Iker Jiménez en la Universidad del País Vasco

Acabo de leer en el Diario Vasco que Iker Jiménez va a dar una charla sobre OVNIs en la UPV.

Analizando un poco la cuestión, no creo que el tema de los OVNI sea un tema imposible de tratar en suelo universitario. Nada de eso. Tampoco creo que los temas a tratar en la universidad deban estar circunscritos a una serie de áreas prefijadas. Tampoco es eso.

Lo que pienso es simplemente que un acto en el auditorio del campus de una universidad cualquiera debe ser un acto que cumpla unas características mínimas de rigor y seriedad; que los responsables de la universidad deben velar porque se respete la libertad de expresión a la vez que se vela por el derecho a una información veraz, contrastada, real; y en este caso no va a ser así. Cualquiera que haya leido algo escrito por el ponente sabe que eso no va a ser así. Pienso que la universidad está para alejar los fantasmas, para hacer luz de las tinieblas y no para lo contrario.

Cuando la noticia es así:

Iker Jiménez, director del programa radiofónico Milenio3, que trata de variados fenómenos paranormales, junto a la subdirectora del programa, Carmen Porter, ofrecerán una charla coloquio sobre los más fascinantes enigmas tratados por ellos. La charla, organizada por El Diario Vasco, será presentada por el periodista...


como decía, cuando la noticia es así, uno no tiene la menor duda de lo que va a producirse: la magufería elevada a la enésima potencia, con el agravante de una presunta pátina de respetabilidad añadida por el entorno universitario en el que se produce.

Huelga definir el nivel de credibilidad que nos produce Iker Jiménez, su programa Milenio3 y la charla en cuestión, que se producirá media hora después de escritas estas palabras.

Una vez más, los amigos de lo paranormal podrán exhibir el gol una y otra vez: "nuestras "teorías" tienen cabida en la universidad". Como augurando el cariz del asunto,la noticia del acto lleva como titular: FENOMENOS PARANORMALES EN LA UPV

En fin, que aunque la cosa no es demasiado importante, no es precisamente una buena noticia.

Dos páginas más adelante en el mismo periódico un señor llamado José María Mainat , al frente de la productora Gestmusic exclama:

Llamar basura a un programa de éxito es insultar a todo su público

Yo no sé si el Sr. Mainat es un imbécil o un listo. Posiblemente lo segundo. La frase, así redactada, pudiera querer decir que un programa por ser de éxito no puede ser basura. En ese caso el Sr. Mainat sería imbecil sin remedio, a no ser que mintiera descaradamente, en cuyo caso sería un listo en la peor acepción de la palabra. O pudiera querer decir que si un programa es de éxito y a la vez basura, entonces el público es digno de ser insultado afirmando que es una basura aquello que le entusiasma.

Eso me parece más correcto, o al menos más cercano a la verdad, pero no creo yo que ese fuera el sentido que el sr. Mainat haya querido dar a la frase.

En todo caso, me parece claro que la mierda está de moda, y no por ello deja de ser mierda. Tenemos mierda en le televisión, y hoy tenemos mierda en la UPV, y seguirá siendo mierda aunque se llene hasta la última butaca del auditorio del campus; que habrá conocido momentos más dignos.

Multiplicación a la rusa (1)

El siguiente post es una colaboración de Jorge Alonso . En una serie de dos post nos explica el método de multiplicación a la rusa . Espero que les guste, a mi me ha gustado. Este post es el inicio de una etapa nueva en TioPetros, en la que la bitácora deja de ser unipersonal. Siempre se indicará el autor del post, y cuando no se haga así, se entenderá que su autor soy yo... el de siempre.

Este método se basa en multiplicar y dividir por dos, y luego hacer
una suma final. Veamos, con un ejemplo, cómo funciona.

Queremos multiplicar 69 por 13, así que escribimos:

69 x 13

Debajo del 69, escribimos su mitad, ignorando el resto de la división:

69 x 13
34

Debajo del 13, escribimos su doble:

69 x 13
34 x 26

Seguimos dividiendo el primer número entre dos (ignorando el resto), y
duplicando el segundo, hasta que el primero alcance el 1:

69 x 13
34 x 26
17 x 52
8 x 104
4 x 208
2 x 416
1 x 832

Ahora, para cada número par de la primera columna, tachamos toda la
fila:

69 x 13
--------
17 x 52
--------
--------
--------
1 x 832

Sumamos entonces los números que quedan en la segunda columna

+ 13
+ 52
+ 832
=====
897

Y ése es el resultado de la multiplicación:

69 x 13 = 897

Una pregunta interesante es ¿por qué funciona este método?

Eso es algo que veremos en el siguiente post.

-----------------------------------------------------

Multiplicación "a la rusa" (2 de 2)

Segundo y último post de la serie de Jorge Alonso sobre este método de multiplicación

Retomemos el ejemplo anterior:

69 x 13
34 x 26
17 x 52
8 x 104
4 x 208
2 x 416
1 x 832

Pero traduzcámoslo a numeración binaria:

1000101 x 1101
100010 x 11010
10001 x 110100
1000 x 1101000
100 x 11010000
10 x 110100000
1 x 1101000000

Como vemos, en base 2 dividir y multiplicar por 2 es sencillísimo:
basta con tachar la última cifra en el primer caso (recordemos que el
resto se ignora), y añadir un cero en el segundo.

El siguiente paso es tachar las filas cuyo primer término sea par, es
decir, que termine en cero:

1000101 x 1101
--------------------
10001 x 110100
--------------------
--------------------
--------------------
1 x 1101000000

Y por último se suma la segunda columna:

+ 1101
+ 110100
+ 1101000000
============
1110000001

Fijémonos que lo que en realidad hemos hecho ha sido

(1 x 1101) + (100 x 1101) + (1000000 x 1101)

que no es más ni menos que

(1 + 100 + 1000000) x 1101

= 1000101 x 1101

Es decir, lo único que hacemos es aplicar una propiedad básica de la
multiplicación:

1000101 x 1101 = (1 x 1101) + (100 x 1101) + (1000000 x 1101)

Si fuese en base 10, esta propiedad la escribiríamos como:

536 = 500 + 30 + 6

536 x 42 = (500 x 42) + (30 x 42) + (6 x 42)

Atrapando el concepto del azar ( y 6)

Ya estamos en condiciones de definir una variable aleatoria como una función medible de un espacio probabilístico (X,A,P) en el espacio medible (R,B), donde ,B es la sigma-álgebra de Borel definida en R. Todos los conceptos están definidos en los cinco posts anteriores.

Sea f tal variable aleatoria. Para ver la importancia de que f sea medible, repetiremos la definición de función medible dada en el post anterior:

Diremos que f es una función medible cuando la antiimagen de todo subconjunto de R que sea elemento de B es un subconjunto de X que es a su vez elemento de A.

