Tio Petros

Hemos prometido construir los números naturales desde la teoría de conjuntos. Decíamos que los axiomas de Peano eran las bases de las que surgían los naturales (los números que usamos para contar: el uno, el dos, el tres...). Dado que los axiomas no pueden ser demostrados sino que son el punto de partida de una teoría, parecía que toda la matemática partía de estos cimientos.
Ahora veremos que con unos presupuestos mucho menores, somos capaces de construir los números naturales, y los axiomas de Peano pueden ser ahora demostrados como teoremas.

Debemos situarnos para comprender la magnitud de lo que deseamos: no podemos hacer referencia alguna a ningún número de ningún tipo, ya que aún no los tenemos definidos. Para nosotros ahora no existe ni siquiera el cero.

Utilizaremos únicamente dos axiomas de la teoría de conjuntos: el axioma de formación y el axioma de igualdad. Los tienen en el encabezamiento de este post. Estos dos galimatías son en realidad muy sencillos de entender: vayamos con el primero.

Lo podemos leer así:

Para toda descripción precisa A(x) existe al menos un conjunto y con la propiedad de que pertenecen al mismo aquellos y sólo aquellos objetos que hacen verdadera la descripción A(x) .

Para entendernos, una descripción precisa no es más que una afirmación que involucra a una variable genérica x. Introduciendo diversos objetos en la x, unos harán que la afirmación sea cierta y otros harán que sea falsa. El axioma de formación nos está diciendo que un conjunto es una colección bien determinadad de objetos.

El segundo lo podemos leer así:


Dados dos conjuntos x e y; si se cumple la condición de que un objeto cualquiera pertenece a x si y solo si pertenece a y, entonces resulta que los conjuntos x e y son iguales

El si y solo si , tan habitual en matemática pero tan extraño en el lenguaje corriente quiere decir que la condición es doble: un objeto pertenece a x si pertenece a y, y si no pertenece a x, entonces tampoco pertenece a y. En lenguaje ordinario, este axioma nos está diciendo que dos conjuntos son iguales únicamente en el caso de que tengan exactamente los mismos elementos.

Este es el momento de incidir en el hecho de que el axioma de igualdad nos asegura que el conjunto cuya existencia aseguraba el axioma de formación, es único para cada descripción. Esto es así porque si hubiera dos conjuntos para una descripción dada, ambos tendrían lógicamente los mismos elementos, y serían el mismo conjunto.

Estos son los presupuestos con los que vamos a contar. Mínimos realmente, verdad?

Examinemos cuál es nuestra situación actual, porque es muy fácil presuponer que ya poseemos cosas que aún no tenemos derecho a utilizar: sería hacer trampa.

Sabemos que existen unos entes llamados conjuntos que poseen (al menos) dos propiedades axiomáticas. No conocemos aún ningún conjunto concreto, ni tenemos la menor idea de lo que es un número. Pasamos a encontrar nuestro primer conjunto. Para ello tendremos, cómo no, que usar el axioma de formación (qué otra cosa podríamos usar, si no tenemos herramienta alguna aparte de estos dos axiomas???).

Usaremos la siguiente descripción precisa:



A(x) es la descripción que afirma de un objeto ser diferente a sí mismo. Puede parecernos una descripción sencillamente imbécil, pero es que con tan pocas herramientas, poco más podemos describir. Podíamos haber tomado A(x) como (x=x), entendiendo tanto ahora como antes que x es un objeto, pero esta descripción es bastante peligrosa por motivos que veremos.

En virtud del axioma de formación, dada una descripción tenemos un conjunto cuyos elementos son los que la cumplen:



Luego YA TENEMOS NUESTRO PRIMER CONJUNTO!. No es gran cosa, de hecho, este conjunto está vacío. Lo sabemos porque no necesitamos axioma alguno adicional, sino las leyes de la lógica para saber que todo objeto es igual a sí mismo, y por no tanto no exsite objeto alguno que cumpla la descripción dada.

Definiremos por tanto nuestro conjunto vacío de esta forma:



En virtud del segundo axioma, este conjunto está bien definido, pues no puede haber dos conjuntos vacíos diferentes: al no tener elementos, es trivialmente cierto que tienen todos sus elementos iguales, y por lo tanto existe un único conjunto vacío.

Edificaremos la matemática entera sobre el conjunto vacío, lo cual personalmente me parece de una belleza sublime con toques de budismo zen.

Eso será en el siguiente post, si ustedes quieren.

Continuamos con lo prometido. Tenemos definido el conjunto vacío, lo cual pueda parecernos poca cosa, pero eso es todo con lo que tenemos que trabajar si no queremos introducir axiomas adicionales.

Miren los dos teoremas de la ilustración, y no se asusten: es mucho más fácil de lo que parece a primera vista. Tenemos dos teoremas, que no es lo mismo que dos axiomas. Los teoremas se demuestran; aunque demostrar estos es una tontería, de puro fácil. El primero es el teorema del par no ordenado . Nos dice que dados dos conjuntos (¡Qué lujo!, les recuerdo que de momento sólo estamos legitimados para usar un conjunto: el vacío: el único que hemos definido), decía que dados dos conjuntos, existe un conjunto de dos elementos, que son precisamente los dos conjuntos anteriores.

