Tio Petros

Reanudamos la actividad en Tio Petros tras el período vacacional de rigor.
Seguiremos paseando por los rincones más atractivos de la matemática; como siempre, si ustedes quieren.
Les deseo a todos un venturoso año nuevo.

Siempre he pensado que los lectores dan vida al blog. Lo he repetido varias veces, y no es una concesión de cara a la galería. Volviendo de vacaciones, he leído un comentario de Torek referente al artículo de las esferas y cubos infinitodimensionales.

Decíamos que en una esfera infinitodimensional de radio unidad, el mayor segmento que entraba en su interior era de dos unidades de longitud (cualquiera de sus diámetros); mientras que en un cubo el mayor segmento era infinito (de hecho, toda una recta).

Torek plantea una demostración de que lo anterior es falso, y que también en una esfera infinitodimensional cabe una recta infinita. El razonamiento no puede ser más sencillo y perturbador:

Dado que toda esfera tiene un cubo inscrito, y que dentro del cubo cabe, según se ha demostrado, un segmento infinito, con mayor motivo cabrá en la esfera. Por lo tanto, tanto dentro de una esfera como dentro de un cubo infinitodimensionales cabe un segmento de cualquier longitud, por grande que esta sea.

La elegancia del razonamiento es innegable... a pesar de ser falso.

Si les apetece buscar el error, les espero.

Las respuestas dadas a la paradoja del post anterior por Eratóstenes y Tute son muy satisfactorias, y completamente correctas. Vamos a verlo en este post desde otro punto de vista que nos ayudará a tomar contacto con algunas nociones que necesitaremos para hablar algún día de los Espacios de Hilbert .

Cuando queremos definir un punto de un espacio de n dimensiones, debemos dar n valores, que son las n coordenadas que se necesitan para ubicar dicho punto en el espacio. La distancia euclídea de dicho punto al origen nos viene dada por el teorema de Pitágoras: será la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados las n componentes.

De esta forma, podemos establecer una aplicación entre el conjunto de puntos del espacio y el conjuntos de números reales, de forma que a cada punto le corresponde el valor numérico de su distancia al centro. Si consideramos cada punto como un vector que nace en el origen y llega a dicho punto, dicho número se denomina norma del vector, y la aplicación se denomina norma del espacio, que ahora se dirá espacio normado. Existen otras normas que no son la euclídea, pero deberán cumplir una buenas propiedades para merecer tal nombre. Otro día hablaremos de ellas.

Un subconjunto del espacio se dice acotado si cabe dentro de una esfera maciza de radio suficientemente grande. Dicho de otra manera: si todos sus puntos están a una distancia no infinita del origen. (aquí el origen es arbitrario: podríamos decir si todos sus puntos están a una distancia no infinita de un punto dado).

Podeis observar que en el espacio de infinitas dimensiones tenemos una interpretación muy intuitiva de qué es cada “punto”: es una sucesión de infinitos números reales, sus coordenadas. Llegamos a la conclusión de que para que un punto esté a distancia no infinita del centro debe cumplirse que la suma de los cuadrados de sus coordenadas sea finita, pues sólo en este caso será finita la raíz cuadrada de dicha suma, y por tanto la distancia al origen. Esto ocurre por ejemplo para aquellos puntos que tengan todas las coordenadas igual a cero salvo un número finito de ellas, pero también puede ser que todas ellas sean diferentes de cero: debemos poner pues la restricción de que la serie que surge del sumatorio de los cuadrados de sus coordenadas sea convergente. Esta restricción es muy importante en los llamados Espacios de Hilbert , por ejemplo.

Si veis la definición de cubo macizo en este espacio, veremos que los puntos interiores tienen la restricción de que cada una de sus coordenadas es menor o igual a un número dado en valor absoluto. Los puntos que tengan todas el valor absoluto de sus coordenadas iguales a dicho valor son precisamente los vértices del cubo, si tenemos n dimensiones, como cada vértice puede tener cada una de sus coordenadas positivas o negativas, tenemos 2 ⁿ posibilidades, que nos da el número de vértices de dicho cubo.

En infinitas dimensiones, y pensando en el cubo de arista dada, infinitos son los vértices, pero en todos ellos el cuadrado de cada coordenada vale una cantidad no nula y mayor que cero ( al elevar al cuadrado (+z) ó (-z) obtenemos siempre una cantidad positiva); y la suma de todos estos cuadrados es infinita, luego cada uno de los vértices está a infinita distancia del origen. Poco importa que el tamaño de la arista: siempre que sea mayor que cero, obtenemos un objeto no acotado que no puede caben en esfera alguna.

Esto no ocurre para ningún valor del número de dimensiones del espacio, por grande que sea mientras sea finito; sólo ocurre para los espacios infinitodimensionales.

Por lo tanto, el error estaba en dar por buena la existencia de un cubo inscrito en la esfera.

No conozco a nadie que le parezca sencillo el cálculo de probabilidades. A pesar de la enorme importancia que tiene para nuestra propia supervivencia, estamos espantosamente dotados por la naturaleza para este tipo de cálculos. Ya lo comentábamos aquí.

Menos mal que tenemos un verdadero arsenal de herramientas para poder afrontarlo. Muchas veces la forma más sencilla de resolver un problema es resolviendo el contrario. Me explico con un ejemplo:

Una persona obtiene un premio si consigue un seis tirando un dado tres veces consecutivas. ¿Qué probabilidad tiene de éxito?

Es evidente que si saca un seis a la primera, no tiene que tirar más: ya lo ha conseguido, y lo mismo a la segunda. La forma más simple de resolver este problema es pensando precisamente en la probabilidad de no acierto: con probabilidad 5/6 sacará un valor diferente de seis cada una de las tres veces; como los lanzamientos son independientes, podemos multiplicar las probabilidades para obtener la probabilidad de que no salga un seis ninguno de los tres lanzamientos, que será exactamente de (5/6)³. Como nos interesa el suceso exactamente contrario (que salga algún seis), la probabilidad pedida será la unidad menos el valor anterior, esto es:

P{ganar el premio})=1- (5/6)³=91/216

¿Es necesario el paso al suceso contrario para calcular el asunto? Obviamente no; pero es algo más elaborado. Lo que no es lícito es pensar que como para que salga al menos un seis, debe hacerlo a la primera, a la segunda o a la tercera, podemos sumar las probabilidades, con lo que obtendríamos 3/6=1/3.

