Tio Petros

Otra muestra de la capacidad divulgativa del desaparecido Miguel de Guzmán ha sido publicada en España, una vez más por la editorial nivola. Se trata de Mirar y ver .

En realidad no es ninguna novedad editorial; se trata de una colección de ensayos que fue publicada en 1.976 por la editorial Alambra, y reeditada por el equipo de la OMA (Olimpiada Matemática Argentina) años después. Sin embargo, es una buena noticia que se vuelva a ver por las librerías esta preciosidad de ensayos de geometría intuitiva, como los llama su autor. La edición es de marzo del 2.004.

Se trata de un librito de poco más de 100 páginas, con unas gráficas extremadamente claras y unas explicaciones rigurosas y sencillas. Se nota la mano del autor desde el primer párrafo.

Los capítulos son los siguientes:

Introducción
Las matemáticas de una cuadrícula
Los siete puentes de Königsberg
De una sola estocada
Rompiendo figuras
La iluminación más barata
Cuatro desigualdades fecundas
El arte de mirar correctamente
Triangulando el polígono
Dadme un punto fijo
Apéndice
Bibliografía

Pese a su aspecto ligero y claro, no es un libro que pueda leerse sin gran atención, pero el resultado del esfuerzo bien vale la pena.

Según se puede leer en la propia contraportada, La elección de los temas ha sido guiada por el deseo de presentar objetos matemáticos que tuviesen profundidad y belleza y que, al tiempo, representasen líneas de pensamiento actuales.

Ficha:
MIRAR Y VER
Miguel de Guzmán
Editorial Nivola
Colección El rompecabezas, nº 8
ISBN: 85-95599-46-5
Encuadernación: Rústica, con solapas
128 páginas

Precio: 9,90 €. (4% IVA incluido)

Mi amigo Carl Philip acaba de escribir en su excelsa bitácora la siguiente frase:

Cuando uno pone un weblog deberían avisarle que si se pasa tiempo sin escribir artículos se siente culpable

Nada más cierto. Ese es mi sentimiento en estos momentos. Tener este blog es para mi un hobby que se ha convertido en algo más, pasados de largo los doscientos artículos. Y sin embargo, hay momentos en los que no apetece escribir, no apetece romperse la cabeza en encontrar un tema que sea de interés del lector...

Por eso, antes de escribir artículos de relleno prefiero respetarme a mi mismo y a mi pereza; y guardar silencio unos días hasta que vuelvan las ganas de escribir, de invitar a realizar paseos presuntamente agradables por los rincones menos trillados de la matemática.

Así pues, volvemos en breve. No se me vayan, porque son los que dan sentido al blog.

Vailima y yo tenemos entre otras una afición común: las escapadas en pos del románico.

Cuando podemos, nos tomamos unos días y recorremos una ruta cuidadosamente preparada previamente por mi. Esta vez nos vamos, una vez más, a disfrutar brevemente de las tierras cántabras, palentinas y burgalesas. Las merindades del norte de Burgos, el Campoo de las cercanías de Reinosa; la comarca palentina de La Ojeda y la burgalesa de Las Loras serán nuestro destino el fin de semana próximo desde el jueves 17 hasta el domingo 20 de febrero.

Parte de lo que veamos lo conocemos ya: hace tres años recorrimos la montaña palentina y parte de la Ojeda, y la maravilla que se presentó ante nuestros ojos nos obligó a prometernos volver.

Entonces no teníamos blogs, y no podíamos hacer nuevos amigos. Ahora es diferente. Por eso, como siempre que salimos de viaje, lo anunciamos en el blog . Así, el placer del viaje se ve aumentado con el placer de la charla y la amistad.

Pues eso. A algún lector le apetece tomarse unas cervezas con nosotros?

Este post lo quería escribir desde hace tiempo. Sin embargo, siempre lo posponía por otros temas más matemáticos, más en sintonía con el motivo principal de este blog. Sin embargo como sabrán, el pensamiento crítico y la lucha contra las pseudociencias es la segunda razón de ser de este sitio, y ayer mientras leía en periódico decidí que esta historia la tenía que contar.

Ayer leía en la última página del periódico que la policía había detenido en Barcelona a una pitonisa que se quedaba con las joyas de sus clientes para “limpiarlas” bajo la excusa de que debía quitarles el mal de ojo. Ivana se hacía llamar la bruja.

