Segundo post de Lola Cárdenas para TioPetros sobre el tema de las reglas de divisibilidad.

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Introducción a los criterios de divisibilidad

Cuando éramos niños, en el colegio nos explicaban las reglas de divisibilidad. Por ejemplo, nos decían que todos los números pares son múltiplos de dos, que todos los números acabados en cero o en cinco son múltiplos cinco, o que si sumamos las cifras de un número, y esta suma es múltiplo de tres, entonces el número mismo es múltiplo de tres.

La reglas de divisiblidad por dos o por cinco parecen estar bastante claras, sin embargo la regla de divisibilidad por tres ya trae consigo un modo de operar que en principio no se sabe por qué es así ni por qué funciona. ¿De dónde ha salido esa regla? Me lo pregunté tan pronto como me hicieron aprenderla en el colegio. Y lo descubrí pocos años después, "haciendo cuentas" tras una clase de álgebra, intrigada, porque sabía que ahí estaba la clave. Esas reglas salen de lo más básico de un apartado conocido como ``aritmética modular''. Y veremos al final de toda la exposición que es mucho más sencillo de lo que el nombre y lo que los primeros
conceptos sugieren.

Preliminares

Relaciones binarias

Definición

Consideremos un conjunto A. Recordemos cómo se define el producto cartesiano de un conjunto: se trata de todos los pares de la forma (a, b), donde a y b pertenecen al conjunto A. Es decir, el producto cartesiano, A x A se define como:

Llamamos pues relación binaria a cualquier subconjunto de A x A, y diremos que los pares (a, b) de dicho subconjunto están relacionados por , es decir, que (a está relacionado con b por la relación ).

Ejemplo

Si tomamos como conjunto al conjunto de los números naturales, , considerando su producto cartesiano, , podemos establecer la relación tal que relaciona a cualquier n₁ con su doble, 2n₁. Es claro que el conjunto es un subconjunto de y por tanto la relación establecida es una relación binaria.

Relaciones binarias de equivalencia

Las relaciones que nos interesan en este momento no son relaciones cualesquiera, establecidas un poco al azar, sino relaciones que cumplen tres propiedades muy interesantes:

Reflexiva: Una relación se dice reflexiva si para todo a perteneciente al conjunto A, se verifica que .
Simétrica: Una relación se dice simétrica si para todos a, b pertenecientes al conjunto A, el hecho de que implica a su vez que .
Transitiva: Una relacion se dice transitiva si para todos a, b, c pertenecientes al conjunto A, que y implica que .

Vamos a ver un ejemplo de relación binaria que sí sea de equivalencia y otra que no lo sea, para tratar de aclarar el significado de estas propiedades.

Ejemplo de relación binaria de equivalencia

Dados , decimos que si se cumple que . ¿Es de equivalencia esta relación binaria? Para contestar afirmativamente tendremos que demostrar que se cumplen las tres propiedades. Para contestar negativamente, bastará con encontrar que falla una de ellas.

Empezamos verificando la propiedad reflexiva. Sea . ¿Se cumple que ?

Por definición de la relación, esto será cierto si se cumple que . Pero dado , siempre tenemos que , luego y la relación es reflexiva.

A continuación veamos si cumple la propiedad simétrica. Sean y supongamos que . ¿Se cumplirá pues que ?

Como , por la definición de la relación se tiene que . Ahora bien, se cumplirá que si y sólo si .

Pero .

Luego y la relación es simétrica.

Por último, veamos si la relación es transitiva. Sean y supongamos que y que . ¿Se cumple que ?

Como , tenemos que , y como , tenemos que .

Se cumplirá que si y sólo si . Pero:

Por tanto y la
relación es transitiva.

Finalmente, tenemos que se cumplen las tres propiedades, y por tanto la relación binaria así definida es de equivalencia.

Ejemplo de relación binaria pero NO de equivalencia

Ahora definimos la siguiente relación: dos elementos están relacionados, si .

Veamos si cumple las tres propiedades que debe verificar para ser una relación binaria de equivalencia.

Comenzamos verificando la propiedad reflexiva. Sea , ¿se cumple que ? Esto será así si . Pero esto sólo es así si .

¿Se verifica la propiedad reflexiva entonces? No, porque para que se cumpliera, tendría que ser cierto para cualquier . Y sabemos que eso no es así. Si , entonces .

Por tanto, no se cumple la propiedad reflexiva: no tenemos que seguir examinando propiedades para afirmar que esta relación binaria no es de equivalencia.

Clases de equivalencia

Cuando tenemos una relación binaria de equivalencia sobre un conjunto , dado un elemento , definimos su clase de equivalencia como el conjunto de los elementos de que están relacionados con .

Es decir:

Dado , en tenemos pues todos los elementos de que son equivalentes a .

Pongamos un ejemplo de la vida real que, sin ser en absoluto riguroso, ayudará a aclarar este concepto.

Imaginemos que hablamos de muebles, y queremos clasificarlos. Queremos distinguir sillas de mesas, de sillones, de sofás... Así que definimos las propiedades que, indiscutiblemente, definen a una silla y la distinguen del resto de objetos. Definimos las propiedades que definene a una mesa y la distinguen del resto de objetos. Igualmente con los sillones, los sofás...

Cuando la relación permita identificar sillas entre sí pero distinguirlas de los otros tipos de muebles, etc., tendremos una relación de equivalencia. Dos elementos del conjunto "muebles" serán sillas si reunen una serie de atributos básicos. Y son sillas y no sillones porque la diferencia ha quedado perfectamente establecida, e igualmente establecidos los distintos tipos de muebles que contemplamos así como todas sus características.

Es decir, una relación de equivalencia define la manera de distinguir un tipo de elemento de otro tipo de elemento, de forma que los elementos de la misma clase de equivalencia sean, esencialmente, iguales, pero completa y distinguiblemente diferentes de los elementos de las otras clases de equivalencia: estamos formalizando el concepto de clasificación.

Conjunto cociente

Una vez tenemos todas las clases de equivalencia de según , definimos el conjunto cociente como el conjunto de todas estas clases de equivalencia. Lo expresaremos formalmente como sigue:

Notar que dados , , y que .

Tercer post de Lola Cárdenas sobre reglas de divisivilidad
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Aritmética modular

¿Y todo esto qué tiene que ver con las reglas de divisibilidad? Eso es lo que vamos a ver ahora. En realidad, los conceptos preliminares que hemos visto sirven para mucho más, pero en este caso los vamos a aplicar a nuestro objeto de estudio.

Asumimos que vamos a trabajar con el conjunto de los números enteros, , dotado de las operaciones usuales de suma ( ) y producto ( ). Vamos a definir una relación binaria de equivalencia en y a continuación ver qué tiene que ver con lo que pretendemos llevar adelante: las reglas de divisibilidad.

