Tio Petros
Temas
Archivos
Enlaces
Matemáticas
Ciencia
Escepticismo
Bitácoras amigas
Divulgación
Estadísticas
Otros
Se muestran los artículos pertenecientes a Diciembre de 2003.
Así multiplicaban los árabes en el siglo XIII
Algunos conocimientos matemáticos son indispensables para desenvolverse en el mundo. Y de estos, los algoritmos de suma, resta, multiplicación y división (las cuatro reglas) son el mínimo imprescindible. Un algoritmo es una colección de reglas para obtener un resultado a partir de unos datos. Si se siguen correctamente los pasos, llegamos al resultado correcto, aunque no sepamos los motivos por los cuales el algoritmo es como es y no de otra manera.
Luca Pacioli recoge en su Summa de arithmetica, geometria, proporzioni et proporzionalita , editado en Venecia en 1.494; un procedimiento árabe del siglo XIII para obtener el producto de dos números de cualquier cantidad de cifras, que se aparta del habitual que conocemos, si bien es completamente equivalente a éste.
Intentando ser fiel a la propuesta inicial de apartarme del tópico, les voy a explicar en qué consiste dicho algoritmo.
El ejemplo de la imagen multiplica 437 X 456. Como ambos números tienen tres cifras, se parte de un cuadrado subdividido en 3x3 celdas, y se subdivide cada celda como se indica en la figura de la izquierda. Uno de los números a multiplicar se escribe sobre el segmento superior escrito en sentido habitual, y en otro en el lateral, de abajo arriba.
En cada celda se escribe el producto de los dígitos correspondientes, colocando las unidades en la subcasilla superior, y las decenas, si las hubiere, en la inferior.
Se suma diagonalmente, acarreando a la diagonal siguiente las llevadas, si las hubiere.
El resultado aparece en las sumas de las diagonales, en el sentido que indica la flecha verde.
Puede parecernos un método exótico, pero es fácil comprobar que en esencia no se diferencia demasiado de nuestro método habitual.
____________________________________________________________________
Por cierto, no viene nada mal reivindicar la figura de Luca Pacioli, uno de los grandes hombres del renacimiento italiano. Pueden ver un soberbio retraro que le realizó Jacopo de Barbari en 1495, un año después de ver publicada su Summa arithmetica .
El poliedro de Szilassi (1)
Una de las posibilidades más increíbles de la matemática es que permite demostrar la existencia o inexistencia de objetos (incluso geométricos, que podamos construir o tallar en un trozo de madera) de los que poco sabemos: un puñado de propiedades tal vez, pero no su aspecto. Tengan presente que estoy hablando de existencia matemática, de forma platónica.
Esa posibilidad es tan potente que la matemática la exporta al resto de las disciplinas científicas. Cuando leemos que un científico postuló la existencia de una partícula años antes de que fuera descubierta, estamos asistiendo a este aspecto de la ciencia del que hoy les quiero hablar.
La matemática ocupa un estatus muy especial dentro de la ciencia: no estudia el mundo, sino los modelos abstractos que los científicos construyen para entender el mundo. Si los modelos son adecuados y la matemática subyacente a ellos postula la existencia de un determinado objeto, tiene mucho sentido buscarlo y encontrarlo.
Con la matemática pura, no aplicada, pasa algo parecido, si bien el símil no es completo: no nos referiremos a la existencia física de un objeto, sino a la existencia matemática. No partiremos de un modelo del mundo que quizás, después de todo, sea falso, sino que trabajaremos sin hipótesis adicional alguna. Y si conseguimos demostrar nuestra afirmación, así quedará hasta el fin de los tiempos.
Quiero invitarles a un paseo quizás un poco más empinado que en otras ocasiones, pero que intentaré hacerlo fácil. Me gustaría llegar con ustedes a la convicción de que existe un cuerpo tridimensional muy especial del que a priori nada sabemos, y hacerlo pasito a pasito. Nos adentraremos un poco en aspectos topológicos y geométricos en general.
En el fondo, si yo pudiera demostrar tales cosas por mí mismo, seguramente no estaría haciendo un blog, sino escribiendo en revistas especializadas, de manera que les confesaré desde el principio que hay una trampa: el objeto YA fue descubierto en 1.977.