Cómo podemos demostrar esto? Pues usando el axioma de formación. Dado que la descripción que utiliza el enunciado del teorema es una descripción precisa, el axioma nos asegura que existe tal conjunto; y el axioma de igualdad nos asegura que dicho conjunto es único, luego ya tenemos demostrado el teorema.

Es importante entender que el nuevo conjunto tiene a los dos iniciales como elementos, de forma que tiene DOS elementos, independientemente de los elementos de los dos conjuntos iniciales.

Lo mismo vale para el teorema de la unión: dados dos conjuntos existe un conjunto cuyos elementos son los de los dos conjuntos (los de uno, los del otro o los de los dos).

Es importante comprender que utilizando estos dos teoremas no estamos utilizando nada nuevo, que no salga de los dos axiomas iniciales.

Dado que de momento sólo tenemos el conjunto vacío, podemos utilizar el teorema 1 haciendo los dos conjuntos iniciales sean el mismo. Dada la generalidad del teorema (empieza por “para todo z , u”, verdad?), esto no supone violación alguna del teorema.

Qué obtenemos? Pues el teorema ahora nos dice que si existe un conjunto A, entonces existe un conjunto {A}, con un único elemento, que es precisamente el conjunto A. Es crucial ver que los conjuntos A y {A} son radicalmente diferentes: si A={a,b,c,d,e}, por poner un ejemplo, A tendría cinco elementos, que son a,b,c,d y e. Sin embargo {A} tiene un único elemento, que es A, o que es {a,b,c,d,e}. Este nuevo conjunto lo llamaremos unitario del conjunto A .

De modo que ahora no sólo tenemos el conjunto vacío, sino también el conjunto {vacío}, que ahora tiene un elemento.

Estamos en condiciones de definir el sucesor de un conjunto A , como la unión de dicho conjunto con su unitario: suc (A)= A U {A}. El teorema de la unión nos asegura su existencia, y el axioma de igualdad su unicidad, de modo que está bien definido.

Supongo que mis lectores habrán adivinado la estrategia a seguir:

Definimos el cero como el conjunto vacío. No hay circularidad alguna en ello, ya que hemos definido el conjunto vacío en el post anterior sin hacer para nada uso del concepto cero.
Una vez definido el cero, definimos el sucesor de un número como el sucesor del conjunto con el cual hemos identificado dicho número.
Lo vemos en la ilustración siguiente:



Hemos sido capaces de definir los números naturales sin hacer uso previo de ningún concepto numérico, y sin usar los axiomas de Peano, que ahora admiten demostración: vemos que todo número es sucesor de alguno, excepto el cero, que no lo es de nadie. Podemos demostrar que dos números diferentes tienen sucesores diferentes...

Hemos construido las bases de la matemático desde el vacío más absoluto. Cualquier adepto al zen estaría muy contento: belleza y armonía en su máxima simplicidad; minimalismo conceptual y elegancia absoluta. A partir de este momento, deberíamos decir, con permiso de Kronecker: “Dios creo el conjunto vacío; el resto es obra del hombre” .

Hemos dicho que ahora ya podemos demostrar los axiomas de Peano desde esta nueva teoría. Esto no es exactamente así: hemos definido los números naturales, pero nos falta definir correctamente el conjunto N. No obstante, la tarea está ya casi terminada.

A lo largo de los tres post anteriores hemos visto cómo los matemáticos del siglo XX intentaron buscar los fundamentos de su disciplina con la máxima economía de conceptos, hasta llegar al paroxismo: el conjunto vacío se revelaba como la piedra angular de todo el edificio numérico.

Nos quedaba definir el conjunto N. Pero eso ahora es cosa trivial: el conjunto N es el único conjunto que contiene al conjunto vacío y a todos sus sucesores; y sólo a ellos. La formulación de los enteros sobre el esquema aquí esbozado de los naturales; la de los racionales sobre los enteros y la de los números reales como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de racionales nos da un panorama completo de la construcción numérica hoy aceptada por la comunidad matemática.

Este es un buen momento para ver desde otro punto de vista la aritmética transinfinita de Cantor, tema que tocamos en los artículos sobre el Aleph y sobre las sucesiones de Goodstein.

En efecto, hemos visto que un número natural se define como el conjunto de todos sus anteriores:

n={0,1,2,3,...,(n-1)}

Nada nos impide considerar el conjunto N como un infinito actual y hacerle corresponder un número infinito (el menor número infinito) que sería:

w={0,1,2,3,...}=N

Digo que nada nos impide efectuar esta consideración porque ya tenemos perfectamente definido el conjunto N, y por lo tanto estamos legitimados para usarlo como un objeto actual, en su totalidad.

Pero ahora nada nos impide continuar:

w+1={0,1,2,3,...,w}=N U {w}

w+2={0,1,2,3,...,w,w+1}=N U {w,w+1} ...

Tenemos así las bases de los ordinales transinfinitos de Cantor, que surgen con la mayor naturalidad de la teoría de conjuntos mientras que vistos "a pelo", como los habíamos visto en los post anteriores, parecen un poco extraños.

