Tio Petros

Soy un hombre afortunado. Comparto mi vida con Vailima; ella es una persona que podríamos englobar en la categoría difusa de "personas de letras", yo soy lo contrario. No me cabe duda de que el hecho de considerarse "de ciencias" va imprimiendo carácter, y lo mismo ocurre en caso contrario. Sin embargo, Vailima y yo siempre hemos estado de acuerdo en un aspecto: esa dicotomía maniquea entre seres de ciencias y de letras es más falsa que un duro de seis pesetas, y a nuestro nivel hemos luchado en contra de los tópicos que ya nos suenan a topicazos al estilo de guipuzcoanos y vizcaínos. O de gitanos y payos. O de lo que sea.

No obstante, a veces ocurren cosas que reavivan las viejas heridas. Soy suscriptor de una revista mensual que espero con ansia cada mes, se llama Astronomía, y es la fusión de dos revistas anteriores, Tribuna de Astronomía y Universo, de querida memoria.

Todos los meses Alfonso López Borgoñoz escribe una columna editorial sobre diversos temas relacionados con la actualidad de la astronomía, y como introducción a lo que el lector tiene entre manos en el número actual.

Este mes, el editorial se titula Un año nuevo , y en él se puede leer, entre otras cosas:

Este 2.005, sin duda, será recordado como el año del Quijote, al menos en el mundo hispanohablante. Aunque los amantes de las ciencias del espacio sabemos que cuatrocientos años no es nada, el camino recorrido por este hidalgo manchego en su Rocinante desde entonces no deja de impresionar a todos los que nos continuamos acercando a la obra de Cervantes

Sigue el editorial de Alfonso López Borgoñoz hablando de los contenidos de la revista, de su trayectoria y de sus problemas a lo largo de los años con continuas referencias al ingenioso hidalgo, para terminar así:

Esperemos que , por fin, este año alumbre al Gran Telescopio de CANARIAS, y que al menos su inauguración y puesta en marcha dé nuevo aliento a esta ciencia antes de que se marchite como Grisóstomo, el estudioso de estrellas del Quijote, que murió de mal de amores por la desafección de la pastora Marcela

Me gustaría saber si en alguna revista, libro, publicación de arte, literatura y filosofía se ha hecho alguna vez una glosa de este calibre a un reto científico importante.

Existe un quid procuo?

Tal es el reto lanzado a Vailima. Mi postura apriorística es que no va a ser fácil encontrar una revista de arte, filosofía o literatura que mencione el año de Plank, de Einstein, un centenario de la teoría de la gravitación de Newton, de la teoría cinética de los gases o del teorema de Fermat, todos ellos bellas construcciones humanas, como las más bellas páginas de la literatura o los mejores lienzos que pudieran salir de un Velázquez.

Ojalá esté equivocado, porque no quiero que ambos sean dos mundos que se dan mutuamente la espalda. No deben serlo. No pueden serlo.

Puede el lector ayudarnos en este duelo doméstico?

Cuando el cuerpo de los números reales estuvo razonablemente bien construido como el conjunto cociente de todas las sucesiones de Cauchy de racionales con la relación de equivalencia apropiada, se consiguió una proeza. Se tenía ya rigurosamente construido un cuerpo arquimediano, ordenado y completo.

Sin embargo, en cierto modo el cuerpo R era decepcionante: una simple ecuación de segundo grado tal como ésta:

x ²+1=0

no tenía soluciones en él.

A nadie se le escapará que no estoy presentando las cosas cronológicamente: era de antiguo conocido que no existen soluciones reales de ecuaciones muy sencillas. Sin embargo el paso siguiente, que consistía en la construcción de un cuerpo algebraicamente cerrado en el cual todo polinomio de coeficientes racionales (o enteros, lo mismo da) tenga solución en su seno, estaba al alcance de la mano. De hecho, intelectualmente la construcción de R fue un reto mucho mayor que la construcción de C , el cuerpo de los números complejos, ya que este surge casi trivialmente con la consideración de pares ordenados (a,b) de números reales si definimos bien las operaciones suma y producto.

Tenemos así un cuerpo numérico algebraicamente cerrado, como nos lo enuncia el merecidamente famoso Teorema fundamental del álgebra , que dice que

todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalua a cero.

Esto es lo mismo que decir que todo polinomio de grado n con coeficientes complejos (o naturales, pues los naturales complejos son); tiene en C exactamente n soluciones, no necesariamente diferentes.
Efectivamente, si P_n(x) es el polinomio original, el enunciado del teorema asegura la existencia de una raíz w, con lo que podemos expresar el polinomio como:

P_n(x) =(x-w)·P_n-1(x) .

Ahora aplicando lo mismo al nuevo polinomio con un grado menos P_n-1(x) y sucesivamente hasta llegar al polinomio de grado uno, tenemos n raíces, no necesariamente diferentes de P_n(x) en el seno de C .

Particularmente, la ecuación

x ⁿ=1

tiene n soluciones en C , ésta vez todas diferentes. Se trata de las denominadas raíces de la unidad .

El estudio de las mismas es una bella y multidisciplinar parcela de la matemática que es: la teoría de variable compleja , la geometría, la teoría de grupos cíclicos y la teoría de polinomios ciclotómicos beben de esta fuente de cristalinas aguas.

De ello nos ocuparemos en los próximos posts.

Me parece una buena manera de iniciar el año. Espero que a ustedes también.

Definir funciones en el campo complejo es relativamente fácil. El cuerpo C se define como el conjunto de pares de reales (a,b) con una operación suma y otra producto:

(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
(a,b)·(c,d)=(ac-bd, bc+ad)

Aquí no hay nada arbitrario. Si bien podemos definir las operaciones queramos y luego comprobar si tenemos o no un cuerpo, la definición anterior corresponde a la idea previa de que existen números cuyo cuadrado es negativo: los números imaginarios. Es muy fácil comprobar que las definiciones de suma y producto anteriores son simplemente la expresión de que las partes reales e imaginarias se suman y multiplican algebráicamente teniendo en cuenta que i²=-1.