Es un poliedro muy especial, como verán. Espero que el viaje les sea ligero, aunque quizás en algún momento requiera un poco de concentración. Para hacerlo más liviano, partiremos el asunto en varios post.
Comenzar por los llamados sólidos platónicos me parece lo más apropiado. Como sabrán, los poliedros regulares son aquellos cuerpos sólidos cuyas caras son polígonos regulares, todas ellas iguales. Existen cinco (ni uno más ni uno menos), que son: el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Los pueden ver en la figura.
Cada uno de los cinco es una pequeña maravilla, que queda empequeñecida ante la magnificencia de la demostración de que estos son todos los poliedros regulares. Esta demostración es (según mi humilde entender) una de las más bonitas cosas que los matemáticos hayan realizado nunca. No en vano, el propio Carl Sagan no pudo resistirse, y en las últimas páginas de su best seller Cosmos incluyó la demostración . Hizo bien. Incluyó también la demostración de que la raíz cuadrada de dos es un número irracional, algo de importancia imposible de calibrar si uno no sabe previamente el horror que tal hecho causaba a los griegos, pero esa es otra historia.
La demostración que explica Sagan de que cinco son los sólidos platónicos, o regulares, se basa en una propiedad muy importante de todo poliedro, que los niños aprenden en los colegios con el nombre de Teorema de Euler , como si el bueno de Euler hubiera demostrado un único teorema en su vida.
Este teorema se expresa mediante la siguiente fórmula:
C – A + V = 2
Siendo C el número de caras, A el de aristas y V el de vértices. Lo que los niños no saben es que esto sólo es cierto para poliedros sin agujeros. Un prisma hexagonal con un agujero hexagonal en el centro por ejemplo no lo cumple. La fórmula generalizada para todo tipo de poliedros es:
C – A + V = 2 - 2h
donde h es el número de agujeros. Estamos en terrenos topológicos, donde lo que estudiamos son las propiedades más escondidas de los cuerpos geométricos: aquellas que permanecen invariantes por mucho que los deformemos mientras la demormación sea continua. El número entero C – A + V se llama característica de Poincaré de dicho cuerpo, por buenos motivos que veremos en su día.
Llevo cierto tiempo queriendo hablar de esta fórmula, engañosamente simple y de los secretos que encierra, pero lo dejaremos para mejor ocasión, y si les parece la daremos por buena. Cuando un cuerpo no está formado por caras planas, podemos hacer mediante deformaciones contínuas que sí lo sean, por lo que podemos hablar de su característica de Poincaré del mismo modo. Así, una esfera podemos convertirla en un cubo a martillazos, por lo que su característica de Poincaré será igual a 2, igual que cualquier sólido platónico.
De entre los cinco sólidos platónicos, sólo uno cumple la propiedad de que dado un par de caras, tienen frontera común: una arista. Para los otros cuatro, siempre podemos encontrar dos caras que no se toquen, y por lo tanto no compartan ninguna arista.
Nuestra pregunta es doble: ¿existen más poliedros (regulares o no) que exhiban esta propiedad del tetraedro? ¿Caso de existir, qué podemos saber de ellos?
La reflexión sobre esta pregunta nos llevará bastante lejos, y descubriremos que la respuesta es positiva, y que aún sin saber cómo demonios pueden ser dichos cuerpos, podemos afirmar de una forma aparentemente mágica pero perfectamente rigurosa muchas de sus propiedades.
Posteriormente, presentaremos tal cuerpo: el poliedro de Szilassi . Espero que el asunto tenga el suficiente misterio como para que me quieran acompañar en este paseo.El poliedro de Szilassi (2)
Centrémonos en nuestra pregunta: ¿puede existir algún poliedro, además del tetraedro (regular o no) tal que cualquier par de caras tenga una arista en común?
Sabemos que, si no tiene agujeros, debe cumplir la relación:
(1) C – A + V = 2
Además, podemos establecer una relación entre las caras y las aristas. Efectivamente, habrá tantas aristas como parejas de caras. Si tenemos C caras, tendremos C(C-1)/2 aristas.
