Tio Petros

Ya hemos hablado del maravilloso método de inducción matemática. Tenemos un procedimiento para demostrar afirmaciones generales sobre todos los enteros positivos, que consta de dos fases:

1ª FASE:Demostrar la validez de la afirmación para n=1

2ª FASE: Demostrar que si la afirmación es válida para n (hipótesis de inducción), entonces también lo es para n+1.

Hace algunos meses explicábamos que el método de inducción tiene sus peligros, y que tras su aparente simplicidad acechan falacias y razonamientos no válidos que nos pueden llevar a conclusiones erróneas. Demostrábamos que Todos los blogs del mundo están alojados en Blogia, lo cual es un absurdo.

Les propongo otra aberración, aún pero para que intenten encontrar el error.

TODOS LOS ENTEROS POSITIVOS SON IGUALES

DEMOSTRACION

Sean a,b dos enteros positivos. Sea M=max{a,b} el valor del mayor de ambos:

Procederemos por inducción sobre M.

PRIMERA FASE (M=1)

Para M=1 no hay duda. Si M=1 es que el máximo de ambos es 1, y por lo tanto a=b=1. Por lo tanto a y b son iguales.

Supongamos cierta la afirmación para m, demostraremos que también lo es para m+1.

SEGUNDA FASE

Sean a,b tales que M=max{a,b}=m+1. Entonces es evidente que max{a-1,b-1}=m, y por la hipótesis de inducción, tenemos que a-1=b-1, de donde clarísimamente concluimos que a=b.

Por lo tanto, a=b para todo par de enteros positivos.

Anímense a encontrar el error...

Con el título de Independencia hemos iniciado varios post que trataban del concepto de independencia de variables aleatorias.

Hoy no voy a hablar de lo mismo, y tampoco de lo que tal palabra trae a la mente de cualquier ciudadano de mi país vasco.

No todos los días un amigo comienza un blog. Cuando esto ocurre, simplemente hay que comentarlo; y si las perspectivas del nuevo blog son de tanto interés como en el caso presente, entonces se convierte en referencia obligada.

Independencia es el título que Josué ha elegido para su blog; él sabrá porqué, aunque yo me imagino los motivos.

Siempre es bienvenida una bitácora racional como la que nos propone este amante de la polémica, infatigable discutidor y buen amigo.

Suerte con la experiencia, Asigán; te seguimos de cerca.

En dos ocasiones hemos comentado que los seres humanos estamos muy mal dotados en general por la evolución para ciertas actividades que, paradójicamente, son muy importantes para la supervivencia: concretamente para el cálculo de probabilidades.

Acabo de encontrarme con otro tema de importancia enorme en la vida diaria para la cual estamos horrorosamente dotados: la estimación de porcentajes.

He realizado un experimento entre las personas de mi entorno inmediato. Se trata de responder la siguiente pregunta:

Por motivos contables que no vienen al caso, un empresario le explica a un asalariado suyo que va a proceder a subirle el sueldo un tanto por ciento, para decrementarle el mismo porcentaje del nuevo sueldo al día siguiente. Sin embargo, le explica que si lo prefiere lo pueden hacer al revés:comienza por decrementarle el citado porcentaje para luego subirle el mismo porcentaje del nuevo sueldo. ¿Qué debe elegir el asalariado?

Me concederán que el tema está muy cercano a los intereses más cotidianos de cualquiera, y que no es en absoluto complicado; y sin embargo... pregunten, pregunten.

No deja de ser curioso que un tema tan manido, tan antiguo y tan básico y elemental como la geometría de los triángulos planos tenga tantas sorpresas.

Hace unos meses comentábamos el teorema de Morley, bello teorema que concierne a triángulos y que fué demostrado anteayer, como quien dice(en pleno siglo XX).

El teorema que comentamos hoy tiene como curioso, además de su contenido matemático, la atribución de paternidad: nada menos que al gran Napoleón Bonaparte.

