Tio Petros

Hemos comentado en posts anteriores que el concepto de congruencia era imprescindible en este estudio, vayamos con él:

CONGRUENCIAS

Supongamos que tenemos el conjunto N de todos los números naturales. Tomemos un natural cualquiera, por ejemplo el siete. Cuando dividimos por siete, el resto de la operación es un número comprendido entre 0 y 6. Pues bien, vamos a asociar a cada número natural el resto de su división por siete. Y ahora agrupamos los naturales en siete compartimentos; según los restos de la división realizada.

Esto que hemos hecho es establecer una relación de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva). Todo número da el mismo resto al dividir por siete que sí mismo, si a da el mismo resto que b , entonces b lo dará igual que a , y si a da el mismo resto que b , y b da el mismo resto que c , entonces a dará el mismo resto que c . Cuando una relación tiene estas tres propiedades, se denomina de equivalencia, y cristaliza el conjunto original en una serie de compartimentos estancos dentro de cada uno de los cuales están todos los elementos relacionados entre sí, y solamente entre sí.

Estos compartimentos se denominan clases de equivalencia, en nuestro caso clases de restos módulo 7 , y clases de restos módulo p en el caso general. El conjunto de las siete clases se denomina conjunto cociente por la relación dada, y es un conjunto con p elementos(7 en el ejemplo que nos ocupa) , cada uno de los cuales es una clase, cada una de las cuales tiene dentro los elementos originales. Dicho conjunto cociente se denota N/R, siendo R la relación de equivalencia que hace cristalizar el conjunto original en clases, y en nuestro ejemplo concreto, se denominará N/p: conjunto cociente de clases de resto módulo p. Cada clase se expresa poniendo entre corchetes uno cualquiera de sus elementos; así en nuestro conjunto cociente de restos módulo 7, se cumple que [1]=[8]; la clase del 1 y la del 8 son la misma (lo cual es normal, dado que el 1 y el 8 son congruentes módulo 7.

Dos elementos que pertenecen a la misma clase, se denominan congruentes módulo p. En nuestro caso, vemos que el 9 y el 2 son congruentes módulo 7. Los números 16, 23,30, 37,...(7k+2),... también son congruentes módulo 7 con el 2 y el 9. Efectivamente, todos ellos dan un resto de 2 al dividir por 7. Cada clase de restos módulo p es representada por uno de sus elementos, normalmente el más pequeño, que se denomina el representante canónico de la clase. Así, el 1 es el representante de la clase [1],

La frase Los números a y b son congruentes módulo p se escribe de la siguiente manera:



Aunque en sentido estricto no lo son, podemos trabajar con las congruencias como si de ecuaciones se tratara, e incluso podemos formar sistemas de congruencias, de esta forma:



El teorema chino del resto nos da las pautas para saber cuándo un sistema de este tipo tiene solución. En efecto, aunque estamos acostumbrados a decir que un sistema de n incógnitas necesita n ecuaciones para tener solución, las cosas son más complicadas. El Teorema de Rouché-Frobenius da las condiciones suficientes y necesarias para que tal cosa ocurra, pero de ello ya hablaremos en otra ocasión. Baste decir que el teorema chino del resto nos dice que un sistema de congruencias como el anterior tiene solución si los módulos p ₁, p ₂,..., p _n son primos entre sí dos a dos. Esto quiere decir que tomando dos de ellos cualesquiera, no existe ningún número que divida exactamente a ambos, salvo la unidad.

Cuando esto ocurre, el sistema tiene solución única módulp p ₁x p ₂x...x p _n.

Si lo piensan un poco, esto es lo esperable. Pero si no les apetece pensarlo, hablaremos de ello en otro momento.

Por ahora, el lector se preguntará qué relación tiene esto con los días julianos.

Pues bien: hemos dicho que Scaliger quería encontrar un origen para su sistema; un año x en el pasado que fuera a la vez inicio de los tres ciclos.

Scaliger sabía que el año 1.560 tenía 1 como número del ciclo solar. También sabía que el año 532 fue el que Dionisio el Exiguo introdujo el sistema del ciclo lunar, y que tenía dicho año número áureo igual a 1. Sabía asimismo que el ciclo fiscal de indicción romana se instituyó el año 313 por Constantino, con lo que dicho año tenía número 1 en su correspondiente ciclo.

Los tres ciclos tienen módulos 28,19 y 15 respectivamente, luego el año inicial buscado deberá ser congruente con las tres fechas citadas vía sus respectivos módulo(pues cada uno de ellos era el primero de su correspondiente ciclo). Esto es:



Simplificamos este sistema: lo explico para la primera congruencia: 1560 es congruente módulo 28 con muchos números. Si los ordenamos todos, veremos que están separados 28 unidades cada uno del siguiente, porque estamos trabajando en módulo 28. Se trata de encontrar el más bajo congruente con 1560. Esto se hace buscando el múltiplo de 28 más cercano a 1560 por debajo, que es 55x28=1540. Como nos faltan 20 para llegar a nuestro 1560, resulta que 20 es el número buscado, congruente con 1.560 módulo 28. Luego podemos sustituir 1560 por 20 en la primera congruencia, sin variar el contenido de la misma.


Espero que el lector se de cuenta de que esta simplificación no es otra cosa que sustituir los números 1560,532 y 313 por los representantes canónicos de sus clases respectivas.

