos. Por complejos motivos que ahora no vamos a mencionar, resulta que en el caso más general no es posible aplicar una medida a todos los subconjuntos de un conjunto X dado, sino tan sólo a algunos de ellos. Todos estos forman una estructura denominada sigma-álgebra. Dado un conjunto X y una sigma-álgebra > de X , una medida sobre X es una función de conjunto m que satisface:

1.- la medida del conjunto vacío es cero.
2.- la medida de una unión finita o al menos numerable de subconjuntos disjuntos de X es igual a la suma de las medidas de los subconjuntos.

La propiedad 1 es evidente: la nada debe medir cero para cualquier medida que merezca tal nombre. La propiedad 2 se denomina aditividad numerable y es bien fácil de entender: ni se gana ni se pierde área juntando o separando trozos.

Pues bien, dado un polígono de Pick P, es fácil comprobar que v(P)= = I+B/2-1 es efectivamente una medida. La primera propiedad es trivial, porque el conjunto vacío NO es un polígono de Pick, luego no tiene aplicación la fórmula, y se le asigna por decreto el cero a tal conjunto.

La aditividad numerable es algo más laboriosa, pero no mucho. De ello nos encargaremos en el próximo post.

Cuando esto esté realizado, habremos demostrado que la fórmula del teorema de Pick es efectivamente una medida, y faltará ver que dicha medida se corresponde con el concepto habitual de área que conocemos todos.

Mientras tanto, que pasen un feliz fin de semana.

Mil interruptores y 999 fusilados.

Retomamos el tema matemático en el blog con dos acertijos para hacer boca.

Hemos hablado bastante de combinatoria, definiéndola como el arte o la técnica de contar. Así dicho parece una sosada, pero resulta que contar objetos puede ser verdaderamente difícil. Como siempre, el conjunto N nos sorprende por su hondura y dificultad. El ser humano seguramente está capacitado para comprender todos los secretos físicos del universo, pero no lo está para responder a todas las preguntas que N nos plantea.

Así dicho puede parecer una exageración pero no lo es. Es fácil comprender que el conjunto de preguntas independientes relativas a N es infinito (numerable pero infinito), de manera que simplemente no tendremos tiempo para responderlas a todas.

Contar viene a ser equivalente a averiguar el cardinal de un subconjunto de N. Cuando es difícil hacerlo directamente y no conocemos otro atajo mejor, suele ser una buena idea preguntarse por la forma que deben tener los elementos de este subconjunto a medir.

Algo así ocurre con estos dos problemas. El primero es de conteo, y el segundo nos pide el puesto de un elemento distinguido de un conjunto ordenado:

PROBLEMA UNO

Tenemos mil interruptores numerados del 1 al 1000, todos ellos en posición de apagado. Mil operarios, también numerados, pasar por ellos uno tras otro, de manera que el operario n sólo actúa sobre los interruptores múltiplos de n.
Actuar sobre un interruptor significa encenderlo si estaba apagado o apagarlo si estaba encendido.¿Cuántos interruptores quedan encendidos al final?

PROBLEMA DOS

Estamos en un grupo de mil personas que van a ser fusiladas por un procedimiento curioso: puestas en fila, el ejecutor volará la tapa de los sesos de uno de cada dos reos, empezando por el primero. Reagrupados los supervivientes y manteniendo el orden, volverá a ejecutar a uno de cada dos empezando por el primero, y así sucesivamente hasta que sólo quede uno. Qué puesto de la fila elegiria el lector?

Como siempre, lo de menos es la respuesta. Lo que importa es el método.

El proyecto Iván ( y 3)

El resto de la historia es fácil de imaginar. Se trataba de crear el caldo de cultivo social suficiente y necesario para propiciar que la gente viera OVNIs. Esto hoy en día sería realmente difícil, pero a finales de los años setenta no lo era en absoluto, como demostramos.

La comarca en la que trabajábamos era ideal a este respecto: ni demasiado grande ni demasiado pequeña. En el entorno costero desde Fuenterrabía hasta San Sebastián, comprendiendo las poblaciones de Fuenterrabía, Irún, Oiartzun, Rentería, Lezo, Pasajes y San Sebastián viven unas trescientas mil personas. Algo más de la mitad se concentran en la capital. Los medios de comunicación tenían una componente local muy fuerte ( y la siguen teniendo), de manera que actuarían de amplificadores de cualquier noticia relacionada con los OVNIs en la comarca.

Por otro lado, la efervescencia del fenómeno OVNI era enorme y credulidad de la gente no tenía límites. El proyecto constaría necesariamente de tres fases:

PRIMERA FASE: CREACION DEL AMBIENTE PROPICIO

No fue difícil. Bastó una campaña de noticias en radio y prensa sobre avistamientos OVNI en la comarca. Los avistamientos de esta fase era obviamente inventos. Las noticias se realimentaban a sí mismas, los periódicos estában ávidos de publicar cualquier cosa relativa a fenómenos en los que los extraterrestres estuvieran involucrados. Pudimos comprobar que para que una noticia de tal calibre saliera en prensa no tenía que pasar ningún filtro previo de credibilidad, ya que no tuvimos problema alguno en que saliera publicado todo lo que nos propusimos.

En pocos días era patente que la gente se había enterado del asunto. Era tema habitual de conversación tanto en la peluquería como en el bar, en el trabajo o en la calle.

Como recuerda Juan Antonio Puerta, uno de mis compañeros en el proyecto:

“los días 23, 24 y 27 de diciembre los miembros del C.E.P. se afanaron en “colar” los primeros avistamientos falsos en el periódico “El diario vasco” y la emisora “La voz de Guipúzcoa”. Los casos OVNI, consistentes en pintorescas apariciones de enormes objetos discoidales multicolor y sobrecogedores resplandores, estaban aderezados con nombres y apellidos, muchos de ellos deliberadamente inventados.

Fue el mismo día 27 cuando salieron a la luz pública los primeros casos OVNI, en los cuales nada tuvieron que ver los promotores del experimento. Como era de esperar, el Proyecto Iván comenzaba a dar sus frutos.

La emisora “La voz de España” difundió una noticia que resumía de forma pormenorizada el caso protagonizado por cinco niños de entre 10 y 15 años. Estos afirmaban haber divisado en el Alto Errondo de San Sebastián diversas luces rojas y blanquecinas. Sin embargo, las pesquisas de los miembros del C.E.P. concluyeron que se trataba de un avión.
A partir de entonces el seguir inventando casos se volvió innecesario. Diversos testimonios “auténticos” se fueron produciendo espontáneamente, cumpliendo así la hipótesis del C.E.P.”

SEGUNDA FASE: UN AVISTAMIENTO “REAL”

Esta fase se diseñó para potenciar la primera, pero en realidad no hubiera hecho falta, dado que el tema prendió perfectamente en la población. Se trataba de ofrecer el espectáculo en directo de un avistamiento. Para ello nada mejor que la víspera de Reyes, el día 5 de diciembre de 1.979. Había luna nueva (es decir, no había luna), el tiempo estaba despejado y no era posible distinguir las siluetas de los montes cercanos: las Peñas de Aya y el monte San Marcial. Además, en Irún se concentraba en la Plaza de San Juan una multitud con ocasión de la llegada de los Reyes Magos al ayuntamiento, desde donde se podía observar las peñas de Aya perfectamente.