Si esto fuera cierto, con seis tiradas tendríamos la seguridad de ganar, y todos sabemos que esto no es así. ¿Qué es lo que falla?

Lo que falla es que si bien la probabilidad de sacar el seis a la primera es ciertamente 1/6, no es así con la segunda. Porque para sacar un seis a la segunda hacen falta dos cosas:

1.- No haber sacado seis a la primera.
2.- Sí sacarlo a la segunda.

Una vez que la primera tirada no ha sido seis, sí que volvemos a tenemos 1/3 de probabilidad de sacarlo a la segunda, pero no a priori. Así pues, con la nomenclatura siguiente:

A=Obtener premio
S_i= Obtener seis a la i-ésima tirada.
S^c_i=No obtener seis a la i-ésima tirada.

nuestro cálculo directo debería ser:

P(A)=P(S₁)+ P(S₂/ S^c₁). P(S^c₁)+P(S₃/S^c₁, S^c₂). P(S^c₁).P(S^c₂).

El primer término es la probabilidad de obtener el premio a la primera. El segundo es la probabilidad de obtener el premio a la segunda cuando no lo hemos obtenido a la primera, multiplicado por la probabilidad de no obtenerlo a la primera, y así sucesivamente.

Ahora sí: sustituyendo por los valores numéricos correspondientes, obtenemos:

P(A)=1/6 + 1/6.5/6 + 1/6.5/6.5/6 = 91/216.

Vemos que tanto el cálculo directo de la probabilidad pedida como el contrario para luego restarle a la unidad dicho valor, son ambos posibles, pero el trabajo que cuesta uno y otro son diferentes.

Sabiendo esto, podemos abordar algo más elaborado:

¿Se acuerdan de la película “El cazador”, con Robert de Niro y Christofer Walken? Los malvados del Veitcong se divertían obligando a jugar a la ruleta rusa (una sola bala en un cargador de seis) a dos prisioneros haciendo apuestas. Si suponemos que cada vez que se dispara se vuelve a “barajar” el revólver, (cosa que en la película no pasaba), por quién apostaría usted: por el primero que lo intente, o por el segundo? Las apuestas se realizan antes de comenzar, pero ya sabiendo quién disparará primero.

Para resolver este problema tan sólo necesitamos un conocimiento añadido: el de la suma de una serie geométrica.

Una serie es el sumatorio de los elementos de una sucesión infinita. En determinados casos, las serie son convergentes, y la suma es finita a pesar de ser infinitos los términos a sumar. Para que esto ocurra, los términos deben tender a cero, pero esto no es suficiente, y hacen falta condiciones adicionales. Concretamente las serie geométricas son muy sencillas: cada término es igual al anterior, multiplicado por una constante r. Si la constante r es menor que uno, la serie es convergente y la suma total vale S=A₁/(1-r) ; donde A₁ es el primer término de la serie.

En nuestro caso, aparece una serie infinita porque el juego no tiene una longitud definida: no acaba hasta que la pistola se dispara; y dado que tras cada disparo se “baraja”el tambor del revólver, nunca podemos saber cuántos disparos habrá que realizar. Tenemos que contabilizar todas las posibilidades. Llamemos A al individuo que dispara primero y B al otro.

Según el esquema marcado en el post anterior, para que el primero muera es necesario que:

1.- El arma se dispare al primer intento de A o bien que
2.- El arma se dispare al segundo intento de A, tras el no disparo en el primer intento de A y el primero de B. o bien que
3.- El arma se dispare al tercer intento de A, tras el no disparo en los dos primeros intentos de A y B. o bien que ...

n.- El arma se dispara al n-esimo intento de A, tras el no disparo en los (n-1) intentos de A y otros tantos de B o bien que ...

...hasta el infinito.

Como sabemos que las probabilidades de disparo son en cada caso 1/6, y de no disparo 5/6, tenemos que la probabilidad de que muera A es:

P(A): 1/6 + 1/6 . (5/6)² + 1/6 . (5/6)⁴ + 1/6 . (5/6)⁶+ ... =

= 1/6. (1 + (5/6)² + (5/6)⁴ + (5/6)⁶ + ...).

Vemos que la cantidad entre paréntesis es una serie geométrica, de razón (5/6)², cuyo valor es 1/(1-(5/6)²) = 36/11..

Y por tanto, tenemos que:

P(A)=(1/6) . (36/11) = 6/11 .

Con B podríamos hacer el mismo razonamiento, obteniendo P(B)=5/11 . Esto último está bien como ejercicio y para comprobar que la cosa va bien, ya que la suma de ambas probabilidades debe ser la unidad.

Vemos que es más fácil que muera el primero, como habían intuido algunos lectores. Cuando el primero aprieta el gatillo y tiene la suerte de no dispararse el arma, la situación se invierte, y es ahora el segundo el que ocupa su posición desfavorable de 6/11. Pero en un inicio, las cosas son como las hemos contado, y es necesario correr 1/6 de probabilidad de morir para invertir la situación . Decididamente los Vietcong de la peli eran unos cabrones.

En realidad en la película no se tocaba el tambor entre disparo y disparo. Esto hace que el juego fuera más aterrador si cabe: a cada disparo fallido, la probabilidad de muerte en el siguiente iba “in crescendo”. No obstante, ese sí era un juego equilibrado: la desventaja de jugarse la vida el primero era compensada con la terrible situación del segundo cuando se habían realizado ya cinco disparos. Haced los cálculos y vereis que así es.

Hemos ido viendo varias herramientas para resolución de problemas que en principio parecen difíciles, pero que se disuelven en la más meridiana claridad después de ser enfocados desde una perspectiva conveniente para ellos. Vimos el principio de correspondencia, que convertía por arte de magia algunos problemas muy difíciles en apariencia en cuestiones sencillísimas si era bien aplicado. Comentamos en su día que este método tiene un precio: para si aplicación no existen más fórmulas que la agudeza mental y la habilidad.

