|
Temas
Archivos
Enlaces
Matemáticas
Ciencia
Escepticismo
Bitácoras amigas
Divulgación
Estadísticas
Otros
|
Se muestran los artículos pertenecientes a Marzo de 2005.
Para intentar encontrar la fórmula de Pick correspondiente a polígonos con agujeros hay que tener presente que un agujero en un polígono de Pick es, individualmente considerado, otro polígono de Pick (esta vez sin agujeros!!!)
Llamemos P al polígono original, con IP puntos internos y BP puntos frontera. Llamaremos H a un hueco simple en el mismo, siendo IH el número de puntos que caen en el hueco; y BH el número de puntos de la frontera del hueco. Llamemos PH al polígono P con el hueco H.
Tanto P como H cumplen el teorema de Pick tal y como lo hemos visto en los dos posts anteriores, para las areas respectivas del polígono completo y del hueco podemos escribir:
AP = IP + BP/2 – 1 (ecuación 1)
AH = IH + BH/2 – 1 (ecuación 2)
En cambio, para el área del polígono con el hueco tan sólo sabemos que:
APH = AP - AH (ecuación 3)
Asimismo, sabemos que la cantidad de puntos internos de P se ha visto decrementada en tantas unidades como puntos tiene el hueco, ya sean internos o frontera:
IPH = IP - IH - BH (ecuación 4)
Y la cantidad de puntos frontera del polígono se va incrementada al ser agujereado con los puntos frontera del propio agujero:
BPH = BP + BH (ecuación 5)
Ahora no tenemos más que desarrollar la ecuación 3 :
APH = AP - AH =
[IP + BP/2 – 1] – [IH + BH/2 – 1] =
[IP - IH - BH ] + [BP/2 + BH/2] =
IPH + BPH/2
Vemos que este resultado es parecido al que conocíamos para el caso de ausencia de agujero, salvo por el hecho de que ahora no hace falta restar una unidad. Dicho de otra manera: el área del polígono agujereado es una unidad más grande de lo que cabría esperar de la extrapolación de la fórmula de Pick para polígonos sin agujeros. ¿Es que no importa el tamaño o la forma del hueco?
Claro que importa, pero esa importancia queda perfectamente recogida en el cómputo de los nuevos puntos interiores y frontera del polígono, una vez que ha sido agujereado.
Si ahora partiéramos de un polígono de un agujero y añadiéramos otro más, veríamos incrementarse en otra unidad el resultado. El cçálculo no es sino una repetición de lo hecho más arriba, de manera que no lo haremos. Así pues tan sólo importa el número de agujeros, pudiendo reformular el teorema de la siguiente forma:
Dado un polígono de Pick con n agujeros, el área del mismo viene dada por la expresión:
A = I + B/2 - X
Donde X es la característica de Euler del polígono. Esto es: X=1-n, siendo n el número de agujeros.
Con esto queda ligado el Teorema de Pick a uno de los capítulos más bellos de la topología, y con esto terminamos el ciclo. Espero que les haya gustado.  El domingo pasado estaba yo trasteando en el desván cuando cayó en mis manos una carpeta azul con un letrero que decía: C.E.P. PARAPSICOLOGIA Si me leyeron los post sobre el proyecto iván, sabrán que como muchos adolescentes de finales de la década de los setenta y principios de los ochenta, yo también tenía mi propio grupo de "investigación paranormal". Las buenas compañías hicieron que muy pronto deriváramos hacia un sano escepticismo que ya nunca nos ha abandonado. El caso es que entre nuestras "investigaciones" figuraba la fotografía Kirlian, ya saben, el aura de las personas, animales y cosas que han estado en contacto con seres vivos. La foto que les presento estaba (en negativo) dentro de la carpeta entre muchas otras, recuerdos de mi época juvenil. Fué realizada hacia 1.980 y presenta el aura de una hoja recién cortada, a la que se le ha cortado a su vez la punta. Pueden ver que la punta tiene restos del aura completa, aunque más desvahída. A poco que hayan visitado este blog sabrán que estas fantasías no tienen cabida en él. La parte de verdad es que , efectivamente la foto es inédita y fué conseguida por nosotros en esa época, pero aura, nada de nada. Se trata de un experimento en el que intentamos conseguir la calidad (admitirán que lo conseguimos plenamente) de las fotos que las revistas de misterio publicaban como reales fotografías del aura con una cámara carísima y especialísima que un matrimonio