Dejaremos por ahora este apartado tan elemental ⁽¹⁾de la matemática para adentrarlos en otros paisajes a partir del lunes. Con su compañía, por supuesto.

(1): En matemáticas, la palabra "elemental" y la palabra "básico" son dos palabras con acepciones diferentes a las del lenguaje ordinario. Indican que el tema tratado se refiere a las bases y/o fundamentos de la matemática, no a su poca dificultad. De hecho, los temas elementales y básicos suelen ser de gran dificultad.

Tenemos en la ilustración un conjunto de cinco celdas agrupadas de una manera concreta. Podemos pensar que es el plano de una vivienda.Cada pared interconecta una celda con otra contigua, o con el exterior mediante una puerta, en verde en el dibujo. Se trata de encontrar una trayectoria que atraviese todas y cada una de las puertas(dieciseis en total)una sola vez.

Tras unos cuantos intentos, vereis que no es fácil encontrar la solución. Es el momento de preguntarse si será imposible. Una de las formas de resolver el enigma es revisar exhaustivamente todas las posibilidades, de la misma forma que se demostró el Teorema de los cuatro colores . Es una demostración perfectamente válida, pero espantosamente fea. Además, con este problema, no valdría para demostrar nada con una composición de celdas más complicada: habría que empezar desde el principio otra vez.

Así pues, lo más elegante sería demostrar que tal trayectoria es imposible en nuestra figura, comprendiendo los porqués de tal imposibilidad. Es, como muchas cosas en matemáticas, increíblemente fácil una vez se comprende el asunto, pero sé por experiencia que mucha gente se queda atascada.

Una vez comprendido el asunto, nada cuesta responder a la misma pregunta en composiciones más complicadas.

¿Les apetece pensarlo?

Si les apetece les aconsejo coger un papel e intentar trayectorias: no tardarán en desesperarse . Es mucho mejor que intenten ver porqué no puede existir tal trayectoria

Tras unos días de inactividad debido a causas ajenas a la voluntad de un servidor, reanudamos el paseo. Y lo hacemos con la novedad de las estadísticas, por fin.

Escrito por dos de sus alumnos, Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés Castro, este libro es una apología del gran matemático ruso Andrei Nikolaievich Kolmogorov. Estos dos cubanos fueron testigos directos de la labor humana y científica de matemático ruso. A veces no es muy acertado el desarrollo narrativo del libro, pero decididamente vale la pena para acercarse al quehacer matemático del moscú de más de medio siglo XX. Especialmente interesante es la relación entre K. y Alexandrov, cuestión de la que ya hablamos en su día.

Puede leerse en la contraportada:

El carácter de Kolmogórov se forjó en una época de revoluciones sociales y guerras mundiales. Vivió el estalinismo, la posterior rectificación de errores y el inmovilismo que luego daría paso a la perestroika.
Aunque siempre se consideró a sí mismo un matemático puro, una parte esencial de su obra fueron sus investigaciones aplicadas a otras ciencias. Sus esfuerzos estaban regidos por una idea clara: discernir las diferencias y similitudes entre orden y caos. Mucho más que cualquier otro matemático, amplió los dominios y la comprensión humana del azar. Reinó en una escuela poderosa de profesionales con una cultura matemática vasta y profunda. Con razón puede afirmarse que Kolmogórov es el zar del azar.

Ficha:

Kolmogórov
El zar del azar
C. Sanchez, C. Valdes

Nivola Ediciones
Col. La matemática en sus personajes nº15
ISBN: 84-95599-60-0
Junio 2003, 222 Pág., 13.5 x 21 cm
PVP: 17.90 Eur.

Las propiedades de un número en principio no son atributos que dicho número exhibe con independencia de las que puedan exhibir otros números: prácticamente todas las propiedades de un número lo son por la relación con otros números. Por ejemplo: la primalidad de un número está establecida por la ausencia de división entera con otros números menores que él. Por lo tanto, tenemos un mundo de relaciones entre números, relaciones entre parejas, o en general entre n-tuplas de números.

La relación binaria entre enteros más común es la de primalidad mutua: dos números son primos entre sí cuando no tienen divisores comunes, además de la unidad.

Vamos a hablar hoy de una relación entre números que trasciende la relación binaria, y que puede englobar, en principio a cualquier cantidad finita de enteros: la sociabilidad .

Para ello introduciremos en concepto la función aritmética suma de divisores .

Una función aritmética es una función que toma valores reales o complejos, cuyo campo de difinición es el conjunto N. Muchas de las funciones aritméticas dependen mucho más de la descomposición en factores primos del argumento que que valor numérico del mismo. Esto hace que su comportamiento sea muy errático y difícil de estudiar.

La función S(n) se define como la suma de los divisores de n. Como pueden ver, nada misterioso ni difícil de entender. Como los divisores de ocho son el propio ocho, el cuatro, el dos y el uno, S(8)=8+4+2+1=15.

Como un primo no tiene más divisores que el propio número y la unidad, S(p)=p+1, para p primo.

En lo que sigue, vamos a referirnos siempre a la suma de divisores propios: exceptuado el propio número. Para evitar confusiones denotaremos S (mayúscula) a la suma de todos los divisores, y s (minúscula) a la suma de los divisores propios..