Ciertamente, para tener perfectamente construido el cuerpo C no hizo falta un alarde de imaginación y de genialidad como en el caso del cuerpo de los reales; hizo falta tan sólo la valentía de postular la existencia de pleno derecho de un “número” i cuyo cuadrado era –1. Todo lo demás viene dado una vez que se ha cometido esta audacia. Un número complejo es por tanto un par, en el que el primer elemento es un número real, y el segundo es un número imaginario, o sea: un real multiplicado por la i así definida. Podemos escribir dicho número en forma de par (a,b) o en forma de binomio a+bi.

Pues bien, resulta sencillo definir en C otras operaciones más complicadas, por simple extrapolación de sus definiciones en el caso real. Para ello suele ser muy conveniente utilizar las expansiones en forma de serie de potencias de las funciones elementales de R , y extrapolarlas a C .

Concretamente la función exponencial, que para un número real está definida así:



para un imaginario puro la definimos de la misma forma:



Quiero hacer hincapié en un hecho fundamental: no hemos utilizado, no vamos a utilizar ninguna propiedad desconocida para manejar, por primera vez en este blog los números complejos. A riesgo de ser repetitivo, diré una vez más que la única audacia cometida es postular la existencia del número i, cuyo cuadrado vale i²=-1.

Las sucesivas potencias de i son triviales:

i³=i· i²=-i
i⁴= i²· i²=(-1)·(-1)=1
i⁵= i⁴·i=i

y a partir de aquí se repite el ciclo.

Así pues, operando con los sucesivos términos de nuestra ecuación, obtenemos:



y ahora no tenemos más que dejarnos llevar por el instinto. Agrupamos los términos que llevan la i imaginaria por un lado y los que no la llevan por la otra, obteniendo:



Ahora resulta que ambos paréntesis son el desarrollo en serie de las funciones trigonométricas seno y coseno, cosa que no por no ser trivial, deja de ser cierta.

Así pues, la cosa queda así, obteniendo la archiconocida fórmula de Euler



Esto es fue una gran sorpresa. Las funciones trascendentes tales como las exponenciales y las trigonométricas eran viejas conocidas en tiempos de Euler, y todo el mundo sabía que las primeras son funciones de rápido crecimiento (crecimiento exponencial, traspasado al lenguaje cotidiano), mientras que las segundas reflejaban los vaivenes cíclicos de las oscilaciones de la naturaleza; las mareas, los péndulos... Qué quería decir esta fórmula increíble?

No tiene mucho sentido hacer cábalas sobre significados ocultos de esta bella ecuación, ni tiene sentido ver misticismos orientales en su particularización para x= pi; pero no deja de ser sorprendente esta relación, conocida como la fórmula de Euler

Nos servirá para expresar un número complejo de una tercera manera: en forma exponencial. Veamos las implicaciones de la fórmula en cuestión.

Dado que el módulo de un número complejo se obtiene por el teorema de Pitágoras, como pueden ver en la ilustración siguiente:



resulta claro que nuestro exponencial de imaginario puro es un complejo unitario, y que el valor x nos indica precisamente el ángulo que forma el eje X real con el vector que desde el origen apunta a dicho número complejo. Una vez más, nada nuevo hemos utilizado, sólo la conocida relación trigonométrica sin²2(x)+ cos²2(x)=1.

Así pues, e ^ix representa un número complejo que está situado a distancia uno del centro de coordenadas, y cuyo radio vector forma un ángulo x con el eje real. Es fácil comprender que si queremos representar en forma exponencial y complejo de módulo diferente de la unidad, bastará multiplicar su correspondiente unitario por el módulo, obteniendo

z= r· e ^ix

como expresión general de un complejo cualquiera.

Así, mientras x va recorriendo los valores reales desde 0 hasta 2·PI, z= e ^ix va recorriendo la circunferencia unidad centrada en el origen, girando en contra de las agujas del reloj. La fórmula mágica que surge al igualar x a 2·PI, y que ya la hemos usado alguna vez en este blog:



no representa ninguna conexión cósmico-mágica, ni tiene mística alguna en su interior,si la ponemos en forma menos críptica, así:



nos está diciendo que con un ángulo de PI radianes, estamos en el punto –1 del eje real, cosa que puede entender un niño ⁽¹⁾.

Ahora tenemos ya las herramientas para comprender que las raíces enésimas de la unidad , las soluciones de la ecuación

x ⁿ=1

surgen como bellas particiones de la circunferencia unidad. Lo vemos en el post siguiente, y luego pasearemos por los polinomios ciclotómicos. Les deseo un agradable paseo conmigo.

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(1) Un niño bastante listo, no un niño cualquiera.

Es muy notable que con los pocos conceptos desglosados en el post anterior se esté ya posibilitado para encontrar los k números complejos que satisfacen la ecuación:

z^k=1.

Más notable aún es la brevedad del desarrollo necesario para hacer tal cosa, tres renglones, como pueden ver en la ilustración que encabeza este post.

Sea z un número complejo raíz k-ésima de la unidad. Intentemos seguir paso a paso los tres renglones de la demostración:

Por su propia definición podemos poner:

z^k=1 Ecuación(1)

Pongamos tanto z como el 1 (que es un número complejo al fin y al cabo) en la forma exponencial (que llamaremos a partir de ahora forma polar) que aprendimos en el post anterior. z es un complejo genérico del que a priori nada sabemos, luego su forma será completamente general:

z=r·e^ix donde la x sustituye a la letra griega zeta, que no puedo reproducir aquí.

1= e^i·0

No tenemos más que sustituir ambos números en la ecuación (1) anterior, teniendo en cuenta que z^k tiene la forma:

z^k=(r·e^ix)^k =

r^k·e^ikx

Por tanto la igualdad (1) se convierte en:

r^k·e^ikx = e^i·0

El resto del desarrollo es pura aritmética, igualamos coeficientes y exponentes en ambos miembros y obtenemos el resultado que anunciábamos: las raíces k-ésimas de la unidad son k números complejos sobre la circunferencia unidad, y dividen a ésta en k partes iguales.