Supongamos un triángulo general cualquiera (dibujado en azul). Sobre cada uno de sus lados dibujamos un triángulo equilátero (dibujado en verde). Pues bien: los centros de los trres triángulos equiláteros forman a su vez un triángulo necesariamente equilátero (dibujado en rojo), con independencia del triángulo original.

Este es el denominado Teorema de Napoleón .

En esta dirección podéis ver la demostración, así como los conceptos previos necesarios para entenderla.

Respecto a la paternidad de la demostración, parece fuera de toda duda que no es de Bonaparte, sino de Lorenzo Mascheroni , quien sabiendo la pasión del general francés por la geometría, dedicó su libro Geometria del Compasso (Pavia, Pietro Galeazzi, anno V della Republica Francese, 1797) a Napoleon:

Según podemos leer en esta dirección,

El aprecio de Napoleón por la obra de Mascheroni fue grande y la hizo traducir al francés: Mascheroni Lorenzo: _Geometrie du compas_, Ouvrage traduit de l'italien par

A.M. Carette, Paris, Duprat, xxiv, 263 pp. 14 plates, 1798.


En todo caso, si por la relación entre uno y otro, el general se llevó a la posteridad el nombre del teorema de forma injusta, Mascheroni se desquitó uniéndo su nombre al del gran Euler en la que hoy en día se conoce como la constante de Euler-Mascheroni , denominación injusta según explica estupendamente Mario Bunge en su artículo publicado en el rincón matemático.

Y es que el tema de las atribuciones y los honores en los logros científicos es un tema bastante escabroso en general, tanto o más que el tema de las atribuciones de inventos. Ya hablaremos de ello en otra ocasión...


ADICION POSTERIOR:

Me escribe Mario Bunge para decirme que:

Por favor, corregí lo que pusiste sobre Mascheroni: No soy yo quien lo explica "estupendamente", porque el artículo ese no es mío: es de William Dunham. Lo único que hice yo fue tipear texto y ecuaciones, y hacer los dibujitos con el "dibujador" del Word. Todo lo demás es obra de Dunham.

Pues dicho queda. No obstante, no quería dejar pasar la oportunidad para comentar que el rincón matemático es una página de interés enorme para todo amante de la matemática.

Seguimos con nuestro paseo por los hermosísimos parajes de la geometría plana de los triángulos.

Supongamos que tenemos un triángulo cualquiera, definido por sus vértices A,B,C como en la figura(triángulos azules). Dado un punto cualquiera P (en gris en las figuras), que puede ser exterior o interior al triángulo, tracemos las tres perpendiculares desde dicho punto hasta los tres lados del triángulo, o hasta sus prolongaciones en su caso.

Los puntos P₁,P₂,P₃ de intersección determinan un triángulo que denominaremos Triángulo podal del triángulo ABC relativo al punto P. Lo tenemos en rojo en las figuras.

Resulta que este triángulo degenera en un segmento en determinados casos. En la figura de la derecha podemos ver que para el punto P elegido, los puntos P₁,P₂,P₃ están alineados, con lo que el triángulo podal es un segmento.

Cuando esto ocurre, la recta definida por los tres puntos alineados se denomina Recta de Wallace-Simpson del triángulo dado respecto al punto P

El Teorema de Wallace-Simson afirma que :

El lugar geométrico de todos los puntos P para los cuales los tres puntos antes citados están alineados es precisamente la circunferencia circunstrita del triángulo original.

Según el punto P va recorriendo la circunferencia circunscrita al triángulo original, la recta de Wallace-Simpson correspondiente va girando.

El Teorema de Steiner afirma que la envolvente de todas las rectas de Wallace.Simpson de un triángulo dado es una deltoide tricúspide .

Aquí tienen ustedes una generalización del teorema de Wallace-Simson debido a Don Miguel de Guzmán, recientemente fallecido como hemos comentado hace unos días. Dicha generalización consiste en no limitar la dirección de las rectas desde el punto P hasta los lados del triángulo.

