Tio Petros

Durante una semana, este blog estará sin actualizar.

Quien esto escribe se va con vailima a pasar unos días a Madrid, para conocer personas y lugares. A la vuelta seguiremos.

Aprovecho para comentar una vez más que este blog nació con la intención de invitar a los lectores a dar paseos por lo que considero los paisajes más bellos de la matemática. Un paseo no es una escalada, y por tanto el blog estaba concebido para lectores con ganas de pasar un buen rato aprendiendo o recordando, sin que supusiera demasiado esfuerzo. No obstante, cuando uno prepara un post, al final no sabe qué impresión causará a quien lo lee: uno ha preparado los conceptos y ya le parecen trillados. No porque sea más listo que nadie, sino porque los acaba de refrescar en su mente, y es difícil calibrar la dificultad en quien no los ha visto nunca, o los vió hace mucho tiempo. Divulgar es precisamente ponerse en el lugar del otro, y hacerle agradable el paseo.

Divulgación y rigor deben estar unidos y no quiero que nada de lo aquí escrito pueda ser erróneo, de modo que dado que últimamente los post son bastante densos, a lo mejor espacio un poco la publicación de los mismos.Llevamos muchos meses a una media de tres o cuatro por semana, y no hay ningún motivo para tal ritmo de publicación. A lo mejor es mejor más despacio y más pulido.

Digo lo de pulido porque un blog se presta mucho a escribir de forma más o menos complusiva, incluso con faltas de ortografía, lanzando ideas en torrente. No me parece mala manera de hacer un blog; pero creo que no es la que quiero para TioPetros.

De un tiempo a esta parte tenemos la suerte de contar con lectores muy versados en temas matemáticos (algunos de hecho SON matemáticos), así que cuento con su benevolencia y ayuda en los comentarios...

El post anterior sobre la conjetura de Poincaré me ha dado pié para hablar en post sucesivos de conceptos importantísimos de los cuales nunca hemos hablado; quisiera hablarles por tanto de lo que es una variedad diferenciable, un abierto, un compacto, desde una perspectiva rigurosa pero suficientemente amena, atractiva y coloquial como para necesitar apenas fórmulas. Trabajaremos con ideas... si somos capaces. Luego volveremos a la figura de Perelman.

Todo esto será a partir de la próxima semana.

Es un placer contar con ustedes como lectores.

Tio Petros

Como ya he hecho alguna vez, aprovecho la ocasión para pedir a los lectores de TioPetros cualquier indicación, idea o propuesta de mejora.

Alan Turing ideó lo que se conoce como La prueba de Turing para saber si tras un ordenador existe un ser humano u otro ordenador. Un programa se dice que ha pasado la prueba de Turing cuando nos ha engañado.

En los blogs vemos comentarios y suponemos que tras ellos existen personas. El mejor test de Turing consiste, lo acabo de comprobar, en viajar a la supuesta residencia de los amigos que uno va haciendo en la web, y cenar en su compañía. De esta forma comprobamos que efectivamente existen personas tras los nicks. Y no personas cualesquiera, sino amigos.

Gracias Klapaucius, Flor, Carl Philip, Concha, Crystal, Chus, Canopus por compartir parte de vuestro tiempo con Vailima y conmigo.

No olvidaré los buenos ratos vividos en vuestra compañía.

No olvidaré a Chus y a Canopus comentando sus vivencias y riendo con nosotros. No olvidaré a Klapaucius, enorme fotógrafo, y sus historias de vecinos extraños, ni a Flor con su sonrisa y con los mismos vecinos, ni a Crystal comentando ilusionada cómo ve perfilarse el final de su carrera de física. No olvidaré a Concha y su envolvente conversación, ni de sus chascarrillos. No olvidaré las explicaciones sabias de Carl Philip sobre los ritmos indios y la música de Ligeti, o contándonos el origen de la Iglesia de la Cienciología.

Gracias, amigos.

Y vale ya de vacaciones. Mañana seguimos con lo que hace ya una semana prometimos.

Como no tenemos prisa, lo mejor es que empecemos por el principio. Queremos aclarar de una forma suficientemente rigurosa qué es la Topología. Debiéramos decir que la propia palabra Topología tiene dos acepciones totalmente diferentes. Por un lado es una rama de la matemática, como ustedes saben. Es aquella rama de la matemática de la que estamos hablando. Cuando nos refiramos a esta acepción, intentaremos escribirla con mayúscula.

Pero también es un concepto matemático muy concreto: se trata de un concepto que habita en el interior del conjunto de partes de un conjunto dado (o mejor aún, en el conjunto de partes del conjunto de partes de un conjunto dado). Cuando hablemos de este concepto concreto, lo escribiremos en minúscula.

En todo caso, no debemos perder de vista que vamos a establecer las bases del estudio de las propiedades más escondidas de los cuerpos geométricos, aquellas que permanecen invariables ante torturas continuas. Parece claro que si podemos “torturar” un objeto geométrico estirándolo, encogiéndolo, doblando y plegando; poca importancia tendrá el concepto de distancia.

Necesitamos poder hablar de proximidad sin apelar al concepto de distancia, y para ello definiremos el importante concepto de entorno , bastante más abstracto que el de distancia.

Es más, el nivel de abstracción que exigiremos será doblemente alto, pues entenderemos por cuerpo geométrico un conjunto cualquiera. Los elementos de dicho conjunto los llamaremos puntos. Como un triángulo, por ejemplo, no es sino un subconjunto de puntos de un plano, extenderemos nuestro campo de aplicación a conjuntos generales, tengan o no visualización geométrica, aunque nos apoyaremos en figuras de contenido geométrico para visualizar los conceptos.