Con n = 20: Los divisores propios de 20 son 1, 2, 4, 5 y 10. s(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22. Como el resultado es mayor que el número inical, se dice que 20 es un número abundante .

Si hacemos lo propio con el 22, resultado de la operación anterior, obtenemos: s(22) = 1 + 2 + 11 = 14, la suma es menor que el número escogido; se dice que 22 es un número defectivo .

Continuando, si seguimos calculando la s(n) para cada suma obtenida, tenemos:

s(14) = 1 + 2 + 7 = 10;
s(10) = 1 + 2 + 5 = 8;
s(8) = 1 + 2 + 4 = 7;
s(7) = 1 porque 7 es primo,
y s(1) = 0 porque 1 no tiene divisor propio.

Se ha obtenido así una sucesión finita: 20 , 22 , 14 , 10 ,8 , 7 , 1 , 0.

Otra sucesión es : 24 , 36 , 55 , 17 , 1 ,0.

Nada obliga a que la sucesión sea finita, pues pudiera ocurrir que fuera periódica. Si el período fuera uno( el mismo número se repite siempre), estaremos en el caso de que s(n)=n. Todo número que cumple dicha ecuación se denomina número perfecto.

Número perfecto es aquel igual a la suma de sus divisores propios

De ellos, y de la caracterización para los perfectos pares hablamos en su momento aquí.

De los números perfectos impares nada se sabe, ni siquiera su existencia o inexistencia.

Cuando el período de la sucesión anterior es igual a dos, tenemos el caso de números amigos :
Dos números son amigos cuando cada uno es igual a la suma de divisores del otro

La pareja (220, 284) es una pareja de números amigos, como podemos comprobar:

s(220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 y
s(284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Luego la sucesión que comenzara con uno de ellos sería:

220, 284, 220, 284, 220, 284, 220, 284... de período dos.

Leo por la red que “En la Edad Media, existió la creencia de que si se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos que contenían una inscripción 220 para uno y de 286 para el otro, entonces se volvían amigos por arte de magia.”

Otras parejas de números amigos son (1184; 1210), (2620; 2924), (5020; 5564) y (6232; 6368), (17296; 18416) y (9363584; 9437056).

En general, se llaman números sociables a las n-tuplas de números de una sucesión así formada de período n.
He podido encontrar por ahí los siguientes:

(12.496, 14.288 , 15.472 , 14.536 , 14.264 ) Cinco enteros, cada uno es igual a la suma de los divisores propios del anterior, y el primero respecto al primero.

En esta dirección teneis un programa en Mapple para generar secuencias de sumas de divisores propios, así como la información que he utilizado de base para elaborar este post. Por lo demás, poca información parece que hay, al menos fácil de encontrar sobre esta generalización de los números amigos.

La matemática está muchas veces muy alejada de su utilización práctica inmediata. Esto no quiere decir que nunca podamos asegurar que un determinado avance matemático no vaya a tener su aplicación práctica, como repetidamente se ha demostrado. Básicamente conviven la investigación pura con la aplicada. Esta situación es así desde el comienzo.

Y cuando digo desde el comienzo, me refiero realmente al comienzo. Existen muchos indicios de que la matemática babilónica tenía aspectos alejados de la utilidad inmediata.

Una tablilla babilónica, conocida por el número de catálogo Plimpton 322 ejemplifica perfectamente lo que queremos decir. La tienen en la ilustración.

Esta tablilla data del período babilónico antiguo (ca.1900 a 1600 a.C.). Es tan sólo el fragmento de una tabla más grande, ahora perdida para siempre, y demuestra no ser un simple registro de transacciones comerciales como muchas de sus hermanas, sino un texto matemático precusor de ideas trigonométricas muy cercanas a las actuales, con extraordinario grado de exactitud, como vamos a ver.

La transcripción de las seis primeras filas es la siguiente:

1,59,0,15_______________________1,59____________2,49____________1
1,56,56,58,14,50,6,15____________56,7____________1,20,25__________2
1,55,7,41,15,33,45_______________1,16,41_________1,50,49__________3
1,53,10,29,32,52,16______________3,31,49_________5,9,1____________4
1,48,54,1,40____________________1,5_____________1,37_____________5
1,47,6,41,40____________________5,19____________8,1______________6

Hemos de tener en cuenta antes de empezar a desentrañar la tablilla que los babilonios utilizaban la numeración sexagesimal, por lo que debemos convertir las cifras a nuestra numeración antes de cualquier intento.

Tomemos la sexta línea, por ejemplo:

1,47,6,41,40________5,19______8,1______6

Tras la conversión en decimal obtenemos:

1,785192901_______319________481________6

La conversión se realiza de la siguiente forma:

1,47,6,41,40=1·60⁰+47·60^-1+6·60^-2+41·60^-3+40·60^-4=1,785192901

y de la misma forma los siguientes números.

Convendrán conmigo que es una proeza inmensa encontrar la relación entre estos números. Más aún teniendo en cuenta que nuestra tablilla es una más entre un sinnúmero de ellas que recogen cifras sin mayor interés matemático, que bien pudieran ser registros contables de mercancías.