En definitiva, obtenemos:



Tenemos suerte: los tres módulos son primos entre sí por parejas, luego el Teorema Chino del resto es de aplicación:

Lo haremos pormenorizadamente en el próximo post, que será un mero desarrollo de los cálculos, por aquello de que lo hemos prometido. Así pues, el siguiente post sólo tendrá interés para los que quieran llegar hasta el final; el resto, simplemente puede obviarlo.

Continuando con lo prometido, efectuaremos el cálculo de la fecha de origen del sistema de cómputo temporal conocido como días julianos. Este post tiene interés para quien desee llegar hasta el final y es un mero desarrollo matemático. No es el post típico en´TioPetros.

Por facilidad de notación sustituiré el signo de las congruencias (los tres guiones) por el símbolo “:=”

Tenemos el siguiente sistema:

x := 20 mod 28 (congruencia 1)
x:= 0 mod 19 (congruencia 2)
x := 13 mod 15 (congruencia 3)

De la ecuación (1), tenemos x=20+28k con k entero.

Introduciendo en la segunda este último valor, tenemos:

20+28k := 0 mod 19
1+9k := 0 mod 19
9k := 18 mod 19

y por lo tanto:

k := 2 mod 19

Luego k=2+19s, para algún s entero.

Así pues x = 20+28k = 20+28(2+19s) = 76+532s, que introducido en la congruencia (3), da:

76+532s := 13 mod 15 , o simplificando

1+7s := 13 mod 15
7s := 12 mod 15
s := 6 mod 15 , lo que significa que

s=6+15t

Volviendo a reemplazar en el valor de x, obtenemos:

x=76+532(6+15t)=3268+7980t

Por lo tanto hemos obtenido que x := 3268 mod 7980

Así pues, el año buscado debe ser congruente con 3268 módulo 7980. Como el año 3268 está en el futuro, tomamos como origen el anterior congruente con él, que es el año 3268-7980=-4712.

Dado que en nuestro sistema de cómputo el año cero no existió, el año –4712 corresponde al año 4.713 a.C. .

Así pues, el 1 de Enero del año 4.713 antes de Cristo es el momento de origen del sistema de cómputo de tiempos conocido como días julianos.

Hace unos tres días, el pequeño de la casa nos vino del colegio con una hoja para leer en casa. Se trataba de una fotocopia con tres cuentos ultracortos, de poco más de un par de frases cada uno, ya saben; para fomentar la lectura. Estoy hablando de chavales de 8 años.

Uno de ellos empezaba más o menos así:

El astrólogo Vicente subió a la azotea para contemplar las estrellas con su telescopio...

Les merece algún comentario este comienzo?

España (andaaaa, ha dicho Españaaaa…) es un país en el que no se premia, ni alienta, ni cuida la excelencia en las escuelas. Es un pequeño milagro que un adolescente llegue a la universidad con un nivel excelente en asignaturas de ciencias. Conscientes de que este primer paso para formar científicos es importante y conscientes de que no debe de quedar sin desarrollar ninguna mente con potenciales extraordinarios, varios académicos e instituciones han comenzado la andadura de un novedoso proyecto.

ESTALMAT es un proyecto que lleva adelante la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales en la Comunidad de Madrid con el patrocinio de la Fundación Vodafone , y que cuenta también con el apoyo de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense.

El proyecto Estalmat es un esfuerzo para detectar de forma precoz el talento matemático. La primera fase del mismo consistió en seleccionar 200 chavales de entre 11 y 12 años, y tras una dura selección en una segunda fase, el número quedó reducido recientemente a 25.

Se trata de detectar, orientar y estimular de manera continuada, a lo largo de dos cursos, el talento matemático excepcional de estos 25 estudiantes de 12-13 años en la Comunidad de Madrid, sin desarraigarlos de su entorno, mediante una orientación semanal, que se efectuará cada fin de semana por tres horas.

En mayo de 2003 se puso en marcha la extensión del proyecto en Cataluña, bajo la tutela de la FEEMCAT (Federació d'Entitats per al'Ensenyament de les Matemàtiques de Catalunya) y de la SCM (Societat Catalana de Matemàtiques).

El fundador del proyecto es el recientemente desaparecido D. Miguel de Guzmán, siendo D. Amable Liñán Martínez el director del mismo. De Don Miguel de Guzmán ya hemos hablado varias veces en este blog, no así del doctor Amable Liñán (en la foto que encabeza el post).

El doctor Liñán es Catedrático de la ETSI Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid y uno de los mayores especialistas mundiales en combustión. Es Miembro de la Real Academia de Ciencias y Miembro Asociado Extranjero de la Academia de Ciencias de Francia, Miembro correspondiente de la Academia de Ingeniería de México y de la Academia Canaria de Ciencias. Fellow del Institute of Physics y de la American Physical Society. Doctor Honoris Causa por la Universidad Carlos III y por la Universidad de Zaragoza. Premio Príncipe de Asturias de Investigación Científica y Técnica (1993) y Premio Castilla y León de Investigación Científica y Técnica (1995). Es también Medalla de Oro de la Universidad Politécnica de Madrid (1993) y Medalla de Oro Zeldovich del Combustion Institute (1994).

De tales manos no podía sino salir un proyecto imprescindible para intentar paliar en alguna medida los desastrosos efectos del sistema educativo español, asolado tras sucesivas reformas que tan sólo han conseguido socializar la ignorancia.