Un montaje relativamente sencillo en las faldas de dicho monte a base de luces conectadas a la batería de un vehículo y unos flashes sincronizados fueron suficientes para que un par de ganchos en la plaza de San Juan hicieran su labor y todo el mundo pudiera observar aquel “OVNI”.

He comentado que esta fase era una potenciación de la primera fase, pero era algo más: sirvió para comprobar hasta qué punto los testimonios de los testigos son fiables. Recogida la información de los testigos, cada uno vió una cosa diferente. Incluso muchos de ellos vieron al objeto desplazarse por el cielo desde el monte San Marcial hasta las peñas de Aya. Formas, tamaños y colores diferentes...cada uno vió “su OVNI”. El periódico vespertino LA UNIDAD publicó que el objeto sobrevolaba en torno al monte San Marcial, cuando el montaje fue en las Peñas de Aya.

TERCERA FASE: TOMA DE DATOS Y ANALISIS

A partir del día del montaje, cinco de enero de 1.979 no hubo falsificación alguna… y la gente siguió viendo OVNIs. Hubo un proceso de agotamiento del fenómeno y en quince días todo volvió a la normalidad. Habíamos conseguido crear una oleada. El número de personas que vió algún OVNI en el que nosotros no estábamos involucrados fue muy grande. Los datos fueron publicados en la revista STENDEK, número 39, en 1.980.

Los estudios de Félix Ares y David G. López en torno a la oleada de 1968-1969, que dejaban claro a partir de los datos y de su estudio a posteriori que las oleadas OVNI eran inducidas por acontecimientos sociales, y que no tenían por lo tanto componente intrínseca al fenómeno, recibían ahora el espaldarazo de un experimento diseñado ad hoc para demostrarlo experimentalmente.

Debemos aceptar que el proyecto tuvo un aspecto realmente cuestionable: el engaño a periodistas y a la población. Sin embargo el engaño fue breve, y los datos recogidos no podrían haberlo sido de otra manera. En todo caso, personalmente opino como Félix Ares: ahora no lo haríamos… pero lo hicimos.

A nivel personal mi interés por el fenómeno OVNI desapareció al concluir el proyecto Iván. Ya tenía la respuesta que quería en cuanto a la realidad del fenómeno. Este fenómeno adolecía de la misma enfermedad que todos los temas paranormales: sus características intrínsecas se esfumaban en cuanto se observaba con espíritu crítico. No quedando pautas propias del fenómeno, todo se diluía en aspectos muy terrestres, aunque no por ello menos apasionantes. Efectivamente seguían existiendo preguntas muy interesantes en torno a los OVNI.

Una de ellas es cómo y porqué se gestó el mito. De qué fuentes se alimentó, cómo creció y llegó a tener la importancia que tuvo. Otros respondieron a esta pregunta.

Pero esa es otra historia. Historia que ya ha sido contada en un libro excepcional titulado Para entender a los extraterrestres , en el que Wiktor Stoczkowski explica estos aspectos del fenomeno. Acento Editorial. Madrid, 2001.



Feliz fin de semana a mis lectores.

La matemática española y la crisis de finales del siglo XIX

La editorial nivola comenzó su colección Ciencia Abierta en diciembre de 1.999.
Me parece una colección espectacular dentro del panorama editorial de divulgación científica española. Hemos comentado ya varios libros de esta colección:De los Bernoulli a los Bourbaki, Verdad matemática y Memorias de un matemático. Hoy nos referiremos al primero en orden de aparición: ”La matemática española y la crisis de finales del siglo XIX”, de Javier Peralta.

El nivel de la aportación matemática española al mundo es exigua, salvo en el momento de dominación árabe. Con esta triste constatación que tampoco era necesaria por sabida y obvia, comienza este interesante libro.

El núcleo del mismo es la intención de explicar que si existe una cierta actividad matemática en España, es gracias al esfuerzo y la gran talla de un exiguo número de personas que trabajaron a finales del siglo XIX, de las cuales tan sólo se suele mencionar a Julio Rey Pastor

El siglo XX ha sido en gran medida también obra de un grupo reducido. Menciona el libro que hoy comentamos que en el célebre II Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París, aquel en el que Hilbert dictó los famosos 23 problemas abiertos del momento, que de una u otra forma marcó el desarrollo matemático de todo el siglo, asistieron cuatro matemáticos españoles: Zoel García de Galdeano, José Ríus y Casas , Leonardo Torres Quevedo y Torner y Carbó .

Algunos datos del libro son sorprendentes: La Revista de la Sociedad Matemática Española tenía en el año 1.912 la cantidad de 423 suscriptores. Este dato da pie a pensar que existía entonces, como ahora un potencial de interés grande, pero que de una u otra forma, los sucesivos gobiernos que España ha tenido nunca han sabido ayudar a que dicho interés se materializara en nada concreto. El nivel de las ayudas, las infraestructuras inadecuadas, ausencia de subvenciones de la Administración, ya saben... lo de siempre.

El libro se compone de cuatro capítulos. en el primero de ellos, Antecedentes históricos, se hace un breve resumen de la historia de nuestra matemática, desde la Edad Media hasta mediados del siglo XIX.

El segundo capítulo, La polémica sobre la ciencia en España, presenta la discusión sobre el papel que hemos jugado -francamente exiguo, salvo en el periodo de dominación árabe- en el panorama matemático mundial.

En Las matemáticas en la segunda mitad del XIX. La crisis del 98 se hace un análisis de la lenta evolución científica acaecida desde mediados del pasado siglo, para dedicar el cuarto capítulo, Las primeras décadas del siglo XX, al progreso realizado en esta disciplina en el primer tercio del siglo XX.

EL libro se cierra con unas sucintas biografías de lo más granado del panorama español en el progreso de la matemática de finales del siglo XIX: José Echegaray y Eizaguirre , Zoel García de Galdeano, Eduardo Torroja y Caballé , Leonardo Torres Quevedo , Ventura Reyes y Julio Rey Pastor . Salvo alguna excepción, unos perfectos desconocidos para todos nosotros. ¿ A que sí?

Y a sólo unos kilómetros, un país como Francia produciendo glorias innumerables por docenas...

Ficha del libro:

La matemática española y la crisis de finales del siglo XIX
Javier Peralta
Editorial nivola
Colección Ciencia Abierta, nº 1
ISBN: 84-930719-7-8
Encuadernación: Rústica, con solapas.
128 páginas
1ª edición: diciembre 1999
Precio: 14,50 €. (4% IVA incluido)

EL proyecto Iván (2)

Continuamos con la historia del Proyecto Iván . Para entender lo que sigue será necesario un esfuerzo por parte del lector en situarse a finales de los años setenta. El tema OVNI estaba en pleno apogeo. Diariamente salían en prensa, radio y televisión noticias sobre avistamientos. Los “ufólogos” eran multitud, y se asociaban en grupos de mayor o menor prestigio.

Sin embargo el nivel de las publicaciones sobre el fenómeno OVNI era tan desastroso como hoy en día, ahora que no queda sino un rescoldo residual de lo que fue el fenómeno OVNI. La única publicación que tenía algunos artículos (algunos tan sólo en mi opinión ) que podían salvarse de la quema era STENDEK, del grupo Centro de Estudios Interplanetarios (CEI) de Barcelona.