Esto significa que todo subconjunto medible de la recta real tiene un subconjunto medible del espacio probabilístico del cual es imagen. Tenemos una probabilidad definida en el espacio de partida, pero no en el de llegada. En virtud de la medibilidad de f, podemos considerar ahora una probabilidad inducida en R.

En efecto, si B es un boreliano de R, tenemos la probabilidad inducida indicada por la siguiente ígualdad, que dada su importancia conceptual me permito escribir en caracteres grandes:

P_f{B} = P{f^-1(B)}

La probabilidad original es P, y está definida en el espacio probabilístico original (X,A,P); la probabilidad inducida es P_f, definida ahora en lo que hasta ahora era simplemente un espacio de medida de con la medida de Lebesgue , y ahora es ya otro espacio probabilístico.

La variable aleatoria toma medidas en R, y para nosotros éste segundo espacio probabilístico inducido, (R,B,P_f) será lo más visible del problema en cuestión. Nuestros cálculos sobre probabilidades los haremos en muchas ocasiones sin preocuparnos del espacio de partida; y a menudo quedará totalmente a la sombra, si bien es “el que maneja las cuerdas del azar”.

Esto se verá mejor con algún ejemplo:

Partíamos en esta serie de posts sobre el azar de dos experimentos aleatorios:

Experimento A: tirar un dado no trucado una vez.

Experimento B: elegir un número con equiprobabilidad en el intervalo [0,1]

Ambos experimentos definen los espacios probabilísticos de partida. De momento no hay variable aleatoria alguna definida.Definamos ahora dos variables aleatorias sobre ellos:

Para el primer experimento, f₁ definida como un pago en miles de euros igual a la puntuación sacada en el dado. Para el segundo experimento, f₂ un valor de 100 si el numero es mayor que 0,5 y un valor de –100 si el número es menor o igual que 0,5.

Ahora, podemos abstraernos de las naturalezas de los espacios probabilísticos de partida, porque podemos hablar de probabilidades en los espacios de llegada; probabilidades inducidas por las variables aleatorias y por las probabilidades.

En efecto, en el primer caso, obtenemos 1000, 2000, 3000, 4000, 5000 ó 6000 euros con la misma probabilidad de 1/6. Esto nos basta para cortar las amarras que nos unían al espacio (X,A,P) original, en el que X={1,2,3,4,5,6}, y contemplar únicamente la distribución de premios con sus respectivas probabilidades que es lo que nos interesa. Ahora podemos responder a cuanquier pregunta del tipo:
¿Qué probabilidad tenemos de ganar más de X euros?
¿Qué probabilidad tenemos de ganar entre X e Y euros?

En la pregunta podemos incluir cualquier subconjunto de R que sea medible Borel. Parece que en este ejemplo tan sencillo estamos matando mosquitos a cañonazos. Efectivamente, el arsenal matemático empleado es desproporcionado; pero eso es tan sólo porque el ejemplo era trivial. En ejemplos más elaborados la cosa cambia.

En nuestro segundo ejemplo la variable aleatoria tan sólo puede tomar dos valores: +100 ó –100. Por tanto, el conjunto {+100,-100} de R es todo el recorrido de la variable aleatoria f₂ . Sin embargo, sigue siendo cierto que f₂ define una probabilidad condicionada en toda la sigma-álgebra de Borel de R.

Cada elemento de dicha sigma-álgebra de partida es un posible resultado del experimento de elegir con equiprobabilidad un punto en el intervalo [0,1]; así, B={0.25} es “salir elegido el 0,25; y B=[0,1/2) es “salir elegido un número menor que 1/ 2”, mientras que B= [0,1/2) U (1/2,1] es “no salir elegido el 1/ 2” . Todos ellos tienen una probabilidad asociada por el simple hecho de ser (X,A,P) un espacio probabilístico. Ahora, cada B_R (el subíndice es para recalcar que ahora estamos refieriéndonos a la sigma-álgebra del conjunto de llegada) de la sigma-álgebra de Borel de R tiene también una probabilidad inducida asociada, que es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor que esté incluido en B.

Así, B_R=[1,inf) es el suceso “la variable f₂ toma un valor mayor o igual que la unidad.

En este ejemplo tan sencillo, la probabilidad P_f2 inducida es la siguiente:

P_f2(B)= 0 , si {-100,+100} no está en B

P_f2(B)= 1, si {-100, +100} está en B

P_f2(B)= 1/ 2, si tan sólo uno de los dos valores –100, +100 está en B.

Y desde este momento, podemos olvidarnos del espacio probabilístico de partida y trabajar tan sólo con la variable aleatoria. De hecho, la propia existencia de los espacios probabilísticos y sus sigma-álgebras, tanto de salida como de llegada pueden quedar oscurecidos al trabajar con un problema concreto. Pero siempre subyacen en el problema, dado cohesión teórica a todo el entramado.

Un profesor, decía que los espacios probabilísticos son como Rebeca, la de la película de Hitchcock. Todo gira alrededor de Rebeca, aunque no se le ve por parte alguna.

Pero sin Rebeca no habría película...

Atrapando el concepto de azar (4)

Azar es una palabra vacía de sentido, nada puede existir sin causa.

Voltaire

FUNCIONES DE CONJUNTO. MEDIDAS DE CONJUNTO

Siguiendo el guión que nos hemos trazado en posts anteriores, pasamos a definir las funciones de conjunto, necesarias para explicar cómo se define una probablidad en un conjunto de sucesos.

Como hemos avanzado, una función de conjunto es el concepto riguroso de una idea intuitiva muy sencilla: una regla que asigna a cada conjunto de una colección determinada un número real. Esta definición intuitIva se formaliza mediante dos propiedades que debe cumplir tal “regla” para que merezca el nombre de función de conjunto.

1.- Al conjunto vacío le debe corresponder el cero

2.- Si tenemos una suma finita de conjuntos pertenecientes al campo de definición de la función, todos ellos disconjuntos dos a dos, entonces la medida de la unión de todos ellos será igual a la suma de las medidas individuales. Diremos que las medidas de conjuntos deben ser aditivas

Si esta propiedad 2 se hace extensiva a colecciones numerables de conjuntos, entonces la función se denomina sigma-aditiva.

Es del todo evidente que estas definiciones deben su razón de existencia a las propiedades intuitivas que todos tenemos en mente cuando hablamos de “medidas”. Pensémos en triángulos, cuadrados y polígonos generales en un plano. Pensémos en ellos no como figuras geométricas, sino como subconjuntos de un conjunto más general (el plano). A cada subconjunto le asociamos una “medida” de su área, que cumple evidentemente las propiedades pedidas. En efecto, la aditividad es una propiedad incuestionable que debe cumplir toda medida de conjunto para que responda a la idea previa que todos tenemos de lo que es una medida. Viene a ser algo así como un teorema de conservación del área generalizado a medidas más generales que la del área: si descomponemos una figura en n trozos disjuntos, la medida del original coincide con la medida de las partes.