Otro método muy corriente y de resultados magníficos si es bien empleado es el de recurrencia .

El método de inducción para demostrar afirmaciones que implican a los números reales consistía en demostrar la afirmación para n=1, y demostrar que si se cumple para n, se cumple necesariamente para (n+1). Pues bien; en cierto modo, la resolución de problemas por recurrencia es la inversa de la inducción. Me explico:

Cuando debemos encontrar la solución de un problema para cualquier valor de uno de sus parámetros enteros, si abordar el problema directamente nos es imposible podemos hallar la solución para N= n en función del valor de la solución para N=(n-1). A veces esto no será posible, y la función solución deberá ser expresada en función de varios valores anteriores , no de uno solo. Cuando tengamos expresada esta relación de recurrencia, más el calor inicial o los valores iniciales necesarios, diremos que la función objetivo está ya definida de forma recursiva .

En efecto, la función, a pesar de su apariencia extraña, definida en función de sí misma, está perfectamente definida. El paso de la forma recursiva a la forma habitual en función del parámetro n puede no ser trivial, y necesitar de ciertas herramientas algebraicas, pero esa es otra cuestión.

Vemos un ejemplo de un problema aparentemente dificil resuelto de por recurrencia.


Si trazamos una serie de rectas en un plano, sin orden ni concierto alguno, ¿en cuántas regiones queda dividido el plano?


Cuando trazamos al azar, la probabilidad de que dos rectas sean paralelas es nula, así como la probabilidad de que tres rectas se corten en el mismo punto, así que supondremos esta situación: no hay rectas paralelas, ni puntos de corte de más de dos rectas.

Por la ilustración podeis ver que la cuestión es algo enmarañada en apariencia. Pensemos que tenemos ya (n-1) rectas y dibujamos la número n. Como no hay paralelas, nuestra nueva recta cortará a las (n-1) actuales en (n-1) puntos, que la dividirán en n trozos. Dos de estos trozos serán semirectas infinitas y el resto simples segmentos. Lo que es muy fácil e ver es que cada uno de estos n trozos de recta dividen una región en dos, por lo que nuestra nueva recta incrementará en n el número de regiones del plano.

Expresado en fórmulas: siendo R_n el número de regiones pedido:

R_n = R_n-1 + n
R₁ = 2 (condición inicial).

Esta es la definición recursiva de nuestra función objetivo. Como no necesitamos más que una llamada a la propia función en un valor anterior, necesitamos una sola condición inicial: el plano es dividido en dos regiones por la primera recta.

Una mínima manipulación en este caso nos lleva a la expresión de R_n en función de n:

R_n = R₁ + [ n + (n-1) + ... + 2 ]

R_n = 1 + [n(n-1)]/2.

El problema que vimos hace algunos meses de los apretones de manos también puede ser resuelto de forma recursiva sin ninguna complicación. En todo caso, obtenemos una definición recursiva de la función objetivo del problema, que condensa toda la información de la misma, aunque no está expresada de la forma habitual. Encontrar esta forma habitual (dependencia funcional del parámetro n) es tarea de dificultad muy diversa. Era caso trivial en nuestro ejemplo, y en otros casos es bastante más complicado. Aún así, cuando no podemos o no sabemos encontrar dicha forma normal, si tenemos la definición recursiva , tenemos resuelto el problema.

El libro que hoy comentamos es una verdadera delicia. Se trata de una introducción al cálculo de probabilidades desde la perspectiva de la resolución de problemas. Un libro de métodos probabilísticos en suma; pero aderezado de comentarios personales de los autores, llenos de vida y reflejo de la perspectiva amplísima que de la cuestión tienen sus dos autores. Es un libro de texto de la Universidad Nacional de Educación a Distancia UNED ; universidad en la que estudié, y que tiene algunos textos de excelencia suprema. Este es uno de ellos.

No puedo dejar de recoger aquí una cita que aparece en el mismo:

Son muchos los que confunden la resolución de un problema matemático con los milagros y, ante un enunciado desafiante, obran de manera contemplativa, a la espera de la revelación súbita, del fulgor de la inspiración que ilumine su mente. A nuestro juicio, no hay nada más vano ni más alejado de la realidad que ese comportamiento. Ante un problema cuya solución desconocemos, no cabe más postura que la del enfrentamiento, que la lucha. Es una pelea contra lo intangible que no se refleja en contorsiones ni forcejeos, pero no es menos violenta. Resolver problemas requiere la paciencia del escalador, que busca en la roca, de apariencia inexpugnable, las pequeñas grietas y los escasos salientes donde apoyar pies y manos. Su ascensión es una serie de fallos y nuevos intentos : mira y observa, de un lado una grieta por la que parece fácil subir, de otro lado unos pequeños salientes que ofrecen más dificultades. Elige la grieta. Más tarde, compueba que esa vía no tiene salida: se llega a un punto en el que no se puede continuar. Retrocede y prueba a subir por los salientes. Así una y otra vez. Cuanto mayor es su conocimiento de la montaña, más fácil le resulta anticipar las vías que no tienen continuación. Con el tiempo, su experiencia será tal que, de un vistazo, tendrá dibujado en la imaginación el camino a seguir. En esa capacidad de hallar soluciones lo más extraordinario es el tesón y la constancia, a veces la cabezonería, que precisó para su aprendizaje.


El libro en cuestión, absolutamente recomendable, es "Dados, monedas y urnas, Introducción al cálculo de probabilidades" , de Víctor Hernández Morales y Ricardo Vélez Ibarrola. UNED, 1992.

Circunscribiéndonos al mundo de los blogs, tengo noticias de la existencia de tres blogs, o bitácoras que se dedican a la matemática. Existen por supuesto miles de páginas muy buenas, buenas, mediocres y malas sobre matemáticas, pero no con formato de blog. Además de éste vuestro sitio, Tio Petros, existe la veterana y estupenda DeMairena, cuyo autor, JuanPablo, es uno de los comentaristas que enriquecen TioPetros con sus aportaciones.