de rusos (los Kirlian) habían conseguido. Nuestra "cámara Kirlian" consistía en una bobina de coche, un interruptor y un enchufe, todo ello integrado en una caja de madela con una pletina y una tapa acolchada. Unas 2.000 pesetas de las de entonces. Colocábamos un negativo sin revelar en la pletina, con el cuarto a oscuras, dábamos unos chispazos sobre el mismo con la tapa bajada para que el objeto hiciera buen contacto en el negativo... y ya está: a revelar en nuestro laboratorio de fotografía. Para el efecto de la punta que falta, simplemente hacíamos varios chispazos con la hoja entera, y luego sin moverla le quitábamos la punta para darle unos cuantos más. Todo el proceso en blanco y negro: el efecto de color ha sido añadido con fotoshop por mí esta misma mañana para presentarles la foto. A que es chula? Eso no demuestra nada, me podrán decir. Un fraude no demuestra que las otras fotos también lo sean. Pues no estoy de acuerdo. Demuestra una cosa: demuestra que las demás pretendidas fotos reales no demuestran nada, y eso es importante porque son ellas las que tienen que demostrar que lo que afirman es cierto. Por cierto, leí alguna vez que los físicos decían que lo que se impresiona en el negativo es el llamado efecto corona. Para mi son simples chispazos. Hay algún físico por ahí que nos explique si es lo mismo una cosa que otra? Feliz fin de semana. Aquí tienen algunas otras fotos del mismo tipo, todas inéditas y olvidadas en mi desván hasta hoy:       Terminamos el ciclo de las cámara Kirlian con otra tanda de fotos para que puedan apreciar que el efecto es prácticamente idéntico a esas fotos que supuestamente por procedimientos costosísimos y en laboratorios complejos son obtenidas del aura, sea esto lo que fuere. Repito que el equipo no llegó a costar 2.000 pesetas de las de 1.980. Todas las fotos aquí expuestas fueron obtenidas por contacto del objeto a fotografiar sobre el negativo sin revelar, siempre en blanco y negro, ya que los revelados en color estaban totalmente fuera de nuestras posibilidades. Cualquier color es un añadido mío con Photoshop.      Con ello quedaba demostrado que cualquier efecto podía ser reproducido con un costo mínimo y con los procedimientos no digitales de aquel momento, incluída la percepción de aura en partes de hojas que faltan. La intensidad de las "llamas" depende únicamente del número de chispazos que le dábamos al objeto sobre el negativo. Fué divertido mientras duró. Luego, como en el caso de los OVNIs tras el proyecto Iván, me quedó muy poco interés por la supuesta realidad de los "fenómenos paranormales". Lo único que persistía en mi caso era el interés por la dimensión sociológica de los fenómenos.  En una ocasión, hablamos de los ingenuos trisectores de ángulos. Llamábamos así a estas personas empeñadas en demostrar lo imposible. Existe una fauna muy variada de personajes de este pelo; en cuestiones físicas se agolpan alrededor del mito de la máquina de movimiento continuo, y en matemáticas alrededor de tres problemas imposibles: la duplicación del cubo, la trisección de un ángulo cualquiera y la cuadratura del círculo . Decíamos entonces que la imposibilidad de estas tres construcciones se debe a resultados que provienen de la teoría de Galois, y que se resumen en dos proposiciones, ambas perfectamente consolidadas, demostradas y admitidas por la comunidad matemática desde hace muchísimo tiempo: 1.- Todos los números de Q son construibles. 2.- Un número real es construible si y solo si es solución de una ecuación de grado potencia de dos en Q La cuadratura del círculo implica al número pi, que no es solución de ningún polinomio en Q, la duplicación del cubo implica la construcción de la raíz cúbica de dos, que es solución de un polinomio de grado tres (no es potencia de dos), y la trisección del ángulo de 60º implica la construcción de otro número solución de una ecuación de grado tres, y por lo tanto las tres son imposibles. Pueden existir métodos para trisecar un ángulo concreto (el del ángulo recto es trivial), pero nunca, NUNCA el de 60º. Sucede que existen ciertos problemas parecidos en apariencia a los tres anteriores, que sí