Cuando uno repasa los grandes nombres de los matemáticos (sustitúyase la palabra matemáticos por físicos, químicos, biólogos,…) que han conseguido que sus nombres sean inmortales, al menos para los conocedores de las respectivas ciencias, se da cuenta de la ausencia casi completa de españoles. Las grandes figuras que ha dado este país no son sino mojones acusadores en su propia soledad. Pregunten a cualquier estudiante de matemáticas el nombre de 30 matemáticos franceses o ingleses: sin el menor problema surgirá una lista con los 30 nombres. Pregunten a cualquiera una lista de cinco matemáticos españoles importantes, y verán…

La combinatoria es una de las ramas más arduas de la matemática (al menos desde mi humilde entender). No es otra cosa que el arte (o la técnica) de contar. Conforme se va complicando lo que queremos contar, es lógico que se vaya complicando proporcionalmente la forma de contarlo. Sin embargo, a veces la complicación es muy grande cuando lo que contamos no es tampoco nada del otro mundo. Me explico: en este momento tratamos de contar triangulaciones de polígonos, que supondremos regulares, o al menos convexos.

Una triangulación de un polígono es una partición del mismo en triángulos disjuntos cuyos vértices coinciden con los vértices del polígono. En la figura pueden ver todas las posibles triangulaciones de un cuadrado, un pentágono y un hexágono. Denominaremos C _n al número de posibles triangulaciones diferentes de un polígono utilizando n triángulos.

Si el polígono en cuestión tiene m lados, necesitaremos m-2 triángulos para hacerlo. En efecto, es fácil convencerse de esto comprobando que sólo dos de los triángulos comparten dos lados con el polígono, y todos los demás comparten necesariamente un lado tan sólo. Por tanto, C _n denotará tanto el número de triangulaciones de un polígono para el que se necesitan n triángulos, como el número de triangulaciones de un polígono de un polígono de n-2 lados.

En la figura se muestra que C ₂=2; C ₃=5 y C ₄=14.

El lector puede intuir que el procedimiento de contar exhaustivamente todas las triangulaciones deja de ser factible enseguida: debemos encontrar atajos, y en la búsqueda de atajos es donde se expresa el genio matemático, porque contar de uno en uno lo sabemos hacer todos, y no tiene gracia alguna.

Estudiaremos la recursividad de la sucesión de Catalán C ₀, C ₁, C ₂,...en la que obviamente C ₁=1, C ₂=2, y haremos C ₀=1.

Este método de encontrar los valores de C _n basándonos en valores anteriores, que se consideran ya conocidos es el método de recurrencia que ya explicamos en su día.

El conocimiento de la fórmula de recurrencia de una sucesión no nos ofrece simplemente la posibilidad de encontrar más fácilmente los elementos de la sucesión: también nos dice muchas cosas más. Por ejemplo: si demostramos que varios problemas de conteo, aparentemente dispares obedecen a la misma ley de recurrencia, hemos demostrado que en ambos problemas subyace el mismo concepto matemático. En el caso que nos ocupa, el de los números de Catalán (1), se han encontrado hasta 66 problemas geométricos de conteo accesibles mediante dichos números.

Lo vemos en el siguiente post.

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Así denominados en honor a Eugene Catalán (1814,1894), matemático belga.

Vamos a obtener la fórmula de recurrencia de los números de Catalán. Para ello, fijemos la nomenclatura: C_n es el número de triangulaciones con n triángulos, o lo que es lo mismo, de un polígono convexo de n+2 lados. Visto de otra forma: un polígono con i lados tendrá C_i-2 triangulaciones posibles.

Dado que el mínimo polígono existente tiene 3 lados, y se trata del triángulo, con una única triangulación (valga la redundancia y nunca mejor dicho), tenemos que C₁=1. Haremos C₀=1, como caso inicial.

Supongamos conocidos los valores de los primeros C_n.Intentaremos hallar C_n+1. Esto equivale a suponer conocidas las triangulaciones de polígonos hasta (n+2) lados e intentar conocer las del polígono de (n+3) lados.

Sea P un polígono de (n+3) lados, que numeraremos 1,2,3,…,n+2,n+3. Elegimos uno de los lados, el que tiene como vértices {1,(n+3)}. Una vez elegido este lado, tomamos uno de los vértices restantes (que llamaremos vértice i ) para formar un triángulo. (En rosa, el triángulo T_i en la figura). Dicho triángulo divide al polígono P en tres partes: un subpolígono P₁de vértices {1,2,3,…,i}; el propio triángulo T_i y otro subpolígono P₂ de vértices {i,i+1,i+2,…n+2,n+3}.

P₁ tiene obviamente i vértices. P₂ tiene (n-i+4) vértices. Esto quizás no es tan fácil de ver. Se comprende mejor al ver que la suma de los vértices de P₁ y P₂ debe ser una unidad superior a los vértices de P, puesto que el vértice i lo tomamos dos veces, una para cada subpolígono. Así pues deben sumar entre ambos (n+4) vértices, y por lo tanto P₂ tendrá (n-i+4) vértices.

Sabiendo el número de vértices de P₁ y P₂, sabemos automáticamente sus respectivos números de triangulaciones: C_i-2 y C_n-i+2 respectivamente. Luego para el triángulo T_i escogido tenemos C_i-2 .C_n-i+2 posibles triangulaciones.