Congruencias

Definición de la relación de equivalencia de la congruencia

Sea un entero positivo. Decimos que dos números enteros , son congruentes módulo si existe un número tal que . Para denotar esta situación, se utiliza la notación: . Vamos a comprobar que la relación de congruencia módulo m es una relación binaria de equivalencia. Es muy sencillo, y lo hacemos a modo de ilustrar un poco más el procedimiento.

Comenzaremos probando la propiedad reflexiva. Dado , ¿se cumplirá que ? Es decir, ¿tendremos que existirá un tal que ? Como , es evidente que si escogemos , se cumple entonces que . Luego este existe, y por tanto hemos verificado la propiedad reflexiva.

Veamos la propiedad simétrica. Dados , supongamos que . ¿Se cumplirá que ? Esto será así si existe un tal que . Ahora bien, sabemos por hipótesis que luego, por definición de la relación, se verifica que existe un tal que . Como , tenemos entonces que . Tomamos pues el entero (si , también ), y por tanto se verifica la propiedad simétrica.

Queda por último la transitiva. Dados tales que y , ¿será cierto que ? Esto será así si existe un tal que .

Como , sabemos que existe un tal que . Igualmente, como , sabemos que existe un tal que .

Vamos a ver en qué queda entonces :

Luego si tomamos , es claro pues que se verifica la propiedad transitiva, y ya tenemos probada la condición de equivalencia de la relación binaria definida.

Clases de equivalencia módulo m

Una vez definida esta relación binaria de equivalencia, y probado que, efectivamente, lo es, vamos a dar el siguiente paso, que será delimitar las clases de equivalencia resultado de partir el conjunto de los números enteros de acuerdo a esta relación.

Tenemos que la congruencia módulo m divide al conjunto en m clases de equivalencia, , , , ..., . La clase de equivalencia del cero serán todos aquellos números múltiplos de m. La clase de equivalencia del uno serán todos aquellos números tales que al dividir por m, nos dan de resto 1. La clase de equivalencia del dos serán todos aquellos números tales que al dividir por m, nos dan de resto 2. Y así hasta el .

Veamos algunas para aclararlo:

Efectivamente, la clase de equivalencia del cero son todos los múltiplos enteros de m. Veamos la clase de equivalencia del 1:

Por el algoritmo de la división, vemos que k es el cociente de dividir a por m, y 1 el resto de dicha división. Luego, como decíamos arriba, la clase de equivalencia del 1 son todos aquellos números enteros tales que al dividir por m, dan de resto 1.

Igualmente tendríamos con la clase de equivalencia del 2:

Y así, hasta :

¿Por qué paramos en ? ¿Qué sucede con la clase de equivalencia del m? Si escribimos cuál sería, lo veremos claro:

Volvemos a la clase de equivalencia del cero. Igualmente, la clase de equivalencia de coincide con la clase de equivalencia del 1. Y así, sucesivamente.

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Algoritmo de la división

Dados , , existen dos números enteros c y r tales que , con . Los enteros c y r (cociente y resto, respectivamente) son únicos, dados a y b.

Cuarto post de Lola Cárdenas sobre reglas de divisibilidad.

Reglas básicas de aritmética modular

Dado m un entero positivo, y dados , , , , se verifica lo siguiente (reglas básicas de aritmética modular):

1. Si y , entonces


2. Si y , entonces

Demostrar estas reglas es muy sencillo, como podemos observar:

Regla de la suma: Si , entonces existe tal que , y si , entonces existe tal que .

Ahora bien, (a₁ + a₂) - (b₁ + b₂) = (a₁ - b₁) + (a₂ - b₂) = k₁m + k₂m = (k₁ + k₂)m. De aquí es claro pues que .

Regla del producto: Si , entonces existe tal que , y si , entonces existe tal que .

Desarrollamos:

Por tanto, también es claro que .

Dejamos indicado un teorema importante que no vamos a demostrar [1]:

Si llamamos al
conjunto cociente dado por y la relación binaria de equivalencia de congruencia módulo m (para m un entero positivo), se cumple:

1. Si , , se definen las operaciones suma y multiplicación en como sigue:
   
   
   


2. Ambas operaciones verifican las propiedades asociativa y conmutativa, y también se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. El elemento neutro para la suma es la clase del cero, [0], y el elemento neutro para el producto es la clase del 1, [1].


3. Dado , tiene elemento opuesto para la operación de suma definida, siendo este opuesto el elemento . Además, si m es primo, para todo tal que , se cumple que [a] tiene inverso multiplicativo, y además este inverso es único.

El teorema no es importante para nuestro desarrollo final, pero sí es importante para ampliar la visión de conjunto de las congruencias y los conjuntos , enteros módulo m.

Y ahora vamos a ver cómo se aplican estas reglas para obtener criterios de divisibilidad para números enteros (el principal objetivo de todo este texto).

Reglas de divisibilidad

Introducimos la siguiente notación: Sean x, y dos elementos pertenecientes a (es decir, son dos números enteros). Decimos que x divide a y, , y lo denotaremos por si existe un tal que .

Por ejemplo, decimos que 2 divide a 10 porque, en primer lugar, y, en segundo lugar, existe tal que . Así, escribiremos que .

De la misma manera, decimos que 3 divide a 24 porque, primero, y, segundo, existe tal que . Por tanto, podemos escribir que .

También vamos a adoptar la siguiente nomenclatura para las reglas de divisibilidad: dado un número entero x, escribiremos su expansión en base 10 como:

x₀, ..., x_n son las cifras de x, es decir, cuando escribimos x, escribimos lo siguiente: , y la expansión de arriba es la que le corresponde al estar trabajando en base 10.

x₀ es la cifra de las unidades, x₁ la de las decenas (por eso va mutiplicada por 10), x₂ la de las centenas (por eso va multiplicada por 100), etc. Se entiende, además, que las cifras están entre 0 y 9, es decir, , para i entre 0 y n.

Divisibilidad entre 2

Proposición (Criterio de divisibilidad)Un número entero x es divisible entre 2 si y sólo si la cifra de las unidades de dicho número (x₀) es par.

De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:


. Por
la segunda regla de operaciones con congruencias, , luego . No es difícil comprobar que, en general, para
cualquier k mayor o igual que 1.

Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:

Ahora bien, . O lo que es lo mismo, que x₀ sea un múltiplo de 2. Es decir, que la cifra de las unidades sea par.

Divisibilidad entre 3

Proposición (Criterio de divisibilidad)   Un número entero x es divisible entre 3 si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 3.

(El esquema es similar a la regla de divisibilidad entre 2)

De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:


. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, , luego . No es difícil comprobar que, en general, para cualquier k mayor o igual que 1.

Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:

Ahora bien, .
Es decir, que la suma de sus cifras sea divisible entre 3.

Divisibilidad entre 5

Proposición (Criterio de divisibilidad)   Un número entero x es divisible entre 5 si y sólo si la cifra de las unidades de dicho número (x₀) es cero o cinco.