¿Porqué? Pues muy sencillo: Dada una cara cualquiera, tiene (C-1) caras más con las que formar una arista, luego tendremos C(C-1)/2 posibilidades. Dividimos por 2 porque cada arista ha sido contada dos veces: cuando tomábamos una de las caras, y cuando tomábamos la otra. Dicho de otra forma: el número de aristas es igual al número de parejas de caras, que es la combinación de C elementos tomados de dos en dos.
Así pues, tenemos:
(2) A=C ( C – 1 ) / 2
Respecto a los vértices, ¿podemos decir algo? Pues sí, podemos: en un vértice deberán unirse exactamente tres aristas. Menos de tres es imposible si queremos tener un sólido con volumen; y si fueran cuatro o más, tendríamos dos caras que sólo comparten un vértice, y queremos que toda pareja de caras comparta una arista. También sabemos que una arista corresponde por definición a dos vértices, luego podríamos contar el número de aristas contando el número de vértices, multiplicándolo por tres y dividiendo entre dos.
Por lo tanto:
(3) A = 3 V / 2 => V = 2 A / 3
Tenemos tres ecuaciones contres incógnitas: sustituyendo la segunda y la tercera en la primera, obtenemos lo siguiente:
C2 - 7C –12 =0
Que tiene dos soluciones: C=3 y C=4.
Con tres caras no tenemos poliedro alguno, y con cuatro tenemos lo que ya sabíamos: EL TETRAEDRO . Por lo tanto, no existen más poliedros, al menos sin agujeros, que cumplan la propiedad del tetradero.
Hemos demostrado un teorema de inexistencia, y eso es más fuerte de lo que en principio parece: no existe, ni existirá ni ha existido jamás un poliedro tridimensional sin agujeros con la propiedad de que toda pareja de caras se encuentra en una arista, salvo en tetraedro (regular o no, eso no importa ahora).
Debemos pues buscar entre objetos más exóticos: vayamos a los poliedros con un agujero; topológicamente equivalentes a un toro o una rosquilla.
Dentro de esa fauna encontraremos lo que queremos. Será en el siguiente post.El Poliedro de Szilassi (y 3)
Vamos a investigar si puede existir un poliedro tridimensional con un agujero( topológicamente similar a una rosquilla o a un toro) que tenga la propiedad tetraedral consistente en que todo par de sus caras se encuentra en una arista.
Ahora el fórmula del ”Teorema de Euler” nos dice que
C – V + A = 2 – 2h
Como h es el número de agujeros, y ahora tenemos uno, la cosa queda así:
C – V + A = 0
Diremos que la característica de Poincaré de los poliedros con un agujero vale cero. Las otras dos ecuaciones que ligaban aristas , vértices y caras permanecen invariables, pues surgían naturalmente de la imposición de que cara par de caras compartieran una arista común.
Si introducimos aquellas dos ecuaciones, que eran:
A = C ( C – 1 ) / 2
V = 2 A / 3
Obtenemos:
C2-7C=0 , que es lo mismo que:
C ( C – 7 ) = 0
Que tiene dos soluciones; C=0 y C=7. La primera no nos interesa, porque con cero caras poco podemos hacer, y la segunda es la gran sorpresa:
Con siete caras, tenemos A=(7x6)/2=21 aristas y V=21x2/3=14 vértices. Así pues, parece existir un extraordinario poliedro con tan sólo siete caras, con 21 aristas y 14 vértices, que es topológicamente similar a una rosquilla por tener un agujero, y que además cada par de caras se encuentran en una arista. Podemos saber además que todas las caras son hexagonales, pues cada una de las siete debe tener una arusta común con las seis restantes. Sabemos también que de cada vértice salen exactamente tres aristas
Lajos Szilassi presentó en sociedad tal joya geométrica en el año 1.977: el heptaedro toroidal , o poliedro de Szilassi.
Tiene exactamente las propiedades que hemos predicho: tiene un agujero, siete caras hexagonales, 21 aristas y 14 vértices. Pueden admirarlo en la figura. Si alguien tiene el interés de construirlo, tiene también el desarrollo del mismo.
Espero que les parezca, como me parece a mi, maravilloso que podamos saber todas las características importantes de un objeto mucho antes de que sea descubierto. Con la única fuerza del razonamiento matemático.
¿Se acuerdan del teorema de los cuatro colores?
Cuatro colores bastan para colorear cualquier mapa sobre un plano o sobre una esfera de forma que dos países que comparten frontera común sean de distinto color.