Resulta que el vértice i lo podemos elegir desde i=2 hasta i=(n+2) para formar el triángulo T_i, luego tendremos tenemos que las posibles triangulaciones del polígono P, de (n+3) lados será dicho producto C_i-2 .C_n-i+2 extendido a todos los posibles valores de i:

Esto es:

C_n+1=C₀ C_n+ C₁ C_n-1+ C₂ C_n-2+…+ C_n-2 C₂+ C_n-1 C₁+ C_n C₀

Que es la fórmula de recurrencia deseada.

Dado que conocíamos los primeros casos:

C₀=1
C₁=1
C₂=2 triangulaciones de un cuadrado

Ahora podemos fácilmente ir hallando los siguientes:

C₃=1.2+1.1+2.1=5 triangulaciones de un pentágono
C₄=1.5+1.2+2.1+5.1=14 triangulaciones de un hexágono,… etc.

Ninguna otra disciplina de conocimiento humano se distingue por el rigor de forma tan absoluta como la matemática. Esto debe entenderse en sentido no excluyente por supuesto: nadie duda de que todas las disciplinas científicas deben estar dominadas por el rigor. Sin embargo, esta es, por así decirlo, la “marca de la casa” de la matemática.

No siempre ha sido así. El mismo Euler daba saltos en el vacío más de cuatro veces en sus demostraciones, (cayendo siempre de pie, como un gato, por cierto). En gran parte fue Nicolás Bourbaki el culpable. Este matemático ficticio de nombre extraño y obra enorme concibió la idea de dotar a la matemática toda de un rigor absoluto. En sus publicaciones, aboga por ello de forma vehemente. Tal rigor, sin embargo se convirtió en rigor mortis cuando fue trasladado a la educación de la matemática.

Hoy muchos piensan que generaciones enteras de posibles amantes de la matemáticas la aborrecieron por un enorme y global error educacional. Se enseñó una matemática fría y rígida, ausente de pasión y de encanto a unos sufridos adolescentes que se convirtieron automáticamente en “gente de letras” por huir del tema.

Realmente es fácil ver la necesidad de un rigor absoluto en la producción matemática de un matemático profesional; sin embargo muchos piensan que parte del desastre educativo en matemáticas en las últimas décadas del siglo XX ha sido debido a la absurda idea de aplicar el rigor bourbakiano a la enseñanza secundaria.

Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés Castro , matemáticos cubanos que estudiaron con el gran Kolmogorov (el riguroso y espléndido maestro Kolmogorov) escriben:

Comenzar la enseñanza de la matemática con todo rigor no puede, con la perspectiva que nos da el paso del tiempo, sino ser considerado como una aberración hoy felizmente superada.

Por su parte, Heaviside exclamaba: No es fácil levantar entusiasmo alguno, después que ha sido enfriado artificialmente por los aguafiestas de los rigoristas

No voy a afirmar aquí que el pobre Heaviside tenía razón, pero en parte, algo de esto hay...

A mi me gusta esta reflexión sobre el rigor como una idea de llegada y no de partida. Me gusta contar historias matemáticas y que me las cuenten. Historias de esas que hacen afición. Por eso tengo un blog sobre historias matemáticas. Contando la matemática de esta forma, se puede intentar convencer al lector de que el rigor es una absoluta necesidad en la matemática no meramente divulgativa; pero ésta es una idea de llegada, no de partida.

Y mientras tanto, se puede disfrutar. Como me gustaría que hicieran cada vez que se asoman por aquí...

Había una vez un monasterio en el que vivían un grupo de cincuenta monjes. Todos ellos eran especialistas en lógica matemática y tenían voto de silencio. Pero el voto era muy estricto: no sólo no podían hablar entre sí; tampoco podían intercambiar mensajes por procedimiento alguno. Ni por escrito, ni por señas, ni nada. Además, como sólo cultivaban el espítiru, tampoco tenían espejos ni manera de contemplarse a sí mismos. Sólo hacían una comida al día, en el refectorio común, todos a la vez en una enorme mesa redonda, y el resto del día lo pasaban orando y estudiando lógica en sus celdas.

Pues bien, el domingo de resurrección reciben la visita del abad de la orden, el cual estaba liberado del voto de silencio. Cuando estaban reunidos en la mesa del comedor, les explica lo siguiente:

Queridos hermanos: esta noche ha bajado a la tierra un ángel, y ha marcado a alguno o algunos de vosotros con una mancha en la frente. Esos son los elegidos para le peregrinación anual a la ermita de la cumbre. Cuando sepais a ciencia cierta quienes sois todos los elegidos, debeis partir inmediatamente hacia dicha ermita todos juntos.

Tras oir las palabras del abad, siguieron comiendo con normalidad y volvieron a sus celdas. El abad se marchó inmediatamente. La plácida vida del monasterio siguió sin cambio alguno hasta que un determinado día acuden a comer diez monjes menos que habitualmente: todos comprenden que son los elegidos los que han partido.

PRIMERA PREGUNTA: ¿Qué día de la semana faltaron los monjes elegidos?

SEGUNDA PREGUNTA: ¿Cómo supieron que eran ellos y sólo ellos los que debían partir?

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Este es un problema que me encanta. Sería una pena que un lector que supiera la respuesta de antemano la pusiera inmediatamente, privando a otros del placer de encontrarla por sí mismos. Que tengan un feliz fin de semana.