(El esquema es similar a la regla de divisibilidad entre 2)

De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:


. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, , luego . No es difícil comprobar que, en general, para cualquier k mayor o igual que 1.

Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:

Ahora bien, . O lo que es lo mismo, que x₀ sea un múltiplo de 5. Es decir, que la cifra de las unidades sea cero o cinco.

Divisibilidad entre 9

Proposición (Criterio de divisibilidad)   Un número entero x es divisible entre 9 si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 9.

(El esquema es idéntico a la regla de divisibilidad entre 3)

De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:


. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, , luego . No es difícil comprobar que, en general, para cualquier k mayor o igual que 1.

Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:

Ahora bien, . Es decir, que la suma de sus cifras sea divisible entre 9.

Divisibilidad entre 10

Proposición (Criterio de divisibilidad)   Un número entero x es divisible entre 10 si y sólo si la cifra de las unidades de dicho número (x₀) es cero.

(El esquema es similar a las reglas de divisibilidad entre 2 y entre 5)

De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:


. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, , luego . No es difícil comprobar que, en general, para cualquier k mayor o igual que 1.

Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:

Ahora bien, . O lo que es lo mismo, que x₀ sea un múltiplo de 10. Es decir, que la cifra de las unidades sea cero.

Divisibilidad entre 11

Proposición (Criterio de divisibilidad)   Un número entero x es divisible entre 11 si y sólo si la suma de las cifras que ocupan la posición impar, menos la suma de las cifras que ocupan la posición par, es divisible entre 11.

(El esquema es semejante a las reglas de divisibilidad entre 3 y entre 9)

De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:



. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, , luego . No es difícil comprobar que, en general:

para cualquier k mayor o igual que 1.

Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:

Ahora bien, , lo que es equivalente a que, como dice el enunciado de la regla, la suma de las cifras en las posiciones pares menos la suma de las cifras en las posiciones impartes sea divisible entre 11.

Hasta aquí, las reglas usuales de divisibilidad que a todos nos enseñan en el colegio. Pero vaya, el truco del principio de este texto manejaba unas reglas que normalmente no se enseñan en el colegio: divisibilidad entre 7 y entre 13. Así que vamos a completar las reglas de divisibilidad con los números que nos faltan para completar del 2 al 13. Es decir, vamos a desarrollar las reglas de divisibilidad entre 4, 6, 7, 8, 12 y 13, repitiendo el mismo procedimiento que hemos llevado a cabo para demostrar las anteriores.

Abreviaremos un poco el procedimiento, obteniendo simplemente los resultados de las congruencias módulo m para las potencias de 10, y dejamos al lector el ejercicio de verificar los pasos que no se indican. Son prácticamente idénticos a los ya vistos, por lo que no debe suponer un problema.

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Puede verse la demostración en cualquier libro básico de
álgebra, por ejemplo, "Números, grupos y anillos", de J. Dorronsoro
y E. Hernández, editorial Addison-Wesley, página 40 en la primera
edición.

Quinto y penúltimo post de la serie de Lola Cárdenas sobre reglas de divisibilidad

Divisibilidad entre 4

Por tanto,

Divisibilidad entre 6

Por tanto,

Divisibilidad entre 7

Por tanto,

Notar que se repiten cíclicamente los factores por los que ir
multiplicando las cifras. Ordenando de la más baja a la más alta,
el ciclo que se da es éste: (1, 3, 2, -1, -3, -2).

Divisibilidad entre 8

Por tanto,

Divisibilidad entre 12

Por tanto,

Divisibilidad entre 13

Por tanto,

Notar que se repiten cíclicamente los factores por los que ir multiplicando las cifras. Ordenando de la más baja a la más alta, el ciclo que se da es éste: (1, -3, 9, -1, 3, -9).

Por ejemplo, 4394 es divisible entre 13. Sus cifras son: , , y . Aplicando esta regla, calculemos: , y 0 es divisible entre 13. Luego 4394 es divisible entre 13.

Post final de la serie sobre aritmética modular y reglas de divisibilidad a cargo de Lola Cárdenas

El truco del ejemplo del principio

Si observamos el número abcabc, podemos darnos cuenta de que se ajusta inmediatamente tanto a la regla de divisibilidad entre 7 como a la del 13. La regla del 7 tomaba el ciclo (1, 3, 2, -1, -3, -2), y la regla del 13, (1, -3, 9, -1, 3, -9). Es decir, cualquier número de seis cifras construido de manera que tenga las mismas cifras en las posiciones uno y cuatro, dos y cinco, tres y seis, será divisible tanto por 7 como por 13, ya que al aplicar la correspondiente regla de divisibilidad, primero tomará un signo y después el opuesto, además multiplicándose en ambos casos por el mismo factor.

Vemos enseguida, pues, que abcabc es divisible entre 7, puesto que a+3b+2c-a-3b-2c es precisamente igual a 0. Y lo mismo sucede con el 13: a-3b+9c-a+3b-9c=0.

¿Y el 11? Ver la divisibilidad por 11 también es inmediata, ya que tenemos que se cumple que a-b+c-a+b-c=0.

Por ese mismo motivo, no importa que inviertas el número de seis cifras. Como queda de la forma cbacba, ahora ya es inmediato ver que se le aplica lo mismo en lo referente a criterios de divisibilidad.

¿Y cómo sabía que iba a quedar el mismo número de tres cifras abc al dividir abcabc primero por 13, luego por 7 y luego por 11? Pues... porque lo dividí. ¿Cómo, si no tenía ningún número concreto que tratar? Escribiendo la expansión de abcabc en base 10, factorizando adecuadamente, y después dividiendo.

Empezamos factorizando abcabc:

Y como resulta que , al dividir abcabc entre 1001, el resultado es, precisamente, abc.

Corolario: El año 2002 fue un año de mala suerte. Pero sólo para los supersticiosos: es divisible por 13. Aunque también fue un año de buena suerte. Pero sólo para los supersticiosos: es divisible por 7.

Reflexión final

La motivación de este texto ha sido doble. Por una parte, presentar una parte de las matemáticas que tiene muchas aplicaciones prácticas: desde estas sencillas reglas de divisibilidad para números enteros, hasta criptografía (materia que quizá introduzcamos en otra ocasión). Por otra parte, demostrar lo sencillo que resulta elaborar trucos simples que pueden dar la sensación en alguien sin preparación en la materia de que realmente le están leyendo el pensamiento.

Tanto si he conseguido despertar el interés por esta parte de las matemáticas como si he conseguido poneros una alerta cuando alguien parezca estar leyéndonos la mente con algún tipo de juego numérico y os preguntéis por el truco, me daré por satisfecha.