Nuestras herramientas de partida son las de la teoría de conjuntos. No poseemos otra cosa que las nociones de conjunto, subconjunto, elemento, pertenencia, inclusión, unión, intersección y complementario en conjuntos.

Estarán de acuerdo conmigo en que poca “geometría” podemos hacer con dichos conceptos. Dado un conjunto, por ejemplo A={a,c,b,d,e}, podemos decir si el elemento f pertenece o no al mismo, si el conjunto B={a,b,e} es subconjunto suyo...y poco más. Preguntas como ¿Cuál es el interior de A? O ¿Cuál es la frontera de B? carecen de sentido por ahora. Si habláramos de un triángulo B dentro de un plano A, parece que dichas preguntas tendrían una respuesta más clara, pero esto tan sólo es así porque poseemos nociones intuitivas previas que en el caso del triángulo funcionan y en el caso del conjunto general no.

El concepto de entorno es un concepto topológico que hace referencia a unos subconjuntos del conjunto X "marcados", llamados genéricamente abiertos. Dado que queremos empezar desde el principio y estamos a nivel "pre-topológico", definiremos lo que en los próximos post llamaremos entornos fundamentales . La nomenclatura es mía, y la palabra fundamental no hace referencia a nada en concreto. Es una manera de diferenciar este concepto nacido directamente de la teoría de conjuntos, del concepto habitual de entorno, que manejaremos más adelante. Luego se verá la identidad de ambos conceptos, pero de esto no hay que preocuparse ahora.

Definiremos a partir de la Teoría de conjuntos el concepto de entorno de un punto en un conjunto X. Este concepto será clave en todo lo que sigue. Supone la aproximación desde la teoría de conjuntos a la idea intuitiva de vecindad de un punto dado. Todo punto no es sino un elemento del conjunto ambiente X en el que estamos situados, y todo entorno es un subconjunto del mismo. Dado que estos entornos van a ser abstracciones que sustituyan la noción intuitiva de vecindad, deberán cumplir cuatro propiedades que consideramos intuitivas de algo que merezca llamarse entorno de un punto:



1.- Un punto pertenece a todos sus entornos
2.- Dados dos entornos de un punto, la intersección de ambos también es un entorno del punto dado.
3.- Si un conjunto CONTIENE a un entorno de un punto, entonces ES un entorno de dicho punto
4.- Dado un entorno U de un punto, existe otro entorno V tal que U es entorno de todos los puntos de V .

Las cuatro están ilustradas en la figura siguiente, y salvo la cuarta, que es un poco más enrevesada, son muy fáciles de entender y de aceptar.

Pues bien, si dado un conjunto general X , tenemos para cada punto x de X una familia N_x de subconjuntos de x que verifiquen las cuatro propiedades de los entornos, entonces tenemos una herramienta de poder incalculable para hacer cosas que desde la mera teoría de conjuntos nos estaba vedado. Diremos que el conjunto X dotado del sistema de entornos mencionado es un Espacio topológico .

Estos entornos definidos en torno (permítanme la gracia) a los puntos definirán lo que se denomina una topología (con minúscula) en X. De ello hablaremos en el próximo post. Estamos a punto de saber qué es un conjunto abierto, qué es uno cerrado, y de comprender que un conjunto no abierto no tiene porqué ser cerrado, que uno no cerrado puede ser no abierto, que uno abierto también puede ser cerrado y que otro puede no ser ni una cosa ni otra.

No se alarmen: de alguna forma había que llamarlos, lo mismo podría haberse impuesto la nomenclatura de conjuntos blancos y negros, o feos y guapos. Lo de menos es el nombre. Lo vemos enseguida, como siempre si ustedes quieren.

Hemos definido en el post anterior lo que es un sistema de entornos en un conjunto dado. Las cuatro propiedades se referían a la familia de entornos de un punto dado, y a la relación entre familias de entornos de puntos diferentes. Denominaremos Base de entornos fundamentales del punto correspondiente a cada una de estas familias.

Lo primero que debemos notar es que no todos los candidatos a bases de entornos fundamentales lo serán efectivamente por no cumplir las propiedades. Lo vemos con un ejemplo:

Sea la recta real, y consideremos para cada punto x la familia de intervalos B(x)= {[p-e , p+e)}. Tenemos infinitos entornos para cada punto p, uno para cada valor del número real e. El intervalo es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. Esto quiere decir que el propio punto (p-e) pertenece al intervalo, pero el (p+e) no. En la figura aparece uno de tales entornos. He dibujado su extremo derecho de forma diferente al izquierdo: más desvahído, para mostrar que el extremo derecho NO está incluido en el intervalo.



Veamos si tal presunto sistema de entornos fundamentales lo es en realidad. Repasemos las cuatro propiedades del post anterior, para lo cual las repito aquí:


1.- Un punto pertenece a todos sus entornos
2.- Dados dos entornos de un punto, la intersección de ambos también es un entorno del punto dado.
3.- Si un conjunto CONTIENE a un entorno de un punto, entonces ES un entorno de dicho punto
4.- Dado un entorno U de un punto, existe otro entorno V tal que U es entorno de todos los puntos de V .



Propiedad 1: La cumplen sin duda: todo intervalo de este tipo contiene al punto p.

Propiedad 2: Dos intervalos diferentes del mismo punto están por definición anidados uno dentro del otro, de forma que su intersección es idéntica al menor de ambos; luego la propiedad 2 también se cumple.

Propiedad 3: También se cumple: cualquier intervalo de la forma pedida que contenga a un entorno del punto p es también un entorno de dicho punto.