Pues bien: la relación es la siguiente. Si tenemos un triángulo rectángulo (ver figura) cuya hipotenusa valga 481 y uno de sus catetos 319, entonces el otro cateto, mediante el teorema de Pitágoras vale 360.



El cociente entre la hipotenusa y este último cateto es 481/360= 1,33611111, y su cuadrado vale 1,785192901; exactamente hasta el noveno decimal la primera cifra de la primera fila de la tablilla.

Varias cosas hay que comentar llegados a este punto: la primera es que tal exactitud nos sirve para rechazar cualquier procedimiento de medida real de triángulos para llegar al dato: su hallazgo debe ser teórico sin lugar a dudas: no es posible medir hasta la milmillonésima sin error. Por otro lado, el lector habrá observado que el cociente cuyo cuadrado es el número de las primeras columnas es el cociente de dos números, uno de los cuales (la hipotenusa) está en la tablilla, pero el otro no. En efecto, es el cateto restante el que aparece en la tablilla, no el utilizado para el cociente.

Dicho cociente es el inverso del coseno del ángulo que forma la hipotenusa con el cateto que no aparece en la tabla. Por tanto, la primera columna representa los valores del cuadrado de la secante del ángulo citado.

Nosotros sabemos encontrar el cateto restante, dadas la hipotenusa y un cateto mediante el Teorema de Pitágoras, pero presumiblemente los babilónicos lo desconocían. También desconocían lo que era un seno, una tangente o una secante. Se puede mantener tal desconocimiento a las luces de esta tablilla?

Pues sí se puede. Los antiguos eran antiguos, pero no eran idiotas. Esto es algo que repetidamente olvidan los amigos del misterio y de las teorías paranormales, que inducen a creer en conexiones extrañas para explicar desarrollos e invenciones de culturas antiguas, olvidando que la inventiva humana es patrimonio de todas las culturas y de todas las épocas.

Parece ser que sin conocer el teorema de Pitágoras, se conocían los valores de ciertas ternas pitagóricas: ternas de números enteros a,b,c que cumplían que a²=b² + c².

Los constructores de esta tabla debieron comenzar por dos números sexagesimales p,q , para hallar la terna (p²-q², 2pq , p²+q²). Un simple ejercicio de álgebra nos convence de que en efecto ésta es una terna pitagórica.

Limitándose a valores de p menores de 60, y a triángulos rectángulos en los que b= p²-q²es menor que c=2pq, los babilonios debieron descubrir que existían 38 pares posibles de p y q que satisfacen las condiciones, con lo que construyeron las 38 ternas correspondientes.

En nuestra tablilla aparecen las 15 primeras. Quizás, el escriba prosiguiera en otra tablilla con las restantes.

El orden de las filas viene dado por los valores de la primera columna, de mayor a menor, y corresponden a ángulos desde 45^o hasta 31^o.

Esta que ahora nos ocupa es, a juicio de los investigadores una de las tablillas babilónicas más extraordinarias. Una muestra de la extraordinaria exactitud de los cálculos de esta tablilla nos la proporciona la fila décima. Una simple observación de la ilustración de la tablilla basta para comprobar que el primer número de la décima tablilla tiene más dígitos que los demás; efectivamente representa el cuadrado de la secante del ángulo correspondiente con ocho cifras sexagesimales, lo que corresponde a catorce decimales en nuestra notación decimal. Todos ellos correctos.

Ni la Nasa necesita ese nivel de exactitud en sus cálculos de órbitas, pues los erroresy las indeterminaciones de todo tipo son de mayor entidad.

Cuenta Julio A. Miranda Ubaldo que ”durante el Periodo EDO (1603-1867) Japón se encontraba aislado del mundo occidental, durante este periodo el acceso a todas las formas de cultura occidental y afluencia de ideas científicas occidentales fue suprimido con eficacia. En este periodo de la historia japonesa gente docta de todas las clases, desde comerciantes y granjeros hasta samurais(¿?) descubrían y solucionaban una amplia variedad de problemas geométricos, luego inscribían sus trabajos en tablillas de madera, (usando en muchos casos vivos colores) que después eran colgadas en las azoteas de santuarios shintoistas y templos budistas como una forma de agradecer a sus dioses.”

La palabra Sangaku significa algo así como tablilla matemática . Los problemas planteados en la tablillas Sangaku pueden perfectamente inscribirse en la matemática recreativa, y plantean endiablados problemas en los que aparecen invariablemente círculos tangentes unos a otros, o polígonos inscritos en otros polígonos y en círculos. También aparecen problemas con esferas tangentes a otras esferas, interior y exteriormente. Sin embargo no todos los problemas se ocupan sólo de la geometría, sino también de problemas aritméticos y algebraicos.

Rescato la siguiente información de la página de Julio A. Miranda Ubaldo:

El Sangaku más antiguo que sobrevive hasta hoy fue encontrado en la prefectura de Tochigi y es del año 1683.

Aunque muchos sangakus se han perdido o quemado todavía existen alrededor de 820 de estas tablillas.