La propiedad 3 engloba a la 2, y es la propiedad ad hoc para las sigma-álgebras, ya que por su propia definición (ver post anterior) tenemos asegurada la pertenencia de la suma infinita a dicha sigma-álgebra.

Para que la función de conjunto sigma-aditiva sea una medida ya sólo necesitamos una cosa: que todo conjunto tenga una medida no negativa.

Y para que dicha medida sea una probabilidad, lo único que hace falta es que la medida del conjunto completo sea la unidad. Ahora se ve que la probabilidad nace de la teoría de la medida sin duda alguna. Sin embargo la teoría de la probabilidad no es un mero apartado de la teoría de la medida; sino que tiene sabor propio, debido a conceptos como independencia , que en teoría de la medida no existen.

Recapitulemos: en Teoría de la probabilidad tenemos un conjunto X de sucesos elementales, más una colección de subconjuntos suyos, llamados simplemente sucesos o eventos. La estructura de dicha colección es la de una sigma-álgebra. Además, tenemos definida una probabilidad en dicha sigma-álgebra. Esto quiere decir que cada elemento de la colección de subconjuntos tiene asociado un valor comprendido entre 0 y 1. Todo ello junto forma un espacio probabilístico.

Es decir un espacio probabilístico es la terna (X, A, P), donde X es un conjunto cualquiera, A una sigma-álgebra suya y P una medida de probabilidad definida en A.

Aquí habitan las variables aleatorias , de cuya definición estamos ya cerca.

Antes de seguir convendría aclarar dos cosas:

1.- La propiedad primera de las medidas no es necesaria, ya que puede deducirse de la segunda. ¿Sabría el lector hacerlo?

2.- Aún no hemos respondido a una pregunta muy irritante: hemos visto que las sigma-álgebras cumplen por su propia constitución las propiedades “guays” para construir un espacio probabilístico, pero ¿No podríamos haber contemplado simplemente el conjunto de partes de X como conjunto de sucesos? Al fin y al cabo, al ser el mayor conjunto posible, cumple trivialmente las propiedades necesarias, y es infinitamente más sencillo de definir...

La respuesta de la pregunta 1 la dejo en el aire hasta el próximo post; es muy sencilla. La respuesta a la pregunta 2 es sin embargo una de las mayores sorpresas que uno se lleva al estudiar matemáticas. Personalmente dos cuestiones matemáticas , por su antiintuitividad me sorprendieron enormemente cuando las estudié. Una es el hecho de que el conjunto Q de los racionales sea numerable, y otra es esta: No a todo subconjunto de un conjunto general se le puede aplicar una medida .

Esto quiere decir que incluso en un conjunto tan poco inamistoso como el intervalo [0,1] ; de longitud unidad; existen subconjuntos que no tienen una longitud asociada. Que no se lleve el lector a engaño; no tener medida asociada NO es tener medida cero; es exactamente eso: no tenerla en absoluto.

La demostración de esto es un poco complicada, y hace uso del axioma de elección . Consiste en construir efectivamente un subconjunto de [0,1] para el cual no podemos asociar ninguna longitud sin caer en contradicción.

Es por eso que el sistema de subconjuntos en los que se define la probabilidad debe ser una sigma-álgebra, menos fina que el conjunto de partes de X.

Seguimos mañana.

Si ustedes quieren.

Atrapando el concepto de azar (5)

A lo largo de estos tres posts repasamos hace unos meses el concepto de continuidad en espacios generales. Decíamos allí que la continuidad de una función entre dos espacios topológicos era una propiedad relativa, no absoluta de la función.

Unas topologías harían continua una determinada función y otras no. La noción de proximidad surgía de la topología sin necesidad de tener una métrica o forma de medir distancias definida, y decíamos que:

Una función continua en un punto p transforma puntos próximos a p en puntos próximos a f(p), y esa proximidad se establece en virtud de los entornos de las respectivas topologías.

Otra forma de decirlo es que la función, para ser continua debe "ser respetuosa" con las topologías de partida y de llegada.

El concepto de función continua y de función medible es radicalmente diferente, pero operativamente análogo.

En el caso que nos ocupa, no tenemos espacios topológicos, sino espacios de medida , que como hemos dicho son una tríada (X,A,M), donde X es un conjunto cualquiera, A es una sigma-álgebra subre X y M es una medida definida en A.

Supongamos que tenemos dos espacios de medida: (X,A,M_X) y (Y,B,M_Y); y una aplicación f de X a Y. Diremos que f es una función medible cuando la antiimagen de todo subconjunto de Y que sea elemento de B es un subconjunto de X que es a su vez elemento de A.

De esta forma, la función “es respetuosa” con las sigma-álgebras de partida y de llegada.

Este aparente galimatías esconde una idea extremadamente sencilla: los elementos de las respectivas sigma-álgebras son simplemente aquellos subconjuntos para los cuales tiene sentido aplicar el concepto de medida, y por ello se denominan conjuntos medibles . La propiedad pedida a las funciones medibles exige que cada medible del conjunto de llegada tenga un alter ego medible en el conjunto de partida del cual es imagen por dicha aplicación.

Es fácil comprender que este tipo de funciones son las interesantes entre espacios medibles.

Las variables aleatorias que aún estamos por definir son aplicaciones medibles entre dos espacios de medida: el origen es un espacio probabilístico (X,A,P), donde P es una medida definida en X tal que P(X)=1, y por lo tanto es una probabilidad. Y el de llegada es en conjunto de números reales R.

Lo único que nos falta es dotar a R de una sigma-álgebra para tener el panorama completo. Y eso es muy fácil de hacer: la medida en R será la extrapolación de la noción intuitiva de longitud a todos los conjuntos medibles de R. Esta medida se denomina medida de Lebesgue . Definir la medida de Lebesgue es dar una pauta para encontrar la medida de cualquier subconjunto medible de R. Como cualquiera de tales elementos debe poder ser obtenido por uniones y pasos a complementario de elementos, en virtud de la definición de sigma-álgebra, definiremos tales elementos primitivos como los intervalos [a,b], y definiremos su longitud como el número real l[a,b]=b-a.

Las propiedad sigma-aditividad de la medida junto con las propiedades generales de toda sigma-álgebra nos facilita definir la medida de cualquier subconjunto que pertenezca a esta sigma-álgebra generada por los intervalos de la recta real. Recibe el nombre de sigma-álgebra de Borel , y sus elementos se denominan borelianos .