Cuando eso ocurre en la España del siglo XXI no tengo más remedio de decir “que se jodan, por gilipollas”.

Sin embargo el nombre supuesto de la pitonisa y el trasfondo paranormal del asunto me hizo rememorar una vez más uno de los episodios más queridos de mi adolescencia cuando, allá por navidades de 1.979, con diecinueve años formé parte de lo que luego se conoció como el Proyecto Iván . Sirva este post y los que seguirán para rememorar aquella “hazaña”, y sirva de humilde homenaje hacia la persona que me enseñó qué es buena ciencia y qué no lo es, qué es el método científico y qué es una paparrucha. Esta persona es Félix Ares de Blas, actual director del Kutxaespacio de la Ciencia y presidente de ARP Sociedad para el avance del pensamiento crítico, pero no adelantemos acontecimientos.

Desde unos pocos años antes, cuando yo tenía unos quince o dieciséis, estaba el fenómeno OVNI en pleno apogeo. En Italia había un grupo que se llamaba Fraternidad cósmica , y un tal Eugenio Siracusa inauguraba en Europa la larga procesión de contactados que luego han ido sucediéndose. Los adolescentes se agrupaban en asociaciones “paracientíficas”, de las que había docenas en España. Otros grupos lo hacían en torno a doctrinas orientalistas de corte más místico, pero curiosamente todo estaba mezclado. No era inhabitual que un “experto” en OVNIs lo fuera también en ocultismo, en alquimia o en parapsicología. Era una época de efervescencia y a mis ojos de dieciséis años, acrítico y entusiasta como era, parecía que estaba a punto de ocurrir algo muy importante para la humanidad y yo no me lo podía perder.

Armado con “El retorno de los brujos” de Pauwels y Bergier y otra docena de libros cuyos autores eran Kolosimo, Von Däniken, Charroux y un largo etcétera que nunca faltaban en la biblioteca de cualquier amante del misterio que se precie, fundé mi propio grupo de “investigación paranormal”. En un alarde de imaginación lo denominamos Centro de Estudios Paracientíficos C.E.P. . Ahí estábamos los miembros del CEP, investigando cualquier cosa que sonara a misteriosa. Acudíamos a congresos de astrología en Barcelona, asistimos al primer congreso de ufología celebrado en Barcelona e incluso intervenimos con una charla en el congreso que se celebró en Oporto… pero para cuando fuimos a Oporto y conocimos en persona a gente como Antonio Rivera , padre espiritual de los ufólogos no científicos españoles nuestra forma de pensar había cambiado radicalmente.

Y esto ocurrió porque a tan sólo dieciocho kilómetros de nuestra sede vivía otro investigador que iba a volverme del revés con su visión de las cosas.

Nos habíamos entrevistado con un alquimista que estaba “a punto” de encontrar la piedra filosofal, con un experto psicofonista, con gente de un grupo llamado “La senda del arco Iris”, que en un pueblo de Navarra (Lizaso, creo recordar) habían fundado una comuna… en fin: estábamos en la cresta de la ola paranormal. Me carteaba con media España, con grupúsculos de todo pelo, hermanos del nuestro con nombres tales como Instituto de Investigaciones exobiológicas IIEE , Grupo de Estudios de la Vida Extraterrestre (GEVE),CIOVE, y medio centenar más. Supongo que tras muchos de estos rimbombantes nombres se escondían cuadrillas de adolescentes como nosotros.

Pues bien, tal era el estado de las cosas cuando, contactamos con Félix Ares de Blas . No recuerdo cómo sucedió el asunto, seguramente nos enteramos que era una personalidad más en el mundo del fenómeno OVNI y le escribí una carta . No lo recuerdo exactamente.

El caso es que en breve habíamos hecho amistad con una persona extraordinaria. Nosotros que tan acostumbrados estábamos a oir hablar de maravillas sin cuento, que conocíamos complicadas palabras como teleplastia, xenoglosia y viajes psicoestereocronos, nos pasábamos las tardes de domingo en la casa de nuestro nuevo amigo y mentor, e íbamos comprobando que su rollo era diferente. Con paciencia y seguramente con cierta diversión por su parte, nos volvió del revés en un tiempo récord.

Donde antes oíamos hablar de contactados y de transmutaciones alquímicas, ahora oíamos hablar de contraste de hipótesis, del test de la chi cuadrado y del coeficiente de correlación de Pearson.