En el primer congreso de Ufología celebrado en Barcelona en diciembre de 1.977 se oyeron tonterías sin cuento de este pelo: “la verdad de los Ovnis vendrá de la mano de los científicos y de los poetas”... era un mundo de locos. En este ambiente, un reducido grupo de jóvenes científicos se habían plantado bastantes años antes, y habían tomado otros derroteros. Conscientes de que el fenómeno era inaprensible, se dedicaron a estudiar lo único que dejaba rastro: los datos de avistamientos. Trataron de encontrar pautas en los datos para responder a una sencilla pregunta: ¿Existe en el fenómeno OVNI algún componente intrínseco, o toda la variabilidad que exhibe se puede explicar desde causas extrínsecas al fenómeno?

Si hubiera una componente intrínseca sería más fácil admitir la posibilidad de una realidad independente del fenómeno. (Nótese que aún así estamos muy lejos de conceder estatus extraterrestre al asunto). Pero claro, estudiar tal cosa exigía trabajo de verdad: tratamiento estadístico, mucha matemática y mucha inferencia. Era más fácil recorrer 100.000 kilómetros tras noticias improbables.

Con su “Estudio de la oleada 1968-1969” Félix Ares y David G. López marcaron un hito en la ufología seria española. La pregunta recibía así una respuesta al menos parcial, pero cuantificada: la variabilidad del fenómeno OVNI en España podía ser bastante bien explicada apelando tan sólo a causas extrínsecas.

No eran ellos los únicos estudiosos serios del asunto en el territorio nacional, en Valencia existía una reducida pero activa célula de investigadores entre los que descollaban Vicente Juan Ballester Olmos y Miguel Guasp.

Estos estudiosos serios del fenómeno fueron tachados como ufólogos de salón una y otra vez por aquellos que confundían investigación con kilómetros vistiendo cazadoras de muchos bolsillos, amén de una parafernalia más propia de un periodista de guerra que de un investigador serio. Alguno estos últimos sigue actualmente en la brecha, como Juan José Benítez.

Todo ese período está formidablemente reflejado en el artículo de Luis Alfonso Gámez, autor de magonia: El fiasco de la ufología española

De hecho, él está mucho más cualificado que yo para rememorar aquellos tiempos, pues tras el proyecto Iván, mis intereses ufológicos desaparecieron y me desligué de la feria paranormal durante muchos años. Había encontrado lo que buscaba, y tan sólo me quedó me fascinación por la ciencia, que no me abandonaría ya nunca.

Pues bien, en aquélla época la paranoia ufológica desbarraba alrededor de dos tópicos (las abducciones aún no estaban demasiado de moda en España): las ortotenias y las oposiciones marcianas.

En un intento por encontrar pautas extrínsecas que avalaran la realidad del fenómeno, se hablaba de líneas que favorecían el avistamiento. Los OVNIs tenían, según los partidarios de esta teoría, unas rutas celestes perfectamente definidas. La más famosa era la línea Bavic, que unía las ciudades francesas de Bayona y Vichy. La existencia de tales líneas era la aplicación práctica del teorema del punto gordo:

“ Tres puntos están siempre alineados si alguno de ellos es lo suficientemente gordo”

El mapa de la península se vió así surcado por una “malla ortoténica” sin el menor sentido, pero que quedaba muy chula:



Por supuesto, todo era una tontería que se derrumbó por sí misma. Esta es una constante en las paraciencias: hoy se abandonan los caminos de ayer y se inventan nuevos. Hasta que se agote el mercado de superchería y tengamos que inventar otros más nuevos aún. Y por supuesto, el abandono no ocurre por encontrar mejores hipótesis, ni más cotrastables, predictibles o falsables, sino por aburrimiento y hastío. Cualquier que tenga acceso a números antiguos de revistas esotéricas podrá comprobar cómo las modas paranormales cambian de modo muy diferencte a como lo hacen las tendencias en ciencia genuina: sin dejar poso alguno. No mueren cuando la experiencia demuestra que las hipótesis deben ser mejoradas: mueren tras languidecer en lenta agonía, como los mitos.

Otro tanto sucedió con el tema de las oposiciones marcianas. Cada dos años parecía haber una “oledada”, coincidente con las épocas en las que Marte estaba más cercano a la tierra. Esto era muy sugestivo para los paranormales: parecía invocar una base extraterrestre en el planeta rojo, una especie de campamento base. Años antes una sonda mariner había fotografiado algo que parecía ser una cara marciana y unas pirámides...las tonterías se realimentan a sí mismas a una velocidad de vértigo.

Se empezaron a coordinar “noches de caza de OVNIs desde las emisoras de radio. Aquello era como podeis suponer una locura sin el menor sentido, que recientemente ha querido resucitar el periodista Iker Jiménez desde la Cadena Ser.

No insultaré la inteligencia del lector insistiendo más de lo necesario en que si queremos que aparezcan OVNIs en un determinado momento y convocamos a todos los paranormalófilos a que miren el cielo embobados durante un fin de semana, los OVNIs se verán efectivamente.

Lo curioso del asunto era que las oleadas realmente existían. Estaba en la casuística de todos los países, y la hipótesis de quienes no creían en el origene extraterrestre del fenómeno era que la componente sociológica era suficiente como para explicarlas. Esta hipótesis tenía una ventaja: podía contrastarse. No era fácil, pero a lo mejor podíamos inducir una oleada OVNI.

A toro pasado era relativamente fácil entender los acontecimientos que habían forzado oleadas pasadas: por ejemplo la llegada del hombre a la luna y la consiguiente fascinación por temas espaciales. Pero esto era tan insatisfactorio como cuando un experto en bolsa nos dice porqué las acciones han descendido; lo interesante sería que hubiera anunciado que iban a descender antes de que lo hicieran!!!

¿Cómo contrastar la hipótesis?

Sólo había una manera, algo maquiavélica: crearíamos nuestra propia oleada OVNI local. Al fin y al cabo, la línea Bavic pasaba exactamente por encima de nuestras cabezas (véan la ilustración de este post), y a pocos kilómetros, en el alto de Gaintxurizketa se habían producido años antes dos de los avistamientos más lustrosos de la comarca!!! Y ahí nació el proyecto Iván , que recibió el nombre de una cafetería del donostiarra barrio de Amara en el que nos reuníamos.

Como podrán comprender, mis amigos y yo éramos unos simples aprendices que crecíamos en nuestra comprensión del fenómeno a la sombra de Félix Ares; pero siempre nos consideramos coprotagonistas del asunto.

En el siguiente post les comentaré cómo conseguimos que en la zona comprendida entre Irún y Donostia, la gente; mucha gente de bien con la cabeza amueblada, padres de familia, sacerdotes y amas de casa vieran OVNIs alrededor de la navidad de 1.978 y principios del año 1.979.

Eran otros tiempos, ahora no lo haríamos ha escrito Félix Ares rememorando el asunto. Ciertamente. Pero lo hicimos. Vaya si lo hicimos...

El proyecto Iván (1)

Este post lo quería escribir desde hace tiempo. Sin embargo, siempre lo posponía por otros temas más matemáticos, más en sintonía con el motivo principal de este blog. Sin embargo como sabrán, el pensamiento crítico y la lucha contra las pseudociencias es la segunda razón de ser de este sitio, y ayer mientras leía en periódico decidí que esta historia la tenía que contar.