Lo hemos dicho muchas veces: la superchería, la paraciencia, la superstición y la magufería tienen en las pseudociencias médicas su cara más amarga y peligrosa. A estas alturas de la vida, si en España a un imbécil o a una imbécil le roban los cuartos por una carta astral; por una lectura de mano o por una sesión espiritista, pues qué quieren que les diga: ¡que espabile!

Llega un momento en el que es difícil mantener la calma ante la idiotez, como hoy cuando oía en la tele a unos participantes en un coproconcurso televisivo (La casa de tu vida, creo que se llama) hablando sobre la santería cubana, los amuletos, el mal de ojo y subnormalidades similares. Sentía cómo me hervía la sangre al ver a estos jóvenes que no han tenido nada mejor que hacer que llenarse la cabeza de mierda. Nada se puede hacer por alguien que no quiere dejar de ser un simple idiota.

Pero si sucede alrededor de las ciencias de la salud, la cosa es aún diferente, al menos para mi. No hay, no puede haber en este tema condescendencia alguna. La situación de los pacientes con graves problemas de salud es especialmente vulnerable a la paraciencia, y las causas son perfectamente comprensibles. Por ello es que no debemos, no podemos consentir ligerezas en este tema.

Y dentro del despropósito, si aumentar las esperanzas de curación con tonterías homeopáticas o curanderiles es una actividad inhumana, hacer apología de las pseudomedicinas para curar cánceres y animar a abandonar las terapias convencionales (radioterapia, quimioterapia principalmente); en simplemente una actividad criminal.

Tal es el caso de la revista DSALUD . De venta en kioscos, por lo visto, con página web aquí.

Dénse un paseo por sus páginas, comprueben la magnitud del despropósito. Vayan a la sección sobre el cáncer:

Los delincuentes autores de estas páginas dicen:

“Si uno creyera lo que afirman las autoridades sanitarias y los oncólogos en los últimos años se ha avanzado muchísimo en lo que a la curación del cáncer se refiere. De ahí la convicción entre la ciudadanía de que ha dejado de ser una enfermedad mortal y de que la Quimioterapia, la Radioterapia y los nuevos antitumorales han conseguido poner al cáncer "contra las cuerdas". Bueno, pues no es verdad”

Más adelante, afirman:


La maquinaria del "establishment" sanitario viene ocupándose desde hace años en hacer creer a la sociedad que se ha avanzado mucho en la curación del cáncer pero no es verdad en absoluto. Es puro marketing. En lo que quizás se ha avanzado es en el "diagnóstico" y "tratamiento" convencional del cáncer pero en su "curación" prácticamente nada. Todo eso se ha hecho creer mediante manipulación de las estadísticas.

Con respecto a la radioterapia, explican:

La inmensa mayoría de los enfermos de cáncer a los que se irradia con los sofisticadísimos aparatos de la "moderna" medicina nuclear no dudan de que algo tan complejo y carísimo tiene que ser eficaz. En muchos casos incluso se sienten seres privilegiados por poder acceder a ellos. Sin embargo, la verdad es diferente: su eficacia curativa es más que discutible. De hecho, someterse a Radioterapia es peligroso porque incluso puede generar cáncer, acelerar el desarrollo del que se padece o provocar metástasis.

Quieren que siga? Hay más, mucho más. No estamos ante un caso de bazofia pseudocientífica: estamos ante algo seguramente constitutivo de delito.

La meta: hacer abandonar a los pacientes las mejores terapias actuales para ponerse en manos de remedios basados en técnicas homeopáticas:

Iberoamérica sigue sorprendiéndonos con productos anticancerígenos elaborados a partir de plantas autóctonas. Desde Uruguay nos llega ahora información sobre las propiedades de unas gotas homeopáticas denominadas Green Sap (GS) que fueron desarrolladas por un equipo multidisciplinar encabezado por el oncólogo Bernardo Udaquiola, Jefe de Sala de Autoválidos del Instituto de Ontología de Uruguay. Se lo contamos en detalle.

Estos delincuentes debieran estar en la cárcel. Cualquier iniciativa conducente a parar los pies a esta gentuza y retirar de la vía pública a ellos y a su nauseabunda y peligrosa publicación será bienvenida y secundada desde este blog.

A un congreso sobre creacionismo científico asisten 1.400 personas.

Al terminar el mismo, se pasa a firmar un documento en el que se aboga por la supresión de la teoría de la evolución en las escuelas españolas.

El 12,1212...% de los firmantes creen que los fósiles los ha puesto el demonio para despistar; y el 23,423423...% creen que Dios hizo el mundo en seis días.

La pregunta es:

¿Cuál es el porcentaje de asistentes que tenían un mínimo de conocimientos científicos?

NOTAS:

1.- Se supone que creer que el demonio ha puesto los fósiles para despistar y que el creador ha hecho el mundo en seis días son creencias independientes: cualquiera puede tener ambas, una sola de ellas o ninguna.

2.- Se presupone que tener unos mínimos conocimientos científicos es suficiente para no firmar el documento, y que todos los que no los tenían sí firmaron.

Los lectores han dado rápidamente con la solución correcta: son 1221 firmantes, y por lo tanto hay 179 personas asistentes al congreso con un mínimo de conocimientos científicos, lo que hace un 12,78%.

El problemilla es bastante soso e intrascendente, pero sirve para mostrar que a veces la solución de un problema está muy vinculada al conjunto numérico en el que se desarrolla. En el dominio de los números reales, este problema no tiene solución porque los dos porcentajes que se dan se refieren al total de firmantes, no al total de asistentes. No nos podrían ayudar a calcular el porcentaje de no firmantes.

Pero sucede que en el dominio de los números naturales sí tiene solución porque tenemos dos restricciones más que nos aportan dos datos extra: el 12,1212...% y el 23,423423...% de firmantes deben ser ambos enteros. Esto no deja otra posibilidad que 1221, mínimo común multiplo de los denominadores de las respectivas fracciones para estos dos decimales periódicos puros.

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HACE UN AÑO hablábamos de un problema difícil. Posiblemente será el problema más difícil que ha salido en este blog, y sin embargo no tiene dificultad conceptual alguna, sino meramente de manipulación de posibilidades. Si les apetece recordarlo ahí tienen el enlace. Mientras tanto, que pasen un feliz fin de semana.

“Estoy en contra de las corridas de toros, porque añaden dolor a la entropía del universo”

F. Sánchez Dragó, hace años en un programa de televisión.

Los niños que nacieron esta semana en el hospital materno-infantil de nuestra comarca tenían cada uno una cabeza, dos brazos y dos piernas. El sol salió por el este, se puso por el oeste y tras el ocaso el cielo se fue oscureciendo hasta volverse negro...

Noticiario imaginario

Hace cosa de un mes establecimos en este blog qué debe entenderse por variable aleatoria desde un punto de vista totalmente riguroso. Así, el concepto intuitivo de una función que puede tomar uno de entre una serie de valores con una cierta ley de probabilidad, quedaba explicado de forma bastante pormenorizada haciendo uso del concepto de espacios y funciones medibles.