El propio Miguel de Guzmán recuerda su encuentro con el teorema de Steiner tras trabajar con la envolvente de todas las rectas de Wallace-Simson de un triángulo dado.

En la imagen tienen la deltoide tricúspide de Steiner como envolvente de una familia de rectas de Wallace-Simson.



Por cierto: Una vez más parece que la historia no ha sido justa. Simson parece no tener nada que ver con el teorema citado, que es obra exclusiva de Wallace. Ambos eran matemáticos escoceses, y Wallace logró su demostración en 1856.

En esta dirección el profesor Guzmán nos propone una demostración "sencilla" del teorema de la deltoide de Steiner, demostración lograda por él mismo.

El Teorema de Feuerbach ha sido denominado como la joya de la geometría del siglo XIX . Y realmente no es para menos... Les invito a acercarse un poco al sabor de dicho teorema; como siempre, sin demostraciones y sin hacer matemáticas; tan solo paseando agradablemente.

Que tres puntos de un plano pertenezcan a una misma circunferencia no solo no es nada extraordinario, sino que es algo absolutamente obligado; de hecho tres puntos son los que definen una circunferencia. Dicho de otra manera: dados tres puntos no alineados, existe una y solo una circunferencia que pasa por los tres.

Si dados cuatro puntos existe una circunferencia que pasa por los cuatro, tenemos algo por lo menos curioso: existe alguna relación entre ellos que se refleja en la pertenencia común a la misma circunferencia. Según vamos aumentando el número de puntos, más extraordinario es que todos ellos pertenezcan a la misma circunferencia (o que todos ellos equidisten de otro punto), o más especialmente elegidos son dichos puntos. Por eso, la existencia de la circunferencia de Feuerbach es algo insólito.

Dado un triángulo ABC cualquiera, las alturas son los segmentos de recta que van desde cada vértice hasta el lado opuesto correspondiente perpendicularmente. En la figura están pintadas de verde. Las tres alturas se concurren en el mismo punto, llamado ortocentro del triángulo (punto M del dibujo). Los puntos de corte de las alturas con los lados del triángulo se denominan pies de las mismas(Puntos T_a,T_b y T_c).

Pues bien: los tres pies de las alturas de un triángulo determinan un círculo, que se llama circunferencia de Feuerbach del triángulo, y recibe también el nombre de circunferencia de los nueve puntos .

Dicha denominación de circunferencia de los nueve puntos proviene del extraordinario hecho de que además de los tres pies citados, también pertenecen siempre a dicha circunferencia los tres puntos medios de los lados del triángulo(puntos F_a,F_b y F_c en el dibujo), y los tres puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el baricentro(puntos K_a,K_b y K_c en el dibujo). Nueve puntos, todos ellos en la misma circunferencia .

En la figura tienen también dibujadas las mediatrices del triángulo (perpendiculares a cada lado por sus puntos medios), que también concurren en un punto: el circuncentro (punto Q en el dibujo). La recta que une ambos puntos, circuncentro y baricentro se denomina recta de Euler . Precisamente el punto medio del segmento QM (punto F) es el centro de la circunferencia de Feuerbach (Dibujado en gris).

Pues bien, esto no es todo: el Teorema de Feuerbach afirma que la circunferencia de nueve puntos es tangente a otras cuatro circunferencias: la inscrita al triángulo y las tres exinscritas.



El punto de tangencia de la circunferencia de Feuerbach (en rojo en la figura anterior) con la inscrita es llamado punto de Feuerbach

Aquí tienen una demostración equivalente al teorema de Feuerbach que no utiliza apenas arsenal analítico.

Belleza en estado puro, ¿no es así?

Ya lo hemos dicho alguna vez: la matemática no es el arte de hacer conjeturas. Es el arte de hacer demostraciones. Y de hacerlas bien. Cantidad de conjeturas se han demostrado falsas a lo largo de los siglos, es tan fácil hacer una conjetura...