El teorema era topológico, de forma que nada nos afirma del número de colores necesarios para un mapa sobre un toro, por ejemplo. ¿Qué relación tiene esto con el poliedro de Szilassi?
De ello hablaremos en el siguiente post.Siete colores sobre un toro
Hemos hablado varias veces sobre el Teorema de los cuatro colores.Decíamos que era un ejemplo clásico de dificultad de demostración matemática, aunque el enunciado era entendible por todo el mundo:
Bastan cuatro colores para colorear cualquier mapa plano o esférico de forma que dos regiones con frontera común sean de color diferente.
Nunca se podrá encontrar un mapa que necesite más colores.
¿Qué sucede si el mapa no está sobre un plano o esfera, sino sobre una superficie toroidal?
Imaginen un poliedro de Szilassi real, construido con un material elástico. Imaginen que vamos inyectando aire para hinchar el poliedro. Poco a poco sus caras planas se irán curvando por la presión del aire interno; los vértices irán perdiendo su agudeza, haciéndose cada vez más romos. Las aristas también se irán curvando y al final, suponiendo que el material aguante, tendremos un toro hinchado: como un donut o un neumático.
Si a priori teníamos cada una de las siete caras pintadas de un color, ahora tendremos un toro, como un neumático de siete colores. Cada una de las primitivas caras del poliedro se han convertido en un región del toro, con las formas cambiadas; y sin embargo mantienen sus propiedades esenciales: cara región tiene frontera común con las otras seis, pues el poliedro de Szilassi tenía esta propiedad: cada pareja de caras tenía una arista común, convertida ahora en frontera entre dos regiones.
Nos es ahora completamente evidente que con menos de siete colores es imposible colorear el toro. Eso no quiere decir que no haya (que las hay) mapeados de regiones que hagan posible el coloreado con menos colores; pero hemos hallado una división de la superficie del toro imposible de colorear con menos de siete colores.
Es sorprendente que una superficie sólo un poco más complicada que una esfera tenga un número cromático casi el doble que ésta.
He leído por ahí que esta reflexión es una demostración de que el número cromatico del toro es siete, pero no estoy de acuerdo. Es cierto que siete es el número cromático del toro, pero con nuestro ejemplo hemos dado una cota inferior para el mismo: no puede ser menor de siete.
Sabemos también que no puede existir un poliedro con un agujero que tenga más de siete caras si queremos que cada par de caras tenga frontera común con todas las demás, pero en principio pudieran existir poliedros de ocho o más caras que, sin exhibir conectividad completa entre las caras, la tengan suficientemente alta como para necesitar más de siete colores. No obstante, es mucho más fácil demostrar convenientemente el Teorema de los siete colores en un toro que el Teorema de los cuatro colores en un plano.
Es bastante misterioso, pero cierto que en topología a veces es muy fácil demostrar afirmaciones para espacios topológicos enrevesados, mientras que las demostraciones para los sencillos es endiablada, cuando no desconocida. Lo mismo sucede con el número de dimensiones de los espacios topológicos: hay afirmaciones que no ofrecen problema alguno en 20, 30 ó 500 dimensiones, mientras que en tres o cuatro son hoy por hoy imposibles. Esto hace que una de las ramas más difíciles del asunto se denomine precisamente topología de baja dimensión.
Por cierto; un toro (rumiante) es topológicamente equivalente a una esfera, y por lo tanto bastarían cuatro colores.(1)
(1) Si obviamos la existencia de tubo digestivo, porque en caso contrario es equivalente a un cilindro hueco; que a su vez es equivalente a un toro; esta vez en el sentido geométrico de la palabra...La proyección estereográfica de Riemann
Un lector me pregunta por la equivalencia topológica entre la esfera y el plano. Intuitivamente, parece ser que ambas superficies no son equivalentes. Después de todo, la esfera es una superficie muy diferente a un plano; no sólo por su forma (cosa poco importante en topología) sino por propiedades globales, como acotamiento.
En efecto, ambas superficies son distintas a nivel topológico. Lo que ocurre es que basta con eliminar un punto a la esfera para que dejen de serlo.
