Tio Petros

En muchos de los problemas con los que nos encontramos en la vida cotidiana, la proporcionalidad existente entre varios de los parámetros del problema nos permite emplear la técnica maravillosa de la regla de tres , ya sea directa o inversa.

No descubro nada nuevo si afirmo que la mayor parte de las veces, es un sexto sentido, una intuición la que nos dice si puedo o no emplear una regla de tres para resolver un problema. No será riguroso, pero al fin y al cabo, pocas veces nos confundimos, y ante problemas como el siguiente:

" Si Colón tardó tres meses en llegar a América con tres carabelas, ¿cuánto habría tardado llevando seis carabelas? "

a nadie se le ocurre emplear una regla de tres (espero)...

Demostrar que puedo emplear una regla de tres implica demostrar que existe una dependencia lineal, directa o inversa, entre las dos magnitudes o los dos parámetros que estoy utilizando. Cuando esto es así, la solución del problema es muy sencilla, si bien el interés matemático del problema será muy pobre. Cuando no es así, la resolución será más complicada (a veces mucho más complicada), pero el problema será más interesante.

Aún así, hay veces que sin existir proporcionalidad alguna aplicable la resolución sigue siendo sencilla. El único precio que hay que pagar es el de pensar el problema un momento y tener una chispa de intuición.

Ahí va un ejemplo de ello:

Tenemos dos mechas para explosivos. El fabricante nos asegura que cada una de ellas arde completamente en una hora exacta, pero el avance de la llama sobre la mecha perfectamente puede ser irregular: a veces se consume más rápido, y otras más lento.

Cómo haremos para cronometrar con las mechas un período de 45 minutos de tiempo? Tan sólo tenemos las mechas un encendedor y unas tijeras.

Hace un tiempo vimos aquí que el concepto de número, a pesar de las apariencias de ser el concepto central en la matemática toda, un concepto derivado de otro aún más primario: el de conjunto.

Siendo así, la definición del nuevo concepto debe retrotraernos al concepto primitivo, y definiremos los números (naturales) en utilizando el concepto previo de conjunto.

Pudiera ser para muchos lectores extraño, pero muchos de los conceptos matemáticos que por su extraordinaria utilidad son ubicuos en otras ciencias poseen definiciones de este estilo, que nos llevan a conceptos aún más primarios que el que estamos tratando.

Algo así pasa con el conocidísimo concepto de vector

Cualquiera diría que un vector es una magnitud que consta de módulo, dirección y sentido . Algunos sin embargo; más teóricos, explicarían que un vector es una entidad tal que para ser expresada necesita de n escalares (números); siendo n cualquier número natural.

Ambas definiciones son muy conocidas y sin embargo parecen ser (sólo parecer ser) totalmente diferentes. Más aún: ninguna de ellas recoge la realidad de lo que es verdaderamente un vector en sentido puramente matemático. De hecho; entidades que no necesiten más de un escalar para ser expresadas pueden ser perfectamente vectores, de la misma manera que objetos que no tengan dirección ni sentido. Más aún: objetos que no puedan ser expresados con ningún número n finito de escalares también puede ser un vector. Una matriz puede ser un vector, al igual que una función real de variable real,o una función compleja o imaginaria; al igual que un giro o una traslación, o cualquier otra cosa.

¿Qué es entonces un vector?

La definición matemática de vector es más infinitamente más primaria.

DEFINICION DE VECTOR
Un vector es todo elemento de un espacio vectorial.


No, no es una broma.

La definición anterior presupone la existencia de espacios vectoriales, los cuales se definen en base a nociones conjuntísticas y algebráicas; sin la menor mención a lo que pudiera ser un vector, de manera que no existe circularidad alguna en las definiciones. Lo interesante de esta reflexión es que los vectores (como tantos otros conceptos matemáticos) surgen simplemente como elementos de ciertas estructuras matemáticas previamente definidas, y no al revés. (Los espacios vectoriales no se definen como conjuntos de vectores).Cualquier propiedad que pudiera tener un vector será deducida de su mera pertenencia a esa estructura perfectamente definida que hemos llamado espacio vectorial.

Por supuesto, cuando uno trabaja con espacios vectoriales o con vectores, todo esto no tiene la menor importancia. Es a nivel profundo, conceptual, gnoseológico, donde el asunto se convierte en trascendental.

Y a nosotros, nos gustan esos niveles, y por eso hablamos de ello...