Un ejemplo es la Conjetura de Polyà:

Afirma que Existe igual cantidad de enteros con número par de factores primos que enteros con número impar de factores primos

Un vez realizada, ahí queda para la posteridad; pero tiene algún interés? Permítanme que lo dude. El interés de la matemática no reside en la dificultad de demostrar la primera barbaridad que se le ocurra a un matemático.

Además, esta conjetura se demostró falsa (C.B. Haselgrove: A disproof of a conjecture of Polyà, Mathematika, tome V,1958), con lo cual no quedó nada interesante del asunto. Si al menos la demostración hubiera sido "elegante", pero no, se trató de una comprobación por ordenador de que la conjetura fallaba más allá de la cota 1.845 · 10³⁶¹.

Una conjetura no vale nada... a no ser que pasen varios cientos de años, y nadie pueda demostrarla, ni en sentido afirmativo ni en sentido negativo. Y aún así, es la demostración la que tendrá interés, no el mero enunciado de la conjetura. Es la demostración, y la consiguiente elevación a rango de Teorema la hazaña digna de merecer una edición especial de sellos de correos (ver imagen).

Piensen ustedes: ¿qué importancia puede tener la mera afirmación de la existencia o inexistencia de un número entero n tal que la ecuación xⁿ+yⁿ=zⁿ no tenga solución para ninguna tripleta (x,y,z) de enteros? (Ultimo Teorema de Fermat)

Ninguna en absoluto. Esta afirmación se conoció durante siglos con el nombre de El Ultimo Teorema de Fermat .

Aunque debiera haber sido conocido con el nombre de La conjetura de Fermat , porque digo yo que la simple afirmación del autor de que había encontrado una maravillosa demostración del teorema, pero que no le cabía en el margen del libro que estaba leyendo en ese momento ( Aritmética, de Diofanto , creo recordar) no basta para dar categoría a la afirmación de la conjetura. Y ya saben, sin demostración no hay teorema, ni debe haber gloria alguna para el autor.

Lo que sí tiene interés matemático, y mucho, es la respuesta a cualquiera de estas preguntas:

1.- Cómo se demuestra esta afirmación?
2.- Porqué es tan difícil la resolución de este problema?
3.- Qué nuevas matemáticas hacen falta para demostrarla?
4.- Porqué la afirmación es cierta (si lo es), y porqué es falsa en caso de serlo?
4.- Qué nuevas perspectivas nos abre la demostración completa de la conjetura?

Al final, pasa un puñado de siglos, y alguien (Andrew Wiles en nuestro caso), lo consigue.

Lo que no me gusta que se diga es que Andrew Wiles consiguió demostrar el teorema de Fermat.

Andrew Willes consiguió demostrar el TEOREMA DE WILES , cuyo enunciado es:

La conjetura de Fermat es una afirmación cierta ⁽¹⁾

Que no es lo mismo.

(1)NOTA.

Bueno,no quiero engañar a nadie; el enunciado real de Wiles es: Todas las funciones elípticas son modulares , pero palabrita de blogero que ambas afirmaciones deben ser equivalentes...

En el post anterior mencionábamos la conjetura de Polyà.

Aunque la mención era únicamente para ilustrar un ejemplo de conjetura que se demostró falsa, un lector me ha hecho ver la inconsistencia del enunciado expuesto. Paso a solventar este déficit, que no es meramente tal, sino más bien una pésima definición de la conjetura, a pesar de que lo transcribí literalmente del libro que menciono en los comentarios al post anterior(eso para que aprendamos que no todo lo que está en letra impresa es cierto).

Bueno, vamos a lo nuestro.

Dado un número natural n , denominamos r(n) al número de factores primos del mismo; iguales o diferentes.

La función l(n)=(-1)^r(n) simplemente nos dice si dicho número es par o impar. Si l(n) es positivo, es que r(n) es par, y viceversa. ("l" es la letra L minúscula, que sustituye a la lambda griega de la fórmula que no puedo o al menos no sé poner aquí.)

La función L(m) no es más que el sumatorio de los valores de la función anterior para todo natural menor que un m dado.