Propiedad 4: Esta falla: tomemos el intervalo [p-e,p+e), y de él, el punto (p-e). No podemos encontrar ningún entorno de este punto (p-e) tal que el entorno original sea entorno de todos los puntos de este nuevo entorno. El motivo es que por la propia definición de estos intervalos, un intervalo del punto (p-e) (amarillo) debe “salirse” hacia la izquierda de dicho punto, fuera de los dominios del intervalo original (azul).



Queda claro por tanto que aunque tenemos muchas libertades para elegir las bases de entornos de los puntos, existen restricciones.

Llamaremos, dada una base de entornos fundamentales definida, conjunto abierto a aquel conjunto que es entorno de todos sus puntos. Y llamaremos topología del conjunto X inducida por el sistema de entornos fundamentales al conjunto de todos los abiertos de X .

Es fácil demostrar que la unión de cualquier cantidad de abiertos es un abierto, sea esta unión finita o no, y sin embargo sólo la intersección de una familia finita de abiertos es abierta con seguridad. Así pues, podemos definir una topología T de un conjunto X como una familia de subconjuntos de X que cumple:

1.- El conjunto vacío y el total están en T .
2.- Dada una familia finita de elementos de T , su intersección está en T
3.- Dada una familia cualquiera de elementos de T , la unión de todos ellos está en T

Por lo demás, existe plena libertad para elegir los abiertos. Según los abiertos elegidos, tendremos un sistema de entornos fundamentales diferente. Alternativamente, según qué sistema de entornos fundamentales elijamos, tendremos una topología diferente.

Si consideramos todos los subconjuntos de X como abiertos de la topología, se cumplen las tres propiedades anteriores, luego se trata en efecto de una topología lícita, de hecho, es la más grande que puede existir en X, diremos que es la más fina .

El en extremo opuesto está la topología formada por dos conjuntos: el total X y el vacío. Entre ambos cumplen trivialmente las tres propiedades, y se trata de la topología más gruesa de las posibles.

Tan sólo con estos elementos, podemos ya hablar del interior de un subconjunto de X, del exterior y de la frontera , cosa que con las herramientas meramente conjuntistas que teníamos hasta ahora no era posible.

Lo veremos en el siguiente post, si bien nos remitiremos constantemente a lo que denominamos topología usual del plano y el espacio: aquella que “intuímos” desde siempre, en la que las bases de entornos de un punto están formadas por las bolas abiertas (sin incluir el borde) centradas en el mismo.

Es una pena que precisamente ahora sea imposible colocar comentarios. Yo tampoco puedo. Veremos si a lo largo del fin de semana se arregla el asunto, tras lo cual este post será eliminado por hacer referencia exclusiva a un asunto que podía haber sido tratado en los comentarios del post anterior. Hemos definido bases de entornos fundamentales de los puntos de un conjunto.

Por mucho que le doy vueltas, me vais a perdonar, pero no puedo estar de acuerdo con vosotros. Sigo manteniendo perfectamente la posibilidad de estar equivocado, pero me pasa exactamente como a Anónimo: de momento creo tener razón!!!

Cluje me ha mandado un correo al no poder postear, en el que me indica entre otras cosas la necesidad de que los intervalos [p-e,p+e) sean válidos tan sólo para e real positivo. Es cierto, faltaba tal precisión: para e=0 tenemos entornos unipuntuales que definirían la topología discreta, manifiesta asimismo que dichas bases debieran llamarse bases de entornos generales . Admito de buen grado ambos extremos, que además creo que satisfacen a Anónimo.

Ahora vamos a la cuarta propiedad:

4.- Dado un entorno U de un punto, existe otro entorno V tal que U es entorno de todos los puntos de V

Hay que comprender que de momento tenemos tan sólo definida una base de entornos para cada punto. No me vale decir que [p-e,p+(e/2)) es un entorno del punto (p-e), como hace Juan en su comentario. Este pertenece a la base de entornos del punto medio de (p-e) y de p+(e/2), que en ningún caso es (p-e).

He querido partir de cero, como hice cuando hablé de la construcción de los números. Y de momento no tenemos nada más que la definición de lo que son las bases de entornos de un punto p, extendido a todos los puntos p del espacio en cuestión. Son el conjunto de subconjuntos de R de la forma [(p-e), (p+e) ) con e mayor que cero en el ejemplo (mejor contraejemplo)que nos ocupa. Entonces, todo entorno perteneciente a la base de entornos del punto extremo izquierdo de U, a saber el punto q=(p-e), deberá ser de la forma [q-a,q+a )con a mayor que cero. Y NO EXISTE VALOR ALGUNO DE a PARA QUE DICHO INTERVALO ESTE DENTRO DE U, pues me salgo por la izquierda de dicho intervalo.

Por lo tanto, esta presunta base de entornos generales no lo es por no cumplir el punto cuatro.

Ahora tampoco?

Por un lado, Carlos y TioPetros, por el otro el resto. Esta discusión está resultando magnífica. Sois el orgullo de este blog.

Varias veces he dicho que además del pensamiento crítico y de la matemática, la belleza tiene su cabida en este blog. Hagamos un alto, aunque sea para llamar la atención sobre una de las maravillas que está ocurriendo ahora mismo muy cerca de todos nosotros.

Ocurre todos los años, pero no por eso deja de ser maravilloso.



Comienza por las puntas allá por septiembre, las hojas más altas se vuelven rojas, y el resto del árbol parece no darse cuenta.

Sin embargo, poco a poco es como si una pintura bermellón se deslizara hacia abajo,en octubre ha llegado a la mitad del árbol



al llegar mediados de noviembre ha invadido todo el árbol.