Tuvimos mucha suerte. Suerte seguramente inmerecida, pero el caso es que Félix nos abrió su casa durante meses mientras a nuestras espaldas se quedaba un mundo oscuro e incierto, lleno de fantasías infantiles y de engaños, quedando al descubierto algo totalmente diferente.

En aquellas condiciones se fraguó el Proyecto Iván , de querida memoria, y del cual les hablaré en próximos post.

Permítanme que me lo tome con calma y sea un poco exhaustivo, porque no sólo es una historia del tránsito de las tinieblas a la luz; es algo más: es mi historia y la de mis amigos de la infancia-adolescencia.

Espero que no les aburra demasiado.

Continuamos con la historia del Proyecto Iván . Para entender lo que sigue será necesario un esfuerzo por parte del lector en situarse a finales de los años setenta. El tema OVNI estaba en pleno apogeo. Diariamente salían en prensa, radio y televisión noticias sobre avistamientos. Los “ufólogos” eran multitud, y se asociaban en grupos de mayor o menor prestigio.

Sin embargo el nivel de las publicaciones sobre el fenómeno OVNI era tan desastroso como hoy en día, ahora que no queda sino un rescoldo residual de lo que fue el fenómeno OVNI. La única publicación que tenía algunos artículos (algunos tan sólo en mi opinión ) que podían salvarse de la quema era STENDEK, del grupo Centro de Estudios Interplanetarios (CEI) de Barcelona.

En el primer congreso de Ufología celebrado en Barcelona en diciembre de 1.977 se oyeron tonterías sin cuento de este pelo: “la verdad de los Ovnis vendrá de la mano de los científicos y de los poetas”... era un mundo de locos. En este ambiente, un reducido grupo de jóvenes científicos se habían plantado bastantes años antes, y habían tomado otros derroteros. Conscientes de que el fenómeno era inaprensible, se dedicaron a estudiar lo único que dejaba rastro: los datos de avistamientos. Trataron de encontrar pautas en los datos para responder a una sencilla pregunta: ¿Existe en el fenómeno OVNI algún componente intrínseco, o toda la variabilidad que exhibe se puede explicar desde causas extrínsecas al fenómeno?

Si hubiera una componente intrínseca sería más fácil admitir la posibilidad de una realidad independente del fenómeno. (Nótese que aún así estamos muy lejos de conceder estatus extraterrestre al asunto). Pero claro, estudiar tal cosa exigía trabajo de verdad: tratamiento estadístico, mucha matemática y mucha inferencia. Era más fácil recorrer 100.000 kilómetros tras noticias improbables.

Con su “Estudio de la oleada 1968-1969” Félix Ares y David G. López marcaron un hito en la ufología seria española. La pregunta recibía así una respuesta al menos parcial, pero cuantificada: la variabilidad del fenómeno OVNI en España podía ser bastante bien explicada apelando tan sólo a causas extrínsecas.

No eran ellos los únicos estudiosos serios del asunto en el territorio nacional, en Valencia existía una reducida pero activa célula de investigadores entre los que descollaban Vicente Juan Ballester Olmos y Miguel Guasp.

Estos estudiosos serios del fenómeno fueron tachados como ufólogos de salón una y otra vez por aquellos que confundían investigación con kilómetros vistiendo cazadoras de muchos bolsillos, amén de una parafernalia más propia de un periodista de guerra que de un investigador serio. Alguno estos últimos sigue actualmente en la brecha, como Juan José Benítez.

Todo ese período está formidablemente reflejado en el artículo de Luis Alfonso Gámez, autor de magonia: El fiasco de la ufología española

De hecho, él está mucho más cualificado que yo para rememorar aquellos tiempos, pues tras el proyecto Iván, mis intereses ufológicos desaparecieron y me desligué de la feria paranormal durante muchos años. Había encontrado lo que buscaba, y tan sólo me quedó me fascinación por la ciencia, que no me abandonaría ya nunca.

Pues bien, en aquélla época la paranoia ufológica desbarraba alrededor de dos tópicos (las abducciones aún no estaban demasiado de moda en España): las ortotenias y las oposiciones marcianas.