Pues bien: ahora tenemos otra bitácora cuyo autor, Antonio Luis, es al igual que éste que escribe antiguo alumno de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). Su blog se llama simplemente bitácora de matemáticas. Es una bitácora bastante nueva, pero unos cuantos posts son suficientes para comprender que esta bitácora es una gozada, y que va a seguir siéndolo. Como decía hace poco Pedro Jorge Romero: cuantos más seamos, mayor diversión tendremos.

Cuando hablamos del poliedro de Szilassi, dijimos que en número de caras menos el de aristas más el de vértices es una constante para todos aquellos cuerpos que comparten una propiedad importante: el género. Vimos que, básicamente el género lo dictaba el número de agujeros pasantes que el cuerpo tuviera. Así, una esfera maciza tenía género igual a cero, un toro (donut) lo tenía igual a 1, etc.

La fórmula de Euler generalizada, quedaba entonces así:

C - A + V = 2 - 2 g

Esta cantidad es invariante por transformaciones contínuas, de hecho es el invariante topológico por excelencia, y recibe el nombre de Característica de Poincaré

Para aquellos cuerpos que no tengan ni caras ni aristas ni vértices por ser curvos, la importancia de la Característica de Poincaré sigue siendo idéntica dado que siendo una característica topológica, siempre podremos triangular el cuerpo y obtener otro topológicamente equivalente al dado, pero con caras planas. EL nuevo cuerpo así conseguido siempre tendrá la misma característica de Poincaré, sea cual sea la triangulación que efectuemos, por lo que se trata de una propiedad intrínseca del cuerpo original.

El poliedro de Szilassi era de género igual a la unidad, por ser topológicamente equivalente a un toro, por lo que en dicho poliedro se debe cumplir que C - A + V = 0 , cosa que así ocurría en efecto.

Hablemos de superficies orientables, acotadas y cerradas; que son las más simples. Una superficie diremos que es orientable cuando queda perfectamente definido un volumen que encierra dicha superficie, que llamaremos interior . Así, evitaremos referirnos en este post a objetos más complicados, como la botella de Klein , para la cual tal cosa no ocurre.

Pues bien; resulta que incluso para estos objetos sencillos, a veces es difícil encontrar el género. La forma más intuitiva, y perfectamente válida de hacerlo, es imaginar deformaciones continuas (homeomorfismos), de forma que pasemos de la figura dada a una en la que el género se vea de forma trivial. Estos cuerpos triviales son la esfera (g=0), el toro (g=1), y el toro de n agujeros (g=n).

Como ejemplo, les invito a que intenten encontrar el género del cuerpo que les propongo: se trata de una esfera maciza con tres agujeros; pero ojo: no son tres agujeros pasantes, sino que los tres se encuentran en el centro. En la ilustración se ve también un corte de la misma para comprenderla mejor.Si los tres agujeros fueran pasantes, el género sería trivialmente tres: es muy fácil deformar dicha figura y convertirla en un donut de tres agujeros. Pero la figura propuesta es un poquillo más perversa...

Les espero.

Efectivamente, como ha apuntado el bueno de Sam, el género del cuerpo en cuestión es dos. Vamos a ver una serie de transformaciones continuas que nos lo aclararán.

PRIMER PASO

Ahuecando el centro en el que se unían los tres agujeros tubulares, podemos obtener una esfera hueca, de paredes de cierto grosor, y con tres agujeros. (Figura de arriba)

SEGUNDO PASO

Agrandando el borde de uno de los tres agujeros obtenemos una especie de cuenco con dos agujeros.



TERCER PASO

Aplanando la figura anterior, obtenemos una torta con dos agujeros interiores, que es equivalente a un toro de dos agujeros.



La solución de mi amigo Sam Berimbad era muy buena: consideramos dos de los agujeros como un único agujero pasante con lo que la figura sería un toro. Además tenemos otro agujero que va de la superficie esférica hasta el tubo del agujero anterior. Pero el tubo del agujero anterior es también el exterior de la figura, luego simplemente tenemos otro agujero: un toro de dos agujeros.

Estarán de acuerdo conmigo en que no hace falta saber matemáticas para disfrutar de la música. De hecho, a simple vista parecen ser dos temas totalmente desligados... pero en realidad muy pocas cosas están desligadas de la matemática.
¿Saben ustedes porqué las notas son siete? No parece un número muy adecuado; al fin y al cabo es primo, y no tiene divisores; parecería que ocho es más “adecuado”.

En realidad las siete notas DO, RE MI FA SOL LA SI (escala diatónica) se convierten en doce si intercalamos notas intermedias, obteniendo doce, que constituyen la llamada escala cromática: Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, y Si. El símbolo # se llama sostenido, e indica un tono (una frecuencia) intermedio entre la nota que lo nombra y las siguiente. En solfeo se aprende que además existen los bemoles (b), que disminuyen el tono en lugar de aumentarlo, de forma que Re# = Mib y La#=Sib, por poner dos ejemplos.

No se trata de una arbitrariedad, ni mucho menos. Existe una base clara que apoya tal “dodecafonismo”. El propósito de este post es intentar explicarlo.

Dos sonidos puros simultáneos pueden dar una sensación agradable (consonante) o no tan agradable (disonante). El asunto depende de la relación entre sus frecuencias. La consonancia perfecta, y obvia, si produce cuando ambos tonos tienen la misma frecuencia (unísono). Para el resto de los casos, el resultado será más consonante cuando al relación de frecuencias sea un número racional de denominador pequeño. En el fondo todo el misterio es la suma de funciones senoidales: si una frecuencia es 2/3 de otra, la suma “encaja” mucho mejor que si es 465/422...

Es obvio que después del unísono, la mejor consonancia es cuando una frecuencia es el doble de la otra. La sensación percibida es que son ambas la misma nota, pero una más aguda que la otra. Por ello, ambas reciben el mismo nombre (se dice por motivos que veremos que están a una octava de distancia).

¿Cómo dividimos las “distancia entre dos notas del mismo nombre, de frecuencias f y 2f? Pues lo más racional parece seguir con fracciones sencillas. Si tomamos una frecuencia 3f/2, obtenemos una nueva nota, de composición sumamente agradable con f y con 2f.