Dentro de quince días estará a reventar, lleno de sangre como anunciando la inminencia de una explosión de vida… y sin embargo seguidamente las hojas caerán una a una, se retirará la sabia y se dormirá hasta la primavera.

Ha llegado el momento de ver la aplicación práctica de todo lo que hemos visto hasta ahora. Consideremos la topología usual en el plano. Los abiertos de la misma son uniones arbitrarias de bolas abiertas , que no son sino el conjunto de los puntos que están a una distancia menor que un valor dado de otro punto que es su centro. Cuando una topología es de este tipo, con una base formada a partir de la definición de una distancia es que previamente estamos en un espacio métrico, y la topología se denomina topología métrica asociada a la distancia. Si, como en este caso, la distancia definida es la habitual, euclídea, podemos hablar de topología euclídea .

Pues bien, vamos a ver que la mera consideración de un subconjunto de un espacio topológico establece una clasificación de los puntos del espacio, clasificación más rica que la que teníamos hasta ahora, y que se resumía en hablar de qué puntos pertenecían o no a qué conjunto. El conjunto a considerar es el de la figura: Un círculo A y un punto exterior al mismo, {x}. Consideraremos el objeto B= A U {x} resultante de la unión de ambos.

Sea B el subconjunto de un conjunto X dotado de una topología T ( Dicho de otra forma: sea B un subconjunto en un espacio topológico (X,T).

Definimos:

Punto interior de B es todo punto p para el cual existe un abierto que contenga a p y esté totalmente contenido en B. Al conjunto de todos los puntos interiores de B lo llamaremos interior de B en un alarde de imaginación, y lo denotaremos así: int(B).

Punto exterior de B es todo punto r para el cual existe un abierto que contenga a p y esté totalmente contenido en el complementario de B. Al conjunto de todos los puntos exteriores de B lo llamaremos exterior de B , y lo denotaremos así: ext(B).

Punto frontera es todo punto q para el cual, cualquier entorno del mismo corta (tiene intersección no vacía) tanto a B como a su complementario. Al conjunto de todos los puntos frontera de B lo llamaremos frontera de B , y lo denotaremos así: fr(B).

Cualquier punto del espacio completo es de una de estas tres categorías, pues las tres forman un conjunto exhaustivo de posibilidades, luego el espacio completo se divide en tres partes al considerar cualquier subconjunto:

X= int(B) U ext (B) U fr (B), para todo subconjunto B de X.

Hay que hacer notar que un punto interior pertenece al subconjunto, y un punto exterior pertenece a su complementario. Sin embargo, un punto frontera puede pertenecer o no al mismo.

Parecería que esta clasificación es satisfactoria completamente, pero la cosa dista mucho de ser así. El conjunto B considerado tiene por definición un punto x fuera del círculo A, y por lo tanto x € B. Sin embargo, no hay entorno alguno de x incluido en B, ni incluido en su complementario pues el propio x pertenece a B. Así pues, ni pertenece al interior ni al exterior de B. Por lo tanto pertenece a la frontera de B.

Sin embargo, algo nos dice que su estatus es diferente a la de los puntos de la circunferencia que delimita el círculo A.

Se trata de un punto aislado, que nos muestra que debemos ser más finos en nuestra clasificación. En el próximo post hablaremos de los trascendentales conceptos de adherencia y acumulación, y tendremos una visión más rica del asunto.

Hasta entonces, si algún lector se encuentra con esto por vez primera y lo comprende; un ejercicio interesante es encontrar el interior, exterior y frontera de subconjuntos algo más diabólicos que el representado. Si se animan, piensen en hacerlo con el subconjunto Q de los racionales dentro de la recta R de los reales, también con la topología euclídea usual. Es un ejercicio interesante y no trivial.

Hasta el próximo post.

Decíamos en el último post que necesitamos una clasificación más fina de los puntos de un espacio topológico respecto a cualquier subconjunto suyo. Y lo decíamos porque los puntos aislados eran evidentemente de una naturaleza distinta a los otros puntos de la frontera del subconjunto. Repetimos la imagen del post anterior para recordar el ejemplo en el que veíamos el asunto.



Debemos resaltar el hecho de que tanto los puntos del interior como los de la frontera (aislados incluido) tienen la propiedad de que cualquier entorno de los mismos contiene algún punto del subconjunto. Llamaremos adherencia o clausura de B, adh(B) a dicho puntos. Habitualmente se denota con el nombre del subconjunto y una barra encima, cosa que no sé cómo hacer, por lo que dejaremos la nomenclatura adh(B).

A partir de esta definición, está claro que

adh (B)= int (B) U fr (B)

que

X = adh (B) U ext (B) , para todo subconjunto B de X.

Y también que se dan las siguientes inclusiones:

Int (B) C B C adh (B)

De hecho, es interesante comprender que el interior es el mayor abierto que contiene a B, y la clausura o adherencia es el menor cerrado que lo contiene. Esto nos da otra caracterización de los abiertos y los cerrados:

Un abierto es un subconjunto que coincide con su interior, y un cerrado lo es si coincide con su clausura.

Pero nosotros seguimos sin poder discriminar los puntos aislados, porque la adherencia incluye a la frontera, y los aislados pertenecen a ésta última. La solución es obvia: los puntos aislados son aquellos para los cuales existe un entorno cuya intersección con el subconjunto se reduce al punto en cuestión: definamos algo similar a la adherencia, pero sin tener en cuenta el propio punto.