La física es la más matematizada de las ciencias. Existen matemáticos que no saben mucha física...pero no existen físicos que no sepan bastantes matemáticas. No obstante, los objetos de cada una de las dos disciplinas parecen bien diferentes: la física estudia el mundo; mientras que a la matemática la realidad no parece preocuparle demasiado. Esto hace que físicos y matemáticos tengan los unos una visión especial de los otros.

El físico Chen Ning Yang , que recibiría el premio nobel de física por ser coautor de la teoría conocida hoy como Teoría de Yang-Mills de la fuerza fuerte, contaba un chiste que, según su opinión, describía bastante bien la relación entre los matemáticos y los físicos en la actualidad. Lo cuenta Stanislaw Ulam en su biografía:

Una tarde llegó un grupo de hombres a una ciudad. Necesitaban lavar la ropa, de manera que recorrieron las calles en busca de una lavandería. Encontraron un sitio con un cartel en la ventana: Lavamos ropa . Uno de ellos preguntó:

- ¿Podemos dejar nuestra ropa para lavar?

El dueño dijo:

-No, aquí no lavamos ropa

-¿Cómo es eso?- preguntó el forastero- hay un cartel en su ventana que dice que sí.

La respuesta del dueño fue:

Aquí hacemos carteles.

Según Ulam, así hacen los matemáticos: fabrican carteles, y esperan que sirvan para muchas contingencias. Quizás incluso esperan que sirvan para contingencias en las que ni siquiera han pensado. Así, marcos teóricos como los Espacios de Hilbert tuvieron inmediata aplicación en física cuántica, sin que quien los ideara hubiera pensado en tal aplicación. Otras veces, sin embargo, son los físicos e ingenieros los que crean matemáticas como herramientas que necesitan desesperadamente. Las ideas sobre la teoría de la información de Shannon, por ejemplo, partieron de un ingeniero, y no de matemáticos, que incluso la desdeñaron al principio por su “poco contenido matemático”, hasta que el gran Kolmogorov puso su prestigio indiscutible en la balanza apoyando la teoría.

En todo caso, es imposible afirmar que una teoría matemática, por abstracta que esta sea, no va a tener aplicaciones físicas en el futuro. Dos disciplinas completamente diferentes, y sin embargo muy cercanas...

En cierto modo, los números reales son más sencillos que los enteros. Esta afirmación parecerá algo absurda, teniendo en cuenta que los reales se construyen a partir de los racionales, éstos a partir de los enteros y éstos a partir de los naturales.

Me explico: la gran ventaja de los números reales es doble: por un lado, forman un cuerpo con las operaciones habituales, lo cual quiere decir que siempre es lícito sumar, restar, multiplicar o dividir dos reales entre sí: el resultado es otro número de la misma clase (salvo la división entre cero, que es anatema y cosa muy prohibida). La otra ventaja es que ese cuerpo es completo: esto quiere decir que “no tiene huecos”: todo número comprendido entre dos reales es asimismo real. (Técnicamente un cuerpo completo es aquel para el cual toda sucesión de Cauchy converge a un número que pertenece al cuerpo, pero esa es otra cuestión.)

¿Tiene esto alguna aplicación práctica? ¿Se ve en algún ejemplo que trabajar con números naturales puede ser más complicado que hacerlo con reales?

Pues sí. Y además los ejemplos son de una cotidianeidad apabullante. Cuando queremos repartir proporcionalmente a algunos valores dados un cierto número de premios entre personas, y esos premios no se pueden partir, empiezan los problemas. Lo vemos continuamente en las elecciones: los escaños no se pueden partir, de modo que es imposible hacer corresponder un determinado número de votos obtenidos con un escaño logrado, y mantener esta relación hasta efectuar el reparto completo: hace falta salirse de la norma para repartir los restos, y esto hace que el problema sea no sólo difícil, sino además muy cuestionable al existir varias soluciones no equivalentes.

Lo mismo ocurre cuando hay que efectuar una votación para aprobar o rechazar una propuesta, y cada uno de los votantes tiene un peso específico concreto: por ejemplo, votaciones en el congreso para aprobar una ley, donde existen N partidos , y el partido i tiene n_i escaños. El poder real de cada partido es la capacidad para influir en el resultado de aceptación o rechazo de la propuesta, y lo más justo es que dicho poder fuera proporcional al número de escaños, número que será aproximadamente proporcional al número de votos conseguidos. Así, el ideal democrático parece preservarse, y realmente son los ciudadanos los que aceptan, por delegación, o rechazan las propuestas. Sin embargo todo esto no es más que una bonita teoría que nada tiene que ver con la realidad. La realidad es que un partido en el congreso, un grupo de accionistas en una asamblea general, o un país en el seno de un organismo internacional puede tener una cuota de poder totalmente desproporcionada (a veces a favor, y otras en contra) a lo que debiera, entendiendo que “debiera” tener una cuota de poder proporcional a sus méritos: al número de escaños en el caso del partido en un congreso o al número de acciones en el caso del grupo de accionistas.

Si les parece, veremos la explicación de porqué esto es así, y veremos unas medidas de poder real creadas expresamente para la ocasión. Como habrán intuido, las causas de la desproporcionalidad real entre méritos y poder efectivo son matemáticas. En el fondo derivan de la dificultad intrínseca de trabajar con números enteros que mencionábamos al inicio, y las iremos viendo en post sucesivos. Espero que les parezca interesante este paseo que les propongo.