Lo vemos mejor en la ilustración siguiente, para k=7:



Cada punto es una rotación del anterior de un k-ésimo de vuelta, o sea, de 2PI/k radianes. Esta reflexión nos da un nuevo punto de vista de estos números complejos: no como números sino como operadores. Me explico.

Se tenemos un complejo en forma polar z=r·e^ix y lo “operamos” con e^iw multiplicando ambos, obtenemos lo siguiente:

z=r·e^ix· e^iw= z=r·e^i(x+w)

Esto es: obtenemos un nuevo punto que es el primitivo, pero girado un ángulo w en sentido contrario a las agujas del reloj. Así, podemos entender un complejo unitario (de módulo igual a uno) como una operación giro alrededor del origen de coordenadas. Esto será importante en el post siguiente, en el que hablaremos de grupos cíclicos.

En el post anterior hemos presentado los números complejos de módulo unidad como operadores de giro sobre otros números complejos. Esta forma de verlos nos lleva a pasear por los llamados grupos cíclicos. Espero que sea un paseo agradable.

Supongamos que tenemos un selector de n posiciones, como el de la figura. El aparato está siempre en alguna de las n posiciones, y nosotros podemos actuar sobre él, girando la aguja hasta donde nos plazca (siempre hasta una de las n posiciones fijas).

Tenemos por tanto dos conjuntos perfectamente diferenciados, al conjunto de las posibles posiciones del selector, y el conjunto de las posibles acciones nuestras sobre el mismo. Llamaremos X al primero y G al segundo.

Está claro que el conjunto X tiene siete elementos en la figura, y n elementos en el caso general. Los representaremos con números naturales.

X={0,1,2,3,4,5,6}

Los elementos del otro conjunto no son posiciones según hemos dicho, sino nuestras acciones sobre el selector. Podemos girar a la izquierda, o a la derecha hasta la siguiente posición, o podemos girar k posiciones a la izquierda o a la derecha. Consideraremos acciones diferentes las que produzcan resultados diferentes, lógicamente. Esto quiere decir que efectuar un giro de una posición a la derecha es lo mismo que hacerlo de (n-1) posiciones en sentido contrario.

Así pues, el conjunto G también tiene n elementos, que denominaremos así:

G={g₀, g₁, g₂,..., g_n-1}

Donde g_i será el giro de i posiciones a la izquierda. (exactamente podría ser en sentido contrario, pero sucede que cuando un servidor debe elegir entre derecha e izquierda, pues eso; elige).

El conjunto G podría ser perfectamente el conjunto de las n raíces enésimas de la unidad del post anterior. No en vano adelantábamos allí que dichos números complejos podían entenderse como giros de una amplitud de la enésima parte de una vuelta, o cualquier múltiplo de esta cantidad.

Pues bien, este conjunto G es más que un conjunto. Es un grupo. Ahora explicaremos esto. Pero de momento diremos que este grupo actúa sobre el conjunto de estados X.

Esta actuación implica considerar loe elementos de G como operadores que afectan a los estados (elementos del conjunto X)

Así, g₁(0) ( el operador g₁ actuando sobre el estado 0) quiere decir el estado que tenemos cuando estando previamente en el cero hacemos un giro de una posición a la izquierda. Evidentemente g₁(0)=1. Es fácil ver la veracidad de las siguentes expresiones:

g₀(x) = x, para todo x € X

g₂(0) = 2

g₁ (g₂(0)) = g₁ (2) = 3

La primera igualdad nos dice que el giro nulo deja todo como estaba. La última supone la realización de un giro y luego otro. El resultado siempre se podría haber hecho de una sola vez mediante un giro único.

Efectivamente, existe una operación natural entre los elementos de G: g_i* g_j, que consiste simplemente en ejecutar ambos seguidos; primero el que escribimos a la derecha (g_j) y luego el otro (g_i).

Además, dado un giro concreto, siempre hay otro en G que deja las cosas como estaban. Diremos que cada elemento de G tiene un simétrico. Denotaremos g^-1 al elemento simétrico de g.

Queda una última propiedad, que permite agrupar giros por parejas sin alterar el orden en el que operan:

g_i* (g_j *g_k) = (g_i* g_j) *g_k)

Todo conjunto con una operación que tenga estas propiedades será llamado desde ahora un grupo .

Este grupo nuestro tiene unas propiedades adicionales que no satisfacen todos los grupos, ni mucho menos. Por ejemplo: uno sólo de sus elementos puede generar a todos los demás por simple composición consigo mismo. Esto quiere decir que a base de la única acción de girar una sola posición podemos generar todas las acciones del grupo. En lenguaje técnico diremos que G es finitamente generado, cuando todos los elementos son generados por composición de un grupo finito de ellos, y monógeno cuando lo son por uno solo de ellos , como en nuestro caso.

G =[ g₁]

Diremos que g₁ es un generador de G

Noten que hemos sustituido las llaves {} de los conjuntos por corchetes []. En la notación habitual se usan los signos “mayor y menor que”, pero me dan problemas porque Blogia los interpreta como comienzo de etiquetas HTML...

Llamaremos orden de un grupo G a su número de elementos, y escribiremos o(G)=n. Llamaremos orden de un elemento de G al orden del subgrupo generado por dicho elemento. Está claro que si y solo si dicho elemento g_k es un generador de todo G , entonces o(g_k)=n.

Llamaremos cíclico a un grupo tal que todos sus elementos son generados por uno solo. Es evidente que nuestro grupo de giros del conmutador es un grupo cíclico.

Basta por hoy. Terminamos con una pregunta tan sólo para aquellos que nada sepan de teoría de grupos:

Nuestro grupo completo es generado por uno sólo de sus elementos, lo hemos visto con el elemento más sencillo g₁, que es el menor giro posible a parte del nulo g₀, claro. El elemento nulo malamente puede generar nada distinto de sí mismo.