La colección METATEMAS de Tusquets editores nos tiene acostumbrados a espléndidos libros de alta divulgación. En esta ocasión hablamos del que hace número 81 en la serie: una recopilación de doce artículos sobre otras tantas ecuaciones importantes de la ciencia, y la belleza y elegancia que esconden tras de sí.

Entre las ecuaciones elegidas para este libro están las siguientes:

La famosa ecuación de Einstein de conversión materia - energía; la ecuación de Einstein de la relatividad general; la ecuación de onda de Schrödinger; la ecuación de Dirac; las ecuaciones de Shannon; la ecuación de Yang - Mills ; la ecuación de Drake sobre el número de civilizaciones en la galaxia...

En opinión de José Javier Etayo:

Ecuaciones que han de ser bellas, que tienen las mismas notas de universalidad, sencillez, inevitabilidad y carencia de todo elemento inútil propias de una obra de arte. Son, en fin, las que se manifiestan bajo “fórmulas elegantes”, con la elegancia a la que más de una vez se ha referido Julián Marías aludiendo precisamente a procesos matemáticos desarrollados con un mínimo de recursos: “elegancia viene de elegir”. Las únicas teorías físicas aceptables, según Einstein, son las que resultan bellas; lo que corrobora Dirac, para quien la búsqueda de la belleza era una motivación de sus investigaciones: “Las leyes físicas han de ser matemáticamente bellas”. El libro es una colección de ensayos de científicos e historiadores que guarda unidad de estilo y composición en el retrato de “unas ecuaciones que por su concisión, potencia y simplicidad pueden ser contempladas como auténtica poesía del siglo XX”.

En www.casadellibro.com podemos leer:

Graham Farmelo [el recopilador ]ha reunido a un extraordinario equipo de científicos y divulgadores que han puesto todo su entusiasmo y habilidad en la tarea que les encomendó: desmenuzar y analizar, cada uno, una ecuación, explicando no sólo el significado de los términos y el alcance de la realidad que enuncian, sino también las circunstancias en que se concibieron. Así, Fórmulas elegantes consigue enseñar deleitando y abrirnos los ojos a la belleza e importancia de esas breves sucesiones de símbolos que resumen verdades eternas.



El tratamiento de los temas es realmente interesante, pero hay algo que no comprendo: no entiendo que junto a la ecuación de Dirac o de Einstein se ponga la de Drake. Creo, y es tan sólo una opinión personal, que es un despropósito de enorme magnitud considerar siquiera la hiperfamosa ecuación de Drake a la hora de hablar de fórmulas elegantes. Ni muestra simetría alguna, ni contiene idea matemática interesante, ni nada de nada. Simplemente es tautológicamente cierta.

Para recordar un poco el asunto de la famosa fórmula de drake, la teneis aquí:

N_ET = N_s x f_p x N_e x f_l x f_i x f_c x L

N_ET = Número total de civilizaciones extraterrestres
N_s = Número total de estrellas en nuestra galaxia
f_p = fracción de estrellas que tienen planetas
N_e = Número de planetas "similares a la tierra" alrededor de cada estrella con condiciones aceptables para contener vida
f_l = fracción aceptable de planetas en donde la vida inició actualmente
f_i = fracción de planetas en dónde especies inteligentes evolucionan
f_c = fracción de especies inteligentes con capacidad tecnológica y deseos de comunicarse con nosotros
L = Promedio de vida de una civilización extraterrestre relativa a la edad de nuestra galaxia.

Como podeis ver, tiene su mérito a la hora de dividir una ignorancia supina en siete ignorancias algo más pequeñas. Importancia pedagógica en todo caso. Nada que se parezca a ninguna de las grandes fórmulas de la historia de la ciencia, que es lo que el libro promete.

Más imperdonable aún es la ausencia de las cuatro fórmulas maxwellianas del electromagnetismo.

Por cierto:

En una ocasión oí contar a Joan Oró que solía decirle a Drake cuando se lo encontraba por los pasillos de las estamentos científicos en los que coincidían: ¡Buena la armaste con la puñetera formulita, Frank! Tras lo cual, ambos echaban a reir.

A pesar de todo, creo que es un buen libro. Una buena recopilación escrita por expertos, cada uno en su campo, que siempre es interesante leer.

Normalmente, si a una persona le gusta la ciencia, le suele gustar la ciencia-ficción. No me pregunten porqué. Muchas veces es una cuestión de masoquismo. Casi siempre, cuando veo una película de SF, agarro cabreos monumentales, pero una y otra vez reincido en lo mismo, para desesperación de mi esposa.