son posibles, y vamos a ocuparnos de uno de ellos: la cuadratura de la lúnula de Hipócrates . Una lúnula es la porción de plano comprendida entre dos arcos de circunferencia. En la figura tienen una lúnula de Hipócrates , que es una lúnuna con las proporciones dadas por las dimensiones de un cuadrado ABDC. Uno de los dos arcos es el ABC, con centro en 0 y radio r = OA. El otro es el APC, con centro en D y radio R = AD. El área de la lúnula es la diferencia entre el semicírculo de centro en O y radio OA y el sector circular APC Llamemos AL al área de la lúnula; As al área del semicírculo y At al área del sector antes citados. Tenemos AL = As - AtY desarrollando podemos escribir:  Así pues, el área de la lúnula es r 2, y como r 2=R 2/2, tenemos que el área de la lúnula es la mitad del área del cuadrado ABCD, o lo que es lo mismo: es igual al área del triángulo ABC, todo ello perfectamente construible con regla y compás a partir de la lúnula. ¿A que es sorprendente un área de una figura limitada por arcos de circunferencias en la que no aparece pi? Y es que la resta de dos números irracionales ( o en este caso lo que es aún peor: transcendentes) bien puede ser un número racional. En el fondo no hay misterio alguno: la explicación radica en la igualdad de dos áreas: el área A s del semicírculo ABC, y el área del cuadrante de círculo de centro en D y radio R. Llamemos X a dicho área. El área de la lúnula es igual a la diferencia entre A s y A t. La primera vale X y la segunda vale ( X -Q) siendo Q el área del triángulo ADC. Por ello, el área buscada vale A L = X - ( X -Q) = Q. Tanto ( X -Q) como X son trascendentes, no así Q, que es un número bien racional.  La teoría de superficies es una de las partes más bellas por lo visual de la matemática. Pero pocas veces tenemos la oportunidad de visualizar una superficie matemática, con su fórmula analítica que nos recuerde tanto a un símbolo universal como la que ahora les propongo: el corazón. Esta superficie responde a la ecuación de sexto grado siguiente: (x 2+9/4·y 2+z 2-1) 3 - x 2+z 3-9/80·y 2+z 3 = 0 Pueden ver en la ecuación que algunos coeficientes están ajustados a valores como "canónicos", como 9/4 ó 9/80 para conseguir el extraordinario resultado mostrado en la imagen. En la siguiente imagen pueden ver un corte de dicha superficie con el plano y=0, que muestra un dibujo increíblemente parecido a lo que entendemos todos por el símbolo de "un corazón".  ¿Cuál es el interés de dicha superficie? Pues me temo que simplemente lo anecdótico del asunto. Sin embargo y por encima de lo anecdótico, es interesante pensar en el hecho de que expresar la ecuación es, quizás la forma más compacta posible de dar toda la información necesaria para construir el objeto. Y es ahí donde el interés del tema aumenta: ¿Todo objeto "razonable" tiene una ecuación analítica que lo exprese? ¿Qué quiere decir "razonable" en la pregunta anterior? ¿Cuáles son las limitaciones? ¿Hasta dónde podemos disminuir la cantidad de información necesaria para expresar un objeto? ¿Aún en los casos en que es posible, sale computacionalmente demasiado caro reproducir el objeto a partir de la ecuación? ¿Tienen mis lectores alguna opinión al respecto?  .  Les propongo un problema que acabo de encontrar: Tenemos un cierto número de rectángulos distribuidos sobre una superficie plana. Existe total libertad en la forma de los mismos, y en la disposición en el plano. Se pueden superponer, intersectar y todo lo que ustedes quieran. Una vez colocados, dividen el plano en una serie de regiones finitas. Denominaremos "región" en este contexto a cada una de las menores divisiones del plano, es decir: a las áreas finitas que no están a su vez subdivididas . Si sabemos que una de tales disposiciones de rectángulos tiene 18.769 de tales regiones, ¿cuál es el mínimo número de rectángulos utilizados?  