El siguiente paso parece natural: tomar una frecuencia que sea 3/2 de la última; osea 9/4 de la frecuencia base. El problema es que esta fracción es mayor que dos, por lo que nos habremos salido por encima de 2f. Lo corregimos con bajarla una octava ( dividir la frecuencia por dos), que como hemos dicho da la misma sensación de nota musical, si bien más grave), y tenemos 9/8.

Repitiendo el proceso, tenemos:
· f
· 3/2·f
· 9/8 ·f.(Después de haber descendido una octava).
· 3/2·9/8 ·f=27/16·f
· 3/2·27/16 ·f=81/32·f. (Como la frecuencia es más grande que 2f, descendemos una octava y obtenemos 81/64·f)
· 3/2·81/64 ·f=243/128·f
Si ordenamos de menor a mayor estos seis valores, tenemos:

Nota Base f
9/8·f
81/64 ·f
Quinta 3/2·f
27/16·f
243/128·f
Octava 2·f

Tenemos un buen motivo para pararnos con seis valores, y es que si calculamos los cocientes de cada frecuencia con la anterior, nos sale lo siguiente:

(9/8):1=9/8__________________1,125
(81/64):(9/8)=9/8____________1,125
(3/2):(81/64)=32/27__________1,185
(27/16):(3/2)=9/8____________1,125
(243/128):(27/16)=9/8________1,125
2:(243/128)=256/243__________1,053

Vemos que, salvo el salto del tercero al cuarto tono, la cosa está muy equilibrada. Curiosamente, en este hueco entre el tercero y el cuarto se encuentra la fracción 4/3. Si lo intercalamos obtenemos la siguiente tabla:

Frecuencia___________ Razón nota anterior _____________Nombre

Tónica_____f_____________________________________________Do
Segunda 9/8·f___________9/8=1,125_________________________Re
Tercera 81/64·f__________9/8=1,125_________________________Mi
Cuarta 4/3·f_____________256/243=1,053_____________________Fa
Quinta 3/2·f_____________9/8=1,125_________________________Sol
Sexta 27/16·f___________9/8=1,125__________________________La
Séptima 243/128·f________9/8=1,125_________________________Si
Octava 2f_______________256/243=1,053_____________________Do

Hemos obtenido una división de la octava (de un Do grave a un Do de doble frecuencia) atendiendo a criterios de máxima consonancia, por lo que las combinaciones de sonidos serán lo más agradable posible. Podemos comprobar que las distancias Mi-Fa y Si-Do son menores que el resto (empleamos en este contexto la palabra distancia en una acepción no habitual: como cociente de frecuencias) . De hecho, las distancias Mi-Fa y Si-Do son aproximadamente la mitad, habida cuenta de que 1,053 ² se aproxima bastante bien a 1,125.

Llamamos entonces a la distancia entre dos notas consecutivas cuya relación de frecuencias es 1,125 y semitono a la distancia referida a un cociente de frecuencias de 1,053. Con esto presente, entre dos notas consecutivas hay siempre un tono, con la excepción de las distancias Mi-Fa y de Si-DO, intervalos de un semitono.
Si bien este estado de cosas parece bastante complicado, la realidad (por una vez) es más sencilla. Actualmente se usa la llamada Escala temperada , que consiste en formar la escala cromática de las doce notas mencionadas más arriba a base de multiplicar la frecuencia de la tónica por la raíz doceava de dos. Obtenemos una escala promediada que vuelve a la tónica una octava más alta, con doble frecuencia tras pasar por las doce de la escala. En la escala temperada , los múltiplos perfectos de frecuencias se pierden, y las armonías no son tan redondas, pero se simplifica enormemente la tarea de afinación de instrumentos musicales. Simplificación ramplona a juicio de los amantes de la música antigua.

En la siguiente imagen podeis comparar la escala temperada, completamente fría y perfecta con otras escalas:

Escala temperada

Shree (india)

Hirajoshi (Japón)

Diatónica o pitagórica

Según veíamos en el post anterior, las escalas musicales occidentales antiguas se construyeron en torno a la idea de producir la máxima consonancia posible; cosa que ocurría cuando la relación de las frecuencias de dos tonos tocados simultáneamente era expresable mediante una fracción lo más simple posible. Dado que un tono base y otro de frecuencia doble dan la sensación del mismo tono pero más agudo, lo natural era considerar esa distancia como la total que había que subdividir; independientemente de que pudiera adjuntarse otra hasta la frecuencia triple, cuádruple, etc...

La fracción más simple posible es la de 3/2, que es la que usábamos para crear nuevas frecuencias a partir de la de origen, que llamaremos tónica . Si la tónica es un Do , al multiplicarla por 3/2 obtendremos un Sol . Este intervalo se denomina una quinta justa. (Esta denominación tiene mucho sentido: para llegar del Do al Sol hay que pasar por cinco notas: DO, Re, Mi, Fa, Sol; ambas incluidas. Por supuesto, una vez que tengamos construida la escala!!!)

Pues bien, decíamos que a base de quintas justas íbamos construyendo las demás notas de la escala. Cuando obteníamos valores superiores a 2, nos salíamos de la escala ( la nota obtenida era más alta que el Do superior al que queríamos llegar), con lo que simplemente dividíamos por dos, y volvíamos a caer en nuestro dominio a subdividir. Se trata de una operación módulo una octava.

Dado que el 2 y el 3 son primos entre sí, no podemos tener esperanza alguna de llegar jamás al Do superior exactamente: iríamos obteniendo infinitas notas por este procedimiento, todas entre ambos Do, de modo que debemos cerrar el círculo de quintas en falso. Efectivamente, alguna vez obtendremos un valor lo suficientemente cerca del Do alto como para asimilarlo.

Esto ocurre tras 12 quintas , más sus respectivas correcciones (dividiendo por dos) para no salirse del intervalo. Efectivamente, 12 quintas suponen siete correcciones ( no hay más que ir obteniendo los valores para comprobarlo) 3¹²/2¹⁹= 531441/524288=1,0136.