Hace muchos años se denomino Ciencia ficción dura (hard) a aquella que violaba lo menos posible los conocimientos científicos del momento. Lo mínimo imprescindible para que pudiera haber historia. No se trataba de hacer un tratado de ciencia, pero al menos se trataba de que la cosa no chirriara demasiado.

Pues bien. A nivel cinematográfico, es muy difícil encontrar ciencia ficción Hard; al menos entre las películas de amplia distribución. Los errores normalmente suelen ser relatívos a la física- Aún recuerdo un bodrio que se titulaba El núcleo , realmente insoportable por las idioteces y sinsentidos constantes a lo largo de toda la historia...

Hoy hemos visto Alien Hunter . Buena para pasar la tarde.



Les transcribo más o menos una parte del diálogo, tal y como la recuerdo.

Hablan una bióloga y otro investigador. Están en la antártida, en una base científica. Acaban de tener contacto con una entidad extraterrestre y están haciéndose unos análisis de sangre para evaluar la probabilidad de contagio de un determinado virus alienígena.

- Doctora, ¿cómo evalúa la probabilidad de contagio?
- Según mis cálculos la probabilidad de que no estemos contagiados es de noventa y nueve como nueve nueve nueve, hasta el infinito.
- Entonces, no es del cien por cien!
- Efectivamente, no lo es.

Glubs!

Esto me recuerda a una vez que traté (sin éxito) de hacer comprender a alguien que no quería comprenderlo que cero coma nueve periódico era EXACTAMENTE IGUAL a uno.

Ven ustedes diferencias, significativas o no; entre 0'99999 periódico y 1?

Hace cosa de un mes, me desperté en el momento en que el sol estaba saliendo por mi horizonte. Como no es cosa habitual (que me levante en ese momento, no que el sol salga), le hice una foto con mi cámara digital y me olvidé del asunto. Pasados los días, al ver las fotos me acordé de una desilusión que ya se me había producido en otras ocasiones: el sol (o la luna) sobre el horizonte en las fotos parece ser mucho menor que en nuestro recuerdo. Si no hay efecto de zoom o ampliación posterior, las fotos de puestas o salidas de astros son decepcionantes.

Aunque recordamos la puesta de sol que hemos fotografiado más o menos así:



lo que obtenemos en la foto es algo como esto:



con un tamaño aparente del astro mucho menor que lo que recordábamos.

Dado que nosotros percibimos que cerca del horizonte el sol o la luna parecen más grandes, y dado que la cámara fotográfica no registra dicho aumento aparente de tamaño, la explicación de lo que percibimos deberá ser algo más elaborada que un efecto de aumento por parte de la atmósfera, por ejemplo: si así fuera, la cámara registraría el aumento aparente.

En el próximo post explicaremos los motivos de tal efecto, que tienen que ver con los tamaños aparentes de las cosas por un lado, y con nuestra forma de procesar la información en el cerebro por otra. Además, al explicarlo, podremos comprender las bases trigonométricas de otra ilusión muy corriente: si van ustedes atravesando un paisaje montañoso en coche, dejando las montañas atrás, y se dan la vuelta (NO LO INTENTE SI ES USTED EL CONDUCTOR!!!) para ver por la ventana trasera las montañas de las que se aleja el vehículo, se tiene la poderosa sensación de que las montañas están aumentando de tamaño; alzándose sobre nosotros incluso. En determinadas circunstancias ( si la velocidad del vehículo es grande) el efecto es muy llamativo. La culpa la tiene en gran parte una función arco tangente.

Pero lo veremos en el próximo post, si les apetece...

Todos sabemos que cuanto más lejos está un objeto, más pequeño lo vemos. Hablamos en todo caso de observación directa, sin instrumentos de aumento. Nos vendrá bien comprender el motivo y cuantificar un poco el asunto. En la figura aparece un objeto, como un rombo alargado, visto desde un punto a una distancia l, siendo d la diagonal mayor del rombo. Lo importante desde nuestro punto de observación es el ángulo alfa que ocupa el objeto. Cuando hablemos del tamaño aparente del rombo, nos referiremos a dicho ángulo. Con un poco de trigonometría, vemos que

tg (a/2)=d/(2·l)

y por lo tanto, a= 2 arc tg (d/(2·l))

Vemos por lo tanto que el tamaño aparente de un objeto depende exclusivamente de la relación (cociente) entre su diámetro real y la distancia que nos separa del mismo. Teneis la gráfica en la ilustración. Conviene recalcar que el eje horizontal no expresa distancias sino cociente de distancias, o si lo quereis: la distancia a la que estamos del objeto observado, tomando el diámetro del mismo como unidad de medida.