Como se ha afirmado en los comentarios del post anterior, debemos buscar la disposición de rectángulos que haga máximo el número de subdivisiones del plano, y esa disposición es la que tenga mayor número de intersecciones entre los rectángulos. Dados dos rectángulos, el número máximo de intersacciones es de ocho, y se da cuando están girados uno respecto de otro. La situación se observa perfectamente considerando cuadrados (rectángulos al fin y al cabo) concéntricos y girados 45 grados uno respecto al otro. Definen nueve regiones. Ocho regiones que pertenecen tan sólo a un rectángulo (las puntas) y otra grande que pertenece a ambos. Cuando tenemos tres rectángulos tenemos 4·3=12 puntas que pertenecen a un solo rectángulo, otras doce que pertenecen a dos y una que pertenece a los tres. (ver figura) En el caso general, tenemos 4n regiones que pertenecen a un sólo rectángulo (las puntas), y el mismo número de regiones que pertenecen a dos, a tres... a (n-1) rectángulos y una sola que pertenece a todos ellos. Compruébenlo en la ilustración siguiente, para el caso de cinco cuadrados:  Por tanto, operando un poco, si llamamos F(n) al número de regiones en que se divide el plano con n rectángulos en esta disposición, tenemos: F(n) = 1 + 4n + 4n + ... +4n donde hay (n-1) sumandos de 4n. Por tanto: F(n) = 1 + 4n(n-1)=1 + 4n 2 - 4n = (2n-1) 2Dado que teníamos F(n)= 18.769 regiones, el número mínimo de rectángulos corresponderá con el número de rectángulos de la disposición anterior, de máxima intersección. Tenemos: 18.769 = (2n-1) 2Osea, n = 69; como había afirmado none en un comentario anterior, y no 68 como había dicho yo... Así pues, podemos afirmar que el número de rectángulos de la disposición del enunciado tiene en 69 su cota mínima. PD.- Mewt planteaba en los comentarios la ecuación F(n)=2 + 4n(n-1), seguramente contando la región no acotada exterior a todos los rectángulos. En el enunciado se eliminaba la contabilización de la zona no acotada para evitar dudas.  Hemos hecho hincapié varias veces en el blog de la importancia de la experimentación en la validación de las teorías científicas. Si la ciencia es el estudio de lo real, es lo real quien debe refrendar la utilidad si no la verdad de nuestra teoría. La bajada al mundo de lo real para experimentar, para falsar las teorías y para comprobar predicciones es el freno necesario a la elucubración vana. Es necesaria una realimentación que nos dote de un control. La metodología científica tiene bien definido el asunto, de manera que la realimentación que supone bajar a la realidad y comprobar la utilidad de las hipótesis es absolutamente imprescindible en ciencia. Hasta aquí ningún problema. La matemática se sitúa en un estatus diferente por no tener la realidad como objeto de su estudio, pero de eso ya hemos hablado innumerables veces. Aquí hablamos de ello. En dinámica de sistemas se ve que los sistemas realimentados exhiben o pueden exhibir comportamientos de autocontrol muy notables, cuando la realimentación funciona correctamente. Este principio es válido para ecosistemas, circuitos electrónicos, economía, meteorología y para muchas disciplinas muy alejadas unas de otras. En ausencia de ciclos realimentados no hay autocontrol. ¿Qué ocurre cuando un sistema de pensamiento, racional por lo demás en el sentido de que utiliza al menos en parte la razón para producir sus asertos, se ve privada de esta realimentación? Pues sucede que no hay control, y nos podemos ir por las ramas de la elucubración más asombrosa e inútil hasta el infinito. Vean y disfruten con la Suma Teológica de Santo Tomás de Aquino . Aquí encontrarán sesudas disquisiciones para responder a una trascendental pregunta: Los ángeles, ¿difieren o no difieren en especie?Aquí verán respondidas las tres preguntas siguientes: Los ángeles, ¿tienen o no tienen cuerpos unidos a sí naturalmente?
¿Toman o no toman cuerpos?
En los cuerpos que asumen, ¿ejercen o no ejercen acciones vitales? No menos inquietantes son las dudas planteadas por las tres preguntas siguientes, y respondidas aquí. El ángel, ¿ocupa o no ocupa lugar?
El ángel, ¿puede o no puede estar en muchos lugares a la vez?
¿Pueden o no pueden muchos ángeles estar en un mismo lugar? Para terminar, no podía faltar un estudio "serio" sobre la localidad o no localidad de los ángeles. Lo tienen ustedes aquí. El ángel, ¿puede o no puede moverse localmente?
¿Se mueve o no se mueve de un lugar a otro pasando por el medio?