Decimos que x € X es un punto de acumulación de un subconjunto B en un espacio topológico (X,Y) si todo entorno del mismo corta a B en algún punto diferente del propio x

Ahora está claro que un punto aislado no es de acumulación.

A pesar de lo que pueda parecer a primera vista, un punto de acumulación de B no tiene porqué pertenecer a B. Lo vemos con el ejemplo siguiente:



Sea B={1/n² ; n € N} como subconjunto de R con la topología usual. El cero no pertenece a B, y sin embargo cualquier entorno del cero tiene puntos de B, como se puede comprobar fácilmente tomando un entorno (-e,+e) y viendo que siempre existirá un m € N tal que 1/n es menor que e, para todo n mayor que m. Por lo tanto, son infinitos los puntos de B incluidos en cualquier entorno, por pequeño que sea de B.

Al conjunto de todos los puntos de acumulación de B lo llamaremos derivado de B, y lo denotamos B’ .

Es fácil comprobar que:

Adh (B) = B U B’

A partir de ahora, salvo error por mi parte, podremos hacer muchas cosas que antes no podíamos. Espero generar post menos aburridos desde ahora, pero la verdad es que necesitaba definir conceptos...

Hace algún tiempo hablábamos de la aplicación del fracaso educativo en matemáticas, en este post.

A raíz de su publicación un lector; el Sr. Carlos Cabrera me escribió manifestando su sorpresa, o incluso su malestar por lo que entendía era un ataque al rigor bourbakiano. Sin embargo su escrito era absolutamente correcto, incluso cordial. Me brindé a publicarle una contraargumentación, cosa que hago ahora.

El Sr. Cabrera habla de intereses ocultos, editoriales y de políticas educativas, y me da la impresión de que sabe de lo que habla. Sin embargo yo, que no tengo intereses de clase alguna, ni me paga nadie, expresaba en el post que me parece preferible explicar a los niños las fracciones de forma que lo entiendan intuitivamente, y no como el conjunto cociente de los pares (a,b) de números enteros con la relación de equivalencia (a,b)R (a',b')si y solo si ab'=a'b. Explicaba que el rigor es imprescindible en la matemática, pero que dicha idea debía ser una idea de llegada, no de partida. Más que nada porque no todos los niños que estudian matemáticas van a ser matemáticos. Sin embargo hay otras sensibilidades, y la del Sr. Cabrera la teneis aquí expuesta tal y como él me la ha hecho llegar.

Creo entender que el malentendido parte de un párrafo de mi post; concretamente éste:

Ninguna otra disciplina de conocimiento humano se distingue por el rigor de forma tan absoluta como la matemática. Esto debe entenderse en sentido no excluyente por supuesto: nadie duda de que todas las disciplinas científicas deben estar dominadas por el rigor. Sin embargo, esta es, por así decirlo, la “marca de la casa” de la matemática.

No siempre ha sido así. El mismo Euler daba saltos en el vacío más de cuatro veces en sus demostraciones, (cayendo siempre de pie, como un gato, por cierto). En gran parte fue Nicolás Bourbaki el culpable. Este matemático ficticio de nombre extraño y obra enorme concibió la idea de dotar a la matemática toda de un rigor absoluto. En sus publicaciones, aboga por ello de forma vehemente. Tal rigor, sin embargo se convirtió en rigor mortis cuando fue trasladado a la educación de la matemática.

Y digo malentendido porque mi intención era expresar que ¡bendito culpable Bourbaki!, que dotó a la matemática del rigor actual. Otra cosa es el traslado vacuo de un rigorismo mal entendido a la educación secundaria con el resultado que todos conocemos. Supongo que este giro idiomático habrá confundido, debido sin duda a mi torpeza, a más de un lector.

A partir de esta frase el resto es del Sr. Cabrera:


Distinguido Tío Petros:

1) Ud. dice

"...sin embargo muchos piensan que parte del desastre educativo en matemáticas en las últimas décadas del siglo XX ha sido debido a la absurda idea de aplicar el rigor bourbakiano a la enseñanza secundaria."

pero no argumenta explícitamente en contra o a favor de lo que "muchos dicen".

Las citas a Valdéz, Tom, y Heaviside, invitan a suponer que, efectivamente, por la aplicación del rigor bourbakiano" a la enseñanza (¿secundaria? ) se ha dado el DESASTRE educativo de los últimos tiempos.

2) Permítame manifestar lo siguiente:

a) Como en una guerra, hay una “oposición” a la espera de cualquier error que cometa el “sector aliado” para así llevar “agua para su molino”.

b) El “bando enemigo” dispone de mucho dinero que le sirve para, por ejemplo, negociar la producción de textos y software de matemática o acerca de la matemática, a todo nivel (primario, secundario o superior).
Le aseguro que incluso Ministros de Educación han caído por enfrentamientos subsidiados por grupos de gran poder económico y editorial.

c) En una oportunidad, en un seminario, debí interrumpir a dos matemáticos. Algunos participantes les pidieron que opinaran respecto al rigor matemático en los niveles escolares (primaria, secundaria, superior).
Amablemente, los ponentes manifestaron su desacuerdo total con el uso exagerado de rigor en los diversos niveles escolares pero no se daban cuenta que el “rigor formal” en el que ellos pensaban no era el mismo que el que pensaban los participantes. Por supuesto, mencionaron varias veces, a Tom y muchos más, que condenaban la “rigorización bourbakiana”.
Pedí a los ponentes que aclararan qué entendían por: “rigor”, “formal”, etc. y les pregunté si conocían lo que “el auditorio” opinaba de dichos conceptos.