En el post anterior vimos que cuando los votantes en una decisión de aceptación o rechazo de una propuesta tienen pesos específicos diferentes derivados del número de votos o escaños en el caso de un parlamento, del número de acciones en el caso de una asamblea general de accionistas o de cualquier otro tipo, el poder real que poseen no es proporcional a dichos pesos como sería de desear si atendemos al ideal de justicia por el cual tal proporcionalidad debiera darse. En este pos veremos la forma de calcular el poder real de los integrantes, y comprenderemos que, a veces, dicho poder es muy diferente del que las urnas, o el número de acciones les debieran proporcionar.

Para ello vamos a desarrollar un poco la teoría de los sistemas de votación ponderados, donde cada votante tiene un peso específico propio. Nada mejor que empezar unificando la nomenclatura:

Llamaremos v₁, v₂,..., v_n a los votantes, siendo w₁, w₂,..., w_n la importancia, el peso o el número de votos de cada uno de ellos. Llamaremos q a la cantidad de votos necesarios para aprobar una propuesta. Debe quedar claro que llamamos votante a cada grupo de poder, no a cada miembro de dicho grupo de poder. En el caso de un parlamento, los votantes serán los partidos, y el peso específico de cada partido será el número de escaños del mismo.

De ésta manera, el problema de votación ponderado queda perfectamente definido, y lo representaremos así:

V=[q; w₁, w₂,..., w_n].

Llamaremos Coalición a un conjunto de votantes que se han unido para votar a favor o en contra de una propuesta. Si admitimos como coalición las unitarias (formadas por un solo votante) hay tantas coaliciones como subconjuntos de votantes. Su número es de 2 ⁿ.

Una Coalición ganadora es una coalición en la que la suma del número de votos de sus miembros es superior o igual a la cuota q .

Una coalición de bloqueo es aquella en la que la suma del número de votos de sus miembros es suficiente para bloquear (conseguir que no se apruebe) una propuesta. En evidente que tal coalición debe tener un número de votos superior al total menos la cuota de aceptación q .

¿Cómo podemos medir el poder real de un miembro? Está claro que no sirve estimar las posibilidades que tiene para formar parte de una coalición ganadora. Esto es así porque pudiera ser que dicha coalición fuera ganadora sin necesidad de su apoyo, en cuyo caso es indiferente su adhesión a la misma. Para acercarnos al concepto que necesitamos introduciremos una idea auxiliar: el swing.

¿Qué es un swing?

Un swing para un votante i con peso específico w_i es un par de coaliciones (S U{i}, S ), de forma que S U{i} es una coalición ganadora y S es una coalición perdedora. Dicho de otro modo: un swing del votante i es una coalición en la que el votante i es un votante basculante : votante que si se retira de una coalición ganadora, deja de serlo.

Llamaremos N_i al número de swings del votante i, y N a dicha cantidad extendida a la totalidad de votantes:

N= N₁+ N₂+...+ N_n

Parece lógico interpretar que el número de swings de un votante es un buen índice del poder real del mismo: existen N_i posibles coaliciones en las cuales su adhesión resulta determinante. Denominaremos Indice de poder de Banzhaf normalizado del jugador i-ésimo a la cantidad

B_i= N_i/N

Veamos un ejemplo:

En una determinada empresa hay presentes cuatro accionistas. A,B,C y D, con el siguiente capital invertido en la misma, (en millones de euros por ejemplo): 13, 12, 6 y 2 . Las decisiones se aceptan por mayoría simple: basta reunir un peso de 17.

Calculemos índice de poder de Banzhaf normalizado de cada uno de ellos. Empezaremos por calcular el peso específico de cada una de las posibles coaliciones. En la figura aparecen en negrita aquellas que igualan o sobrepasan la cuota q=17.



Tengamos ahora en cuenta las coaliciones S para las cuales i es determinante aquellas en las que siendo S perdedora, S U{i} es ganadora:



Por tanto, podemos ver que el número de swings totales es 12, y los de cada accionista son:

N₁= 4
N₂= 4
N₃= 4
N₄= 0

Y por lo tanto el Indice de Banzhaf de cada uno valdrá:

B₁= 4/12=1/3
B₂= 4/12=1/3
B₃= 4/12=1/3
B₄= 0

El poder se reparte equitativamente entre los tres primeros, quedando el cuarto sin cuota alguna de poder. El resultado, como pueden ver, no respeta proporcionalidad alguna: el tercer accionista tiene menos de la mitad de derechos que el primero, resultando con una cuota de poder igual. Pero es la situación para el grupo minoritario, que queda sin poder alguno.

Las cosas pueden ser aún más injustas: examinen si les apetece la situación en un gobierno con tres partidos A,B,C con el 49% , el 49% y el 2% de escaños respectivamente.

Otra situación curiosa se da para el caso de cuatro partidos con el 26%,26%,26% y 22%.

Que pasen un feliz fin de semana.

Ya lo ha contado Vailima en su blog: nos vamos a pasar cuatro días a Madrid sin otra cosa que hacer que visitar museos, obras de teatro , comer, beber y charlar con los amigos.

A ambos nos encanta aprovechar nuestros viajes para quedar en un bar con otros blogueros, y/o lectores; y comprobar que detrás de unas líneas de código, detrás de unas letras en mi pantalla, hay un ser humano que las produce. De modo que dicho está.