Para los fines de este post, hablaremos de variables aleatorias (v.a.)de forma menos envarada. Tenemos la v.a. X, que supondremos, aunque no tiene porqué ser así, discreta. Esto quiere decir que puede tomar los valores de un conjunto finito {x₁, x₂,.., x_n}, con unas probabilidades definidas:

P{X= x₁}=p₁
P{X= x₂}=p₂
...
P{X= x_n}=p_n

Además, dado que los {x₁, x₂,.., x_n} son todos los casos posibles, tenemos que
p₁ + p₂ + ... + p_n = 1.

Nuestro propósito es definir dos conceptos relativos a las variables aleatorias: cantidad de información y entropía.

Si leen la noticia que encabeza este post (imaginaria evidentemente), verán que a pesar de su más que plausible veracidad, nunca periódico alguno publicará algo semejante. El motivo es claro: está enunciando unas noticias carentes e interés.

Conviene que analicemos un poco esa carencia de interés. En nuestro caso se debe a que los sucesos relatados son de tal habitualidad que no son dignos de ser reseñados. No se trata de que no sean importantes, o que dé lo mismo su cumplimiento que su incumplimiento. Se trata de que la importancia de una noticia es proporcional a su improbabilidad. Un notición es la reseña de un acontecimiento extraordinario que ocurre muy de vez en cuando. Si ocurre una única vez y es prácticamente irrepetible, se convierte en una primicia.

Esta idea intuitiva nos induce a hablar de la cantidad de información de un suceso. Cuanto mayor sea la probabilidad de que se produzca, menor será la información que aporta. Si el suceso es de probabilidad uno, la información que nos aporta su conocimiento es cero. En el caso límite contrario, un suceso de probabilidad cero nos aportaría una información infinita.

Precisamente la función logaritmo tiene unas propiedades muy buenas para cuantificar este extremo: log (x) vale cero para x=1, y va aumentando (en valor absoluto) hacia infinito conforme la x va desde la unidad hacia el cero. Definiremos por tanto la cantidad de información asociada a un suceso aleatorio de la siguiente manera:



El motivo del signo menos es que el logaritmo de todo número comprendido entre 0 y 1 es negativo.La elección de la base 2 para los logaritmos es de índole práctica e irrelevante para la explicación del concepto. Podríamos en principio poner cualquier base; simplemente es una cuestión de escala.

Mañana seguiremos por este camino, pero antes debemos definir qué cosa es la Esperanza matemática de una variable aleatoria . Con este concepto y el de cantidad de información bucearemos en la interpretación del concepto de entropía a la luz de la teoría de la probabilidad.

La Entropía tiene dos problemas:

1.- El concepto es algo difícil de pillar (no demasiado, pero requiere un cuartito de hora de atención)

2.- Es una palabra muy eufónica, suena tremendamente bien.

Ambas propiedades juntas hacen que muchos oradores la suelten, así sin más en medio de su discurso; como para dar empaque a su charla.

Este concepto de entropía es muy polifacético: aparece en matemáticas hablando de simples conjuntos (Entropía de Kolmogorov, de la que hablamos aquí), aparece en la teoría de la información con el aspecto que vamos a tratar en esta serie de post, y cómo no, aparece en física. Internamente subyace una unidad conceptual en todas estas versiones, como una medida del desorden de un sistema.

Seguiremos mañana definiendo la esperanza de una variable aleatoria; paso previo para definir la entropía. Mientras tanto, dejo como un ejercicio abierto para el lector el adivinar a qué tipo de entropía se refería el escritor Fernando Sánchez Dragó cuando dijo la frase que encabeza este post.

Cuando nos sometemos a una situación de incertidumbre es natural preguntarse qué resultado es esperable obtener. Naturalmente, esta pregunta debe ser precisada convenientemente para que tenga operatividad.

El concepto de Esperanza matemática o valor esperado habilita la herramienta idónea para responder a dicha pregunta. Si nos jugamos a cara y cruz con nuestro oponente 1 euro a una tirada, no hace falta hacer muchas consideraciones matemáticas para comprender que la esperanza del juego es nula: por simetría no podemos asignar ventaja a ninguno de los dos jugadores, por lo que ambos están igualmente expuestos a perder un euro o a ganarlo.

Cada uno de los jugadores comprende que en ausencia de trampas hay la misma probabilidad de ganar que de perder y que en cada caso, la cantidad involucrada es 1 euro. Por lo tanto este juego tiene esperanza nula; o lo que es lo mismo; es un juego que no tiene ganancia esperada. Si jugáramos un número suficientemente grande de veces, las ganancias compensarían a las pérdidas.

Cualquier juego real de apuestas tiene esperanza negativa: lo más probable es perder dinero. El motivo por el que se juega es que en caso de ganar, los premios son de escándalo. Estamos dispuestos a perder una cantidad pequeña de dinero casi con seguridad a cambio de la posibilidad, por pequeña que sea, de hacernos ricos de la noche a la mañana. Es perfectamente comprensible, de ahí que si leen ustedes en algún sitio que la mera esperanza matemática es la mejor guía ante una situación de incertidumbre, no se lo crean demasiado por ser un razonamiento demasiado simplista.

Pues bien, armados con esta idea, definimos la Esperanza matemática de una variable aleatoria X que toma valores en un conjunto { x₁ , x₂ , ... , x_n} con probabilidades p₁, p₂, ... , p_n como el número real:

E[X]= p₁· x₁ + p₂· x₂ +...+ p_n· x_n

Esto no es sino la suma de todos los posibles “premios” ponderada por la probabilidad de obtenerlos.

En el caso del juego de cara y cruz con un euro en juego, tenemos:

E[X]=0.5 · 1 – 0,5 · 1= 0

Para variables aleatorias continuas el concepto es exactamente el mismo, sustituyendo el sumatorio por una integral, y la probabilidad de cada suceso por la densidad de probabilidad. No hay ninguna diferencia conceptual y no incidiremos en ello ahora.

Antes de continuar, es bueno advertir que no toda variable aleatoria tiene una esperanza definida. Algunas tienen esperanza infinita, por ejemplo esta: Sea un juego en el que hay una probabilidad de un medio de ganar 2 euros, un cuarto de ganar 4 , un octavo de ganar 8, etc.

X toma valores en el conjunto {2ⁿ; n€N} siendo P_{{X= 2ⁿ}} = 1/2ⁿ

Seguidamente tenéis el desarrollo que demuestra que esta v. a. no tiene esperanza finita:



Visto esto, estamos en condiciones de afrontar la definición de Entropía de una variable aleatoria .

Lo haremos utilizando dos conceptos de importancia capital: el de cantidad de información visto en el post anterior y el de esperanza matemática visto ahora. Lo haremos en el próximo post, si ustedes quieren.