Un notable investigador de los sangakus fue el matemático japonés Yoshio Mikami (1875-1950) quien en sus trabajos: "A history of Japanese mathematics" (Historia de las matematicas japonesas) de 1914 y "The Development of mathematics in China y Japon" (El Desarrollo de las Matemáticas en China y Japón) de 1974 realizó importantísimos estudios sobre estas tablillas matemáticas.

Hidetoshi Fukagawa es un matemático contemporáneo que ha viajado extensamente por todo el Japón para estudiar estas tablillas y tiene una prolífica colección de libros que se ocupan no sólo de los sangakus sino también de otros aspectos de las matemáticas japonesas.

En 1989 Fukagawa junto con Daniel Pedoe publicó un trabajo titulado "Japanese temple goemetry problems: Sangaku" que constituye la primera colección de sangakus en inglés.

Otros matemáticos japoneses como Tatsuhiko Kobayashi y Shigeyuki Takagi también han hecho contribuciones importantes al desarrollo de los problemas sangakus. Sin embargo no todos los problemas se ocupan sólo de la geometría, sino también de problemas aritméticos y algebraicos.

A modo de ilustración, vean ustedes estos dos bellísimos problemas:



Dado un círculo (verde) de radio r con dos círculos menores interiores tangentes entre sí y tangentes tangentes al grande de radio r/2 (rojos), formamos un rosario de círculos (naranjas) tangentes cada uno al siguiente y a los círculos verde y rojo como se muestra en la figura. En los espacios intersticiales de la figura colocamos círculos tangentes a los tres círculos que delimitan el intersticio (azules). Encontrar el radio del enésimo círculo azul en función de r.

La resolución completa de este hermosísimo problema se encuentra (en inglés) aquí

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Este problema que data de 1822 está inscrito en una tablilla localizada en la prefectura de Kanagawa.
Dos esferas rojas son tangentes exteriormente y ambas son tangentes interiormente a la esfera grande de color verde. Un collar de esferas azules de diferentes tamaños rodea el "cuello" entre las esferas rojas. Cada esfera azul en el "collar" es tangente a sus vecinos próximos, a la vez que son tangentes a las dos esferas rojas y a la esfera verde.
¿Cuántas esferas azules conforman el collar?
¿Cómo los radios de las esferas azules se relacionan entre sí?

Pueden comprobar la magnitud de los problemas Sangaku, y también su extraordinaria belleza.

Acabo de ver por la red aquí y aquí que hay gente que encuentra en las recientes fotos mandadas por las sondas robot Spirit y Opportunity , todo tipo de huesos, fósiles, huellas e incluso artefactos en el suelo marciano. La tendencia humana a encontrar pautas y organizaciones donde no las hay es un asunto interesante, pero de componente psicológica que trasciende por mucho el contenido de este blog. No obstante, a veces el orden, la estructura aparecen realmente. El autoengaño supone entonces pensar que este orden se debe a una causa extravagante; en nuestro caso, la existencia real de un dispositivo, o de un hueso en el suelo marciano. Todo esto me sirve de excusa para comentar lo siguiente.

El orden y la estructura pueden aparecer en la naturaleza por varios motivos ajenos a la inteligencia; humana, animal o divina. Uno de ellos es el imperativo termodinámico. Los cristales exhiben pautas ordenadas debido a consideraciones de equilibrio entre niveles de energía. Otras veces las pautas aparecen por simple casualidad. Y otras, por simple y pura necesidad matemática. Es de este tipo de orden matemáticamente necesario, que hace que el caos completo no pueda existir, del que vamos a hablar.

Iniciamos una serie de post sobre un tema difícil, que cae dentro de la combinatoria: el surgimiento de orden y pautas en conjuntos suficientemente grandes.

Algunas de las más interesantes ( y más recientes) contribuciones de la combinatoria son los denominados Teoremas de existencia.

Estos extraordinarios y difíciles teoremas aseguran la existencia de ciertos objetos matemáticos. En concreto aseguran la existencia de conjuntos en los cuales se cumplen determinadas relaciones o propiedades. El Teorema de Ramsey en concreto afirma que siempre aparecerá algo ordenado y con estructura en el seno de un conjunto, a condición de que dicho conjunto sea lo suficientemente grande.

Tras el enunciado (que veremos en post próximos), aparente ininteligible, como si de una cadena de símbolos sin sentido se tratara, se esconde el orden de una gran idea.

En una mágica recursividad éste es precisamente el mensaje del Teorema de Ramsey: el orden surge necesariamente en conjuntos suficientemente grandes. Nuestro teorema lo asegura, aunque por desgracia no nos dice lo grandes que deben ser dichos conjuntos.

Las implicaciones de todo tipo de este teorema son enormes en nuestra vida cotidiana, y explica ciertas regularidades que observamos en la naturaleza, que no tienen otra explicación: en virtud del teorema de Ramsey encontramos aparentes pautas en sucesos absolutamente aleatorios. Este tema es importante, porque no estamos hablando de teoría de probabilidades, sino de combinatoria.

¿Qué pretendo decir con esto último? Muy sencillo. Al estar totalmente desligado del cálculo de probabilidades, el teorema de Ramsey nos habla de necesidad de cumplimiento de determinados patrones extraños, no de la probabilidad de existencia de los mismos. La extrañeza de los mismos no es, por supuesto, una característica intrínseca de dichos patrones, sino una medida de nuestra incapacidad para percibir su presencia como necesaria, incapacidad que nos incita a engañarnos. El engaño consiste en imaginar motivos o incluso voluntades inteligentes detrás de las pautas observadas.