Pero ¿los demás?. ¿Es g₂ también un generador de G ?, ¿Y un g_k genérico? ¿Depende de algo que la respuesta sea positiva o negativa?

Les espero para continuar hablando de grupos cíclicos.

Uno de los lectores de este blog, Juan; me ha pedido que me haga eco de un problema angustioso que está padeciendo actualmente, tanto él como su familia entera.

El lo cuenta en su blog, y la verdad es que a uno se le ponen los pelos de punta cuando lee el asunto.

Desde aquí, mi simpatía y solidaridad con Juan y con su familia. Ojalá que el problema se solucione rápidamente. Ojalá quede tan sólo un mal recuerdo, tan debilitado con el tiempo que no tenga fuerza ni para mantener el odio natural que genera esta situación incalificable.

Animo, amigo. Te deseamos lo mejor.

Tio Petros

Decíamos en el post anterior que un grupo cíclico era el que se generaba a partir de uno sólo de sus elementos, y escribíamos G=[a] para indicar que dicho elemento a de G era generador de todo el grupo.
Con el grupo de giros del selector de siete posiciones del post anterior quedaba claro: el giro de un paso g₁ generaba todo G:

g₁²=g₂
g₁³=g₃
...
g₁⁷=g₀.

Si seguimos operando, volvemos a encontrar g₁,g₂,..., y ahora se ve claramente el significado profundo del apelativo cíclico para este tipo grupos.

En suma: los productos de operar g₁ consigo mismo son {g₁,g₂,g₃,g₄,g₅,g₆,g₀}, que es el grupo entero.

SI lo intentamos con otro elemento, g₂, por ejemplo, obtenemos:

{g₂,g₄,g₆,g₁,g₃,g₅,g₀}, que vuelve a ser el grupo completo.

Podríamos hacer lo mismo con todos los elementos: cualquier elemento de G genera todo G, por lo tanto podemos escribir:

G=[g₁]=[g₂]=[g₃]=[g₄]=[g₅]=[g₆]=[g₇].

Sin embargo esta situación no es la general: si el grupo original tuviera 8 elementos, el elemento g₂ generaría al subgrupo H={g₂,g₄,g₆,g₀}, que es la mitad de todo el grupo original.

En el fondo la explicación es muy sencilla, y se ha apuntado en los comentarios del post anterior: a base de giros de orden par sólo podemos generar otros giros de orden par si es asimismo par el número de elementos del grupo original, y nunca generaremos uno impar. Lo mismo vale para los múltiplos de cualquier otro número diferente del dos.

El conjunto de todos los elementos generados por uno, sea o no sea el grupo total es siempre a su vez un grupo (subgrupo propio o impropio del original. Llamamos propio si es estrictamente menor que el de partido, e impropio si es él mismo. Pues bien: el Teorema de Lagrange recoge este aspecto en toda su generalidad.

Un enunciado light del mismo es:

Dado un grupo G de orden n, si H es un subgrupo de G entonces el orden de H, o(H) es divisor de n

Dado que el conjunto de elementos generado por un elemento es siempre un subgrupo, resulta que su número de elementos será siempre divisor del orden del grupo total o(G)=n.

Y sólo en el caso en que n sea primo (como en el ejemplo anterior, con n = 7), tendremos asegurado que cualquiera de los n elementos generará el grupo completo, porque al no tener ndivisores, el orden de los subgrupos será igual a n, salvo en el caso del elemento neutro g₀, que tendrá orden 1, e incluirá al citado g₀ él sólo.

Los grupos cíclicos tienen más propiedades que los hacen importantes: la primera es que son necesariamente abelianos (conmutativos), y la segunda es que el Teorema de Lagrange es inversible para ellos.

Lo primero quiere decir que g_j*g_k=g_k*g_j, para toda pareja de elementos de G, y lo segundo merece una explicación más tranquila:

El Teorema de Lagrange afirmaba que los subgrupos de un grupo G de orden n, de existir, tenían un orden m que era divisor de n.

Su inversión indica que dado m, para cada divisor n, existe un subgrupo con dicho número de elementos.

El teorema original lo cumplen todos los grupos, su inversión sólo algunos, los cíclicos entre ellos.

Ahora estamos en condiciones de demostrar un terorema interesante y muy sencillo, que afirma que Si el orden de un grupo es primo, entonces dicho grupo es cíclico

Lo demostramos:

Sea o(G)=p, con p primo.

Sea a un elemento de G, diferente del elemento neutro. H=[a] es un subgrupo generado por a, y su orden, por el teorema de Lagrange será divisor de p. Dado que p es primo y no puede ser o(H)=1 pues a no es el neutro, entonces necesariamente o(H)=p, con lo que H=G, y G=[a].

Con esto terminamos nuestra incursión en los grupos cíclicos. La teoría de grupos es una rama del álgebra muy abstracta. Normalmente un libro sobre este tópico es un tocho de cientos de páginas sin ilustración alguna. No obstante, y dada la belleza del asunto es evidente una vez más que la belleza de la matemática no está en las ilustraciones...

Salvo los preliminares de la teoría, el resto en profundidad es para verdaderos especialistas. Felices ellos que están en disposición de saborear tales frutos.

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HACE UN AÑO hablábamos de la matemática de la música. En una serie de tres post explicábamos los motivos por los que las notas musicales son siete (do,re,mi,fa,sol,la y si), doce si tenemos en cuenta sus correspondientes alteraciones; y no treinta o dieciocho.

Hemos explicado en post recientes que las raíces de la unidad se distribuyen a lo largo de la circunferencia unidad en el plano complejo, dividiéndola en n partes iguales. Vimos que cada uno de los valores de la raíz n-ésima de la unidad se podía expresar mediante el número complejo e^i(2PI/n)k. Dando valores a k desde 1 hasta n obtenemos todas las raíces. No lo dijimos en su momento, pero a dichos números complejos unitarios se les denomina números de Moivre .