Si vemos la figura, tenemos sobre un círculo de quintas marcados los doce intervalos equidistantes (escala temprada) con segmentos azules, mientras que las notas obtenidas por el método aquí indicado están en rojo. Dado que las 12 quintas son algo mayores que las siete octavas, para cerrar el círculo en falso debemos aceptar el último intervalo (marcado en rojo) bastante más pequeño que los demás. Esta quinta irregular es denominada la quinta del lobo . Cada una de las doce notas obtenidas son las de nuestra escala cromática. El problema que tenemos ahora es ver si podemos distribuir de alguna manera esta diferencia notable de la quinta del lobo entre varias. La solución de repartir equitativamente entre todos los intervalos ( que es lo que hacemos nosotros con nuestra escala actual, o escala temperada) no les gustaba nada a los antiguos, que eran más exigentes y estetas que nosotros, por motivos obvios: nos cargamos todas las quintas justas y ya no existen consonancias perfectas.

Este es un problema sin solución óptima. Hay que optar entre varias soluciones, llamadas temperamentos . Se trata de dividir el déficit de la quinta del lobo entre algunos intervalos, de forma que se mantenga dentro de lo posible la perfecta armonía de 3/2 entre varias quintas.

Para ver cómo lo consiguieron, necesitamos más teoría, que será la semana que viene.

Que tengan mis lectores un buen fin de semana.

PRECISANDO LA NOCION DE DISTANCIA

Este es un buen momento para introducir el concepto de distancia, de forma tan general que sea aplicable tanto a distancias ordinarias entre puntos del espacio como a distancias entre notas musicales, o entre diferentes apuestas de un sistema de quinielas.

Previo a la necesidad de tal concepto, tenemos un conjunto X de objetos entre los cuales queremos difinir algo que pueda llamarse distancia.

El producto cartesiano X x X no es sino el conjunto de todos los pares de objetos de X de la forma (a,b). Pues bien; una distancia es una aplicación de X x X en R (conjunto de los reales), d: X x X -------- R que cumpla cuatro propiedades:

1.- d(a,b) mayor o igual que 0
2.- d(a,b)=0 si y solo si a=b
3.- d(a,b)=d(b,a)
4.- d(a,b) menor o igual que d(a,c)+d(c,b)

Por lo demás, tenemos plena libertad para elegir la función d. A partir de ahora consideraremos que las letras que representan notas en realidad representan las frecuencias en herzios de dichas notas. Para medir las distancias entre notas musicales, la función d(a,b)=b-a no es interesante. Hemos visto que es la relación de frecuencias la importante, no su diferencia. Dos notas con relación doble- mitad tienen la misma distancia según nuestra percepción (una octava), sin importar los valores absolutos de frecuencia de ninguna de ellas. Por lo tanto la distancia que nos interesa debe ser de la forma d(a,b)=b/a. Como para el caso de que a y b sean iguales la distancia debe ser cero (primera propiedad). Dado que el logaritmo de 1 es precisamente 0, y dado que las leyes logarítmicas son las que mejor se adaptan a la sensibilidad de nuestros sensores, tomaremos como función distancia:

D(a,b)=K. Abs( Log (b/a))

La K no es sino una constante de escala, sin la menor importancia teórica, aunque sí práctica como veremos. He tomado el valor absoluto del logaritmo para que se cumpla la propiedad 1. Como sabemos (ahora lo sabemos, porque ya hemos leído los dos post anteriores, verdaaaaaaad?) que una octava tiene 12 semitonos, si tomo K=1200/log(2), entonces un Do estará del Do inmediatamente superior a una distancia de:

(1200/log(2)) . log(2)=1200 unidades,

que llamaremos cents , y por lo tanto un semitono de la escala temperada, que era la que dividía la octava en doce intervalos idénticos, tendrá 100 cents. Un tono temperado 200, etc, etc.

Quede claro que los cents no son una unidad de frecuencia, de tono ni nada parecido: son una unidad de separación entre tonos.

Podemos calcular ahora cuántos cents tiene un intervalo de quinta justa, que es el que hemos utilizado para construir nuestra escala de posts anteriores.

quinta justa = log 3/2 x 1200/log2 = 701,955 cents

Recordemos que, por definición:

octava justa= 1200 cents.

Habíamos visto que doce quintas justas no eran idénticas a siete octavas. Efectivamente:

12 quintas= 12 x 701,955 = 8.423,46 cents
7 octavas = 7 x 1200 = 8.400 cents

La diferencia es exactamente el déficit de la quinta del lobo del post anterior, y se denomina coma pitagórica .

1 coma pitagórica= 23,46 cents

Así pues, todo el misterio está en repartir estos casi 23 cents y medio entre las doce quintas, en función de qué es lo que queramos conseguir. Si queremos facilidad en la afinación de instrumentos, y no somos muy exigentes (eso es exactamente lo que pasa con la música actual), repartimos equitativamente: 23,5/12= 1,95 cents por quinta; valor que aproximaremos a 2 cents por quinta. De esta manera, ninguno de los intervalos entre notas será perfecto (expresable por una de esas fracciones de pequeños números, que producían un gran equilibrio entre las ondas senoidales de ambas notas). Un oído entrenado lo notará.

Las otras posibles soluciones? Pues pasan por el compromiso de “destrozar” cierto número de quintas justas y dejar perfectas las demás. Una solución es la de Valotti, que consiste en elegir seis de las doce quintas y distribuir en ellas una coma pitagórica (4 cents por quinta elegida)



Otro sistema, llamado Werckmeister III lo hace tomando cuatro quintas y restando seis cents a cada una de ellas:



Por último, el sistema Kirnberger reparte 11 cents entre dos quintas consecutivas, dejando los 2 restantes para otra:



Cada uno de ellos tiene una razón de ser, presenta sus ventajas y sus desventajas, pero estas profundidades musicales exceden los límites de Tio Petros (entendiendo por Tio Petros tanto el blog como su autor).

Un enunciado es matemáticamente verdadero si y solo si ese enunciado es deducible de axiomas intuitivos

Esta es la llamada Tesis clásica de la verdad matemática . Gran parte de la historia de la matemática está basada en esta tesis. Como habréis sabido intuir, el si y solo si hace que la afirmación sea doble:

1.-Si un enunciado es matemáticamente verdadero, entonces es deducible de axiomas intuitivos.