Es mucho más fácil encontrar borelianos en la recta que no borelianos. Cualquier cosa incluida en Rque se imaginen (a no ser que sepan mucho o tengan mucha imaginación) es un boreliano. Los intervalos lo son, sean abiertos o cerrados (radical diferencia con las topologías),los puntos aislados lo son también... efectivamente, por uniones, intersecciones finitas o infinitas numerables, y con pasos a complementario (operaciones permitidas en las sigma-álgebras) lo podemos conseguir casi todo.

Es ese casi el que complica tanto la teoría de la medida: existen como anunciábamos ciertos subconjuntos de R tan endiablados que no son borelianos, y para ellos no se puede definir medida alguna. Estos elementos son los que posibilitan en R³ cosas tan inexplicables como la paradoja de Tarski-Banach , de la que hablamos en su día aquí.

Tenemos la estructura montada. En el próximo post veremos la definición rigurosa de variable aleatoria y comprenderemos mejor esa idea intuitiva de que una variable aleatoria es una variable que toma valores en función del azar. Entonces comprobaremos que no es una ocurrencia pedir que sea una función medible, sino que esta propiedad es la que nos posibilitará a inducir una probabilidad en R.

Seguiremos dentro de unos días.

Atrapando el concepto de azar (2)

El hombre tiene mil planes para sí mismo. El azar, sólo uno para cada uno.

Mencio

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Es este post vamos a comenzar la construcción del edificio conceptual que nos llevará a definir con cierto rigor qué cosa es una variable aleatoria.

Como dijimos en la introducción que supuso el post anterior, las variables aleatorias dan valores reales a los elementos de un espacio general que llamábamos espacio probabilístico . La misión de este post es presentar el recorrido que vamos a realizar en los próximos posts para explicar todo esto.

En la exposición de este tema, que nos ocupará varios posts, ilustraremos el discurso con dos ejemplos sobre los que posteriormente definiremos variables aleatorias:

EJEMPLO A: Tirada de un dado.
EJEMPLO B: Elección de un punto en el intervalo [0,1]

Los posibles resultados de cada experimentos forman los respectivos Espacios muestrales . En el ejemplo A, el espacio muestral es X={1,2,3,4,5,6}; y el en ejemplo B es X=[0,1]. Centrémonos en el dado por el momento.

Un suceso no es simplemente cada uno de los elementos del espacio muestral, sino cada uno de los subconjuntos del mismo. Así, el suceso Z₁={1,2,3,4,5} es el suceso “sacar menos de seis”; y el suceso Z₂={1,3,5} es el suceso “sacar impar”.

De esta manera, asociado al conjunto X tenemos el sistema de todos sus subconjuntos, o conjunto de partes que denominaremos A.

El par (X, A) así definido se denomina espacio probabilizable para un conjunto finito X. Luego con el ejemplo B veremos que en el caso contínuo las cosas no son tan fáciles.

La propia nomenclatura de espacio probabilizable indica que tenemos todo dispuesto para hacer uso de la noción de probabilidad. Una probabilidad es una función de conjunto. El hábitat de una función de conjunto es diferente al de una función habitual del cálculo: las funciones de conjunto residen en un conjunto marco X, y más específicamente en el conjunto de partes de X, o un subconjunto suyo, de forma que a cada subconjunto B de X le corresponde un número.

Pero todo esto no es más que una burda aproximación, y como no tenemos prisa alguna y los conceptos necesarios son bellos de por sí, nos pasearemos por ellos en varias etapas.

Para hacer una exposición medianamente completa de este extremo, debemos explicar más pormenorizadamente qué es una función de conjunto, qué es una medida y qué es una probabilidad.

Y para ello, comenzaremos preparando convenientemente la casa en la que dichos conceptos van a habitar. Nos preparamos pues para hablar de unas estructuras llamadas sigma-álgebras, que no son sino porciones del conjunto de partes de un conjunto que cumplen ciertas propiedades muy sencillas, aunque dichas propiedades hacen que las sigma-álgebras sean a veces objetos muy complicados.

El guión de lo que sigue será así:

1.- Sigma-álgebras sobre conjuntos generales. Sigma-álgebra de Borel en R
2.- Funciones de conjunto
3.- Medidas sobre conjuntos. Medida de Lebesgue.
4.- Probabilidad. Espacios probabilísticos
5.- Funciones medibles

y por fin, variables aleatorias.

La intención es hacer un recorrido por estos tópicos sin fórmulas o casi sin fórmulas, atendiendo a la sutileza de los conceptos con la única meta en mente de atrapar de forma rigurosa aunque cualitativa el azar entendido matemáticamente.

Seguimos mañana.

Atrapando el concepto de azar (3)

Aunque los hombres se jacten de sus grandes acciones, muchas veces no son el resultado de un gran designio, sino puro efecto del azar.

François de la Rochefoucauld

No perdamos el hilo: hace dos posts anunciábamos el comienzo de una serie explicativa de las bases de la teoría de la probabilidad, bellísimo edificio construido hace menos de un siglo por varias mentes poderosas entre las que descuella la de Kolmogorov, que aparece en la foto. Allí comenzamos el tema, y aquí desarrollamos el guión que seguiríamos. El presente post es la presentación de las estructuras conjuntísticas sobre las que se van a definir probabilidades. La meta es la definición rigurosa del concepto de variable aleatoria, tal y como se entiende modernamente.

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ALGEBRAS Y SIGMA-ALGEBRAS


Hace unos meses hablábamos de topología. Decíamos allí que se pueden definir unas estructuras en el seno del conjunto de partes de un conjunto, con ciertas propiedades interesantes para lo que queremos en cada momento.

Así, definíamos una topología sobre un conjunto X, como una colección de subconjuntos de X tal que cumplían tres propiedades:

1.- El conjunto total X y el vacío pertenecen a la colección.
2.- Si dos subconjuntos pertenecen a la colección, también pertenece su intersección.
3.- Para toda familia arbitraria de subconjuntos de la colección, la unión de todos ellos pertenece a la colección.

Con estas tres propiedades obteníamos la caracterización de unos subconjuntos distinguidos en cierto aspecto, que denominábamos abiertos de la topología.

Parece un hecho mágico que estas tres propiedades consigan tanto con tan poco, pero la realidad es que nada hay arbitrario aquí, y dichas propiedades son las que históricamente se han fijado como correctas para construir una topología.

El tema que nos ocupa ahora tiene poco que ver con la topología, pero parte de una construcción análoga: una colección de subconjuntos de un conjunto genérico X que cumple ciertas propiedades.

No perdamos de vista nuestro objetivo: X es un espacio muestral ; un conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

En principio, cada subconjunto puede ser un evento. Más tarde quedará claro el inicio de la frase anterior en principio.

A lo largo de todos estos posts haremos referencia a los dos experimentos que mencionábamos al principio de la serie:

EJEMPLO A: Tirada de un dado.
EJEMPLO B: Elección de un punto en el intervalo [0,1]

Si nos fijamos en el experimento A, veremos que si tiene sentido pensar en el evento A=”sacar menos de cinco”, también será lícito preguntarse por el contrario A^c=”sacar cinco o más”.