Estas raíces son las soluciones de la ecuación polinómica :

xⁿ=1

Pues bien, a aquellos polígonos irreducibles cuyas raíces son raíces de la unidad se llaman Polinomios ciclotómicos . Esta bella palabra significa etimológicamente “que corta a la circunferencia”; como podemos ver tienen el nombre muy bien puesto. No son ellos quienes cortan a la circunferencia en R ², sino sus raíces en el plano complejo.

Nuestro polinomio genérico xⁿ-1 no será ciclotómico para todo valor de n. De hecho lo será sólo para n=1. El motivo es que en la propia definición de Polinomio ciclotómico se expresa que dicho polinomio debe ser irreducible.

Los polinomios son expresiones en forma de suma de potencias de ciertas variables, denominadas indeterminadas . Consideraremos únicamente polinomios racionales de una indeterminada. Su forma genérica es:

P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+...+ a₁x+a₀

Los números a_n son los coeficientes; que pertenecerán al cuerpo de los racionales.
Pues bien; el conjunto de todos los polinomios con la operación suma y producto habituales resulta ser un anillo, que llamaremos Z[x] o Q[x], para el caso de que los coeficientes sean enteros o racionales.
Z[x] o Q[x] resultan ser anillos y no cuerpos, y la relación de divisibilidad entre los polinomios se define al uso:

Diremos que un polinomio P(x) divide a otro Q(x) cuando existe un tercero
Z(x) tal que Q(x)=Z(x)·P(x)

Diremos que un polinomio es irreducible cuando no puede expresarse como producto de otros dos. Por lo tanto, obtendremos los sucesivos polinomios ciclotómicos factorizando los polinomios genéricos xⁿ=1.

El primero de ellos provendrá de la ecuación x=1; y por lo tanto es
F₁(x)=x-1.

Para n=2, tenemos x²=1, que en forma de polinomio es x²-1 Ahora bien; este polinomio se puede expresar como (x+1)·(x-1). Como el segundo factor era el primer polinomio ciclotómico, el otro es nuestro segundo:
F₂(x)=x+1.

Si continuamos, para n=3 tenemos que el polinomio x³-1 es divisible por (x-1), pudiendo ser factorizado así: x³-1=(x-1)·(x²+x+1)

Este último factor es por tanto el tercer polinomio ciclotómico:

P₃(x)= x²+x+1

Esa es la pauta para la obtención de los sucesivos polinomios ciclotómicos

· F₁(x) = x-1
· F₂(x) = x+1
· F₃(x) = x²+x+1
· F₄(x) = x²+1
· F₅(x) = x⁴+x³+x²+x+1
· F₆(x) = x²-x+1

Si n es primo, entonces el polinomio ciclotómico F_n es completo de grado (n-1). En general, el grado de F_n(x) es igual al número de enteros menores que n y coprimos (sin divisores comunes) con n.

De hecho, una definición alternativa de los polinomios ciclotómicos es esta:



donde k toma sólo valores desde 1 hasta n que sean primos con el propio n.

Siendo los correspondientes números de Moivre.

Lo curioso del asunto es que con tal definición, siempre resulten polinomios de coeficientes enteros.
Además, todos los coeficientes parecen ser igual a la unidad con signo más o menos, o cero.

Este extremo ilustra el papel relativamente poco significativo que representan las conjeturas en matemáticas, y que hemos resaltado muchas veces desde este blog. En efecto, es natural viendo que los primeros polinomios ciclotómicos tienen siempre sus coeficientes con estos valores, conjeturar que ocurre así para todo n.

Si seguimos calculándolos, podremos comprobar que entre los cien primeros, ninguno incumple esta norma.

En las ciencias experimentales, cuando las observaciones dan la razón a la teoría, ésta sale reforzada. Esta forma de acceso a la verdad en matemáticas no es satisfactoria: en matemáticas las hipótesis no valen nada mientras no se demuestren. Y cien casos demuestran el caso general tan poco como diez mil o mil millones...

Lo extraordinario del caso es que nuestros polinomios ciclotómicos no cumplen la conjetura anterior: el primero que la incumple es el de puesto 105, que vale:

F₁₀₅(x) = x⁴⁸ + x⁴⁷ + x⁴⁶ - x⁴³ - x⁴² - 2x⁴¹ - x⁴⁰ - x³⁹ +x³⁶ + x³⁵+x³⁴ + x³³ + x³² + x³¹ - x²⁸ - x²⁶ - x²⁴ - x²² - x²⁰ +x¹⁷ + x¹⁶+ x¹⁵ + x¹⁴ + x¹³ + x¹² - x⁹ - x⁸ - 2x⁷ - x⁶ - x⁵ + x² + x + 1

como pueden observar, dos de los coeficientes son sendos doses.

De hecho, se ha demostrado que existen coeficientes tan grandes como se quiera para polinomios de puesto suficientemente elevado.

En la figura que encabeza este post pueden ver las gráficas de los cinco primeros polinomios ciclotómicos.

En parte de este post adoptaré una forma de hablar ligeramente abusiva. Cuando hace unos posts el Sr. Cabrera me indicaba en un comentario que el conjunto de los números reales no podía ser subconjunto del conjunto de los complejos, pasaba algo parecido. A veces cometemos abusos del lenguaje, sin que tal cosa deba preocuparnos en exceso si el abuso es leve y los lectores están avisados de las claves en las que se habla. Le explicaba yo al Sr. Cabrera en una apostilla a su comentario que era vía un isomorfismo que yo identificaba el subconjunto de los complejos con parte imaginaria nula con los reales. No creo que haya lector que no admita que tal abuso del lenguaje es benigno y que no hace falta ser purista en exceso, al menos en un blog como ese, que pretende pasear por la matemática, por la ciecia y por el pensamiento humano en general. Espero que el lector entienda que cuando digo que “la especie humana es diferen te al resto de las especies”, o que “han hecho falta X gigaaños para llegar a donde ahora estamos”, sepa entender esta dimensión abusiva del lenguaje, que en caso alguno intenta caer en intenciones teleológicas o metafísicas, de las que el autor quiere precisamente huir como de la peste.