En un intento por encontrar pautas extrínsecas que avalaran la realidad del fenómeno, se hablaba de líneas que favorecían el avistamiento. Los OVNIs tenían, según los partidarios de esta teoría, unas rutas celestes perfectamente definidas. La más famosa era la línea Bavic, que unía las ciudades francesas de Bayona y Vichy. La existencia de tales líneas era la aplicación práctica del teorema del punto gordo:

“ Tres puntos están siempre alineados si alguno de ellos es lo suficientemente gordo”

El mapa de la península se vió así surcado por una “malla ortoténica” sin el menor sentido, pero que quedaba muy chula:



Por supuesto, todo era una tontería que se derrumbó por sí misma. Esta es una constante en las paraciencias: hoy se abandonan los caminos de ayer y se inventan nuevos. Hasta que se agote el mercado de superchería y tengamos que inventar otros más nuevos aún. Y por supuesto, el abandono no ocurre por encontrar mejores hipótesis, ni más cotrastables, predictibles o falsables, sino por aburrimiento y hastío. Cualquier que tenga acceso a números antiguos de revistas esotéricas podrá comprobar cómo las modas paranormales cambian de modo muy diferencte a como lo hacen las tendencias en ciencia genuina: sin dejar poso alguno. No mueren cuando la experiencia demuestra que las hipótesis deben ser mejoradas: mueren tras languidecer en lenta agonía, como los mitos.

Otro tanto sucedió con el tema de las oposiciones marcianas. Cada dos años parecía haber una “oledada”, coincidente con las épocas en las que Marte estaba más cercano a la tierra. Esto era muy sugestivo para los paranormales: parecía invocar una base extraterrestre en el planeta rojo, una especie de campamento base. Años antes una sonda mariner había fotografiado algo que parecía ser una cara marciana y unas pirámides...las tonterías se realimentan a sí mismas a una velocidad de vértigo.

Se empezaron a coordinar “noches de caza de OVNIs desde las emisoras de radio. Aquello era como podeis suponer una locura sin el menor sentido, que recientemente ha querido resucitar el periodista Iker Jiménez desde la Cadena Ser.

No insultaré la inteligencia del lector insistiendo más de lo necesario en que si queremos que aparezcan OVNIs en un determinado momento y convocamos a todos los paranormalófilos a que miren el cielo embobados durante un fin de semana, los OVNIs se verán efectivamente.

Lo curioso del asunto era que las oleadas realmente existían. Estaba en la casuística de todos los países, y la hipótesis de quienes no creían en el origene extraterrestre del fenómeno era que la componente sociológica era suficiente como para explicarlas. Esta hipótesis tenía una ventaja: podía contrastarse. No era fácil, pero a lo mejor podíamos inducir una oleada OVNI.

A toro pasado era relativamente fácil entender los acontecimientos que habían forzado oleadas pasadas: por ejemplo la llegada del hombre a la luna y la consiguiente fascinación por temas espaciales. Pero esto era tan insatisfactorio como cuando un experto en bolsa nos dice porqué las acciones han descendido; lo interesante sería que hubiera anunciado que iban a descender antes de que lo hicieran!!!

¿Cómo contrastar la hipótesis?

Sólo había una manera, algo maquiavélica: crearíamos nuestra propia oleada OVNI local. Al fin y al cabo, la línea Bavic pasaba exactamente por encima de nuestras cabezas (véan la ilustración de este post), y a pocos kilómetros, en el alto de Gaintxurizketa se habían producido años antes dos de los avistamientos más lustrosos de la comarca!!! Y ahí nació el proyecto Iván , que recibió el nombre de una cafetería del donostiarra barrio de Amara en el que nos reuníamos.

Como podrán comprender, mis amigos y yo éramos unos simples aprendices que crecíamos en nuestra comprensión del fenómeno a la sombra de Félix Ares; pero siempre nos consideramos coprotagonistas del asunto.

En el siguiente post les comentaré cómo conseguimos que en la zona comprendida entre Irún y Donostia, la gente; mucha gente de bien con la cabeza amueblada, padres de familia, sacerdotes y amas de casa vieran OVNIs alrededor de la navidad de 1.978 y principios del año 1.979.

Eran otros tiempos, ahora no lo haríamos ha escrito Félix Ares rememorando el asunto. Ciertamente. Pero lo hicimos. Vaya si lo hicimos...