Ayer leía en la última página del periódico que la policía había detenido en Barcelona a una pitonisa que se quedaba con las joyas de sus clientes para “limpiarlas” bajo la excusa de que debía quitarles el mal de ojo. Ivana se hacía llamar la bruja.

Cuando eso ocurre en la España del siglo XXI no tengo más remedio de decir “que se jodan, por gilipollas”.

Sin embargo el nombre supuesto de la pitonisa y el trasfondo paranormal del asunto me hizo rememorar una vez más uno de los episodios más queridos de mi adolescencia cuando, allá por navidades de 1.979, con diecinueve años formé parte de lo que luego se conoció como el Proyecto Iván . Sirva este post y los que seguirán para rememorar aquella “hazaña”, y sirva de humilde homenaje hacia la persona que me enseñó qué es buena ciencia y qué no lo es, qué es el método científico y qué es una paparrucha. Esta persona es Félix Ares de Blas, actual director del Kutxaespacio de la Ciencia y presidente de ARP Sociedad para el avance del pensamiento crítico, pero no adelantemos acontecimientos.

Desde unos pocos años antes, cuando yo tenía unos quince o dieciséis, estaba el fenómeno OVNI en pleno apogeo. En Italia había un grupo que se llamaba Fraternidad cósmica , y un tal Eugenio Siracusa inauguraba en Europa la larga procesión de contactados que luego han ido sucediéndose. Los adolescentes se agrupaban en asociaciones “paracientíficas”, de las que había docenas en España. Otros grupos lo hacían en torno a doctrinas orientalistas de corte más místico, pero curiosamente todo estaba mezclado. No era inhabitual que un “experto” en OVNIs lo fuera también en ocultismo, en alquimia o en parapsicología. Era una época de efervescencia y a mis ojos de dieciséis años, acrítico y entusiasta como era, parecía que estaba a punto de ocurrir algo muy importante para la humanidad y yo no me lo podía perder.

Armado con “El retorno de los brujos” de Pauwels y Bergier y otra docena de libros cuyos autores eran Kolosimo, Von Däniken, Charroux y un largo etcétera que nunca faltaban en la biblioteca de cualquier amante del misterio que se precie, fundé mi propio grupo de “investigación paranormal”. En un alarde de imaginación lo denominamos Centro de Estudios Paracientíficos C.E.P. . Ahí estábamos los miembros del CEP, investigando cualquier cosa que sonara a misteriosa. Acudíamos a congresos de astrología en Barcelona, asistimos al primer congreso de ufología celebrado en Barcelona e incluso intervenimos con una charla en el congreso que se celebró en Oporto… pero para cuando fuimos a Oporto y conocimos en persona a gente como Antonio Rivera , padre espiritual de los ufólogos no científicos españoles nuestra forma de pensar había cambiado radicalmente.

Y esto ocurrió porque a tan sólo dieciocho kilómetros de nuestra sede vivía otro investigador que iba a volverme del revés con su visión de las cosas.

Nos habíamos entrevistado con un alquimista que estaba “a punto” de encontrar la piedra filosofal, con un experto psicofonista, con gente de un grupo llamado “La senda del arco Iris”, que en un pueblo de Navarra (Lizaso, creo recordar) habían fundado una comuna… en fin: estábamos en la cresta de la ola paranormal. Me carteaba con media España, con grupúsculos de todo pelo, hermanos del nuestro con nombres tales como Instituto de Investigaciones exobiológicas IIEE , Grupo de Estudios de la Vida Extraterrestre (GEVE),CIOVE, y medio centenar más. Supongo que tras muchos de estos rimbombantes nombres se escondían cuadrillas de adolescentes como nosotros.

Pues bien, tal era el estado de las cosas cuando, contactamos con Félix Ares de Blas . No recuerdo cómo sucedió el asunto, seguramente nos enteramos que era una personalidad más en el mundo del fenómeno OVNI y le escribí una carta . No lo recuerdo exactamente.

El caso es que en breve habíamos hecho amistad con una persona extraordinaria. Nosotros que tan acostumbrados estábamos a oir hablar de maravillas sin cuento, que conocíamos complicadas palabras como teleplastia, xenoglosia y viajes psicoestereocronos, nos pasábamos las tardes de domingo en la casa de nuestro nuevo amigo y mentor, e íbamos comprobando que su rollo era diferente. Con paciencia y seguramente con cierta diversión por su parte, nos volvió del revés en un tiempo récord.

Donde antes oíamos hablar de contactados y de transmutaciones alquímicas, ahora oíamos hablar de contraste de hipótesis, del test de la chi cuadrado y del coeficiente de correlación de Pearson.

Tuvimos mucha suerte. Suerte seguramente inmerecida, pero el caso es que Félix nos abrió su casa durante meses mientras a nuestras espaldas se quedaba un mundo oscuro e incierto, lleno de fantasías infantiles y de engaños, quedando al descubierto algo totalmente diferente.

En aquellas condiciones se fraguó el Proyecto Iván , de querida memoria, y del cual les hablaré en próximos post.

Permítanme que me lo tome con calma y sea un poco exhaustivo, porque no sólo es una historia del tránsito de las tinieblas a la luz; es algo más: es mi historia y la de mis amigos de la infancia-adolescencia.

Espero que no les aburra demasiado.

Viaje al románico

Vailima y yo tenemos entre otras una afición común: las escapadas en pos del románico.

Cuando podemos, nos tomamos unos días y recorremos una ruta cuidadosamente preparada previamente por mi. Esta vez nos vamos, una vez más, a disfrutar brevemente de las tierras cántabras, palentinas y burgalesas. Las merindades del norte de Burgos, el Campoo de las cercanías de Reinosa; la comarca palentina de La Ojeda y la burgalesa de Las Loras serán nuestro destino el fin de semana próximo desde el jueves 17 hasta el domingo 20 de febrero.

Parte de lo que veamos lo conocemos ya: hace tres años recorrimos la montaña palentina y parte de la Ojeda, y la maravilla que se presentó ante nuestros ojos nos obligó a prometernos volver.

Entonces no teníamos blogs, y no podíamos hacer nuevos amigos. Ahora es diferente. Por eso, como siempre que salimos de viaje, lo anunciamos en el blog . Así, el placer del viaje se ve aumentado con el placer de la charla y la amistad.

Pues eso. A algún lector le apetece tomarse unas cervezas con nosotros?

Impass

Mi amigo Carl Philip acaba de escribir en su excelsa bitácora la siguiente frase:

Cuando uno pone un weblog deberían avisarle que si se pasa tiempo sin escribir artículos se siente culpable

Nada más cierto. Ese es mi sentimiento en estos momentos. Tener este blog es para mi un hobby que se ha convertido en algo más, pasados de largo los doscientos artículos. Y sin embargo, hay momentos en los que no apetece escribir, no apetece romperse la cabeza en encontrar un tema que sea de interés del lector...

Por eso, antes de escribir artículos de relleno prefiero respetarme a mi mismo y a mi pereza; y guardar silencio unos días hasta que vuelvan las ganas de escribir, de invitar a realizar paseos presuntamente agradables por los rincones menos trillados de la matemática.

Así pues, volvemos en breve. No se me vayan, porque son los que dan sentido al blog.

La conjetura de Borsuk ( y 2)

Seguimos con la conjetura de Borsuk, comenzada en el post anterior.