La especie humana es algo diferente de las demás especies con las que comparte el planeta: es la primera en hacer un montón de cosas; está modificando la superficie del planeta a su antojo, tiene poder destructor sin límites, incluso contra sí mismo; intenta comprender el mundo, preocupándose de cosas muy lejanas a su inmediata supervivencia; fabrica y almacena utensilios, tiene creencias, es artista y crea belleza, es capaz de comportamientos antinaturales sin límite para lo bueno y para lo malo; tiene un lenguaje y un poder de manipulación sin precedentes...

Seguramente todas estas habilidades están presentes en otras especies en mayor o menor grado, a veces tan sólo de forma testimonial; y el hecho diferencial humano es cuestión de grado y no de esencia; pero aún así, el grado es de tal magnitud que abruma.

La unicidad de la especie humana actual nos hacer ver que somos los primeros y los únicos en la historia de la vida en la tierra en conseguirlo; han hecho falta 4,5 gigaaños para llegar hasta aquí. En realidad han hecho falta muchos más, por lo menos el doble, teniendo en cuenta que fue necesaria una generación previa de estrellas para sintetizar los átomos de los que estamos constituidos, que no provienen (no pueden provenir) del sistema solar.

Este panorama tan sobrecogedor nos induce a dejar de ser críticos con nuestras opiniones y casi estamos ansiosos por caer en el error de los argumentos teleológicos.

Me explico:

Es muy satisfactorio desde el punto de vista humano pensar que somos la cúspide de algo; el culmen del desarrollo evolutivo que se va perfeccionando y va progresando desde los imperfectos protozoos hasta el rey de la creación.. Una vez que hemos cedido en este punto, es más fácil imaginar que el proceso está dirigido, que hay una finalidad universal de la que somos, sino centro, sí parte importante. Frases como ¿para qué tanto espacio desaprovechado si fuéramos los únicos? ¿ Cómo va a existir diseño sin diseñador? Ejemplifican bien este extremo, y se leen y escuchan por doquier.

Llegados aquí, nada cuesta bajar otro peldaño en la racionalidad e imaginar que en efecto somos producto de Alguien que tiene un plan. El nombre de ese alguien varía con el tiempo y las culturas. A veces es un dios, otras veces se presenta como una especie alienígena.

Y ya puestos, si hemos cedido hasta aquí, ¿quién nos va a impedir creer que existen enormes diferencias entre las etnias humanas y la nuestra (¡cómo no!) es la superior ; o más aún, la elegida por ese Alguien para la supremacía sobre las otras? Algo de esto pasó sin duda en la Alemania nazi, donde millones de ciudadanos admitieron de buen grado los postulados del nazismo sin mayores problemas de conciencia. Algo similar psas hoy en día en multitud de lugares…

Frente a los escépticos, que no admiten (admitimos) hipótesis sin pruebas, exigiendo mayores pruebas cuanto más extraordinarias sean las afirmaciones, están los crédulos que admiten gustosamente hipótesis mágicas aduciendo que no se puede demostrar que son falsas, cuando éste es su principal defecto. Pero hay otros peores: los hiperescépticos, que no admiten la suficiencia de razonamiento alguno (sobre todo si va en contra de sus postulados, para los cuales son totalmente crédulos) . Algunos incluso rechazan existencia de una verdad objetiva: los subjetivistas New Age, por ejemplo, o los filósofos postmodernos. Mucho crédulos se comportan como hiperescépticos cuando les conviene: intentad convencer con argumentos sólidos a un creacionista de la validez de la evolución y comprenderéis que para algunos, la razón no es suficiente arma. No habrá argumento suficiente para cambiar sus opiniones.

Esta dificultad no es una problemática del poder demostrativo de la ciencia, sino que es una característica propia de pensamiento paranormal. Existe un filtro que impide el paso de los razonamientos críticos a las teorías paranormales: están blindadas al razonamiento coherente. Esto es así por un motivo fácilmente comprensible: si se admite el razonamiento crítico y coherente los postulados caen como un castillo de naipes.

Sin embargo, y a pesar de nuestra dificultad de desmontar las creencia mágicas, tenemos ya suficiente arsenal teórico y práctico para afirmar decididamente que, aunque aún no conocemos todos los detalles y puede que no los conozcamos nunca, el hombre no es el punto omega de Teilhard de Chardin, que el universo no se comporta como si tuviese una finalidad, que la tierra no tiene cuatro mil años de antigüedad, que los ovnis no son naves extraterrestres, que la telepatía brilla por su ausencia...

Es cierto que la verdad está ahí afuera, pero también lo es que la forma de conocerla está a nuestro alcance por procedimientos que nada tienen de esotérico.

Lo que falta es trasladar a la gente esta situación actual de la ciencia. La tarea divulgadora es ingente, pues choca con intuiciones falsas y creencias muy queridas. Es importante hacer este esfuerzo; tenemos mucha historia por detrás y estamos preparados para dejar la magia de una vez por todas para los ratos de diversión y ocio. Puedo disfrutar plenamente de las creaciones literarias de Tolkien sin necesidad de creer en los elfos ni en los hobbits. Puedo vibrar con la poesía del Cantar de los Cantares sin creer en la Biblia como verdad revelada; y puedo sobrecogerme con la magnificencia de un canto gregoriano sin creer en que haya alguien escuchándolo en las alturas. En suma: puedo asumir lo mejor de la producción humana sin necesidad de aceptar creencias impuestas desde el poder o desde la ignorancia, que se resisten a morir.

Contribuyendo a potenciar este espíritu crítico contribuimos a mejorar el mundo; luchando contra argumentos pseudocientíficos luchamos primeramente contra el engaño y la mentira, y de paso contra las argucias que se aducen justificando la xenofobia y el racismo, la opresión y el genocidio.