El símbolo A^c se llama complementario de A, y supone la realización de un resultado no contemplado en A.

Así mismo, dados dos eventos posibles A y B, será lícito preguntarse por el evento unión de ambos. Estas dos propiedades que deben cumplir los eventos de un espacio muestral son suficientes para definir una estructura denominada álgebra en un conjunto

DEFINICION.

Dado un conjunto general X, un álgebra sobre X es un sistema de subconjuntos de X tal que:


1.- Si A pertenece al sistema, entonces A^c también pertenece.
2.- Si A y B pertenecen al sistema, su unión también pertenece al sistema.

Podríamos preguntarnos porqué es necesaria tanta complicación, si con el conjunto de partes de A tenemos ya a todos los subconjuntos contemplados, y por tanto a todos los posibles eventos. La respuesta no puede ser más sorprendente: en el caso más general, en el que el conjunto X de partida es infinito no numerable, como el del ejemplo B existen ciertos subconjuntos que no representan eventos. Pero este extremo lo entenderemos mejor cuando hayamos introducido el concepto de medida de un conjunto.

Las dos propiedades anteriores son mucho más potentes de lo que parece. Por ejemplo, dados dos subconjuntos A y B de un álgebra de X, no sólo la unión, sino que también la intersección pertenece al álgebra. Pero no hace falta alguna introducir una nueva propiedad; basta una aplicación trivial de las leyes de Morgan para deducirlo de las dos propiedades enunciadas. El desarrollo de la demostración lo tenéis a continuación:



Esto está pleno de sentido. Si dados dos eventos A y B, es lícito preguntarse por el evento unión de ambos, también lo es el preguntarse por el evento intersección: aquél que recoge los resultados individuales comunes a A y B, luego es necesario que en la estructura sobre la que vamos a definir probabilidades se de esta propiedad.

Cuando tenemos un espacio muestral como el del segundo ejemplo, infinito no numerable, es importante añadir una tercera propiedad :

3.- la union de colecciones infinitas numerables de subconjuntos de la colección también pertenece a la misma.

Las álgebras que cumplen esta tercera propiedad añadida se denominan sigma-álgebras .

Los espacios probabilizables que mencionábamos en el post anterior son simplemente el par (X,A) formado por el conjunto muestral; X={1,2,3,4,5,6} en el ejemplo A y X=[0,1] en el ejemplo B; y la sigma-álgebra correspondiente; el conjunto de partes de X en el ejemplo del dado A y algo más complicado en el caso B.

Ahora tenemos la casa preparada para empezar a habitarla. Las álgebras en el caso finito (sigma-álgebras trivialmente); y las sigma-álgebras en el caso general, se mostrarán como el aparato matemático idóneo para definir probabilidades en el seno de X

Parte del motivo de que esto sea así debe ser a estas alturas evidente por sí mismo: las propiedades elegidas para definirlas sigma-álgebras son las que necesitamos para los sucesos. La otra parte vendrá de la mano de la definición de medida, y de probabilidad.

Interludio

Esto no es un post, sino un interludio y un mensaje a mis lectores.

Tras más de año y medio y casi 300 posts, este humilde sitio se ha consolidado como un rinconcito de la web al que cierto número, no muy grande pero ciertamente suficiente de personas, entra con asiduidad para efectuar presuntos paseos agradables por paisajes matemáticos y de pensamiento crítico. No es mejor que otros similares; de hecho, poco me cuesta encontrar otros mejores; pero éste es el mío, y le tengo cariño.

Siempre he repetido que los comentarios son el alma del blog, y el único modo que tiene su autor de saber que su trabajo, o mejor dicho su hobby, tiene lectores detrás; pero esa relación es demasiado distante para ser suficiente.

Por ello he creado una lista de correo para aquellos de mis lectores que deseen compartir un espacio más interactivo.

No sé si tendrá aplicación práctica alguna, pero como el esfuerzo es mínimo, creo que vale la pena intentarlo. El propósito de la futura lista no es la discusión, sino la relación entre personas afines. Los motivos de afinidad serán el interés por la divulgación rigurosa a la vez que sencilla de historias matemáticas en la línea trazada por el presente blog, la pasión por la divulgación científica en general y la difusión del pensamiento crítico en particular. La lista no está pensada como un lugar de discusión entre colisteros de sensibilidades diferentes. Existen muchos foros excelentes para ello.

De esta relación podrían salir posts futuros para el blog realizados por otros autores, coordinación entre lectores para series de posts... yo qué sé. En todo caso, siempre estaría vigente la idea de producir textos renunciando a derechos de copyright y similares, tal y como se ha hecho en Tiopetros desde el primer día (y en tantos otros sitios, por supuesto).

En caso de que la idea no prospere, simplemente habré perdido diez minutos en crear la lista y escribir este post, y TioPetros seguirá como hasta ahora.

Mis lectores tienen la palabra. De momento, están invitados para formar parte de la lista.

Que pasen un feliz fin de semana.

Atrapando el concepto de azar (1)

En matemáticas las cosas están claras. Me explico: no hay ninguna indefinición en los conceptos, y las definiciones son claras, precisas y exentas de ambigüedad. Lo que ocurre es que, a veces, la sutileza de los conceptos a emplear exige una aparentemente complicada terminología.

Así ocurre con la definición de variable aleatoria . En una primera aproximación, la expresión variable aleatoria parece remitir a una variable que toma valores en función del azar. Esa primera impresión es totalmente correcta; pero fijar el concepto con el rigor que se exige en matemáticas no es tarea trivial. El presente post tiene la misión de acercar al lector a una definición algo más precisa de esto último.

La primera complicación viene del mundo en el que habitan las variables aleatorias, más complicado de explicar que el mundo de las variables habituales del cálculo infinitesimal.

En el cálculo infinitesimal, una función de n variables f(x,y,z,...t) “habita” en el espacio n-dimensional formado por las variables x,y,z,..,t. Este universo por muy n-dimensional que pueda ser es muy parecido al que habitamos nosotros: se tratá de un espacio métrico en el que existen distancias entre puntos. La propia función consiste en una aplicación que a cada punto del dominio de la función le hace corresponder un número, real o complejo.

Las de variable aleatorias no habitan en espacios métricos de este tipo, y esta es una diferencia radical. Su espacio natural es un espacio probabilístico, así que empezaremos por el principio.

La primera diferencia radical entre un espacio probabilístico y un espacio habitual (un espacio métrico n-dimensional) es que el segundo está formado por “puntos”; mientras que el primero está formado un conjunto en la acepción más general de la palabra, junto con sus elementos y subconjuntos; más una probabilidad definida en su seno . La frase anterior está en cursiva para resaltar el hecho de que tenemos mucho por definir antes de poder hablar alegremente de una probabilidad definida en el seno de un conjunto.