Pues bien; si L(m) es positivo, querrá decir que el número de enteros menores que m con factores primos en número par [que no es otra cosa que el P(m) de la fórmula] es mayor que el número de enteros menores que m con factores primos en número impar [que es I(m)].

La conjetura dice que L(m) es negativo o cero para todo m, con la única escepción del caso inicial m=1 .

Los primeros valores de la ele minúscula son:

1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,...

Los correspondientes de la ele mayúscula son:

1,0,-1,0,-1,0,-1,-2,-1,0,-1,-2 ...

Vemos que escepto el primer valor todos son negativos o cero, y eso es lo que afirma la conjetura, no lo que decíamos en el post anterior, influidos por la absurda creencia de que todo lo publicado en un libro sobre matemáticas es correcto.

Haselgrove demostraba en 1.958 que la conjetura debía fallar más allá de un valor enorme.

Lehman encontró en 1.960 que para n=906.180.359, L(n)=1 con lo cual la conjetura se demostraba falsa con datos concretos.

Posteriormente se han encontrado valores más bajos (Tanaka, 1.980)

Y así acababa la historia de una conjetura que no aportó nada interesante (que yo sepa) al mundo de la teoría de números...

Según nedstatbasic, TioPetros es un blog que se sitúa dentro de los cincuenta más visitados de España.Adición posterior: se sitúa dentro de los cincuenta más visitados de España de entre los blogs controlados por nedstat, como me puntualiza dorfun.

Que ocurra esto con un blog que trata exclusivamente de matemáticas me parece que es suficiente como para comentarlo.

En todo caso, si esto es así (ignoro la fiabilidad del dato), es gracias a ustedes, y a quienes consideraron interesante poner un link desde sus blogs al mío, como es el caso de los siguientes:

http://worm666.blogspot.com
http://cronicashoteleras.antville.org
http://odisea.blogalia.com
http://ljtarrio.blogalia.com
http://willysifones.blogspot.com
http://daurmith.blogalia.com
http://librodenotas.com
http://www.cerezo.name./weblog
http://vailima.blogia.com
http://javarm.blogalia.com
http://osito.blogalia.com
http://akin.blogalia.com
http://www.epsilones.com
http://www.boulesis.com
http://ciberlingua.blogspot.com
http://demairena.blogspot.com
http://www.rinconmatematico.com
http://matematicos.net/mt
http://www.enre2.com.ar/enre2
http://akra-sounion.blogspot.com
http://clio.blogia.com
http://www.zonalibre.org/blog/jnaide/
http://eledhwen.blogalia.com
http://gnudista.blogalia.com
http://programacionlogica.blogspot.com
http://roberto.bloxus.com
http://kirai.webcindario.com
http://uagadugu.blogspot.com
http://mariapilar.blogspot.com
http://dorfun.webcindario.com/wordpress
http://www.comunica-accion.org
http://www.blogia.com/independencia

Gracias a todos ellos, gracias a los que no están en la lista, y gracias a los lectores; seguimos en la brecha.

En la franja de Gaza están ocurriendo cosas espantosas.

En Irak mueren seres humanos entre atroces sufrimientos.

Pongo el telediario para enterarme de las últimas noticias de este doliente mundo.

Prácticamente sólo se habla de lo que ustedes ya saben: cuántas flores se han plantado en la capital, qué colores engalanan los edificios, qué calles se han cortado al tráfico, cuántos platos van a engullir los comensales, qué cocineros están trabajando en ello, qué regalos están recibiendo los novios...

La terrible sospecha de que realmente es esto lo que importa en mi país se me hace insoportable

Que pasen un buen fin de semana... si les dejan.

Cuando titulé TioPetros este blog, lo hice por la figura de Petros Papachristos , protagonista de la novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach . No sé yo si ésta es una gran novela, pero no me cabe duda que refleja perfectamente la figura patética del enamorado no correspondido, cuyo objeto de amor es la matemática.