Supongamos una esfera descansando sobre un plano. Llamaremos punto S (sur) al único punto de contacto entre ambos, y punto N (norte) a la antípoda del punto S. Haremos corresponder cada punto P de la esfera con cada punto P’ del plano de la siguiente forma: unimos el punto N de la esfera con el punto P, y prolongamos la recta de unión hasta que corte al plano. Ese punto de corte es el punto P’, imagen de la proyección.
Es fácil darse cuenta de que cada punto de la esfera tiene su fiel reflejo en el plano, y viceversa; si exceptuamos el propio punto N, que no tiene correspondencia. Esta proyección se denomina proyección estereográfica de la esfera en el plano, o proyección de Riemann .
Los círculos de la esfera paralelos al ecuador se convierten en círculos en el plano con centro en el punto S, pero no se respetan las distancias (después de todo, la topología es lo que queda de la geometría cuando hemos suprimido la noción de distancia! ): cuanto mayor latitud norte tenga el paralelo, mayor es el radio del círculo proyectado en el plano. Un minúsculo paralelo muy cercano al punto N tendrá como reflejo un enorme círculo en el plano.
Un meridiano ( círculo máximo de la esfera que pasa por los puntos N y S, y es perpendicular al ecuador) se reflejará como una circunferencia degenerada en una recta que pasa por el punto S, y cualquier círculo máximo en la esfera intermedio se reflejará como una elipse más o menos excéntrica.
Ahora sí lo podemos decir: una esfera menos un miserable punto es topológicamente equivalente a un plano.
También podemos hacer que la esfera y el plano sean equivalentes de otra forma: en vez de eliminar un punto de la esfera, añadimos un punto al plano. Parece una estupidez añadir un punto a un plano (¿Dónde lo ponemos?) Sin embargo, no lo es. Se puede definir perfectamente un "punto en el infinito" que será el reflejo (a estas alturas espero que lo hayan adivinado) del puñetero punto N de la esfera; el único que quedaba sin emparejar. Esta construcción se denomina compactificación del plano mediante la adición de un punto en el infinito. ¿Qué está mal en esta foto?
Nunca veremos este espectáculo.
¿Porqué?Una vuelta de tuerca al problema de Monty Hall
En los comentarios de un post anterior se mencionaba el famoso problema de Monty Hall. No tenía intención de hablar de él, por aquello del compromiso inicial de huir del tópico; pero he encontrado una vuelta de tuerca al asunto muy interesante.
Recordemos el problema y su solución:
En un concurso nos ofrecen tres cofres: uno con un premio y dos vacíos. Elegimos uno de ellos, y luego el presentador nos abre uno de los otros dos, que está vacío. Ahora nos da la oportunidad de quedarnos con nuestra elección primera o cambiar. Supondremos que el presentador nos ofrece el cambio siempre, que no es una estrategia que use a su conveniencia.¿Qué debemos hacer?
La solución del problema es que debemos cambiar: de esta forma doblamos las posibilidades de llevarnos el premio. No quiero incidir en esto, pues está muy hablado ya, y el que no se lo crea puede revisar en la web mil páginas que lo explican. La aceptaremos sin discusión.
La vuelta de tuerca es la siguiente:
Tenemos TRES concursantes, cada uno de los cuales ha elegido un cofre distinto. El presentador abre uno de los cofres vacíos, con lo que el concursante correspondiente queda eliminado. Ahora, los dos restantes, que conocen la solución al problema de Monty Hall, cambian sin dudar sus respectivos cofres para doblar sus posibilidades: pero esto es absurdo!
Entre ambos tienen siempre el 100% de posibilidades, es imposible que doblen sus probabilidades ambos a la vez. Por otro lado, no vemos que ninguno de los dos concursantes pueda tener ventaja alguna sobre el otro...
¿Qué sucede aquí?
Quisiera animarles a participar con sus comentarios. Los comentarios son los que le dan vida al blog. Cada comentario es un regalo para el autor y para el resto de los lectores.
Cosas de los espacios infinitodimensionales
Nos es imposible visualizar un espacio de más de tres dimensiones, y sin embargo no tenemos ningún problema para trabajar con espacios de más dimensiones. Muchas veces, la extrapolación a mayor número de dimensiones es tan trivial, que en los libros de texto se omiten los detalles...