A mi turno, expliqué que la “rigorización bourbakiana”, nunca se ha aplicado en nivel educativo alguno. Para hacerlo o intentarlo siquiera, se habría requerido de un gran número de docentes familiarizados con Bourbaki y, como bien sabemos, ese gran número de docentes no existe ni ha existido jamás.

d) Las aclaraciones se dieron pero, una vez más, la duda se había incrementado…

e) Varias multinacionales buscan que se cree la necesidad de nuevo material educativo que, por supuesto, ya tienen disponible. En la mayor parte de los “nuevos” textos escolares se advierte que “recetarios” y “antiformalismo” están vigentes, y todo asomo de rigor es “rigor mortis”.

f) A nivel de “política educativa” y sobre todo en lo que a educación matemática se refiere, debemos cuidar mucho de no ayudar (involuntariamente, por supuesto) a quienes tienen intereses muy distantes a la promoción de la enseñanza de la matemática y de la ciencia, en general. Estaríamos dando argumentos que la “oposición” convierte en armas que usa cuantas veces puede, aplicando la “falacia por autoridad”.

Muy atentamente:
Carlos H. Cabrera Gen"

Estamos en condiciones para apreciar las diferencias entre la topología usual y otras topologías más, digamos, exóticas. Sabemos que un mismo conjunto, un plano por ejemplo, con dos topologías diferentes forma dos espacios topológicos diferentes en los que ocurrirán cosas deferentes.

Vamos a definir una topología diferente a la usual en el plano. Recordamos que la usual es la que tiene los abiertos formados por uniones arbitrarias de bolas abiertas. Los entornos de un punto los podemos visualizar perfectamente como discos centrados en dichos puntos, tan grandes o pequeños como queramos. En realidad los posibles entornos de un punto serán muchos más que los anteriores: todos los subconjuntos del plano que contengan a un abierto de la topología, y por supuesto que contenga al punto considerado. No voy a escribir la frase anterior cada ver que hable de entornos de un punto, de forma que considero que a partir de aquí se entiende.

Tomemos la topología usual en la recta. La tienen en la parte superior de la figura. Dos puntos, p y q con dos entornos suyos: dos intervalos abiertos que contienen a los puntos respectivamente. El plano es el producto cartesiano de R por sí mismo. Para cada abierto A de la topología de la recta, consideraremos el subconjunto del plano siguiente:

B_A={(x,y)€ R² tal que x € A ; y € R}

Esto es: cada abierto de R define uno y solo un abierto en R², que son las bandas infinitas hacia arriba y hacia abajo de la parte inferior de la figura; cuyos valores en el eje X corresponden a las respectivos de los entornos de R de los cuales derivan. Es fácil demostrar que se trata efectivamente de una topología, pues sus propiedades dimanan directamente de las de la topología usual de R.

Este topología de R² es tan fina como la usual de R, pero en R² hay muchos más puntos que discriminar. No debemos extrañarnos que pasen cosas extrañas.

Para empezar; los puntos p₁ y p₁ tienen la misma componente x, luego todo entorno de uno de ellos engloba al otro. Olvidémonos de que los entornos eran disquitos que dibujábamos alrededor de los puntos: ahora un entorno es una banda vertical infinita de grosor cualquiera, o una suma arbitraria de bandas de este estilo!!!

La topología dada es demasiado grosera para separar todos los puntos del espacio en cuestión (plano).

Definimos un espacio topológico como espacio de Haussdorf o espacios de tipo T₂ cuando dados dos puntos diferentes del mismo, es posible encontrar un entorno de cada uno de ellos de forma que ambos tengan intersección nula ( que no se toquen, vaya). En nuestro ejemplo esto sólo es posible si los puntos considerados tienen valor de x diferente. Si la tienen igual, todo entorno de uno de ello cortará a todo entorno del otro. No es un espacio de Haussdorf.

Qué pasa en dicho espacio con un círculo como el de la figura?



Pues que tiene interior vacío!

Efectivamente, definíamos el interior como el conjunto de puntos para los cuales existía algún entorno totalmente incluido en el conjunto. Esto no es posible para el círculo en este espacio; todos los puntos “aparentemente” interiores en realidad son puntos de la frontera , pues cualquier entorno de los mismos tiene tanto puntos del círculo como puntos del complementario del círculo.

Una vez más, la intuición nos falla. Y es que en espacios como este las cosas son muy diferentes de las habituales...

Nuestra idea intuitiva del continuum de números relaes en la recta, o de puntos del plano o espacio tridimensional obedece a un espacio topológico T₂ . De ahí que las cosas que ocurren en espacios que no son de Haussdorf, nos desconciertan a veces. Se trata desde nuestra perspectiva de mundos ciertamente extraños.

Hemos visto en el post anterior que sobre un mismo conjunto se pueden definir innumerables topologías diferentes, y que en función de qué topología estemos manejando, ocurrirán unas cosas u otras. Hemos visto que la noción aparentemente sencilla de interior de un conjunto varía completamente según la topología considerada.

Vimos que todos tenemos unas nociones topológicas previas, aunque no lo sepamos, y que éstas hacen referencia a la llamada topología usual ; aquella cuyos abiertos son bolas abiertas o uniones arbitrarias de ellas.

No quiero abandonar el tema sin mencionar un tema importante en el que la topología que definamos en también determinante: la convergencia de una sucesión.

Llamamos sucesión de elementos de un conjunto X a una aplicación del conjunto N de los números naturales en X, de forma que a cada natural i le corresponde el elemento a_i.

En la figura siguiente tenemos una sucesión de puntos en espiral que "cae" hacia un punto p. Visualmente comprendemos que dicha sucesión converge al punto p: pero necesitamos una definición basada en conceptos topológicos.