Es una función sin sorpresa alguna: decreciente y asintótica a cero, como debía ser. A distancia nula del objeto observado, su visión nos abarca 180 grados, lo que quiere decir que lo tenemos tan cerca que llena todo nuestro campo visual. Es lo que pasa con la tierra, que nos tapa exactamente la mitad del cielo si estamos en una zona completamente llana a ras de suelo.

El sol y la luna están aproximadamente a la misma distancia de nosotros si tomamos como escalas sus respectivos diámetros, de ahí que apreciemos aproximadamente el mismo tamaño en ambos. En ausencia de referencias añadidas, no tenemos evidencia directa de cuál de los dos está más cerca. Parecen dos astros de tamaño similar.

Sin embargo, resulta que el cerebro no se vale únicamente de los tamaños aparentes para estimar tamaños reales, sino que efectúa todo tipo de comparaciones. Pongamos un ejemplo: tengo en una calle a cierta distancia un niño con un globo, y tras él, bastante más lejos, otro niño con otro globo idéntico. Podemos hinchar el segundo globo hasta que desde mi punto de observación tenga el mismo tamaño aparente que el primero, pero en ese caso, no tendré ningún problema para saber que el globo más alejado es más grande: sé que está más lejos porque tengo mil referencias: ambos niños, la propia calle...) y lo aprecio moyor aunque tenga el mismo tamaño aparente que el cercano.

Eso es exactamente lo que pasa con el sol y la luna sobre el horizonte. Nuestro cerebro, por lo visto, imagina la bóveda celeste no como una semiesfera, sino como una cúpula elíptica, de forma que los puntos más alejados están en el horizonte, y el punto más cercano es el cenit. Aunque los tamaños aparentes son los mismos, una luna sobre el horizonte nos parece mayor porque la situamos más lejos que cuando está más alta.

Así de sencillo, sin necesidad de apelar a aberraciones atmosféricas, ni a cosas raras.

Y lo de las montañas que parecen alzarse sobre nosotros cuando nos alejamos en coche?

Si observan la gráfica de la curva de la ilustración, verán que la pendiente de la curva (su derivada, o ritmo de variación) va decreciendo paulatinamente (no podía ser de otra forma, si es asintótica a cero, continua y siempre positiva). Esto quiere decir que las variaciones de tamaño aparente según nos vamos acercando o alejando de los objetos que vemos serán mucho más acusadas para objetos que estén a distancias pequeñas de nosotros en (comparación con sus diámetros, no lo olvidemos !!!). Si nos alejamos de una montaña en coche, nos estamos alejando a una velocidad muy pequeña medida en (altura de montaña)/hora. Sin embargo, todo lo cercano que hace de marco a la montaña (los árboles que vamos dejando atrás, la propia carretera) sufre un efecto muy diferente: nuestra velocidad de separación medida en (altura de árbol)/hora es ahora muy grande a pesar de que nuestra velocidad real es la misma, y por lo tanto todo disminuye de tamaño a ritmo rápido menos la montaña, que lo hace muy lentamente. El efecto conjugado es que la montaña crece respecto al marco de referencia.

Existe un principio fundamental en ciencia, que es el principio de no autoridad. Afirma dicho principio que la importancia y relevancia de una determinada afirmación, teoría o trabajo científico es independiente de la importancia, relevancia o estatus de su autor.

Esto no es más que un principio higiénico, pero de importancia capital. Su funcionamiento es similar al de la Declaración Universal de los Derechos Humanos: no por el hecho de que una y otra vez sean violados y aplastados deja de ser imprescindible su formulación.

Es sintomático que, precisamente quienes menos aprecio sienten por la ciencia y sus métodos, esgriman a menudo opiniones, frases sueltas y citas de prestigiosos científicos de fama universal para avalar de alguna manera sus tesis. Sin embargo, teniendo claro el principio de no autoridad, debiéramos tener bien presente que Newton opinando sobre horóscopos no vale más que la bruja Lola, que Einstein cuando hablaba de la parapsicología o de extraterrestres no vale más que Rappel o que nuestro mentiroso local JJ Benitez.