Supongamos que tenemos una urna con diez bolas. Sabemos que nueve son blancas y una negra. Si sacamos una bola al azar, consideremos la variable aleatoria asociada al experimento, X. La cuantificamos dándole el valor de 0 si la bola extraída es negra, y 1 si es blanca

P_{X=1} = 9/10 = 0.9

P_{X=0} = 1/10 = 0.1

Podemos hallar la esperanza de la v.a. X:

E[X]=1 · 0.9 + 0 · 0.1 = 0.9

Esto no es ninguna sorpresa: la esperanza, o valor esperado, no es sino el promedio esperado tras una multitud de repeticiones del mismo experimento. En promedio, 9 de cada 10 veces obtendremos un 1 (bola blanca), por lo que el valor promedio de la variable es precisamente 0.9

Sólo dos son los valores posibles de X , pero la información asociada a cada uno de ellos es diferente.

Recordemos la definición de cantidad de información asociada a un suceso i:



En nuestro caso, tenemos:

I₁= - log₂(0.9)= 0.15

I₀= - log₂(0.1)= 3.32

Vemos que la información asociada a sacar una bola negra (X=0) es mucho mayor que la información asociada al suceso "sacar una bola blanca". Una forma de entender esto es comprender que obtener una bola negra reduce la indeterminación completamente: sabemos que cada una de las bolas que quedan en la urna son blancas. Si hubiéramos obtenido una bola blanca, la reducción de incertidumbre es mucho menor: seguimos sin poder decir qué pasaría si hiciéramos otra extracción sin reemplazamiento de la bola previamente extraída.

Así pues, tener una variable aleatoria implica no saber el resultado que vamos a obtener, y esto implica no saber qué cantidad de información vamos a obtener al realizar el experimento, porque cada posible resultado nos aporta una cantidad de información diferente.

Esta simple idea nos sirve para definir a partir de una variable aleatoria otra variable aleatoria derivada, que consiste precisamente en la cantidad de información a obtener en el experimento. Definamos pues:

Dada una v.a. X, que toma valores {x₁,x₂,...,x_n} con probabilidades p₁,p₂,...,p_n, que aportan cantidades de información I₁,I₂,...,I_n, llamamos variable aleatoria cantidad de información asociada a X a la variable aleatoria I[X] , que toma valores I₁,I₂,...,I_n con probabilidades p₁,p₂,...,p_n.

En nuestro ejemplo, I[X] toma el valor 0.15 con probabilidad 0.9, y el valor 3.32 con probabilidad 0.1

Una propiedad importante de esta nueva variable aleatoria es que aunque deriva de la X inicial, no tiene en cuenta para nada los valores numéricos que esta X pueda adquirir: depende exclusivamente del reparto de probabilidades entre sus respectivas posibilidades.

Llegados hasta aquí, y dado que I[X] no es sino una variable aleatoria, nada nos impide preguntarnos por su valor esperado, o esperanza E[I[X]]; número que denotaremos H[X]

H[X] = E[I[X]] = 0.15 · 0.9 + 3.32 · 0.1 = 0.135 + 0.332 = 0.467

Vemos que la contribución del suceso menos probable es mayor que la del más probable, a pesar de que las cantidades de información deben estar multiplicadas por su correspondiente probabilidad.

Convenimos que un suceso de probabilidad nula no tiene ninguna relevancia en este cómputo. Es necesario este extremo porque el producto p(x)·log[P(x)] es una indeterminación cuando p(x)=0.

Qué hemos conseguido con esta definición?

Tenemos un número real, H[X], que es el valor esperado de la cantidad de información que obtendremos al obtener un resultado del experimento expresado por dicha variable aleatoria.

Este valor se denomina Entropía de Shannon de la variable dada. Y es un concepto de importancia capital en teoría de la información.

La expresión analítica de la entropía de Shannon es la siguiente:



En el siguiente post veremos qué tiene que ver esto con el desorden y porqué este concepto es importante.

Vamos a intentar sacarle jugo a la fórmula de la entropía de una variable aleatoria. En todo caso hablaremos de variables aleatorias discretas, que pueden tomar un número finito o al menos numerable de valores, sin embargo la extrapolación a variables continuas es muy sencilla y no añade dificultad conceptual alguna.

Primero, volvemos a poner la ilustración del post anterior, en la que se ve además el origen del concepto de entropía a partir de la cantidad de información aportada por cada posible valor de la variable aleatoria.



Puede suceder que uno de los posibles valores x_i tenga asociada una probabilidad p_i=1. Como la suma de todas las probabilidades es la unidad, eso quiere decir que los demás "posibles sucesos" tienen probabilidad cero (no son posibles, de ahí el entrecomillado anterior).

Una variable así nos está diciendo que se va a realizar el valor x_i con seguridad. A una variable aleatoria de este tipo la denominaremos degenerada , por no aportar aleatoriedad alguna.

Qué sucede con la entropía de una variable aleatoria degenerada?

Sólo tiene un valor con probabilidad mayor que cero, por lo que dicha probabilidad es uno; y para ese valor el logaritmo de la probabilidad es cero (pues log₂1=0), por lo que la entropía de dicha variable es nula.

Una v. a. nos está ofreciendo una cierta información; es como cuando el médico nos dice que tenemos un 88% de posibilidades de vencer nuestra enfermedad. No nos da tanta información como cuando nos dice con seguridad qué nos va a pasar; pero nos da más información que si nos habla de un 50% de posibilidades. La variable aleatoria degenerada no deja aleatoriedad: da la información máxima posible, y tiene entropía nula, según acabamos de ver.

Este hecho es el primer indicio de que si pensábamos que la entropía era una medida de la información que me ofrece una variable aleatoria, estábamos equivocados.

LA ENTROPIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA NO NOS INDICA EL GRADO DE INFORMACION QUE NOS OFRECE DICHA VARIABLE

De hecho, es un muy buen indicador de lo contrario. Cuanto más baja sea la entropía de una v. a., más información nos estará dando, hasta llegar a la entropía nula en el caso de información puntual, fiel y no probabilística (en el sentido de que la ofrece con probabilidad 1)

El hecho de que hayamos dicho que la entropía era el valor esperado de la cantidad de información asociada a los valores posibles no nos debe llevar a engaño: una cosa es la información que aporta la variable aleatoria en sí, y otra es el incremento de información que nos supone el conocimiento de la materialización práctica del valor de dicha variable en un experimento. Bajo esta luz es evidente que un suceso de probabilidad uno tenga información asociada nula: ¿qué información nos va a aportar, si la variable aleatoria ya nos da toda la información posible?

Si el médico me dice que tengo una probabilidad del 100% de curarme de mi enfermedad (variable aleatoria degenerada) me aporta de principio la máxima información. Cuando me he curado (realización práctica del suceso predicho por la variable), ya no obtengo información añadida. En el extremo opuesto, si me dice que tengo un 50% de probabilidades de curación (máxima aleatoriedad) no me aporta información alguna, y mi futura curación (realización del experimento asociado a la variable aleatoria) en cambio aportará toda la información que la variable no aportaba.