La amplitud de campos en los que el teorema se aplicable es infinito, desde estrellas que parecen adoptar configuraciones animales o humanas en la bóveda celeste hasta grupos de personas que se reúnen en torno a una mesa, ...

Lo primero que haremos es hablar de su descubridor: un extraordinario ser humano que se llamó Frank Plumpton Ramsey , y que murió a la tempranísima edad de 26 años.

Espero contar con su atención en los próximos días...el paseo que les propongo me parece bastante más interesante que intentar encontrar cosas raras en las fotos del suelo marciano.

Ya lo comentamos una vez hablando de la efervescencia matemática en la ciudad de Lviv en los momentos anteriores a la segunda guerra mundial. A veces se dan brotes de actividad intelectual de tal calibre que coinciden en el espacio y en el tiempo una pléyade de mentes maravillosas conviviendo estrechamente.

Naturalmente, siempre existen muy buenos motivos para que esto suceda, y si no se dan esos buenos motivos, simplemente no sucede. Por ejemplo en la España de hoy, con los sistemas educativos, con las políticas en materia científica de los últimos años y con la utilización que se hace desde las esferas del poder de los medios de comunicación, sería un suceso de probabilidad cero que tal cosa ocurriera.

En el período comprendido entre ambas guerras mundiales, en las ciudades de Oxford y Cambridge ocurrió algo así. Tan sólo en el Trinity College, tenemos los nombres de G.H. Hardy, John Littlewood, Srinivasa Ramanujan, Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein,...por mencionar los que reconozco a vuelapluma en esta lista
de alumnos distinguidos de esos años en el Trinity.
Frank Plumpton Ramsey nació en Cambridge en el año 1903. Pertenecía a una familia de extraordinario nivel en todos los sentidos: intelectual, social y monetario. Su padre, Arthur Stanley Ramsey fue presidente del Magdalene College de Cambridge. Su hermano Michael Ramsey fue arzobispo de Canterbury, ni más ni menos.

Dearrolló su labor intelectual en el King’s College de Cambridge desde 1.924 hasta 1.930, año en el que murió por las complicaciones derivadas de una operación quirúrgica.

Con 19 años publicó una revisión crítica de la obra de Keynes tan demoledora que el propio Keynes se vió obligado a recosiderar sus planteamientos anteriores.

Su mayor aportación a la matemática es la denominada “Teoría de Ramsey”, que no es sino el desarrollo de una idea central, contenida en el Teorema de Ramsey, que es el objeto de esta serie de post.

Pablo Fernández Gallardo y José Luis Fernández Pérez, autores este artículo magníficamente redactado, mencionan unas palabras de Ramsey ante un selecto grupo de discusión de Cambridge, que nos revelan un Ramsey apasionado, socialmente inquieto y amante de la vida :



Mi cuadro del mundo está dibujado en perspectiva, y no como un modelo a escala. El primer plano lo ocupan los seres humanos, y las estrellas son, para mí, tan pequeñas como monedas de tres peniques. No creo realmente en la astronomía, excepto como una complicada descripción de parte del curso de las sensaciones humanas y, posiblemente animales.
Aplico mi perspectiva no sólo al espacio, sino también al tiempo. A la larga el mundo se enfriará y todo morirá; pero queda mucho para eso, y su valor actual, a interés compuesto es casi nada. Que el futuro sea vacío no quita valor al presente.

La humanidad, que ocupa el primer plano de mi lienzo, es para mí interesante y toda ella admirable. Encuentro, al menos hasta ahora, que el mundo es un lugar placentero y excitante. Puede que vosotros lo encontréis deprimente; lo siento por vosotros, y vosotros seguramente, desdeñareis lo que digo. Pero yo tengo razón y vosotros no; sólo tendríais alguna razón para rechazar lo que digo si vuestros sentimientos se correspondieran con la realidad como los míos lo hacen. Pero no pueden. La realidad no es ni buena ni mala; simplemente es lo que a mi me entusiasma y a vosotros os deprime. Y lo siento por vosotros, porque es más agradable estar entusiasmado que deprimido... y no sólo más agradable, sino mejor para la vida de cada uno.


Con 25 años se casó, tuvo dos hijas y muy pronto se convirtió en el director de estudios matemáticos del King’s College.

Él era un hombre reservado, modesto, de trato fácil y desinhibido, con una risa contagiosa y ruidosa. Su tolerancia y buen humor le permitía discrepar fuertemente sin ofender; como ocurrió con su Hermano Michael, cuya ordenación, como ateo militante, lamentó. De él se dijo que su enorme tamaño corporal era acorde a su nivel intelectual. Murió en 1.930, con tan sólo 26 años, con todo un mundo de relaciones matemáticas por descubrir, y toda una vida de posibilidades espléndidas por vivir.

Tras este apunte biográfico, pasamos a introducirnos de lleno en la teoría de Ramsey. A lo mejor cuando hayamos terminado y veamos orden en el caos, pensemos que, quizás sea irremediablemente, una consecuencia más del Teorema de Ramsey.