El pensamiento crítico se muestra como una herramienta válida e importante para cambiar este estado de las cosas. Esta es la verdadera utilidad del escepticismo en sentido moderno, muy alejado del otro escepticismo filosófico que negaba la posibilidad de acceder al conocimiento. Quizás para evitar esta connotación de agnosticismo gnoseológico prefiramos algunos hablar simplemente de pensamiento crítico.

La editorial nivola comenzó su colección Ciencia Abierta en diciembre de 1.999.
Me parece una colección espectacular dentro del panorama editorial de divulgación científica española. Hemos comentado ya varios libros de esta colección:De los Bernoulli a los Bourbaki, Verdad matemática y Memorias de un matemático. Hoy nos referiremos al primero en orden de aparición: ”La matemática española y la crisis de finales del siglo XIX”, de Javier Peralta.

El nivel de la aportación matemática española al mundo es exigua, salvo en el momento de dominación árabe. Con esta triste constatación que tampoco era necesaria por sabida y obvia, comienza este interesante libro.

El núcleo del mismo es la intención de explicar que si existe una cierta actividad matemática en España, es gracias al esfuerzo y la gran talla de un exiguo número de personas que trabajaron a finales del siglo XIX, de las cuales tan sólo se suele mencionar a Julio Rey Pastor

El siglo XX ha sido en gran medida también obra de un grupo reducido. Menciona el libro que hoy comentamos que en el célebre II Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París, aquel en el que Hilbert dictó los famosos 23 problemas abiertos del momento, que de una u otra forma marcó el desarrollo matemático de todo el siglo, asistieron cuatro matemáticos españoles: Zoel García de Galdeano, José Ríus y Casas , Leonardo Torres Quevedo y Torner y Carbó .

Algunos datos del libro son sorprendentes: La Revista de la Sociedad Matemática Española tenía en el año 1.912 la cantidad de 423 suscriptores. Este dato da pie a pensar que existía entonces, como ahora un potencial de interés grande, pero que de una u otra forma, los sucesivos gobiernos que España ha tenido nunca han sabido ayudar a que dicho interés se materializara en nada concreto. El nivel de las ayudas, las infraestructuras inadecuadas, ausencia de subvenciones de la Administración, ya saben... lo de siempre.

El libro se compone de cuatro capítulos. en el primero de ellos, Antecedentes históricos, se hace un breve resumen de la historia de nuestra matemática, desde la Edad Media hasta mediados del siglo XIX.

El segundo capítulo, La polémica sobre la ciencia en España, presenta la discusión sobre el papel que hemos jugado -francamente exiguo, salvo en el periodo de dominación árabe- en el panorama matemático mundial.

En Las matemáticas en la segunda mitad del XIX. La crisis del 98 se hace un análisis de la lenta evolución científica acaecida desde mediados del pasado siglo, para dedicar el cuarto capítulo, Las primeras décadas del siglo XX, al progreso realizado en esta disciplina en el primer tercio del siglo XX.

EL libro se cierra con unas sucintas biografías de lo más granado del panorama español en el progreso de la matemática de finales del siglo XIX: José Echegaray y Eizaguirre , Zoel García de Galdeano, Eduardo Torroja y Caballé , Leonardo Torres Quevedo , Ventura Reyes y Julio Rey Pastor . Salvo alguna excepción, unos perfectos desconocidos para todos nosotros. ¿ A que sí?

Y a sólo unos kilómetros, un país como Francia produciendo glorias innumerables por docenas...

Ficha del libro:

La matemática española y la crisis de finales del siglo XIX
Javier Peralta
Editorial nivola
Colección Ciencia Abierta, nº 1
ISBN: 84-930719-7-8
Encuadernación: Rústica, con solapas.
128 páginas
1ª edición: diciembre 1999
Precio: 14,50 €. (4% IVA incluido)

Dos reflexiones pueden servir para empezar este post, y ambas han sido realizadas bastantes veces desde este blog. La primera es que las conjeturas tienen en matemáticas un valor muy exiguo como afirmaciones, y un gran valor como acicate para nuevas investigaciones. De hecho, un sinnúmero de veces resultan ser falsas. Sin embargo el reto de demostrarlo ha espoleado a investigadores para transitar por caminos poco conocidos, alumbrando de paso rincones de la matemática, cuando no descubriendo zonas totalmente nuevas, más importantes que la mera dilucidación de la verdad o falsedad de la afirmación de la conjetura.

La segunda es que en matemáticas no hay nada inocente. La propiedad más ingenua en apariencia, el teorema más tonto, la propiedad más aparentemente infantil puede dar pie a complicaciones de extraordinario calado, y generalizaciones inimaginables a priori.

Hoy pretendo hablarles de algo bastante poco conocido: la conjetura de Borsuk .

El inicio del asunto no puede ser más simple: dado un subconjunto de R ² , como el F de la figura, definimos el diámetro del mismo como el menor número real que es más grande que la distancia de dos puntos cualesquiera de F . En la figura, el diámetro de F es igual a la distancia entre los puntos A y B, los más alejados de entre todas las parejas de puntos de F .

Les muestro una partición de F en dos subconjuntos, F₁ y F₂ . Los diámetros respectivos de cada uno de ellos son menores que el diámetro del conjunto F original.

Normal , pensarán. Pues no, no es tan normal. Si nuestro conjunto de partida F es una figura tan poco rebuscada como un triángulo equilátero, entonces no podemos partirlo en dos figuras que tengan ambas menor diámetro que el original. El motivo es claro: al repartirse tres vértices entre dos, alguno se quedará con dos de ellos. Para ese, el diámetro será necesariamente igual al del objeto original. En resumen: necesitamos dividir el triángulo en tres partes para obtener diámetros menores que el original en cada una de las figuras de la partición.

Pueden ver la partición necesaria en la siguiente figura:



Así pues, las cosas no son tan sencillas. Llamemos B(F) al número entero que representa la mínima cantidad de trozos necesarios para partir la figura F de forma que todos los trozos sean de menor diámetro que el original.