La mayor parte de los enamorados de la matemática (no profesionales) somos como el tío Petros: amantes no correspondidos. Cuando hacemos algún "descubrimiento" es para terminar encontrando que otro lo descubrió hace dos milenios y medio.

No obstante, así es la vida.

Acabo de encontrar una cita muy ilustrativa a este respecto:

Las buenas matemáticas son hechas por muy poca gente (150, a lo más, en el siglo XX). Hay un puñado de "líderes". Las buenas orientaciones son las dadas por estas personas. Ejemplos: Riemann, Elie Cartan, Siegel; siete u ocho en total en el siglo XVIII; treinta en el XIX; uno por año en el XX. Una teoría noble es una teoría considerada buena por estos matemáticos; la opinión de los otros no tiene importancia.

¿Qué deben hacer los demás? Deben continuar; tratar de avanzar por los nuevos caminos desbrozados por los "genios", tener una cierta humildad delante de estos; es una característica esencial de un hombre de ciencia. Los genios van adelante respecto a su época. A quienes los siguen compete un cometido nada despreciable: desempeñar el papel de cajas de resonancia. Los "seguidores" deben tratar de explicar, de vulgarizar lo que los líderes no se han tomado la pena de desarrollar. Este oficio de continuador no tiene nada de deshonroso. Se emplearon cien años para penetrar en el pensamiento de Riemann y esto hizo progresar muchísimo el conocimiento matemático. Se enriqueció al mismo tiempo dicho pensamiento y se le dieron bases sólidas


Es tan patente el inmenso poder de ciertas mentes que a un matemático, o a un amante de la matemática no le suele costar ningún esfuerzo reconocerse a años luz de ellos.

Algo así le sucedía a Laplace, que no era ningún segundón, cuando exclamaba:

Leed a Euler, leed a Euler; él es el maestro de todos nosotros

Cuando seguimos una demostración, o aprehendemos un concepto, los amantes no correspondidos disfrutamos de un pálido reflejo de lo que significa (de lo que debe significar) rozar el cielo con el poder de la mente y asistir en primera persona a un logro de los grandes.

Wiles lo relata muy bien al respecto del momento en el que descubrió el camino hacia la demostración del último teorema de Fermat :


Era un lunes por la mañana, 19 de septiembre [de 1.994]. Estaba tratando de convencerme a mí mismo de que no podría lograrlo, mientras miraba exactamente el problema, cuando repentinamente, en forma totalmente inesperada, tuve esta increíble revelación. Me di cuenta de que lo que me tenía bloqueado era exactamente lo que resolvería el problema que había surgido en mi intento con la teoría de Iwasawa tres años antes. Fue el momento más importante de mi carrera. Era tan indescriptiblemente hermoso, tan simple y tan elegante. No podía creerlo y así permanecí por veinte minutos. Luego, durante el día, caminé por el apartamento. Regresé una y otra vez a mi escritorio para ver si aún estaba allí. Aún estaba allí.

La teoría de números es sin duda alguna uno de los apartados más enigmáticos y que mayor fascinación han despertado desde siempre. Se trata de algo tan fácil de definir como el estudio de un único conjunto: el discreto (nunca mejor dicho) conjunto N . Sabemos positivamente que jamás el ser humano será capaz de responder todas las preguntas que dicho humilde conjunto nos plantea; y lo sabemos porque es muy fácil comprender que el número de preguntas diferentes que tiene capacidad de plantearnos es sencillamente infinito.

Además, bajo la apariencia de preguntas sencillas, de conjeturas infantiles, se esconden retos inmensos contra los que se han estrellado las mentes más poderosas del planeta. No en vano Erdös decía que si se plantea un problema en términos sencillos y no obtiene respuesta satisfactoria en un par de siglos, estamos ante un problema de teoría de números.

La Conjetura de Goldbach pertenece a esta especie. Otras conjeturas son muy famosas, e incluso muy importantes, como la conjetura de Riemann o la conjetura de Poincaré ; sin embargo, para explicar estas últimas hace falta que el interlocutor tenga unos ciertos conocimientos, o al menos hace falta hacer una buen introducción. La de Goldbach en cambio es meridianamente clara para cualquier persona, independientemente de su formación matemática: todo número par es la suma de dos primos.