Así pues, una variable aleatoria no hará corresponder un valor concreto a cada punto de un espacio, sino que tendremos un conjunto de partida, que llamaremos X, y la de variable aleatoria hará corresponder valores concretos elementos concretos de dicho conjunto original.

He subrayado valores concretos para hacer hincapié en el hecho de que la aleatoriedad no reside en la atribución del valor a cada subconjunto. Repito: a cada elemento en el cual la variable aleatoria esté definida, la variable aleatoria le hace corresponder un número real (o complejo) fijo.

Dónde reside entonces la aleatoriedad?

Pues en el propio espacio de definición, que por eso se denomina espacio probabilístico. Para definir qué cosa es un espacio probabilístico, es necesario tener unos conceptos previos, lo que me da pié a iniciar una serie de posts sobre el tema

Haremos una incursión cualitativa en la teoría de la medida, en los espacios medibles y por lo tanto en las álgebras de conjuntos y sigma-álgebras. Espero que les guste el paseo.

En attendant Blogalia

Tio Petros se une al clamor popular deseando de todo corazón la pronta recuperación de blogalia y de todas sus excelentes bitácoras.

Numeros trascendentes

A veces es más fácil demostrar el hecho que ciertos objetos existen, que encontrar alguno de ellos. Eso es lo que históricamente ocurrió con los números transcendentes. Como ya hemos dicho varias veces, un número real se llama racional si es solución de un polinomio de primero grado con coeficientes enteros.

ax+b=0

Extendiendo este concepto para cualquier tipo de polinomio tenemos la definición de número algebraico , como aquel que es raíz de un polinomio cualquiera de coeficientes enteros.

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1+ a₁x +...+ a₀ =0

Y ahora llamaremos número trascendente a todo número real que no sea algebraico, en caso de que tal cosa exista.

La demostración de existencia es muy sencilla, y se basa en el hecho de que el conjunto R tiene la potencia del contínuo, mientras que el conjunto de los algebraicos es numerable.

Esto no debería ser ninguna sorpresa. La sorpresa (mayúscula) fue la demostración de que el conjunto de los números racionales era numerable. Lo demostró Cantor con su famoso método diagonal que vimos aquí.

Una vez demostrado que el conjunto Q era numerable, ya no nos sorprende tanto que el conjunto de los algebraicos también lo sea. En efecto, Cantor demostraba que el conjunto de los pares ordenados (a,b) de enteros era numerable; y extender esto a las n-tuplas (a₁, a₂,..., a_n) es trivial. Como cada n-tupla tiene asociado un único polinomio cuyos coeficientes son los elementos de la misma, resulta que el conjunto de polinomios de grado n es numerable; y por tanto el conjunto de todos los polinomios también; pues estamos sumando una cantidad numerable de numerables. Dado que un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces diferentes, queda demostrada la numerabilidad de los números algebraicos.

Como los reales son los algebraicos más los trascendentes, concluimos que no sólo existen, sino que los hay en cantidad no numerable. Esto es: casi todos los reales son trascendentes.

Este casi todos parece una afirmación vaga, y sin embargo no lo es: quiere decir exactamente que TODOS los reales son trascendentes excepto un conjunto de reales de medida nula. Esta frase es más profunda de lo que parece, pero necesitaríamos muchos post para hablar de la teoría de la medida, y en particular de la medida de Lebesgue . Quizás lo hagamos en breve.

Pues bien, estamos en 1.874. Cantor demuestra la ubicuidad de los trascendentes dentro de los reales... y sin embargo no se conoce ningún número trascendente. El primero no es pi , ni e, cuyas trascendencias se demostrarían años después. El primero número trascendente concreto conocido es la llamada Constante de Louiville .

Su valor es el siguiente:

L = 0.110001000000000000000001000...

Esta constante tiene todos sus decimales igual a cero a excepción de aquellas situadas en posiciones factoriales:1!=1; 2!=2; 3!=6; 4!=24; etc. Se trata de un número construido efectivamente para ser trascendente.

El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que pi es trascendente.

Estas demostraciones ya no son elementales, en el sentido de que utilizan un fuerte arsenal de métodos integro-diferenciales para llegar a buen puerto.

En general, el estudio de los números trascendentes es difícil, más aún que cualquier tema de teoría de números. Particularmente uno de los retos de Hilbert era dilucidar si a ^b es trascendente cuando a y b son algebraicos, con a diferente de cero y de la unidad y con b irracional. Este enunciado está englobado en el conocido como Séptimo problema de Hilbert . En 1.934 fue demostrada esta parte del séptimo problema por Gelfond y Schneider independientemente.

La teoría de los números trascendentes es una parte muy difícil de una disciplina ya de por sí difícil como es la teoría de números. La única demostración on line del teorema de Gelfond-Schneider en castellano que he podido encontrar está en la nunca suficientemente alabada labor del profesor Ivorra de la Universidad de Valencia. La teneis aquí.

Un tema profundo del que no puedo hablar mucho más aquí; y no por las limitaciones del blog, sino por las de su autor...

Feliz fin de semana a mis lectores. Espero que a parir del lunes retomemos la actividad habitual en Tio Petros; un poco interrumpida desde la Semana Santa.

Metáforas peligrosas y un pésame.

Ya lo hemos comentado otras veces: la ciencia es una labor compleja. Utilizamos modelos que sustituyen a la realidad, simplificándola y haciéndola asequible al análisis. Esta sustitución es siempre peligrosa, pues en el fondo se trata de una metáfora cuya licitud está por demostrar.

En el genuino quehacer científico existen muchos mecanismos incluídos en ese conglomerado conocido con el nombre de "método científico" que ayudan elaborar buenos modelos, o al menos a rechazar los malos, pero en la tarea divulgativa es donde el peligro es mayor.

No en vano Richard Dawkins ⁽¹⁾ nos habla de la buena y de la mala poesía científica en el uso de metáforas presuntamente explicativas.

Todo esto viene a cuento por dos circunstancias coincidentes en el tiempo. Por un lado Vailima me ha regalado el macrolibro "La estructura de la teoría de la evolución para mi cumpleaños. He sentido desde niño fascinación por la evolución, pero he de reconocer que a pesar de su aparente simplicidad esconde matices muy ricos en los que es muy fácil perderse. Me sorprendo muy a menudo oyendo incluso a médicos hablando en clave lamarckista...lo que demuestra que algo hay en la teoría de la evolución que nos dificulta su comprensión y aceptación.

La metáfora se revela como doblemente peligrosa en un tema como éste. Mis ávidas visitas a excelentes lugares como El Paleofreak o Evolucionarios me ayudan a no perderme, pero necesitaba el tomazo de Gould afianzar conceptos.