Del 4 al 7 de noviembre (de jueves a domingo) estaremos en Madrid, presuntamente con tiempo libre para tomarnos algo con quien nos deje disfrutar de su compañía...nos mandais un email y quedamos.

A mucha gente sorprende que no exista premio Nobel de matemáticas. La explicación al uso roza la leyenda urbana, y yo personalmente no me la creo demasiado; en todo caso la leyenda dice que D. Alfredo Nobel se llevaba extraordinariamente mal con el que, con toda probabilidad hubiera sido el primer premio Nobel de matemáticas: el matemático sueco Gösta Mittang-Leffer. Para añadir picante a la historia, se afirma que existía un asunto de faldas entre ambos. El caso es que por ese motivo o por otro, el premio Nobel de matemáticas no existe, y en su lugar en el Congreso Internacional de Matemáticas de 1924, presidido por John Charles Fields, se presentó la propuesta de unas "medallas internacionales para destacados descubrimientos matemáticos".

Este premio se otorga cada cuatro años, y sólo lo pueden recibir matemáticos menores de 40 años ⁽¹⁾. Un máximo de seis matemáticos pueden recibir el premio en cada edición.

Las medallas están acuñadas en oro. En el anverso, aparece la inscripción latina "TRANSIRE SVVM PECTUS MVNDOQUE POTIRE" (sobrepasar su propio entendimiento y apoderarse del mundo) junto al busto de Arquímedes y su nombre en griego. En el reverso, figura la inscripción "CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA TRIBVERE" (reunidos los matemáticos de todo el mundo para premiar las obras maestras), junto con el dibujo de la famosa inscripción del cilindro y la esfera inscrita del gran Arquímedes.

Las medallas fueron diseñadas por el escultor canadiense Dr. Robert Tait McKenzie y las inscripciones redactadas por el profesor G. Norwood de la Universidad de Toronto.

Desde 1.936 hasta 1.950 no se concedieron debido a las convulsiones bélicas en las que se debatía el mundo en ese lapso.

Los ganadores de este máximo galardón han sido los siguientes:

AÑO 1936:
Lars Ahlfors 29 AÑOS Finlandia
Jesse Douglas 39 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1950:
Laurent Schwartz 35 AÑOS Francia
Atle Selber 33 AÑOS Noruega

AÑO 1954:
Kunihiko Kodaira 39 AÑOS Japon
Jean-Pierre Sere 27 AÑOS Francia

AÑO 1958:
Klaus Roth 32 AÑOS Alemania
René Thom 35 AÑOS Francia

AÑO 1962:
Lars Hormander 31 AÑOS Suecia
John Milnor 31 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1966:
Michael Atiyah 37 AÑOS Reino Unido
Paul Cohen 32 AÑOS Estados Unidos
Alexander Grothendieck 38 AÑOS Alemania
Stephen Smale 36 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1970:
Alan Baker 31 AÑOS Reino Unido
Heisuke Hironaka 39 AÑOS Japón
Serge Novikov 32 AÑOS Rusia
John Thompson 36 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1974:
Enrico Bombieri 33 AÑOS Italia
David Mumford 37 AÑOS Reino Unido

AÑO 1978:
Pierre Deligne 33 AÑOS Bélgica
Charles Fefferman 29 AÑOS Estados Unidos
Gregori Margulis 32 AÑOS Unión Soviética
Daniel Quillen 38 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1982:
Alain Connes 35 AÑOS Francia
William Thurston 35 AÑOS Estados Unidos
Shing-Tung Yau 33 AÑOS China

AÑO 1986:
Simon Donaldson 27 AÑOS Reino Unido
Gerd Faltings 32 AÑOS Alemania
Michael Freedman 35 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1990:
Vladimir Drinfeld 36 AÑOS Unión Soviética
Vaughan Jones 38 AÑOS Nueva Zelanda
Shigefumi Mori 39 AÑOS Japón
Edward Witten 38 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1994:
Pierre L. Lions 38 AÑOS Francia
Jean C. Yoccoz 36 AÑOS Francia
Jean Bourgain 40 AÑOS Bélgica
Efim Zelmanov 39 AÑOS Rusia

AÑO 1998:
Maxim Kontsevich 34 AÑOS Rusia
Richard E. Borcherds 39 AÑOS Sudáfrica
William Timothy Gowers 33 AÑOS Reino Unido
Curtis T. McMullen 38 AÑOS Estados Unidos

AÑO 2002:
Vladimir Voevodsky 36 AÑOS Rusia
Laurent Lafforgue 35 AÑOS Francia

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(1) Aunque hemos dicho que las medallas Fields sólo pueden ser recibidas con menos de 40 años, hubo una excepción: Andrew Wiles recibió una mención honorífica extraordinaria en 1.998 cuando tenía 45 años, por haber demostrado el mal llamado Ultimo teorema de Fermat , que pasaba a llamarse a partir de entonces Teorema de Fermat-Wiles

Como ya dijimos en alguna ocasión una conjetura es un teorema al que le falta la parte más interesante: la demostración. Dicho de otro modo: una conjetura nada tiene que ver con un teorema; es una simple afirmación. Aunque a veces se pervierta la nomenclatura, como en el caso del “Ultimo teorema de Fermat”, que no tuvo tal rango hasta que Wiles lo demostró hace pocos años.