La cosa cambia sin embargo de forma drástica cuando el número de dimensiones es infinito.
Vamos a comentar una aspeto curioso y sorprendente de dos cuerpos infinitodimensionales: la esfera y el cubo.
No nuestra esfera ni nuestro cubo (hexaedro), ciertamente, sino el equivalente en espacios de dimensiones cada vez mayores, hasta llegar al infinito numerable.
Una esfera se define en cualquier espacio como el conjunto de puntos que equidistan de otro dado. Pasaremos por alto el "detalle" de que debemos tener definida una distancia entre cada pareja de puntos, y supondremos que estamos hablando de la distancia euclídea normal; esa que todos conocemos.
En dos dimensiones tenemos círculo, que es una superficie plana. En tres, tenemos la esfera de toda la vida; una superficie cerrada en forma de balón. Para treinta y cinco dimensiones, la definición es la misma; a pesar de que seamos incapaces de visualizar el objeto.
Un cubo unidad lo podemos definir como el conjunto de puntos generados por vectores unitarios de una base ortonormal del espacio, mediante combinaciones lineales en las que los coeficientes van de cero a uno. Este galimatías no quiere decir otra cosa que lo que todos ustedes saben: dado un punto de origen, que será uno de los vértices del cubo, dibujamos tantas flechitas perpendiculares entre sí como dimensiones tengamos, y ya tenemos las aristas del cubo que convergen en ese vértice... lo demás es dibujo lineal.
Pues bien: ¿Cuál es la longitud del mayor segmento que cabe dentro de un cubo y dentro de una esfera?
Para una esfera, es evidente que el mayor segmento pasa por el centro, y tendrá una longitud de dos veces el radio. Eso sucede con la esfera de en un espacio de dos dimensiones(círculo), y con la esfera en un espacio de tres (nuestra esfera de toda la vida). Por la propia definición de esfera, no importa la dimensión del espacio, del centro a cualquiera de sus puntos la distancia es constante e igual al radio, y el mayor segmento que cabe en el interior es un diámetro, de longitud doble al radio.
¿Y qué sucede con el cubo?
Pues la sorpresa es que el cuadrado, el cubo y las demás figuras correspondientes a máyores dimensiones tienen diagonales, cuyas longitudes son mayores que los lados. Para el cuadrado, la diagonal vale raiz de dos, y para el cubo vale raíz de tres. Una diagonal en un hipercubo n-dimensional mide raíz de n, que es una función creciente de n, y por lo tanto, en un espacio de infinitas dimensiones dentro de un cubo cerrado CABE UNA RECTA INFINITA.Zorionak denori
Me voy de vacaciones.
Este blog estará sin nuevos post durante unos días; pero esto sólo será para volver con más fuerza. Cinco meses han sido suficientes para saber que esta es una actividad muy gratificante, sobre todo por la participación de los lectores. Cuatrocientas visitas diarias de media (a pesar de que cada cierto tiempo el contador se pone milagrosamente a cero, y contando con que bastantes son mías) me dan pie a pensar que este humilde blog ha conseguido el hueco que pretendía: dar un paseo por la matemática sin pretender “hacer matemáticas”. Es vuestra participación la que da sentido al blog.
Por medio de este copo de nieve imposible (¿porqué es imposible?) os deseo a todos unas felices fiestas en euskera, que es el idioma de mi tierra.
A Rimblow, Crystal, Carlos, Shunt, Alby, Mariano, Quique, Sam Berimbad, Vailima, Timshel, Tute, Anónimo, Fernand0, Félix, jose, Eratóstenes, Manufirun, Narciso, Heimy, Pope, JuanPablo, luia, Clyde, Ricardo, malglam, enlavin, Pedro Jorge Romero, eMe, Miguel, Víctor R. Ruiz, Akin, R, mario, MiguelCT, Ramón, Moebius, daniel tubau, mini-d, Morgaine, Tío Johnny, Fiti, mig21, JoseMaría, Amanda,Mankel, Alberto, Suso, Paleofreak, Chewie, nodie y todos los que habeis dignificado este blog con vuestros comentarios:
FELIZ SOLSTICIO.
Cualquier idea, indicación, propuesta, mejora, cambio de rumbo... que querais proponerme, estaré muy gustoso de leer en los comentarios de este post.
.