Es la inconcebible dificultad de la demostración de esta frase lo que atrae a los matemáticos. El origen de esta conjetura parece datarse en 1742, cuando un oscuro matemático de nombre Christian Goldbach le escribe una carta al gran Leonard Euler y le comenta, marginalmente, que, hasta donde ha podido comprobar, todo número par puede escribirse como la suma de dos números primos.

Otra de las fascinaciones del conjunto N es la distribución de los números primos. Me van a permitir que les hable hoy de una fascinación escondida del conjunto N , relacionada con esta distribución.

Todo el mundo sabe que los primos son aquellos números que sólo se pueden dividir exactamente por sí mismos y por la unidad, revelándose así como los ladrillos a partir de los que se construyen los demás. Su aparición en el seno de N es errática: existen porciones de N tan grandes como queramos dentro de las cuales no hay ningún primo. (¿Lo sabía el lector? además, esto último es extraordinariamente fácil de demostrar). Sin embargo, parecen existir una infinidad de primos gemelos, que sólo distan dos unidades de uno a otro.

Sin embargo, aunque la distribución en sí es impredecible, el acumulado de la misma, esto es: el número de primos existentes desde 1 hasta n, sí que tiene una cierta distribución “conveniente”. Se trata del famoso teorema de los números primos , que afirma que dicho número tiende asintóticamente al valor del logaritmo integral. No nos importa ahora qué es este logaritmo integral. Es simplemente una función concreta.


Donde dicho logaritmo integral toma la forma siguiente:


Pues bien: aunque el comportamiento asintótico (para n tendiendo a infinito) parece estar claro a partir de este teorema, lo que no está nada claro es si para cada n concreto el número de primos menor que n se acerca al logaritmo integral por arriba o por abajo. Basándose en extenuantes comprobaciones, se averiguó que el número de primos era siempre menor que el correspondiente logaritmo integral : se acercaba por abajo.

El propio Gauss, que no era amante de conjeturas, conjeturó que esto era así para todo n. Pues bien, Skewes demostró (ojo, he dicho demostró, no conjeturó) que la desigualdad se invierte para un número muy grande.

Esto es muy curioso. Para empezar, la demostración utiliza la conjetura de Riemann . Una demostración que utilice una conjetura, no es una demostración, sino otra conjetura, me dirán ustedes. Y sin embargo no es así: se asume que la conjetura de Riemann es cierta, y se demuestra que existe un número a partir del cual la desigualdad anterior se invierte. Luego se asume que la conjetura es falsa, y también se demuestra que existe otro número a partir del cual la desigualdad se invierte. Ambos números son cotas que pueden ser reducidas en trabajos posteriores más finos; pero en todo caso son demostraciones de que al menos a partir de dichos números, la desigualdad se invierte (siguiendo cumpliéndose el teorema de los números primos, por supuesto).De esta forma, hemos independizado nuestra afirmación de la conjetura en la cual nos apoyábamos para hacer nuestra demostración (nos apoyábamos en sentido positivo, o negativo).

Lo que añade mucho encanto al asunto es la extraordinaria, devastadora, inmensa magnitud de las cotas obtenidas, llamadas primer y segundo números de Skewes.

Sus valores son:





Apenas existen trabajos matemáticos que involucren a números enteros más grandes ⁽¹⁾ .No son grandes: son absurdamente grandes. No hay con qué compararlos, sobrepasan todo entendimiento. El número de electrones de trillones de universos como el nuestro es prácticamente cero en comparación. Ni los indios en su obsesión habían imaginado jamás nada parecido.

Y todo esto dentro del humilde conjunto N , el que surgía del vacío como una joya zen... increíble.