Cuando hablábamos de topología dijimos que a veces lo que está claro para dimensiones altas no lo está tanto para dimensiones bajas, cercanas incluso a nuestro mundo tridimensional.. De ahí que surja, por ejemplo, lo que se denomina topología de baja dimensión . En el caso que nos ocupa, sin embargo, pasa lo contrario.

La conjetura de Borsuk resulta ser cierta para dos y tres dimensiones. Sin embargo para dimensiones altas la cosa es muy complicada. Veamos por encima el asunto.

Para el caso tridimensional, la demostración tiene un atajo, basado en el siguiente teorema:

Todo objeto de tres dimensiones con diámetro d está contenido en un octaedro recto cuyas caras opuestas están a una distancia d unas de otras, y con tres de sus vértices truncados por planos perpendiculares s las diagonales, que distan d/2 del centro.

Puede parecer un poco complicado, pero con las siguientes figuras se ve mejor:

Aquí vemos tal octaedro con el truncado del primer vértice:



Ahora con tres de sus vértices de la misma manera:



el teorema anterior dice que todo cuerpo tridimensional de diámetro d puede meterse dentro de este octaedro truncado, y resulta que sabemos dividir dicho cuerpo en cuatro partes para que todas tengan menor diámetro que el original, véanlo en la ilustración siguiente:



Ahora queda claro que el número de Borsuk para cualquier cuerpo de tres dimensiones es menor o igual a cuatro.

Es evidente que para dimensiones mayores no podemos seguir por ese camino. Por eso es comprensible que el reto quedara en suspenso durante muchos años.

Este estado de cosas cambió con la publicación por parte de los matemáticos J. Kahn y G Kalai en el Bulletin of the American Mathematical Society de un artículo que se titulaba Un contraejemplo de la conjetura de Borsuk .⁽¹⁾

Lo que Kahn y Kalai hicieron fue demostrar que el número de Borsuk para cualquier objeto n-dimensional crecía exponencialmente con la dimensión. Más concretamente demostraron que cuando la dimensión crece hacia infinito, el número de Borsuk tiende asintóticamente a una función exponencial, que resultó ser la función siguiente:

g(n)=(1,1) ^SQR(n)

donde SQR(n) quiere decir raíz cuadrada de n.

Una de las propiedades de las funciones exponenciales es que por muy despacio que avancen al principio ( y esta lo hace muy lentamente, pues la base es cercana a la unidad, y el exponente no es n , sino su raíz cuadrada), siempre terminan por superar a cuanquier función polinómica. Concretamente la función f(n)= (n+1) que proponía la conjetura de Borsuk es polinómica de grado uno.

Para un valor de n = 9.162 la función exponencial g(n)=(1,1) ^SQR(n) comienza a ser mayor que (n+1), luego a partir de ahí la conjetura de Borsuk debe fallar necesariamente.

Este resultado zanja la cuestión de la validez universal de la conjetura, pero deja abierta una incógnita bastante incómoda.

Efectivamente, tal valor de la dimensión (n=9.162) es una simple cota máxima de cumplimiento de la conjetura: asegura que de ahí hacia arriba se deja de cumplir, pero nada dice de valores menores que 9.162. Bien pudiera ser que falle desde valore bastante menores.

Las sucesivas cotas de d han ido bajando : Nilli obtuvo el valor de 946, Raigorodsky 561 y Weissbach el de 560. Más recientemente, ya en el año 2.000, Aicke Hinrichs alcanzó el valor de 323. El artículo está disponible aquí.

EN todo caso,el tema está abierto. ¿Cuál es el valor de la dimensión para el cual la conjetura de Borsuk empieza a ser falsa?

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HACE UN AÑO comenzábamos una serie de tres post para responder la pregunta ¿Qué es un número?

Vimos que contra la opinión general el número no es un concepto primigenio en la matemática, sino que se basa en el concepto anterior de conjunto.

En este post comenzamos a ver los axiomas en los que nos íbamos a basar, aquí desarrollamos la idea y finalmente concluimos con la extraordinaria idea de que fundamentación de los números naturales y la matemática toda está basada en el conjunto vacío. A Siddharta Gautama el Buda le hubiera gustado esta idea.

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(1) J. Kahn & G. Kalai: A counterexample to Borsuk's conjecture, Bulletin Amer. Math. Soc. 29 (1993), 60-62.

Mirar y ver

Otra muestra de la capacidad divulgativa del desaparecido Miguel de Guzmán ha sido publicada en España, una vez más por la editorial nivola. Se trata de Mirar y ver .

En realidad no es ninguna novedad editorial; se trata de una colección de ensayos que fue publicada en 1.976 por la editorial Alambra, y reeditada por el equipo de la OMA (Olimpiada Matemática Argentina) años después. Sin embargo, es una buena noticia que se vuelva a ver por las librerías esta preciosidad de ensayos de geometría intuitiva, como los llama su autor. La edición es de marzo del 2.004.

Se trata de un librito de poco más de 100 páginas, con unas gráficas extremadamente claras y unas explicaciones rigurosas y sencillas. Se nota la mano del autor desde el primer párrafo.

Los capítulos son los siguientes:

Introducción
Las matemáticas de una cuadrícula
Los siete puentes de Königsberg
De una sola estocada
Rompiendo figuras
La iluminación más barata
Cuatro desigualdades fecundas
El arte de mirar correctamente
Triangulando el polígono
Dadme un punto fijo
Apéndice
Bibliografía

Pese a su aspecto ligero y claro, no es un libro que pueda leerse sin gran atención, pero el resultado del esfuerzo bien vale la pena.

Según se puede leer en la propia contraportada, La elección de los temas ha sido guiada por el deseo de presentar objetos matemáticos que tuviesen profundidad y belleza y que, al tiempo, representasen líneas de pensamiento actuales.

Ficha:
MIRAR Y VER
Miguel de Guzmán
Editorial Nivola
Colección El rompecabezas, nº 8
ISBN: 85-95599-46-5
Encuadernación: Rústica, con solapas
128 páginas

Precio: 9,90 €. (4% IVA incluido)

La conjetura de Borsuk

Dos reflexiones pueden servir para empezar este post, y ambas han sido realizadas bastantes veces desde este blog. La primera es que las conjeturas tienen en matemáticas un valor muy exiguo como afirmaciones, y un gran valor como acicate para nuevas investigaciones. De hecho, un sinnúmero de veces resultan ser falsas. Sin embargo el reto de demostrarlo ha espoleado a investigadores para transitar por caminos poco conocidos, alumbrando de paso rincones de la matemática, cuando no descubriendo zonas totalmente nuevas, más importantes que la mera dilucidación de la verdad o falsedad de la afirmación de la conjetura.

La segunda es que en matemáticas no hay nada inocente. La propiedad más ingenua en apariencia, el teorema más tonto, la propiedad más aparentemente infantil puede dar pie a complicaciones de extraordinario calado, y generalizaciones inimaginables a priori.

Hoy pretendo hablarles de algo bastante poco conocido: la conjetura de Borsuk .

El inicio del asunto no puede ser más simple: dado un subconjunto de R ² , como el F de la figura, definimos el diámetro del mismo como el menor número real que es más grande que la distancia de dos puntos cualesquiera de F . En la figura, el diámetro de F es igual a la distancia entre los puntos A y B, los más alejados de entre todas las parejas de puntos de F .