El resto de la historia es fácil de imaginar. Se trataba de crear el caldo de cultivo social suficiente y necesario para propiciar que la gente viera OVNIs. Esto hoy en día sería realmente difícil, pero a finales de los años setenta no lo era en absoluto, como demostramos.

La comarca en la que trabajábamos era ideal a este respecto: ni demasiado grande ni demasiado pequeña. En el entorno costero desde Fuenterrabía hasta San Sebastián, comprendiendo las poblaciones de Fuenterrabía, Irún, Oiartzun, Rentería, Lezo, Pasajes y San Sebastián viven unas trescientas mil personas. Algo más de la mitad se concentran en la capital. Los medios de comunicación tenían una componente local muy fuerte ( y la siguen teniendo), de manera que actuarían de amplificadores de cualquier noticia relacionada con los OVNIs en la comarca.

Por otro lado, la efervescencia del fenómeno OVNI era enorme y credulidad de la gente no tenía límites. El proyecto constaría necesariamente de tres fases:

PRIMERA FASE: CREACION DEL AMBIENTE PROPICIO

No fue difícil. Bastó una campaña de noticias en radio y prensa sobre avistamientos OVNI en la comarca. Los avistamientos de esta fase era obviamente inventos. Las noticias se realimentaban a sí mismas, los periódicos estában ávidos de publicar cualquier cosa relativa a fenómenos en los que los extraterrestres estuvieran involucrados. Pudimos comprobar que para que una noticia de tal calibre saliera en prensa no tenía que pasar ningún filtro previo de credibilidad, ya que no tuvimos problema alguno en que saliera publicado todo lo que nos propusimos.

En pocos días era patente que la gente se había enterado del asunto. Era tema habitual de conversación tanto en la peluquería como en el bar, en el trabajo o en la calle.

Como recuerda Juan Antonio Puerta, uno de mis compañeros en el proyecto:

“los días 23, 24 y 27 de diciembre los miembros del C.E.P. se afanaron en “colar” los primeros avistamientos falsos en el periódico “El diario vasco” y la emisora “La voz de Guipúzcoa”. Los casos OVNI, consistentes en pintorescas apariciones de enormes objetos discoidales multicolor y sobrecogedores resplandores, estaban aderezados con nombres y apellidos, muchos de ellos deliberadamente inventados.

Fue el mismo día 27 cuando salieron a la luz pública los primeros casos OVNI, en los cuales nada tuvieron que ver los promotores del experimento. Como era de esperar, el Proyecto Iván comenzaba a dar sus frutos.

La emisora “La voz de España” difundió una noticia que resumía de forma pormenorizada el caso protagonizado por cinco niños de entre 10 y 15 años. Estos afirmaban haber divisado en el Alto Errondo de San Sebastián diversas luces rojas y blanquecinas. Sin embargo, las pesquisas de los miembros del C.E.P. concluyeron que se trataba de un avión.
A partir de entonces el seguir inventando casos se volvió innecesario. Diversos testimonios “auténticos” se fueron produciendo espontáneamente, cumpliendo así la hipótesis del C.E.P.”

SEGUNDA FASE: UN AVISTAMIENTO “REAL”

Esta fase se diseñó para potenciar la primera, pero en realidad no hubiera hecho falta, dado que el tema prendió perfectamente en la población. Se trataba de ofrecer el espectáculo en directo de un avistamiento. Para ello nada mejor que la víspera de Reyes, el día 5 de diciembre de 1.979. Había luna nueva (es decir, no había luna), el tiempo estaba despejado y no era posible distinguir las siluetas de los montes cercanos: las Peñas de Aya y el monte San Marcial. Además, en Irún se concentraba en la Plaza de San Juan una multitud con ocasión de la llegada de los Reyes Magos al ayuntamiento, desde donde se podía observar las peñas de Aya perfectamente.

Un montaje relativamente sencillo en las faldas de dicho monte a base de luces conectadas a la batería de un vehículo y unos flashes sincronizados fueron suficientes para que un par de ganchos en la plaza de San Juan hicieran su labor y todo el mundo pudiera observar aquel “OVNI”.

He comentado que esta fase era una potenciación de la primera fase, pero era algo más: sirvió para comprobar hasta qué punto los testimonios de los testigos son fiables. Recogida la información de los testigos, cada uno vió una cosa diferente. Incluso muchos de ellos vieron al objeto desplazarse por el cielo desde el monte San Marcial hasta las peñas de Aya. Formas, tamaños y colores diferentes...cada uno vió “su OVNI”. El periódico vespertino LA UNIDAD publicó que el objeto sobrevolaba en torno al monte San Marcial, cuando el montaje fue en las Peñas de Aya.