2.- Si un enunciado es deducible de axiomas intuitivos, entonces es matemáticamente verdadero.

Cuando se demostró que el quinto axioma de euclides no era deducible de los cuatro anteriores, se vió que las geometrías que se habían ideado para demostrar lo contrario, eran coherentes internamente a pesar de partir de una colección de axiomas antiintuitivos. Nacían las geometrías no euclídeas de las cenizas de la versión 1 de la tesis clásica de la verdad matemática, y existían enunciados plenamente verdaderos que se deducían de sistemas de axiomas no intuitivos.

Por lo menos, la parte más firme de la tesis seguía en pie: era de esperar que no existieran posibilidades de deducir enunciados falsos de axiomas intuitivos.

Poco duró la esperanza cuando las paradojas afloraron en el seno de la teoría de conjuntos.

Este libro es el repaso histórico de esta catástrofe. Catástrofe fértil como pocas, sobre la que se asienta la matemática del siglo XX y XXI.

Ficha:

"Verdad matemática"
Autor: Julián Garrido Garrido
Ediciones nivola, colección Ciencia abierta
ISBN 84-95599-68-6
1ª Edición: septiembre 2.003

Comentamos hace algún tiempo que existen personas empeñadas en demostrar lo imposible. En aquel momento hablábamos de los ingenuos trisectores de ángulos. Este tipo de falsas demostraciones suelen ser casi siempre demostraciones geométricas, lo que pudiera dar pie a pensar que las demostraciones que se basan en conceptos geométricos no son seguras.

Nada más lejos de la realidad. Lo que sucede es que muchas veces confundimos razonamiento geométrico con razonamiento a bulto, a ojo o al "poco más o menos". Una demostración basada en conceptos geométricos puede ser tan perfectamente válida como la fundada exclusivamente en manipulaciones algebraicas.

Basta con no dar un paso antes de asegurarse de la licitud del mismo. Las figuras deben servir para orientarnos, no para desorientarnos, y son los razonamientos lo que nos habilitan para aceptar proposiciones como ciertas, no los dibujos.

Será por eso que una de las vertientes más divertidas de la matemática recreativa es la de las presuntas paradojas geométricas. Dado que virtualmente cualquier tema aritmético admite una interpretación geométrica, siempre es posible hacer un dibujo para ejemplificarlo. Hablemos de uno de tales divertimentos, que espero no sea demasiado conocido por mis lectores (yo ya me lo he encontrado bastantes veces por la web).

Sabemos que una de las propiedadesd de las areas de las figuras geométricas, como medidas que son, es que son invariantes por traslaciones. Así, si troceamos un cuadrado y con los trozos recomponemos un rectángulo, es de esperar que ambos tengan el mismo área. Sin embargo, en nuestra figura, los 8x8=64 unidades cuadradas del cuadrado se convierten en 13x5=65 en el rectángulo.

Encontrar el error no es demasiado difícil, pero a mi juicio lo más interesante es lo bien que este ejercicio ejemplifica los peligros de un razonamiento geométrico no riguroso. Todo el mundo sabe que un metro cuadrado no puede aparecer por arte de magia, y que algo debe estar mal; pero si el error hubiera sido menos vistoso, hubiera pasado desaparecibido. Eso es lo que ocurre con las demostraciones falsas de teoremas imposibles, tales como la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo o la trisección del ángulo de 60^o

Feliz fin de semana a todos.

Por cierto; les invito a que encuentren de dónde sale una unidad cuadrada de más en el rectángulo, tras unir las cuatro piezas del cuadrado...

Efectivamente, la paradoja no resiste un análisis de las pendientes de las figuras. Nos basta el teorema de Tales para ver que no existe igualdad entre las piezas de ambas figuras. Siempre ocurre igual, y en realidad las verdaderas paradojas no existen: son fruto de haber dado por bueno algo que no lo era.
He encontrado por la web otra figura que recompuesta nos proporciona una unidad cuadrada de más, cuya explicación es la misma.
La podeis ver en las imágenes :

No sé yo si insistir en que la matemática es divertida es una buena política. Es un tópico que a los que amamos el tema nos parece cierto sin discusión, pero me da la sensación de que quien al leerlo asiente es porque ya lo sentía previamente, y quien no lo siente así, no va a cambiar de opinión por escucharlo una vez más. En resumen: es un tópico que no funciona.

John Allen Paulos es un matemático que ha conseguido algo ciertamente difícil: convertir en best seller un libro de matemáticas. Su política ha sido muy diferente. A través de sus deliciosos libros parece advertirnos:

“Usted puede elegir entre tener unas ciertas nociones claras de matemática o no tenerlas, pero debe saber que si no las tiene, es usted una persona mucho más manipulable que en el caso contrario”.

Si a esta advertencia añadimos una encantadora forma de contar las cosas y un conocimiento del tema de primera mano como profesional de la matemática; obtenemos unos libros de una excelencia fuera de toda duda.

Quiero destacar dos libros de este autor, ambos de la colección METATEMAS, de Tusquets-Editores: “El hombre anumérico”



Utilizando un lenguaje claro y sencillo, Allen Paulos nos explica los problemas del anumerismo en nuestras sociedades actuales.

Y “Un matemático lee el periódico” .



En esta ocasión, Paulos nos advierte de los engaños en las noticias, informes, estadísticas... puede ser más interesante? Según la propia editorial Tusquets:


Paulos nos induce ahora a leer «matemáticamente» entre las líneas de un periódico imaginario, rastreando la estrategia que hay detrás de cualquier titular, y a percibir lo que hay de aleatorio en las muchas falacias que se ocultan tras ciertas noticias, ya sean de crímenes, atentados, acontecimientos políticos y económicos, chismes sobre famosos, sectas, partidos de fútbol, riesgos para la salud y muchos otros temas que ocupan la prensa diaria del mundo entero.Paulos se fija en asuntos que parecen muy al margen de las matemáticas, pero sus argumentos acaban demostrándonos hasta qué punto la «inocencia matemática» puede poner en clara desventaja al lector de un periódico. Incluso a quienes les hicieron odiar las matemáticas en el colegio les gustarán estas «historias numéricas» de un matemático que lee la prensa. Y tal vez ya no se sientan tan perdidos, decepcionados, estafados o engañados. . .