Nota (1): De hecho, sí existen números mayores en la historia de la matemática, el número de Graham por ejemplo. Son tan grandes que incluso la notación exponencial se muestra impotente para expresarlos, y ha habido que inventar otra notación específica para ellos.

Ya lo comenté una vez, pero ahora puedo enseñarles la portada y alguna página interior. En un baúl dormía este incunable de la inmundicia gráfica, esperando que fuera a rescatarlo.

En otras épocas, no existía Internet, y por lo tanto no había blogs. Las revistas tipo Año Cero aún no habían visto la luz, y quien tenía "una teoría", no tenía más remedio que conseguir que una editorial publicara su panfleto, como es el caso que les presento.

Vean el título:

NUEVA CONCEPCION DEL UNIVERSO
LA MISTERIOSA ACTUACION DE LA LUNA
ESTRUCTURA DEL COSMOS A BASE DE NUEVA MECANICA CELESTE
SOLUCION IRREFUTABLE A LA CUADRATURA DEL CIRCULO

Teorías y soluciones por Justo Mintegi
Editorial Itxaropena Zarauz

Un verdadero incunable, pblicado en España poco antes de la guerra civil.

En unas pocas páginas, da un repaso im-presionante a los cuatro tópicos citados, y aún le sobra espacio para aclarar los conceptos (erróneos, por supuesto) del evolucionismo darwiniano.

En sus páginas centrales, podemos ver lo siguiente:



El texto a pie de páginas dice:


"Este escalonamiento de seres se puede degradar más, con relación a lo perfecto, incluyendo esquimales, etc. Y en ese caso, ¿dónde se halla la línea divisoria entre lo racional y lo irracional?"

¿A que es encantador?

Una de las cosas más extrañas de la matemática es que muchas veces es difícil saber qué estudia una cualquiera de sus ramas. Un buen ejemplo de esto lo tenemos con la geometría . La inequívoca etimología de la palabra nos evoca mediciones de terrenos. Por lo tanto, la geometría sería la parte de la matemática que estudia las figuras, las porciones del plano y sus propiedades.

Rápidamente podemos hacer una extensión del concepto, y englobaríamos dentro de los estudios geométricos las figuras que no son planas: superficies alabeadas, cuerpos sólidos, etc.

En una generalidad creciente, si somos capaces de estudiar espacios de más dimensiones, sus porciones quedarían también dentro del estudio de la geometría. La idea original, como pueden ver, se va desdibujando.

En un ambiente de creciente abstracción como la que ocurrió a mediados y finales del siglo XIX, empezaremos a vez la geometría como el estudio de los subconjuntos de un conjunto general, llegando con Félix Klein a decir que la geometría es el estudio de las propiedades que permanecen invariantes por transformaciones. Cuando más generales son estas transformaciones, más primigenias son las propiedades estudiadas. Tenemos así un conjunto anidado de geometrías diferentes, siendo la topología la más general de todas ellas, por estudiar las propiedades invariantes por homeomorfismos, feo palabro que indica simplemente transformaciones generales continuas (sin romper ni rasgar).

Con los trabajos de Klein se desdibuja la separación entre álgebra y geometría, y empiezan a ser posibles gruesos libros de texto sobre geometría sin dibujo alguno. La tendencia de abstracción crece enormemente con la irrupción del mítico (nunca mejor dicho) matemático Nicolás Bourbaki , llegando a Alexander Grothendieck , con su geometría algebráica a niveles nunca antes alcanzados.

¿Qué es hoy la geometría?

El 5 y 7 de febrero de 1.934, el matemático holandés Van Schouten dió dos conferencias con cuyo título era precisamente ésta pregunta. Según cuenta Raymond Queneau, Van Schouten repasó las diferentes definiciones que desde Klein se han dado de geometría. Después de haber demostrado que ninguna de ellas resultaba completamente satisfactoria, decidió adoptar la de O. Veblen:

Se llama Geometría a una rama de las matemáticas que un número suficiente de gentes competentes están de acuerdo en denominar así por razones de sentimiento y de tradición.

Que tengan ustedes un feliz fin de semana.