La entropía de la variable es la medida esperada de la información que aportará la realización del evento asociado a la variable, no la propia variable. Por eso es que una entropía alta implica que la propia variable aporta una información pequeña. El resto de la información hasta la certeza vendrá de la materialización práctica del evento.

Vayamos a uno de los casos más sencillos de variable aleatoria: la realización de un experimento con dos posibles resultados, de probabilidad p y (1-p). El lanzamiento de una moneda (con posibles resultados 0 (cara) y 1 (cruz), o de un dado con resultados 0 (impar) ó 1 (par).

La entropía de esta variable , aplicando la fórmula de la definición es:

H[X]= -p·log₂p-(1-p)·log₂(1-p)

En el caso general tenemos infinitas distribuciones diferentes con este esquema dependiendo del valor de p, que recorre los reales en el intervalo [0,1].

Un poco de cálculo nos convencerá de que el valor máximo de la entropía es para p=0,5, y los mínimos para p=0 y p=1, para los cuales la entropía vale cero. En efecto, en ambos casos tenemos una variable degenerada; y la máxima entropía se da cuando la distribución es uniforme: todos los valores tienen la misma probabilidad de ocurrir y la variable en sí no nos aporta información alguna de cuál puede ser el que se dé en el evento.

Ahora sabemos que el máximo de entropía es para la distribución uniforme, además es muy sencillo evaluarla:

Si tenemos una v. a. X que toma valores {x₁,x₂,...,x_n} con probabilidades (p₁,p₂,...,p_n), si hay equiprobabilidad entonces p_i=1/n, para todo n, y por lo tanto:

H[X]=-(1/p)·log₂(1/p)-(1/p)·log₂(1/p)-...-(1/p)·log₂(1/p)=
log₂(p)

Esta es la mayor entropía que puede tener una variable aleatoria de n estados.

Esta fórmula:

H[X]=log₂(p)

es idéntica a la fórmula física que expresa la entropía de un sistema en función de su número de estados, salvo por la presencia de la constante de Boltzmann. Tanto en el caso físico como aquí, la elección del valor numérico de la constante depende de las unidades en las que estemos trabajando. En nuestro caso hemos elegido el asunto al dar base 2 a los logaritmos empleados y la unidad es el bit.

Así, una variable con 8 estados, si es uniformemente distribuida y por lo tanto aporta la menor información posible; tiene una entropía de H=log₂8=3 bits.

Habiendo ocho estados son precisamente 3 los bits necesarios para nombrarlos a todos (000,001,010,011,100,101,110 y 111). Esto no tiene nada de casual, sino todo lo contrario; pero es una historia que debe ser contada en otra ocasión... ocasión que deberá esperar pues este blog suspende su actividad hasta mediados-finales de Julio por motivos vacacionales.

Volveremos entonces con más energía. Que pasen un buen verano (o invierno, si nos leen desde el hemisferio sur).

Este año, Vailima y yo vamos a realizar un viaje preparado con sumo cariño a Galicia. Pasaremos diez días en tierras gallegas, desde el 11 hasta el 21 de Julio, y del 13 al 17 estaremos en Santiago. El plan del viaje, como todos los años es turismo rural, románico, gastronomía y amigos.

Cada año hacemos un anuncio del viaje en nuestros blogs , y el resultado suele ser materializar la posibilidad disfrutar de la compañía de otros blogueros, o lectores. Así, una y otra vez comprobamos que internet sirve también para unir a las personas. Entraremos a Galicia por Lugo desde Asturias , y saldremos por Ourense hacia León.

Si algún lector de TioPetros quiere dejarnos disfrutar de su compañía el viaje será aún más interesante para nosotros. Al final de los viajes, siempre los amigos resultan ser lo más importante. Incluso por encima de la gastronomía y del románico.

Que no es decir poco.

Si alguien está interesado en pasar un rato en torno a una mesa con buen Ribeiro o Albariño, que nos lo haga saber en los comentarios o a través del email.

Por lo demás, y como se anunció en el post anterior, TioPetros reanudará su actividad a finales de Julio con energías renovadas.

Hasta entonces.

Hace unos días recibí una crítica en mi correo de una lectora que expresaba ciertos puntos de desacuerdo. Me parecen muy sintomáticos e importantes estos puntos de desacuerdo, y he pensado que su exposición en el blog serviría para aclarar posturas dentro de un ambiente de confrontación dialéctica, a la vez que educada. Por ello he decidido publicar tanto el correo original como mi respuesta. Quizás los lectores puedan aportar más matices a la postura que debe mantener un escéptico.

Dado que he pedido dos veces permiso a la remitente para publicar el correo sin obtener respuesta ni afirmativa ni negativa, opto por publicarlo eliminando las referencias personales en cuando a nombre y origen. Creo no inclumplir de ese modo ninguna regla de etiqueta.

Pasamos a los textos:


Estimado Señor Landart:
Estuve navegando su blog, algunas cosas parecen interesantes... Hubo un detalle que capturó mi atención: usted parece estar muy enojado con algunas personas.. a las que califica (lo más suave) de farsantes...
Me parece muy mal que cometa el error de ser tan autoritario... diciendo que se merecen "estar en la cárcel" por sus opiniones (las compartamos o no, esos métodos inquisitoriales son dignos de la Edad Media)...
También quiero recordarle que corresponde al método científico cotejar las conclusiones a las que uno arriba mediante el ejercicio del intelecto (internas de la mente), con la EVIDENCIA DE LOS SENTIDOS y no con PREJUICIOS o con TEORIAS Y POSTULADOS
Este es el método productivo para pensar que dejaron escrito sabios como Einstein y Leonardo, y no me parece inteligente que usted intente refutar los dichos de los demás basándose solamente en la incontrastable evidencia de que... usted no cree en lo que dicen los demás!!!!
Si usted afirma que tal o cual yuyo no sirve para curar el cáncer, deberá demostrarlo y en todo caso no insultar (además en un monólogo improductivo) al señor que afirma que sí lo cura.
Lo mismo con las fotos kirlian, si ud logró producir cosas parecidas a fotos kirlian, eso no invalida, de acuerdo con el método de pensamiento científico, que otros sí hayan producido fotos kirlian y
que sí haya una sistematización útil para determinados efectos diagnósticos.
Negar una afirmación -por mas caprichosa o inverosímil que fuera- con otra afirmación caprichosa e inverosímil, no creo que conduzca a nada excepto que lo use usted como terapia para sus frustraciones
cotidianas.
El trabajo que se toma para denostar las opiniones que no le gustan, da la impresión de que para usted esos temas son extremadamente importantes, cuando en realidad, los que correspondería es pasarlos por alto y no darles mas importancia de la que tienen...
Por otro lado, leí algo que tiene que ver con los ovnis... ¿Qué opina del sr Paul Allen, co propietario de Microsoft (y por ende uno de los señores más ricos del mundo), que acaba de invertir una cifra fabulosa en resucitar el viejo programa Seti de escucha interestelar? Debe ser un hombre muy tonto, a quien se le ocurre que
puede haber civilizaciones extraterrestres... y menos para apostar así su dinero, no? Aunque hay otros tontos como él parece, porque ya se levantaron varias voces de alerta diciendo que qué pasará si aparece la evidencia y se comunican con los extraterrestres... ese conocimiento será privado? Será una prerrogativa de Allen?
Pero mejor no sigo adelante, corro el riesgo de ser puesta en la lista de los estúpidos sin remedio, junto con Kirlian, Allen y el sr de las hierbas centroamericanas.
Ha sido un gusto
Dra X. X.