TERCERA FASE: TOMA DE DATOS Y ANALISIS

A partir del día del montaje, cinco de enero de 1.979 no hubo falsificación alguna… y la gente siguió viendo OVNIs. Hubo un proceso de agotamiento del fenómeno y en quince días todo volvió a la normalidad. Habíamos conseguido crear una oleada. El número de personas que vió algún OVNI en el que nosotros no estábamos involucrados fue muy grande. Los datos fueron publicados en la revista STENDEK, número 39, en 1.980.

Los estudios de Félix Ares y David G. López en torno a la oleada de 1968-1969, que dejaban claro a partir de los datos y de su estudio a posteriori que las oleadas OVNI eran inducidas por acontecimientos sociales, y que no tenían por lo tanto componente intrínseca al fenómeno, recibían ahora el espaldarazo de un experimento diseñado ad hoc para demostrarlo experimentalmente.

Debemos aceptar que el proyecto tuvo un aspecto realmente cuestionable: el engaño a periodistas y a la población. Sin embargo el engaño fue breve, y los datos recogidos no podrían haberlo sido de otra manera. En todo caso, personalmente opino como Félix Ares: ahora no lo haríamos… pero lo hicimos.

A nivel personal mi interés por el fenómeno OVNI desapareció al concluir el proyecto Iván. Ya tenía la respuesta que quería en cuanto a la realidad del fenómeno. Este fenómeno adolecía de la misma enfermedad que todos los temas paranormales: sus características intrínsecas se esfumaban en cuanto se observaba con espíritu crítico. No quedando pautas propias del fenómeno, todo se diluía en aspectos muy terrestres, aunque no por ello menos apasionantes. Efectivamente seguían existiendo preguntas muy interesantes en torno a los OVNI.

Una de ellas es cómo y porqué se gestó el mito. De qué fuentes se alimentó, cómo creció y llegó a tener la importancia que tuvo. Otros respondieron a esta pregunta.

Pero esa es otra historia. Historia que ya ha sido contada en un libro excepcional titulado Para entender a los extraterrestres , en el que Wiktor Stoczkowski explica estos aspectos del fenomeno. Acento Editorial. Madrid, 2001.



Feliz fin de semana a mis lectores.

Retomamos el tema matemático en el blog con dos acertijos para hacer boca.

Hemos hablado bastante de combinatoria, definiéndola como el arte o la técnica de contar. Así dicho parece una sosada, pero resulta que contar objetos puede ser verdaderamente difícil. Como siempre, el conjunto N nos sorprende por su hondura y dificultad. El ser humano seguramente está capacitado para comprender todos los secretos físicos del universo, pero no lo está para responder a todas las preguntas que N nos plantea.

Así dicho puede parecer una exageración pero no lo es. Es fácil comprender que el conjunto de preguntas independientes relativas a N es infinito (numerable pero infinito), de manera que simplemente no tendremos tiempo para responderlas a todas.

Contar viene a ser equivalente a averiguar el cardinal de un subconjunto de N. Cuando es difícil hacerlo directamente y no conocemos otro atajo mejor, suele ser una buena idea preguntarse por la forma que deben tener los elementos de este subconjunto a medir.

Algo así ocurre con estos dos problemas. El primero es de conteo, y el segundo nos pide el puesto de un elemento distinguido de un conjunto ordenado:

PROBLEMA UNO

Tenemos mil interruptores numerados del 1 al 1000, todos ellos en posición de apagado. Mil operarios, también numerados, pasar por ellos uno tras otro, de manera que el operario n sólo actúa sobre los interruptores múltiplos de n.
Actuar sobre un interruptor significa encenderlo si estaba apagado o apagarlo si estaba encendido.¿Cuántos interruptores quedan encendidos al final?

PROBLEMA DOS

Estamos en un grupo de mil personas que van a ser fusiladas por un procedimiento curioso: puestas en fila, el ejecutor volará la tapa de los sesos de uno de cada dos reos, empezando por el primero. Reagrupados los supervivientes y manteniendo el orden, volverá a ejecutar a uno de cada dos empezando por el primero, y así sucesivamente hasta que sólo quede uno. Qué puesto de la fila elegiria el lector?