Les muestro una partición de F en dos subconjuntos, F₁ y F₂ . Los diámetros respectivos de cada uno de ellos son menores que el diámetro del conjunto F original.

Normal , pensarán. Pues no, no es tan normal. Si nuestro conjunto de partida F es una figura tan poco rebuscada como un triángulo equilátero, entonces no podemos partirlo en dos figuras que tengan ambas menor diámetro que el original. El motivo es claro: al repartirse tres vértices entre dos, alguno se quedará con dos de ellos. Para ese, el diámetro será necesariamente igual al del objeto original. En resumen: necesitamos dividir el triángulo en tres partes para obtener diámetros menores que el original en cada una de las figuras de la partición.

Pueden ver la partición necesaria en la siguiente figura:



Así pues, las cosas no son tan sencillas. Llamemos B(F) al número entero que representa la mínima cantidad de trozos necesarios para partir la figura F de forma que todos los trozos sean de menor diámetro que el original.

¿Cuánto puede valer B(F) para una figura plana general? ¿Y para una figura tridimensional? ¿Y si F tiene 27.389 dimensiones?

Como pueden ver, la cosa se complica.

Para el caso de dos dimensiones, Borsuk demostró en 1.933 que con las tres divisiones que necesitaba el triángulo equilátero bastaba para cualquier figura. Así pues B(F) era menor o igual a 3 para cualquier figura de dos dimensiones.

Esto le dió pié a presentar su conjetura para el caso más general, que dice:

Sea F un subconjunto acotado del espacio n-dimensional. Entonces B(F) es menor o igual a (n+1).

Era una conjetura arriesgada. Conjeturar el caso general cuando sólo se conoce un caso concreto me recuerda a hablar de la posibilidad de vida extraterrestres cuando sólo conocemos el cao de nuestro planeta. Es tema harto difícil.

Sin embargo, el caso para tres dimensiones cayó en 1.955 ( veintidos años después del reto de Borsuk), cuando Eggleston demostró que para tres dimensiones hacían falta a lo sumo... ¡cuatro divisiones!. La conjetura cobraba fuerza.

La demostración de Eggleston debe ser de una complejidad inusitada, pero válida. Dos años después otro matemático, Grunbaum dió otra demostración del mismo hecho, algo más sencilla pero igualmente endiablada.

Quedaba aún el caso general... que vino a demostrar que la conjetura era falsa. Lo vemos en breve, si ustedes quieren; como siempre.

¿Para qué sirve el pensamiento crítico?

En parte de este post adoptaré una forma de hablar ligeramente abusiva. Cuando hace unos posts el Sr. Cabrera me indicaba en un comentario que el conjunto de los números reales no podía ser subconjunto del conjunto de los complejos, pasaba algo parecido. A veces cometemos abusos del lenguaje, sin que tal cosa deba preocuparnos en exceso si el abuso es leve y los lectores están avisados de las claves en las que se habla. Le explicaba yo al Sr. Cabrera en una apostilla a su comentario que era vía un isomorfismo que yo identificaba el subconjunto de los complejos con parte imaginaria nula con los reales. No creo que haya lector que no admita que tal abuso del lenguaje es benigno y que no hace falta ser purista en exceso, al menos en un blog como ese, que pretende pasear por la matemática, por la ciecia y por el pensamiento humano en general. Espero que el lector entienda que cuando digo que “la especie humana es diferen te al resto de las especies”, o que “han hecho falta X gigaaños para llegar a donde ahora estamos”, sepa entender esta dimensión abusiva del lenguaje, que en caso alguno intenta caer en intenciones teleológicas o metafísicas, de las que el autor quiere precisamente huir como de la peste.

La especie humana es algo diferente de las demás especies con las que comparte el planeta: es la primera en hacer un montón de cosas; está modificando la superficie del planeta a su antojo, tiene poder destructor sin límites, incluso contra sí mismo; intenta comprender el mundo, preocupándose de cosas muy lejanas a su inmediata supervivencia; fabrica y almacena utensilios, tiene creencias, es artista y crea belleza, es capaz de comportamientos antinaturales sin límite para lo bueno y para lo malo; tiene un lenguaje y un poder de manipulación sin precedentes...

Seguramente todas estas habilidades están presentes en otras especies en mayor o menor grado, a veces tan sólo de forma testimonial; y el hecho diferencial humano es cuestión de grado y no de esencia; pero aún así, el grado es de tal magnitud que abruma.

La unicidad de la especie humana actual nos hacer ver que somos los primeros y los únicos en la historia de la vida en la tierra en conseguirlo; han hecho falta 4,5 gigaaños para llegar hasta aquí. En realidad han hecho falta muchos más, por lo menos el doble, teniendo en cuenta que fue necesaria una generación previa de estrellas para sintetizar los átomos de los que estamos constituidos, que no provienen (no pueden provenir) del sistema solar.

Este panorama tan sobrecogedor nos induce a dejar de ser críticos con nuestras opiniones y casi estamos ansiosos por caer en el error de los argumentos teleológicos.

Me explico:

Es muy satisfactorio desde el punto de vista humano pensar que somos la cúspide de algo; el culmen del desarrollo evolutivo que se va perfeccionando y va progresando desde los imperfectos protozoos hasta el rey de la creación.. Una vez que hemos cedido en este punto, es más fácil imaginar que el proceso está dirigido, que hay una finalidad universal de la que somos, sino centro, sí parte importante. Frases como ¿para qué tanto espacio desaprovechado si fuéramos los únicos? ¿ Cómo va a existir diseño sin diseñador? Ejemplifican bien este extremo, y se leen y escuchan por doquier.

Llegados aquí, nada cuesta bajar otro peldaño en la racionalidad e imaginar que en efecto somos producto de Alguien que tiene un plan. El nombre de ese alguien varía con el tiempo y las culturas. A veces es un dios, otras veces se presenta como una especie alienígena.

Y ya puestos, si hemos cedido hasta aquí, ¿quién nos va a impedir creer que existen enormes diferencias entre las etnias humanas y la nuestra (¡cómo no!) es la superior ; o más aún, la elegida por ese Alguien para la supremacía sobre las otras? Algo de esto pasó sin duda en la Alemania nazi, donde millones de ciudadanos admitieron de buen grado los postulados del nazismo sin mayores problemas de conciencia. Algo similar psas hoy en día en multitud de lugares…

Frente a los escépticos, que no admiten (admitimos) hipótesis sin pruebas, exigiendo mayores pruebas cuanto más extraordinarias sean las afirmaciones, están los crédulos que admiten gustosamente hipótesis mágicas aduciendo que no se puede demostrar que son falsas, cuando éste es su principal defecto. Pero hay otros peores: los hiperescépticos, que no admiten la suficiencia de razonamiento alguno (sobre todo si va en contra de sus postulados, para los cuales son totalmente crédulos) . Algunos incluso rechazan existencia de una verdad objetiva: los subjetivistas New Age, por ejemplo, o los filósofos postmodernos. Mucho crédulos se comportan como hiperescépticos cuando les conviene: intentad convencer con argumentos sólidos a un creacionista de la validez de la evolución y comprenderéis que para algunos, la razón no es suficiente arma. No habrá argumento suficiente para cambiar sus opiniones.