Estimada Señora X. X. :

Ante todo, gracias por visitar mi blog, y por manifestarme sus opiniones.

Permítame que pase a responder a sus interesantes cuestiones:

No creo haber dicho en momento alguno que nadie debe ser privado de libertad por sus opiniones. Estoy muy lejos de creer que todas las opiniones son respetables, pero defiendo que todos tenemos el derecho a tener las propias, por repugnantes que al resto puedan parecer.

Legislar opiniones es un absurdo; pero legislar actuaciones no. Opino que inducir a enfermos angustiados a abandonar sus terapias es una actividad criminal que suele desembocar en un resultado de muerte. No me parece que esta opinión personal sea difícil de digerir por cualquiera. Y opino que las actividades criminales deben ser perseguidas. ¿En cual de estas dos opiniones manifiesta usted disconformidad?

Me habla de qué corresponde al método científico, y veo que tiene la lección bien aprendida. Matizaría eso de la "evidencia de los sentidos" porque a veces estos nos inducen a engaño, pero entiendo (o supongo) que quiere decir que la ciencia se basa en la ausencia de prejuicios y en la experimentación cuidadosa, análisis de resultados, formulación de hipótesis de trabajo y refutación de estas en un arduo trabajo diario.
¡Espero no equivocarme al decir que es eso lo que quiere decir!

Pues bien; hay una cosa más: coordinación, trabajo en equipo, puesta en común de resultados mediante publicaciones y continua crítica y reflexión de lo hecho hasta el momento. Y es precisamente en medicina donde se ve esto con claridad meridiana. Tras una medicamento aprobado existe la labor de miles de personas, innumerables tests, pruebas y más pruebas, a veces coordinadas a nivel mundial. Por eso la medicina es la mejor posibilidad para un enfermo, y no digamos si lo es de cáncer; y por eso intentar apartarlo de las mejores terapias médicas del momento para dejarlo en manos del primer curandero que "tiene una teoría" es criminal. Espero haberme explicado bien en este extremo.

"Si usted dice que tal o cual yuyo no sirve para curar el cáncer, deberá demostrarlo", me dice. Eso es una falacia absoluta. Verá: al día se dicen millones de idioteces; y si se tuviera que perder tiempo en demostrar su falsedad, la actividad humana productiva simplemente se colapsaría.

Hay un principio muy sencillito, que afirma que el peso de la prueba recae en el que hace la afirmación.

No veo qué interés pueda tener mezclar en la misma carta el tema médico con las fotos Kirlian o con el proyecto SETI, pero en fin, paso a responderle también.

Mis fotos pseudokirlian no demuestran que las otras son falsas, dice. Me gustaría saber porqué me dice esto. Es que yo he afirmado que mis fotos demuestran eso? Una foto nunca demostrará que otra es falsa. Me permito copiar un párrafo de este artículo:

"Eso no demuestra nada, me podrán decir. Un fraude no demuestra que las otras fotos también lo sean.Pues no estoy de acuerdo. Demuestra una cosa: demuestra que las demás pretendidas fotos reales no demuestran nada, y eso es importante porque son ellas las que tienen que demostrar que lo que afirman es cierto."

¿Ve? La carga de la prueba una vez más.

Y respecto al proyecto SETI, me vuelve usted a sorprender. ¿Qué le ha hecho pensar que tengo algo contra el proyecto SETI?

Mi opinión es que cualquier continuación de dicho proyecto dará resultado negativo, pero las opiniones son como los culos: cada uno tiene el suyo. Soy un ferviente partidario del mismo; lo menos que podemos hacer es mirar ahí afuera para ver si hay alguien. Sería magnífico que la respuesta fuera positiva. Nada volvería a ser igual. Tengo amigos colaboradores del proyecto y yo mismo he tenido mi PC con el programa de SETI at home.

Sería una muestra de miopía absurda negarse a un experimento por una creencia de cuál va a ser el resultado, máxime cuando el proyecto SETI se distingue por su costo más que razonable. Además, el resultado negativo ya nos da un indicio válido de cuál puede ser la verdad. Sabremos más cuando el proyecto acabe, sea cual sea su conclusión.

Desconozco las motivaciones del Sr. Allen para invertir su dinero en resucitar SETI , pero esa es otra cuestión que nada tiene que ver con la idea del proyecto en sí. Grandes ideas científicas han sido desde el inicio sufragadas por millonarios, y no veo nada malo en ello, sino al contrario. Por cierto, el proyecto SETI es un proyecto científico, en el aspecto más genuino de la palabra. Muy diferente de las cuestiones ufológicas al uso.

Termino ya; espero que este intercambio epistolar sirva para algo, aunque también en este extremo soy escéptico: no conozco el caso de que nadie haya jamás convencido a nadie de nada en un chat, en una discusión por la web o en una tertulia televisiva.

Termino ya, pero no quiero pasar por alto otro párrafo suyo:

"El trabajo que se toma para denostar las opiniones que no le gustan, da la impresión de que para usted esos temas son extremadamente importantes, cuando en realidad, los que correspondería es pasarlos
por alto y no darles mas importancia de la que tienen..."

La impresión que le da es totalmente correcta. Estos temas son extremadamente importantes. No entiendo que me diga que debiera pasarlos por alto. La salud pública es una prioridad en un mundo civilizado. Tiene muchísima importancia. Por cierto, ¿porqué no pasó usted por alto mi blog, sin darle más importancia de la que tiene?


También para mi ha sido un gusto, doctora.

Jesús M. Landart

Tio Petros tiene casi trescientos artículos publicados. Dado que el formato de blog prima excesivamente a los más recientes; para que el resto no se pierda en el limbo del ciberespacio y para que sean más accesibles tienen a su disposición un listado de todos los artículos ordenados por fecha de publicación, por meses, y por temas.

Todo ello a partir del siguiente enlace:

Indice general

De momento este indice no tiene más de lo que el propio blog puede ofrecer con las herramientas de Blogia, pero en breve iremos aumentando las funciones del mismo.