Visto así, parece que una conjetura tiene poco valor, y es poco más que una opinión. Así es en parte, de hecho muchas conjeturas resultaron falsas a la postre. Sin embargo normalmente tienen el valor de ser agudas observaciones realizadas por especialistas, retos lanzados al mundo para que las mejores mentes del planeta se esfuercen en desentrañar sus misterios. Así ocurre con una de las más famosas: la Conjetura de Poincaré

Pasamos a explicar en qué consiste la conjetura, tan de moda últimamente a raíz de la demostración (pendiente de refrendar por lo que yo sé, pero probablemente correcta) del matemático ruso Grigory Perelman

La Conjetura de Poincaré es una afirmación topológica. Una vez explicamos aquí que la topología tiene un estatus muy especial dentro de la matemática. Supondremos que el lector sabe qué estudia la topología por tanto.

A veces, los matemáticos tienen algo de naturalistas; taxónomos más concretamente. Les gusta clasificar cosas y ponerles etiquetas. Este gusto es totalmente lógico; para clasificar atendemos a las propiedades más esenciales de las cosas e investigamos la diversidad de las mismas. El procedimiento básico suele ser el siguiente: se establecen relaciones de equivalencia entre los objetos; no relaciones cualesquiera, sino relaciones que se consideran relaciones importantes precisamente porque atienden a propiedades que consideramos esenciales de las mismas. Dichas relaciones inducen clases de equivalencia dentro de las cuales todos los objetos están “emparentados”, y estudiamos el conjunto cociente de clases obtenido. Ese es el esquema esencial de clasificación en matemáticas, si bien su aplicación práctica puede variar, y así se han establecido clasificaciones para los grupos simples finitos, para las superficies en R ⁿ , las formas cuadráticas, los grupos de Lie, etc, etc.

La relación más habitual que se emplea en topología es la relación “ser homeomorfo” . Pocas veces se ha escondido detrás de una palabra tan fea un concepto tan bello. Dado un espacio de trabajo X, dos objetos A y B de dicho espacio (dos subconjuntos de “puntos” de X) son homeomorfos si pueden transformarse el uno en el otro mediante una transformación continua especial llamada homeomorfismo. Diremos que una aplicación de A a B es un homeomorfismo si es biyectiva, continua e inversible, siendo su inversa igualmente continua. Dado que si A y B son homeomorfos, entonces para un topólogo “son” esencialmente el mismo objeto, se comprende la importancia de la clasificación atendiendo a tal concepto.

Pues bien; la capacidad simplificatoria de este procedimiento es impresionante: al tratar a todos los objetos de cada clase como uno sólo (su representante canónico), obtenemos un panorama mucho más racional del universo que estamos estudiando. Es de esperar (de hecho, está asegurado) que todos los objetos de una misma clase de homeomorfia exhiban las mismas propiedades topológicas.

El problema es que lo que vale para un espacio topológico no tiene porqué valer para otro. Dado que un espacio de tres dimensiones no es homeomorfo a uno de siete, cabe esperar que ciertas cosas (cosas topológicas, entiéndanme) que ocurran en un universo de tres dimensiones no ocurrirán o al menos no tienen porqué ocurrir en otro de siete, y viceversa. Y aquí está el quid de la cuestión en lo que a la Conjetura de Poincaré se refiere.

Pero vayamos con calma.

Consideremos una esfera. Es muy importante explicar que entendemos que una esfera es el conjunto de puntos del espacio que equidistan de otro, llamado centro. Esto viene a cuento porque con esta definición una esfera es una superficie. No una bola maciza sino la superficie que la delimita. Esto es básico para entender lo que sigue. Para dejar más claro el asunto, la llamaremos 2-esfera por ser un objeto bidimensional, aunque esté inmerso en un espacio de tres dimensiones.


Todo objeto homeomorfo (topológicamente equivalente) a una esfera tendrá las mismas propiedades topológicas que una esfera; esto es una perogrullada. Lo que no lo es es preguntarse si una determinada colección de propiedades de la esfera es una caracterización topológica de la misma. Esto no es nada trivial. Y de eso va la conjetura.

Una caracterización es un conjunto de propiedades que definen sin ambigüedad un objeto. Tres propiedades topológicas son importantes en una esfera:

1.- Es compacta
2.- Es orientable
3.- Es simplemente conexa

Hace mucho tiempo que quedó claro que este conjunto de tres propiedades es una caracterización de una 2-esfera, pero ¿qué ocurre en dimensiones superiores?

Una 3-esfera NO ES una esfera maciza, como alguno podría pensar. Una 3-esfera es una variedad diferenciable de tres dimensiones, que podemos definir como el conjunto de los 4-puntos de R⁴ que equidistan de uno dado (centro). Es una 3-variedad inmersa en un espacio de 4 dimensiones, por tanto.

Pues bien; ¿sigue siendo el conjunto de las tres propiedades una caracterización de las 3-esferas?

La Conjetura de Poincaré afirma que para cualquier número de dimensiones el conjunto de las tres propiedades es en efecto una caracterización de las n-esferas.

Apreciar el sabor de este bello (bellísimo, no lo duden) postulado es la tarea que les proponga en sucesivos post, en los que desgranaremos conceptos topológicos, y recorreremos la historia de la conjetura hasta llegar al bueno de Grigory Perelman , que se encerró durante años hasta dar con una demostración de este reto que el genial Poincaré lanzó a sus iguales.

Seguiremos disfrutando (yo al menos) con este tema en días sucesivos. Les espero.