Como siempre, lo de menos es la respuesta. Lo que importa es el método.

En matemáticas nada es tan inocente como parece, y muchas veces, tras un tema aparentemente anodino se esconden conceptos sutiles y bellos. Uno de los propósitos de este blog es precisamente encontrarlos.

A primera vista parece que una cuadrícula pocas sorpresas puede ofrecernos. Y la realidad es bien distinta. Vamos a echar un vistazo a un teorema poco conocido que se llama el Teorema de Pick , relativo a polígonos inscritos en una malla cuadriculada. Comenzaremos delimitando al ámbito de aplicación del teorema.

Diremos, dada una malla cuadriculada que tesela un plano, que un polígono P es un polígono de Pick relativo a dicha malla cuando todos los vértices del mismo son puntos de la malla.

El teorema de Pick afirma que:

Dado un polígono de Pick, su área vale A= I+B/2-1 , donde I es el número de puntos de la malla internos al polígono y B es el número de puntos de la malla pertenecientes a la frontera del mismo .

En la figura que encabeza este post, el área del polígono valdrá A=31 + 15/2-1= 37’5

No me negarán que es sorprendente que pueda hallarse la superficie de un polígono, convexo o no, sencillo o complicado, de una manera tan simple: contando puntos.

Detrás de este simple fórmula hay bastante más de lo que parece. Empezaremos a desentrañarlos desde el propio concepto de área, que no es sino la versión bidimensional de un concepto más general: el de medida.

Una medida es una función de conjunto. Esto es radicalmente diferente a una función numérica habitual, en la que a cada valor de la variable independiente le corresponde un valor de la función. Una función de conjunto está definida en el conjunto de partes P(X) de un conjunto X , de forma que a ciertos subconjuntos Y de X les corresponde ciertos valores numéricos. Por complejos motivos que ahora no vamos a mencionar, resulta que en el caso más general no es posible aplicar una medida a todos los subconjuntos de un conjunto X dado, sino tan sólo a algunos de ellos. Todos estos forman una estructura denominada sigma-álgebra. Dado un conjunto X y una sigma-álgebra > de X , una medida sobre X es una función de conjunto m que satisface:

1.- la medida del conjunto vacío es cero.
2.- la medida de una unión finita o al menos numerable de subconjuntos disjuntos de X es igual a la suma de las medidas de los subconjuntos.

La propiedad 1 es evidente: la nada debe medir cero para cualquier medida que merezca tal nombre. La propiedad 2 se denomina aditividad numerable y es bien fácil de entender: ni se gana ni se pierde área juntando o separando trozos.

Pues bien, dado un polígono de Pick P, es fácil comprobar que v(P)= = I+B/2-1 es efectivamente una medida. La primera propiedad es trivial, porque el conjunto vacío NO es un polígono de Pick, luego no tiene aplicación la fórmula, y se le asigna por decreto el cero a tal conjunto.

La aditividad numerable es algo más laboriosa, pero no mucho. De ello nos encargaremos en el próximo post.

Cuando esto esté realizado, habremos demostrado que la fórmula del teorema de Pick es efectivamente una medida, y faltará ver que dicha medida se corresponde con el concepto habitual de área que conocemos todos.

Mientras tanto, que pasen un feliz fin de semana.

Para que no haya confusión es importante explicar que cuando en este post nos refiramos a “los puntos de la frontera o del interior” de un polígono cualquiera nos estaremos refiriendo exclusivamente a los puntos de la malla de Pick de dichos polígonos.

Vamos a demostrar que la función V(P) = I+ B/2 – 1 definida sobre polígonos de Pick explicada en el post anterior es una función aditiva. Esto es: si el polígono P resulta de la unión de los polígonos P₁ y P₂, entonces :

V(P)=v(P₁)+v(P₂)

Sean pues dos polígonos de Pick P₁ y P₂, con I₁ e I₂ puntos de la cuadrícula en el interior de los mismos; y con B₁ y B₂ puntos de la cuadrícula en su frontera respectivamente. Llamaremos m al número de puntos del polígonos resultante P que provienen de la coincidencia de dos puntos de la frontera de ambos polígonos iniciales. Está claro que dichos puntos serán puntos internos de P salvo los dos extremos, que seguirán perteneciendo a la frontera.