John Allen Paulos es en la actualidad profesor de matemáticas en la Temple University de Fidalefia. Colabora asiduamente en distintos medios, entre otros The New York Times y Newsweek. La aceptación de El hombre anumérico por parte del público fue inmediatamente entusiasta, convirtiendo merecidamente este libro en un inesperado best-seller en el mundo entero.

No parece que exista disciplina científica cuyo objeto sea tan difícil de precisar como la matemática. Precisamente por ello es doblemente importante establecer un buen punto de partida: unas bases desde las que edificar el edificio entero.

Históricamente las bases iniciales fueron geométricas. La matemática griega era básicamente la ciencia de las figuras geométricas. En el siglo III antes de nuestra era Euclides propuso un sistema riguroso basado en unos pocos postulados (cinco axiomas), desde los cuales edificar toda la teoría geométrica con el auxilio de las leyes de la lógica de primer orden. Las afirmaciones cuya veracidad se probaba a partir de los axiomas eran teoremas.

Estas bases permanecieron firmes hasta el siglo XVII, en el que Newton y Leibniz desarrollan el cálculo, atendiendo a demandas concretas de la física del momento. Las nociones de límite en las que se basaban suponía una “desgeometrización” de la teoría matemática, aunque aún las derivadas eran concebidas como pendientes y las integrales como áreas: se notaba la influencia geométrica de antaño. Cuando Cauchy y Weierstass, hacia 1.870 reformulan las definiciones de límite sin el auxilio de las incómodas cantidades que “tienden a cero”; cuestión que nadie entendía en realidad, y consiguen la definición épsilon-delta que usamos actualmente, el cálculo llega a su mayoría de edad, y el concepto geométrico queda sustituido por el concepto de número (número real, concretamente).

Pero la cosa no paró ahí: las verdaderas bases debían ser más generales que los números reales. Existe una maravillosa historia que cuenta cómo los números reales son construidos desde los racionales, utilizando sucesiones de racionales (sucesiones de Cauchy); los racionales desde los enteros, y los enteros desde los naturales.

Kronecker diría, resumiendo la situación: Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre

Estos números naturales surgían como entidades radiantes, primigenias de un puñado de axiomas: los cinco axiomas de Peano :


1.- 0 es un número
2.- El siguiente de todo número es un número
3.- Números distintos tienen siguientes distintos
4.- 0 no es el siguiente de ningún número
5.- Si una determinada propiedad es cumplida por el 0, y si es cumplida por un número también es cumplida por el siguiente, entonces es cumplida por todo número.

Parecería que estos cinco axiomas concentran la totalidad de la matemática, dado que desde ellos se puede construir todo... y sin embargo no es así.

Volvieron a cambiar las bases, y así como de los objetas geométricos pasaron a los números reales y de estos a los naturales, ahora las bases se trasladaban a una teoría nueva que surgía de la mente de George Cantor : la teoría de conjuntos.

Esto supone que los números naturales; el cero, el uno, el dos, etc deben ser definidos en base a conceptos aún más generales.

Sin embargo, esto no parece cuestión fácil: ¿cómo definir el cero sin caer en una peligrosa circularidad introduciendo el concepto a definir en la definición?

No parece fácil. Decir que el cuatro es el conjunto de todos los conjuntos de cuatro elementos no es serio, por motivos que saltan a la vista.

Cómo podemos definir un número natural desde la teoría de conjuntos de forma que no caigamos en una circularidad inaceptable?

Lo vemos próximamente...

Supongo que estas cosas ocurren porque España es un país en el que, en el fondo, no somos todos iguales en derechos ni en obligaciones. Nobleza obliga. Ya lo saben: si su sangre es de color rojo, usted no puede dejar que su perro defeque en un aeropuerto. Si su sangre es azul, parece que la cosa es diferente.

Al fin y al cabo, siempre han sido los plebeyos los que recogen la mierda de los señoritos. Con o sin constitución. ¿Verdad, señor Gomez Acebo?

Nos lo cuenta Vailima, en este post.

Durante este mes de Enero hemos paseado por los siguientes paisajes matemáticos:

Empezamos con las paradojas infinitodimensionales que provocaban una esfera y un cubo en un espacio de infinitas dimensiones. Un comentario de un lector nos daba pie a definir el asunto con algo más de rigor , y demostrabamos que un cubo no es un objeto acotado en infinitas dimensiones. Lo desarrollamos aquí y aquí.

Comprobamos qué era mejor a la hora de jugarse idiotamente la vida en la ruleta rusa al estilo de la película "EL cazador". La película era un pretexto para hablar de los cálculos probabilísticos en los casos en los que la suma hay que extender a infinitos casos posibles. Para ello explicamos cuánto valía la suma de una serie geométrica de razón menor que uno.

Hablamos del mágico método de recurrencia para encontrar soluciones a problemas difíciles. Lo hacíamos en un caso que aparentaba ser complicado: el número de regiones en las que n rectas trazadas al azar dividían el plano.

Hemos hablado de varios libros interesantes: Dados, monedas y urnas, La verdad matemática, y de los magníficos libros de John Allen Paulos.

Hemos definido el género de una superficie cerrada, proponiendo un ejemplo algo engañoso.

A lo largo de tres post vimos las bases matemáticas de la música. Intentamos comprender porqué son siete las notas, y no catorce, o noventa.

Los razonamientos geométricos han tenido su toque de atención, para comprender que no es oro todo lo que reluce en algunas pretendidas demostraciones, y porqué es esto así.

Nos hemos preguntado qué es un número, prometiendo seguir en Febrero, y hemos inaugurado la sección Off Topic, en la que podremos hablar de cosas que nada tengan que ver con la matemática. La inauguramos hablando de un episodio a la vez intrascendente y sintomático de la estupidez humana. Esto ha sido todo en Enero. Seguimos en Febrero, que este año tiene un día más.

Feliz fin de semana a todos los lectores de Tio petros.