Por eso ha sido muy gratificante encontrarme con este párrafo:

Puesto que los primates somos animales visuales, los argumentos complejos se representan o sintetizan mejor en forma gráfica. Así pues, la búsqueda de un icono óptimo es un asunto no trivial, aunque los estudiosos raramente prestan a este tema la atención que se merece, porque es muy alto el riesgo de confusión, de metáforas fuera de sitio y de reemplazo del rigor por la "intuición" desencaminada.⁽²⁾

Que una persona que aunaba las tareas de investigador y divulgador de la manera en que lo hacía Gould resalte este extremo me parece aleccionador. !Qué diferente esta precaución de la actitud despreocupada y vana de los amigos de lo paranormal a lo hora de manejar metáforas ilícitas!

Sin embargo hoy no es día para incidir en ello. Prácticamente a la vez que abría el libro de Gould me enteraba de la muerte de Fernando Jiménez del Oso . Para mí uno de los tres pilares del asunto paranormal en España. No obstante hoy es día para el recuerdo de la persona, y no para la crítica. Nunca olvidaremos la imagen del psiquiatra de aspecto tenebroso hablándonos de presuntos misterios, imagen que forma ya parte del imaginario popular. Lo recuerdo en un salón poco iluminado, como un Rodríguez de la Fuente del más allá invitándonos a penetrar en el terreno de lo inverosímil. Había algo en su dicción que obligaba a escucharlo. Siempre será mejor su recuerdo que la imagen de los múltiples "hinbestigadores" con muchos bolsillos que han venido trás él.

Don Fernando, descanse en paz.

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(1) "Destejiendo el arco Iris". Richard Dawkins. Ed. Tusquets
(2) "La estructura de la teoría de la evolución". Stephen Jay Gould. El. Tusquets. p.39"

Una reunión para recordar la prehistoria

A veces uno recibe llamadas de teléfono que le alegran el corazón.

Así me ocurrió el sábado pasado cuando mi amigo Jesús Martínez Villaro me llamó para decirme que Félix Ares quería juntarse con nosotros dos y recordar los tiempos en los que no existía movimiento escéptico organizado alguno en España; época en la que nos conocimos y organizamos nuestras primeras investigaciones. Con ellos viví las experiencias relatadas en este blog sobre el proyecto Iván, con ellos conseguimos las pretendidas fotos Kirlian que les comenté hace unos post...

Con ellos dimos charlas en San Sebastián, y pasamos inolvidables jornadas aprendiendo cosas.

Por eso, recordarlas fué un placer añadido al de disfrutar de su compañía.



En la foto, Félix Ares y Jesús Martinez, mientras el primero nos demuestra que se puede explicar la esencia de la relatividad restringida y general en cinco minutos. (Dos minutos y medio para la primera y otro tanto para la segunda).

A eso le llamo yo capacidad de síntesis.

Lo dicho; un verdadero placer.

La potencia sin control no sirve de nada

Hemos hecho hincapié varias veces en el blog de la importancia de la experimentación en la validación de las teorías científicas. Si la ciencia es el estudio de lo real, es lo real quien debe refrendar la utilidad si no la verdad de nuestra teoría.

La bajada al mundo de lo real para experimentar, para falsar las teorías y para comprobar predicciones es el freno necesario a la elucubración vana. Es necesaria una realimentación que nos dote de un control.

La metodología científica tiene bien definido el asunto, de manera que la realimentación que supone bajar a la realidad y comprobar la utilidad de las hipótesis es absolutamente imprescindible en ciencia. Hasta aquí ningún problema. La matemática se sitúa en un estatus diferente por no tener la realidad como objeto de su estudio, pero de eso ya hemos hablado innumerables veces.

Aquí hablamos de ello.

En dinámica de sistemas se ve que los sistemas realimentados exhiben o pueden exhibir comportamientos de autocontrol muy notables, cuando la realimentación funciona correctamente. Este principio es válido para ecosistemas, circuitos electrónicos, economía, meteorología y para muchas disciplinas muy alejadas unas de otras. En ausencia de ciclos realimentados no hay autocontrol.

¿Qué ocurre cuando un sistema de pensamiento, racional por lo demás en el sentido de que utiliza al menos en parte la razón para producir sus asertos, se ve privada de esta realimentación? Pues sucede que no hay control, y nos podemos ir por las ramas de la elucubración más asombrosa e inútil hasta el infinito.

Vean y disfruten con la Suma Teológica de Santo Tomás de Aquino .

Aquí encontrarán sesudas disquisiciones para responder a una trascendental pregunta:

Los ángeles, ¿difieren o no difieren en especie?

Aquí verán respondidas las tres preguntas siguientes:

Los ángeles, ¿tienen o no tienen cuerpos unidos a sí naturalmente?

¿Toman o no toman cuerpos?

En los cuerpos que asumen, ¿ejercen o no ejercen acciones vitales?

No menos inquietantes son las dudas planteadas por las tres preguntas siguientes, y respondidas aquí.

El ángel, ¿ocupa o no ocupa lugar?

El ángel, ¿puede o no puede estar en muchos lugares a la vez?

¿Pueden o no pueden muchos ángeles estar en un mismo lugar?

Para terminar, no podía faltar un estudio "serio" sobre la localidad o no localidad de los ángeles. Lo tienen ustedes aquí.

El ángel, ¿puede o no puede moverse localmente?

¿Se mueve o no se mueve de un lugar a otro pasando por el medio?

El movimiento del ángel, ¿es temporal o instantáneo?

El pensamiento crítico debe huir de simplificaciones excesivas. Quien leyendo esto saque la conclusión de que Santo Tomás de Aquino estaba simplemente loco quizás no esté yendo al origen de la cuestión. A mi no me cabe la menor duda de que era una mente poderosa. El problema es otro.

Ya lo decía el anuncio de Pirelli:

La potencia sin control no sirve de nada

Maraña de rectángulos ( y 2)

Como se ha afirmado en los comentarios del post anterior, debemos buscar la disposición de rectángulos que haga máximo el número de subdivisiones del plano, y esa disposición es la que tenga mayor número de intersecciones entre los rectángulos.

Dados dos rectángulos, el número máximo de intersacciones es de ocho, y se da cuando están girados uno respecto de otro. La situación se observa perfectamente considerando cuadrados (rectángulos al fin y al cabo) concéntricos y girados 45 grados uno respecto al otro. Definen nueve regiones. Ocho regiones que pertenecen tan sólo a un rectángulo (las puntas) y otra grande que pertenece a ambos.

Cuando tenemos tres rectángulos tenemos 4·3=12 puntas que pertenecen a un solo rectángulo, otras doce que pertenecen a dos y una que pertenece a los tres. (ver figura)

En el caso general, tenemos 4n regiones que pertenecen a un sólo rectángulo (las puntas), y el mismo número de regiones que pertenecen a dos, a tres... a (n-1) rectángulos y una sola que pertenece a todos ellos.