A diferencia de la mayoría de los post de este blog, este, y quizás los que sigan exige un poco más de esfuerzo para su comprensión. No obstante, creo que vale la pena. Vamos a intentar entender un teorema difícil. Eso nunca NUNCA es gratis. Además, vamos a intentarlo sin utilizar matemáticas, o casi. Esta vez, el paseo que les propongo es más escarpado. Pero coincidirán conmigo en que el placer de alcanzar la cumbre es proporcional a la pendiente dejada a nuestras espaldas.

Naturalmente, la ilustración que encabeza este post, (que es el enunciado del Teorema de Ramsey ) es una provocación. No es esperable que nadie entienda absolutamente nada al leer una cosa así. Ni siquiera nos hemos puesto de acuerdo con la nomenclatura que vamos a utilizar para entenderlo. Sin embargo, he preferido ponerlo para incentivar al posible lector a avanzar en la comprensión de este enunciado y de sus consecuencias, cosa que haremos poco a poco.

Toda la dificultad de comprender el teorema está motivada precisamente por la gran virtud del mismo: su enorme generalidad. Vayamos viendo poco a poco qué quiere decir. De esta forma seremos capaces de ir saboreando el aroma de los resultados a lo Ramsey .

Pero antes, estableceremos algún convenio de notación:

Hablaré de conjuntos, clases, colecciones y grupos en sentido coloquial: en este contexto querrán decir exactamente lo mismo: agrupaciones de cosas.

Dado un conjunto X, definimos /X/ con el número de elementos de X. Lo habitual es representar esto último con barras verticales, no oblicuas, pero el sistema de este blog no parece permitirme tales barras .

P_R(X) es el conjunto de todos los subconjuntos de X que tienen exactamente R elementos.

En el enunciado podemos leer que descomponemos P_R(X) en una serie de trozos disjuntos. Esto quiere decir exactamente lo que parece: si tenemos un conjunto original X de , por poner un ejemplo, 20 elementos, P₂(X) será la colección de todos los subconjuntos de dos elementos de X, o el conjunto de todas las parejas posibles de elementos de X, que son exactamente (20 x 19)/2=190 posibles. El enunciado nos está diciendo que agrupemos estas 190 parejas en k grupos, no necesariamente iguales. Sin ninguna restricción. Las colecciones de parejas de nuestro ejemplo son los A₁,..., A_k del enunciado.

Hacer esto equivale a poner una etiqueta a cada agrupación de parejas. En efecto, lo mismo es decir:

”este conjunto de parejas pertenece a la colección A_j de parejas” que decir

”a este conjunto de parejas le pongo la etiqueta número j”, o aún más gráficamente :

”a este conjunto de parejas le asigno el color j”.

¿Está claro de momento? No está de más recordar que si hablo de “parejas” estoy haciendo R=2 en el enunciado de Ramsey, por simplificar la exposición; lo mismo podíamos hablar en general de tríos o n-tuplas de elementos de X.

Así pues, en el enunciado tenemos un conjunto X, tenemos la colección P_R(X) de todos sus subconjuntos de un tamaño prefijado (R) (repetimos: cuando R=2, entonces tenemos parejas), y en este último grupo tenemos coloreados todas las agrupaciones con k colores.

Ahora estamos en condiciones de entender qué es lo que afirma el teorema de Ramsey :

Afirma que si escribimos tantos números enteros (a₁,... a_k) como colores hemos usado, sean estos cualesquiera, entonces, si X es suficientemente grande , existe en el seno del conjunto X un pedazo o subconjunto que llamaremos Y que cumple alguna de estas propiedades:

1.- Y tiene tantos elementos como el primero de los k números que hemos escrito, y todos sus subconjuntos de tamaño R son del primer color.

2.- Y tiene tantos elementos como el segundo de los k números que hemos escrito, y todos sus subconjuntos de tamaño R son del segundo color.

...

k.- Y tiene tantos elementos como el último de los k números que hemos escrito, y todos sus subconjuntos de tamaño R son del último color.

El tamaño crítico para asegurar el necesario cumplimiento de una de estas k cláusulas es función exclusiva de los k números distintos que hemos escrito, y del tamaño R de los subconjuntos que hemos coloreado, y no depende de nada más. Este tamaño crítico mínimo se denomina número de Ramsey R(a₁,... a_k; r).

Cuando comenzábamos el post decíamos que no era esperable que nadie entendiera el enunciado del teorema en una primera lectura. Ahora, lo más probable es que la cosa haya mejorado tan sólo un poquito. Seguiremos hincándole el diente al tema en lo sucesivo, viendo conexiones con aspectos inesperados.

Lo más importante es que este teorema nos asegura la existencia de un reducto estructurado (monocromático en la nomenclatura que hemos empleado, pero a nadie se le escapa que el "color" puede ser cualquier cosa)de tamaño arbitrariamente grande en el seno de un conjunto, a condición de que éste sea lo suficientemente grande.

La semana que viene seguiremos comprendiendo este teorema, y sobre todo, sus implicaciones.

Feliz fin de semana para los lectores de este blog.