Diremos que la sucesión (a_i) converge a un punto p cuando todo entorno de p contiene a todos los elementos de la sucesión a partir de uno dado.



En la figura lo vemos claramente: tenemos dibujado un entorno U_p del punto p, y vemos que a partir de A ₆ , todos los puntos de la sucesión caen dentro de U_p. Si hubiéramos tomado un entorno menor, simplemente tendríamos que haber esperado a un punto de índice más alto, pero la situación sería la misma.

Qué sucede en la topología extraña del post anterior?

Lo vemos en la figura siguiente:



También es convergente la sucesión, pero ahora resulta que tanto converge al punto p de antes como al punto q o al punto r , dibujados en rosa. Esto es así porque los entornos de los tres puntos son los mismos; no estamos en un espacio de Hausdorff , y por lo tanto existen puntos diferentes que no pueden ser separados por entornos diferentes. Parece absurdo admitir que una sucesión como la dada converge a un punto q o r , cuando ni siquiera se acerca a ellos, pero es que en dicha topología la noción de proximidad no es la que a nosotros nos parece normal...

En este espacio, la sucesión converge, pero lo hace a infinitos puntos, todos ellos con la misma componente x.

Aunque no lo demostraremos aquí, que un espacio sea de Hausdorff es tranquilizador: en todo espacio de Hausdorff , si una sucesión converge a un punto, dicho punto es único. En cierto modo un espacio de Hausdorff es un espacio de "buen comportamiento". Pero no siempre; vean el siguiente ejemplo de un espacio de Hausdorff:

Si consideramos la topología discreta , la más fina de las posibles; el espacio resultante es evidentemente de Hausdorff; pues todo subconjunto del plano es un abierto de la misma, y sin embargo resulta que la sucesión del ejemplo NO CONVERGE.

¿Cómo es esto?

Pues muy sencillo:

Repito la definición de sucesión convergente:


Diremos que la sucesión (a_i) converge a un punto p cuando todo entorno de p contiene a todos los elementos de la sucesión a partir de uno dado.

Recordemos que un entorno de un punto es todo subconjunto que contiene un abierto que a su vez contiene al punto considerado.En la topología discreta , el propio punto es un abierto que se contiene a sí mismo, y ningún punto de la sucesión es exactamente el punto p, a pesar de que el acercamiento euclidiano al mismo es cada vez mayor, por lo que la sucesión en esta topología no converge.

No les parece todo esto impresionante?

Si la respuesta es NO, mantengan al menos la convicción de que la culpa es de quien esto les cuenta, no del tema en sí.

Malo es que se difunda por la sociedad una estupidez como la homeopatía. Malo es que médicos titulados sean, además homeópatas, demostrando un nulo conocimiento de química elemental. Malo es que los caras de Belmez sigan haciendo el agosto con las caras de Belmez, como en lo más oscuro del tardofranquismo. Pero hay cosas peores. Cuando en una sociedad regida por preceptos religiosos se vive bajo la férula del pensamiento mágico, el horror puede llegar a límites increíbles.

El ejemplo que les enlazo a continuación puede parecer un caso límite, pero no creo que lo sea. En un mundo irracional todo es posible. Por eso la batalla contra este estado de cosas no ha hecho más que empezar.La lucha contra el pensamiento irracional es bastante más que una estética.

Mauricio José Schwarz en su estupendo blog escéptico nos ilustra esta afirmación con un caso sorprendente y escalofriante. Lo teneis aquí.

Malglam me da la pista de otra historia mucho más cercana, por si alguien pensaba que estas cosas no ocurren por nuestras tierras.La teneis aquí

Todo esto debiera servir para que aquellos escépticos que ventilan de un plumazo cuestiones de creencias con frases como “creen porque es más fácil para ellos” se lo pensaran dos veces. Reivindicamos el pensamiento crítico entre otras cosas porque libera a las personas de aberraciones como las que aquí se enlazan. Pero por favor, sin caer en simplismos que ofenden a la mente: un creyente no es un idiota (a veces sí, idiota total, lo sé). El pensamiento crítico no es fácil; exige un esfuerzo continuo, y si por algo no pasa es por la recitación de mantras de buen tono en la “comunidad escéptica”, si es que tal cosa existe.

La ciencia se puede aprender de memoria, pero la sabiduría no.

Laurence Sterne
(1713-1768) Novelista británico

Miren la ilustración que encabeza el post.

Este galimatías suele ser el primer encuentro de un estudiante de bachiller (o como lo quieran llamar ahora, porque sólo los profesionales del ramo saben cómo coño se denominan en cada momento los estudios que cursan los adolescentes)...decía que este aparente galimatías suele ser el primer encuentro de un chaval con la matemática de verdad.

Dicho encuentro es invariablemente traumático. Y la verdad es que parece mentira que tras estas cadenas de símbolos se encuentre tanta sutileza, tanta belleza y tanta historia.

No es por casualidad que hablamos de ello ahora. Si el lector ha seguido los últimos post, aunque nada supiera del tema tiene las herramientas conceptuales necesarias para hacer muchas cosas interesantes.

Como en otras ocasiones, detrás de estos símbolos están ideas topológicas mucho más profundas que las que sospechan los estudiantes de BUP.

El hecho de que tantos estudiantes se hayan estrellado contra estos dos renglones, poniendo ojos como platos y decidiendo aprenderlos de memoria, como única alternativa a la locura es doblemente penoso. Por un lado, todas las grandes ideas son muy sencillas, y esta también lo es; por otro lado, sin entender BIEN esto, poco análisis matemático se puede comprender realmente. Y créanme que sé de lo que hablo: durante años estuve dando clases particulares a chavales y bien raro era encontrarse con alguno que supiera exactamente qué significaba todo esto.