Esta dificultad no es una problemática del poder demostrativo de la ciencia, sino que es una característica propia de pensamiento paranormal. Existe un filtro que impide el paso de los razonamientos críticos a las teorías paranormales: están blindadas al razonamiento coherente. Esto es así por un motivo fácilmente comprensible: si se admite el razonamiento crítico y coherente los postulados caen como un castillo de naipes.

Sin embargo, y a pesar de nuestra dificultad de desmontar las creencia mágicas, tenemos ya suficiente arsenal teórico y práctico para afirmar decididamente que, aunque aún no conocemos todos los detalles y puede que no los conozcamos nunca, el hombre no es el punto omega de Teilhard de Chardin, que el universo no se comporta como si tuviese una finalidad, que la tierra no tiene cuatro mil años de antigüedad, que los ovnis no son naves extraterrestres, que la telepatía brilla por su ausencia...

Es cierto que la verdad está ahí afuera, pero también lo es que la forma de conocerla está a nuestro alcance por procedimientos que nada tienen de esotérico.

Lo que falta es trasladar a la gente esta situación actual de la ciencia. La tarea divulgadora es ingente, pues choca con intuiciones falsas y creencias muy queridas. Es importante hacer este esfuerzo; tenemos mucha historia por detrás y estamos preparados para dejar la magia de una vez por todas para los ratos de diversión y ocio. Puedo disfrutar plenamente de las creaciones literarias de Tolkien sin necesidad de creer en los elfos ni en los hobbits. Puedo vibrar con la poesía del Cantar de los Cantares sin creer en la Biblia como verdad revelada; y puedo sobrecogerme con la magnificencia de un canto gregoriano sin creer en que haya alguien escuchándolo en las alturas. En suma: puedo asumir lo mejor de la producción humana sin necesidad de aceptar creencias impuestas desde el poder o desde la ignorancia, que se resisten a morir.

Contribuyendo a potenciar este espíritu crítico contribuimos a mejorar el mundo; luchando contra argumentos pseudocientíficos luchamos primeramente contra el engaño y la mentira, y de paso contra las argucias que se aducen justificando la xenofobia y el racismo, la opresión y el genocidio.

El pensamiento crítico se muestra como una herramienta válida e importante para cambiar este estado de las cosas. Esta es la verdadera utilidad del escepticismo en sentido moderno, muy alejado del otro escepticismo filosófico que negaba la posibilidad de acceder al conocimiento. Quizás para evitar esta connotación de agnosticismo gnoseológico prefiramos algunos hablar simplemente de pensamiento crítico.

Polinomios ciclotómicos

Hemos explicado en post recientes que las raíces de la unidad se distribuyen a lo largo de la circunferencia unidad en el plano complejo, dividiéndola en n partes iguales. Vimos que cada uno de los valores de la raíz n-ésima de la unidad se podía expresar mediante el número complejo e^i(2PI/n)k. Dando valores a k desde 1 hasta n obtenemos todas las raíces. No lo dijimos en su momento, pero a dichos números complejos unitarios se les denomina números de Moivre .

Estas raíces son las soluciones de la ecuación polinómica :

xⁿ=1

Pues bien, a aquellos polígonos irreducibles cuyas raíces son raíces de la unidad se llaman Polinomios ciclotómicos . Esta bella palabra significa etimológicamente “que corta a la circunferencia”; como podemos ver tienen el nombre muy bien puesto. No son ellos quienes cortan a la circunferencia en R ², sino sus raíces en el plano complejo.

Nuestro polinomio genérico xⁿ-1 no será ciclotómico para todo valor de n. De hecho lo será sólo para n=1. El motivo es que en la propia definición de Polinomio ciclotómico se expresa que dicho polinomio debe ser irreducible.

Los polinomios son expresiones en forma de suma de potencias de ciertas variables, denominadas indeterminadas . Consideraremos únicamente polinomios racionales de una indeterminada. Su forma genérica es:

P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+...+ a₁x+a₀

Los números a_n son los coeficientes; que pertenecerán al cuerpo de los racionales.
Pues bien; el conjunto de todos los polinomios con la operación suma y producto habituales resulta ser un anillo, que llamaremos Z[x] o Q[x], para el caso de que los coeficientes sean enteros o racionales.
Z[x] o Q[x] resultan ser anillos y no cuerpos, y la relación de divisibilidad entre los polinomios se define al uso:

Diremos que un polinomio P(x) divide a otro Q(x) cuando existe un tercero
Z(x) tal que Q(x)=Z(x)·P(x)

Diremos que un polinomio es irreducible cuando no puede expresarse como producto de otros dos. Por lo tanto, obtendremos los sucesivos polinomios ciclotómicos factorizando los polinomios genéricos xⁿ=1.

El primero de ellos provendrá de la ecuación x=1; y por lo tanto es
F₁(x)=x-1.

Para n=2, tenemos x²=1, que en forma de polinomio es x²-1 Ahora bien; este polinomio se puede expresar como (x+1)·(x-1). Como el segundo factor era el primer polinomio ciclotómico, el otro es nuestro segundo:
F₂(x)=x+1.

Si continuamos, para n=3 tenemos que el polinomio x³-1 es divisible por (x-1), pudiendo ser factorizado así: x³-1=(x-1)·(x²+x+1)

Este último factor es por tanto el tercer polinomio ciclotómico:

P₃(x)= x²+x+1

Esa es la pauta para la obtención de los sucesivos polinomios ciclotómicos

· F₁(x) = x-1
· F₂(x) = x+1
· F₃(x) = x²+x+1
· F₄(x) = x²+1
· F₅(x) = x⁴+x³+x²+x+1
· F₆(x) = x²-x+1

Si n es primo, entonces el polinomio ciclotómico F_n es completo de grado (n-1). En general, el grado de F_n(x) es igual al número de enteros menores que n y coprimos (sin divisores comunes) con n.

De hecho, una definición alternativa de los polinomios ciclotómicos es esta:



donde k toma sólo valores desde 1 hasta n que sean primos con el propio n.

Siendo los correspondientes números de Moivre.

Lo curioso del asunto es que con tal definición, siempre resulten polinomios de coeficientes enteros.
Además, todos los coeficientes parecen ser igual a la unidad con signo más o menos, o cero.

Este extremo ilustra el papel relativamente poco significativo que representan las conjeturas en matemáticas, y que hemos resaltado muchas veces desde este blog. En efecto, es natural viendo que los primeros polinomios ciclotómicos tienen siempre sus coeficientes con estos valores, conjeturar que ocurre así para todo n.

Si seguimos calculándolos, podremos comprobar que entre los cien primeros, ninguno incumple esta norma.

En las ciencias experimentales, cuando las observaciones dan la razón a la teoría, ésta sale reforzada. Esta forma de acceso a la verdad en matemáticas no es satisfactoria: en matemáticas las hipótesis no valen nada mientras no se demuestren. Y cien casos demuestran el caso general tan poco como diez mil o mil millones...

Lo extraordinario del caso es que nuestros polinomios ciclotómicos no cumplen la conjetura anterior: el primero que la incumple es el de puesto 105, que vale:

F₁₀₅(x) = x⁴⁸ + x⁴⁷ + x⁴⁶ - x⁴³ - x⁴² - 2x⁴¹ - x⁴⁰ - x³⁹ +x³⁶ + x³⁵+x³⁴ + x³³ + x³² + x³¹ - x²⁸ - x²⁶ - x²⁴ - x²² - x²⁰ +x¹⁷ + x¹⁶+ x¹⁵ + x¹⁴ + x¹³ + x¹² - x⁹ - x⁸ - 2x⁷ - x⁶ - x⁵ + x² + x + 1

como pueden observar, dos de los coeficientes son sendos doses.