El movimiento del ángel, ¿es temporal o instantáneo? El pensamiento crítico debe huir de simplificaciones excesivas. Quien leyendo esto saque la conclusión de que Santo Tomás de Aquino estaba simplemente loco quizás no esté yendo al origen de la cuestión. A mi no me cabe la menor duda de que era una mente poderosa. El problema es otro. Ya lo decía el anuncio de Pirelli: La potencia sin control no sirve de nada  A veces uno recibe llamadas de teléfono que le alegran el corazón. Así me ocurrió el sábado pasado cuando mi amigo Jesús Martínez Villaro me llamó para decirme que Félix Ares quería juntarse con nosotros dos y recordar los tiempos en los que no existía movimiento escéptico organizado alguno en España; época en la que nos conocimos y organizamos nuestras primeras investigaciones. Con ellos viví las experiencias relatadas en este blog sobre el proyecto Iván, con ellos conseguimos las pretendidas fotos Kirlian que les comenté hace unos post... Con ellos dimos charlas en San Sebastián, y pasamos inolvidables jornadas aprendiendo cosas. Por eso, recordarlas fué un placer añadido al de disfrutar de su compañía.  En la foto, Félix Ares y Jesús Martinez, mientras el primero nos demuestra que se puede explicar la esencia de la relatividad restringida y general en cinco minutos. (Dos minutos y medio para la primera y otro tanto para la segunda). A eso le llamo yo capacidad de síntesis. Lo dicho; un verdadero placer.  Ya lo hemos comentado otras veces: la ciencia es una labor compleja. Utilizamos modelos que sustituyen a la realidad, simplificándola y haciéndola asequible al análisis. Esta sustitución es siempre peligrosa, pues en el fondo se trata de una metáfora cuya licitud está por demostrar. En el genuino quehacer científico existen muchos mecanismos incluídos en ese conglomerado conocido con el nombre de "método científico" que ayudan elaborar buenos modelos, o al menos a rechazar los malos, pero en la tarea divulgativa es donde el peligro es mayor. No en vano Richard Dawkins (1) nos habla de la buena y de la mala poesía científica en el uso de metáforas presuntamente explicativas. Todo esto viene a cuento por dos circunstancias coincidentes en el tiempo. Por un lado Vailima me ha regalado el macrolibro "La estructura de la teoría de la evolución para mi cumpleaños. He sentido desde niño fascinación por la evolución, pero he de reconocer que a pesar de su aparente simplicidad esconde matices muy ricos en los que es muy fácil perderse. Me sorprendo muy a menudo oyendo incluso a médicos hablando en clave lamarckista...lo que demuestra que algo hay en la teoría de la evolución que nos dificulta su comprensión y aceptación. La metáfora se revela como doblemente peligrosa en un tema como éste. Mis ávidas visitas a excelentes lugares como El Paleofreak o Evolucionarios me ayudan a no perderme, pero necesitaba el tomazo de Gould afianzar conceptos. Por eso ha sido muy gratificante encontrarme con este párrafo: Puesto que los primates somos animales visuales, los argumentos complejos se representan o sintetizan mejor en forma gráfica. Así pues, la búsqueda de un icono óptimo es un asunto no trivial, aunque los estudiosos raramente prestan a este tema la atención que se merece, porque es muy alto el riesgo de confusión, de metáforas fuera de sitio y de reemplazo del rigor por la "intuición" desencaminada.(2)Que una persona que aunaba las tareas de investigador y divulgador de la manera en que lo hacía Gould resalte este extremo me parece aleccionador. !Qué diferente esta precaución de la actitud despreocupada y vana de los amigos de lo paranormal a lo hora de manejar metáforas ilícitas! Sin embargo hoy no es día para incidir en ello. Prácticamente a la vez que abría el libro de Gould me enteraba de la muerte de Fernando Jiménez del Oso . Para mí uno de los tres pilares del asunto paranormal en España. No obstante hoy es día para el recuerdo de la persona, y no para la crítica. Nunca olvidaremos la imagen del psiquiatra de aspecto tenebroso hablándonos de presuntos misterios, imagen que forma ya parte del imaginario popular. Lo recuerdo en un salón poco iluminado, como un Rodríguez de la Fuente del más allá invitándonos a penetrar en el terreno de lo inverosímil. Había algo en su dicción que obligaba a escucharlo. Siempre será mejor su recuerdo que la imagen de los múltiples "hinbestigadores" con muchos bolsillos que han venido trás él. Don Fernando, descanse en paz. ______________________________________________________ (1) "Destejiendo el arco Iris". Richard Dawkins. Ed. Tusquets (2) "La estructura de la teoría de la evolución". Stephen Jay Gould. El. Tusquets. p.39"
|