Esta definición es la superación de la fase intuitiva en el cálculo. La mayoría de edad de la matemática, debida a inmensos cerebros que se llamaron Cauchy, Weierstrass, y un largo etcétera. Es una expresión estática, sin frases vagas del tipo " cuando la x tiende a tal cosa" o " cuando tal distancia se hace infinitamente pequeña ". Es estática como estático es un cristal natural perfecto o una obra de arte escultórica.

Como es tan importante, y no tenemos prisa, le dedicaremos varios post. Al final, nos parecerá tan clara como si estuviera escrita en castellano; y si no es así, será exclusivamente por mi culpa.

Hasta la semana que viene.

Hemos prometido en el post anterior explicar de dónde viene la extraña terminología que se emplea para dar la condición de continuidad de una función real de variable real. Y hemos dicho que las profundas ideas que aquí se encierran hunden sus raíces en la topología. Veremos ahora que, a pesar de la sensación de abstracción difícilmente digerible, la condición épsilon-delta que mencionábamos es en realidad un caso muy concreto de algo mucho más general. Y, como ya estamos acostumbrados, atacaremos el problema desde la mayor generalidad posible.

Esta pretensión de máxima generalidad que tienen los matemáticos no es una manía: entendiendo el caso más general posible se entienden automáticamente todos los casos concretos.

Y qué tiene de concreto la definición de continuidad del post anterior?

Pues mucho: se trata de la definición de continuidad de una función de un espacio topológico concreto ( R con la topología usual), en otro espacio topológico concreto (que resulta ser el mismo).

Abordemos la cosa desde la generalidad, imaginemos que tenemos un espacio topológico (X,T), en el que está definida una aplicación con valores en otro espacio topológico (Y,S). Los puntos p del espacio origen tienen su imagen en puntos f(p), que pertenecen al espacio imagen (Y,S). (A estas alturas a nadie se le escapa que S es la topología definida en el conjunto Y, supongo).

Pues bien, la idea madre del asunto es algo tan ramplón como esto:

Una aplicación continua en un punto p es una aplicación sin sorpresas en el punto p.

Nuestra tarea va a ser ahora comprender que la definición anterior no es sino exactamente eso, y vamos a jugar limpio: hemos dicho que vamos a hablar con la máxima generalidad. Los espacios topológicos nos dan la idea de proximidad mediante las familias de entornos de sus puntos, sin necesidad de hablar de distancias. No debemos por tanto usar frases tales como “si nos acercamos lo suficiente a p”, “si la distancia entre p y q tiende a cero…”, etcétera.

Visualicemos sin pérdida de generalidad la situación: tenemos el punto p de (X,T) y su imagen por la aplicación f, que es el punto f(p) de (Y,S). Lo tenemos en la imagen siguiente:



la notación f(p) supongo que estará clara para todos: se refiere a un punto, necesariamente del conjunto Y, que es la imagen del punto p del conjunto X por la aplicación f. Del mismo modo podemos hablar del subconjunto f(U) de Y evidentemente, que no es sino, dado un subconjunto U de X, el conjunto de todas las imágenes de sus puntos por la aplicación f.

La ausencia de sorpresas, lógicamente debe darse en el espacio (Y,S). El porqué es evidentemente: allí es donde “ocurren cosas” referentes a la aplicación f; el espacio (X,T) es sólo el de partida!!!

Pues bien, tomemos un entorno cualquiera V de la imagen de p, f(p).



La ausencia de sorpresas en el entorno V supone que podemos encontrar un entorno U en el espacio de partida tal que su imagen está dentro de V. A poco que se piense, se comprende porqué esta es la “condición guay” que expresa la ausencia de sorpresa en f(p): Si para cada entorno V de la imagen de p podemos encontrar al menos un entorno de p cuya imagen esté contenida en V, quiere decir que, respetando la noción de proximidad de las topologías tanto de partida como de llegada, no existen transiciones bruscas de la aplicación en proximidades de f(p): siempre existe un entorno lo suficientemente pequeño de p para que su imagen esté incluida en el entorno de partida.

La función transforma puntos próximos a p en puntos próximos a f(p), y esa proximidad se establece en virtud de los entornos de las respectivas topologías.

Lo vemos en la figura siguiente:



En el próximo post veremos que esto es exactamente lo que nos está diciendo la condición épsilon-delta del inicio del post anterior. De momento una cosilla más: debe quedar claro que una aplicación no es continua o discontinua, sino en relación a las topologías de partida y de llegada. Además, ambas topologías influyen de modo opuesto. Me explico: dado que la condición de continuidad exige que para todo entorno de f(p) en (Y,S) exista algún entorno de p en (X,T), que cumpla una determinada cosa, por un lado tenemos que:

1.- Cuantos más entornos posibles haya de f(p) (o lo que es lo mismo: cuanto más fina sea la topología en (Y,S)) más difícil se cumplirá la condición, porque debe cumplirse para todos ellos

2.- Cuantos más entornos posibles haya de p (o lo que es lo mismo: cuanto más fina sea la topología en (X,T)), más fácil se cumplirá la condición, porque basta con encontrar alguno en el que se cumpla, y tenemos más para buscar.

Esto hace que se puedan definir las importantísimas nociones de topologías inducidas por una aplicación: la topología inicial (la menos fina en X que hace a f continua, siendo fija la topología S en Y, y la topología final; la más fina en Y que hace a f continua siendo fija la topología T en X, pero esa es otra historia…