De hecho, se ha demostrado que existen coeficientes tan grandes como se quiera para polinomios de puesto suficientemente elevado.

En la figura que encabeza este post pueden ver las gráficas de los cinco primeros polinomios ciclotómicos.

Grupos cíclicos (y 2)

Decíamos en el post anterior que un grupo cíclico era el que se generaba a partir de uno sólo de sus elementos, y escribíamos G=[a] para indicar que dicho elemento a de G era generador de todo el grupo.
Con el grupo de giros del selector de siete posiciones del post anterior quedaba claro: el giro de un paso g₁ generaba todo G:

g₁²=g₂
g₁³=g₃
...
g₁⁷=g₀.

Si seguimos operando, volvemos a encontrar g₁,g₂,..., y ahora se ve claramente el significado profundo del apelativo cíclico para este tipo grupos.

En suma: los productos de operar g₁ consigo mismo son {g₁,g₂,g₃,g₄,g₅,g₆,g₀}, que es el grupo entero.

SI lo intentamos con otro elemento, g₂, por ejemplo, obtenemos:

{g₂,g₄,g₆,g₁,g₃,g₅,g₀}, que vuelve a ser el grupo completo.

Podríamos hacer lo mismo con todos los elementos: cualquier elemento de G genera todo G, por lo tanto podemos escribir:

G=[g₁]=[g₂]=[g₃]=[g₄]=[g₅]=[g₆]=[g₇].

Sin embargo esta situación no es la general: si el grupo original tuviera 8 elementos, el elemento g₂ generaría al subgrupo H={g₂,g₄,g₆,g₀}, que es la mitad de todo el grupo original.

En el fondo la explicación es muy sencilla, y se ha apuntado en los comentarios del post anterior: a base de giros de orden par sólo podemos generar otros giros de orden par si es asimismo par el número de elementos del grupo original, y nunca generaremos uno impar. Lo mismo vale para los múltiplos de cualquier otro número diferente del dos.

El conjunto de todos los elementos generados por uno, sea o no sea el grupo total es siempre a su vez un grupo (subgrupo propio o impropio del original. Llamamos propio si es estrictamente menor que el de partido, e impropio si es él mismo. Pues bien: el Teorema de Lagrange recoge este aspecto en toda su generalidad.

Un enunciado light del mismo es:

Dado un grupo G de orden n, si H es un subgrupo de G entonces el orden de H, o(H) es divisor de n

Dado que el conjunto de elementos generado por un elemento es siempre un subgrupo, resulta que su número de elementos será siempre divisor del orden del grupo total o(G)=n.

Y sólo en el caso en que n sea primo (como en el ejemplo anterior, con n = 7), tendremos asegurado que cualquiera de los n elementos generará el grupo completo, porque al no tener ndivisores, el orden de los subgrupos será igual a n, salvo en el caso del elemento neutro g₀, que tendrá orden 1, e incluirá al citado g₀ él sólo.

Los grupos cíclicos tienen más propiedades que los hacen importantes: la primera es que son necesariamente abelianos (conmutativos), y la segunda es que el Teorema de Lagrange es inversible para ellos.

Lo primero quiere decir que g_j*g_k=g_k*g_j, para toda pareja de elementos de G, y lo segundo merece una explicación más tranquila:

El Teorema de Lagrange afirmaba que los subgrupos de un grupo G de orden n, de existir, tenían un orden m que era divisor de n.

Su inversión indica que dado m, para cada divisor n, existe un subgrupo con dicho número de elementos.

El teorema original lo cumplen todos los grupos, su inversión sólo algunos, los cíclicos entre ellos.

Ahora estamos en condiciones de demostrar un terorema interesante y muy sencillo, que afirma que Si el orden de un grupo es primo, entonces dicho grupo es cíclico

Lo demostramos:

Sea o(G)=p, con p primo.

Sea a un elemento de G, diferente del elemento neutro. H=[a] es un subgrupo generado por a, y su orden, por el teorema de Lagrange será divisor de p. Dado que p es primo y no puede ser o(H)=1 pues a no es el neutro, entonces necesariamente o(H)=p, con lo que H=G, y G=[a].

Con esto terminamos nuestra incursión en los grupos cíclicos. La teoría de grupos es una rama del álgebra muy abstracta. Normalmente un libro sobre este tópico es un tocho de cientos de páginas sin ilustración alguna. No obstante, y dada la belleza del asunto es evidente una vez más que la belleza de la matemática no está en las ilustraciones...

Salvo los preliminares de la teoría, el resto en profundidad es para verdaderos especialistas. Felices ellos que están en disposición de saborear tales frutos.

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HACE UN AÑO hablábamos de la matemática de la música. En una serie de tres post explicábamos los motivos por los que las notas musicales son siete (do,re,mi,fa,sol,la y si), doce si tenemos en cuenta sus correspondientes alteraciones; y no treinta o dieciocho.

Violencia familiar

Uno de los lectores de este blog, Juan; me ha pedido que me haga eco de un problema angustioso que está padeciendo actualmente, tanto él como su familia entera.

El lo cuenta en su blog, y la verdad es que a uno se le ponen los pelos de punta cuando lee el asunto.

Desde aquí, mi simpatía y solidaridad con Juan y con su familia. Ojalá que el problema se solucione rápidamente. Ojalá quede tan sólo un mal recuerdo, tan debilitado con el tiempo que no tenga fuerza ni para mantener el odio natural que genera esta situación incalificable.

Animo, amigo. Te deseamos lo mejor.

Tio Petros

Comenzamos la aventura

La intención de este blog es hablar sobre matemáticas. Su autor se ha propuesto hacer un recorrido tranquilo por la producción matemática desde sus orígenes hasta la actualidad.

¿Se puede hablar de forma no técnica pero con rigor sobre este tema de manera que exista gente que se sienta atraída y disfrute con ello en un blog?

La verdad es que desconozco la respuesta, pero lo voy a intentar ayudado por las excelentes herramientas que blogia ha puesto en nuestras manos. Haremos un recorrido por los aspectos más personales y menos conocidos de los matemáticos más importantes, haremos críticas a libros no excesivamente técnicos sobre la matemática, comentaremos los más hermosos teoremas siempre desde un punto de vista cualitativo (esto no es una clase, sino un agradable paseo). Y sobre todo seguiremos la pista a la belleza. A lo mejor alguien, leyendo estas torpes líneas descubre que tras las ecuaciones existe un mundo maravilloso de una belleza difícilmente igualable. Nunca olvidaremos que la matemática es tarea de Hombres (con mayúscula para englobar a la especie humana en sus dos géneros), y como tal, tras de sí existen todas las pulsiones humanas: el deseo de gloria, el esfuerzo, la lucha por conseguir la meta, la ilusión y el trabajo duro.

¿Existen "clientes" para este tipo de blog? La verdad es que no lo sé. En principio este blog lo hago para mí, y por placer; pero si alguien puede estar interesado en leerlo, pues mucho mejor. Vosotros teneis la palabra.

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