¿Cuánto puede valer B(F) para una figura plana general? ¿Y para una figura tridimensional? ¿Y si F tiene 27.389 dimensiones?

Como pueden ver, la cosa se complica.

Para el caso de dos dimensiones, Borsuk demostró en 1.933 que con las tres divisiones que necesitaba el triángulo equilátero bastaba para cualquier figura. Así pues B(F) era menor o igual a 3 para cualquier figura de dos dimensiones.

Esto le dió pié a presentar su conjetura para el caso más general, que dice:

Sea F un subconjunto acotado del espacio n-dimensional. Entonces B(F) es menor o igual a (n+1).

Era una conjetura arriesgada. Conjeturar el caso general cuando sólo se conoce un caso concreto me recuerda a hablar de la posibilidad de vida extraterrestres cuando sólo conocemos el cao de nuestro planeta. Es tema harto difícil.

Sin embargo, el caso para tres dimensiones cayó en 1.955 ( veintidos años después del reto de Borsuk), cuando Eggleston demostró que para tres dimensiones hacían falta a lo sumo... ¡cuatro divisiones!. La conjetura cobraba fuerza.

La demostración de Eggleston debe ser de una complejidad inusitada, pero válida. Dos años después otro matemático, Grunbaum dió otra demostración del mismo hecho, algo más sencilla pero igualmente endiablada.

Quedaba aún el caso general... que vino a demostrar que la conjetura era falsa. Lo vemos en breve, si ustedes quieren; como siempre.

Seguimos con la conjetura de Borsuk, comenzada en el post anterior.

Cuando hablábamos de topología dijimos que a veces lo que está claro para dimensiones altas no lo está tanto para dimensiones bajas, cercanas incluso a nuestro mundo tridimensional.. De ahí que surja, por ejemplo, lo que se denomina topología de baja dimensión . En el caso que nos ocupa, sin embargo, pasa lo contrario.

La conjetura de Borsuk resulta ser cierta para dos y tres dimensiones. Sin embargo para dimensiones altas la cosa es muy complicada. Veamos por encima el asunto.

Para el caso tridimensional, la demostración tiene un atajo, basado en el siguiente teorema:

Todo objeto de tres dimensiones con diámetro d está contenido en un octaedro recto cuyas caras opuestas están a una distancia d unas de otras, y con tres de sus vértices truncados por planos perpendiculares s las diagonales, que distan d/2 del centro.

Puede parecer un poco complicado, pero con las siguientes figuras se ve mejor:

Aquí vemos tal octaedro con el truncado del primer vértice:



Ahora con tres de sus vértices de la misma manera:



el teorema anterior dice que todo cuerpo tridimensional de diámetro d puede meterse dentro de este octaedro truncado, y resulta que sabemos dividir dicho cuerpo en cuatro partes para que todas tengan menor diámetro que el original, véanlo en la ilustración siguiente:



Ahora queda claro que el número de Borsuk para cualquier cuerpo de tres dimensiones es menor o igual a cuatro.

Es evidente que para dimensiones mayores no podemos seguir por ese camino. Por eso es comprensible que el reto quedara en suspenso durante muchos años.

Este estado de cosas cambió con la publicación por parte de los matemáticos J. Kahn y G Kalai en el Bulletin of the American Mathematical Society de un artículo que se titulaba Un contraejemplo de la conjetura de Borsuk .⁽¹⁾

Lo que Kahn y Kalai hicieron fue demostrar que el número de Borsuk para cualquier objeto n-dimensional crecía exponencialmente con la dimensión. Más concretamente demostraron que cuando la dimensión crece hacia infinito, el número de Borsuk tiende asintóticamente a una función exponencial, que resultó ser la función siguiente:

g(n)=(1,1) ^SQR(n)

donde SQR(n) quiere decir raíz cuadrada de n.

Una de las propiedades de las funciones exponenciales es que por muy despacio que avancen al principio ( y esta lo hace muy lentamente, pues la base es cercana a la unidad, y el exponente no es n , sino su raíz cuadrada), siempre terminan por superar a cuanquier función polinómica. Concretamente la función f(n)= (n+1) que proponía la conjetura de Borsuk es polinómica de grado uno.

Para un valor de n = 9.162 la función exponencial g(n)=(1,1) ^SQR(n) comienza a ser mayor que (n+1), luego a partir de ahí la conjetura de Borsuk debe fallar necesariamente.

Este resultado zanja la cuestión de la validez universal de la conjetura, pero deja abierta una incógnita bastante incómoda.

Efectivamente, tal valor de la dimensión (n=9.162) es una simple cota máxima de cumplimiento de la conjetura: asegura que de ahí hacia arriba se deja de cumplir, pero nada dice de valores menores que 9.162. Bien pudiera ser que falle desde valore bastante menores.

Las sucesivas cotas de d han ido bajando : Nilli obtuvo el valor de 946, Raigorodsky 561 y Weissbach el de 560. Más recientemente, ya en el año 2.000, Aicke Hinrichs alcanzó el valor de 323. El artículo está disponible aquí.

EN todo caso,el tema está abierto. ¿Cuál es el valor de la dimensión para el cual la conjetura de Borsuk empieza a ser falsa?

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HACE UN AÑO comenzábamos una serie de tres post para responder la pregunta ¿Qué es un número?

Vimos que contra la opinión general el número no es un concepto primigenio en la matemática, sino que se basa en el concepto anterior de conjunto.

En este post comenzamos a ver los axiomas en los que nos íbamos a basar, aquí desarrollamos la idea y finalmente concluimos con la extraordinaria idea de que fundamentación de los números naturales y la matemática toda está basada en el conjunto vacío. A Siddharta Gautama el Buda le hubiera gustado esta idea.

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(1) J. Kahn & G. Kalai: A counterexample to Borsuk's conjecture, Bulletin Amer. Math. Soc. 29 (1993), 60-62.