Todo esto viene a cuento de una frase einteniana que me he encontrado en una página de parapsicología cuyo enlace no pondré, que dice:

No tenemos derecho, desde un punto de vista físico, a negar a priori la posibilidad de la existencia de la telepatía. (Einstein en una carta al Dr. Jan Ehrenwald, el 8.7.1946).

Las veleidades del genio no empañan para nada la extraordinaria grandeza de su producción científica precisamente por eso: nada tienen que ver con ella. Son temas independientes, y Einstein hablando de Ovnis o de telepatía no vale más, ni menos que nadie.

Esta frase, me da pie para hablar de otra cosa de la que no se suele hablar demasiado en ciencia: el llamado Efecto Mateo , denominación sociológica de un fenómeno de extraordinaria importancia en el quehacer científico que perviente la idílica situación esbozada por el principio de No Autoridad, y que explica porqué esta opinión personal del bueno de Albert parece tener un peso que en realidad no tiene.

Lo llaman así por referencia al texto del Evangelio según S. Mateo en el que, se habla de la distribución de los talentos por el amo. A la vista de la rentabilidad que le dieron los administradores del caudal recibido, dio más a los que habían recibido más y a otros, a los que dio menos, hasta eso les quitó y los expulsó fuera por no haberlo sabido hacerlo productivo. Y se justificó diciendo: "al que más tiene, más se le dará; y al que menos tenga, aun lo poco que tiene se le quitará".
En pocas palabras, el efecto Mateo consiste en que los investigadores científicos eminentes cosechan más aplausos que otros investigadores menos conocidos, por contribuciones equivalentes. Asimismo, quienes han publicado anteriormente sus investigaciones, consiguen con mayor facilidad que revistas científicas de primer orden publiquen sus trabajos.

Existen muchas opiniones del asunto, desde los que opinan que este efecto no es sino el reconocimiento a una labor previa, hasta los que opinan que dificulta enormemente el quehacer científico pervirtiendo sus bases. En todo caso, demuestra que la ciencia no es sino tarea de Hombres, (la mayúscula es para englobar a ambos sexos sin caer en horrores del tipo científicos y científicas , tan caro al lehendakari), con las grandezas y las miserias de los Hombres.

No es el propósito de este blog hablar de cine. Tio Petros es un blog bastante monotemático, siendo los paseos matemáticos su principal función, y arrimar el hombro hacia la causa racionalista y escéptica su segunda vocación. Sin embargo, muchas veces hemos dicho que la búsqueda de la belleza es una de las constantes del quehacer matemático. Y no toda la belleza es de contenido matemático (¡Faltaría más!).

Hace dos días, nos enfrentábamos Vailima y yo a una tontorrona tarde de Agosto sin otro cometido que contemplar atónitos la podredumbre que ha terminado por invadir todos los espacios televisivos vespertinos (salvo en lo concerniente al deporte olímpico). Cuando uno está ya a punto de renegar de la especie humana, sublime productora de bazofia y tontería, decidimos ir al videoclub y escoger una película.

Me reconcilio con la especie humana. Además de mierda, somos capaces de hacer maravillas. ¿Se puede contar una historia realmente intrascendente a lo largo de hora y media de forma que el espectador permanezca atónito ante la pantalla, gozando de la extraordinaria belleza de cada fotograma? Sí, se puede. Esta película es una muestra de ello.

A partir de este cuadro de Johannes Vermeer, pintor holandés del siglo XVII:



Peter Webber nos cuenta la historia de las circunstancias personales que se dieron en su creación.

Una belleza absoluta.

FICHA:

Director: Peter Webber / Productores: Andy Paterson y Anand Tucker / Guión: Olivia Hetreed, basado en la novela homónima de Tracy Chevalier / Fotografía: Eduardo Serra / Música: Alexandre Desplat / Montaje: Kate Evans / Diseño de producción: Ben van Os / Intérpretes: Colin Firth (Johannes Vermeer), Scarlett Johansson (Griet), Tom Wilkinson (Van Ruijven), Judy Parfitt (Maria Thins), Cillian Murphy (Pieter), Essie Davis (Catharina), Joanna Scanlan (Tanneke), Alakina Mann (Cornelia), David Morrissey (Van Leeuwenhoek), Anna Popplewell (Maertge)... / Nacionalidad y año: RU / Luxemburgo 2003 / Duración y datos técnicos: 95 min. Color 1:1.85.