Compruébenlo en la ilustración siguiente, para el caso de cinco cuadrados:



Por tanto, operando un poco, si llamamos F(n) al número de regiones en que se divide el plano con n rectángulos en esta disposición, tenemos:

F(n) = 1 + 4n + 4n + ... +4n donde hay (n-1) sumandos de 4n.

Por tanto:

F(n) = 1 + 4n(n-1)=1 + 4n² - 4n = (2n-1)²

Dado que teníamos F(n)= 18.769 regiones, el número mínimo de rectángulos corresponderá con el número de rectángulos de la disposición anterior, de máxima intersección. Tenemos:

18.769 = (2n-1)²

Osea, n = 69; como había afirmado none en un comentario anterior, y no 68 como había dicho yo...

Así pues, podemos afirmar que el número de rectángulos de la disposición del enunciado tiene en 69 su cota mínima.

PD.- Mewt planteaba en los comentarios la ecuación F(n)=2 + 4n(n-1), seguramente contando la región no acotada exterior a todos los rectángulos. En el enunciado se eliminaba la contabilización de la zona no acotada para evitar dudas.

Maraña de rectángulos

Les propongo un problema que acabo de encontrar:

Tenemos un cierto número de rectángulos distribuidos sobre una superficie plana. Existe total libertad en la forma de los mismos, y en la disposición en el plano. Se pueden superponer, intersectar y todo lo que ustedes quieran. Una vez colocados, dividen el plano en una serie de regiones finitas. Denominaremos "región" en este contexto a cada una de las menores divisiones del plano, es decir: a las áreas finitas que no están a su vez subdivididas .

Si sabemos que una de tales disposiciones de rectángulos tiene 18.769 de tales regiones, ¿cuál es el mínimo número de rectángulos utilizados?

PRIMER ANIVERSARIO

.

El amor es una superficie de sexto grado

La teoría de superficies es una de las partes más bellas por lo visual de la matemática.

Pero pocas veces tenemos la oportunidad de visualizar una superficie matemática, con su fórmula analítica que nos recuerde tanto a un símbolo universal como la que ahora les propongo: el corazón.

Esta superficie responde a la ecuación de sexto grado siguiente:

(x²+9/4·y²+z²-1)³ - x²+z³-9/80·y²+z³ = 0

Pueden ver en la ecuación que algunos coeficientes están ajustados a valores como "canónicos", como 9/4 ó 9/80 para conseguir el extraordinario resultado mostrado en la imagen.

En la siguiente imagen pueden ver un corte de dicha superficie con el plano y=0, que muestra un dibujo increíblemente parecido a lo que entendemos todos por el símbolo de "un corazón".



¿Cuál es el interés de dicha superficie?

Pues me temo que simplemente lo anecdótico del asunto.

Sin embargo y por encima de lo anecdótico, es interesante pensar en el hecho de que expresar la ecuación es, quizás la forma más compacta posible de dar toda la información necesaria para construir el objeto. Y es ahí donde el interés del tema aumenta:

¿Todo objeto "razonable" tiene una ecuación analítica que lo exprese?

¿Qué quiere decir "razonable" en la pregunta anterior?

¿Cuáles son las limitaciones?

¿Hasta dónde podemos disminuir la cantidad de información necesaria para expresar un objeto?

¿Aún en los casos en que es posible, sale computacionalmente demasiado caro reproducir el objeto a partir de la ecuación?

¿Tienen mis lectores alguna opinión al respecto?

Cuádrame esta lúnula.

En una ocasión, hablamos de los ingenuos trisectores de ángulos.

Llamábamos así a estas personas empeñadas en demostrar lo imposible. Existe una fauna muy variada de personajes de este pelo; en cuestiones físicas se agolpan alrededor del mito de la máquina de movimiento continuo, y en matemáticas alrededor de tres problemas imposibles: la duplicación del cubo, la trisección de un ángulo cualquiera y la cuadratura del círculo .

Decíamos entonces que la imposibilidad de estas tres construcciones se debe a resultados que provienen de la teoría de Galois, y que se resumen en dos proposiciones, ambas perfectamente consolidadas, demostradas y admitidas por la comunidad matemática desde hace muchísimo tiempo:

1.- Todos los números de Q son construibles.

2.- Un número real es construible si y solo si es solución de una ecuación de grado potencia de dos en Q
La cuadratura del círculo implica al número pi, que no es solución de ningún polinomio en Q, la duplicación del cubo implica la construcción de la raíz cúbica de dos, que es solución de un polinomio de grado tres (no es potencia de dos), y la trisección del ángulo de 60º implica la construcción de otro número solución de una ecuación de grado tres, y por lo tanto las tres son imposibles. Pueden existir métodos para trisecar un ángulo concreto (el del ángulo recto es trivial), pero nunca, NUNCA el de 60º.

Sucede que existen ciertos problemas parecidos en apariencia a los tres anteriores, que sí son posibles, y vamos a ocuparnos de uno de ellos: la cuadratura de la lúnula de Hipócrates .

Una lúnula es la porción de plano comprendida entre dos arcos de circunferencia. En la figura tienen una lúnula de Hipócrates , que es una lúnuna con las proporciones dadas por las dimensiones de un cuadrado ABDC. Uno de los dos arcos es el ABC, con centro en 0 y radio r = OA. El otro es el APC, con centro en D y radio R = AD.

El área de la lúnula es la diferencia entre el semicírculo de centro en O y radio OA y el sector circular APC

Llamemos A_L al área de la lúnula; A_s al área del semicírculo y A_t al área del sector antes citados.

Tenemos A_L = A_s - A_t
Y desarrollando podemos escribir:



Así pues, el área de la lúnula es r ², y como r ²=R²/2, tenemos que el área de la lúnula es la mitad del área del cuadrado ABCD, o lo que es lo mismo: es igual al área del triángulo ABC, todo ello perfectamente construible con regla y compás a partir de la lúnula.

¿A que es sorprendente un área de una figura limitada por arcos de circunferencias en la que no aparece pi?

Y es que la resta de dos números irracionales ( o en este caso lo que es aún peor: transcendentes) bien puede ser un número racional.

En el fondo no hay misterio alguno: la explicación radica en la igualdad de dos áreas: el área A_s del semicírculo ABC, y el área del cuadrante de círculo de centro en D y radio R. Llamemos X a dicho área.

El área de la lúnula es igual a la diferencia entre A_s y A_t. La primera vale X y la segunda vale (X -Q) siendo Q el área del triángulo ADC.

Por ello, el área buscada vale

A_L = X - (X -Q) = Q.

Tanto (X -Q) como X son trascendentes, no así Q, que es un número bien racional.