Así pues, podemos pasar a comprobar que V(P) es precisamente la suma de V(P₁) y V(P₂).

Tenemos:

V(P₁) = I₁ + B₁/2 – 1

V(P₂) = I₂ + B₂/2 – 1

V(P) = I + B/2 – 1.

El número de puntos internos de P será la suma de los de los polígonos iniciales P₁ y P₂ más la cantidad de puntos frontera de éstos que se han convertido en interiores. Dicha cantidad es de (m-2), pues los dos puntos extremos de los m que coinciden siguen siendo frontera en el polígono resultante, convirtiéndose en interiores los demás. Así pues tenemos que:

I = I₁ + I₂ + m – 2.

Respecto a los puntos de la frontera de P vemos que provienen de los puntos frontera originales, excepto precisamente los m compartidos, que pasan a ser internos todos ellos menos los dos extremos. Así pues:

B= B₁ + B₂ - 2m + 2

Ahora estamos en condiciones de afrontar la prueba de aditividad:

V(P) = I + B/2 – 1 = (I₁ + I₂ + m – 2) + (B₁ + B₂ - 2m + 2)/2 – 1 =

= (I₁ + B₁/2 – 1 ) + (I₂ + B₂/2 – 1) = V(P₁) +

V(P₂), que es lo que queríamos demostrar.

Queda demostrada la aditividad de la medida propuesta. Esto no sólo es importante por ser condición necesaria para que dicha medida sea efectivamente un área, sino porque además nos habilitará para demostrar que para figuras sencillas como triángulos efectivamente ES un área. Dado que cualquier polígono de Pick puede triangularse, aplicando la aditividad quedará demostrado que la fórmula es válida para todos ellos.

La doble arma de poder demostrar lo que queremos para figuras muy sencillas de forma directa y aplicar luego aditividad para extender la veracidad de la afirmación a figuras más complicadas nos habilitará para comprender una interpretación nada evidente de la fórmula de Pick: los ángulos de visión del polígono dado desde cada uno de los puntos de la malla.

Efectivamente, vean la siguiente ilustración:



Vamos a efectuar el conteo de los ángulos de visión del polígono desde cada uno de los puntos del mismo. La unidad del conteo será la circunferencia completa. Comprenderán que un punto interior como el i de la figura contabiliza como una unidad: su "angulo de visión del polígono" es la circunferencia entera por pertenecer al interior del polígono. Un punto como b , contabilizará como media unidad, pues pertenece a la frontera sin ser un vértice, y tiene un ángulo de visión del polígono de media circunferencia. Si el polígono es un triángulo, los ángulos de visión de los vértices son precisamente los propios ángulos de los vértices, que suman siempre media circunferencia (180º), lo que hace media unidad entre los tres. O lo que es lo mismo: podemos contabilizar dichos vértices como cualquier punto de la frontera y luego restar una unidad al resultado, obteniendo la fórmula original de Pick: I+B/2 -1.

Dado que lo anterior es válido para cualquier triángulo y daddo que cualquier polígono de Pick se puede triangular, basta ver la aditividad de esta "nueva forma de ver las cosas", pero esto ahora es casi trivial: si tenemos dos polígonos que se unen, sus puntos respectivos siguen contabilizando como en los originales salvo cuando pertenecen a la frontera. Si dicha parte de la frontera no es de la zona de unión, nada ocurre. Si lo es pueden pasar dos cosas: que el punto pase a ser interior o que continúe siendo frontera del polígono suma.

Si sucede lo primero, dos puntos frontera que tenían un ángulo de visión de media circunferencia cada uno pasan a ser un punto interior con un ángulo de una circunferencia completa y se conserva la aditividad. Si sucede lo segundo, dos vértices se unen en un punto que sigue siendo un vértice, pero en este caso también se suman los ángulos de visibilidad, luego también se conserva la aditividad.

En suma: el sumatorio de los ángulos de visibilidad de todos los puntos de la malla de Pick de un polígono dado nos da el área de dicho polígono, medidos dichos ángulos en circunferencias completas.

¿No es curioso?

En el próximo post veremos que el teorema de Pick es más potente de lo que parece: todo lo aquí dicho valía para polígonos de Pick convexos o no convexos, pero sin agujeros. Una pequeña ampliación en el mismo lo habilita para todo tipo de polígonos de Pick, incluso con agujeros.